知识讲解独立重复试验与二项分布

独立重复试验与二项分布

【学习目标】

1．理解n次独立重复试验模型及二项分布．

2．能利用n次独立重复试验及二项分布解决一些简单的实际问题．

【要点梳理】

要点一、n次独立重复试验

每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。

要点诠释：

在次独立重复试验中，一定要抓住四点：

①每次试验在同样的条件下进行；

②每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生；

③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；

④各次试验之间相互独立。

总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

要点二、独立重复试验的概率公式

1.定义

如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：

（k=0，1，2，…，n）．

令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为

．．．．．．．．

令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为

．．．．．．．．。

要点诠释：

1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式．

2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便．

要点三、n次独立重复试验常见实例：

1.反复抛掷一枚均匀硬币

2.已知产品率的抽样

3.有放回的抽样

4.射手射击目标命中率已知的若干次射击

要点诠释：

抽样问题中的独立重复试验模型：

①从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理； ②从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；

③从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。

要点四、离散型随机变量的二项分布 1. 定义：

在一次随机试验中，事件A 可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A 发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A 发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A 恰好发生次的概率是

，（）．

于是得到离散型随机变量的概率分布如下：

由于表中第二行恰好是二项展开式

中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作． 要点诠释：

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三： 其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的； 其二是重复性。即试验独立重复地进行了n 次；

其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。 2．如何求有关的二项分布

（1）分清楚在n 次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n 的值，然后确定在一次试验中某事件A 发生的概率是多少，即确定p 的值，最后再确定某事件A 恰好发生了多少次，即确定k 的值；

（2）准确算出每一种情况下，某事件A 发生的概率； （3）用表格形式列出随机变量的分布列。 【典型例题】

类型一、独立重复试验的概率

例 1．某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留到小数点后第2位）： （1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率；

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

【思路点拨】5次预报相当于做了5次独立重复试验．利用独立重复试验公式即可． 【解析】（1）5次预报中恰有2次准确的概率为 ．

（2）5次预报中至少有2次准确的概率为 51(0)P P =--．

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率为

．

【总结升华】解决此类问题，首先应明确是否是n次独立重复试验，其次要弄清公式中n和k的值以及p的值．

举一反三：

【变式1】甲每次投资获利的概率是p=，对他进行的6次相互独立的投资，计算：

（1）有5次获利的概率；

（2）6次都获利的概率；

（3）至少5次获利的概率．

【答案】用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项分布B（6，），且

，

．

（1）他5次获利的概率约等于．

（2）他6次都获利的概率约等于．

（3）{X≥5}表示他至少5次获利，且{X≥5}={X=5}∪{X=6}．

由于事件{X=5}和{X=6}互斥，所以

P（X≥5）=P（X=5）+P（X=6）≈+=．

故他至少5次获利的概率约等于．

【变式2】若，则等于（）

A． B． C． D．

【答案】D；。

【变式3】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？

【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次

∴从低层到顶层停不少于3次的概率

设从低层到顶层停次，则其概率为，

∴当或时，最大，即最大，

答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．

例2．甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．

（1）若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，则甲获胜的概率是多少？

（2）若进行五局三胜制比赛，则甲获胜的概率是多少？

【思路点拨】本题考查概率基础知识、独立重复试验等．（1）中应先分类，甲前两局胜，或一、三局胜，或二、三局胜．（2）中用同样的方法分类．

【解析】（1）甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜。则

．

（2）甲前三局胜，或甲第四局胜而前三局仅胜两局，或甲第五局胜而前四局仅胜两局，则