高等数学基础班讲义[研究生入学考试]

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高等数学考研讲义

高等数学考研讲义高等数学是考研数学中的重要组成部分，对于很多考生来说，是需要重点攻克的难关。

在这份讲义中，我们将系统地梳理高等数学的重要知识点，并通过典型例题帮助大家加深理解。

一、函数与极限函数是高等数学的基础概念之一。

函数的定义、性质（奇偶性、单调性、周期性、有界性等）需要熟练掌握。

极限是高等数学中的核心概念。

极限的定义、性质以及计算方法是重点。

1、极限的定义极限的ε δ 定义是理解极限概念的关键，但在实际计算中用得较少。

而对于一些简单函数的极限，可以通过直观的分析来理解。

2、极限的性质极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性等性质。

3、极限的计算极限的计算方法有多种，包括四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式等。

例如，计算极限：lim(x→0) （sin x ／ x)我们可以利用等价无穷小替换，当x → 0 时，sin x ～ x ，所以该极限的值为 1 。

再如，计算极限：lim(x→∞）（（x ＋ 1) ／（x 1) ）＾x这是一个1^∞ 型的极限，可以使用重要极限公式或者化为指数形式后用洛必达法则求解。

二、导数与微分导数反映了函数的变化率。

1、导数的定义函数在某一点的导数定义为该点处的切线斜率。

2、导数的计算基本初等函数的导数公式要牢记，同时掌握求导法则（四则运算、复合函数求导法则等）。

例如，求函数 y ＝ sin(2x ＋ 1) 的导数令 u ＝ 2x ＋ 1 ，则 y ＝ sin u ，根据复合函数求导法则，y' ＝ cos u u' ＝ 2cos(2x ＋ 1) 。

微分是函数增量的线性主部。

三、中值定理与导数的应用中值定理是高等数学中的重要定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足：在闭区间 a, b 上连续；在开区间（a, b) 内可导；f(a) ＝ f(b) ，那么在（a, b) 内至少存在一点ξ ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。

汤家凤高数基础班讲义

汤家凤高数基础班讲义1. 引言本讲义旨在介绍汤家凤高数基础班的课程内容和教学方法。

汤家凤高数基础班是一门为初学者设计的高等数学课程，旨在帮助学生建立扎实的高数基础，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。

2. 课程目标•掌握代数与初等函数相关知识；•理解微积分的基本概念和方法；•学会运用微积分解决实际问题；•培养逻辑思维和问题解决能力。

3. 课程大纲3.1 代数与初等函数•实数与复数•集合论与不等式•函数与映射关系•初等函数及其性质3.2 极限与连续•数列极限及其性质•函数极限及其性质•连续性及其应用3.3 导数与微分•导数的概念与计算法则•高阶导数与隐函数求导法则•微分中值定理及其应用3.4 积分与应用•不定积分与定积分•定积分的计算法则•积分中值定理及其应用3.5 微分方程•常微分方程的基本概念•一阶常微分方程及其解法•高阶常微分方程及其解法4. 教学方法4.1 理论讲解教师将通过清晰明了的语言和示例，对每个知识点进行详细讲解。

教师会引导学生理解概念、掌握基本原理，并提供相关的数学推导过程。

4.2 练习与讨论教师将提供大量练习题，并指导学生进行课堂练习和小组讨论。

通过实际操作和合作交流，加深对知识点的理解和应用能力。

4.3 解题技巧分享教师将分享一些常见的解题技巧和方法，帮助学生更好地应对考试和实践中的各种问题。

同时，鼓励学生探索不同的解题思路，培养独立思考和创新能力。

4.4 实践案例分析教师将选取一些实际问题，通过案例分析的方式，将抽象的数学知识与实际问题相结合。

通过分析和解决实践问题，加深学生对数学应用的理解和体验。

5. 学习资源•教材：《高等数学》（第三版），汤家凤、吴立宗编著•参考书：《高等数学辅导教程》，汤家凤、吴立宗编著•网上资源：汤家凤高数基础班在线课程6. 考核方式•平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；•期中考试：对前半个学期的知识进行检测；•期末考试：对全年知识进行综合考核。

2010_考研数学基础班高等数学讲义(全全部)

第一章函数、极限、连续第二章§1.1 函数（甲）内容要点一、函数的概念1.函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集{}|(),Z y y f x x D ==∈称为函数的值域。

2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。

这类函数称为分段函数。

例如21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。

需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

3.隐函数形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()xfy -=。

有时也用1()y fx -=表示。

二、基本初等函数1.常值函数 y ＝C （常数）2.幂函数y xα=（α常数）3.指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1常数）xy e=（e ＝2.7182…，无理数）4.对数函数 log a y x=（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==5.三角函数sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。

2014武忠祥高数基础班讲义(人信)

2014年考研数学基础班讲义（高等数学）第一章函数极限连续一、函数1 函数的概念（定义域，对应法则，值域）2 函数的性态：单调性奇偶性周期性有界性有界性：定义：若,0>∃M 使得,I x ∈∀恒有,)(M x f ≤则称)(x f 在I 上有界。

3 复合函数与反函数 (求复合函数和反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数:将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。

了解它们的定义域、性质、图形. 2）初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型：1。

函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。

复合函数；【例1】 )(e |sin |)(cos +∞<<-∞=x x x x f x 是（A ）有界函数. （B ）单调函数. （C ）周期函数（D ）偶函数.【例2】已知[],1)(,sin )(2x x f x x f -==ϕ则______)(=x ϕ的定义域为._______【解】 )1arcsin(2x -； ].2,2[-【例3】设⎩⎨⎧≥-<=⎩⎨⎧>+≤-=0,,0,)(,0,2,0,2)(2x x x x x f x x x x x g 则[].________)(=x f g【解】 =)]([x f g ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x二、极限 1 极限的概念 1) 数列极限:A a n n =∞→lim ：0 ,0>∃>∀N ε,当N n >时，恒有ε<-||A a n .2）函数极限:（1）A x f x =∞→)(lim ： 0 ,0>∃>∀X ε,当X x >||时，恒有ε<-|)(|A x f .类似的定义 A x f x =-∞→)(lim ，A x f x =+∞→)(lim 。

高等数学基础班讲义(张宇)

f
(x) x
dx, 其中f
(x)
=
x
∫1
ln(1 + t
t)
dt
【考点分析】本题核心考察了求解积分的四种基本方法：
凑积分：
把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
换元积分法：利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。
分部积分法： ∫ udv = uv − ∫ vdu
有理函数的积分： Pn (t) n < m
全国免费咨询电话：400-668-2190
4
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( ) 【例】求 lim sin x + 2014 − sin x x→+∞
【答案简析】
对f (t) = sin t在[ x, x + 2014]上用拉格朗日中值定理
⇒ sin x + 2014 − sin x = 1 cos ξ ⋅ 2014 ξ ∈( x, x + 2014)
cos x cos 2x (1− 3 cos 3x )
= lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
= 1 +1+ 3 = 3 22
【练习】求 lim1− cos x cos 2x cos 3x 求a,b
x→0
axb
2、加强计算指标：①准 ②快
1.用思想 2.用知识 3.熟能生巧
a,
b]
∫ 上的一个原函数，则 b a
f
(x)dx
=
F (b)
−
F (a)
全国免费咨询电话：400-668-2190
3
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考研数学之高等数学讲义第一章(考点知识点概念定理总结)

高等数学讲义目录第一章函数、极限、连续 (1)第二章一元函数微分学 (24)第三章一元函数积分学 (49)第四章常微分方程 (70)第五章向量代数与空间解析几何 (82)第六章多元函数微分学 (92)第七章多元函数积分学 (107)第八章无穷级数（数一和数三） (129)第一章函数、极限、连续§1.1 函数(甲) 内容要点一、函数的概念1．函数的定义 2．分段函数3．反函数 4．隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y xt →= 2．用变上、下限积分表示的函数(1) ⎰=x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ⎰=)()(21)(x x dt t f y ϕϕ 其中)(),(21x x ϕϕ可导，)(t f 连续，则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dxϕϕϕϕ''=- 五、函数的几种性质1．有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。

2．奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。

若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。

3．单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f <)]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增]（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。

2021年考研 -数学基础班-高等数学-第四讲-多元函数微分学

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2024版考研数学高等数学辅导讲义

2024版考研数学高等数学辅导讲义2024年版考研数学高等数学辅导讲义我们来了解一下高等数学的基本概念。

高等数学包括了微积分和数学分析两个部分，其中微积分是高等数学的核心内容。

微积分主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。

函数的极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点的极限，我们可以得到函数在该点的导数。

导数是函数在某一点的变化率，它具有重要的几何和物理意义。

积分是导数的逆运算，它可以求得函数的面积、体积等重要的几何量。

在高等数学的学习过程中，我们需要掌握一些重要的解题技巧。

首先是函数的性质和图像的分析。

通过对函数的性质和图像的分析，我们可以更好地理解函数的行为和特点，从而为解题提供便利。

其次是函数的导数和积分的运算法则。

掌握了导数和积分的运算法则，我们可以更快地计算函数的导数和积分。

另外，我们还需要注意一些常见的函数和定理，如三角函数、指数函数、对数函数以及洛必达法则、泰勒展开等。

除了基本概念和解题技巧，我们还需要了解一些高等数学中的重要定理和公式。

例如，微积分中的中值定理、费马定理、罗尔定理等，它们是解题过程中常用的工具。

另外，我们还需要掌握一些常见的数列和级数的性质和判别法则，如等比数列、等差数列、收敛级数、发散级数等。

在高等数学的学习中，我们还需要进行大量的习题训练。

通过解题训练，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。

在解题过程中，我们要注重思路和方法的灵活运用，遇到难题时要善于思考，多角度思考问题，找到解题的突破口。

总结起来，2024版考研数学高等数学辅导讲义是一本全面系统地介绍了高等数学的基本概念、解题技巧和重要定理的教材。

通过学习该讲义，考研学生可以全面掌握高等数学的知识，提高解题能力，为考研数学的复习打下坚实的基础。

希望大家能够认真学习，刻苦钻研，取得优异的成绩。

2013考研高等数学基础班(第01-06课)-文档资料

第一章函数、极限、连续
【解法2】
求极限与无穷小阶的比较
故应选（C）
第一章函数、极限、连续
方法3 等价无穷小代换【例1】
【解】
求极限与无穷小阶的比较
第一章函数、极限、连续
【例2】
【解】
求极限与无穷小阶的比较
第一章函数、极限、连续
方法4 夹逼原理【例1】
【解】由于
求极限与无穷小阶的比较
几个值得注意的极限：
(1)
（错）.
(2)
（错）.
极限概念及四大性质
(3) 正确的是
（错）.
(4)
（错）.
正确的是
(5)
（错）.
正确的是
极限概念及四大性质
2.极限性质
（1）局部界性
若
存在, 则
极限概念及四大性质
在某去心邻域有界。
（2）保号性设
① 如果 ②如果当,则存在ຫໍສະໝຸດ 当时,那么
时，
第一章函数、极限、连续
函数
第一章函数、极限、连续
（2）初等函数：
函数
由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除
和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.
常考题型： 1.函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2.复合函数；
第一章函数、极限、连续
【例1】（A）有界函数. （C）周期函数
是（）函数
（B）单调函数. （D）偶函数.
且则
第一章函数、极限、连续
【例2】【解法1】【解法2 】由于
又则
求极限与无穷小阶的比较
第一章函数、极限、连续
【例3】
求极限与无穷小阶的比较

基础班讲义(高数)

一函数、极限与连续（一）本章重点内容1.本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限，求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有：（1）利用极限的四则运算法则及函数的连续性；（2）利用两个重要极限，两个重要极限即11lim 1lim 1n xn x e n x →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0sin lim1x x x →= （3）利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限；（4）利用等价无穷小代替（常会使运算简化）；（5）利用夹逼定理；（6）先证明数列的极限存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7）利用定积分求某些和式的极限；（8）利用导数的定义；（9）利用级数的收敛性证明数列的极限为零。

这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有多种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活.2.由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限，因此这部分也是重点。

3.在函数这部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算,以及常用的4类函数及函数的8种表现形式.通过历年试题归类分析，本章常见的典型题型有：1.直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；2.讨论函数的连续性、判断间断点的类型；3.无穷小的比较；4.讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；5.求分段函数的复合函数。

(二)题型分析主要是求未定式的极限及反求参数主要方法：①洛必达法则 ②等价无穷小替换 ③8个重要极限的应用 ④左右极限法⑤未定型中1∞型的解题技巧⑥两边夹准则的应用 ⑦递归法求极限⑧利用连续性反求极限 ⑨利用导数求极限 ⑩利用定积分求极限⑾利用级数反求极限（4个反求极限） ⑿利用函数极限求数列极限 ⒀利用泰勒公式求极限1.关于无穷小例1. 比较当0x →时，()ln 1sin x +6，1ln x的阶. 例2.记住① 当n →+∞时ln n ，n ，ne ，!n ，nn ，()2!n 趋于+∞的速率为依次递增. ② 当n →+∞时1ln n ，1n ，1n e ，1!n ，1n n ，()21!n 趋于零的速率为依次递增. 例3. ()()220ln 1ln 1limsin x x x x x x x→+++-+例4. sin 0lim x xx +→练习 arctan 0lim arctan x x x e e x x →--；lim x +→ 2.关于洛必达法则例1. 2220100cos limsin x x x t dtx→-⎰例2. ()22220023limxt x t xe dte dt→∞⎰⎰例3.确定a,b,c 使 ()3sin limln 1x x bax xc t dtt→-=+⎰3. 1∞型中一个重要技巧例1. 210arctan lim x x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭例2. 21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4.左右极限法①用于分段函数分界点处极限的处理②用于函数左右极限不相等情况的处理.如10lim xx e →，01lim arctanx x→ ③特别带绝对值符号的情况的处理。

2022考研领学班基础阶段高等数学第二讲 1-3

2023年研究生入学考试高等数学(微积分)基础班第六次课2021年12月例77.求极限23235lim (5cos3).241x x x x x x x →∞-++++-(1)设)(x f 在0x 处连续，则00lim ()()x x f x f x →= (2)设)(x f 为连续函数，则00lim [()][lim ()]x x x x f x f x ϕϕ→→= (3)设lim ()(0,1),lim ()f x A A g x B =>≠=，则()lim ()lim[()][lim ()]g x g x Bf x f x A ==例78.12lg(100)lim2arcsinxxxx→+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=例79.[]lim ln(2)ln n n n n →∞+-= 【法1】利用ln x 的连续性22lim [ln(2)ln ]lim[ln(1)]ln lim(1)2n n n n n n n n n n→∞→∞→∞+-=+=+= 【法2】中值定理+夹逼准则例80.求极限2sin 0lim(13).x xx→+【法1】重要极限+幂指函数的连续性【法2】利用结论泰勒中值定理如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 内具有直到n 阶导数, 则当x 在),(b a 内时, )(x f 可以表示为0x x -的一个n 次多项式与一个余项之和，即200000()0001()()()()()()2!1()()(())!n n n f x f x f x x x f x x x f x x x o x x n '''=+-+-+⋅⋅⋅+-+- 9、利用泰勒公式233111()2!3!x e x x x o x =++++， 23311ln(1)()23x x x x o x +=-++， 35511sin ()3!5!x x x x o x =-++， 24411cos 1()2!4!x x x o x =-++， 23311()1x x x o x x=++++-， 233(1)(1)(2)(1)1()2!3!x x x x o x ααααααα---+=++++. 常用的泰勒公式补例1、求极限 2240cos lim x x x e x -→-. 【详解】24411cos 1()224x x x o x =-++ 22442111()28x e x x o x -=-++ 244244001()cos 112lim lim 12x x x x o x x e x x -→→-+-==-【详解2】用洛必达法则 2)1(22)2(1lim 222lim 20110=+-+--⇒=--→+→x x bx x b a a x bx a x x x 【详解1】用泰勒公式分子=222221()(1)()()22x x o x ax bx a x b x o x -+--=--++ 因而 25,1222,01-==⇒=+-=-b a b a a 有⇒=+-=-2)21(,01b a 25,1-==b a 补例2(1994-3)设 220ln(1)()lim 2x x ax bx x →+-+=,求a ,b .【详解4】 22200ln(1)()ln(1)()lim lim 2x x x ax bx x ax bx x x x→→+-++-+== 有 20ln(1)()lim01x x ax bx a x→+-+=⇒= 【详解3】原题为选择题可代入222200ln(1)()ln(1)15lim lim 222x x x ax bx x x bx b b x x →→+-++--==--=⇒=- 补例2(1994-3)设 220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=,求a ,b .补例3、设f (x )二阶可导,f (0)=0,(0)1,(0)2,f f '''==求极限20()lim x f x xx→- 【详解1】泰勒公式 221()(0)(0)(0)()2f x f f x f x o x '''=+++222200()()lim lim 1x x f x x x o x x x→→-+==22()x x o x =++【详解2】洛必达法则10、其他方法(1)导数的定义(2)微分中值定理(3)定积分的定义(4)级数的敛散性例1、数列 0n n n x n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，是无界变量但不是无穷大量例2(1991-5)数列 21n n nn nx n n⎧+⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，则当n →∞时，n x 是(A)无穷大量. (B)无穷小量. (C)有界变量. (D)无界变量.答案：D练习题例3（1999-2）对(0,1)ε∀∈，总存在正整数N ，当n N ≥时，恒有2n x a ε-≤是数列n x 收敛于a 的(A) 充分条件但非必要条件. (B) 必要条件但非充分条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.答案：C例4求极限0arcsin sin lim arctan tan x x xx x→--.【详解1】 0arcsin sin lim arctan tan x x xx x→--3303311166lim 112()33x x xx x →+==--+-0arcsin sin limarctan tan x x x x x x x x x→-+-=-+-【详解2】泰勒公式例5、求极限1326lim ()12xx x x x e x →+∞⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦解: 令1x t=原式=632301111lim ()2t t t e t t t t +→⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦52620611lim 66t t t t e t t+→⎡⎤-⎢⎥+⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦2630(22)21lim 2t t t t e t t +→⎡⎤-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例6设0x >，求极限2lim 1()2nn n n x x →∞++解 22lim 1()max{1,,}22nn nn x xx x →∞++=，21,01;,12;,2.2x x x x x ⎧⎪<<⎪=≤<⎨⎪⎪≤⎩第三节函数的连续性一、连续的概念1、定义(1)设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 如果)]()([lim lim 000=-+=→→x f x x f y x x ∆∆∆∆则称函数y =f (x )在点x 0处连续.(2)设函数y =f (x )在点x 0某个邻域内有定义, 如果),()(lim 00x f x f x x =→　则称函数y =f (x )在点x 0处连续.补例1 求 .)1ln(lim 0xx x +→x x x x x x 100)1ln(lim )1ln(lim+=+→→0lim →x 解 =ln e =1.)()(lim 00x f x f x x =→　).lim (0x f x x →=∙ 连续函数, 极限符号和函数符号可以交换.=ln[ ]xx 1)1(+2. 左、右连续)()(lim 00x f x f xx =-→若)()(lim 00x f x f x x =+→若0x 左连续x 右连续xyOxyO则称f (x )在点x 0处左连续;则称f (x )在点x 0处右连续; [即 f ( x 0-0)= f (x 0)] ,函数y =f (x )在点x 0处连续 ⇔函数f (x )在点x 0处既左连续又右连续 .即f ( x 0+0)= f ( x 0-0)= f (x 0)] ,[即 f ( x 0+0)= f (x 0)] ,上述结论常用于判定分段函数在分界点处的连续性.⎩⎨⎧>+≤=,1,1,1,)(2x x x x x f 解 )(lim 1x f x +→)(lim 1x f x-→)1(lim 1+=+→x x 21lim x x -→=xyO 1补例2 讨论函数在点x =1处的连续性.即f (x )在点x =1处左连续, 但不右连续 .所以f (x )在点x =1处不连续 .= f (1) , ≠f (1) , =1 =23.连续函数与连续区间如果函数y= f (x)在区间(a, b)内每一点都连续, 则称 f (x)为区间(a, b)上的连续函数.(a, b)称为f (x)的连续区间.如果函数y= f (x)在开区间(a, b)内连续, 并且在左端点x= a处右连续, 在右端点x= b处左连续,则称 f (x)为闭区间[a, b]上的连续函数.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例1补充定义(0)f ，使11()x xf x x+--=在0x =处连续例2判断函数ln(1),10()2,02sin2,0xxxf x xxxx⎧+⎪-<<⎪⎪==⎨⎪⎪⎪>⎩在0x=处的连续性.例3(2002-2)设函数tan 21,0()arcsin2,xxex x f x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩在0x =处连续，则a =例4讨论1sin,0()0,0x xf x xxα⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x=处的连续性(α为常数).例5(2008-2)设函数()f x 连续，21cos[()]lim1(1)()xx xf x ef x →-=-，则(0)f =例6(2003-3)设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=++∈- 试补充定义(1)f 使得()f x 在1[,1]2上连续.,)()(x g x f 1、四则运算的连续性例: 函数 sin x , cos x 在(-∞, +∞)内连续二、连续函数的运算与初等函数的连续性如果函数f (x ), g (x ) 在点x 0 处连续, 则在点x 0 处也连续.⇒ tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续.即：三角函数在其定义域内皆连续.f (x ) ±g (x ); f (x )⋅ g (x ); g (x 0)≠0单调的连续函数必有单调的连续反函数.例如, sin [,],22y x ππ=-在上单调增加且连续即: 反三角函数在其定义域内皆连续.2、反函数的连续性⇒ y=arcsin x 在[-1, 1]上也是单调增加且连续.同理 y=arccos x 在 [-1, 1]上单调减少且连续.y=arctan x , y=arccot x 在(-∞, +∞)内单调且连续.例如, ,),0()0,(1内连续在∞+-∞= x u .),0()0,(1sin 内连续在∞+-∞= xy 设函数u=ϕ(x )在点x =x 0处连续, ϕ (x 0)=u 0, 而函数y =f (u )在点u =u 0连续, 则复合函数 y =f [ϕ(x )]在点x =x 0处也连续. y = sin u 在(-∞, ∞)内连续,⇒(1) 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.基本初等函数在定义域内是连续的.ln x y x e μμ==,u y e =ln .u x μ=一切初等函数在其定义区间内都是连续的.(2) 指数函数 y=a x (a >0, a ≠ 1) 在(-∞, +∞)内上单调且连续.对于μ 的不同取值, 均在其定义域内连续.(3) 对数函数y= log a x (a >0, a ≠ 1)在(0,+∞)内单调且连续.(4) 幂函数对任意的μ 值, 均在(0, +∞)内连续.例7下列命题错误的是(A)若()f x 在0x 处连续，()g x 在0x 处不连续，则()()f x g x +在0x 处不连续.(B) 若()f x 在0x 处连续，则1()f x 在0x 处也连续. (C) 若()f x 在0x 处连续，则()f x 在0x 处也连续.(D) 若()f x 在0x 处连续，()0f x ≠且()()f x g x 在0x 处连续，则()g x 在0x 处连续.例8(2002-3)设12a≠，则21limln(12)nnn nan a→∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦例922ln9 limsin(1) xxx→+=+例10下列函数在其定义域内连续的是(A)cosln(1).xxx++(B)sin,0.cos,0x xx x<⎧⎨≥⎩(C)1,00,0.1,0x xxx x+<⎧⎪=⎨⎪->⎩(D)1,0.0,0xexxx⎧-≠⎪⎨⎪=⎩例11讨论函数 211sin ,0()1,0.1,0x x x x f x x e x -⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪+>⎩在定义域内的连续性.例12(1994-3)若2sin21,0; (),0.axx exf x xa x⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内连续，则a=例13(2017-123-1)设函数1cos,0,(),0xxf x axb x⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x=处连续，则(A)12ab=.(B)12ab=-.(C) 0ab=.(D) 2ab=.⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=.||,||2,||,1)(2c x x c x x x f 解 )1(lim )(lim 2+=--→→x x f c x c x 例14(2008-3)设函数在(-∞,+∞)内连续, 则c =_____ .得 c =1 .=c 2+1 , cx x f c x c x 22lim )(lim ==++→→由函数f (x )在c 点连续, 有 c 2+1 = c222,()1,,2,.x c x f x x c x c x c x<-⎧-⎪⎪⎪=+⎨-≤≤⎪⎪>⎪⎩例15(2018-2) 设函数1,0,()1,0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩2,1,(),10,,0.ax x g x x x x b x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩若()()f x g x +在R 上连续，则(A)3, 1.a b == (B)3, 2.a b ==(C)3, 1.a b =-=(D) 3, 2.a b =-=例16(1997-2)已知21(cos ),0(),0x x x f x a x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =例17(2000-2)已知()bxxf x a e=+在(,)-∞+∞内连续，且lim ()0x f x →-∞=，则a,b 满足(A) 0,0.a b <<(B) 0,0.a b >>(C) 0,0.a b ≤>(D) 0,0.a b ≥<)(lim )2(0x f xx →)(lim )3(0x f xx →不存在; 三、函数的间断点及其分类(1) f (x )在点x 0处无定义; 若f (x )在点x 0处出现如下三种情况之一:则称函数f (x )在点x 0处不连续(或间断). 称x 0为函数f (x )的不连续点或间断点.≠ f (x 0) . f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义间断点的分类:第二类间断点: 第一类间断点: f ( x 0-0)及 f (x 0+0 )均存在,若 f ( x 0-0)= f (x 0+0 ), 称x 0为可去间断点. 若 f ( x 0-0) ≠ f (x 0+0 ), 称x 0为跳跃间断点. f (x 0-0)及f (x 0+0 )中至少一个不存在,若其中至少有一个为∞, 称x 0为无穷间断点. 若其中至少有一个振荡, 称x 0为振荡间断点.函数f (x )在点x 0处的左右极限都存在的间断点, 则称x 0为f (x )的第一类间断点;函数f (x )在点x 0处的左右极限至少一个不存在, 则称x 0为f (x )的第二类间断点.x x f 1sin )(=解x1sin ,11sin ,221=+=x k x 时因ππ.1sin lim 0不存在因此xx →,01sin ,1==xk x 时πxyO且是振荡间断点.xy 1sin=故x =0为函数的第二类间断点. 在点x =0处没有定义.补例3 讨论函数在点x =0处的连续性.(k ≠0),(k →∞, x →0)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠>--≠≤=　且且.21,24,01,1)(22x x x x x x xx f 解补例4 设求函数的间断点,且判断其类型.f (x )在点x =0和x =2处没定义, 故x =0和x =2为函数f (x )的间断点.)(lim 0x f x →=+∞ , 所以x =0为函数的第二类间断点, 且是无穷间断点.1︒在x =0处因为f (x )是分段函数, 每段都是初等函数, 在其定义区间上都连续, 即除分界点外其余各点均连续.2111lim )(lim xx f x x --→→=且为跳跃间断点.2︒ 在x =2处24lim 22--→x x x )2(lim 2+=→x x = 4,所以x =2为f (x )的第一类间断点, 3︒ 在x =1处且为可去间断点. =1, 2114lim ()lim 2x x x f x x ++→→-=-)2(lim 1+=+→x x = 3,故x =1为函数f (x )的第一类间断点,。

2022考研领学班基础阶段高等数学第二讲 1-6

(2).
1
lim(1 x) x e
x0
或
lim
x
1
1 x
x
e.
例 36(1993-4) lim 3x2 5 sin 2 x 5x 3 x
例 36(1993-4) lim 3x2 5 sin 2 x 5x 3 x
例 37 lim tan( x2 1) x1 x 1
例
38
b1
x n1 0
0, m n
5.
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1
am1x am bn1x bn
a0 b0
mn
6. lim n n 1, lim n a 1
m n
n
n
0, x 0
7. lim enx
1,
x0
n
, x 0
am1x0 am bn1x0 bn
lim
n
nn1 (n 1)n
答案：A
例
22(1998-2)设数列
xn
与
yn
满足
lim
n
xn
yn
0
，则下列断言正确的是
(A) 若 xn 发散，则 yn 必发散. (C) 若 xn 有界，则 yn 必为无穷小.
【分析 1】直接法
(B) 若 xn 无界，则 yn 必有界.
(D)
若
1 xn
为无穷小，则 yn 必为无穷小.
【分析 2】举反例
是等价无穷小，则
(A) a 1, b 1 . (B) a 1, b 1 . (C) a 1, b 1 . (D) a 1, b 1 .
6
6
6
6

历年考研数学高等数学基础讲义

考研数学高等数学基础讲义目录第一讲极限 (1)第二讲高等数学的基本概念串讲 (9)第三讲高等数学的基本计算串讲 (13)第四讲高等数学的基本定理串讲 (24)第五讲微分方程 (27)第六讲多元函数微积分初步 (29)1 第一讲极限核心考点概述1.极限的定义2.极限的性质3.极限的计算4.连续与间断内容展开一、极限的定义1. lim 是什么？ lim 是什么？x →∙n →∞（1）lim 的情况：x →∙①“ x → ∙ ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x -, x → ∞, x → +∞, x → -∞②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。

比如下面这个例子：sinx sin 1 x【例】计算lim x →0. x sin 1x事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数），k πsin x s in 1 sin x s in 1 x x 使在该点没有定义，故lim不存在. x sin 1 x x →0x sin 1x（2）lim 是什么？n →∞2.极限的定义（1）函数极限的定义：lim f (x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当0 < x →x 0x - x 0< δ 时，恒有f (x ) - A < ε1n n12注：趋向方式六种（2）数列极限定义：lim x = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞注：趋向方式只有一种【例】以下三个说法，（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有件；εf (x ) - A < e 10”是“ lim x →+∞f (x ) = A ”的充要条（ 2 ）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <“ lim f (x ) = A ”的充要条件；x →x 0x - x 0 ≤ K时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件；正确的个数为（）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3二、极限的性质1.唯一性（1） lim e x= ∞, lim e x= 0 ，（2）limsin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ]x →+∞x →-∞x →0xx →∞x →0不存在1- π e x 1【例】设k 为常数，且 I = lim x →0+k ⋅ arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。

2020考研数学高等数学基础讲义第二讲讲义(上)

（ｃｓｃ狓）′ ＝－ｃｓｃ狓ｃｏｔ狓
（ａｒｃｓｉｎ狓）′ ＝１槡１－狓２
（ａｒｃｃｏｓ狓）′ ＝－１槡１－狓２
（ａｒｃｔａｎ狓）′
＝
１１＋狓２
（ａｒｃｃｏｔ狓）′ ＝－１＋１狓２
（ｌｎ（狓＋槡狓２＋１））′ ＝１槡狓２＋１
（ｌｎ（狓＋槡狓２－１））′ ＝１槡狓２－１
— ４４ —
［ｌｎ（狓＋１）］（狀）＝（－１）狀－１·（（狀１－＋狓１））狀！，狓＞－１
烄１烌（狀）烆狓＋犪烎
＝
（－１）狀·
狀！（狓＋犪）狀＋１
求下列参数方程所确定的函数的三阶导数ｄｄ狓３狔３：
烄狓＝ｌｎ（１＋狋２），
烅
烆狔＝狋－ａｒｃｔａｎ狋．
【分析】
— ５１ —
（６）高阶导数
① 高阶求导烄（狌±狏）（狀）＝狌（狀）±狏（狀）
狀
∑ （狌狏）（狀）＝
烅
狌狏Ｃ犽（狀－犽）（犽）狀犽＝０
＝狌（狀）狏＋狀狌（狀－１）狏′
— ４０ —
【例３】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ５４第８题］
设犳（狓）可导，犉（狓）＝犳（狓）（１＋狘ｓｉｎ狓狘），则犳（０）＝０是
犉（狓）在狓＝０处可导的（）．
（Ａ）充分必要条件
（Ｂ）充分条件但非必要条件
（Ｃ）必要条件但非充分条件（Ｄ）既非充分条件又非必要条件
【分析】
— ４１ —
求导，称为对数求导数．【例１】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６９第４（３）题］用对数求导法求下列函数的导数：
【分析】
狔＝槡狓＋（狓２＋（３１－）５狓）４．
— ４８ —
【例２】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ６９第４（４）题］用对数求导法求下列函数的导数：

2022考研领学班基础阶段高等数学第二讲 1-5

1
2 3
2
2
O
2
1
3 2 x
2
余弦函数 y =cosx y 1
3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 x
2
正切函数 y =tanx
y
余切函数 y =cotx
y
3
2
2
O
2
3 x
2
2
O
2
3 2 x
2
6) 反三角函数反正弦函数 y =Arcsinx
主值 y = arcsin x 定义域 [1, 1]
2023年研究生入学考试高等数学(微积分)基础班
2021年11月
第一节函数
一个概念
邻域设x0R, 且 >0, 则称实数集
{ x | | x− x0| < }为点x0的邻域,
x0称为邻域的中心, 称为邻域的半径, 记作 U(x0, )=U (x0)={ x | | x− x0| < }
y
y=x
Q(b,a)
原函数y=f (x)
P(a, b)
O
x
反函数存在定理单调递增(减)的函数, 必存在反函数, 且反函数也是
单调递增(减).
求反函数的步骤
(1) 从方程 y=f(x)中用y 表示x 得: x= f −1(y); (2) 互换上表达式中的 x 与 y , 得 y= f −1(x).
1x
(2) f (x) 2
1
x2
x
2
1,
1 x 1
1
3 x2, x 1
x2, x 0
(3)
f
(
x)

考研高数数学讲义

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续一、大纲内容与要求【大纲内容】函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0sin lim 1x x x →=，1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质. 【大纲要求】1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、知识网络Nε-”定义X-”定义δ-”定义数列整体有界函数局部有界两个重要的极限(数一、三)∞∞型、型∞-∞型、0∞⋅1∞、0∞、00型初等函数的连续性分段函数连续性的判定闭区间上连续函数的性质——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在跳跃间断点可去间断点关系极限连续性函数零点定理最值定理有界性、单调性、奇偶性、周期性1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭sinlim1xxx→=单调有界数列有极限夹逼定理三、基本内容(一)函数1．定义设x 与y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x ，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，记作()y f x =．数集D 称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定，相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素. 2．几种特性(1)有界性设函数()y f x =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个x X ∈，都有()f x M ≤成立，称()y f x =在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称()f x 在X 上无界．所以函数在X 上无界，是对任何0M >，总存在0x X ∈，使0()f x M >．(2)单调性设函数()y f x =在区间I 上有定义，若对于I 上任意两点1x 与2x ，当12x x <时，均有12()()f x f x < [或12()()f x f x >]，称函数()f x 在区间I 上单调增加(或单调减少)．如果其中的“<”(或“>”)改为“≤”(或“≥”)，称函数()f x 在I 上单调不减(或单调不增)． (3)奇偶性设函数()y f x =的定义域为(,)(0)a a a ->，若对于任一x ∈(,)a a -，都有()()f x f x -=，称()f x 为偶函数，如常数2,,cos C x x 等，其图像关于y 轴对称;若对于任一(,),x a a ∈-都有()()f x f x -=-，称()f x 为奇函数，如3,,sin x x x 等，其图像关于坐标原点对称．(4)周期性对函数()y f x =，若存在常数0T >，使得对于定义域内的每一个,x x T +仍在定义域内，且有()()f x T f x +=，称函数()y f x =为周期函数，T 称为()f x 的周期． 3．复合函数、反函数、隐函数与分段函数(1)基本初等函数与初等函数基本初等函数常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数.初等函数由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.(2)复合函数设函数()y f u =的定义域为f D ，函数()u x ϕ=的值域为z ϕ，若集合f D 与z ϕ的交集非空，称函数[()]y f x ϕ=为函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数，u 为中间变量．对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合而成的．(3)反函数设函数()y f x =的值域为f z ，定义域为f D ，则对于每一个f y z ∈必存在f x D ∈使()y f x =．若把y 作为自变量，x 作为因变量，便得一个函数()x y ϕ=，且[]()f y ϕ y =，称()x y ϕ=为()y f x =的反函数，但习惯上把()y f x =的反函数记作1()y f x -=．y()f x =与其反函数1()y f x -=的图像是关于直线y x =对称的．(4)隐函数设有方程(,)0F x y =，若当x 在某区间内取任一值，便总有满足该方程唯一的值y 存在时，称由方程(,)0F x y =在上述区间内确定了一个隐函数()y y x =．(5)分段函数若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应规律，如(),()(),x a x bf x x c x dϕψ<<⎧=⎨<<⎩称为分段函数． (二)极限 1．概念(1)定义1 设()y f x =在0x 的一个去心邻域010001(,)(,)x x x x δδ-+内有定义，若对于任意给定的0ε>，总存在0δ>，使得当上述去心邻域内任意x 满足00x x δ<-<时，不等式()f x a ε-<恒成立，则称常数a 为函数()f x 在0x x →的极限，记作0lim ().x x f x a →=或()f x a → (当0x x →)．直观地说，即当x 无限趋近0x 时，函数()f x 无限趋近常数a ．定义2 设()f x 在区域0x E >>内有定义，若对于任意给定的0ε>，存在0M >，使得当x M E >≥时，不等式()f x a ε-<恒成立，则称a 为当x →∞时函数()f x 的极限，记作lim ().x f x a →∞=直观地说，即当x 无限增大时，函数无限趋近常数a ．(2)左极限与右极限在定义1中，若把“00x x δ<-<”改为“00x x x δ-<<”，即自变量x 从0x 的左侧趋近于0x ，则称a 为函数()f x 当0x x →时的左极限，记作0lim ()(0);x x f x a f x a -→=-=或相应把定义1中的“00x x δ<-<”改为00x x x δ<<+， a 便是函数()f x 当0x x →时的右极限，记作00lim ()(0).x x f x a f x a +→=+=或极限存在的充分必要条件：当0x x →时，函数()f x 的极限存在的充分必要条件为其左、右极限存在并相等，即00(0)(0)f x f x -=+.在定义2中，把x M >改为x M >，便得到x →+∞时函数()f x 的极限的定义，即lim (),x f x a →+∞=以及把“x M >”改为x M <-，便得到lim ()x f x a →-∞=的定义.注把数列{}n x 看作整数函数即()n x f n =(1,2,)n =，则数列极限的概念lim n n x a →∞=便是()f x 在x →+∞时极限的特殊情况：自变量x 取正整数.即对于任意给定的0ε>，总存在正整数N ，使当n N >时，不等式n x a ε-<恒成立，则称常数a 为数列{}n x 的极限，也称此数列收敛于a .2.性质(1)唯一性在自变量的一个变化过程中(0x x →或x →∞)，函数的极限存在，则此极限唯一. (2)有界性若0lim ()[lim ()]x x x f x a f x a →→∞==或，则存在0x 的某去心邻域(或0x M >>)，()f x 在此邻域(或0x M >>)内有界.(3)保号性设0)lim ()x x f x a →→∞=(x ，0()lim ()x x x g x b →→∞=，若在0x 的某去心邻域(或0x M >>)内恒有()()f x g x <(或()()f x g x ≤)，则a b ≤.3.极限存在准则夹逼准则：若在x 的某去心邻域(或0x M >>)内恒有()()()g x f x h x ≤≤，且000()()()lim ()lim ()lim ().x x x x x x x x x g x h x a f x a →→→→∞→∞→∞===，则单调有界准则：单调有界数列必收敛. 4.两个重要极限(1)0sin lim 1.x x x→= (2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或10lim xx x e →=（1+）. 5.极限的运算设在自变量的同一变化过程中(0x x →或x →∞)，lim (),lim ()f x a g x b ==，则有(1)和差：[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x a b ±=±=±.(2)积：[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x a b ⋅=⋅=⋅.特别地，lim ()lim ()cf x c f x =ca = (其中c 为常数)，[][]lim ()lim ()k kk f x f x a ==(其中k 为正整数).(3)商：若lim ()0g x b =≠，则()lim ()lim()lim ()f x f x ag x g x b==. (4)复合函数的运算法则：已知00lim (),lim ()u u x x f u A x u ϕ→→==⇒在有意义的情况下，lim [()]x x f x ϕ→.A =6.无穷小量与无穷大量(1)无穷小量的概念若0()lim ()0x x x x α→→∞=，称()x α为0x x →(x →∞)时的无穷小，即极限为0的变量为无穷小量，以下简称无穷小.常数0也是无穷小.(2)无穷小量的性质 0lim ()x x f x a →→∞=(x )的充分必要条件为()()f x a x α=+，其中()x α为0x x →(x →∞)的无穷小.(3)无穷小量的运算1°加法：有限多个无穷小的和仍为无穷小; 2°乘法：有限多个无穷小的积仍为无穷小; 3°有界变量与无穷小的乘积亦为无穷小. (4)无穷小量的比较设()x α与()x β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且()lim ()x x αβ也是在此变化过程中的极限：若()lim0()x x αβ=，称()x α是比()x β高阶的无穷小，记作()(())x o x αβ=; 若()lim()x x αβ=∞，称()x α是比()x β低阶的无穷小; 若()lim0()x c x αβ=≠(其中c 为常数)，称()x α与()x β是同阶的无穷小;特别()lim1()x x αβ=，称()x α与()x β是等价无穷小，记作()~()x x αβ. 在求极限过程中，有时利用等价无穷小代换可以化简计算，所以应掌握几个常见的等价无穷小：当0x →时，sin ~~tan x x x ，ln(1)~x x +，1~x e x -11~x n ，211cos ~2x x -等等. (5)无穷大量的概念设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义(或x 大于某一正数时有定义)，如果对于任意给定的正数M (不论它多么大)，总存在正数δ (或正数X )，只要x 适合不等式00x x δ<-<(或x X >)，对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大量，以下简称无穷大.(6)无穷小量与无穷大量之间的关系在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大，则其倒数1()f x 必为无穷小;反之，若()f x 为无穷小，且()0f x ≠，则其倒数1()f x 必为无穷大. 7.洛必达(L’Hospital)法则(1)00⎛⎫⎪⎝⎭型 (),()f x g x 在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →0=，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (2)∞⎛⎫⎪∞⎝⎭型 (),()f x g x在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若 0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →=∞，且0()lim ()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (三)连续1.函数的连续性(1)连续性的概念设函数()y f x =在点0x 某邻域内有定义，若当自变量增量x ∆=0x x -0→时，对应的函数值增量00()()0y f x x f x ∆=+∆-→，即0lim 0x y ∆→∆=，或0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 处连续.若00lim ()()x x f x f x -→=，称函数()f x 在0x 处左连续，00lim ()()x x f x f x +→=，称函数()f x 在0x 处右连续. 显然，函数()f x 在0x 处连续的充分必要条件是()f x 在0x 处既左连续又右连续.若函数()f x 在区间(,)a b 内每一处都连续，称()f x 在开区间(,)a b 内连续，也称()f x 是(,)a b 内的连续函数;若()f x 在(,)a b 内连续，又在a 点处右连续，b 点处左连续，则称()f x 在闭区间[,]a b 上连续.(2)运算1°加法有限多个在同一点连续的函数之和，仍在该点处连续; 2°乘法有限多个在同一点连续的函数之积，仍在该点处连续; 3°除法若()f x 与()g x 均在点0x 处连续，且0()0g x ≠，则()()f xg x 在点0x 处连续. (3)复合函数与初等函数的连续性设函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，若函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处连续.一切初等函数在其定义区间上都是连续的. 2.函数的间断点(1)函数间断点的概念设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数()f x 有下列三种情形之一：1°在0x x =没有定义;2°虽在0x x =有定义，但()0lim x x f x →不存在;3°虽在0x x =有定义，且()0lim x x f x →存在，但()00lim (),x x f x f x →≠则函数()f x 在点0x 不连续，而点0x 称为()f x 的不连续点或间断点.(2)函数间断点的类型设0x x =为函数()y f x =的间断点，若0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→都存在，称0x 为函数()f x 的第一类间断点，其他均称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等的称为可去间断点，不相等的称为跳跃间断点；无穷间断点与振荡间断点都是第二类间断点.3.闭区间上连续函数的性质(1)最大值和最小值定理闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值. (2)有界性定理闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界.(3)介值定理设函数()f x 在闭区[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠，则对于()f a 与()f b 之间的任一常数C ，必在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()f C ξ=.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.(4)零点定理设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则在开区间(,)a b 内至少存在函数()f x 的一个零点，即至少有一点(,)a b ξ∈使()0f ξ=.四、典型例题[例1.1]设函数11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，，，则[()]f f x =.[例1.2]已知2()sin ,[()]1,f x x f x x ϕ==-则()________x ϕ=，其定义域为 .[例1.3]设函数2sin ()(ln )(tan )x f x x x e =，则()f x 是( ).(A)偶函数.(B)无界函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.4]设对任意(,)∈-∞+∞x 有(1)()+=-f x f x ，则()f x 一定是( ).(A)奇函数.(B)偶函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.5]设函数21tan(3)()(1)(2)(3)x x f x x x x --=---，则()f x 在下列哪个区间内有界().(A)(0,1).(B)(1,2). (C)(2,3). (D)(3,4).[例1.6]设数列n x 与n y ，满足lim 0n n n x y →∞=，则下列叙述正确的是().(A)若n x 发散，则n y 必发散. (B)若n x 无界，则n y 必有界. (C)若n x 有界，则n y 必为无穷小量. (D)若1nx 为无穷小量，则n y 必为无穷小量. [例1.7]下列极限正确的是().(A)sin lim1x xxπ→=.(B)1lim sin1x x x→∞⋅=. (C)11limsin 1x x x→∞=. (D)sin lim1x xx→∞=.[例1.8]设n n x a y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，a 为常数，则数列{}n x 和{}n y ( ).(A)都收敛于a .(B)都收敛，但不一定收敛于a . (C)可能收敛，也可能发散.(D)都发散.[例1.9]设n n n x a y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，{}n x ，{}n y 和{}n a 均为数列，则lim n n a →∞( ).(A)存在且等于0.(B)存在但不一定等于0. (C)一定不存在. (D)不一定存在.[例1.10]22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪++++++⎝⎭.[例1.11]30arctan sin limx x xx →-=.[例1.12]求极限limx [例1.13]求下列极限：2011lim()tan x x x x→-. [例1.14]设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =.[例1.15]21ln(1)0lim(cos )+→x x x =.[例1.16]当0x →时，211()sin f x x x=是( ). (A)无穷小量.(B)无穷大量.(C)有界量非无穷小量.(D)无界但非无穷大量.[例1.17]设220ln(1)()lim 2x x ax bx x →+-+=，则().(A)1a =，52b =-. (B)0a =，2b =-. (C)0a =，52b =-. (D)1a =，2b =-. [例1.18]设当0x →时，()()21cos ln 1x x-+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin n x x 是比2(1)x e -高阶的无穷小，则正整数n 等于().(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.[例1.19]当0x →时，求常数,c k 使得(I)3sin sin3~;kx x cx -~kcx .[例1.20]设110x =，1n x +=(1,2,n =)，试证数列{}n x 极限存在，并求此极限.[例1.21]下列各式中正确的是( ).(A)01lim (1)1xx x+→+=. (B)01lim(1)e xx x+→+=. (C)1lim(1)e xx x→∞-=. (D)1lim(1)e xx x-→∞+=-.[例1.22]求极限21lim ln(1)→∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦x x x x.[例1.23]()f x 在0x 点连续是()f x 在0x 点连续的( ). (A)充分条件，但不是必要条件. (B)必要条件，但不是充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不是充分条件，也不是必要条件.[例1.24]函数1()tan ()x x e e xf x x e e +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x =().(A)0.(B)1.(C)2π-. (D)2π. [例1.25]设函数21()lim 1nn xf x x →∞+=+，讨论函数()f x 的间断点，其结论为().(A)不存在间断点. (B)存在间断点1x =. (C)存在间断点0x =. (D)存在间断点1x =-.[例1.26]设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =.[例1.27]设函数()tan 21e ,0arcsin 2e ,0xx x x f x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处连续，则________a =.[例1.28]设)(x f 在(+∞∞-,)内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩，则( ).(A)0=x 必是)(x g 的第一类间断点. (B)0=x 必是)(x g 的第二类间断点.(C)0=x 必是)(x g 的连续点.(D))(x g 在点0=x 处的连续性与a 的取值有关.[例1.29]设函数()f x 在[,]a b 上连续，且12n a x x x b <<<<<，证明：存在(,)a b ξ∈，使得12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.[例1.30]设()f x 是[0,1]上非负连续函数，且(0)(1)0.f f ==证明：对任意实数r (01r <<)，必存在0[0,1]x ∈，使得0[0,1]x r +∈，且00()()f x f x r =+.[例1.31]设()f x 在[0,1]上连续，(0)(1)f f =且 . (1)证明：存在[0,1],ξ∈使1()()2f f ξξ=+.(2)证明：存在[0,1],η∈使1()()f f nηη=+(2n >且n 为正整数).五、经典习题1.求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x sin 1)1ln(1lim 0. 【答案】212.求xx e e xx x sin lim tan 0--→.【答案】23.已知()01lim2=--++-∞→b ax x xx ，则___________,==b a .【答案】21,1--. 4.极限()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( )(A) 1.(B) e . (C) a be-.(D) b ae-.【答案】(C).5.求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【答案】43. 6.求1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 【答案】1. 7.若()3sin 6lim0x x xf x x →+=，则()26limx f x x →+为( ).(A)0.(B)6.(C)36.(D)∞.【答案】(C).8.1lim1cosn n→∞++=________. 【答案】π.9.设103x <<，1n x +=(n =1，2，…)，证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限.【答案】证明{}n x 单调增加且有上界，3lim 2n n x →∞=. 10.设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数，且()00f ≠，()00f '≠，若()()()20af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==-.11.设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，且[()]f f x x =，证明在(,)-∞+∞内至少有一个0x 满足00()f x x =.【答案】利用反证法.第二章一元函数微分学导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念，在高等数学中占有重要地位，其内涵丰富，应用广泛，是研究生入学考试的主要内容之一，应深入加以理解，同时应熟练掌握导数的各种计算方法.中值定理与导数的应用在高等数学中占有极为重要的位置，内容多，影响深远，是复习的重点也是难点，而且具有承上启下的作用，应熟练掌握.一、大纲内容与要求【大纲内容】导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值 (弧微分;曲率的概念;曲率圆与曲率半径，数学三不要求). 【大纲要求】1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，(了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，数学一、二要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数.当''()0f x >时，()f x 的图形是凹的;当''()0f x <时，()f x 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(数学一、二要求).二、知识网络三、基本内容(一)导数概念1．导数定义设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若自变量从0x 变到0x x +∆时，导数的定义左、右导数基本初等函数的导数导数的四则运算复合函数的导数反函数的导数隐函数的导数参数方程求导（数一、二）2阶导数n 阶导数高阶导数导数的概念导数的计算罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理中值定理应用洛必达法则求极限研究函数性质及几何应用单调性定理、函数的单调区间函数的极值、最值曲线的凹凸性及拐点渐近线、函数作图边际、弹性经济中的最大值和最小值应用经济应用(数学三要求) 微分概念微分的计算一阶微分形式不变性微分导数泰勒定理曲率(数学一、二要求) 费马引理切线、法线方程函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-与自变量增量x ∆之比的极限0000()()limlim x x f x x f x yx x→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称()y f x =在0x 处可导，此极限值称为()f x 在0x 处的导数，记作0()f x '，或00,x x x x dyy dx=='等.令0x x x =+∆，可得导数的等价定义0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-2.左导数若000()()lim x f x x f x x -∆→+∆-∆存在，则称此极限值为()f x 在x =0x 处的左导数，记作0()f x -'.3.右导数若000()()lim x f x x f x x+∆→+∆-∆存在，则称此极限值为()f x 在x =0x 处的右导数，记作0()f x +'.4.若函数()f x 在区间(,)a b 内任意点x 处的导数()f x '都存在，则称()f x 在(,)a b 内可导.5.若函数()f x 在(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，称()f x 在闭区间[,]a b 上可导. (二)函数可导的条件1.()f x 在x =0x 处可导的必要(非充分)条件是()f x 在x =0x 处连续.2.()f x 在x =0x 处可导的充分与必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且相等. (三)导数的几何意义与物理意义1.设函数()f x 可导，则0()f x '等于曲线y ＝()f x 在点00(,())x f x 处切线的斜率.曲线y ＝()f x 在点00(,())x f x 处的切线与法线方程分别是：000()()()y f x f x x x '--＝和0001()(),()y f x x x f x -=--'其中0()0f x '≠. 2.设一质点作变速直线运动，若其位移s 随时间t 的变化规律为函数()s s t =，则导数0()s t '表示该质点在时刻0t 的瞬时速度.注导数的物理意义有多种，如细棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.(四)导数的计算1.基本初等函数的导数公式 (1)()0()c c '=为常数(2)1()()x x μμμμ-'=为实数(3)()ln (01)xxa a a a a '=>≠， (4)();x x e e '=(5) 1(log ||)(0,1);ln a x a a x a '=>≠ (6) 1(ln ||);x x'= (7)(sin )cos ;x x '= (8)(cos )sin ;x x '=- (9)2(tan )sec ;x x '= (10)2(cos )csc x x '=-(11)(sec )sec tan ;x x x '= (12)(csc )csc cot ;x x x '=-(13)(arcsin )x '=(14)(arccos )x '=(15)21(arctan );1x x'=+ (16)21(arccot ).1x x-'=+ 2.导数的四则运算法则设函数(),()u x v x 都可导，则 (1)();u v u v '''±=±(2)()uv u v uv '''=+，特别()cu cu ''=(c 为常数).(3)2(0).u u v uv v v v '''-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数求导法设()u x ϕ=在x 处可导，()y f u =在对应的()u x ϕ=处可导，则复合函数[()]y f x ϕ=在x 处可导，且{[]}()(),f x f u x ϕϕ'''=()即d .y dy dudx du dx=⋅ 4.反函数的导数若()x y ϕ=在某区间内单调、可导，且()0y ϕ'≠，则其反函数()y f x =在对应的区间内也可导，且1()()f x y ϕ'='. 5.隐函数的导数设()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的可导函数，注意到x 是自变量，y 是x 的函数，y 的函数是x 的复合函数，在方程的两边同时对x 求导，可得到一个含有y '的方程，从中解出y '即可.注 y '也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式x y F dydx F '=-'得到，这里()y x 是由方程(,)0F x y =确定的函数.6.高阶导数(1) 函数()y f x =导数的导数，称为函数()f x 的二阶导数，即(),y y ''''=记作()y f x ''''=，或2(2)2,d y y dx.一般地，函数()y f x =的n 阶导数为()(1)(),n n y y-'=也可写作()()n n n d y fx dx或.(2)设(),()u x v x 具有n 阶导数，则有()()()[()()]()()n n n au x bv x au x bv x +=+(,a b 为常数);()()1(1)()()()[()()]()()()()()()()().n n n k n k k n n n u x v x u x v x C u x v x C u x v x u x v x --'=+++++7.由参数方程所确定的函数的导数(数学一、二要求)设()y y x =是由参数方程()()()x t t y t ϕαβψ=⎧<<⎨=⎩确定的函数，(1)若()t ϕ和()t ψ都可导，且()0t ϕ'≠，则()()dy t dx t ψϕ'='. (2)若()()t t ϕψ,二阶可导，且()0t ϕ'≠，则223()1()()()()()()()td y t t t t t dx t t t ψψϕψϕϕϕϕ''''''''⎡⎤-=⋅=⎢⎥'''⎣⎦. (五)微分1.微分定义设函数()y f x =在点x 的某邻域内有定义，若对应于自变量的增量x ∆，函数的增量y ∆可以表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 与x ∆无关， ()o x ∆是x ∆的高阶无穷小，则称函数()y f x =在点x 处可微，并把A x ∆称为()f x 在点x 处的微分，记作dy 或()df x ，即dy =A x ∆.2.函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()f x 在x 处可导，此时()A f x '=，即有()dy f x dx '=.3.一阶微分形式的不变性设()y f u =可微，则微分()dy f u du '=，其中u 不论是自变量还是中间变量，以上微分形式保持不变. (六)微分中值定理1.费马(fermat)引理若()f x 在0x 的某邻域0()U x 内有定义，且在0x 处可导，如果对任意0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤(或0()()f x f x ≥)，则0()0f x '=.2.罗尔(Rolle)定理若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且f (a )＝f (b )，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.3.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数()f x 在闭区间上连续，在开区间(,)a b 内可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()().f b f a f b a ξ'-=-4.柯西(Cauchy)中值定理若函数()f x 和()g x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()0g x '≠，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()().()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-5.泰勒(Taylor)定理(1)假设函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内具有直到1n +阶的导数，则()20000000()()()()()()()()(),2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中(1)10()()(),(1)!n n n f R x x x n ξξ++=-+是0x 与x 之间的某个值，此公式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.(2)假设函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内具有直到n 阶的导数，则()200000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''⎡⎤=+-+-++-+-⎣⎦，此公式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.注当00x =时，以下两公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式，即()21(0)(0)(1)()()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n f f f n x f x f f x x x x n n θθ+''+'=+++++<<+和 ()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x o x n '''=+++++.(七)洛必达(L ’Hospital)法则 1.00⎛⎫⎪⎝⎭型 0()()()0,f x g x x g x '≠设，在点的某去心邻域内可导，若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→=0=，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. 2.∞⎛⎫⎪∞⎝⎭型设()()f x g x ，在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →=∞，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (八)利用导数研究函数及平面曲线的性态1.单调性定理设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，若对任一x ∈(,)a b ，有()0(0)f x '><，则()f x 在[,]a b 上单调增加(减少).注若将上面的不等式()0(0)f x '><，改为()0(0)f x '≥≤，且使()0f x '=的点(驻点)只有有限个，则结论仍成立.2.极值(1)极值的定义若()f x 在0x 的某邻域0()U x 内有定义，且对该邻域内任意异于0x 的点x 都有0()()f x f x <(或0()()f x f x >)，则称0x 的极大(或小)值点，0()f x 称为()f x 的极大(或小)值.(2)判断极值的第一充分条件设函数()f x 在点0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内连续，0x 是()f x 的驻点或不可导点，在00(,)x x δ-及00(,)x x δ+内()f x 均可导.1°若在00(,)x x δ-内()0(0)f x '<>而在00(,)x x δ+内()0(0)f x '><则()f x 在0x 处取21极小值(极大值);2°若在00(,)x x δ-和00(,)x x δ+内()f x '符号相同，则()f x 在0x 处不取得极值. (3)判断极值的第二充分条件设函数()f x 在x =0x 处，一阶导数0()0f x '=，二阶导数0()f x ''存在且不等于零，则当0()0f x ''>时，()f x 在0x 处取得极小值;当0()0f x ''<时，()f x 在0x 处取得极大值.3.取到极值的唯一性定理若()f x 在区间I 上可导，驻点唯一，且该驻点是极值点，则该驻点一定是最值点.4.曲线凹凸性及拐点(1)凹凸性的定义设()x f 在区间I 上连续，若对任意不同的两点21,x x ，恒有()()()()12121212112222x x x x f f x f x f f x f x +⎛+⎫⎛⎫⎛⎫>+<+⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭或则称()x f 在I 上是凸（凹）的.(2)凹凸性的判断若函数()f x 在区间I 上()0(0)f x ''><则曲线()y f x =在I 上凹 (凸)的.(3)拐点的定义在连续曲线上，凹凸部分的分界点00(,())x f x 称为曲线的拐点.(4)拐点的第一充分条件设函数()f x 在点0x 的某邻域内连续且在该去心邻域内二阶可导，若()f x 在0x 的左右两边()f x ''的符号相反，则点00(,())x f x 是曲线)(x f y =的拐点.(5)拐点的第二充分条件：设函数()f x 在点0x 的某邻域内连续，0()0f x ''=，而0()0f x '''≠，则点00(,())x f x 是曲线)(x f y =的拐点.5.曲线的渐近线(1)若lim ()x f x C →∞=(或x →+∞或x →-∞)(C 为常数)，则y C ＝是曲线()y f x ＝的一条水平渐近线;(2)若0lim ()x x f x →∞＝(或0x x +→，或0x x -→)，则0x x =是曲线()y f x ＝的一条铅直渐近线; (3)若()lim,0,x f x a a x→∞=≠且lim[()],x f x ax b →∞-=则y ax b +＝是曲线()y f x ＝的斜渐近线.22(九)平面曲线的曲率(数学一、二要求) 1.弧微分设()y f x ＝是平面内的光滑曲线，则弧微分.ds = 若曲线方程为(),(),x x t y y t =⎧⎨=⎩则弧微分为.ds =2.曲率(1)设M 和N 是曲线上不同的两点，弧MN 的长为s ∆，当M 点沿曲线到达Ｎ点时，Ｍ点处的切线所转过角为α∆，则称极限0lims K sα∆→∆=∆为该曲线在点M 处的曲率. (2)曲率计算公式若曲线方程为()y f x ＝，则曲率23/2(1)y K y ''='+. 若曲线由参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩给出，则曲率223/2()t t t t t t x y y x K x y ''''''-=''+. (3)曲率半径1(0)R K K=≠. 三、典型题型[例2.1]已知(3)2f '=，则0lim 2h h→=______________.[例2.2]设函数()f x 在0x =处连续，且201lim (1cos )1h f h h→-=，则().(A)(0)1-'=f .(B)(0)2-'=f .(C)(0)1+'=f . (D)(0)2+'=f .[例2.3]设函数()f x 可导，()(sin 2)()xF x e x f x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的( )条件.(A)充要. (B)充分非必要. (C)必要非充分.(D)非充分非必要.[例2.4]设周期函数()f x 在),(+∞-∞内可导，周期为4，0(1)(1)lim2x f f x x→--=1-，则曲线()y f x =在点))5(,5(f 处的法线斜率为(). (A)21. (B)0.(C)1 .(D)2-.[例2.5]设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当x ∈(,)δδ-时，恒有2()f x x ≤，则23x 0=必是()f x 的( ).(A)间断点.(B)连续而不可导的点. (C)可导的点，且(0)0'=f . (D)可导的点，且(0)0'≠f .[例2.6]设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则(0)________.f '=[例2.7]设函数0()y f x x x ==在处可导，0()1f x '=-，则0limx y dydy∆→∆-=_______.[例2.8] 设函数()f x 处处可微，且有()01f '=，且对任何,x y 恒有()()x f x y e f y +=()x e f y +，求().f x[例2.9]设函数()f x 在(,)-∞+∞上有定义，对任意,x y ，()f x 满足关系式()()[()1]()f x y f x f x y y α+-=-+，其中0()lim0y y yα→=.又已知(0)2,f =则(1)f =.[例2.10]设()()(),()F x g x x x ϕϕ=在x a =连续，但不可导，又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的()条件.(A) 充要. (B) 充分非必要.(C) 必要非充分.(D) 非充分非必要. [例2.11]函数32()2arctan f x x x x x =+-的不可导点的个数是( ). (A)3.(B)2.(C)1.(D)0.[例2.12]设函数11,0()1,0x x f x x e k x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩连续，求常数k 的值，并求()f x '.[例2.13] 求下列函数的导数(1)arctanx y e=-(2)2()ln |2a f x x =.24[例2.14]设2sin[()]y f x =，其中f 具有二阶导数，求22,dy d ydx dx . [例2.15]设函数1,()21,x f x x ⎧≥=⎨<⎩，()()y f f x =，则x edy dx ==_____________.[例2.16]设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1=-x 处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)'=f _________________.[例2.17] (数一、二)设()2arctan ,25t x t y y x y ty e =⎧⎪=⎨-+=⎪⎩由所确定，求.dy dx[例2.18]设22411x y x -=-，求(100)y .[例2.19]设函数()y f x ＝由方程23ln()sin +=+x y x y x 确定，则==x dy dx_________.[例2.20]设()()()nf x x a x ϕ=-，其中()x ϕ在x a =处具有1n -阶连续导数，试求()()n f a (2)n ≥.题型三利用导数研究函数的性态[例2.21]设当a x b <<时函数()f x ，()g x 是大于零的可导函数，且()()f x g x '-()f x ()0g x '<，则当a x b <<时，有().(A)()()()()f x g b f b g x >.(B)()()()()f x g a f a g x >.(C)()()()()f x g x f b g b >.(D)()()()()f x g x f a g a >.。