实变函数期末复习

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实变函数期末总结高中

实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。

一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。

（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。

（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。

2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。

（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。

（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。

（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。

（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。

（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。

二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。

常数函数的图像是一条水平直线。

（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。

当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。

（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。

指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。

（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。

对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。

（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

它们的图像具有周期性。

2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。

（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。

平移变换可以改变函数图像的位置。

（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。

实变函数期末考试重点

实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页定理1 定理2 P35页第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页定理4P44页定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页定理（3）（4） P57页第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页定理5 定理6 P68页第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件第四章第四节倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。

实变函数期末复习指导

实变函数期末复习指导（文本）实变函数题型比例单选题：5题，每题4分，共20分。

填空题：5题，每题4分，共20分。

计算与证明题：4题，每题15分，共60分。

第1章主要内容本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有：一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律．关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ⊂当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ⊂当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一．还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞=∈1 当且仅当x 属于这一列集合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞=∈1 当且仅当x 属于这一列集合中的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习．二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系．对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法．三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质.四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者.第2章主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.R中的距离和邻域的概念出发，首先定义了相对于某个给定集一、本章我们从nnE⊂的几种不同类型的点：内点、聚点、孤立点、边界点.它们彼此之间的关系可用图R示如下：其中内点和聚点更常用些.关于聚点，我们还给出几个等价条件(定理2.1.1和定理2.1.2)，读者要熟练的掌握和运用.二、开集、闭集和完备集是本章的重要内容.在开集、闭集和完备集的性质和直线上开集构造的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质和构造也就自然得到了.三、康托集是本章给出的一个重要例子.对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数c，第3章中我们还证明了它的测度为零.正是因为它的巧妙构思和奇特性质常常为构造一些重要的反例提供启示.四、本章中介绍的聚点存在定理，即波尔察诺一维尔斯特拉斯定理(定理2.1.5)，有限覆盖定理(定理2.2.5)和距离可达定理(定理2.4.1)，要弄清定理条件并会灵活运用.第3章主要内容R中点集的测度，它是建立勒贝格积分的基础.本章主要讨论n一、外测度和可测集是本章的两个主要概念，关于可测集的定义，主要使用的是定义3.2.3(即卡氏条件)．因为可测集的测度等于其外测度，所以外测度性质(定理 3.1.1)对可测集都适用．因此对外测的性质要熟练掌握．二、可测集的运算性质是本章的重要内容．可测集类在有限次或可列次并、交、补运算之下是封闭的．可测集的可列可加性(定理 3.2.4)和单调可测集列极限的测度(定理3.2.5和定理3.2.6)的结果在后面的学习中会时常用到．三、关于可测集的构造是本章的又一重要内容. 勒贝格可测集是由波雷尔集和测度为零G 的集的全体所构成的可加集族(定理3.3.8). 我们还讨论了勒贝格可测集同开集、闭集、δF型集之间的关系. 这些关系一方面从不同的角度划了勒贝格可测集，另一方面也型集和σ提供了用较简单的集合近似取代勒贝格可测集的途径.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.同学们只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.第4章主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章讨论一类重要的函数——可测函数.它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数.一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容. 可测函数的定义及给出的一些充要条件(如定理4.2.1和定理4.2.2等)是判断函数可测的有力工具，应该熟练地掌握和应用它们.可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的.可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越性和应用中的方便之处.二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一. 几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式.叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系. 通过这个定理，可以把几乎处处收敛的函数列部分地“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用.勒贝格定理(定理4.3.2)告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立.然而，黎斯定理(定理 4.3.3)指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列.三、可测函数的构造是本章的又一重要内容. 一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数. 然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的(如迪里克雷函数). 所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多.而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论，从而带来很大的方便.四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的. 如定理4.2.6证明中的构造方法是富有启发性的；叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法以及鲁金定理证明中先考虑简单函数、然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的.第5章主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分−− 勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心内容．一、关于勒贝格积分的建立．本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(x f 在E 上可积当且仅当)(x f 在E 上可积()(x f 在E 上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．(2)勒贝格积分的绝对连续性．设)(x f 在E 上可积，则对任意0>ε，存在0>δ，使当E e ⊂且 δ<e m 时，恒有ε<⎰ex x f d )( (3)勒贝格积分的唯一性．即0d )(=⎰E x x f 的充要条件是..0)(e a x f =于E ．由此可知，若)(x f 与)(x g 几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设)(x f 是可积函数，对任意0>ε，存在],[b a 上的连续函数)(x ϕ，使εϕ<-⎰],[d )()(b a x x x f此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中勒贝格控制收敛定理(定理5.4.1)，列维渐升函数列积分定理(定理5.4.2)和法都定理(定理5.4.4)在现代数学中都有广泛的应用．同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若],[b a 上的有界函数)(x f 黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要),(y x f 在q p R R 上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．六、本章的最后介绍了勒贝格积分理论中的“原函数”存在定理和牛顿—莱布尼兹公式．在这些关系的研究中，有界变差函数和绝对连续函数的概念起着重要作用．。

实变函数期末考试题库

《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)《实变函数》期末考试题（一） (57)《实变函数》期末考试题（二） (63)《实变函数》期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集（B ）P 是开集（C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ϕ是E 上的连续函数（B ）()x ϕ是E 上的单调函数（C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积（D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零（B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）E 中的每一点都是聚点（D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零（B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集（D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是（A 、B 、C ）（A ）[,]a b 上的简单函数（B ）[,]a b 上的可测函数（C ）E 上的连续函数（D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积（B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积（C ）()f z 在E 上不一定L 可积（D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数（B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数（C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续（D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。

实变函数(复习资料_带答案)资料

集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
，则 E 是可测
（第 7 页，共 19 页）
3. （6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为两个增函数之差。
5. （8 分）设 f ( x) 在 E a,b 上可积，则对任何 0 ，必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ，使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题（8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f (x)
x2, x为无理数，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积，是否 L 可积，若可积，求出积分值。
五、证明题（6 分× 4+10=34 分） . 1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集；
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
，则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集，则 P
o
，mP _____，P =________。
3、设 Si 是一列可测集，则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理：
4.（8 分）设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ，证明： fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2． x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分

实变函数复习要点

3

可测函数的收敛性知道“几乎处处”是如何表述，以及各种情形下的“几乎处处” 。明确：我们所学习的对象，都是“几乎处处有限的可测函数（列） ” 掌握“处处收敛” 、 “一致收敛” 、 “几乎处处收敛” ， “依测度收敛”的概念掌握上述各种收敛之间的关系（掌握结论，无需会证明）一致收敛处处收敛几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛几乎处处收敛与一致收敛的关系：Egroff 定理（注意，也有 mE < ¥ ）
第一章集合集合的运算子交并补，可数交，可数并，任意交，任意并。集合运算的运算律，De Morgan 法则。会证明两集合相等单调集列的极限集，一般集列的上极限集、下极限集。会求简单的单调集列的极限集。集合的基数明确集合基数的概念，理解基数与“个数”的区别与联系会在一些简单的集合间建立一一对应，比如建立 (a, b) 到 [a, b ] 的一一对应能识别常见的可数集与不可数集，知道“没有最大基数”
第二章 n 中的点集基本概念掌握“内点，外点，边界点，内部，外部，边界，聚点，导集，闭包，孤立点” ，给定一个集合，会求前述点集开集、闭集、完备集理解开集、闭集、自密集、完备集的概念，能分辨一个集合属于哪一类。了解 Cantor 集的构造方式，并要掌握其特性：完备集；不可数集；测度为零；内部是空集。 Cantor 集用来构造反例，打破我们的常规直观感觉。知道 n 与 1 中开集的构造方式，特别是 1 中的了解Gd 型集， Fs 型集，Borel 集的定义，知道这些抽象概念因何而出场掌握：对于连续函数 f ， E[ f > a ] 是开集
2
依测度收敛与几乎处处收敛的关系几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛依测度收敛必有子列几乎处处收敛：Riesz 定理 Lusin 定理掌握可测函数与连续函数的关系：Lusin 定理

实变函数总结

篇一：实变函数复习提纲实变函数复习提纲第一章集合2006-7-14一、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．二、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：n?a、q?a（a＞0）；4、不可数数集合的基数：r?c（c>a>0）．三、基本题目1、集合对等的判定、求基合的基数例证明i=（－1，1）和r=（－∞，+∞）是对等的，并求i. 证：作映射ф：??x??tan因??x??tan?2x，x∈（－1，1），其值域为r=（－∞，+∞）、?2x，在（－1，1）∴?：??x??tan?2x是（－1，1）到r上的一一对应, 即 i= (-1,1)1?1?(x)?tanx2由对等的定义知：i～r.∵i～r∴i?r，又r?c，∴i?c. 2 集合的运算，德。

摩根律的应用 3 可数数集合的判定(??,??)=r第二章点集一、基本概念：距离、度量空间、n维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间二、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题目1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设e为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求e，e，e； 2）判定e是开集还是闭集，为什么？解：1）对于?x?e，x的任意邻域u(x)内有无数个无理点,∴u(x)?e，∴x不是_e的内点，由x的任意性，知e无内点,∴e??.对于?x??0,1?，?u(x)内都有无数多个有理点，即有无数多个e的点,∴x为e的聚点.又在[0，1]外的任一点都不是e的聚点. ∴e???0,1?. ∵e?e?e??e??0,1???0,1? ，∴2）e 不是开集，也不是闭集.因为e??，而e是非空的，∴e?e, ∴e不是开集.因为e???0,1?，而[0，1]中的无理点不在e内，即e??e，∴由定义知，e不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造__e??0,1?.第三章测度论引入：把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测度．一、基本概念：勒贝格外测度，l测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设e为r中任一点集，对于每一列覆盖e的开区间uii?e，i?1n?作出它的体积和?? ?ii?1?i（?可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的?），所有这一切的?组成一个下方有界的数集，它的下确量（由e完全确定）称为e的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为m*e，即：m*e?infe???ii???i??i? ?i?1?注：由定义1知：r 中的任一点集都有外测度（一个非负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设e为r中点集，若对任一点集t都有nnm*t?m*(t?e)?m*(t?ce)（1）则称e为l可测的，这时e的l外测度m*e就称为e的l测度，记为me，条件（1）称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.l可测集的全体记为?.3可测集类1）零测度集类： 2）一切区间i（开、闭、半开半闭）都是可测集合，且mi?i 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的二、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）m*e≥0，当e 为空集时m*e=0（即m*??0）；（非负性）；（2）设a?b，则m*a≤m*b；（单调性） ??（3）m*(uai)≤m*ai?1?i；（次可数可加性） i?12 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合e可测←→对任意的a?e，b?[ce，总有m*(a?b)?m*a?m*b 2）余集的可测性：s可测←→cs可测3）并集的可测性：若s1，s2都可测，则s1∪s2也可测； 4）交集的可测性：若s1，s2都可测，则s1∩s2也可测； 5）差集的可测性：若s1，s2都可测，则s1－s2也可测；6）可列可加性：设?s?i?是一列互不相交的可测集，则u?1si也是可测的，且im(us??i)??msii?i?17）可列交的可测性：设?si??是一列可测集合，则?si也是可测集合；i?18）递增的可测集列的极限的测度：设?si?是一列递增的可测集合：s1?s2???sn?，?令s=?s? 则ms?limi?1ilimn??snn??msn9）递减的可测集列的极限的测度：设?si?是一列递减的，可测集合： s1?s2???sn ??令s??i?1si?limn??sn，则当它ms1＜∞时，ms?limn??msn.三基本题目1、试述l外测度的定义.（答案见第三章1定义1） 2、试给l测度的定义（答案见第三章2定义1）3、设点集e?rn，m*e?0，证明e是可测集，并求me.证：只须证明卡氏条件成立，即对?t?rn，有m*t?m*(t?e)?m*(t?ce)∵t?(t?e)?(t?ce)∴m*t≤m*(t?e)?m*(t?ce) （外测度的次可数可加性）①另一方面：∵(t?e)?e，∴m*(t?e)≤m*e（单调性）∵已知m*e?0，m*(t?e)≥0，∴0≤m*(t?e)≤0，必有m*(t?e)=0 又：t?(t?ce) ∴m*t≥m*(t?ce)（单调性）∴m*t≥m*(t?ce)+m*(t?ce) ②由①、②可知：m*t=m*(t?ce)+m*(t?ce)，此即卡氏条件成立；∴ e是可测的，∴ me?m*e?0.n4、证明可数点集e?r的外测度m*e?0iii证明：e为可数点集，∴e??e1,e2,e3,?,em,? ?，其中ei?(e1i,e2,e3,?,en)?rn，i?1,2,3,?,m,?对于任意给定的?＞0，不妨设? 1，作开区间????ii??(x1,x2,x3,?,xn)eij?i?1ij＜eij?i?1,j?1,2,3,?,n?22??ii?(因?2)n?i?2i,i?1,2,3,?,n?ii?1?i??ei?e，由外测度的单调性及次可列可加性得：i?1?1??m*e?m*(?ii)??m*ii??ii??i????1i?1i?1i?1i?121?2???又由ε的任意性及m*e≥0得：m*e=0，得证.注：本题可当作定理.5、设q为有理数集合，求m*q，mq. 解：∵q为一可数集合，∴m*q=0. 对于?t，∵t?(t?q)?(t?cq)∴m*t?m*(t?q)?m*(t?cq) （外测度的次可列可加性）①另一方面，∵(t?q)?q，∴m*(t?cq)?m*q?0（单调性），m*(t?q)?0，∴m*(t?q)?0。

实变函数期末考试题

上单调函数的不连续点所成之集的测度等于n上的广11 ()k E f ak∞=≥+=_________.7．设f是[a上的单调函数，则8．设f是可测集E上的非负可测函数，则_________.9．区间[上的有界是10．设F (x)是定义在的充要条件是：1jk j k A∞∞==； B.1jk j kA∞∞==C.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===； D. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===。

2．设f (x )是E 上的可测函数，则对任意实数a ，有 ( )A. E [x ; f (x ) >a ]是开集；B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集；C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集；D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。

3．下列断言中错误的是 ( )A. 有理点集为零测集；B. Cantor 集为零测集；C. 零测集的子集是零测集；D. 无穷个零测集的并是零测集。

4．设f (x )为可测集E 上的可测函数，若()Ef x dx <+∞⎰，则下列断言错误的是 ( )A. f (x )在E 上L-积分存在；B. f (x )在E 上L-可积；C. f (x )在E 上未必L-可积；D. f (x )在E 上a.e.有限。

5．设{}k f 是nE ⊂上的可测函数列，lim ()k k f x →∞存在，则lim ()k k f x →∞是（）A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。

6．设f 是[,]a b 上有界变差函数，则有 ( )A. ()f x 连续；B. ()f x '存在；C ．()f x ' a.e.存在；D. ()f x ''存在。

7．设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A 是（）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。

(完整版)实变函数期末复习

实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则（） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的（）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是（）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是（）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是（）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上（）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有（）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。

成人教育《实变函数》期末考试复习题及参考答案

一、单项选择题1．下列命题或表达式正确的是 DA ．}{b b ⊂B ．2}2{=C ．对于任意集合B A ,，有B A ⊂或A B ⊂D ．φφ⊂ 2．下列命题不正确的是 AA ．若点集A 是无界集，则+∞=A m *B ．若点集E 是有界集，则+∞<E m *C ．可数点集的外测度为零D ．康托集P 的测度为零 3．下列表达式正确的是 DA.}0),(m ax {)(x f x f -=+B ．)()()(x f x f x f -++= C.)()(|)(|x f x f x f -+-=D ．}),(min{)]([n x f x f n = 4．下列命题不正确的是 BA ．开集、闭集都是可测集B ．可测集都是Borel 集C ．外测度为零的集是可测集D ．σF 型集，δG 型集都是可测集 5．下列集合基数为a （可数集）的是 CA ．康托集PB ．)1,0(C ．设i n nx x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数，},,2,1n i =D ．区间)1,0(中的无理数全体二、计算题1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，E 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是()0,0,22cos f x dx xdx ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而cos x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰2. 设()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰三、判断题 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.(×)2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. (×)3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集.(×) 4. 任意多个闭集的并集是闭集.(×) 5. 若n ER ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.(√)6.非可数的无限集为c 势集。

实变函数期末复习资料试卷

3、 a .e. 收敛的函数列必依测度收敛。
4、连续函数一定是有界变差函数。
得分
四.解答题(8 分×2=16 分)
（第 9页，共 24页）
⎧ x, x为无理数 1、设 f ( x ) = ⎨ ，则 f ( x ) 在 [0,1]上是否 R − 可积，是否 L − 可积， ⎩1, x为有理数若可积，求出积分值。
得分
二. 填空题(3 分×5=15 分)
1 1 1、设 An = [ , 2 − ], n = 1, 2,⋯ ，则 lim An = _________。 n →∞ n n 2 、设 P 为 Cantor 集，则
得分阅卷人复查人
P=
， mP = _____ ，
P = ________ 。
∞ （A） m⎛ ∩ En ⎞ ⎜n ⎟ = lim mEn ⎝ =1 ⎠ n → ∞ ∞ (B) m⎛ ∪ En ⎞ ⎜n ⎟ ≤ lim mEn ⎝ =1 ⎠ n → ∞
）
（第 13页，共 24页）
∞ （C） m⎛ ∩ En ⎞ ⎜n ⎟ < lim mEn ;（D）以上都不对 ⎝ =1 ⎠ n → ∞
2、求极限 lim ∫
n →∞
nx sin 3 nxdx . 0 1 + n2 x2
1
得分
五.证明题(6 分×3+ 8 × 2 =34 分)
1.(6 分) 1 、设 f(x) 是 ( −∞,+∞ ) 上的实值连续函数，则对任意常数 c ，
E = {x | f ( x) > c} 是一开集.
_________________________________，则称 E 是 L 可测的 4、 f (x) 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分” ， “必要” ， “充要” ） 5 、设 f ( x ) 为 [ a, b] 上的有限函数，如果对于 [ a, b] 的一切分划，使 _____________________________________________________, 则称 f (x) 为

实变函数复习

§实变函数复习
4.设E 是任一可测集, 则一定存在Fδ 型集 F , 使F ⊂ E , 且 m(E − F ) = 0 5.可测集E 上的是可测函数. 6.设E 是一个有界的无限集合 , 则E 个聚点. 7.设π 是一个与集合E 的点 x 有关的命题 , 如果存在E 的子集M , 适合 mM = 0, 使得 π 在 E − M 上恒成立 , 也就是说 , E − E [π 成立 ]= , 则我们称π在E 上几乎处处成立.
§实变函数复习 4.任意多个开集的交集一定是开集 . × 5.有限点集和可列点集都可测 . √ 6.可列个零测集之并不是零测集 . √ 7.若开集G1 是开集G2 的真子集 ,则一定有mG1 < mG2 . × 8.对于有界集 E ⊆ R 1 ,必有 m∗ E < +∞. √
§实变函数复习 4.任意多个开集的交集一定是开集 . × 5.有限点集和可列点集都可测 . √ 6.可列个零测集之并不是零测集 . √ 7.若开集G1 是开集G2 的真子集 ,则一定有mG1 < mG2 . × 8.对于有界集 E ⊆ R 1 ,必有 m∗ E < +∞. √
§实变函数复习
5.设f (x )是 E 上的可测函数列 , 则其收敛点集与发散点集都是可测的. Proof.
§实变函数复习
5.设f (x )是 E 上的可测函数列 , 则其收敛点集与发散点集都是可测的. Proof.
§实变函数复习引例函数列fn (x ) = x n 在(0, 1)上处处收敛到f (x ) = 0,但不一致收敛 , 但去掉一小测度集合 (1 − δ, 1), 在留下的集合上一致收敛 . 定理 (Egorov). 设可测集 E 满足m(E ) < ∞,fn (x ), n ∈ N 和 f (x )是E 上的几乎处处有限的可测函数 . 若可测函数列 {fn }∞ n=1 几乎处处收敛于 f (x ), 则对于 ∀δ > 0, 存在 E 的可测子集 Eδ 且 m(E \ Eδ ) < δ , 使得{fn }∞ n=1 在 Eδ 上一致收敛于 f (x ). Proof.令E0 = E[|f |=∞] ∪ ∞ n=1 E[|fn |=∞] , 由题设知 m(E0 ) = 0. 因此可在E \ E0 上考虑问题 . 从而不妨设fn , n ∈ N 及 f (x )均在 E 上处

(0195)《实变函数》复习大纲、样题及

（0195）《实变函数》复习大纲第一章集合论一、基本内容：集合、集合的运算、对等、基数、可数集、不可数集二、基本结论1、集合的运算规律2、可数集的性质（1）任何无限集必含有可数子集（2）可数集的子集至多是可数的。

即或为有限集或为可数集。

（3）可数个可数集的并集是可数集。

（4）若A中每个元素由n个互相独立的记号所决定,各记号跑遍一个可数集A={}nxxxa,,,21Λ,()()()nkxxxkkk.,2,1;,,21ΛΛ==则A为可数集。

3、常见的可数集：有理数及其无限子集。

三、基本要求：1、理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。

2、掌握集之间的并、交、差、余运算。

3、掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。

4、理解集列的收敛、单调集列的概念。

5、掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。

6、理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。

7、理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。

四、重点：正确应用集合的运算规律，证明有关集合的等式，用可数集合的性质证明某个集合是可数集合。

五、学习主要事项：集合的基数概念十分抽象，它是集合元素“个数”的推广，我们是用“对等”的方法加以定义的。

即对待的集合必有相同的基数，例如，所有可数集合有相同的基数，但是有理数集与无理数集的基数却不同，有理数集是可数集合，而无理数集是不可数集合。

我们还应该注意到，无穷集合是可以与其真子集对等的，这是无穷集合的本质特征。

第二章点集一、基本内容：度量空间、聚点、内点、界点、邻域、开集、闭集、闭包、完备集、有界集以及直线上开集和闭集的构造定理。

二、基本结论1、开集的运算性质：开集关于任意并及有限交运算是封闭的。

2、闭集的运算性质：闭集关于任意交及有限并运算是封闭的。

3、开集、闭集具有对偶性。

4、Cantor 集合的构造及性质：Cantor 集是不可数的完备的疏朗集，测度为零。

实变函数复习提纲

实变函数复习提纲实变函数复习提纲2006-7-14第⼀章集合⼀、基本概念：集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、⼀⼀映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．⼆、基本理论：1、集合的运算性质：并、交差、余集的运算性质；德⼀摩根公式；2、集合对等的性质；3、可数集合的性质、基数：a N =、a Q =（a ＞0）；4、不可数数集合的基数：c R =（c >a>0）．三、基本题⽬1、集合对等的判定、求基合的基数例证明I =（－1，1）和R =（－∞，+∞）是对等的，并求I . 证：作映射ф：()x x 2tan πφ=，x ∈（－1，1），其值域为R =（－∞，+∞）、因()x x 2tanπ=，在（－1，1）是严格单调增的，∴?：()x x 2tanπ=是（－1，1）到R上的⼀⼀对应, 即 I= (-1,1)xx 2tan)(11π=-(),+∞∞-=R由对等的定义知：I ～R .∵I ～R ∴R I =，⼜c R =，∴c I =. 2 集合的运算，德。

摩根律的应⽤3 可数数集合的判定第⼆章点集⼀、基本概念：距离、度量空间、n 维欧⽒空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭包；开集、闭集、完备集；构成区间⼆、基本理论1、开集的运算性质；2、闭集的运算性质3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造三、基本题⽬1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集例设E 为[0，1]上的有理数点的全体组成的集1）求0E ，'E ，E ； 2）判定E 是开集还是闭集，为什么？解：1）对于E x ∈?，x 的任意邻域)(x U 内有⽆数个⽆理点,∴)(x U E _，∴x 不是E 的内点，由x 的任意性，知E ⽆内点,∴φ=0E .对于[]1,0∈?x ，)(x U ?内都有⽆数多个有理点，即有⽆数多个E 的点,∴x 为E 的聚点.⼜在[0，1]外的任⼀点都不是E 的聚点.∴[]1,0='E . ∵[][]1,01,0=?='?=E E E E ，∴[]1,0=E .2）E 不是开集，也不是闭集.因为?=0E ，⽽E 是⾮空的，∴,0E E ≠ ∴E 不是开集.因为[]1,0='E ，⽽[0，1]中的⽆理点不在E 内，即E E __'，∴由定义知，E 不是闭集. 2 直线上开集、闭集的构造第三章测度论引⼊：把区间的长度、平⾯图形的⾯积、空间⽴体图形的体积推⼴到点集的度量—测度．⼀、基本概念：勒贝格外测度，L 测度，可测集，可测集类1勒贝格外测度的定义：设E 为nR 中任⼀点集，对于每⼀列覆盖E 的开区间E I U i i ?∞=1，作出它的体积和∑∞==1i iIµ（µ可以等于+∞，不同的区间列⼀般有不同的µ），所有这⼀切的µ组成⼀个下⽅有界的数集，它的下确量（由E 完全确定）称为E 的勒贝格外测度，简称外测度或外测度，记为E m *，即：=∑∞=?∞=1inf1*i i E I I E m i iY注：由定义1知：nR 中的任⼀点集都有外测度（⼀个⾮负数）. 2勒贝格测度、可测集的定义：设E 为nR 中点集，若对任⼀点集T 都有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=（1）则称E 为L 可测的，这时E 的L 外测度E m *就称为E 的L 测度，记为mE ，条件（1）称为卡拉泰奥多⾥条件，也简称卡⽒条件.L 可测集的全体记为µ.3可测集类1）零测度集类：2）⼀切区间I （开、闭、半开半闭）都是可测集合，且I mI = 3）凡开集、闭集皆可测 4）凡博雷尔集都是可测的⼆、基本理论1勒贝格外测度的性质（1）E m *≥0，当E 为空集时E m *=0（即0*=?m ）；（⾮负性）；（2）设A ?B ，则A m *≤B m *；（单调性）（3）)(*1∞=i i UA m ≤∑∞=1*i iAm ；（次可数可加性）2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性 1）（定理1）集合E 可测←→对任意的A ?E ，B ?[CE ，总有B m A m B A m **)(*+=?2）余集的可测性：S 可测←→CS 可测3）并集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∪S 2也可测； 4）交集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1∩S 2也可测； 5）差集的可测性：若S 1，S 2都可测，则S 1－S 2也可测；6）可列可加性：设{}i S 是⼀列互不相交的可测集，则i i S U ∞=1也是可测的，且∑∞=∞==11)(i i i i mS US m7）可列交的可测性：设{}i S 是⼀列可测集合，则i i S ∞=?1也是可测集合；8）递增的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递增的可测集合：s s 21…sn…，令S=ss nn i ilim 1∞→∞==Y 则n n mS mS ∞→=lim9）递减的可测集列的极限的测度：设{}i S 是⼀列递减的，可测集合： S 1?S 2?…?Sn…令n n i i S S S ∞→∞==?=lim 1，则当它1mS ＜∞时，n n mS mS ∞→=lim . 三基本题⽬1、试述L 外测度的定义.（答案见第三章§1定义1）2、试给L 测度的定义（答案见第三章§2定义1）3、设点集n R E ?，0*=E m ，证明E 是可测集，并求mE .证：只须证明卡⽒条件成⽴，即对nR T ??，有)(*)(**CE T m E T m T m ?+?=∵)()(CE T E T T I Y I =∴T m *≤)(*)(*CE T m E T m ?+? （外测度的次可数可加性）①另⼀⽅⾯：∵E E T ?)(I ，∴)(*E T m I ≤E m *（单调性）∵已知0*=E m ，)(*E T m I ≥0，∴0≤)(*E T m I ≤0，必有)(*E T m I =0 ⼜：)(CE T T I ? ∴T m *≥)(*CE T m I （单调性）∴ T m *≥)(*CE T m I +)(*CE T m I ②由①、②可知：T m *=)(*CE T m I +)(*CE T m I ，此即卡⽒条件成⽴；∴ E 是可测的，∴ 0*==E m mE . 4、证明可数点集n R E 的外测度0*=E m证明：E 为可数点集，∴{}?=,,,,,321m e e e e E Λ，其中ni n i i i i R e e e e e ∈=),,,,(321Λ，ΛΛ,,,3,2,1m i =对于任意给定的ε＞0，不妨设ε?1，作开区间=+-=++n j ＜e ＜x e x x x x I i i j i j i i j n i ,,3,2,1,22),,,,(11321ΛΛεεn i I inii ,,3,2,1,2)2(Λ=≤=εε因E e i i i iI=?∞=∞=11Y Y ，由外测度的单调性及次可列可加性得：εεε=-=≤=≤≤∑∑∑∞=∞=∞=∞=211212*)(**1111i i i i i i i i I I m I m E m Y⼜由ε的任意性及E m *≥0得：E m *=0，得证.注：本题可当作定理.5、设Q 为有理数集合，求Q m *，mQ . 解：∵Q 为⼀可数集合，∴Q m *=0. 对于T ?，∵)()(cQ T Q T T I Y I =∴ )(*)(**cQ T m Q T m T m I I +≤ （外测度的次可列可加性）①另⼀⽅⾯，∵Q Q T ?)(I ，∴0*)(*=≤Q m cQ T m I （单调性），0)(*≥Q T m I ，∴0)(*=Q T m I 。

实变函数复习重点

●集合的交、并、差、余运算，对偶定理
●上、下限集的定义、求法
●有关函数集合的表示
●对等的判定建立、定理
●可数集的性质、判定
●基的判定
●具体集合的基: ,,[0,1],[0,1],,(),()
c
Q Q C R M M E L E,开集、闭集全体习题：11,22，28
●边界点、内点、聚点、边界E∂、导集E'、闭包E等的含义和
求法
●稠密集、疏朗集、孤立集的定义、性质
●开集、闭集、完备集的定义、性质、判定、构造
●Cantor集的性质(完备、疏朗、连续势、零测)
习题：15,19,28
●外测度的性质（非负性、单调性、次可加性、次可数可加性、
条件可加性、平移不变形）
●测度的性质（非负性、单调性、可加性、可数可加性、平移
不变形、上下连续性）
●可测集定义、性质。

全体M关于交、并、差、余的可列运算
及极限封闭，是代数。

●可测集全体M的构成、构造（与开集闭集的关系）
习题：13,20，21
●可测函数的定义:
性质、判定
●可测函数全体()
M E的性质，极限封闭，与简单函数的关系●依测度收敛，几乎处处收敛，一致收敛的定义，它们之间的
关系(Egoroff, Lebesgue, Riesz定理)。

●可测函数的构成（与连续函数的关系，Lusin定理）
习题：4，18,20
●积分与可积的定义、性质、运算
●极限定理（Levi定理, Fatou引理, Vitali定理,Lebesgue控制
收敛性定理）
●积分的绝对连续性。

●R-积分和L-积分间的关系
习题：1，2，14。

40曲阜师范大学2020年成人高等教育《实变函数》复习资料期末考试试题及参考答案

9.
10. 于 .
二、证明题
1. 证明如下:
2. 中任何一个元素可以由球心 , 半径为唯一确定, , , 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故为可数集.
3.令 , 则且为可测集, 于是对于 , 都有，故
,
令 , 得到 , 故可测. 从而
2、设在上 ,而成立, ,则有．
3、设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)
4、在有限闭区间上的单调有限函数是有界变差函数．
答案
一、计算题
1、设，其中为Cantor集，计算。
解.设，因，
则在上，
2、求极限
D.若 ,则可测．
3. 若是可测函数，则下列断言（）是正确的（）
A.
B.
C.
D.
4. 下列断言中( )是错误的（）
A.零测集是可测集
B.可数个零测集的并是零测集
C.任意个零测集的并是零测集
D.零测集的任意子集是可测集
5. 设是 [a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是（）
A. 在[a,b]上有界
9. 设是E上几乎处处有限的可测函数列, 是E上几乎处处有限的可测函数,若 , 有________________________, 则称在E上依测度收敛于 . （）
10. 设E使闭区间[a,b]中的全体无理数集, 则 ________________________ （）
三、名词解释
1. Jordan分解定理
解：设，则易知当时，
又因，( )，所以当时，

实变函数知识点简要总结

实变函数知识点简要总结一、实变函数的定义实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。

它的定义域和值域都是实数集。

二、实变函数的分类1. 一元实变函数：自变量只有一个，函数的形式为y = f(x)。

例如：y = x²，y = sin(x)等。

2. 多元实变函数：自变量有多个，函数的形式为z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。

例如：z = x₁² + x₂²，z = sin(x₁) + cos(x₂)等。

三、实变函数的性质1. 定义域和值域：实变函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。

2. 连续性：实变函数在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点上具有极限。

连续性可以用极限的概念来描述。

3. 导数和微分：实变函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率。

微分则是导数的微小变化。

4. 极值和最值：实变函数在某些点上可能达到极大值或极小值，称为极值点，并且有可能在整个定义域上取得最大值或最小值。

5. 函数的图像：实变函数的图像是函数曲线在坐标系中的表示，可以通过画出函数的图像来对函数进行可视化。

6. 函数的变换：对实变函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数，这些操作可以改变函数的图像和性质。

四、实变函数的应用实变函数在数学和物理等领域有广泛的应用，例如：1. 数学分析：实变函数是数学分析的基础，通过研究实变函数的性质和性质，可以推导出许多数学定理和结论。

2. 物理学：实变函数可以用来描述物理量之间的关系，例如速度和时间的关系、力和位移的关系等。

3. 经济学：实变函数可以用来描述经济模型中的供求关系、成本和收益关系等。

4. 工程学：实变函数可以用来描述工程设计中的参数关系、系统响应等。

总结：实变函数是数学中重要的概念，它可以描述自变量和函数值之间的关系。

通过研究实变函数的性质和应用，可以深入理解数学和其他学科中的相关知识。

了解实变函数的定义、分类、性质和应用，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。

实变函数复习题

一、计算或证明下面各题1、设n A 就是如下一点集: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+1212,012m A m ,，，...2,1,0=m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m A m 211,02,，，...2,1=m 试确定{}n A 的上极限与下极限。

2、证明:m n m n n A ∞=∞=∞→= 1lim 与m nm n n A ∞=∞=∞→= 1lim 。

3、证明:单调集列就是收敛的,若{}n A 增加,则n n n n A A ∞=∞→=1lim ;若{}n A 减少, 则n n n n A A ∞=∞→=1lim 。

4、设{}n A 就是一列集合,作11B A =,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ννB A B n n n 1 ,1>n 。

证明:{}n B 就是一列互不相交的集,而且ννννA B ∞=∞==11 ,∞≤≤n 1。

5、设1F 、2F 就是1R 中两个互不相交的闭集。

证明:存在两个互不相交的开集1G 、2G ,使11F G ⊃、22F G ⊃。

6、证明:设1S 、2S 都可测,则21S S 也可则,并且当∅=j i S S 时,对于任意集合T 总有()[]()()2121S T m S T m S S T m ***+=。

7、证明:设{}i S 就是一列互不相交的可测集,则i i S ∞=1也就是可测集,且 ∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i mS S m 。

8、证明:设E 就是任一可测集,则一定存在δG 型集G ,使E G ⊃,且()0=-E G m 。

9、设n S S S ,...,,21,就是一些互不相交的可测集合,n i S E i i ,...,3,2,1,=⊂。

求证:()n n E m E m E m E E E m ****+++=......2121 。

10、设A,B P R ⊂且+∞<B m *,若A 就是可测集,证明:）（B A m B m mA B A m **)(*-+=。

实变函数(复习资料,带答案)

《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。

实变函数复习要点

实变函数复习要点(共6页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2011实变函数复习要点第一章集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。

2. 对等和基数及其性质。

3. 可数集合的概念及其性质。

4. 不可数集合的概念及例子。

（二）考核要求1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。

2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。

De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=c c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。

例利用集合的并、交、补运算证明集合相等。

例 Nn x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设 ]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A 3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。

（2）综合应用：集合的对等的证明例利用定义直接构造两集合间的1-1对应。

4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。

（2）综合应用：可数集合的性质。

5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。

第二章点集（一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。

2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。

3. 开集、闭集及其性质。

4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。

（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。

2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。

如聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→ 如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→ 3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。

实变函数期末复习

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