高等数学基础班讲义[研究生入学考试]

----高等数学----

第一章函数、极限、连续

函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。

第一节数列极限与函数极限

【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；洛必达法则；两个重要极限：

。

【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。

一、数列的极限

1.数列的极限

无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般

项或通项。设有数列和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或

。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。

2.极限存在准则

（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有

，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.

（2）定理：单调有界数列必有极限.

3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。

（2）。（3）。

【考点一】（1）单调有界数列必有极限.

（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.

（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.

【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需

要及时进行调整证明次序。

（2）判定数列的单调性主要有三种方法：

Ⅰ计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。

Ⅱ当时，计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。

Ⅲ令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。

【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限.

【例2·证明题】设f（x）是区间上单调减少且非负的连续函数，

，证明数列的极限存在。

【考点二】（夹逼准则）设有正整数，当时，，且，则. 【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。

【例3·计算题】计算极限：

【考点三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有

，

【例4·计算题】求下列极限：

【例5·选择题】等于（）

【考点四】设，则。也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限，即

综合题也很重要。

【例6·解答题】设在x=0某邻域内可导，且.求极限

.

【例7·选择题】设, 则极限等于（）

【例8·证明题】设，

证明：（1）对于任何自然数n，方程在区间中仅有一根。

（2）设

二、函数的极限

【考点五】也就是说，函数极限存在且等于A 的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。

①

②

【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限

和，再根据【考点五】判断双侧极限是否存在。

【例9·解答题】确定常数a 的值，使极限存在。

【考点六】使用洛必达法则求型未定式的极限之前，要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法： （1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极

限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去； （2）将极限值不为零的因子先求极限；

（3）利用变量代换（通常是作倒代换，令）

（4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。

（5）常见的等价无穷小代换： 当X →0时，我们有：

当0→x 时常用的等价无穷小

1）)1ln(~1~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x e x x x x x x +-； 2）2

2

1~

cos 1x x -； 3）ax x a ~1)1(-+； 4）31sin ~arcsin ~

6x x x x x --，31

arctan ~tan ~arcsin sin ~3

x x x x x x x ---， 3

1tan sin ~arcsin arctan ~2

x x x x x --，2ln (1+)~2x x x -

5)2ln(1)~x x x ++ 6)ln 11~ln x x a a e x a -=- 7)ln(1)log (1)~ln ln a x x

x a a

++=

未定式极限：

00,∞

∞

,∞－∞ ， 0×∞, 1∞ ，00 ，∞0 【例10·解答题】求极限.

【例11·解答题】求极限