现代平差理论与测量平差

现代测量与现代平差技术

摘要:本文首先简述了现代测量平差中的各种理论与经典测量平差之间的关系,指出现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法,并以图描述了经典测量与现代测量数据处理中各种理论之间的关系。然后分别阐述了现代测量数据处理中粗差理论、系统误差的处理、病态问题的处理、非线性问题的处理、不等式约束的平差等的发展,最后综述了其他数据处理理论的一些发展情况。最后讲了整体平差法是一个严格而又有效的平差方法,其应用与现代计算机技术密切相关。具体介绍了整体平差法的基本原理,并以实测GPS控制网的布设为例,探讨了它在现代测量控制网建立中的具体应用及其技术优势。

关键词:经典测量平差;现代测量平差;高斯-马尔柯夫误差模型;误差模型扩展整体平差分级平差GPS控制网

Abstract: This paper described the relationship between the theories in modern surveying adjustment and the traditional surveying adjustment. It pointed out that the theories of modern surveying adjustment and the data processing should be still based on Gauss-Markov error model. Through enlargement and development in different aspects of the model, new theories and methods are worked out. A figure showing such relationship is given.Meanwhile, the theories on blunder detection, systematic error processing, ill-pose problem, nonlinear model,inequality constraints are elaborated. At the last the progresses of other theories on data processing are summarized.Key words: traditional surveying adjustment; modern surveying adjustment; Gauss-Markov error model;extension of error model

1、现代测量平差与数据处理理论发展概述

经典的测量平差与数据处理是以高斯-马尔柯夫模型为核心[1]:

L=AX+Δ(1a)

E(Δ) = 0,D(Δ) =σ20Q=σ20P-1(1b)

Rnk(A) =n,R(Q) =R(P) =n(1c)

这里L为观测向量,Δ为误差向量,X为未知参数向量,A为X的系数矩阵,E(·)为数学期望,σ2为单位权方差,P为观测权矩阵,Q为协因素矩阵,n为观测个数。现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法。例如,误差从独立扩展到相关导出了相关平差的理论[2],误差从偶然误差扩展到系统误差引出了系统误差处理的有关理论和方法[3~5];误差从偶然误差扩展到粗差导出了粗差探测理论、稳健估计理论等[6~8],系数矩阵从满秩扩展到病态引出了病态问题的处理理论、有偏估计等[9~11],从满秩扩展到秩亏则引出了秩亏网平差理论;参数从无先验信息扩展到有信息先验则引出了滤波、配置和推估、Bayes方法等[12];参数从与时间无关扩展到与时间相关引出动态测量数据处理理论[13,14];观测从单一种类观测扩展到多类观测引出方差估计理论、信息融合等理论[12,15];模型从线性扩展到非线性引出了非线性平差理论[16,17];模型从无约束扩展到有等式约束、到不等式约束导出了附不等式约束平差理论[18~20];待估参数扩展到函数导出非参数统计、小波分解、半参数回归等[21,22]。各种现代平差理论与方

法与经典平差模型的关系可以描述如图1.1所示。

图1.1 各种现代平差理论与方法与经典平差模型的关系图

本文将根据上述扩展,分别论述现代测量数据处理中粗差处理、系统误差处理、病态问题处理、多元异质数据处理、先验信息处理、动态测量数据处理、非线性模型处理、不等式约束问题处理等方面的进展。

2、粗差处理处理理论与技术的发展

经典的测量平差与数据处理理论是建立在观测误差为偶然误差的假设上的,最小二乘估计的最优性也只是在观测误差为偶然误差的假设基础上成立。但观测难免会出现粗差,特别是现代测量中,观测数据量大、自动化程度高,影响观测的各种环境因素难以控制的情形。有统计学家曾经根据大量数据分析指出生产实际和科学实验中,粗差的出现大约占观测总数的1%~10%[8]。当观测出现粗差时,传统的最小二乘方法则难以取到最优结果。欧自强[24]曾经研究比较了当观测受粗差污染(观测服从污染分布)时最小二乘估计与一范估计的性质,结果表明,观测受到很小的污染时,一范估计就会优于最小二乘估计,这是统计研究的结果。实际上,粗差的出现,特别是大粗差的出现往往会给经典平差的结果带来严重的影响,因此,在现代测量数据处理中如何消除粗差的影响就显得越来越重要。

现代测量与数据处理理论中,粗差影响的消除主要是从两个方面开展研究的,一是把粗差看做非随机,从粗差主要影响观测值的均值的角度开展研究,即使用污染误差模型中的均值移动模型作为误差模型,使用粗差探测的有关方法来发现和剔除粗差;二是把粗差看做一种随机的大误差,从粗差主要影响观测方差的角度开展研究,即使用污染误差模型中的方差扩大模型作为误差模型,使用抗差估计(稳健估计)等方法来消除粗差的影响[3,7]。

在粗差探测方面,最早由Baarda提出了的数据探测法(Data-snooping)[25],

Wi=Viσvi(2)

这里Vi为观测改正数,σvi为改正数的均方误差,Wi为粗差探测统计量。该方法原则上只适用于一维粗差探测。对于多维粗差探测,国际国内许多专家使用不同的数学和统计方法都进行过尝试[3,26],近年,欧吉坤教授又提出了拟准平差的方法[27],目前仍然有学者从事这方面的研究。对于数据量大、变量多的情形,实用上,仍然是一维的方法代替多维方法进行探测。根据粗差探测的能力,又可以判断观测和估计结果的可靠性,从而建立测量方案设计的可靠性理论。

在稳健估计(抗差估计)方面,稳健估计的研究源自Huber等人的稳健统计理论[8,28]。其估计可以用如下模型描述[29]:

∑ρ(V) =∑VTPVV= min (3a)

PV=

P(V1) 0 0

0 0┇

┇0P(Vi) 0

0 0

(3b)

这里观测方程由(1)式确定。各种稳健估计表现出的差别在于权函数P(Vi)的不同。国际上最早提出的是丹麦法权函数,李德仁教授基于验后方差的思想提出了一种权函数,王之卓教授称之为“李德仁方法”。周江文教授提出了等价权的思想并由此提出了抗差估计的IUGG 方案,杨元喜教授等进一步完善了周江文教授的有关理论与方法,并使这一理论和方法得到了全面的推广应用。朱建军基于均方误差的概念提出了均方误差最小的权函数[30]。并利用污染误差模型,将有关的理论和方法统一,建立了污染误差模型下的测量数据处理理论[7]。稳健估计的其他研究主是一范和P范方面的研究。

3、系统误差处理理论与技术的发展

关于系统误差的处理目前国际国内通用的主要方法是采用附加系统参数的平差方法: L=AX+HΔS+εn(4)

即根据观测对象、观测过程、及外界条件的物理特性等先验信息,建立系统误差与某些因素的函数关系,通过附加参数实现消除系统误差影响的目的。当系统误差的性态比较简单,函数关系比较准确时,这种方法能很好地消除系统误差的影响。但如果系统误差关系比较复杂难以用简单的函数描述时,这种方法则难以取得很好的效果。另一种传统的方法是通过精化客观的物理模型来削弱系统误差的影响(精化模型法),例如,通过精化大气模型等来改正和减少大气的系统性误差影响,通过精密星历来减少轨道误差的影响等,但数学模型与客观实际总会有差别,特别当客观实际变化较大难以用数学模型描述时,这些方法的应用就会受到限制。

例如,对于GPS定位测量,即使使用精化模型后,残余的误差仍将会以系统误差为主。第三种方法是半参数回归的方法[21,22],半参数方法的优点是不需要对系统误差或模型误差的规律有明确的了解,因而这种方法在近年得到了测绘工作者的广泛重视。其缺点是只利用了数值计算中函数的光滑性去逼近非参数部分,目前并没有成熟的方法利用关于系统误差的先验知识。系统误差处理还有一些其它的方法,例如差分方法、观测值的线性组合方法等,这些方法主要是针对一些特殊的测量手段(如GPS),并且只在一定范围内有效(如短基线)。

4、病态问题处理理论与技术的进展

平差模型的另一个发展是将误差方程系数满秩扩展到秩亏和病态。秩亏和病态的平差模型形式上与经典平差模型没有区别,但经典的平差模型是隐含了系数矩阵A满秩的假设。对于传统的测量技术来说,由于技术手段单一,严格按照技术规范制定测量方案,一般很难出现系数矩阵病态的情况。例如,传统的平面三角测量,规范严格规定三角形内角必须在30~120°之间,特殊个别情况也应大于20°,按这个规定布设的三角网肯定不会病态。但现代测绘的许多领域难以满足这一要求,例如大地测量反演、卫星重力的向下延拓、GPS的快速定位、近景摄影测量等都存在病态问题。

当方程病态时,最小二乘平差的结果非常不稳定,质量很差。为解决这一问题,研究工作是从两个方面展开的,一是有偏估计,二是正则化方法。Stein首先于1955年证明了当维数大于2时,正态均值向量的最小二乘估计是不容许估计,由此开辟了有偏估计的研究。1970年Hoerl 和Kennard从改善系数矩阵病态性质的角度提出了岭估计,其做法是在法方程系数矩阵对角线上加上一个微量从而达到改善方程病态的目的:

X^= (ATPA+kI)-1ATPL(5)

这里k为岭参数。实践表明选择合理的岭参数确实能有效地改善病态方程的解。岭参数的选择最早提出的有双h公式、Hoerl-Kennard-Baldwin迭k公式及Lawless-Wang的迭k公式[31]等。目前主要有岭迹法、有广义交叉核实、L曲线法、双h及改进类方法。在大地测量领域,归庆明提出利用特征根来确定岭参数[32],朱建军则针对岭估计效果与参数真值大小有关这一特性,提出了对参数估计量及岭参数同时迭代的方法,该方法对岭参数的初值选取要求很宽松[33]。

正则化方法是Tiklonov于1960年代初基于“稳定的近似解”的概念提出的,具体做法是对最小二乘准则进行适当的修正(近似):

VTPV+αΦ(X) = min (6)

其中α为平滑因子,Φ(X)为稳定泛函。Φ(X)一般根据参数的一些先验信息或先验特征或虚拟的信息确定。大地测量领域中一般取Φ(X) =ZTPZZ,Ω(Z)的不同形式通过PZ的不同形式来反映[9]。平滑因子确定的主要方法有广义交叉核实(GCV)法、L曲线法、遗传算法,自适应算法和验后法等等,对于Φ(X)函数,欧吉坤教授建议[10],依据参数的先验信息用选权拟合的方法确定PZ。王振杰还提出了先对法方程奇异值分解,利用奇异值分解矩阵构建PZ[37]。近年,沈云中教授等从谱分解角度探讨正则化算法[34],徐培亮等提出依据估计量的均方误差最小来确定准则参数的方法[35]。

5、非线性模型处理理论与方法

非线性模型的研究大约始于20世纪60年代,Box和Beale首先开展了这方面的研究,到80年代Bates及Watts提出了曲率度量的概念使非线性模型的估计理论得到了快速发展,测绘界在这方面的研究始于80年代, P·J·G·Teunissen1985年及以后,先后研究了非线性模型最小二乘估计的一、二阶矩。阐述了非线性模型的识别、度量非线性强度的指标以及非线性模型曲率的几何意义等。通过对展开式中舍去项造成函数模型偏差的研究,提出从舍去的项中找出其对函数模型和参数的影响,然后对函数模型和参数的估值进行修正。徐培亮在1986年导出了非线性函数的协方差传播一般公式,通过简化得出了含有二次项的协方差传播公式,

包括观测量间独立和相关两种情形的具体计算公式。非线性函数展开至二次项时,徐培亮给出严密、实用公式。然后,王新洲、刘国林、李朝逵等对非线性测量平差理论做了系统的研究和发展[16,17]。

非线性平差目前的主要算法有迭代法(牛顿迭代法、高斯-牛顿法、及相应的修正方法等)、直接解法、遗传算法、模拟退火算法等。对于非线性平差的方差估计问题,王志忠采用差分代替微分的方法,提出了非线性模型中严格的和简化的方差和协方差分量估计的迭代公式[36],这些公式适用于所有函数模型和随机模型。张松林等将半参数最小二乘核估计方法引入非线性模型,取得了好的效果[37]。

6、不等式约束平差模型新算法

在大地测量数据处理中,许多情况下可根据先验知识建立对参数的某种约束,如果所建立的约束是不等式形式,则形成了具有不等式约束的平差模型:

L=AX+Δ(7a)

GX≤W(7b)

附不等式约束平差问题的主要算法可归纳为以下几种:

(1)将约束平差问题转化为一个最小距离问题(LDP),用非线性规划的方法来求解;卢刚等将该方法用于GPS单点定位解算中(附加高程约束),在有SA影响和卫星几何位置不够理想的情况下,得到了更精确的平面位置。但是由于解通过迭代获得,不能够表达成观测的显式形式,难以进行精度评定。

(2)将不等式约束转换成对参数的一种先验知识,也就是假设未知参数在不等式规定的区间内服从均匀分布,然后以贝叶斯统计推断理论为基础获得参数的验后分布,相应的贝叶斯解与单纯形解完全一致,能够计算贝叶斯解的均方误差矩阵(MSE),验后均值及其均方误差矩阵,从而解决解的精度评定问题。但是不能够得到解向量与观测向量之间的显式表达式,因而不容易得到参数估计值的统计特性。参数维数较高时,积分计算十分复杂[18]。

(3)有效约束法。附不等式约束的平差过程中,约束条件GX≤W在最优解X^处将分成两类G=G1G2,W=W1W2,GX^≤W G1X^=W1G2X^=W2。最优解等价于目标函数仅在有效约束条件下的解:

(X--X)TQ-1X(X--X) = min

G1X=W1(8)

即将不等式约束平差,通过有效约束可转换成等式约束平差。其中G1X^=W1称为最优解X^处的有效约束;约束条件G2X^

(4)虚拟观测法。一种比较简单而有效的方法是将不等式转换成虚拟观测:

L=AX+Δ

GX≤W L+V=AXLW+VW=GX′

Pw=k VW> 00VW≤0

按上述模型迭代求解,就可得到最后解。

其他有彭军还基于凝聚函数法给出了不等式约束平差问题的一种算法等[20]。附不等式约束平差的最大问题是难以进行精度评定。

7、整体平差法的基本原理

7.1整体平差法的技术优势

7.1.1整体平差有利于全网的精度均匀

2002年我院承担布设了漂阳市全境范围内的三等GPS控制网和各建制镇四等GPS控制网，以满足统一全市坐标系统，建立城镇地籍管理信息系统的需要。三等(}PS网共有27个控制点，其中联测了4个国家高等控制点，按混合联接方式构网，全网平均边长为7. 5km。四等(iPS网按最近组合原则，每2}-3个镇组成一个四等GPS子网，共布设9个子网，每个子网异步环边数一般为5 }- 6条，四等网平均边长为1. 6kmo

为了便于分析比较不同平差方案的差异，我们分别采用了分级平差和整体平差两种方案。所谓分级平差就是按等级分别进行三、四等网平差，且将四等网强制附合到三等网点上;整体平差就是将三、四等网一并进行联合平差。两种平差方案各项精度

7.1.2整体平差可以充分利用已有的数据资源

1997年，为了满足宜兴市地籍调查和土地管理的需要，我院承担布设了该市主城区四等GPS控制网(以下称为一期网)。该控制网由16个待定点组成，联测了四个高等控制点，其中只有1个点位于测区附近，其余3个点均远离测区，且位于高山上。

1999年，该市决定在主城区西部宜兴环保科技园区布设四等GPS控制网(以下称为二期网)，同样由我院来承担完成。考虑该网与一期网相邻接，可以看作是一期网的西延，高等控制点的情况也完全相同。于是在布设方案上采取了分期布网、整体平差的思想，充分利用已有的数据资源，提供全市统一基准下的控制测量成果。

二期控制网布设了22个GPS控制点，没有进行高等控制点的联测工作，仅重合了3个一期控制点，作为两网进行整体平差的公共点。控制网布设示意图如图7.1.2.1

图7.1.2 1

利用POWERADJ软件具有的追加基线功能将两期网基线数据文件合并，采用具有一期控制网相同起算点的整体平差方案。平差结果列举如下:图7.1.2.2

图7.1.2 2

由平差结果可以看出，各项精度指标均优于四等网的精度要求。另外将两网整体平差结果与原一期控制网平差结果进行比较，一期网点坐标变化很小，最大不超过lcm，不影响原成果的使用。由于平差处理中较好地利用了原有的一期网观测数据，因而大大节省了高等己知点的联测工作量。

整体平差除了在平面数据资源方面共享以外，在CPS高程拟合方面也具有极高的共享价值，因为通过引入相关网，可以增加己知高程点的密度，改善己知点的分布，增加检核。本文限于篇幅，不再举例说明。

7.1.3整体平差可以减少控制网的加密层次

在常规测量中，平面控制网一般布设成二角网、边角网和导线网等形式，也可以是边角、导线混合网。随着CPS技术的广泛应用，布设高等级地面控制网的机会也随之减少，然而这并非意味着不再需要布设常规的地面网。对于那些需要布设点位却又不便于CPS观测的地方，就可以布设常规的地面网相配合，也就是CPS网与地面网联合布设。这样既可使得控制网的布设十分灵活，又可以充分发挥各自的技术优势。

本文引用某城市实测控制网数据处理为例来说明CPS网与导线网的联合布设和整体平差。如图7.1.3.1所示，A,B为己知点G1~G6为CPS点T7~T12为导线点。

图7.1.3. 1

分别对GPS网、导线网和混合网进行了二维约束平差,其中在GPS网与混合网约束平差中,以A、B两点为起算点;在导线网约束平差中以G2、G3两点的GPS网平差结果作为起算数据。三种平差方案所得结果列举如下:

图7.1.3. 2

由表列数据可以看出,就点位精度和边长精度而言,对于GPS点,整体平差与单独平差基本一致;而对于导线点,整体平差则优于单独平差。平差表明,整体平差可以提高控制网的精度。

7.1.4 其他数据处理方法综述

由于技术的发展,数据处理所涉及的内容越来越多样化和复杂,因而多种数据处理的理论和方法得到发展,多种数学理论在测量平差中得到广泛应用。

当平差问题涉及不同类观测时,就提出了不同类观测权的确定问题,由此导出了方差分量估计理论。方差分量估计的理论目前已经比较成熟,在有关教科书上都有介绍。

经典的平差模型(1)式中,模型参数X隐含了静态的,与时间无关的假设,也就是说系统参数X的个数不变,数值(真值)不变。但现代测绘中许多情况下,系统参数是随时间发生变化的,因此卡尔曼滤波理论在测量数据处理中得到了广泛的应用和发展。与经典的平差模型相比,由于系统参数随时间发生变化,因此平差模型中增加了描述系统变化规律的系统方程。经典模型中的观测也是与时间无关的,观测主要是针对静态的观测对象进行的。但现代测绘中,许多观测本身是针对一个动态过程的,因而观测是与时间相关的,由此时间序列的理论、小波方法、经验模式分解等理论在测量数据处理中得到了应用和发展。

当涉及到先验信息和其他非观测信息时, Bayes理论、模糊数学等得到了应用和发展。当然涉及到地学空间信息处理时,地学空间统计学得到了发展。除此以外,神经网络、模式识别等在测绘领域中都得到了广泛的应用。由于技术的发展,观测种类越来越多,观测模型越来越复杂,测量平差与数据处理的理论和方法必将得到进一步的发展,在各种新技术中的应用将越来越重要。

参考文献：

[ 1 ]黄维彬.近代平差理论及其应用[M].北京:解放军出版社, 1992.

[ 2 ]冯浩鉴.相关平差概论[M].北京:测绘出版社, 1982.

[ 3 ]李德仁,袁修孝.误差处理与可靠性理论[M].武汉:武汉大学出版社, 2002.

[ 4 ]陶本藻等.顾及系统误差的平差模型研究[J].测绘学院学报, 2002, 19 (2): 79~81.

[ 5 ]周江文.系统误差的数学处理[J].测绘工程, 1999, 8(2): 1~4.

[6 ]周江文,黄幼才,杨元喜,欧吉坤.抗差最小二乘估计[M].武汉:华中理工大学出版社, 1997.

[ 7 ]朱建军.污染误差模型下的测量数据处理理论[J].测绘学报, 1999, 28 (3).

[ 8 ]Huber. P. J, Robust statistics, NewYork, Wiley 1981.

[ 9]王振杰.大地测量中不适定问题的正则化解法研究[D].武汉:中国科学院测量与地球物理研究所, 2003.

[10]欧吉坤.测量平差中不适定问题解的统一表达与选权拟合法[J].测绘学报, 2004, 33 (4).

[11]叶松林,朱建军.矩阵奇异值分解与广义岭估计及其在测量中的应用[J].中国有色金属学报, 1998, 8 (1): 160~164.

[12]崔希璋等.广义测量平差[M].武汉:武汉大学出版社,2006.

[13]宋迎春.动态定位中的卡尔曼滤波研究[D].长沙:中南大学, 2007.

[14]杨元喜.自适应动态导航定位[M].北京:测绘出版社,2006.

[15]贾永红.多源遥感影像数据融合技术[M].北京:测绘出版社, 2005.

[16]王新洲.非线性模型参数估计理论与应用[M].北京:测绘出版社, 2002.

[17]刘国林.非线性最小二乘与测量平差[M].北京:测绘出版社, 2002.

[18]朱建军等. A Bayesian method for linear inequality constrained adjustment and its application to GPS positioning [J]. Journal of Geodesy, 2005, 78 (9): 528~534.

[19]冯光财等.基于有效约束的附不等式约束平差的一种新算法[J].测绘学报, 2007, 36 (2): 119~123.

[20]Peng Junhuan, et al. An Aggregate Constraint Method for Inequality2constrained Least Squares Problem [ J]. Journal of Geodesy, 2005, 79 (12): 705~713.

[21]孙海燕等.半参数回归与模型精化[J].武汉大学学报(信息科学版), 2002, 27 (2): 172~174.

[22]朱建军等.半参数模型解算的虚拟观测法[J].工程勘察,2006, (9): 53~58.

[23]戴吾蛟等.基于经验模式分解的滤波去噪法及其在GPS多路径效应中的应用[J].测绘学报, 2006, 35 (4): 321~327.

[24]Ziqiang Ou. Comparison of the Variance between L1 and L2 estimation, ZFV, 1990, (3): 123~125.

[25]Baarda. w. A Test Procedure for use in Geodetic networks. Neth Geod. Comn. Vol. 2, No. 5, 1968.

[26]朱建军.污染误差模型下的测量数据处理理论[D].长沙:中南工业大学, 1998.

[27]欧吉坤.粗差的拟准检定法[J].测绘学报, 1999, 28 (1):15~20.

[28]Huber. P. J. Robust estimation of a location parameter, Ann.Math. Statist. 1964, Vol. 35, 73~101.

[29]朱建军.测量平差中估计准则的统一[J].测绘学报,1986, (4).

[30]朱建军. Robust estimate with minimum mean squared error [J].Australian Surveyor, 1991, (2).

[31]王松佳.线性模型的理论及应用[M].合肥:安徽教育出版社, 1987.

[32]归庆明.选取岭参数的一个新方法[J].测绘工程, 1997, 6(1): 14~19.

[33]朱建军.岭估计的一种新的算法[J].测绘信息与工程,1997, (3): 22~25.

[34]沈云中,许厚泽.不适定方程正则化算法的谱分解式[J].大地测量与地球动力学, 2002, 22 (3): 10~14.

[36]王志忠,朱建军.非线性模型中方差和协方差分量的估计[J].测绘学报, 2005, 34 (4):

288~293.