04级群论试题
群论试题及答案
群论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪些条件？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元答案：ABCD2. 以下哪个不是阿贝尔群的性质？A. 群的运算满足交换律B. 群中任意两个元素的乘积仍然在群中C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元答案：B3. 群的阶数是指：A. 群中元素的个数B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的乘积答案：A4. 以下哪个不是子群的性质？A. 子群是群的一个非空子集B. 子群中的元素对群的运算封闭C. 子群包含群的单位元D. 子群的阶数必须小于原群的阶数答案：D5. 群的同态映射满足以下条件：A. 保持运算结构B. 映射到的群与原群是同构的C. 保持单位元和逆元D. 映射是双射答案：A二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述群的定义及其基本性质。
答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件： - 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，有a * b ∈ G。
- 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，有(a * b) * c = a * (b * c)。
- 存在单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，有e * a = a * e = a。
- 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b * a = e。
2. 什么是群的同构映射？请给出一个例子。
答案：群的同构映射是指两个群之间的一个双射函数f: G → H，它保持群的运算结构，即对于任意的a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) * f(b)。
例如，考虑整数加法群(Z, +)和模n的剩余类群(Zn, +)，映射f: Z → Zn，定义为f(k) = k mod n，这是一个同构映射。
3. 解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。
答案：群的正规子群是指满足以下条件的子群N：对于G中的任意元素g和N中的任意元素n，都有g * n * g^-1 ∈ N。
群论期末考试复习题
群论期末考试复习题
一、概念题
1.群、群的阶、群元素的阶、群的生成元、群的秩
2.子群、不变子群
3.阿贝尔群
4.共轭元素和类
5.群的同构、同态
6.固有转动、固有点群、点群
7.群的恒等表示、真实表示、特征标
8.群函数、群空间、群的正则表示
9.等价表示、两个表示等价的充要条件
10.可约表示、完全可约表示
11.无限群、连续群、李群
12.并矢及其运算
13.极射赤面投影
计算题、证明题
1．给出三阶群的乘法表
2．阿贝尔群的不可约表示都是一维的。
3．除恒等表示外，有限群任意不可约表示的特征标对群元素求和等于零。
4．设E是群G的恒源，R和S是群G中的任意元素，R-1和S-1分别是R和S 的逆元，试由群的定义证明：
(1) RR-1 = E
(2) RE = R
(3) 若TR = R, 则 T = E
(4) 若TR = E, 则 T= R-1
(5) (RS)的逆元为S-1R-1
5．试证明，除恒元外，每个元素的阶都是2的群一定是阿贝尔群6．试用正交法求出三角形对称群D3的特征标表
7．证明：两个右陪集SX和SY，要么所含的元完全相同，要么完
全没有共同的元
8．试证明，陪集不包括属于子群的元，并证明陪集不是群。
9．试证明垂直于某轴的面上的镜像操作的并矢σ→→为
u u I →
→→→→→-=2σ 其中，u →
是沿该轴的单位矢量
10．试画出C 4、C 4v 、C 4h 、S 4、D 4的极射赤面投影
C 4 C 4v C 4h S 4
D 4。
第二章群论复习题答案
第二章群论复习题答案1. 群的定义是什么？答：群是一个集合G，配备一个二元运算*，满足以下四个条件：封闭性，即对于任意的a, b属于G，a*b也属于G；结合律，即对于任意的a, b, c属于G，(a*b)*c = a*(b*c)；存在单位元，即存在一个元素e 属于G，对于任意的a属于G，e*a = a*e = a；存在逆元，即对于任意的a属于G，存在一个元素b属于G，使得a*b = b*a = e。
2. 什么是子群？答：子群是群G的一个非空子集H，它本身在G的运算下也是一个群，即满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
3. 群的同构是什么？答：如果存在一个双射函数f: G → H，使得对于任意的a, b属于G，都有f(a*b) = f(a)*f(b)，则称群G和群H是同构的。
4. 什么是正规子群？答：如果群G的子群N满足对于任意的g属于G和n属于N，都有g*n*g^-1属于N，则称N是G的一个正规子群。
5. 群的直积是如何定义的？答：如果有两个群G和H，它们的直积G×H是所有有序对(g, h)的集合，其中g属于G，h属于H，并且定义运算为(g1, h1) * (g2, h2) = (g1*g2, h1*h2)。
6. 什么是群的阶？答：群的阶是指群中元素的数量。
7. 什么是拉格朗日定理？答：拉格朗日定理指出，对于任何有限群G和它的子群H，H的阶能整除G的阶。
8. 什么是群的同态？答：如果存在一个函数f: G → H，使得对于任意的a, b属于G，都有f(a*b) = f(a)*f(b)，则称f是群G到群H的一个同态。
9. 什么是阿贝尔群？答：如果群G的运算满足交换律，即对于任意的a, b属于G，都有a*b = b*a，则称G是一个阿贝尔群。
10. 什么是群的生成元？答：如果群G中的元素g可以通过它的幂次生成整个群，即存在整数n 使得G中的每个元素都可以表示为g的n次幂，那么称g是群G的一个生成元。
《群论》部分习题答案
《群论》部分习题解答版权所有人：Wu TS,2006年4月第一章.预备知识(Chapter1.Preliminary) 4.(Page28)Let S be the set of all n×n symmetric real matrices and in S we define a binary relation∼in the followingA∼B if and only if there exists an invertible matrix C such that B=C AC,where C is the transpose matrix of C.Prove that∼defines an equivalent relation in pute|S/∼|.解答：（1）直接验证∼是S的一个等价关系。
（2）根据线性代数理论，对于任意实对称矩阵A,存在可逆矩阵Q 使得Q AQ是对角矩阵diag{1,1,···,−1,···,−1,0,···,0},简记为Q AQ=E r000−E s0000=Dr,s,其中r+s=r(A).根据惯性定理，其中的r也是由A唯一确定的。
因此，两个n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是r(A)=r(B)且正惯性指数相同。
所以我们得到S/∼={D r,s|0≤r,s and r+s≤n},其中，D r,s={P D r,s P|P∈GL n(R)}.下面计算|S/∼|.(1)满足r=0的D r,s共有n+1个，它们分别是D0,0,D0,1,D0,2,···,D0,n.(2)满足r=1的D r,s共有n个，它们分别是D1,0,D1,1,D1,2,···,D1,n−1.···(n+1)满足r=n的D r,s共有1个，即为D n,0.因此，|S/∼|=n+1j=1j=(n+1)(n+2)2.1第二章.群论(Chapter2.Group Theory)1.(Page49)Prove that both G1={(a ij)n×n|a ij∈Z,det(A)=1}and G2= {(a ij)n×n|a ij∈Q,det(A)=1}are groups under the matrix multiplication.证明:只证明G1是子群。
物理群论试题及答案
物理群论试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 群论中的“群”是指：A. 一组元素B. 一组具有某种运算规则的元素C. 一组具有特定属性的元素D. 一组具有相同性质的元素答案：B2. 群的运算满足以下哪些条件？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 所有元素都有逆元答案：A、B、C、D3. 群的阶是指：A. 群中元素的个数B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的和答案：A4. 子群是指：A. 群中任意两个元素的乘积仍然在群中B. 群中任意两个元素的和仍然在群中C. 群中任意两个元素的差仍然在群中D. 群中任意两个元素的商仍然在群中答案：A5. 群的同态是指：A. 群之间的一种特殊映射B. 群之间的一种一般映射C. 群之间的一种等价关系D. 群之间的一种不等价关系答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 群的单位元是唯一的，并且对于群中的任意元素______，都有______。
答案：a，e * a = a * e = a2. 如果群G的阶为n，则G的子群的阶可以是______。
答案：1, 2, ..., n3. 群的同态映射满足条件：对于任意的a, b ∈ G，有______。
答案：φ(a * b) = φ(a) * φ(b)4. 群的正规子群是指满足______的子群。
答案：对于任意的g ∈ G和H ∈ N，有gHg^(-1) ⊆ N5. 群的直积是指两个群G和H的______。
答案：笛卡尔积三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述群论在物理学中的应用。
答案：群论在物理学中有着广泛的应用，尤其是在量子力学和粒子物理学中。
它可以帮助我们理解和分类物理系统的状态和对称性，以及粒子的变换和守恒定律。
2. 什么是群的表示？答案：群的表示是一种将群的抽象元素映射到线性空间中的线性变换的方法，它使得群的性质可以通过线性代数的工具来研究。
3. 请解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。
02-04级群论试题
三（30 分）如右图(a)所示，矢量 a1、a2、a3 为正三角形 中的三个单位矢量，O 为正三角形中心，满足 a1＋a2＋ a3＝0。 1． 选择三个矢量中的任意两个作为基， 给出点群 C3v 各 群元的表示矩阵。 2． 写出 C3v 群的特征标表， 判断 1 中得到的表示是否可
a2
o
ey a1
o
ex
a3 (a) (b)
约。 3． 按图(b)所示的正交单位基矢量 ex、ey 作为表示空间的新基，求联系这两套基{ex, ey}与{a1, a2}的变换矩阵 T：(ex ey)＝(a1
T11 T12 a2) T 。 21 T22
4． 用相似变换 T 求出以 ex、ey 为基的 C3v 各群元的表示矩阵。 四（30 分）D3 点群的乘法表如下，试用投影算符方法（可利用本试题第三大题第 1 小题的结 果）将群空间 VD3 的 6 个自然基 e、d、f、a、b、c 组合成对称化的新基(不考虑正交归一)， 并求出群元在新基上的表示矩阵（每类写出一个群元的表示矩阵即可） 。
物理学院 2002 级研究生《群论》期末试卷 （2003 年 1 月）
姓名 学号 成绩
一. （25 分） (1) 一个集合构成群必须具备哪四个要素？什么是群的子群、陪集和类。试写出平面正三角 形对称群即二面体群 D3 的所有群元、类分割和所含的所有子群，并用其中一个子群写出 D3 群的左、右陪集串分割。 (2) 什么是群的同态和同构，两者之间有何区别？二面体群 D3 与什么群同态，写出其同态核 以及相应的商群。 (3) 对于正三角形 ABC 对称群 D3 ，写出三角形的一个顶点 A 的 D3 轨道 CA、以及 D3 对 A 点 的迷向子群 GA、 迷向子群 GA 的左陪集及相应的轨道点， 左陪集数目与轨道 CA 上的轨道 点数目有什么关系？ (4) 证明：阶为 n 的有限群 G 同构于 n 阶置换群 S n 的一个子群。 二． （25 分） (1) 简述什么是群表示、等价表示和不可约表示。 (2) 简述有限群表示的正交性定理和完备性定理，有限群的不等价不可约表示的维数和群的 阶有什么关系，群的不等价不可约表示的数目如何确定。 (3) 写出 3 阶循环群 Z 3 的左正则表示和右正则表示、以及 Z 3 的群函数空间的基底。 (4) 已知二面体群 D2 C2 C2 ，为两个轴互相垂直的 2 阶转动群 C 2 的直积，试用群表示的直 积求 D2 群的不等价不可约表示和特征标表，检验特征标的第一和第二正交关系；用求出的 不可约表示随意构造一个 D2 的 4 维表示，并用特征标方法检验它是一个可约表示。 三．(20 分) (1) 简答第一类点群和第二类点群有何区别，如何用第一类点群确定第二类点群。 (2) 试列举出所有类型的第一类点群和第二类点群、其群元构成、及其标记符号，简述如何确 定第一类点群的共轭类。 (3) 写出二面体群 D4 、D5 和四面体群 T 的所有群元和共轭类分割，求出与之相应的第二类点 群及其熊夫利符号。 四．(30 分) (1) 写出 3 阶置换群 S 3 的所有群元，将每个群元写成相邻数码对换的乘积形式，并求 S 3 的所 有共轭类所包含的元素（即 S 3 的类分割） 。 (2) 画出 S 3 群的所有杨图和每个杨图的所有标准盘，求出每个标准盘的杨算符，并用其中的 一个检验杨算符是 S 3 的群代数的本质幂等元。 (3) 求出 S 3 群的所有不等价不可约表示。 （可用杨算符方法，亦可直接写出其半正则表示或标 准表示，三种方法任选一种求出即可。 ） (4) 试求二维酉群 U (2) 在二阶张量表示空间上的一维 2 级不可约表示。
第二章群论复习题
第二章群论复习题一、填空题1、集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件： 。
2、设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。
则[][]⇔=b a 。
3、设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群()a G 的阶等于 。
4、设G =()a 是12阶循环群，则G 的生成元是 。
5、3S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一切右陪集 。
6、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha 。
7、设G =()a 是循环群，则G 与模n 的剩余类加群同构的充要条件是 。
8、设G =)(a 是10阶循环群，则G 的子群的个数为_________.9、在5次对称群5S 中，.______)15423(_____,)125)(13(1==-10、设G =)(a 是15阶循环群，则G 的子群的个数为_________.11、整数加群Z 是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____.二、判断题1、（ ）若B A ,都是群G 的子群，则B A 也是G 的子群。
2、（ ）交换群的子群是循环群。
3、（ ）循环群的同态象是循环群。
4、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。
5、（ ）有单位元且满足消去律的有限半群是群。
6、（ ）交换群的子群是不变子群。
7、（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群8、（ ）群G 的指数是2的子群一定是不变子群。
三、计算题1：将置换(456)(567)(761)σ=写成不相交循环置换的乘积，并求σ的阶； 2：求三次对称群3S 的所有子群。
3：计算置换1211n n n σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的奇偶性。
4、求解模20剩余类20Z 的所有子群。
四、证明题1：令G 是实数对(,),0a b a ≠的集合，在G 上定义(,)(,)(,)a b c d ac ad bc =+，证明G 是群2：设(),,,,1a b ax b G f x a b c d R c d cx d ⎧⎫+⎪⎪==∈=⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，证明G 关于变换的乘法构成群。
群论试题
群论试题一、名词解释：（5’*6）1、群：有限或无限个数学对象（称为元或元素）A 、B 、C …..的集合{}.......C B A 、、，其中有一个与次序有关的运算方法（称为群乘），能从集合中任意两个元A 、B 得出确定的元C （记为AB=C ），若满足下面四个条件，则这一集合称为群，用G 表示，集合中的元素称为群元。
（1）封闭性：集合中任意两个元的乘积（包括自身相乘）都在此集合之内； （2）结合律成立：A(BC)=(AB)C ；（3）单位元存在：集合中存在单位元E ，使集合中的任意元A 有 EA=AE=A ； （4）集合中每一元A 有逆元A -1存在，满足A -1A=A A -1=E 以上就是群的定义。
2、子群：群G 中的一些元的集合S ，若在相同的群定义下又构成群，则S 称作群G 的子群。
3、正规表示：把群元空间作为表示空间，群元本身作为此空间的变换算符。
于是算符（群元）作用在这个空间的基失（也是群元）上的矩阵，就是这个群的一个表示。
这个表示称为这个群的正规表示。
4、舒尔引理：若有一非零矩阵A 同一个群的某一表示中的所有矩阵对易， （1） 若此表示是不可约表示，则A 必为单位矩阵的常数倍；（2） 若A 不是单位矩阵的常数倍，则表示必为可约的。
当A 是厄米矩阵时，约化矩阵就是使A 对角化的矩阵。
5、不可约表示特征标的完全性定理：lm lm i ri l i h g C C δχχ=∑=)()(1* 这就是特征标的完全性关系6、不可约表示特征标的正交性定理：一个群的两个不等价不可约幺正表示为i GD 和j G D ，相应的特征标)(R i χ和)(R j χ必满足 g R R ij j GR i δχχ=∑∈)()(*或写成g C C h ij j Ci C δχχ=∑)()(*二、证明（20’）7、 现在给置换操作⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c ba 321一个新的定义，把放有东西①的位置改放东西a1，把放有东西②的位置改放东西b1等等〔其中a ，b ，c 也是东西1,2,3的一中排列〕.证明：﹝1﹞全部新的置换操作仍服从原列表. ﹝2﹞操作结果与意义跟原定义相同.解：E=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 321； A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b c 321 ； B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b ca 321； C=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c a b 321； D=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a c 321； F=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a cb 321EE=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 321=E ； EC=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c a b 321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c ab321=C 同理可得：EB=B ；EA=A ；ED=D ；EF=F ； CE=C ；CC=E ；CB=F ；CA=D ；CD=A ；CF=B ； BE=B ；BC=D ；BB=E ；BA=F ；BD=C ；BF=A ； AE=A ；AC=F ；AB=D ；AA=E ；AD=B ；AF=C ； DE=D ；DC=B ；DB=A ；DA=C ；DD=F ；DF=E ； FE=F ；FC=A ；FB=C ；FA=B ；FD=E ；FF=D ； 则全部新的置换群操作仍服从原群表.﹝2﹞相当与把东西的位置变化了，所以结果与意义与原定意义相同. 三、计算题（25’*2） 8、 试写出d D 2群的正规表示。
大学数学群论练习题及答案
大学数学群论练习题及答案一、群论概述群论是数学中极为重要的一个分支，它研究了集合和代数结构之间的关系。
群论的应用广泛，涉及到代数、几何、计算机科学等领域。
本文将介绍一些大学数学群论的练习题，并提供答案供读者参考。
二、基本概念1. 定义：集合G上的一个二元运算*，如果满足结合律、存在单位元和逆元，那么称< G, *>为一个群。
2. 练习题：a. 证明：一个群的单位元唯一。
答案：假设有两个单位元e1和e2，那么e1*e2=e1 (e2作为单位元)，但同时由于e1*e2=e2 (e1作为单位元)，所以e1=e2。
因此，群的单位元是唯一的。
b. 证明：群中的任意元素的逆元唯一。
答案：假设有两个逆元a和b，那么a*a^-1=e (a的逆元)，同时a*b^-1=e (b的逆元)。
根据群的结合律，我们有a^-1*(a*b^-1)=(a^-1*a)*b^-1=e*b^-1=b^-1。
因此，a^-1=b^-1，逆元是唯一的。
三、群的性质1. 半群：若集合G上的二元运算*满足结合律，但不存在单位元和逆元，则称< G, *>为一个半群。
2. 幺半群：若集合G上的二元运算*满足结合律和幺半性质（存在单位元），但不存在逆元，则称< G, *>为一个幺半群。
3. 练习题：a. 判断以下集合在给定的运算下是半群、幺半群还是群：i) 整数集合Z上的加法运算。
答案：整数集合Z上的加法运算满足结合律，存在单位元0，但不存在逆元。
因此，< Z, + >是一个幺半群。
ii) 实数集合R上的减法运算。
答案：实数集合R上的减法运算满足结合律，不存在单位元和逆元。
因此，< R, - >是一个半群。
b. 证明：每个群都是幺半群。
答案：对于一个群< G, *>，它满足结合律、存在单位元和逆元，因此也满足幺半性质。
所以每个群都是幺半群。
四、同态与同构1. 定义：设有两个群< G, *>和< H, @>，若存在一个满射f：G→H，且对任意的g1、g2∈G有f(g1*g2) = f(g1)@f(g2)，则称f为从群< G, *>到< H, @>的同态映射。
群论试题（样题2007至2008）
群论试题（样题2007至2008）（ 2007 至 2008 学年第1学期）一、证明二个矩阵010,100i i ???? ? ?-????按其所有可能的乘积和幂次得到的集合构成群。
列出此群的乘法表，指出此群的阶数，各元素的阶数。
群所包括的各个类及不变子群，写出不变子群的商群。
指出商群和什么群同构。
二、对P 型非固有点群nv C 群来说，它是n C σ 且通过n C 轴，且,k v n G C G σ∈∈，此处σ是镜面。
现考虑2v C 群（1）写出它的所有群元，所有类；（2）求出它的所有不等价不可约表示及其特征标；（3）以(),,xy xz yz 为基，求2v C 的表示，并判断所得表示是否可约。
若可约，请约化之。
对3D 群，导出直积E E 的对称与反对称直积部分，并计算对称与反对称直积部分的特征标。
三、证明（1） SU(2)群和SO(3)群之间具有二对一的同态关系；（2）*SO(3)群中具有相同转角的元素属于同一类，并由此求出SO(3)不可约表示的特征标。
四、试求旋量场(S=1/2)的在SO(3)群作用下的变换算符()12P R ，并用欧拉角表示出来。
五、（1）用{}t α 代表具有转动和平移的空间操作，即{}r t r r t αα'==+ 。
证明这样的操作构成群（空间群）；（2）证明平移群是空间群的不变子群；（3）求平移群的不可约表示及其特征标。
六、*线性变换cos sin sin cos x x y a y x y bθθθθ'=-+??'=++?构成群，a 、b 和θ是群参数。
它把(),,1T x y 变成(),,1T x y ''的变换矩阵是cos sin sin cos 001a b θθθθ-?? ? ? ??。
试求该群的无穷小生成元，并计算所求生成元之间的对易关系。
七、（附加）设()220?2H eU r m =-?- ，()U r 是球对称的势。
群论试题及答案
群论试题及答案# 群论试题及答案试题一：群的定义与性质问题：定义什么是群，并说明群的基本性质。
答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于G中的任意两个元素a, b，它们的运算结果a * b也在G中。
2. 结合律：对于G中的任意三个元素a, b, c，有(a * b) * c = a *(b * c)。
3. 单位元：存在一个元素e在G中，使得对于G中的任意元素a，有e * a = a * e = a。
4. 逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b在G中，使得a *b = b * a = e。
试题二：子群的概念问题：给出子群的定义，并给出一个例子。
答案：子群是群G的一个非空子集H，使得对于H中的任意两个元素a, b，它们的运算结果a * b也在H中，并且H在群运算下封闭。
例如，考虑整数集合Z和加法运算，2Z = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}是Z的一个子群。
试题三：群的同态与同构问题：解释群的同态和同构，并给出它们的区别。
答案：群的同态是一个映射φ：G → H，其中G和H是两个群，满足对于G中的任意两个元素a, b，有φ(a * b) = φ(a) * φ(b)。
同构则是同态映射的一种特殊情况，它还是一个双射（即一一对应且覆盖H的所有元素）。
区别在于同态映射可能不是双射，而同构映射要求映射是一一对应的，并且是满射。
如果存在一个群同构映射，我们说这两个群是同构的。
试题四：阿贝尔群问题：定义阿贝尔群，并给出一个例子。
答案：阿贝尔群（或交换群）是一个群G，其中群的运算满足交换律，即对于G中的任意两个元素a, b，有a * b = b * a。
例如，整数集合Z在加法运算下构成一个阿贝尔群。
试题五：群的阶问题：解释群的阶，并给出一个例子。
答案：群的阶是群中元素的数量。
例如，集合{1, -1}在乘法运算下构成的群的阶是2，因为只有两个元素。
试题六：群的生成元问题：解释群的生成元，并给出一个例子。
群论自测练习
2.第二章群论自测练习(共10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 群论自测练习一、概念解释1. 置换2. 群的方程定义 3群的公理化定义 4. 群的阶 5.循环群 6. 群的指数二、判断题1.对于群G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。
2.任何一个子群都同一个变换群同构。
3. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ⋃也为G 的子群。
（ ）4. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。
（ ）5.4S 的置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321π是一个4—循环置换。
6. 群G 中元素a 的逆元存在，但不一定唯一。
三、选择题1. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。
A. ),(+NB. ),(+QC. ),(*+Z , 其中是非零整数集合D. ),(+C2. 设e 是群G 的单位元，b a ,是G 的两个元素，则（ ）。
A. 111)(---=b a abB. 222)(---=b a abC. 若e a =2，则1-=a aD.ba ab =3.精确到同构, 4阶群有( )个。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 以下结论正确的是 ( )。
A.全体非零整数对普通乘法作成一个群B.全体奇数对普通加法作成一个群C.实数域上全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群D.、实数域上行列式等于1的全体n 阶矩阵对普通乘法作成一个群5. 若,H K 分别是群G 的2011阶, 2012阶子群, 则K H 是群G 的( ) 。
阶子群 阶子群阶子群 D.⨯阶子群6. 以下结论正确的是 ( )。
A.无限群中除了单位元外其余元的阶都是无限B.无限群中至少有一个无限阶元C.有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数D.有限群中两个有限阶元的乘积可能是无限阶元7. 在4次对称群4S 中，阶等于2的元的个数是( )。
群论考试试题及答案
1、 一个集合构成群必须具备哪四个要素？什么是群的子群，陪集群和类。
本题书上可找到，略。
2、 试写出平面正三角形对称群即二面体群D3群的所有群元。
类分割和所含的所有子群，并且用其中一个子群写出D3群的左右陪集分割串。
解：D3={E,A,B,C,D,F} 其中，E ：恒等操作 A ：绕轴1旋转pai B ：绕轴2旋转pai C ：绕轴3旋转pai D ：绕Z 轴旋转2pai/3 F ：绕Z 轴放置4pai/3子群：{E}、{E ，A}、{E ，B}、{E ，C}、{E ，D ，F}、{E ，A ，B ，C ，D ，F} 类：{E}、{A ，B ，C}、{D ，F} 取H1={E ，A}，则DH1={D ，C}，FH1={F ，B}，故左陪集分割串为：{D ，C}、{F ，B} H1D={D ，B}，H1F={F ，C}，故右陪集分割串为：{D ，B}、{F ，C}3、 证明所有实数在数的加法运算下构成的群与所有正实数在数的乘法运算下构成的群同构。
首先，设所有实数S 的集合为G ，于是，集合对元素的加法运算是封闭的，数的加法满足结合律，实数0是此集合的恒元，-S 仍是实数，它是S 的逆元，因此，集合G 构成群，称为实数加法群；其次，设所有正实数R 的集合为H ，于是，集合对元素的乘积是封闭性的，数的乘积满足结合律，正实数1是此集合的恒元，R 的倒数1/R 仍为正实数，它是R 的逆元，因此，集合H 构成群，称为正实数乘法群；最后，通过指数函数建立群H 与G 的元素一一对应关系，且这种关系对元素的乘积保持不变。
R=e S R ’=e S ’ RR ’=e S+S ’因此，群H 与G 同构。
4、 证明由满足232()A B AB E ===的A,B 二元素生成的一个群，并写出其乘法表。
本题，老师课件上有原题，略。
5、 简述什么是群表示，等价表示和不可约表示。
教材中有原述，略。
6、 写出3阶置换群S3的所有群元，将每个群元写成相邻数码对换的乘积形式，并求出S3的所有共轭类所包含的元素（即S3的类分割）。
2004-2005学年第一学期期末考试试卷(B卷)
武汉大学
2004－2005学年第一学期期末考试试卷（B卷）
马克思主义哲学原理（上）
（哲学专业2004级）
一、名词解释（每小题5分，共20分）
1．唯心主义
2．不可知论
3．一元论
4．辩证法
二、问答题（每小题10分，共40分）
1．恩格斯是怎样概括哲学基本问题的？有什么意义？
2．马克思主义哲学意识观的基本内容是什么？
3．什么是对立统一规律？
4．感性认识和理性认识的辩证关系是什么？
三、论述题（共40分）
马克思曾经指出：“人的思维是否具有客观的真理性，这不是一个理论的问题，而是一个实践的问题。
人应该在实践中证明自己思维的真理性，即自己思维的现实性和力量，自己思维的此岸性。
关于思维——离开实践的思维——的现实性或非现实性的争论，是一个纯粹经院哲学的问题。
”
仔细阅读马克思这段论述，结合本学期所学的内容，回答下列各题：
1．马克思为什么说人的思维真理性是一个实践问题？（12分）
2．纯粹经院哲学地对待人的认识和真理，其基本错误何在？（12分）
3．如何理解马克思在真理问题上的革命变革及其真正意义？（16分）。
04级群论试题
04级群论试题物理学院04级研究生群论试题（2005年1月）一（30分）1.简述有限群表示的正交性定理和完备性定理；如何确定一个群的不等价不可约表示的数目，不可约表示的维数与群的阶有什么关系。
2.简述由第一类点群求出所有第二类点群的一般方法；写出二面体群D4和D5的所有群元及共轭类分割；写出由D4得到的第二类点群和其熊夫利符号。
3.简述由杨图、杨盘以及杨算符的方法求置换群的所有不等价不可约表示的一般原理和方法；求出Sn群的杨图[1n]对应的不可约表示。
二（10分）对于一个任意n阶群，求出其正则表示的特征标；若该群的所有不等价不可约表示的维数为1,2,,q，试证明12qn。
三（30分）如右图(a)所示，矢量a1、a2、a3为正三角形中的三个单位矢量，O为正三角形中心，满足a1＋a2＋a3＝0。
1．选择三个矢量中的任意两个作为基，给出点群C3v各群元的表示矩阵。
2．写出C3v群的特征标表，判断1中得到的表示是否可a3(a)(b)222a2oeya1oe某约。
a2}的变换矩阵T：(e某ey)＝(a1a2)T11T21T12T224．用相似变换T 求出以e某、ey为基的C3v各群元的表示矩阵。
四（30分）D3点群的乘法表如下，试用投影算符方法（可利用本试题第三大题第1小题的结果）将群空间VD3的6个自然基e、d、f、a、b、c组合成对称化的新基(不考虑正交归一)，并求出群元在新基上的表示矩阵（每类写出一个群元的表示矩阵即可）。
D3群乘法表eabcdfeeabcdfaaefdcbbbdefacccfdebaddbcafeffcabed五．（选做题）设一量子体系的哈密顿群为点群D4，波函数某f(r),yf(r),zf(r)对应该体系的一个三重简并能级。
1．求该能级所包含的不可约表示，属于偶然简并还是必然简并？2．讨论在C4对称性的微扰作用下该能级的简并分裂情况。
物理学院2003级研究生《群论》期末试卷一（25分）1.一个集合构成群必须具备哪四个要素？简述什么是子群、陪集和类并举例说明。
群论习题
群论习题第一章：群的基本概念*1.1下列定义了乘法运算的集合，哪些构成了群，哪些不构成群，并说明理由。
（1）在复数加法下全体复数的集合（2）在矩阵乘法下所有幺正矩阵的集合（3）在数的减法下所有整数的集合（4）在数的乘法下所有正实数的集合1.2如果某有限群的任一元素皆满足e f f =•,证明该群是Abel 群。
提示：任二群元a 和b ：()a b b b a a b e a b •=•••=••=•2a 。
1.3验证矩阵集合：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤00,00,0110,00,00,10012222ωωωωωωωω，其中32πωi e =在矩阵乘法下构成群，并且与3D 群同构。
提示：先写出该集合的乘法表，便可证得其自封闭性，并能找每个元素的逆元和单位元。
再和3D 群的乘法表对比就可发现同构关系。
1.4验证集合()()()()群）群（注：改群成为之下构成在乘法为光速Lorentz Abel c L L L c c c c c I 2212133212221,,,1111υυυυυυυυυυυυυ++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫<<-⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤---=提示：只需证明c c <<-3υ条件成立，则()3υL 也必属于该集合，得到的集合的封闭性。
0=υ时L(0)对应单位元，3υ中的2υ和1υ的地位对称，所以()()()()1221υυυυL L L L =。
*1.5证明群的任何两个左陪集或者完全相等，或者没有任何公共元素。
1.6证明有限群G 的非空子集H 为子群的充要条件是：若a,b ∈H ，则ab ∈H 。
提示：易证必要条件成立，证充分条件时，要用到：c=a,c=b 则cc ∈H ，进而c m ∈H （m 为正整数）。
*1.7证明指数为2的子群必是正规子群。
提示：先要理解子群指数这一概念*1.8证明群阶为质数的有限群必为Abel 群，并且必为循环群。
第二章群论复习题
第二章群论复习题群论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合上的代数结构，特别是满足特定条件的集合和其上的运算。
以下是对群论的一些基本复习题，以帮助学生巩固和复习相关知识。
1. 群的定义：给出群的四个基本条件，并举例说明哪些集合和运算可以构成群。
2. 子群：解释什么是子群，并给出一个群的子群的例子。
3. 群的运算：说明群的运算必须满足封闭性、结合律、单位元存在以及每个元素都有逆元。
4. 群的同态和同构：定义群的同态和同构，并给出一个群同态的例子。
5. 循环群：解释什么是循环群，并给出一个循环群的例子。
6. 阿贝尔群：定义阿贝尔群，并说明所有循环群都是阿贝尔群。
7. 群的阶：解释群的阶是什么，并给出如何计算一个群的阶。
8. 拉格朗日定理：陈述拉格朗日定理，并解释它在群论中的重要性。
9. 正规子群和商群：定义正规子群和商群，并给出一个例子说明如何构造一个群的商群。
10. 群的表示：简要介绍群的表示是什么，以及它在数学和物理学中的应用。
11. 群的直积和自由群：解释群的直积和自由群的概念，并给出一个群的直积的例子。
12. 群的简单性：定义什么是群的简单性，并给出一个简单群的例子。
13. 群的分类问题：简要介绍有限群的分类问题，并说明为什么这是一个重要的数学问题。
14. 置换群：解释置换群的概念，并说明它在群论中的作用。
15. 群的生成集：定义群的生成集，并给出一个群的生成集的例子。
这些问题覆盖了群论的基本概念和理论，通过解答这些问题，学生可以加深对群论的理解，并为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
希望这些复习题能够帮助学生更好地掌握群论的知识。
《群论》点群习题
第4章点群习题1．设O是三维实正交群O(3, R)的一个元素，C k(θ)和S k(θ)分别为空间转动和转动反射，ε＝det O，证明：O C k(θ)O-1＝CεOk(θ), O S k(θ)O-1＝SεO k(θ).2．设一点群有4阶轴C4，和过C4的反射面σv，证明：必存在4个过C4的反射面。
3．设g＝{T a, O}（其中T a为平移，O为实正交变换）是三维欧几里德群E(3)的一个元素，求g的逆元素g-1。
(欧几里德群E(3)是由所有保持R3中任意两点距离不变的变换构成的群。
)4．设点群有奇数阶转动轴S2n+1，证明：必存在独立的转动轴C2n+1和水平反射面σh。
5．证明：4n阶转动反射轴S4n不含反演元素I。
6．求出二维实空间中所有点群。
7．证明S n群当n为奇数时等于C nh群。
8．（1）在C3群中，增加空间反演元素，构成什么群？（2）在C5v群中，增加水平反射面σh，构成什么群？（3）在C3h群中，增加转动反射轴S6，构成什么群？（4）在D3d群中，减去转动反射轴S6, 构成什么群？9．求出D6群的全部不等价不可约表示，并给出其特征标表。
10. 求出C4h群的全部不等价不可约表示，并给出其特征标表。
11. 求出D4d群的全部不等价不可约表示，并给出其特征标表。
12.确定下列分子所属点群：(a)CHFClBr(b) H2O2(c) H2O(d) NH3(e) 无对称中心的线形分子(f) 反式的CHCl=CHCl (g)反式CHClBr-CHClBr(h)部分交错式的CH3-CH3(i)三氟化硼（BF3）(j)有对称中心的线形分子(k)丙二烯（CH2=C=CH2）(l)交错式乙烷（CH3-CH3）(m)CH4（n）SF6。
群论习题及答案 群论讲义课件
[ 答案: 因为 F 中没有 23, 所以不能由P123 F 可得 13 ]
*
= (31/2/3) 4 (1/2) (31/2/2) sin cos
= sin cos
[ 将此归一化得 23 = 2 1/2 cos sin , 或 2-1/2 sin cos ]
讨论 :
6
[ 问题1: P223 F = P123 F = 0 说明什么? ]
[ 答案: 说明 F = sin2 中不含有D3 群二维不可约表示D3 的第二
[ 问题4: 还有什ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ途径可以得到 23 ? ]
[ 答案: 先由 P113 F = P113 sin2 得 13 = 2-1/2 ( sin2 - cos2 ),
再由 P213 13 得 23 = 2 1/2 cos sin ]
[ 问题5: 由 P213 F 可得 23, 是否可由P123 F 可得 13 ? 为什么? ]
= ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 120o + )
+ sin2 ( + 120o ) - sin2 ( - 120o ) ] = 0
*
P213 F = ( 31/2 / 6 ) ( PB - PC - PD + PF ) F
4
= ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 240o - )
群论及其应用习题及答案
2 习题: 试将由 D3 群二维不可约表示 D3 的矩阵元构成的投影算符
P223 , P213 与 P123 作用到函数 F = sin2 上, 求 D3 的一组基矢 13 和 23. 并结合课上介绍的 P113 对 F 作用的结果一起进行 讨论 *
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物理学院04级研究生群论试题
（2005年1月）
一（30分）
1. 简述有限群表示的正交性定理和完备性定理；如何确定一个群的不等价不可约表示的数
目，不可约表示的维数与群的阶有什么关系。
2. 简述由第一类点群求出所有第二类点群的一般方法；写出二面体群4D 和D 5的所有群元及
共轭类分割；写出由4D 得到的第二类点群和其熊夫利符号。
3. 简述由杨图、杨盘以及杨算符的方法求置换群的所有不等价不可约表示的一般原理和方
法；求出S n 群的杨图[1n ]对应的不可约表示。
二（10分）对于一个任意n 阶群，求出其正则表示的特征标；若该群的所有不等价不可约表示的维数为q s ,,s ,s 21，试证明n s s s q =+++2
2
22
1 。
三（30分）如右图(a)所示，矢量a 1、a 2、a 3为正三角形中的三个单位矢量，O 为正三角形中心，满足a 1＋a 2＋a 3＝0。
1． 选择三个矢量中的任意两个作为基，给出点群v C 3各
群元的表示矩阵。
2． 写出v C 3群的特征标表，判断1中得到的表示是否可
约。
3． 按图(b)所示的正交单位基矢量e x 、e y 作为表示空间的新基，求联系这两套基{e x , e y }与{a 1,
a 2}的变换矩阵T ：(e x e y )＝(a 1 a 2)⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛2221
1211T T T T 。
4． 用相似变换T 求出以e x 、e y 为基的v C 3各群元的表示矩阵。
四（30分）D 3点群的乘法表如下，试用投影算符方法（可利用本试题第三大题第1小题的结
果）将群空间V D 3的6个自然基e 、d 、f 、a 、b 、c 组合成对称化的新基(不考虑正交归一)，并求出群元在新基上的表示矩阵（每类写出一个群元的表示矩阵即可）。
D
群乘法表
(b)
e y
e x
3
a a 1
(a)
五．（选做题）设一量子体系的哈密顿群为点群4D ，波函数)r (zf ),r (yf ),r (xf 对应该体系的一个三重简并能级。
1． 求该能级所包含的不可约表示，属于偶然简并还是必然简并？ 2． 讨论在4C 对称性的微扰作用下该能级的简并分裂情况。
物理学院2003级研究生《群论》期末试卷
一（25分）
1. 一个集合构成群必须具备哪四个要素？简述什么是子群、陪集和类并举例说明。
2. 什么是群的同态和同构？试举例说明群的同态，并就所举例子写出同态核和相应的商群。
3. 证明所有实数在数的加法运算下构成的群与所有正实数在数的乘法运算下构成的群同构。
二（25分）
1. 简述什么是群表示和有限群表示的正交性定理，有限群的不等价不可约表示和群的阶有什
么关系，群的不等价不可约表示的数目如何确定。
2. 设正三角形三个顶点的坐标为321 , ,r r r , 试以函数)||exp()(2i i r r r --=ϕ（其中3 ,2 ,1 =i ）
为表示空间的基底，求二面体群D 3的群表示；该表示包含有哪些不可约表示。
用特征标
投影算符方法求出该函数空间的对称化基函数，并写出D 3群在该函数空间新基底下的群表示（写出各类中的一个元素的表示矩阵即可）。
附D 3群的特征标表：
三（20分）
1． 如何由第一类点群确定第二类点群，请列举出所有类型的点群(说明群如何构成即可，不
一定写出群元)；写出C 6、D 8群的所有群元和共轭类分割；与C 6、D 8群同构的第二类点群有哪些，写出它们的熊夫利符号。
2． 求二面体群D 6的所有不等价不可约表示及特征标表。
四（22分）
1. 将置换群S 6的一个元素(1245)(4326)写为没有公共数码的轮换形式，写出其轮换结构(ν)
并计算该置换所属类的元素个数；由与(ν)相应的杨图[λ]计算其对应不可约表示的维数；S 6群共有多少个不等价的不可约表示。
2. 求置换群S 3的所有不等价不可约表示及特征标表。
（求不可约表示时，写出群中各共轭类
的一个元素的表示矩阵即可。
）
五（8分） (任选一小题)
已知一个量子系统的哈密顿算符的群为C 4v ,该群的特征标表如下：
1. 54写出分裂后能级所属的不可约表示。
2. 试求该系统由不可约表示A 2标记的能级在含时电偶极矩微扰的作用下能否跃迁到由A 3标
记的能级。
物理学院2002级研究生《群论》期末试卷
（2003年1月）
姓名 学号 成绩
一. （25分）
(1) 一个集合构成群必须具备哪四个要素？什么是群的子群、陪集和类。
试写出平面正三角
形对称群即二面体群3D 的所有群元、类分割和所含的所有子群，并用其中一个子群写出3D 群的左、右陪集串分割。
(2) 什么是群的同态和同构，两者之间有何区别？二面体群3D 与什么群同态，写出其同态核
以及相应的商群。
(3) 对于正三角形ABC ∆对称群3D ，写出三角形的一个顶点A 的3D 轨道C A 、以及3D 对A 点
的迷向子群G A 、迷向子群G A 的左陪集及相应的轨道点，左陪集数目与轨道C A 上的轨道点数目有什么关系？
(4) 证明：阶为n 的有限群G 同构于n 阶置换群n S 的一个子群。
二．（25分）
(1) 简述什么是群表示、等价表示和不可约表示。
(2) 简述有限群表示的正交性定理和完备性定理，有限群的不等价不可约表示的维数和群的
阶有什么关系，群的不等价不可约表示的数目如何确定。
(3) 写出3阶循环群3Z 的左正则表示和右正则表示、以及3Z 的群函数空间的基底。
(4) 已知二面体群222C C D ⊗=，为两个轴互相垂直的2阶转动群2C 的直积，试用群表示的直积求2D 群的不等价不可约表示和特征标表，检验特征标的第一和第二正交关系；用求出的不可约表示随意构造一个2D 的4维表示，并用特征标方法检验它是一个可约表示。
三．(20分)
(1) 简答第一类点群和第二类点群有何区别，如何用第一类点群确定第二类点群。
(2) 试列举出所有类型的第一类点群和第二类点群、其群元构成、及其标记符号，简述如何确
定第一类点群的共轭类。
(3) 写出二面体群4D 、D 5和四面体群T 的所有群元和共轭类分割，求出与之相应的第二类点
群及其熊夫利符号。
四．(30分)
(1) 写出3阶置换群3S 的所有群元，将每个群元写成相邻数码对换的乘积形式，并求3S 的所
有共轭类所包含的元素（即3S 的类分割）。
(2) 画出3S 群的所有杨图和每个杨图的所有标准盘，求出每个标准盘的杨算符，并用其中的
一个检验杨算符是3S 的群代数的本质幂等元。
(3) 求出3S 群的所有不等价不可约表示。
（可用杨算符方法，亦可直接写出其半正则表示或标
准表示，三种方法任选一种求出即可。
）
(4) 试求二维酉群)2(U 在二阶张量表示空间上的一维2级不可约表示。