知识讲解独立重复试验与二项分布

独立重复试验与二项分布【学习目标】1．理解n次独立重复试验模型及二项分布．2．能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题．【要点梳理】要点一、n次独立重复试验每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。

在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。

要点诠释：在次独立重复试验中，一定要抓住四点：①每次试验在同样的条件下进行；②每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生；③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；④各次试验之间相互独立。

总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：（k=0，1，2，…，n）．令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为．．．．．．．．令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为．．．．．．．．。

要点诠释：1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式．2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．要点三、n次独立重复试验常见实例：1.反复抛掷一枚均匀硬币2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理； ②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。

要点四、离散型随机变量的二项分布 1. 定义：在一次随机试验中，事件A 可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A 发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A 发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A 恰好发生次的概率是，（）．于是得到离散型随机变量的概率分布如下：由于表中第二行恰好是二项展开式中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作． 要点诠释：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三： 其一是独立性。

即每次试验的结果是相互独立的； 其二是重复性。

即试验独立重复地进行了n 次；其三是试验的结果的独特性。

即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。

2．如何求有关的二项分布（1）分清楚在n 次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n 的值，然后确定在一次试验中某事件A 发生的概率是多少，即确定p 的值，最后再确定某事件A 恰好发生了多少次，即确定k 的值；（2）准确算出每一种情况下，某事件A 发生的概率； （3）用表格形式列出随机变量的分布列。

【典型例题】类型一、独立重复试验的概率例 1．某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留到小数点后第2位）： （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．【思路点拨】5次预报相当于做了5次独立重复试验．利用独立重复试验公式即可． 【解析】（1）5次预报中恰有2次准确的概率为 ．（2）5次预报中至少有2次准确的概率为 51(0)P P =--．（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为．【总结升华】解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值．举一反三：【变式1】甲每次投资获利的概率是p=，对他进行的6次相互独立的投资，计算：（1）有5次获利的概率；（2）6次都获利的概率；（3）至少5次获利的概率．【答案】用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B（6，），且，．（1）他5次获利的概率约等于．（2）他6次都获利的概率约等于．（3）{X≥5}表示他至少5次获利，且{X≥5}={X=5}∪{X=6}．由于事件{X=5}和{X=6}互斥，所以P（X≥5）=P（X=5）+P（X=6）≈+=．故他至少5次获利的概率约等于．【变式2】若，则等于（）A． B． C． D．【答案】D；。

【变式3】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次∴从低层到顶层停不少于3次的概率设从低层到顶层停次，则其概率为，∴当或时，最大，即最大，答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．例2．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．（1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？（2）若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？【思路点拨】本题考查概率基础知识、独立重复试验等．（1）中应先分类，甲前两局胜，或一、三局胜，或二、三局胜．（2）中用同样的方法分类．【解析】（1）甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜。

则．（2）甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则【总结升华】本题中，无论比赛几局，只要甲获胜，必须甲在最末一局胜，如比赛3局，甲以2：1获胜，须前两局中甲胜一局负一局，第三局甲胜．举一反三：【变式】已知乒乓球选手甲、乙进行比赛，而且他们在每一局中获胜的概率都是，规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜。

（1）试求甲分别打完四局、五局、六局、七局才获胜的概率；（2）设比赛局数为X，求离散型随机变量X的分布列。

【答案】（1）根据比赛规定使用“七局四胜制”，即先赢四局者胜，则：①记事件A1=“甲连胜四局”，所以甲打完四局就获胜的概率为：；②记事件A2=“在前四局比赛中甲胜三局且第五局也胜”，所以甲打完五局才获胜的概率为：；③记事件A3=“在前五局比赛中甲胜三局且第六局也胜”，所以甲打完六局才获胜的概率为：；④记事件A4=“前六局比赛中甲胜三局且第七局也胜”，所以甲打完七局才获胜的概率为：。

（2）由题意可知，比赛局数X的可能取值为4，5，6，7，并且每种情况比赛总有一人获胜，故离散型随机变量X的分布列为类型二、离散型随机变量的二项分布例3. 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。

（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列。

【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分服从二项分布，故可用n次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。

【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则（Ⅱ）由题意，的可能取值为3．4．5．6。

因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为的分布列为【总结升华】①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量服从二项分布，然后运用n 次独立重复试验的概率公式计算。

②注意n 次独立重复试验中，离散型随机变量X 服从二项分布，即，这里n 是独立重复试验的次数，p 是每次试验中某事件发生的概率。

举一反三：【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．【答案】依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=(95%)=，P (ξ=1)=(5%)(95%)=， P ()=(5%)=．因此，次品数ξ的概率分布是【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。

（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：（1）ξ:B (5, )，ξ的分布列为P (ξ=k )=5512()()33kkkC -，k =0，1，2，3，4，5；（2）η的分布列为P (η=k )=p (前k 个是绿灯，第k +1个是红灯)=21()33k⋅，k =0，1，2，3，4；P (η=5)=P (5个均为绿灯)=52()3；（3）所求概率=P (ξ≥1)=1－P (ξ=0)=1－52211()3243=≈. 【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X 次球，求X 的分布列及P （X=12）．【答案】由题意知，X 是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是，取得白球的概率是，所以X=k （k=10，11，12…）表示取了k 次球，且第k 次取到的是红球，前（k －1）次取得9次红球．∴X 的分布列为91()k P X k C -==（k=10，11，…），（表格略）．【变式4】某射手击中目标的概率为，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X的概率分布．【答案】错解： X的可能取值是1，2，3，4．P（X=1）=；；；．所以X的概率分布列为错解分析：错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A首次发生出现在第k次试验中的概率，要使首次发生出现在第k次试验，必须而且只需在前（k－1）次试验中都出现．正解 X的可能取值是1，2，3，4．P（X=1）=；P（X=2）=×=；P（X=3）=×=；P（X=4）==．所以X的概率分布列为类型三、独立重复试验与二项分布综合应用例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？【思路点拨】本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件D i，（i=1，2，3，4，5），则，由于各事件相互独立，故答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是【总结升华】射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。