简单线性规划问题(公开课)演示课件
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简单的线性规划问题(优质课获奖)(课堂PPT)
简单线性规划问题 (一)
1
导入新课
x 4y 3
作出下列不等式组的所表示的平面区域 y
3
x
5
y
25
A: (5, 2)
x 1
B: (1, 1)
5
C
C: (1, 4.4)
x-4y+3=0
A B
O1
5
x
3x+5y-25=0
x=1
问题：z=2x+y 有无最大（小）值？
2
为此，我们先来讨论当点(x,y)在整个坐标平面变 化时，z=2x+y值的变化规律。在同一坐标系上作出下列 直线: 2x+y=-3;2x+y=0;2x+y=1;2x+y=4;2x+y=7
x 1 所表示的区域 .
2.作 直 l0:2x 线 y0
x-4y+3=0 3.作一组与l直 0平线行的 直线l :2x yt,tR
A B
直线L越往右平 移,t随之增大.
O1
x=1
5
x 所以经过点A(5,2)
3x+5y-25=0
的直线所对应的t
值最大;经过点
B(1,1)的直线所对
应的t值最小. 2xy0 Z m 2 a 5 x 2 1 ,Z m 2 2 i n 1 1 5 3
Y
结 论 :形2如 xyt(t0) 的 直2线 xy与 0平.行
o
x
3
把上面问题综合起来:
x 4y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
x 1
时,求z的最大值和最小值.
4
解：
y
A: (5, 2) B: (1, 1) C: (1, 4.4)
1
导入新课
x 4y 3
作出下列不等式组的所表示的平面区域 y
3
x
5
y
25
A: (5, 2)
x 1
B: (1, 1)
5
C
C: (1, 4.4)
x-4y+3=0
A B
O1
5
x
3x+5y-25=0
x=1
问题：z=2x+y 有无最大（小）值？
2
为此，我们先来讨论当点(x,y)在整个坐标平面变 化时，z=2x+y值的变化规律。在同一坐标系上作出下列 直线: 2x+y=-3;2x+y=0;2x+y=1;2x+y=4;2x+y=7
x 1 所表示的区域 .
2.作 直 l0:2x 线 y0
x-4y+3=0 3.作一组与l直 0平线行的 直线l :2x yt,tR
A B
直线L越往右平 移,t随之增大.
O1
x=1
5
x 所以经过点A(5,2)
3x+5y-25=0
的直线所对应的t
值最大;经过点
B(1,1)的直线所对
应的t值最小. 2xy0 Z m 2 a 5 x 2 1 ,Z m 2 2 i n 1 1 5 3
Y
结 论 :形2如 xyt(t0) 的 直2线 xy与 0平.行
o
x
3
把上面问题综合起来:
x 4y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
x 1
时,求z的最大值和最小值.
4
解：
y
A: (5, 2) B: (1, 1) C: (1, 4.4)
简单线性规划 课件(48张)
22
由 z＝x＋3y，得 y＝－13x＋3z，平移直线 x＋3y＝0 可
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7.
x＝1，
2021/10/10
23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
2021/10/10
30
[变式训练] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不
2x－y－2≥0， 等式组x＋2y－1≥0，所表示的区域上一动点，则直线
3x＋y－8≤0， OM 斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－13 D．－12
2021/10/10
31
2x＋y－5≥0， (2)已知3x－y－5≤0，求(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大、
简单的线性规划
2021/10/10
1
[学习目标] 1.了解线性规划的意义，了解线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概 念． 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值． 3.训练数形结合、化归等 数学思想，培养和发展数学应用意识．
2021/10/10
x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
2021/10/10
32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
2021/10/10
最终版《简单的线性规划问题》课件ppt
2
y1x z
33
zmax 2 3 3 11
四个步骤：
1。画（画可行域） 2。作（作z=Ax+By中令z=0时的直线L:Ax+By=0 。） 3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点） 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）
[练习]解下列线性规划问题：
1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：
(2)求z= x2 y2 的最小值（可看成可行域内点 (x, y)到原点的距离的平方）
A1, 22 5
1求z x 32 y2最值
将（3,0）带入x 4 y 3 0的距离公式得
d 3 4 0 3 6 17 半径 12 (4)2 17
zmin
d2
36 17
x4y3 0
Q(3,0)
求线性目标函数,在线性约束下的最值问题, 统称为线性规划问题,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,
所有可行解组成的集合叫做可行域
x 使目标函数取得最值的可行解叫做这个
问题的最优解
变式：求利润z=x+3y的y最大值.
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y1 x4
x y 0k 1
B 1,3
A C
与C点的连线是最小值，
将C点带入得 Zmin
1 1 2
1 3
与B点的连线是最大值，
将B点带入得
Zmax
3 1 2
1
x 1
x
x y40
x y 4 0 例1、已知变量x, y满足 x y 0 ， x 1
变式：求z y 的最大值与最小值（取值范围） x
简单的线性规划问题课件
目标函数表示点(x，y)与点 M(1,1)的距离的平方．由图可 知，z 的最小值为点 M 与直线 x－y＝1 的距离的平方．即 zmin ＝(|1－12－1|)2＝12.
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫做 可行解 ； 由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ；使目标函数取得最大值 或最小值的可行解叫做 最优解．
(2013·福建文，6)若变量 x、y 满足约束条件xx＋ ≥y1≤2 y≥0
，则 z
温故知新
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种 矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t．列 出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫做 可行解 ； 由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ；使目标函数取得最大值 或最小值的可行解叫做 最优解．
(2013·福建文，6)若变量 x、y 满足约束条件xx＋ ≥y1≤2 y≥0
，则 z
温故知新
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种 矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t．列 出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．
简单的线性规划问题(第1课时)课件2
x＋2y 8
x 2 y 8
4 4y x
16 12
x y
4 3
x 0
x
0
y 0
y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用那种生产安排利润最大？
0.06 0.06
174xx174
y y
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
它表示斜率为 4
3 28
3
随z变化的一组平行直
线系
6/7 y
z 28 是直线在y轴上 5/7 M
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
三、例题
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y
y 2 x z
4
3
3
3
它表示斜率为
2 3
的
M
直线系，z与这条直线
的截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大。
简单的线性规划问题 课件
2．对于函数 z＝2x－y，当直线 2x－y－z＝0 经过 A、B、C 三点时，z 的值分别是多少？
【提示】 直线经过 A(3,8)时，z 的值为－2； 直线经过 B(－3,2)时，z 的值为－8， 直线经过 C(3，－4)时，z 的值为 10. 3．当直线 2x－y－z＝0 经过平面区域时，z 的最大值是多 少？最小值呢？ 【提示】 z 的最大值为 10，最小值为－8.
【自主解答】 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩形 ABCD(包括边界)．
点 C 的坐标为(3,1)，z 最大，即平移 y＝－ax 时使直线在 y 轴上的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1.
【答案】 a>1
1．本题属逆向思维类型，解答时要画出图形，使用数形结 合的方法．
2．解答此类问题首先要熟练线性规划问题的求解程序和确 定最优解的方法，还要明确线性目标函数的最值一般在可行域 的顶点或边界取得，对边界直线的斜率与目标函数对应的直线 的斜率要认真对照分析．
成本(百元)
30
20
300
劳动力
5
10
110
单位利润(百元)
6
8
试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最
大利润是多少？
【思路探究】 提取不等信息→转化为不等式组→作出可 行域→借助线性规划分析→还原实际问题
【自主解答】 设电子琴和洗衣机月供应量分别为 x 架、y 台，总利润为 z 百元，则根据题意，
已知变量 x，y 满足约束条件1－≤2x≤＋xy－≤y4≤，2， 若 目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的 取值范围为________．
3.32简单的线性规划问题课件人教新课标
1 -1 O
-1 B
x-y+1=0
9 17 A (8, 8 )
x-5y-3=0 C
3
x
5x+3y-15=0
课堂练习
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足
y ≤ x,
束缚条件 x + y ≤ 1,
y ≥ -1.
解：用图形表示出不等式组表示的平面区域；
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
作一组与直线平行的直线:2x+y=t,t∈R.
答：公司派出4辆A型卡车、4 辆B型卡车时 每天所支出的费用最少.
x 0,
y 0.
利用图解法可求出最大值.此时，x
y
=
1000 29
34.4
=
360 29
12.4
课堂小结
1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义—在y轴上的截 距或其相反数.
3、解线性计划问题的步骤： 画、移、求、答.
x + 2y ≤ 8
4x ≤ 16 4y ≤ 12
x≥0
y ≥ 0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如上图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数 的点）就代表所有可能的日生产安排；
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生 产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利 润最大？
C
3
x
5x+3y-15=0
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式 组所表示的公共区域内的点时，以经过点（2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点 (9 , 17 ) 的直线所对应的t最大.
-1 B
x-y+1=0
9 17 A (8, 8 )
x-5y-3=0 C
3
x
5x+3y-15=0
课堂练习
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足
y ≤ x,
束缚条件 x + y ≤ 1,
y ≥ -1.
解：用图形表示出不等式组表示的平面区域；
当x=0,y=0时，z=2x+y=0
作一组与直线平行的直线:2x+y=t,t∈R.
答：公司派出4辆A型卡车、4 辆B型卡车时 每天所支出的费用最少.
x 0,
y 0.
利用图解法可求出最大值.此时，x
y
=
1000 29
34.4
=
360 29
12.4
课堂小结
1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.
2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义—在y轴上的截 距或其相反数.
3、解线性计划问题的步骤： 画、移、求、答.
x + 2y ≤ 8
4x ≤ 16 4y ≤ 12
x≥0
y ≥ 0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如上图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数 的点）就代表所有可能的日生产安排；
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生 产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利 润最大？
C
3
x
5x+3y-15=0
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式 组所表示的公共区域内的点时，以经过点（2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点 (9 , 17 ) 的直线所对应的t最大.
简单的线性规划问题 课件
【典型例题】 例 1 已知 1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求 2x－3y 的取值范围．
解 作出二元一次不等式组1－≤1x≤＋xy－≤y5≤，3 所表示的平面 区域(如图)即为可行域．
设 z＝2x－3y，变形得 y＝23x－13z，则得到斜率为23，且随 z 变化的一组平行直线． －13z 是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最 小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标 函数 z＝2x－3y 取得最小值．
3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的 问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x，
y)叫做可行解 ，由所有可行解组成的集合叫做可行域 .
分别使目标函数 z＝ax＋by 取得最大值或最小值的可行 解叫做这个问题的最优解．
4．线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 _y＝ ___－__ab_x＋__b_z，在 y 轴上的截距是bz，当 z 变化时，方程表
如图所示，直线 MB 的斜率最大， 直线 MC 的斜率最小，
又∵B(0,2)，C(1,0)， ∴zmax＝kMB＝3；zmin＝kMC＝12. ∴z 的最大值为 3，最小值为12. (2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方， 结合图形知，原点到点 A 的距离最大，原点到直线 BC 的距 离最小．
由图可见，当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 A 时，截距 最大，即 z 最小． 解方程组xx－＋yy＝＝－5 1 得 A 的坐标为(2,3)， ∴zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线 z＝2x－3y 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最大． 解方程组xx－ ＋yy＝ ＝31 得 B 的坐标为(2，－1)． ∴zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x－3y≤7，即 2x－3y 的取值范围是[－5，－7]． 小结 解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确 地理解 z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．
《4.2 简单线性规划》课件4-优质公开课-北师大必修5精品
-13-
目标导航
知识梳理
题型一 题型二 题型三
重难聚焦
典例透析
随堂演练
由图可知,当直线 y=-12x+12z-1 经过可行域上的点 A 时,截距12z-1 最小,即 z 最小,
解方程组 ������-������ = 1, 得 ������ = -2,
������ + 2 = 0, ������ = -3,
������ + 2������-5 ≤ 0,
【例 1】 设变量 x,y 满足约束条件 ������-������-2 ≤ 0, 则目标函数 z=2x+3y+1
的最大值为( ).
������ ≥ 0,
A.11
B.10
C.9
D.8.5
-7-
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一 题型二 题型三
∴umin=3×(-2)-3=-9.
当直线 u=3x-y 经过可行域上的点 B 时,截距-u 最小,即 u 最大,解方程
组 ������ + 2������ = 4, ������-������ = 1,
得
������ ������
= =
21,,即
B(2,1).
∴umax=3×2-1=5. ∴u=3x-y 的最大值是 5,最小值是-9.
表示的平面区域,如图阴影部分所示.
当点 M 与点 A(1,2)重合时,|OM|取最小值 5,故 x2+y2 的最小值为 5. 答案:5
-18-
目标导航
知识梳理
题型一 题型二 题型三
重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型三
已知目标函数的最值求参数
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知识梳理
题型一 题型二 题型三
重难聚焦
典例透析
随堂演练
由图可知,当直线 y=-12x+12z-1 经过可行域上的点 A 时,截距12z-1 最小,即 z 最小,
解方程组 ������-������ = 1, 得 ������ = -2,
������ + 2 = 0, ������ = -3,
������ + 2������-5 ≤ 0,
【例 1】 设变量 x,y 满足约束条件 ������-������-2 ≤ 0, 则目标函数 z=2x+3y+1
的最大值为( ).
������ ≥ 0,
A.11
B.10
C.9
D.8.5
-7-
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重难聚焦
典例透析
随堂演练
题型一 题型二 题型三
∴umin=3×(-2)-3=-9.
当直线 u=3x-y 经过可行域上的点 B 时,截距-u 最小,即 u 最大,解方程
组 ������ + 2������ = 4, ������-������ = 1,
得
������ ������
= =
21,,即
B(2,1).
∴umax=3×2-1=5. ∴u=3x-y 的最大值是 5,最小值是-9.
表示的平面区域,如图阴影部分所示.
当点 M 与点 A(1,2)重合时,|OM|取最小值 5,故 x2+y2 的最小值为 5. 答案:5
-18-
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题型三
已知目标函数的最值求参数
简单的线性规划问题PPT教学课件
3.分子永不停息地作无规则的运动.
§2 气体的状态参量 平衡态
一、体积V 气体分子所能达到的空间范围. [单位: m3]
二、压强P 气体作用于容器壁单位面积的垂直作用力. [单位:Pa] 1Pa=1N/ m2
1.1mmHg=133.3Pa 2.标准大气压(atm)
1atm 760mmHg 1.013105 Pa
作一组与 l0 平行的直线系 l，上下平移，可得： 当 l 移动到 l2 时，即过点 A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12； 当 l 移动到 l1 时，即过点 B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
正确作出可行域后，将目标函数变为直线方 程的斜截式的形式，应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z 取值的关系．再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关 系，以便准确找到最优解．
Po 1.01325 105 Pa
To 273.15 K
Vmol 22.4 103 m3
PV PoVo M PoVmol
T
To M mol To
其中： M 为气体的总质量。
M mol为气体的摩尔质量。
令： R PoVmol 8.31 (J mol 1 K 1) To
R 称为“普适气体常数 ”
x＋2y－2＝0 与直线 y＝1 的交点．
解方程组
x＋2y－2＝0 y＝1
，得 x＝0，y＝1.此时 z＝0＋1＝1.
故 z 的最小值为 1.
1 － 2.(2010 年 天 津 ) 设 变 量 x 、 y 满 足 约 束 条 件
xx＋ －yy≤ ≥3－1， 则目标函数 z＝4x＋2y 的最大值为( B ) y≥1
B．[2， 10] D．[ 10，9]
思维突破：本题考查线性规划与指数函数．如图 4 中的阴 影部分为平面区域 M, 显然，只需研究过(1,9)，(3,8)两种情形． a1≤9 且 a3≥8 即 2≤a≤9.
§2 气体的状态参量 平衡态
一、体积V 气体分子所能达到的空间范围. [单位: m3]
二、压强P 气体作用于容器壁单位面积的垂直作用力. [单位:Pa] 1Pa=1N/ m2
1.1mmHg=133.3Pa 2.标准大气压(atm)
1atm 760mmHg 1.013105 Pa
作一组与 l0 平行的直线系 l，上下平移，可得： 当 l 移动到 l2 时，即过点 A(5,2)时，zmax＝2×5＋2＝12； 当 l 移动到 l1 时，即过点 B(1,1)时，zmin＝2×1＋1＝3.
正确作出可行域后，将目标函数变为直线方 程的斜截式的形式，应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z 取值的关系．再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关 系，以便准确找到最优解．
Po 1.01325 105 Pa
To 273.15 K
Vmol 22.4 103 m3
PV PoVo M PoVmol
T
To M mol To
其中： M 为气体的总质量。
M mol为气体的摩尔质量。
令： R PoVmol 8.31 (J mol 1 K 1) To
R 称为“普适气体常数 ”
x＋2y－2＝0 与直线 y＝1 的交点．
解方程组
x＋2y－2＝0 y＝1
，得 x＝0，y＝1.此时 z＝0＋1＝1.
故 z 的最小值为 1.
1 － 2.(2010 年 天 津 ) 设 变 量 x 、 y 满 足 约 束 条 件
xx＋ －yy≤ ≥3－1， 则目标函数 z＝4x＋2y 的最大值为( B ) y≥1
B．[2， 10] D．[ 10，9]
思维突破：本题考查线性规划与指数函数．如图 4 中的阴 影部分为平面区域 M, 显然，只需研究过(1,9)，(3,8)两种情形． a1≤9 且 a3≥8 即 2≤a≤9.
【正式版】简单线性规划问题公开课PPT
目标函数所
表示的几何 线性目
线性约
意义——在 标函数
束条件
y轴上的截
距或其相反
数。
x 4y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
最优解
x 1
任何一个满足
时,求z的最大值和最小值.
不等式组的 （x,y）
线性规 划问题
可行域 所有的 可行解
解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数；
当直线经过可行域上的点C时，
注意：此题y的系数为负，当直线取最大截距时，代入点C，则z有最小值
时,求z的最大值和最小值. 求：通过解方程组求出最优解；
转
化 不等式组表示的平面区域可能是一个多边形，也可能是一个无界区域，还可能由几个子区域合成.
已知
，z=2x+y，求z的最大值和最小值。
且纵截距最大或最小的直线； 画：画出线性约束条件所表示的可行域； 时,求z的最大值和最小值.
线性规划问题
注意: 找: 找出线性约束条件、目标函数；
已知
，z=2x+y，求z的最大值和最小值。
，求z的最大值和最小值.
设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
1.约束条件要写全; 找: 找出线性约束条件、目标函数；
2.作图要准确,计算也要准确;
3.解题格式要规范.
X-4y ≤ -3 ，求z的最大值和最小值.
3X+5y≤25 X ≥ 1 y x=1
5
4
3
x-4y+3=0
2
1
3x+5y-25=0
0 12 34567 X
例4. 设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
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6
理论迁移（二）
例2.请画出下 列不等式组表 示的平面区域.
4x y 10
6 x 5 y 2 2
x0
y 0
y
x O 4x＋y＝106x＋5y＝22
7
例3. 如何画出如右不等 式组表示的平面区域？
y
2x＋y＝15
2x y 15
x + 2 y 1 8
x
+
3
y
27
x 0 , y 0
原
每配制1杯饮料消耗的原料
料
甲种饮料 x 乙种饮料 y
原 料限 额
奶粉(g)
9
4
咖啡(g)
4
5
糖(g)
3
10
利 润(元)
0.7
1.2
3600 2000 3000
19
解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
9 x 4 y 3600
4 3
x x
5 y 2000 10 y 3000
_3 x + 10 y = 3000
截距最大
此时，z =0.7x +1.2y取最大值
解方程组 4x 5y 2000,
_0
_0 _400 5_00 _1000
_x
_4 x + 5 y = 2000
3x 10y 3000, 9_ x + 4 y = 3600
得点C的坐标为（200，240）
20
答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.
5 4A
2x-y=0
代入点A得
最小值为
-
12 .5
3
x-4y+3=0
2
B
A（1，4.4）
1C
3x+5y-25=0 B（5，,2）
0 1 234567 X
C（1,1） 13
x 4 y 3
例5.
已知
3x
5
y
25
，z=2x+y，求z的最大值和最小值。
x 1
y
解：不等式组表示的平
x=1
面区域如图所示：
10
解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数；
2.画：画出线性约束条件所表示的可行域；
3.移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
4.求：通过解方程组求出最优解；
5.答：作出答案。
11
11
理论迁移（三）
例4.设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
x
0
y_
_900
目标函数为：z =0.7x +1.2y
y 0
作出可行域：
目标函数为：z =0.7x +1.2y(x,yN) _400
作直线l:0.7x+1.2y=0，
把直线l向右上方平移至l1的位置时，
_300
_C ( 200 , 240 )
当直线经过可行域上的点C时，
_7 x + 12 y = 0
3
理论迁移（一）
例1: 画出下列不等式表示的平面区域. （1）x＋4y＜4； (2) 4x－3y≤12.
y
y
1
4x－3y≤12
4x
O
x
O
3
x＋4y＜4
－4
4
复习回顾（二）
5
1.不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面区域的交集，即各个不 等式所表示的平面区域的公共部分.
2.不等式组表示的平面区域可能是一个 多边形，也可能是一个无界区域，还可 能由几个子区域合成.若不等式组的解 集为空集，则它不表示任何区域.
6
A(5,2), B(1,1),
C (1, 22 )。 5
5• 4 C•
作斜率为-2的直线
l： 2xy0，
3
平移，使之与平面区域有公共点， 2
由图可知,当 l过B(1,1)时，
1 B•
x-4y+3=0
A •
3x+5y-25=0
ｚ的值最小，当 l过A(5,2)时-1， O 1 2 3 4 5 6 7
x
X-4y ≤ -3 ，求z的最大值和最小值.
3X+5y≤25 X ≥ 1 y x=1
5
4
3
x-4y+3=0
2
1
3x+5y-25=0
0 12 34567 X
12
例4. 设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
X-4y ≤ -3
3X+5y ≤25 ，求z的最大值和最小值.
X≥1
代入点B得最大为8，Biblioteka y x=13.解题格式要规范.
18
理论迁移（四）
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
例69.x咖 啡4 y馆 配36制00 两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、 糖料饮3的料34gxx,使每乙 用杯15种0y限能y饮额获2料0300为利每000奶0杯.7粉含元3奶，60粉乙0g4种，g饮，咖料咖啡每啡20杯50g0能，g，获糖糖利1031g0.．20元0已g，,如知每果每天甲天在种原原 解料少：的杯xy 将使能00已用获知限利数额最据内大列饮？为料目下标能函表全数：部为：售z 出=0.，7x每+1天.2y应(x配,y制两N)种饮料各多
小结:
列表 寻找约束条件 转化
实际问题 设出变量 建立目标函数 建模
线性规划问题
作
答
最优解
四个步骤
图解法
三 个 转 化
调 整
平移找解法
常用方法
目 标 函 数
最优整数解
调整优值法
距离,斜率等
21
22
（复习课）
授课教师：程琬婷 2011年10月11日
1
复习回顾（一）
2
1.画二元一次不等式表示的平面区域， 常采用“直线定界，特殊点定域”的方 法，当边界不过原点时，常把原点作为 特殊点.
2. 包括边界的区域将边界画成实线，不 包括边界的区域将边界画成虚线.
3. 不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区 域位置与A、B的符号有关（同为正，异 为负），相关理论不要求掌握.
x＋3y＝27
O
x＋2y＝18
x
8
复习回顾（三）
9
目标函数所
表示的几何 线性目 意义——在 标函数
线性约 束条件
y轴上的截
距或其相反
数。
x 4y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
最优解
x 1
任何一个满足
时,求z的最大值和最小值.
不等式组的 （x,y）
线性规 划问题
可行域 所有的 可行解
z的值最大， 所以，
-1
zmin2113 zmax25212
l l1
l2
l3
14
变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？
分析：令目标函数z为0，
y
作直线 x2y0
x=1
6
平移，使之与可行域有交点。
最大截距为过C (1, 22 ) 5
的直线 l 1
5• 4 C•
最小截距为过A(5,2) 3
2.对于直线l：z＝Ax＋By，若B＞0，则
当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取
最大(小)值；若B＜0，则当直线l在y轴 上的截距最大(小)时，z取最小(大)值.
16
复习回顾（四）
17
实际问题 注意:
列表
寻找约束条件
设立变量
建立目标函数
转 化
线性规划问题
1.约束条件要写全;
2.作图要准确,计算也要准确;
A
x-4y+3=0
的直线l 2
l1
2
•
注意：此题y的系数为 负，当直线取最大截
1 B•
3x+5y-25=0
距时，代入点C，则z
-1 O 1 2 3 4 5 6 7
x
有最小值
zmin12252359l 0
-1
l2
同理，当直线取最小截距时，代入点A，则z有最大值 zmax5221
15
归纳小结
1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.
理论迁移（二）
例2.请画出下 列不等式组表 示的平面区域.
4x y 10
6 x 5 y 2 2
x0
y 0
y
x O 4x＋y＝106x＋5y＝22
7
例3. 如何画出如右不等 式组表示的平面区域？
y
2x＋y＝15
2x y 15
x + 2 y 1 8
x
+
3
y
27
x 0 , y 0
原
每配制1杯饮料消耗的原料
料
甲种饮料 x 乙种饮料 y
原 料限 额
奶粉(g)
9
4
咖啡(g)
4
5
糖(g)
3
10
利 润(元)
0.7
1.2
3600 2000 3000
19
解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
9 x 4 y 3600
4 3
x x
5 y 2000 10 y 3000
_3 x + 10 y = 3000
截距最大
此时，z =0.7x +1.2y取最大值
解方程组 4x 5y 2000,
_0
_0 _400 5_00 _1000
_x
_4 x + 5 y = 2000
3x 10y 3000, 9_ x + 4 y = 3600
得点C的坐标为（200，240）
20
答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.
5 4A
2x-y=0
代入点A得
最小值为
-
12 .5
3
x-4y+3=0
2
B
A（1，4.4）
1C
3x+5y-25=0 B（5，,2）
0 1 234567 X
C（1,1） 13
x 4 y 3
例5.
已知
3x
5
y
25
，z=2x+y，求z的最大值和最小值。
x 1
y
解：不等式组表示的平
x=1
面区域如图所示：
10
解线性规划问题的步骤：
1.找: 找出线性约束条件、目标函数；
2.画：画出线性约束条件所表示的可行域；
3.移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；
4.求：通过解方程组求出最优解；
5.答：作出答案。
11
11
理论迁移（三）
例4.设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
x
0
y_
_900
目标函数为：z =0.7x +1.2y
y 0
作出可行域：
目标函数为：z =0.7x +1.2y(x,yN) _400
作直线l:0.7x+1.2y=0，
把直线l向右上方平移至l1的位置时，
_300
_C ( 200 , 240 )
当直线经过可行域上的点C时，
_7 x + 12 y = 0
3
理论迁移（一）
例1: 画出下列不等式表示的平面区域. （1）x＋4y＜4； (2) 4x－3y≤12.
y
y
1
4x－3y≤12
4x
O
x
O
3
x＋4y＜4
－4
4
复习回顾（二）
5
1.不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面区域的交集，即各个不 等式所表示的平面区域的公共部分.
2.不等式组表示的平面区域可能是一个 多边形，也可能是一个无界区域，还可 能由几个子区域合成.若不等式组的解 集为空集，则它不表示任何区域.
6
A(5,2), B(1,1),
C (1, 22 )。 5
5• 4 C•
作斜率为-2的直线
l： 2xy0，
3
平移，使之与平面区域有公共点， 2
由图可知,当 l过B(1,1)时，
1 B•
x-4y+3=0
A •
3x+5y-25=0
ｚ的值最小，当 l过A(5,2)时-1， O 1 2 3 4 5 6 7
x
X-4y ≤ -3 ，求z的最大值和最小值.
3X+5y≤25 X ≥ 1 y x=1
5
4
3
x-4y+3=0
2
1
3x+5y-25=0
0 12 34567 X
12
例4. 设z=2x－y，变量x、y满足下列条件
X-4y ≤ -3
3X+5y ≤25 ，求z的最大值和最小值.
X≥1
代入点B得最大为8，Biblioteka y x=13.解题格式要规范.
18
理论迁移（四）
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则
例69.x咖 啡4 y馆 配36制00 两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、 糖料饮3的料34gxx,使每乙 用杯15种0y限能y饮额获2料0300为利每000奶0杯.7粉含元3奶，60粉乙0g4种，g饮，咖料咖啡每啡20杯50g0能，g，获糖糖利1031g0.．20元0已g，,如知每果每天甲天在种原原 解料少：的杯xy 将使能00已用获知限利数额最据内大列饮？为料目下标能函表全数：部为：售z 出=0.，7x每+1天.2y应(x配,y制两N)种饮料各多
小结:
列表 寻找约束条件 转化
实际问题 设出变量 建立目标函数 建模
线性规划问题
作
答
最优解
四个步骤
图解法
三 个 转 化
调 整
平移找解法
常用方法
目 标 函 数
最优整数解
调整优值法
距离,斜率等
21
22
（复习课）
授课教师：程琬婷 2011年10月11日
1
复习回顾（一）
2
1.画二元一次不等式表示的平面区域， 常采用“直线定界，特殊点定域”的方 法，当边界不过原点时，常把原点作为 特殊点.
2. 包括边界的区域将边界画成实线，不 包括边界的区域将边界画成虚线.
3. 不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区 域位置与A、B的符号有关（同为正，异 为负），相关理论不要求掌握.
x＋3y＝27
O
x＋2y＝18
x
8
复习回顾（三）
9
目标函数所
表示的几何 线性目 意义——在 标函数
线性约 束条件
y轴上的截
距或其相反
数。
x 4y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
最优解
x 1
任何一个满足
时,求z的最大值和最小值.
不等式组的 （x,y）
线性规 划问题
可行域 所有的 可行解
z的值最大， 所以，
-1
zmin2113 zmax25212
l l1
l2
l3
14
变题：上例若改为求z=x-2y的最大值、最小值呢？
分析：令目标函数z为0，
y
作直线 x2y0
x=1
6
平移，使之与可行域有交点。
最大截距为过C (1, 22 ) 5
的直线 l 1
5• 4 C•
最小截距为过A(5,2) 3
2.对于直线l：z＝Ax＋By，若B＞0，则
当直线l在y轴上的截距最大(小)时，z取
最大(小)值；若B＜0，则当直线l在y轴 上的截距最大(小)时，z取最小(大)值.
16
复习回顾（四）
17
实际问题 注意:
列表
寻找约束条件
设立变量
建立目标函数
转 化
线性规划问题
1.约束条件要写全;
2.作图要准确,计算也要准确;
A
x-4y+3=0
的直线l 2
l1
2
•
注意：此题y的系数为 负，当直线取最大截
1 B•
3x+5y-25=0
距时，代入点C，则z
-1 O 1 2 3 4 5 6 7
x
有最小值
zmin12252359l 0
-1
l2
同理，当直线取最小截距时，代入点A，则z有最大值 zmax5221
15
归纳小结
1.在线性约束条件下求目标函数的最大 值或最小值，是一种数形结合的数学思 想，它将目标函数的最值问题转化为动 直线在y轴上的截距的最值问题来解决.