高等数学 多元函数微分法及其应用
高等数学复习-多元函数微分法及其应用
高等数学复习-多元函数微分法及其应用
一、列举二元函数的例子？
二、求多元函数的极限？
三、证明函数的连续性？
四、多元函数的性质？
五、求多元函数再某点的偏导数？
六、求多元函数的偏导数？
七、求多元函数的高阶偏导数？
八、二阶混合偏导数定理？
九、求函数的全微分？
十、全微分的应用?
十一、一元函数与多元函数复合定理?
十二、多元函数与多元函数复合定理?
十三、其它复合定理？
十四、求复合函数的偏导数？
十五、求复合函数的全导数？
十六、利用全微分形式不变形求偏导数？
十七、利用隐函数求导？
十八、利用方程组求偏导数?
十九、求函数的单位切向量？
二十、求曲线的切线及法平面方程？
二十一、求球面的切线及法平面方程？
二十二、求旋转抛物面的切线及法平面方程？
二十三、求某个方向的方向导数？
二十四、求函数在某点的梯度？
函数在某点的梯度是这样一个向量，他的方向是函数再这点方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。
（1）求出函数在各个自变量上的偏导数
（2）带入点惊醒计算
（3）表示出该向量（记得加上i、j、k）
二十五、求函数再某个方向的变化率？
二十六、举例说明多元函数最值及极值？
二十七、有极值定理?
二十八、求多元函数的极值？
二十九、拉个朗日乘数法求极值？。
2805多元函数微积分在工程中的应用解读
令 V V 0, x y 得
2 2 2 2 y 12 2 xy x x 12 2 xy y 0, 即 2 2 2 x y 2 x y
x 0, y 0 (舍去)
12 2 xy x 2 0, 12 2 xy y 2 0, x y .
即当 x ， y 较小时，有函数值增量的近似公式
z f x x, y y f x, y dz
即
z z z dx dy x y
二、全微分的应用
例2 圆柱体的体积是通过测量 r 和 h 的值由 V r 2h 计算。假定测 量 r 的误差不大于2%，测量 h 的误差不大于0.5%。试估计这种测量计 算的 V 的可能百分数误差 。
解 该城市是半径为 r=5 km的圆形区域(如图所示)，即
则该城市人口数为
0r 5 D 0 2
x2 y 2
P 10e
D
dxdy 2 d 510e r rdr
2
0
0
10π e25 1 31.4159 (万人)
1 5 r2 2 r2 2 10e d r 10π e 2 0
故
x 2,
12 2 2 y 2, z 1 2 2 2
此时，体积最大为
V xyz 4 m3
二、全微分的应用
全微分的基本知识
与一元函数微分的近似公式相类似，当 x ，y 较小时，可以用全
z z 微分 dz dx dy 近似表示全增量 z f x x, y y f x, y ， x应用
多元函数微积分简介
在经济领域和工程技术中，许多实际问题都会涉 及多个变量之间的依赖关系，即多元函数。多元函数 微积分学是一元函数微积分学的推广和发展，学习的 基本思想和方法是把多元函数的问题转化为一元函数 的问题，用一元函数的知识和方法加以解决。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)
例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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多元函数微分学的应用习题及详细解答
（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2
高等数学多元函数微分学习题集锦
+
f y ⋅ gz ⋅ hx g y ⋅ hz
⎞ ⎟⎟⎠ dx.
即
du dx
=
fx
−
fy ⋅ gx gy
+
f y ⋅ gz ⋅ hx . g y ⋅ hz
第七章、多元函数微分法 习题课
解法3 隐函数求导法，
⎧u = f ( x, y),
⎪ ⎨
g
(
x,
y,
z)
=
0,
⎪⎩ h ( x , z ) = 0.
求 ∂z , ∂2z , ∂ 2z . ∂y ∂y2 ∂x∂y
解
∂z ∂y
=
x
3
⎛ ⎜⎝
f1′x +
f2′
1 x
⎞ ⎟⎠
f12′
xy y
x y
= x4 f1′+ x2 f2′,
x
∂2z ∂y 2
=
x4 ⋅
⎛ ⎜⎝
f1′1′x +
f1′2′
1 x
⎞ ⎟⎠
+
x2
⋅
⎛ ⎝⎜
f 2′′1 x
+
f2′′2
1 x
dx
dx
− xf ′d y + dz = f + xf ′ dx dx
F1′
+ F2′
d d
y x
+F3′
d d
z x
=
0
F2′
d d
y x
+
F3′
d d
z x
=
−
F1′
∴ dz = dx
−x f′ f +xf′
F2′
多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学（下册）（上海电机学院）
多元函数微分法和应⽤期末复习试题⾼等数学（下册）（上海电机学院）第⼋章偏导数与全微分⼀、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极⼤值B. 在点(-1, 3)处取极⼩值C. 在点(3, -1)处取极⼤值D. 在点(3, -1)处取极⼩值3.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分⽽⾮必要条件B.必要⽽⾮充分条件C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)⽅向的导数=??lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极⼤值B. 在点(1, 1)处取极⼩值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼤值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼩值 6.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分⽽⾮必要条件 B.必要⽽⾮充分条件 C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极⼤值 B. 在点(2, 5)处取极⼩值C.在点(5, 2)处取极⼤值D. 在点(5, 2)处取极⼩值9.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要⽽⾮充分条件 B. 充分⽽⾮必要条件 C.充分必要条件 D.既⾮充分也⾮必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平⾯x+2y+z=4平⾏的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使⼆元函数(,)x yf x y x y+=-沿某⼀特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满⾜222zy=，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使⼆元函数222(,)xy f x y x y=+在全平⾯连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数2 2(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y+= C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BC.x18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x= A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ??-= B. 220z zx y y x ??-> C.220z zx y y x-0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??=?+≠??，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极⼤值 (B) 有极⼩值 (C) 不是驻点 (D) ⽆极值 22.⼆元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，⽽r =，()f r 具有⼆阶连续导数，则222222u u ux y z++=（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要⽽⾮充分条件 (B) 充分⽽⾮必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件 25．函数221z x y =--的极⼤值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A) 14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个⼀阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ??=+ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=??===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =??； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ??=??+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()==?x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （D ）()x y x x f x ??+→?000,lim37. 设由⽅程0=-xyz e z确定的隐函数()==x zy x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. ⼆次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。
高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
5
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
从几何上看，这时如果曲面 z f ( x, y) 在点
21
例6
求椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的内接长方体,
使长方体的体积为最大.
解 设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为
(x, y, z),则内接长方体的体积为8x构yz造, 函数
F
( x,
y,
z)
8 xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1),
得方程组
8
yz
2x a2
0,
8 xz
2y b2
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
8
例1 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
解 先解方程组
f x ( x, y) 3x2 6x 9 0,
x y 1 3，z 2 3 和 2
x y 1 3，z 2 3 2
dmax 9 5 3, dmin 9 5 3.
25
例8. 求函数f(x, y)=xy在闭区域x2 y2 1上的
最大值与最小值
解 由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)得=x到=0函, 数在区域内 的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)下=0面.考虑函数在区域 的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节 全微分
dz f x (1,2)dx f y (1,2)dy 2 0.04 0 0.02 0.08
(1.04)2.02 1.08
V 2rhr r 2h
其余部分是 (r)2 (h)2的高阶无穷小，所以
V 2rhr r 2h o( (r)2 (h)2 )
2020/2/13
线性主部
无穷小量
3
二 全微分的定义
(Definition of total differential)
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在 点 (0 ,0 )处 f x (0 ,0 ) f y (0 ,0 ) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y , (x)2 (y)2
2020/2/13
14
记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
2020/2/13
20
证 令 x cos , y sin ,
则 lim xy sin 1
( x , y )(0,0)
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1
多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。
高等数学多元函数微分学的应用教案
( )，
则称函数 在点 有极大值（极小值） 。
二元函数的极值问题，首先讨论极值存在的必要条件：
定理1（必要条件）设函数 在点 处偏导数存在，且在点 处有极值，则有 。
证不妨设 在点 处有极大值。依极大值的定义，在点 的某邻域内异于 的点都适合不等式
讨论函数的极值问题时，如果函数在所讨论的区域内具有偏导数，则由定理1可知，极值只可能在驻点处取得。然而，如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点。例如在例2中，函数 在点（0,0）处的偏导数不存在，但该函数在点（0，0）处却具有极大值。因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，，那末对这些点也应当考虑。
但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这么简单。我们另有一种直接寻求条件极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极值的问题，这就是下面要介绍的拉格朗日乘数法。
现在我们来寻求函数 在满足条件 下取得极值的必要条件。
拉格朗日乘数法 要求函数 在附加条件 下的极值，可先构造辅助函数
其中 为某一常数，求其对 与 的一阶偏导数，并使之为零，然后与条件 联立
作业：1；3；6；9；10
因此，在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数 在 内的所有驻点处的函数值及在 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。但这种做法，由于要求出 在 的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂。在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数 的最大值（最小值）一定在 的内部取得，而函数在 内只有一个驻点，那末可以肯定该驻点的函数值就是函数 在 上的最大值（最小值）。
高等数学第八章 多元函数微分法及其应用
其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节 隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函 数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 ：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,
高等数学课件 同济四版
(
) )
2
,
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
x2 x2 − y2 , 2 2 2 f y (x , y ) = x + y 0,
(
(
)
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
7
x2 y2 2 x2 + y2 ≠ 0 f ( x, y) = ( x + y 2 ) 3 / 2 P85.7 x2 + y2 = 0 0 证明： 处连续且偏导数存在， 但不可微分。 证明： f ( x , y )在点(0,0)处连续且偏导数存在， 但不可微分。 提示： 提示： x2 y2 y2 x lim f ( x , y ) = lim 2 x=0 = lim 2 ⋅ 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 ⋅ x→0 x→0 ( x + y ) x→0 x + y (x + y ) y→0 y→0 y →0
0 0
z = f ( u, v ), u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ) ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
高等数学讲义——多元函数微分法
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数 z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f (x, y)在(x, y)处连续;
xy
yx
例4 证明u
1
满足拉普拉斯方程
x2 y2 z2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
证明:
u
1
(x2
y2
z
2
)
3 2
2x
x 2
x
3
(x2 y2 z2)2
2u x 2
(x2
1 y2
3
z2)2
x[ 3 (x2 2
y2
5
z2) 2
2x]
2x2 y2 z2
5
(x2 y2 z2)2
F f xy (x 3x, y 4y)xy 0 3 , 4 1
f yx (x 2x, y 4y) f xy (x 3x, y 4y)
由于f xy , f yx连续, 令x 0, y 0得 : f xy (x, y) f yx (x, y)
二. 全微分
1. 概念
x
(3)u z yx
z 6x2 y 2 ex y
(2) z x
1
1
y2 x2
(
y) x2
x2
y
y2
;
z x y x2 y2
(3) u z y x ln z y x ln y; u z y x ln z xy x1;
x
y
u y x z y x 1 z
多元函数微分法及其应用教案
第九章多元函数微分法及其应用教案(总43页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
【教学重点】1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。
【教学课时分配】 (18学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社23§91 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．区域由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点P 与有序二元实数组(x y )之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y )与平面上的点P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(x y )的全体 即R 2R R {(x y )|x y R }就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合 称为平面点集 记作 E {(x y )| (x y )具有性质P }例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C {(x y )| x 2y 2r 2}如果我们以点P 表示(x y ) 以|OP |表示点P 到原点O 的距离 那么集合C 可表成C {P | |OP |r } 邻域设P 0(x 0 y 0)是xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点P 0(x 0 y 0)距离小于的点P (x y )的全体 称为点P 0的邻域 记为U (P 0 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x PU邻域的几何意义 U (P 0 )表示xOy 平面上以点P 0(x 0 y 0)为中心、>0为半径的圆的内部的点P (x y )的全体 点P 0的去心邻域记作),(0δP U即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U注如果不需要强调邻域的半径则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域 点P 0的去心邻域记作)(0P U点与点集之间的关系任意一点P R 2与任意一个点集E R 2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点 如果存在点P 的某一邻域U (P ) 使得U (P )E 则称P 为E 的内点 (2)外点 如果存在点P 的某个邻域U (P ) 使得U (P )E 则称P 为E 的外点(3)边界点 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点 也有不属于E 的点 则称P 点为E 的边点E 的边界点的全体 称为E 的边界 记作E4E 的内点必属于E E 的外点必定不属于E 而E 的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点如果对于任意给定的0 点P 的去心邻域),( P U内总有E 中的点则称P 是E 的聚点由聚点的定义可知 点集E 的聚点P 本身 可以属于E 也可能不属于E 例如 设平面点集E {(x y )|1x 2y 22}满足1x 2y 22的一切点(x y )都是E 的内点 满足x 2y 21的一切点(x y )都是E 的边界点 它们都不属于E 满足x 2y 22的一切点(x y )也是E 的边界点 它们都属于E 点集E 以及它的界边E 上的一切点都是E 的聚点 开集 如果点集E 的点都是内点 则称E 为开集 闭集 如果点集的余集E c 为开集 则称E 为闭集 开集的例子 E {(x y )|1<x 2y 2<2} 闭集的例子 E {(x y )|1x 2y 22}集合{(x y )|1x 2y 22}既非开集 也非闭集连通性 如果点集E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E 为连通集区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E {(x y )|1x 2y 22}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E {(x y )|1x 2y 22}有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 E U (O r )其中O 是坐标原点 则称E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{(x y )|1x 2y 22}是有界闭区域 集合{(x y )| x y 1}是无界开区域集合{(x y )| x y 1}是无界闭区域 2 n 维空间设n 为取定的一个自然数 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1 x 2 x n )的全体所构成的集合 即 R n R R R {(x 1 x 2 x n )| x i R i 1 2n }R n 中的元素(x 1 x 2 x n )有时也用单个字母x 来表示 即x (x 1 x 2 x n ) 当所有的x i (i 1 2 n )都为零时 称这样的元素为R n 中的零元 记为0或O 在解析几何中 通过直角坐标 R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而R n 中的元素x (x 1 x 25x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量 x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量 特别地 R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量二多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V r 2h这里 当r 、h 在集合{(r h ) | r >0 h >0}内取定一对值(r h )时 V 对应的值就随之确定例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 VRT p =其中R 为常数 这里 当V 、T 在集合{(V T ) | V >0 T >0}内取定一对值(V T )时 p 的对应值就随之确定定义1 设D 是R 2的一个非空子集 称映射f D R 为定义在D 上的二元函数 通常记为z f (x y ) (x y )D (或z f (P ) P D )其中点集D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量x 、y 的一对值(x y )相对应的因变量z 的值 也称为f 在点(x y )处的函数值 记作f (x y ) 即z f (x y ) 值域 f (D ){z | z f (x y ) (x y )D }函数的其它符号 z z (x y ) z g (x y )等类似地可定义三元函数u f (x y z ) (x y z )D 以及三元以上的函数 一般地 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D 映射f D R 就称为定义在D 上的n 元函数 通常记为u f (x 1 x 2 x n ) (x 1 x 2 x n )D 或简记为u f (x ) x (x 1 x 2 x n )D 也可记为u f (P ) P (x 1 x 2 x n )D关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数u f (x )时 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数z ln(x y )的定义域为{(x y )|x y >0}(无界开区域)函数z arcsin(x 2y 2)的定义域为{(x y )|x 2y 21}(有界闭区域)二元函数的图形 点集{(x y z )|z f (x y ) (x y )D }称为二元函数z f (x y )的图形 二元函数的图形是一张曲面6三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在P (x y )P 0(x 0 y 0)的过程中 对应的函数值f (x y )无限接近于一个确定的常数A 则称A 是函数f (x y )当(x y )(x 0 y 0)时的极限定义2 ：设二元函数f (P )f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)是D 的聚点 如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时都有|f (P )A ||f (x y )A |成立 则称常数A 为函数f (x y )当(x y )(x 0 y 0)时的极限记为Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或f (x y )A ((x y )(x 0y 0))也记作 A P f P P =→)(lim 0或f (P )A (P P 0)上述定义的极限也称为二重极限例4. 设22221sin )(),(yx y x y x f ++= 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-可见 >0 取εδ= 则当δ<-+-<22)0()0(0y x 即),(),(δO U D y x P⋂∈时总有|f (x y )0|因此 0),(lim )0,0(),(=→y x f y x必须注意(1)二重极限存在 是指P 以任何方式趋于P 0时 函数都无限接近于A(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(00)有无极限 提示 当点P (x y )沿x 轴趋于点(00)时70lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f当点P (x y )沿y 轴趋于点(0 0)时0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f当点P (x y )沿直线y kx 有22222022 )0,0(),(1limlimk k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→因此 函数f (x y )在(0 0)处无极限极限概念的推广 多元函数的极限多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似例5 求x xy y x )sin(lim )2,0(),(→解y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→⋅=122四多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )f (x y )的定义域为DP 0(x 0 y 0)为D 的聚点 且P 0D如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→则称函数f (x y )在点P 0(x 0 y 0)连续如果函数f (x y )在D 的每一点都连续 那么就称函数f (x y )在D 上连续 或者称f (x y )是D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去 例6设f (x ,y )sin x 证明f (x y )是R 2上的连续函数 证 设P 0(x 0 y 0) R 2 0 由于sin x 在x 0处连续 故0 当|x x 0|时 有 |sin x sin x 0|以上述作P 0的邻域U (P 0 ) 则当P (x y )U (P 0 )时 显然 |f (x y )f (x 0 y 0)||sin x sin x 0|即f (x y )sin x 在点P 0(x 0 y 0) 连续 由P 0的任意性知 sin x 作为x y 的二元函数在R 2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的8定义4设函数f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)是D 的聚点 如果函数f (x y )在点P 0(x 0 y 0)不连续 则称P 0(x 0 y 0)为函数f (x y )的间断点 例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f其定义域D R 2 O (0 0)是D 的聚点 f (x y )当(x y )(0 0)时的极限不存在所以点O (0 0)是该函数的一个间断点 又如 函数11sin 22-+=y x z 其定义域为D {(x y )|x 2y 21} 圆周C {(xy )|x 2y 21}上的点都是D 的聚点 而f (x y )在C 上没有定义 当然f (x y )在C 上各点都不连续 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221y y x x +-+ sin(x y ) 222z y xe ++都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例7 求xyyx y x +→)2,1(),(lim一般地求)(lim 0P f P P →时如果f (P )是初等函数且P 0是f (P )的定义域的内点则f (P )在点P 0处连续 于是 )()(lim 00P f P f P P =→例8 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→五、多元连续函数的性质性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数 必定在D 上有界 且能取得它的最大值和最小值9性质1就是说 若f (P )在有界闭区域D 上连续 则必定存在常数M 0 使得对一切P D 有|f (P )|M 且存在P 1、P 2D 使得 f (P 1)max{f (P )|P D } f (P 2)min{f (P )|P D }性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值小结1. 区域的概念；2. 多元函数的定义；3. 多元函数的极限及其求解；4. 多元函数的连续性。
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2u 2 ax a e cos by, 2 x
2u 2u ax abe sin by, abe ax sin by. xy yx
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例3. 求函数 z e z 解: e x2y x
( 3) lim(1 sin xy) ;
x 0 y 0 1 xy
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x2 y2 (4) lim 4 4 x x y y
【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧
sin( xy) ya 【解】 (1)原式 lim x 0 xy y a
1 ( 2)原式 lim[(1 ) ] x x y a
1 2
x2
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二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类
1.一般来说，讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可 偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是 分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义 判断. lim f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) 内含三条，缺一不可 ［连 续］ x x
x2 y2 1 4 , 4 2 x y
x2 y2 1 1 lim 2 2 lim ( 2 2 ) 0 x x y x y x y y
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【法Ⅱ】——夹逼准则
x2 y2 2 x4 y4 0 4 4 4 4 x y x y 2 x , y 0 4 4 x y
z 2 z z 2 z f yx ( x , y ) f xy ( x , y ) , x y yx y x xy
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1. 【高阶偏导数的定义】
f x ( x x , y ) f x ( x , y ) 【定义式】 f xx ( x , y ) lim x 0 x f x ( x , y y ) f x ( x , y ) 其余类推 f xy ( x , y ) lim y 0 y
初等函数.(1,0)定义域 内点.连续. 代入法 换元,化为一元 函数的极限
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x 2 y 2 sin x 2 y 2 【例3】 求 lim 2 2 32 x 0 ( x y ) y 0
【阅读与练习】 求下列极限 x2 sin( xy ) 1 x2 y2 (1) lim (a 0); ( 2) lim (1 ) ; x 0 x x x y a y a
x2 y 0 2 y 0 2 x y
lim f ( x , y ) 0 f (0,0)
x 0 y 0
即f ( x, y)在点(0,0)处是连续的 .
机动 目录 上页 下2】 求 z x 2 3 xy y 2 在点 (1,2) 处的偏导数．
0
其中z f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 ) , ( x )2 ( y )2
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2.【二元函数在区域内的偏导数】
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y )对 自变量 x的偏导数，
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f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) 包括高阶偏 ［可偏导］ f x ( x0 , y0 ) lim h0 导数定义等 h
y y0
0
［可 微］
点 ( x0 , y0 )可微 lim
0
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y ] z [ f x
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例4. 计算函数 z xy y e , 解: x
在点 (2,1) 处的全微分. z xy x e y
z e2 , x (2,1)
z 2e 2 y (2,1)
例5. 计算函数 解: d u
?
的全微分.
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z f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). x x
同理可以定义函数 z f ( x , y )对自变量 y 的偏
z f 导数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ). y y
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3.【多元函数的偏导数】
x2y
2 z x2y e 2 x 2 2 z z x2y x2y 4e 2e 2 y x y 3 2 z z x2y ( ) 2 e y x 2 x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) lim . z 0 z
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4. 【偏导数的几何意义】
设 M0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点,
【解】
z 2x 3 y ; x
x 1 y 2
z 3x 2 y . y
z x z y
2 1 3 2 8 , 3 1 2 2 7 .
x 1 y 2
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【例 3】设 z x ( x 0, x 1) ，
如图
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z
Ty
M0
z f ( x0 , y ) x x0
Tx
z f ( x , y0 ) y y0
o
x0
y0
y
x
( x0 , y0 )
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【5.几何意义】
在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率 tan .
2z 6 x 2 y 9 y 2 1, x y
2z 6 x 2 y 9 y 2 1. yx
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【例 2】设 u e ax cos by ，求二阶偏导数.
【解】
u aeax cos by, x
u beax sin by; y
一、关于多元函数极限的题类
xy 【例1】 求 lim 2 2 x 0 x y y0 【解】 取路径 y = k x，则
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二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算 也更困难：
xy kx 2 k lim 2 2 lim 2 2 2 , 与k有关,故不存在. x 0 x 0 (1 k ) x x y 1 k y kx ln( x e y ) 【例2】 计算 lim 2 2 x 1 x y y 0
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(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。 (3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 3 z 3 2 3 【例 1】设 z x y 3 xy xy 1，求二阶偏导数及 3 . x z z 2 2 3 2 x 3 y 9 xy2 x; 【解】 3 x y 3 y y, y x 2 2 3 z z 3 z 2 2 2 x 18 xy; 6 xy , 6 y , 2 2 y x x 3
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偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截的曲线
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x2 y 2 2 , x y 0 2 2 【例1】 设f ( x , y ) x y , 2 2 0 , x y 0 问f ( x, y )在点(0,0)处是否连续 ？ x2 y f ( x , y ) lim 2 【解】 lim 2 x 0 x 0 x y y 0 y 0
x 0 y 0
x x x2 y2
e0 1
] e
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( 3)原式 lim[(1 sin xy)
1 sin xy sin xy xy
x2 y2 x2 y2 (4) 【法Ⅰ】 原式 lim 4 4 2 2 0 x x y x y y
偏导数 f y ( x 0 , y 0 ) 就是曲面被平面 x x 0 所截得的 曲线在点 M 0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的斜率 tan .
2 2 x y z 5. 曲线 4 在点( 2,4,5)处的切线对于 x 轴 y 4 zx ( 2,4,5 ) tan 的倾角是多少?
函数 z f ( x , y )的二阶偏导数按变量的不同分为以下两类：
①［二阶纯偏导数］ z 2 z z 2 z 2 f yy ( x , y ) 2 f xx ( x , y ), x x x y y y ②［二阶混合偏导数］
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u = f ( x , y , z ) 在 ( x , y , z) 处
f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) lim , x 0 x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) lim , y 0 y