高中数学 3.3模拟方法 概率的应用课件 北师大版必修3
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[思路分析] 从每一个位置上剪断绳子是一个基本事件， 剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点，基本事件有无 限多个且是等可能的，事件发生的概率只与剪断位置所处的绳 子的长度有关，符合几何概型的条件．
[规范解答] 如图所示，记“剪得两段绳长都不小于 1 m” 为事件 A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时， 事件 A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，所以事件 A 发生的概率 P(A)＝13.
5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的 时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下 列三种情况的概率各是__________、__________、__________. (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯
[答案]
2 5
1 15
3 5
[解析] 在 75 秒内，每一时刻到达路口的时候是等可能的， 属于几何概型．
2．如图，边长为 2 的正方形有一封闭曲
线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒
豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影 部区域的面积为( )
4 A.3
B．83
2 C.3
D．无法计算
[答案] B
[解析] 由几何概型的公式知：SS正阴方影形＝23， 又 S 正方形＝4，∴S 阴影＝83.
3．下列概率模型中是几何概型的有( )
4．某人从甲地去乙地共走了 500m，途经一条宽为 xm 的 河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找 不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的 概率为2245，则河宽为________m.
[答案] 20
[解析] 已知河宽为 xm，则该物品能被找到的概率为 50500－0 x，由题意知50500－0 x＝2245，解得 x＝20.
1．模拟方法 虽然可以通过做大量重复试验，用随机事件发生的频率来 估计其概率，但是，人工进行试验费时、费力，并且有时是不 可能实现的．因此，我们常常借助_模__拟__方__法__来估计某些随机 事件发生的概率，用_模__拟__方__法__可以在短时间内完成大量的重 复试验．对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助 我们得到其概率的近似值．模拟方法在实际中有很多应用．
①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1
的数的概率；
③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2
的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内任投一点P，求点P
离中心不超过1 cm的概率．
A．1个 B．2个
(1)P＝亮红全灯部的时时间间＝30＋3400＋5＝25； (2)P＝亮黄全灯部的时时间间＝755＝115；
不是红灯亮的时间 (3)P＝ 全部时间 ＝黄灯全或部绿时灯间的时间＝4755＝35.
课堂典例讲练
长度模型的几何概型
取一根长为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两断的长都不小于 1 m 的概率有多大？
2．几何概型
向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落
在子区域 G1 G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的__形__状____、
_位__置___无关，即
P(点
M
落在
G1
G1的面积 内)＝__G_的__面__积___，则称这种模
型为几何概型．几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的
________．
[答案]
1 2
[解析] 如图所示，设事件 A：蚂蚁距离三 角形的三个顶点的距离均超过 1.
试验的全部区域构成的长度是 3＋4＋5＝ 12，事件 A 的区别是 1＋2＋3＝6.则 P(A)＝162＝ 12.
角度的几何概型
在圆心角为 90°的扇形中，以圆心 O 为起点作射 线 OC，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°的概率．
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] ①不是几何概型，虽然[－10,10]有无限多个数， 但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概 型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限 性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等 可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21 个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边 长4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两 个区域内的任何一个点都有可能被投到，且被投到的概率相 等，故满足无限性和等可能性．
[思路分析] 射线OC随机地落在∠AOB内部，故∠AOB为 所有试验结果构成的区域，作∠BOE＝∠AOD＝30°，当射线 OC落在∠ DOE内部时，∠AOC和∠BOC都不小于30°，故 ∠DOE为构成事件的区域；这显然是一个与角度有关的几何概 型．
[规律总结] 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到 几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线 段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定 边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概 率．
一பைடு நூலகம்蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形边上爬行，某时
刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
概率 第三章
§3 模拟方法——概率的应用 第三章
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课后强化作业
课前自主预习
向一个圆面内随机地投一粒黄豆，如果该粒黄豆落在圆内 任意一点都是等可能的，那么这个试验是古典概型吗？因为试 验的所有可能结果是圆面内的所有点，试验的所有结果是无限 的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，但是这个 试验不是古典概型．本节课我们来研究此类试验的特征及其概 率．
_有__限__区__域__，相应的概率是_体__积__之__比__或_长__度__之__比__．
1．几何概型与古典概型的区别是( ) A．几何概型的基本事件是等可能的 B．几何概型的基本事件的个数是有限的 C．几何概型的基本事件的个数是无限的 D．几何概型的基本事件不是等可能的 [答案] C [解析] 几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典 概型中的等可能事件只有有限多个．
[规范解答] 如图所示，记“剪得两段绳长都不小于 1 m” 为事件 A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时， 事件 A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，所以事件 A 发生的概率 P(A)＝13.
5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的 时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下 列三种情况的概率各是__________、__________、__________. (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯
[答案]
2 5
1 15
3 5
[解析] 在 75 秒内，每一时刻到达路口的时候是等可能的， 属于几何概型．
2．如图，边长为 2 的正方形有一封闭曲
线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒
豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影 部区域的面积为( )
4 A.3
B．83
2 C.3
D．无法计算
[答案] B
[解析] 由几何概型的公式知：SS正阴方影形＝23， 又 S 正方形＝4，∴S 阴影＝83.
3．下列概率模型中是几何概型的有( )
4．某人从甲地去乙地共走了 500m，途经一条宽为 xm 的 河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找 不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的 概率为2245，则河宽为________m.
[答案] 20
[解析] 已知河宽为 xm，则该物品能被找到的概率为 50500－0 x，由题意知50500－0 x＝2245，解得 x＝20.
1．模拟方法 虽然可以通过做大量重复试验，用随机事件发生的频率来 估计其概率，但是，人工进行试验费时、费力，并且有时是不 可能实现的．因此，我们常常借助_模__拟__方__法__来估计某些随机 事件发生的概率，用_模__拟__方__法__可以在短时间内完成大量的重 复试验．对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助 我们得到其概率的近似值．模拟方法在实际中有很多应用．
①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1
的数的概率；
③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1而小于2
的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内任投一点P，求点P
离中心不超过1 cm的概率．
A．1个 B．2个
(1)P＝亮红全灯部的时时间间＝30＋3400＋5＝25； (2)P＝亮黄全灯部的时时间间＝755＝115；
不是红灯亮的时间 (3)P＝ 全部时间 ＝黄灯全或部绿时灯间的时间＝4755＝35.
课堂典例讲练
长度模型的几何概型
取一根长为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两断的长都不小于 1 m 的概率有多大？
2．几何概型
向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M，若点 M 落
在子区域 G1 G 的概率与 G1 的面积成正比，而与 G 的__形__状____、
_位__置___无关，即
P(点
M
落在
G1
G1的面积 内)＝__G_的__面__积___，则称这种模
型为几何概型．几何概型中的 G 也可以是空间中或直线上的
________．
[答案]
1 2
[解析] 如图所示，设事件 A：蚂蚁距离三 角形的三个顶点的距离均超过 1.
试验的全部区域构成的长度是 3＋4＋5＝ 12，事件 A 的区别是 1＋2＋3＝6.则 P(A)＝162＝ 12.
角度的几何概型
在圆心角为 90°的扇形中，以圆心 O 为起点作射 线 OC，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°的概率．
C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] ①不是几何概型，虽然[－10,10]有无限多个数， 但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概 型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限 性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等 可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21 个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边 长4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两 个区域内的任何一个点都有可能被投到，且被投到的概率相 等，故满足无限性和等可能性．
[思路分析] 射线OC随机地落在∠AOB内部，故∠AOB为 所有试验结果构成的区域，作∠BOE＝∠AOD＝30°，当射线 OC落在∠ DOE内部时，∠AOC和∠BOC都不小于30°，故 ∠DOE为构成事件的区域；这显然是一个与角度有关的几何概 型．
[规律总结] 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到 几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线 段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定 边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概 率．
一பைடு நூலகம்蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形边上爬行，某时
刻此蚂蚁距离三角形三个顶点距离均超过1的概率为
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
概率 第三章
§3 模拟方法——概率的应用 第三章
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课后强化作业
课前自主预习
向一个圆面内随机地投一粒黄豆，如果该粒黄豆落在圆内 任意一点都是等可能的，那么这个试验是古典概型吗？因为试 验的所有可能结果是圆面内的所有点，试验的所有结果是无限 的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，但是这个 试验不是古典概型．本节课我们来研究此类试验的特征及其概 率．
_有__限__区__域__，相应的概率是_体__积__之__比__或_长__度__之__比__．
1．几何概型与古典概型的区别是( ) A．几何概型的基本事件是等可能的 B．几何概型的基本事件的个数是有限的 C．几何概型的基本事件的个数是无限的 D．几何概型的基本事件不是等可能的 [答案] C [解析] 几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典 概型中的等可能事件只有有限多个．