运筹学_08图与网络优化_81图的基本概念_
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运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
运筹学第六章图与网络分析1.
一、树的概念及性质 例：已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要 求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市） ，并且电话线的根数最少。
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5
第六章-运筹学图与网络优化
9
6 3
3
4
7
2
53
4 31
5
1
7
4
4
第3节 最短路问题
一、最短路的含义
赋权有向图D (V，A)，图中各弧(vi，v j )有权wij， vs，vt为图D中任意两点，求一条路P， 使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路，
即w(
P
)
min
wij 。
(vi，vj )P
定义：路P的权是P中所有弧的权之和，记为w(P)
习题6-3：用Dijkstra方法求解下图从v1到v9的 最短‘路’。
v2
11
v7
3 6
2
5
5
v5
8
v1
v3
v9
2 4
4
3
7
v4
4
v6
6
v8
第3节 最短路问题
三、最短路问题的应用 ✓ 设备更新问题
第3节 最短路问题
例10：某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定， 如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备， 要付购买费。试制定一个5年的更新计划，使总支出最 少。已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的 维修费如下表所示：
5
2
5 v6
v4
v7 8
习题6-2
2、
v2
2
v5
5
1
5
1
8
v1
7
5 v4 9
v6
6
v7
2
1
12
v3
第3节 最短路问题
（二）赋权无向图的最短‘路’问题的求解方 法
赋权无向图G=(V，E)，边[vi，vj]表示既可以 从vi到达vj，也可以从vj到达vi，所以边[vi， vj]可以看作是两条弧(vi，vj)和(vj，vi)，且 它们具有相同的权ωij。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
运筹学8图与网络分析
（8）考察V8点，只有一个T标号，T(V8)=15，令P(V8)=15)，记录路 径（V7，V8），计算结束。
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14
运筹学课件-第六章图与网络分析
运筹学课件-第六章 图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
8 图与网络1--图基本概念
一、图的基本概念与模型
思考题解答：
Page 25
以每门课程为一个顶点，共同被选修的课程之间用边相连， 得图，按题意，相邻顶点对应课程不能连续考试，不相邻顶 点对应课程允许连续考试。 如C—E—A—F—D—B，就是一个符合要求的考试课程表。
A
B
F
C
E
D
一、图的基本概念与模型
Page 26
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来 表示。
一、图的基本概念与模型
Page 6
例2 有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，它们之间比赛的情况 用图表示出来。
已知甲队和其他各队都比赛过一次，乙队和甲、丙队比赛过，丙 队和甲、乙、丁队比赛过，丁队和甲、丙、戊队比赛过，戊队和 甲、丁队比赛过。为了反映这个情况，可以用点 分别代表这五个 队，某两个队之间比赛过，就在这两个队所相应的点之间联一条 线，这条线不过其他的点，如图10-3所示。
哥尼斯堡桥对应的图
Page 3
汉 汉阳
汉口
江
长
江
您能从某地出发走过每座桥且只走一 次然后回到原地吗?
Chapter8 图与网络优化
( Graph Theory and Network Analysis )
本章主要内容：
图的基本概念与模型 树与图的最小树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题 中国邮递员
v6
e6 e5
v1
e1
e8
v2
e2
e7
e9
v5
e4
4 v
e3
v 3
vi表示城市,ei表示公路w(ei) 表示公路ei的长度
如w(e2)=50表示城市v2与城 市v3之间的距离是50千米
运筹学( 图与网络优化)
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的，记为 G H ， 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元
素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于 2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和，又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图，则
vV ( G )
d (v) 2
运筹学第7章图与网络优化
*
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
运筹学 八章 图与网络分析
向图。记之为G(D)。
链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一个点弧交错序列，如果这个序
列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列是D的 一条链。 1，均有ait=(vit,vit+1)，称之为从vi1到vik的一条路。
路：如果(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一条链，并且对t=1,2,…,k回路：若路的第一个点和最后一点相同，则称之为回路。
3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点.
则由V、E构成的二元组合G=(V， E)就是图。 子图：已知图G1（V1，E1）若V1 ﹤V， E1 ﹤ E ; 图G=(V， E)的子图 则称图G1（V1，E1）是
若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。 多重边：图中某两点之间有多余一条的边，称之为多重边。 多重图：含有多重边的图。 简单图：无环、无多重边的图。
步骤 v1
例9：（图8－31）
v2 v3 v4 v5 v6 v7
v8
最短 前向 路 结点
1
2 3
0*
∞
4*
∞
6 6*
∞
∞ 9 9 9*
∞
∞ 8 8*
∞
∞ ∞ ∞ 13 13 *
∞
∞ ∞ ∞ 14 14 14*
∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17
0
4 6 8 9 13 14 15 v1 v1 v2 v2 v5 v5
V7 6 4 V8 2 V9 4
6
V4 4 2 V5 3 V2
2
V6 4 V3
4
V1
一、最短路算法
1、情况一： wij≥0(Dijkstra算法) 原理：Bellman最优性定理 方法：图上作业法（标号法）；双标号法（表的形式） 标号：对于点V,若已求出V1到Vi的最短值，标号（αi,βi) αi ：表示V1到Vi的最短路值 βi:表示最短路中最后经过的点
链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一个点弧交错序列，如果这个序
列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列是D的 一条链。 1，均有ait=(vit,vit+1)，称之为从vi1到vik的一条路。
路：如果(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一条链，并且对t=1,2,…,k回路：若路的第一个点和最后一点相同，则称之为回路。
3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点.
则由V、E构成的二元组合G=(V， E)就是图。 子图：已知图G1（V1，E1）若V1 ﹤V， E1 ﹤ E ; 图G=(V， E)的子图 则称图G1（V1，E1）是
若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。 多重边：图中某两点之间有多余一条的边，称之为多重边。 多重图：含有多重边的图。 简单图：无环、无多重边的图。
步骤 v1
例9：（图8－31）
v2 v3 v4 v5 v6 v7
v8
最短 前向 路 结点
1
2 3
0*
∞
4*
∞
6 6*
∞
∞ 9 9 9*
∞
∞ 8 8*
∞
∞ ∞ ∞ 13 13 *
∞
∞ ∞ ∞ 14 14 14*
∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17
0
4 6 8 9 13 14 15 v1 v1 v2 v2 v5 v5
V7 6 4 V8 2 V9 4
6
V4 4 2 V5 3 V2
2
V6 4 V3
4
V1
一、最短路算法
1、情况一： wij≥0(Dijkstra算法) 原理：Bellman最优性定理 方法：图上作业法（标号法）；双标号法（表的形式） 标号：对于点V,若已求出V1到Vi的最短值，标号（αi,βi) αi ：表示V1到Vi的最短路值 βi:表示最短路中最后经过的点
运筹学( 图与网络优化)
G是一棵树。 无圈且m=n-1。 G连通且m=n-1。 G连通并且每条边都是割边。 G中任意两点都有唯一的路相连。 G无圈，但在任意一对不相邻的顶点之间加连一条 边，则构成唯一的一个圈。
支撑树
图G的支撑树是G的支撑子图，并且是一棵树。
每个连通图都有支撑树
支撑树也称为连通图的极小连通支撑子图。 很显然，一个连通图只要本身不是一棵树，它的支撑 树就不止一个。
则T1 经过k次迭代后可得到T2。
最小树
设G是一个赋权图，T为G的一个支撑树。定义T的权为：
w(T )
eE ( T )
w(e ).
G中权最小的支撑树称为G的最小树。 定理5 设T是G的一个支撑树，则T是G的最小树的充分
d (v) 0(mod 2);
v V1 V1 0(mod 2)
d (v) 1(mod 2),
简单图
一个图称为简单图，如果它既没有环也没有多重边。 下图是简单图。
本书只限于讨论有限简单图，
即顶点集与边集都是有限集的图。 只有一个顶点的图称为平凡图； 边集是空集的图称为空图。 f3 f1
每个顶点用点表示，
每条边用连接端点的线表示。 图的几何实现有助与我们直观的了解图的许多 性质。
说明
一个图的几何实现并不是唯一的；表示顶点的点和表示边 的线的相对位置并不重要，重要的是图形描绘出 边与顶点之间保持的相互关系。 我们常常把一个图的图形当作这个抽象图自身. 并称图形的点为顶点，图形的线为边。 图论中大多数概念是根据图的表示形式提出的，例如：顶 点、边、多重边、环、路、圈、树等。
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
精选运筹学课件第八章图与网络分析资料
运筹学教程
v2
v6
e3
v3 e7
v5
运筹学教程
V= （ v1， v2，…... v6） E= （ e1， e2，…... e8） （e1）= （v1， v2） （e2）= （v1， v2） （e7）= （v3， v5） （e8）= （v4， v4） (e8)= (v4， v4),称为自回路(环)； v6是孤立点，v5为悬挂点，e7为悬挂边，顶点v3的次为 4，顶点v4的次为4。
2l23+ 2l36+ l69+ l98+ l23+ 2l87+ 2l74+ l41+ l12=51
运筹学教程
第二步：调整可行方案，使重复边最多为一次
重复边 的总长：
v3
l69+ l98+ l41+ l12=21
5
v2
第三步：检查每个初等圈是否 5
v1
定理条件2，如果不满足，进行
2 v6 4 v9
例：求解网络的中国邮路问题
运筹学教程
v3
5
v2
5
v1
2 v6 4 v9
3
3
6 v5 4 v8
4
4
9
v4 4 v7
v3
5
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5
v1
2 v6 4 v9
3
3
6
v5 4 v8
4
4
9
v4 4 v7
第一步：确定初始可行方案
先检查图中是否有奇点，如果无奇点，为欧拉图；如果
有奇点，图中的奇点的个数比为偶数个，所以可以两两 配对，构造二重边。图中有4个奇点，v2,v4,v6,v8,配对 v2-v4,v6-v8，构造二重边。重复边 的总长：
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第8章 图与网络分析
（a）
（b）
（c）
图 8-9 图、子图、支撑子图
（4）图的同构 设 G1 与 G2 是两个同阶图，若顶点集合 V1 和 V2 以及边集 E1 和 E2 之间在保持关联性
质条件下的一一对应，则称图 G1 和图 G2 同构。 例如：图 8-10（a）和图 8-10（b）就为同构。
（a）
(b)
图 8-10 同构图
（10）定理 8.1 对于图 G=(V ,E) ，其中 V = n , E = m ,则有：
∑d (v) = 2m
（8-2）
v∈V
证明：每条边都有两个端点，在计算顶点的次时，每个端点都要计算对应边次，故共有
2m 次。
通俗地讲，就是线有两头，共有 2m 个线头的意思。
（11）定理 8.2 奇次顶的总数是偶数。
第八章 图与网络分析
8.1 图与网络的基本知识
8.1.1 图与网络的基本概念 8.1.1.1 图的定义 自然界和人类社会中，大量的事物以及事物之间的关系，常可以用图形来描述。例如： 图 8-4 所示的我国北京、上海等十个城市间的交通图反映了这十个城市间铁路
分布情况。这里用点代表城市，用点和点之间的连线代表这两个城市之间有直通铁路。
图 8-7 一个无向图
G = (V, E) V= {v1, v2 ,v3 , v4} E={e1, e2 ,e3 , e4 ,e5 , e6 , e7}
其中
e1 = [v1 ,v2 ] , e2 = [v1 ,v2 ] , e3 = [v2 ,v3 ] , e4 = [v3 ,v4 ] ,
图 8-8 是一个有向图。该图可以表示为：
图 8-4 十个城市间铁路分布图
又如某单位储存五种化学药品，其中，某些药品是不能放在同一库房里的，为了反映这 种情况，可以用点 v1 、 v2 、 v3 、 v4 、 v5 分别代表这五种药品，若药品 vi 和药品 v j 是不能存 放在同一库房的，则在 vi 和 v j 之间连一条线，如图 8-5 所示。如果问题归结为寻求存放这种 化学药品的最少库房个数，则该问题就是染色问题。事实上，至少需要三个库房来存放这些 药品，即 v1 和 v5 、 v2 和 v4 、 v3 各存放在一个库房里。
运筹学_图与网络分析
1 3 4 5 2
2
3
6
7
2
1
课堂练习：
P224 2.a）
问题定义：在一个赋权图上求一个圈，经过图中每一条
边至少一次，使圈中各边权值的总和为最小。
中
v2 v5
国
邮 路
v3 v1 v6
v4
问
题
比如圈：v5，v2，v1，v3，v2，v4，v3，v5，v4，v6，v5
欧拉链与欧拉圈 经过且仅经过图中每一条边一次的链称为欧拉链，经过 且仅经过图中每一条边一次的圈称为欧拉圈
若点与点之间的连线没有方向，称为边， 由此构成的图为无向图。记为: G=（V， E ）其中 V 是 G 的点的集合， E 为 G 的边的
v1
e2 v5 e5 e6 e9 e7 e4 e2 v5 e5 e7 e4
v2 e8 e3 e10
e1
集合，连接 Vi ， Vj 的边记为 [Vi ， Vj] 或 [Vj
，Vi] v3 v1 若点与点之间的连线有方向，称为弧，由 此构成的图为有向图。记为: D=（V， e1
v6
v4 v2 e6
e8 e3
A），其中 V是 G的点的集合，A为G的弧 的集合，一条方向为从 Vi指向Vj的弧记为 (Vi，Vj)
v6
v3
v4
相邻点：两点之间的边属于E
相邻边：如果两条边有一个公共端点
求从v1到v8的最短路
(3,5) V2 1
V5 (2,6)
10
4
3
V1 (0)
2
6
4
10
2
V6 (5,10)
V8
V4 (1,1)
V7 (5,9)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得 最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个 标号相同，但是第一个标号不一定相同。
2
3
6
7
2
1
课堂练习：
P224 2.a）
问题定义：在一个赋权图上求一个圈，经过图中每一条
边至少一次，使圈中各边权值的总和为最小。
中
v2 v5
国
邮 路
v3 v1 v6
v4
问
题
比如圈：v5，v2，v1，v3，v2，v4，v3，v5，v4，v6，v5
欧拉链与欧拉圈 经过且仅经过图中每一条边一次的链称为欧拉链，经过 且仅经过图中每一条边一次的圈称为欧拉圈
若点与点之间的连线没有方向，称为边， 由此构成的图为无向图。记为: G=（V， E ）其中 V 是 G 的点的集合， E 为 G 的边的
v1
e2 v5 e5 e6 e9 e7 e4 e2 v5 e5 e7 e4
v2 e8 e3 e10
e1
集合，连接 Vi ， Vj 的边记为 [Vi ， Vj] 或 [Vj
，Vi] v3 v1 若点与点之间的连线有方向，称为弧，由 此构成的图为有向图。记为: D=（V， e1
v6
v4 v2 e6
e8 e3
A），其中 V是 G的点的集合，A为G的弧 的集合，一条方向为从 Vi指向Vj的弧记为 (Vi，Vj)
v6
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相邻点：两点之间的边属于E
相邻边：如果两条边有一个公共端点
求从v1到v8的最短路
(3,5) V2 1
V5 (2,6)
10
4
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V1 (0)
2
6
4
10
2
V6 (5,10)
V8
V4 (1,1)
V7 (5,9)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得 最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个 标号相同，但是第一个标号不一定相同。
运筹学—第八章 图与网络分析
v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3
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Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论方面的论文，奠基了图论中的 一些基本定理。 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示实体间的关联。
基本概念
一个图是由点集
和 中元素的无序对的一个集合
构成的二元组，记为
G =(V，E)，其中 V 中的元素 叫做顶点，V 表示图 G 的点集合；E 中的元素 叫做
e1
e2
v2
v4 e5 e3
e4
e8 e6 v5 e7 v3
3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示
有向图D 的点集合，A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧，记作 (vi , vj )。起点vi,终点vj,去掉所有弧上的箭头得到的无向图,称为D的基础图,记为G(D) 。
v2
e1
e8
v1
e7
e6
v7
v6 e5
v5
(b) 子图
v2 e1 v1
e7 e6
v6
v3 e9
e10 v4 v7
e11 v5
(c) 支撑子图
10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。
如:v0 ，e1，v1，e2，v2，e3 ， v3 ,…,vn-1 , en ， vn，记作（ v0， v1 ， v2， v3 , …, vn-1 ， vn ），
• 当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步 者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能 走过一次，最终回到原出发地。
• 尽管试验者很多，但是都没有成功。
A D
C B
为了寻找答案，1736年欧拉把陆地缩为一点，把桥作为连接点的边，将这个 问题抽象成图形的一笔画问题。
A
C
D
A
C
D
B 哥尼斯堡七桥
B 一笔画问题
v5 e5
v4
e6 v6 e7
e8 e9
e10
e4 v3
e1
v1
e2
v2
S1={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e5 v4e4 v3}是一条连接v6、v3的简单链，链长为5.
S2={v6 e6 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}是一条连接v6、v3的初等链
若vi1 ，ai1，vi2，ai2，vi3，ai3 …,vik ,是D中的一个点弧交错的序列,如果
e8 e6 v5 e7 v3
孤立点
v7
定理1 所有顶点次数之和等于所有边数的2倍。 定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。
有向图中，以 vi 为始点的边数称为点vi的出次，用表示
；以 vi为终点的边数称为
点vi的入次，用
表示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。
所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
其链长为 n ，其中 v0 ，vn 分别称为链的起点和终点 。
v5 e5
v4
e6 v6 e7 e8 e9
e1
v1
e2
e4 v3 e10
v2 e3
S={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}是一条连接v6、v3的链，链长为6
若链中所含的边均不相同，即点边序列中若只有重复的点而无重复的边，则称此链为简单链； 所含的点均不相同的链即点边序列中若既没有重复的点也无重复的边称为初等链( 也称通路)。
边，E 表示图 G 的边集合。 例：G =(V，E)
e1
v1
e2
v2
e10
v6 e9
v4 e5 e3
e4
e8 e6 v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作G = (V，E)，连接点的边
记作[vi , vj]，或者[vj , vi]。
E
A
D
B
C
v1
e10
v6 e9
ait=(vit ,vit+1), 则称之为从vi1到vik的路；
初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:第一点和最后一点相同的初等路; 11、图中任意两点之间均至少有一条通路(初等链)，则称此图为连通图，否则称为不连通图。
在基础图G(D)中对应的点边序列是一条链则称这个点弧序列是D的一条链
若圈中所含的点均不相同，则称此圈为初等圈；所含的边均不相同的圈称为简单圈。
是一个初等圈，是简单圈来自但不是初等圈。路：若vi1 ，ai1，vi2，ai2，vi3，ai3 ，,…,vik ,是D中一条链,并且对t=1,2…，k-1,均有
v3
图2 v5
e1
v1
e2
v2
e10
环
v4
A
e5 e3
e4 二重边
v6 e9
e8 e6 v5 e7 v3
B
E D
C
4、一条边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环。
5、如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。 6、一个无环，无多重边的图称为简单图，一个无环，有多重边的图称为多重图。
7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。 有向完全图则是指任意两个 顶点之间有且仅有一条有向边的简单图。
9、设 G1=（ V1 , E1 ），G2 =（ V2 ,E2 ）如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是G1 的子图； 如果 V2 = V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的部分图或支撑子图。
v2
e2
v3
e1 v1
e8 e9
e3
e7
e10 v4
e6
v7 e11 e4
v6 e5 v5
(a)
v2 V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }，
A= {(v1 , v3) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
v4 v6
(v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
图与网络的基本概念
• 图论﹝Graph Theory﹞是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中 的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来 描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示 相应两个事物间具有这种关系。
• 图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题。
• 德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河，河中 有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥 相互连接，如下图所示。
8、以点v为端点的边的个数称为点v 的次（度），记作
。
图中 d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两次）
奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；
悬挂边：与悬挂点连接的边；
孤立点：d(v)=0；
空图：E = Φ，无边图
v1
e10
v6 e9
e1
e2
v2
悬挂点
e5 e3 e4 v4