数据处理(模糊数学)

0, x a 偏大型：A ( x ) k( xa) , x a(k 0) 1 e
正态分布 偏小型：
1, x a A( x ) xa 2 ( ) e , x a
A( x ) e
( xa )
2
中间型：
偏大型：
0, x a A( x ) xa 2 ( ) 1 e ,x a

0 .9 5

0 .5 6

0 .1 7
A
c
0 .7 1

0 .5 2

0 .2 3

0 .6 4

0 .9 5

1 6

1 7

1 8
三、 隶属函数的确定
模糊数学的基本思想是隶属度思想，应用模糊数学 建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。如何 确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题这 里仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法 1. 模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：概率统计随机事件A是 固定不变的，样本空间中样本点数是变动的，而模糊统 计试验中，x是固定不变的，而模糊集A*是可变的。
实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：
第一类是确定性数学模型，即模型的背景具有确定性，对象之间 具有必然的关系。
第二类是随机性的数学模型，即模型的背景具有随机性和偶然性。
第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确 定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学 的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊 现象。
模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；取大运算 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；取小运算 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).
c
0 .9 0 .7
1 0 .8
（2）模糊矩阵的合成 定义：设 A ( a ij ) m s , B ( b ij ) s n , 称模糊矩阵
A B ( c ij ) m n
为A与B的合成，其中 c ij max{( a ik b kj ) 1 k s } 。
−1.0442x6−0.1649x7−0.8396x8+1.679x9+2.9379x10 x12=1.4549x1+10.6301x2+9.8035x3+6.3458x4+18.9423x5 +19.8061x6−27.0196x7+5.868x8−15.5581x9−26.9397x10 到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如 果上述观测站的数据不是10年，而是超过12年，则此时向量的 维数大于向量组所含的向量个数，这样的向量组未必线性相关。 故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的12个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最 后确定从哪几类中去掉几个观测站。
用i=1,2,L,10分别表示1981年，1982年，…，1990年。aij （i=1,2,L,10，j=1,2,L,12）表示第j个观测站第i年的观测值， 记A=(aij)10×12。 利用MATLAB可计算出矩阵A的秩r(A)=10，且任意10个列向 量组成的向量组都是极大线性无关组，
例如，我们选取前10个气象观测站的观测值作为极大线性无关组， 则第11，12这两个气象观测站的降水量数据完全可以由前10个气 象观测站的数据表示。设xi（i=1,2,L,12）表示第i个气象观测 站或第i个观测站的观测值。则有 x11=0.0124x1−0.756x2+0.1639x3+0.3191x4−1.3075x5
东莞职业技术学院数学建模培训系列
数据处理
-------模糊数学
主讲人: 付玉霞
公共教学部数学教研室 2011.5
基本内容：
第一章：模糊数学基本概念
第二章：模糊聚类分析
第三章：模糊模式识别 第四章：模糊综合评判决策
例 某地区内有12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量 如表3 所示。为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减 少哪些观察站可以使所得到的降水量信息仍然足够大？
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函 ~ ~
~
数， A ( x ) 称为 x 对 A 的隶属程度，简称隶属度。 ~
~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
~
~
是等同的。为简单见，通常用A来表示 A 和 A 。 ~
~
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一 个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为
A( x) x 140 190 140 A( x) x 100 200 100
也可用Zadeh表示法：
A
A 0.15 x1
0 x1


0.2 x2

0.4 x3

0.6 x4
Leabharlann Baidu

0.8 x5

1 x6
0.2 x2

0.42 x3

0.6 x4

0.8 x5

0.9 x6
A (0.15, 0.2, 0.42, 0.6, 0.8, 0.9)(向量表示)
1 例：设 A 0 .2 1 A B 0 .3 0 A 0 .8
c
0 .1 0 .4 , B 0 .3 0 .3 0 .1 0 .3
0 ,则 0 .2 0 0 .2
0 .4 A B 0 .2 0 .6 B 0 .7
第一章 模糊数学基本概念
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A、B、C等表示。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
0 .4 例：设 A 0 .1 0 .5 0 .2 0 .1 0 .6 , B 0 .3 0 .3 0 .5 0 .1 B A 0 .3 0 .4 0 .2 0 .4 , 则 0 .6 0 .2 0 .3 0 .5 0 .2 0 .3 0 .5
模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性” 或“亦此亦彼性”。 如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境 污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象， 如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不 好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很 难用经典的数学来描述。
•
X={1,2,3,4,5,6,7,8}
A
B
0 .3 1
0 .2 3


0 .5 2
0 .6 4




0 .8 3
0 .9 5
0 .8 3
0 .1 5


0 .4 4

0 .1 5
0 .1 7
0 .5 6

AUB
A B
0 .3 1
0 .2 3


0 .5 2
0 .4 4

0 .6 4
0 .5 AB 0 .3
0 .6 0 .3
（3）模糊矩阵的转置
T 定义：设 A ( a ij ) m n , 称 A T ( a ij ) m n 为A的
转置矩阵，其中 a ij a ji 。 （4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A ( a ij ) m n , 对任意的 [ 0 ,1 ], 称
1, x a b x 偏小型： ( x ) A ,a x b ba 0, x b
1, x b
分布
1, x a 偏小型： A ( x ) k( xa) e , x a(k 0)
e k(xa) , x a 中间型： A ( x ) 1, a x b ( k 0 ) k(xa) ,x b e
常用的隶属函数有偏小型、中间型、偏大型.
梯形分布：
0, x a xa ,a x b ba A 中间型： ( x ) 1, b x c d x 0, x a ,c c d d c xa 偏大型：( x ) 0, x d A ,a x b ba
解法二（用模糊数学的方法）
例
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知， 经典数学是以精确性为特征的. 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值 的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴 宽边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息―― 大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念， 但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接 到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及 部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等 方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.
A ( a ij
( )
T
)mn
为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
a ij
( )
1 , a ij 0 , a ij
1 0 .5 例：设 A 0 .2 0
0 .5 1 0 .1 0 .3
0 .2 0 .1 1 0 .8
0 .3 ,则 0 .8 1 0
第二章 模糊聚类分析
（1）模糊矩阵间的关系及运算 定义：设 A ( a ij ) m n , B ( b ij ) m n 都是模糊矩阵，定义 相等：A B a ij b ij 包含： B a ij b ij A 并： A B ( a ij b ij ) m n 交： A B ( a ij b ij ) m n 余： A c ( 1 a ij ) m n 取大运算 取小运算
A : U {0,1}
u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
二、模糊集合及其运算 1、模糊子集 定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
~
2. 指派方法
一种主观方法根据实践经验来确定，一般给出隶属函 数的解析表达式。
3. 借用已有的“客观”尺度
根据问题的实际意义来确定，在经济管理，社会管理 中常用。如U表示产品，定义A模糊集“质量稳定”， 可用产品的“正品率”作为A的隶属度。
• 常用的隶属函数有Z函数（偏小型）、∏函数（中 间型）、S函数（偏大型）. • 偏小型一般适合于描述像“小，少，浅，淡，青 年”等偏小程度的模糊现象。 • 偏大型一般适合于描述像“大，多，深，浓，老 年”等偏大程度的模糊现象。 • 中间型一般适合于描述像“中，适中，不太多， 不太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现 象。
解法一 我们把12个气象观测站的观测值看成12个向量组，由于 本题只给出了10年的观测数据，根据线性代数的理论可知，若 向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组必然线性 相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无 关组所含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由 于向量组中的其余向量都可由极大线性无关组线性表示，因此， 可以使所得到的降水信息量足够大。