运筹学_08图与网络优化_81图的基本概念_

e1
e2
v2
v4 e5 e3
e4
e8 e6 v5 e7 v3
3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示
有向图D 的点集合，A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧，记作 (vi , vj )。起点vi,终点vj,去掉所有弧上的箭头得到的无向图,称为D的基础图,记为G(D) 。
• 当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步 者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能 走过一次，最终回到原出发地。
• 尽管试验者很多，但是都没有成功。
A D
C B
为了寻找答案，1736年欧拉把陆地缩为一点，把桥作为连接点的边，将这个 问题抽象成图形的一笔画问题。
A
C
D
A
C
D
B 哥尼斯堡七桥
B 一笔画问题
9、设 G1=（ V1 , E1 ），G2 =（ V2 ,E2 ）如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是G1 的子图； 如果 V2 = V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的部分图或支撑子图。
v2
e2
v3
e1 v1
e8 e9
e3
e7
e10 v4
e6
v7 e11 e4
v6 e5 v5
(a)
v2
e1
e8
v1
e7
e6
v7
v6 e5
v5
(b) 子图
v2 e1 v1
e7 e6
v6
v3 e9
e10 v4 v7
e11 v5
(c) 支撑子图
10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。
如:v0 ，e1，v1，e2，v2，e3 ， v3 ,…,vn-1 , en ， vn，记作（ v0， v1 ， v2， v3 , …, vn-1 ， vn ），
边，E 表示图 G 的边集合。 例：G =(V，E)
e1
v1
e2
v2
e10
v6 e9
v4 e5 e3
e4
e8 e6 v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作G = (V，E)，连接点的边
记作[vi , vj]，或者[vj , vi]。
E
A
D
B
C
v1
e10
v6 e9
图与网络的基本概念
• 图论﹝Graph Theory﹞是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中 的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来 描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示 相应两个事物间具有这种关系。
• 图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题。
• 德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔河，河中 有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥 相互连接，如下图所示。
v2 V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }，
A= {(v1 , v3) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
v4 v6
(v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
ait=(vit ,vit+1), 则称之为从vi1到vik的路；
初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:第一点和最后一点相同的初等路; 11、图中任意两点之间均至少有一条通路(初等链)，则称此图为连通图，否则称为不连通图。
v3
图2 v5
e1
v1
e2
v2
e10
环
v4
A
e5 e3
e4 二重边
v6 e9
e8 e6 v5 e7 v3
B
E D
C
4、一条边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环。
5、如果两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。 6、一个无环，无多重边的图称为简单图，一个无环，有多重边的图称为多重图。
7、每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为完全图。 有向完全图则是指任意两个 顶点之间有且仅有一条有向边的简单图。
e8 e6 v5 e7 v3
孤立点
v7
定理1 所有顶点次数之和等于所有边数的2倍。 定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。
有向图中，以 vi 为始点的边数称为点vi的出次，用表示
；以 vi为终点的边数称为
点vi的入次，用
表示；vi 点的出次和入次之和就是该点的次。
所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。
在基础图G(D)中对应的点边序列是一条链则称这个点弧序列是D的一条链
若圈中所含的点均不相同，则称此圈为初等圈；所含的边均不相同的圈称为简单圈。
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是一个初等圈，
是简单圈，但不是初等圈。
路：若vi1 ，ai1，vi2，ai2，vi3，ai3 ，,…,vik ,是D中一条链,并且对t=1,2…，k-1,均有
其链长为 n ，其中 v0 ，vn 分别称为链的起点和终点 。
v5 e5
v4
e6 v6 e7 e8 e9
e1
v1
e2
e4 v3 e10
v2 e3
S={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}是一条连接v6、v3的链，链长为6
若链中所含的边均不相同，即点边序列中若只有重复的点而无重复的边，则称此链为简单链； 所含的点均不相同的链即点边序列中若既没有重复的点也无重复的边称为初等链( 也称通路)。
8、以点v为端点的边的个数称为点v 的次（度），记作
。
图中 d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两次）
奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；
悬挂边：与悬挂点连接的边；
孤立点：d(v)=0；
空图：E = Φ，无边图
v1
e10
v6 e9
e1
e2
v2
悬挂点
e5 e3 e4 v4
v5 e5
v4
e6 v6 e7
e8 e9
e10
e4 v3
e1
v1
e2
v2
S1={v6 e6 v5 e7 v1 e8 v5 e5 v4e4 v3}是一条连接v6、v3的简单链，链长为5.
S2={v6 e6 v5 e7 v1 e9 v4 e4 v3}是一条连接v6、v3的初等链
若vi1 ，ai1，vi2，ai2，vi3，ai3 …,vik ,是D中的一个点弧交错的序列,如果
Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论方面的论文，奠基了图论中的 一些基本定理。 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示实体间的关联。
基本概念
一个图是由点集
和 中元素的无序对的一个集合
构成的二元组，记为
G =(V，E)，其中 V 中的元素 叫做顶点，V 表示图 G 的点集合；E 中的元素 叫做