04级群论试题

物理学院04级研究生群论试题

（2005年1月）

一（30分）

1. 简述有限群表示的正交性定理和完备性定理；如何确定一个群的不等价不可约表示的数

目，不可约表示的维数与群的阶有什么关系。 2. 简述由第一类点群求出所有第二类点群的一般方法；写出二面体群4D 和D 5的所有群元及

共轭类分割；写出由4D 得到的第二类点群和其熊夫利符号。

3. 简述由杨图、杨盘以及杨算符的方法求置换群的所有不等价不可约表示的一般原理和方

法；求出S n 群的杨图[1n ]对应的不可约表示。

二（10分）对于一个任意n 阶群，求出其正则表示的特征标；若该群的所有不等价不可约表示的维数为q s ,,s ,s 21，试证明n s s s q =+++2

2

22

1 。

三（30分）如右图(a)所示，矢量a 1、a 2、a 3为正三角形中的三个单位矢量，O 为正三角形中心，满足a 1＋a 2＋a 3＝0。

1． 选择三个矢量中的任意两个作为基，给出点群v C 3各

群元的表示矩阵。

2． 写出v C 3群的特征标表，判断1中得到的表示是否可

约。

3． 按图(b)所示的正交单位基矢量e x 、e y 作为表示空间的新基，求联系这两套基{e x , e y }与{a 1,

a 2}的变换矩阵T ：(e x e y )＝(a 1 a 2)⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛2221

1211T T T T 。 4． 用相似变换T 求出以e x 、e y 为基的v C 3各群元的表示矩阵。

四（30分）D 3点群的乘法表如下，试用投影算符方法（可利用本试题第三大题第1小题的结

果）将群空间V D 3的6个自然基e 、d 、f 、a 、b 、c 组合成对称化的新基(不考虑正交归一)，并求出群元在新基上的表示矩阵（每类写出一个群元的表示矩阵即可）。

D

群乘法表

(b)

e y

e x

3

a a 1

(a)

五．（选做题）设一量子体系的哈密顿群为点群4D ，波函数)r (zf ),r (yf ),r (xf 对应该体系的一个三重简并能级。

1． 求该能级所包含的不可约表示，属于偶然简并还是必然简并？ 2． 讨论在4C 对称性的微扰作用下该能级的简并分裂情况。

物理学院2003级研究生《群论》期末试卷

一（25分）

1. 一个集合构成群必须具备哪四个要素？简述什么是子群、陪集和类并举例说明。

2. 什么是群的同态和同构？试举例说明群的同态，并就所举例子写出同态核和相应的商群。

3. 证明所有实数在数的加法运算下构成的群与所有正实数在数的乘法运算下构成的群同构。

二（25分）

1. 简述什么是群表示和有限群表示的正交性定理，有限群的不等价不可约表示和群的阶有什

么关系，群的不等价不可约表示的数目如何确定。

2. 设正三角形三个顶点的坐标为321 , ,r r r , 试以函数)||exp()(2i i r r r --=ϕ（其中3 ,2 ,1 =i ）

为表示空间的基底，求二面体群D 3的群表示；该表示包含有哪些不可约表示。用特征标

投影算符方法求出该函数空间的对称化基函数，并写出D 3群在该函数空间新基底下的群表示（写出各类中的一个元素的表示矩阵即可）。 附D 3群的特征标表：

三（20分）

1． 如何由第一类点群确定第二类点群，请列举出所有类型的点群(说明群如何构成即可，不

一定写出群元)；写出C 6、D 8群的所有群元和共轭类分割；与C 6、D 8群同构的第二类点群有哪些，写出它们的熊夫利符号。

2． 求二面体群D 6的所有不等价不可约表示及特征标表。

四（22分）

1. 将置换群S 6的一个元素(1245)(4326)写为没有公共数码的轮换形式，写出其轮换结构(ν)

并计算该置换所属类的元素个数；由与(ν)相应的杨图[λ]计算其对应不可约表示的维数；S 6群共有多少个不等价的不可约表示。

2. 求置换群S 3的所有不等价不可约表示及特征标表。（求不可约表示时，写出群中各共轭类

的一个元素的表示矩阵即可。）

五（8分） (任选一小题)

已知一个量子系统的哈密顿算符的群为C 4v ,该群的特征标表如下：

1. 54写出分裂后能级所属的不可约表示。

2. 试求该系统由不可约表示A 2标记的能级在含时电偶极矩微扰的作用下能否跃迁到由A 3标

记的能级。

物理学院2002级研究生《群论》期末试卷

（2003年1月）

姓名 学号 成绩

一. （25分）

(1) 一个集合构成群必须具备哪四个要素？什么是群的子群、陪集和类。试写出平面正三角

形对称群即二面体群3D 的所有群元、类分割和所含的所有子群，并用其中一个子群写出3D 群的左、右陪集串分割。

(2) 什么是群的同态和同构，两者之间有何区别？二面体群3D 与什么群同态，写出其同态核

以及相应的商群。

(3) 对于正三角形ABC ∆对称群3D ，写出三角形的一个顶点A 的3D 轨道C A 、以及3D 对A 点

的迷向子群G A 、迷向子群G A 的左陪集及相应的轨道点，左陪集数目与轨道C A 上的轨道点数目有什么关系？

(4) 证明：阶为n 的有限群G 同构于n 阶置换群n S 的一个子群。 二．（25分）

(1) 简述什么是群表示、等价表示和不可约表示。

(2) 简述有限群表示的正交性定理和完备性定理，有限群的不等价不可约表示的维数和群的

阶有什么关系，群的不等价不可约表示的数目如何确定。

(3) 写出3阶循环群3Z 的左正则表示和右正则表示、以及3Z 的群函数空间的基底。

(4) 已知二面体群222C C D ⊗=，为两个轴互相垂直的2阶转动群2C 的直积，试用群表示的直积求2D 群的不等价不可约表示和特征标表，检验特征标的第一和第二正交关系；用求出的不可约表示随意构造一个2D 的4维表示，并用特征标方法检验它是一个可约表示。

三．(20分)

(1) 简答第一类点群和第二类点群有何区别，如何用第一类点群确定第二类点群。

(2) 试列举出所有类型的第一类点群和第二类点群、其群元构成、及其标记符号，简述如何确

定第一类点群的共轭类。

(3) 写出二面体群4D 、D 5和四面体群T 的所有群元和共轭类分割，求出与之相应的第二类点

群及其熊夫利符号。

四．(30分)

(1) 写出3阶置换群3S 的所有群元，将每个群元写成相邻数码对换的乘积形式，并求3S 的所

有共轭类所包含的元素（即3S 的类分割）。

(2) 画出3S 群的所有杨图和每个杨图的所有标准盘，求出每个标准盘的杨算符，并用其中的

一个检验杨算符是3S 的群代数的本质幂等元。 (3) 求出3S 群的所有不等价不可约表示。（可用杨算符方法，亦可直接写出其半正则表示或标

准表示，三种方法任选一种求出即可。）

(4) 试求二维酉群)2(U 在二阶张量表示空间上的一维2级不可约表示。