职高数学基础模块各章节复习提纲
第一章集合与充要条件
一、集合的概念
（一）概念
1. 集合的概念：将某些的对象看成一个就构成一个集合，简称为。
一般用表示集合。
组成集合的对象叫做这个集合的。
一般用表示集合中的元素。
2. 集合与元素之间关系：
如果a是集合A的元素，就说a A，记作；
如果a不是集合A的元素，就说a A，记作。
3. 集合的分类：
含有的集合叫做有限集；
含有的集合叫做无限集；
的集合叫做空集，记作。
（二）常用的数集：数集就是由组成的集合。
1. 自然数集：所有组成的集合叫做自然数集，记作；
2. 正整数集：所有组成的集合叫做正整数集，记作；
3. 整数集：所有组成的集合叫做整数集，记作；
4. 有理数集：所有组成的集合叫做有理数集，记作；
5. 实数集：所有组成的集合叫做实数集，记作。
（三）应知应会：
1.自然数：由和构成的实数。
2.整数：由和构成的实数。
偶数：被2整除的数叫做偶数；
奇数：被2整除的数叫做奇数。
3.分数：把平均分成若干份，表示这样的或
的数叫做分数。分数中间的叫做分数线。分数线的数叫做分母，表示把一个物体；分数线的数叫做分子，表示
。
4.有理数：和统称有理数。
5.无理数：的小数叫做无理数。
6.实数：和统称实数。
【几个常用集合的表示方法】
定 义
一般地，如果集合B
A 集合 的元素的元素，那么把集合
B 的子集。
A 叫做集合 如果集合
B 是集合A 中A ，并且 的 元 有 ，那么把B 属于 素的真子集。A 叫做B 一般地，如果两个集， 合的元素那么就说这两个集合
相等。
符号表示 B A （或A B ） B A （或A B ） ）B A （或A B 读 作
B A ）
B A （或 B A ）
B A （或 ————————
图 示
明 确
1. 任何一个集合都是它自身的 。
2. 空集是任何集合的 ；是任何 集合的 。
3. 一个集合中有n 个元素，则它的子集的数目为 ； 真子集的数目为 。
四、集合的运算 （一） 交集
1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A 、B ，由 的 所有元素组成的集合叫做A 与B 的交集。
2. 记作：A B ；读作：A B 。
3. 集合表示：
。
4. 图示：用阴影表示出集合A 与B 的交集。
5. 性质：由交集的定义可知，对任意的两个集合A 、B ，有 （1） ； （2）
；
（3）。
（二）并集
1. 定义：一般地，对于两个给定的集合A 、B ，由 的 所有元素组成的集合叫做A 与B 的并集。
2. 记作：A B ；读作：A B 。
A
B
A
B
A
B
3. 集合表示：
。
4. 图示：用阴影表示出集合A 与B 的并集。
5. 性质：由并集的定义可知，对任意的两个集合A 、B ，有 （1）； （2）
；
（3）。
（二） 补集 1. 全集：
（1）定义：在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的 ， 这个给定的集合叫做全集。 （2）表示：一般用 来表示全集。
（3） 在研究数集时，经常把 作为全集。
2. 补集的定义：如果集合A 是全集U 的 ，那么，由U 中 A 的所有元素组成的集合叫做A 的补集。
3.记作： ；读作： 。
4. 集合表示：
5. 图示：用阴影表示出集合A 在全集U 中的补集。
6. 性质：由补集的定义可知，对任意的集合A ，都有 （1） ； （2） ；
（3） ；
（4） ； （5）
。
五、充要条件 （一）相关概念：
1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题。
2. 命题的表示方法：使用小写英语字母p 、q 、r 、s 等表示命题。
3. 真命题：成立（正确）的命题是真命题。
4. 假命题：不成立（错误）的命题是假命题。
5. “如果......，那么......”命题：一般形式为“如果p ，那么q ”。
6. 题设（条件）：“如果”后接的p 。
7. 结论：“那么”后接的q 。 （二）充要条件： 1. 充分条件：
“如果p ，那么q ”是 命题，而“如果q ，那么p ”是 命题，则称p 是q 的充
A
B
A
U
B
A
B
A
分条件。
记作：p q；读作：由条件p 结论q。
2. 必要条件：
“如果p，那么q”是命题，而“如果q，那么p”是命题，则称p是q的必要条件。
记作：p q；读作：由结论q 条件p。
3. 充要条件：
如果，并且，那么称p是q的且条件，简称充要条件。
记作：p q；读作：p与q。
4. 既不充分又不必要条件：
如果，并且，那么称p是q的既不充分又不必要条件。
第二章不等式
一、比较实数大小的方法
（一）实数的大小与正负
1. 正数零，负数零，正数负数。
2. 两个正数，绝对值大的数；两个负数，绝对值大的数。
3. 正数的和为数，负数的和为数。
4. 同号相乘（除）得数；毅号相乘（除）得数。
5. 互为相反数的两个数之和为；互为倒数的两个数之积为。
（二）数轴
1. 定义：数轴是一条规定了、、的直线。
2. 意义：数轴上的点与实数是的关系。
3. 在数轴上，原点所代表的实数是，原点右边的点所代表的实数是数，原点左边的点所代表的实数是数。
4. 在数轴上，右边的点代表的数总比左边的点代表的数，
即，越往右的点代表的数越，越往左的点代表的数越。
5. 在数轴上，表示下列数的范围：
（1）x≥3；
（2）x <2；
（3）≤x < 3。
（三）比较两个实数大小的方法：比较法。
一般地，对于两个任意的实数a和b，有
二、不等式的基本性质
1. 对称性：。
2. 传递性：。
3. 加法性质：；
。
4. 乘法性质：；
；
；
；
。
三、区间
（一）区间表示的对象：。
由上两点间的一切所组成的集合叫做区间。
这两个点叫做区间。
（二）区间的分类及定义：
1. 有限区间
（1）开区间：端点的区间。
（2）闭区间：端点的区间。
（3）右半开区间：端点的区间。
（4）左半开区间：端点的区间。
2. 无限区间：至少有一个端点的区间。
（1）不存在右端点时，可以用符号表示，读作；（2）不存在左端点时，可以用符号表示，读作。（三）区间、集合与图像的关系
设a、b为任意实数，且a < b，则各种区间表示的集合如下表：区间集合图像
[ a, b ]
( a, b ]
[ a, b )
四、一元一次不等式
1. 定义：含有个未知数且未知数的最高次数是的不等式。
2. 一般形式：(≥0)或(≤0)，其中。
3.
方程或
不等式
解集
的图像
≥
描述法:描述法:
区间表示:区间表示:≤
描述法:描述法:
区间表示:区间表示:
五、一元二次不等式
1. 定义：含有个未知数且未知数的最高次数是的不等式。
2. 一般形式：或，其中。
方程或不等式
解集
的图像
≥
≤
4.解一元二次不等式的基本步骤：
；
形式，并
）将不等式化为一元二次不等式的
1
（
，并解方程；
）设
2
（
（3）根据上表，写出一元二次不等式的解集。
六、含绝对值的不等式
（一）绝对值的概念
叫做该数的绝
的
上，任意一个数所对应的点到
绝对值的含义：在
1.
对值。
。
的绝对值是
数，
，负数的绝对值是它的
正数的绝对值是
2.
。
数，任意两个相反数的绝对值
任意实数的绝对值是
3.
4. 绝对值的符号表示：
5. 将方程的解表示在数轴上： 将不等式的解表示在数轴上： 将不等式的解表示在数轴上：
（二）含绝对值的不等式
1. 解题步骤：
（1）将不等式化为含有绝对值的不等式的一般形式，即
①
或
；②
或
；③
或
。
一般形式为：不等号左侧是 ，右侧是 。 （2含绝对值
的不等式
<
>
解 集
描述法：
描述法：
区间表示： 区间表示：
数轴表示
含绝对值 的不等式 <
>
去符号 含绝对值 的不等式 <
>
去符号
一、函数的概念 （一）函数的概念
1. 概念：在某一个变化过程中有 个变量 和 ，设变量 的取值范围为 ，如果对于 内的每一个 值，按照某个 ， 都有 的值与它对应，那么把 叫做 ，把 叫做 的 。
记作： 。 2. 明确：
x
–1–2–3123
0x –1–2–312
3
0x
–1–2–3123
（1）x叫做，它的取值范围是叫做函数的；
（2）y = f ( x ) 叫做；
时，函数对应的值叫做函数在点处的；
记作：。
的集合叫做函数的。
（3）函数定义中的两个要素是和。
3. 函数定义域的求法：
如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式的的取值范围。
（1）当为整式时，函数的定义域是；
（2）当为分式时，函数的定义域是；
（3）当为偶次根式时，函数的定义域是；
（4）分段函数的定义域是各段自变量取值集合的；
（5）当函数是实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使解析式有意义，还要考虑自变量的。
4. 函数值及值域的求法：
（1）求函数值：只要将x的各个值函数解析式中进行即可；
（2）求函数的值域：所有函数值组成的集合。
（二）函数的表示法
1. 解析法：利用表示函数的方法叫做解析法。
这个叫做函数的。
【明确】求函数解析式的常用方法：待定系数法：已知函数的类型，可根据函数类型设其解析式，再由其他已知条件确定其系数。
正比例函数的一般形式：；
反比例函数的一般形式：；
一次函数的一般形式：；
二次函数的一般形式：。
2. 列表法：利用表示函数的方法叫做列表法。
3. 图像法：利用表示函数的方法叫做图像法。
（1）函数的图像：在中，以函数的自变量x为坐标，函数值y 为坐标的点的集合。
【明确】①图像上每一点的坐标都函数解析式；
②以的每一组对应值x，y为坐标的点都。
（2）作函数图像常用的方法：。
其步骤是：①；②；③。
二、函数的性质
A．函数的单调性
（一）函数的单调性的概念：
随着的而（或）的性质叫做函数的单调性。
设函数在内有意义。
如果对任意的，，当时，
（1）都有成立，那么函数叫做内的增函数，
叫做函数的；
（2）都有成立，那么函数叫做内的减函数，
叫做函数的；
如果函数在区间内是增函数或减函数，那么称函数在区间内具有，区间叫做函数的。
（二）函数的单调性的理解：
1. 函数的单调性是与紧密相关的，即函数的。一个函数在定义域内的不同区间内可以有的单调性。
2. 注意关键词：
（1）对“任意”的“，”，即取特殊值，且必须；
（2）“都有”即只要就一定有或。
3. 不是所有函数都有单调性：函数是没有单调性的；
有些函数在整个定义域内是单调性的；
有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性；
有些函数在整个定义域的不同区间上的单调性。
（三）函数的单调性的图像特点：
对于给定区间上的函数，
1. 函数图像从到，则称函数在该区间上单调递增是增函数；
2. 函数图像从到，则称函数在该区间上单调递减是减函数。
（四）判断函数的单调性：
1. 图像法：作出函数的，根据图像的判断函数的单调性。
2. 定义法：根据函数的单调性的定义判断函数的单调性。其步骤为：
（1）设定自变量：设；
（2）作差变形：作，并通过、等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；
（3）确定大小：确定与的大小；
（4）得出结论：根据得出结论。
（五）函数的单调性的应用：
1. 根据比较的大小；
2. 根据比较的大小；
3. 在给定区间内求函数的值或值。
B．函数的奇偶性
（一）函数的奇偶性的概念：
设函数的定义域为D，如果对于任意的，都有，则（1），那么函数叫做偶函数；
（2），那么函数叫做奇函数。
（二）函数的奇偶性的理解：
1. 函数按奇偶性可分为：、、和
。
2. 讨论函数的奇偶性的一个前提条件：函数的。（1）若函数的，再讨论；（2）若函数的，则这个函数。（3）函数是既奇又偶函数。
（三）函数的奇偶性的图像特点：
1. 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像；
如果一个函数的图像，则这个函数是偶函数。
2. 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像；
如果一个函数的图像，则这个函数是奇函数。
3. 一般地，设点为平面内的任意一点，则
（1）点关于x轴的对称点的坐标为；
（2）点关于y轴的对称点的坐标为；
（3）点关于原点O的对称点的坐标为。
（四）判断函数的奇偶性：
1. 图像法：作出函数的，根据图像的判断函数的奇偶性。
2. 定义法：根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性。其步骤为：
（1）求出函数的；
（2）判断定义域的对称性：
①若定义域，则函数为；
②若定义域，则进行；
（3）比较与：确定，则函数为；
或，则函数为；
或，则函数为。
3. 在公共定义域内：
（1）若函数解析式中只含有x的偶次方，则函数为函数；
（2）若函数解析式中只含有x的奇次方，且，则函数为函数；
若函数解析式中只含有x的奇次方，且，则函数为函数。（五）函数的奇偶性的应用：
1. 利用函数图像的对称性解决问题；
2. 求函数关于原点对称的区间上的函数值或解析式；
3. 函数的奇偶性与单调性的综合问题：主要体现在两个重要的性质；
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性；
（2）偶函数在关于原点对称的区间上的单调性。
三、函数的实际应用举例
（一）分段函数
1. 定义：函数在自变量的取值范围内，需要用的来表示，这种函数叫做分段函数。
2. 分段函数的定义域：就是自变量的各个不同取值范围的。
3. 分段函数的图像：在同一个坐标系中，分别在自变量的各个不同的取值范围内，根据相应的式子作出相应部分的图像。
（二）函数的实际应用
1. 关键问题：
（1）根据已知条件建立；
（2）进行最值计算。
（3）函数的定义域要受到的制约。
2. 主要类型：
（1）图形的面积：
矩形的面积：；
圆的面积：。
（2）营销问题：成本= ；
收入= ；
利润= 。
第四章指数函数与对数函数
一、实数指数幂
（一）n次方根：一般地，如果（且），那么x叫做a的n次方根。
1. 当n为偶数时：
正数a的偶次方根有个，分别用和表示，其中
叫做a的n次算术根；
负数的n次方根。
2. 当n为奇数时：
实数a的奇次方根只有个，记作。
3. 无论n为奇数还是偶数，零的n次方根是。
（二）n次根式：形如（且）的式子叫做a的n次根式，
其中，n叫做，a叫做。
（三）整数指数幂：当且时，
；；
；；。
（四）分数指数幂：利用分数指数幂来表示。
1. 规定：；当有意义，且时，。
其中：，且.
；；；。
2. 当n为奇数时，a的取值范围是；
当n为偶数时，a的取值范围是。
（五）实数指数幂的运算法则：，
；；；。
二、对数
（一）对数定义：如果（），那么b叫做，记作，其中a叫做，N叫做。
（二）指数式与对数式：
形如的式子叫做指数式；形如的式子叫做对数式。
当且，时，在下式中标出相应字母与名称：
（三）常用对数与自然对数：
1. 常用对数：以为底的对数叫做常用对数，简记为；
2. 自然对数：以为底的对数叫做自然对数，简记为。
（四）对数的性质：且
1. ，，；
2. ，，；
3. ，，；
4. ，即和没有对数.
（五）对数的运算法则：且，，
1. ，，
，；
2. ，，
，；
3. ，，
，，
。
三、幂函数、指数函数、对数函数
（一）幂函数
1. 概念：形如（a）的函数称为幂函数。
【明确】幂函数的自变量是数，数是常数。
2. 性质：
（1）定义域：看。
①当a是正整数时，；②当a是负整数时，；
③当a是正分数，且分母为偶数，分子为奇数时，；
当a是正分数，且分母为偶数，分子为偶数时，；
当a是正分数，且分母为奇数时，；
④当a是负分数时，。
（2）值域：由和决定。
（3）单调性和奇偶性：看，具体问题，具体分析。
（二）指数函数
1. 概念：形如（a）的函数称为指数函数。
【明确】指数函数的自变量是数，数是常数。
2.
函数
定义域值域
底数
图像
指数函数的图像一定经过点。