考研线代 线性方程组题库ppt
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基础解系上解答得并不理想，希望引起重视。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
从2002年，2003年考题来看，对矩阵初 等变换的要求明显比往年要高。
-
二、非齐次线性方程组
-
5.(96,3分)设
1 1 1 L
a1
a2
a3 L
A
a12 M
a
2 2
M
a32 L M
a1n1
a n1 2
a n1 3
L
x1
1
an
a
2 n
M
种
i1
ai
0
。试讨论a1,
a2,…,
an,和b满足何
关系时
-
(1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此 方程组的一个基础解系。
-
先把第1行的-1倍依次加至其余各行，然 后是把i行的-ai倍加至第1行(i=2,…,n)，再将 第1行移到最后一行。
-
评注：本题行列式 A 的计算方法特别 多，不知你还会那些？你能用特征值的方法和 理论求出 A 的值吗？
-
试写出线性方程组(Ⅱ)
b11 y1 b12 y2 L b12n y2n 0
b21 y1
b22 y2 L
L
b22n y2n
0
bn1 y1 bn2 y2 L bn2n y2n 0
的通解，并证明理由。
-
(01,6分)设α1,α2,…,αs为线性方程组Ax=0的一 个基础解系β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…, βs=t1αs+t2α1，其中t1,t2为实常数，试问满足什 么关系时，β1, β2,…,βs也为Ax=0的一个基础 解
-
一、齐次方程组有非零解、基础解系、 通解等问题
-
*1.(02，3分)设A是m×n矩阵，B是n×m矩 阵，则线性方程组(AB)x=0
-
(A) 当n>m时仅有零解； (B) 当n>m时必有非零解； (C) 当m>n时仅有零解； (D) 当m>n时必有非零解。
-
2.(02，8分)设齐次线性方程组
1
0
。
1
-
1
(2)(00,2,6分)设
第四章 线性方程组
-
线性方程组是否有解？若有解，那么一 共有多少解？怎样求出其所有解？
往年考题中，方程组出现的频率较高， 大致有三种类型，一是非齐次线性方程组的 求解(含对参数取值的讨论)，二是齐次线性方
-
程组基础解系的求解与证明，再者是有 解，有非零解的判定及解的结构。向量的线 性表示实际上也是一个方程组求解问题，而 向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有 非零解的问题。
-
*4.(04,4分)设n阶矩阵A的伴随矩阵
A*≠0，若 1,2,3,4 是非齐次线性方程组
Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方 程组Ax=0的基础解系。
-
(1)不存在； (2)仅含一个非零解向量； (3)含有两个线性无关的解向量； (4)含有三个线性无关的解向量。
-
(96,6分)求齐次线性方程组
系。
-
(04,9分)设有齐次线性方程组
(1 a)x1 x2 L xn 0
2
x1
(2
a) x2 L
L
2xn
0
nx1 nx2 L (n a)xn 0
(n≥2)试问a为何值时，该方程组有非零解，
并求其通解。
-
(98,5分)已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c)，
1 2 3
a,b,c不全为零，矩阵B
-
3.(03，13分)已知齐次线性方程组
(a1 b)x1 a2x2 a3x3 L anxn 0
aa11xx11
(a2 b)x2 a2x2 (a3
a3 b)
x3 x3
L L
an xn anxn
0 0
L L
a1x1 a2x2 a3x3 L (an b)xn 0
其中 n
ax1 bx2 L bxn 0
b
x1 L
a L
x
2
L
bxn 0
b x1 b x2 L a x n 0
其中a≠0 ，b≠0，n≥2，试讨论a,b为何值
时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有
-
无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系 表示全部解。
-
评注：把第n行的-1倍加至第i行，i由1 至n-1；然后把每行的-b倍均加至第n行。
2
4
6
(k为常数)，
3 6 k
且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。
-
综述：总体上看这一部分考得不十分理 想，看来在基础解系的理解与把握上还有问题。 复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与 通解的概念，要掌握齐次线性方程组的基础解 系与通解的求法，否则在特征向量的求解上还
要出问题。
-
n-r(A)这个数有两层含义，它既表示齐次 线性方程组Ax=0的基础解系中有n-r(A)个解 向 量，又表示每个解中有n-r(A)个自由变量，搞 清这个数会减少一些无谓的失误，目前考生在
，X
x
2
x3 M
a
n n
1
x n
1
1
，B
1
M
，
1
其中ai≠aj (i≠j, i, j =1,2,…,n)，则线性方程
ATx=B的解是 。
-
6.(08，6分)设n元线性方程组Ax=b，其中
2a 1
a
2
2a
1
a2 2a 1
A
OOO
a2 2a 1
a2
2a
x1
x
x
2
M
x
n
1
b
0
M
0
-
(Ⅰ)当a取何值时，该方程组有唯一解，并 求x1； (Ⅱ)当a取何值时，该方程组有无穷多解， 并求通解。
-
这样的方程组要会解
(1)设线性方程组
x1 x1
a1x2 a2x2
a
2 1
x
3
a
2 2
x
3
a
3 1
a
3 2
x1
a3x2
a
2 3
x
3
a
3 3
x
1
a4x2
a
2 4
x
3
a
3 4
-
(1)证明：若a1, a2, a3, a4,两两不相等，则此线 性方程组无解。 (2)设a1=a3=k，a2=a4=-k (k≠0)，且已知β1， β2是该方程组的两个解，其中
-
1
1
1
1
1
1
1
1
写出此方程组的通解。
-
评注：也可把Ax=0的基础解系简写为
x1 x2 x5 0
x1
x2
x3
0
x 3 x 4 x 5 0
的基础解系。
-
*(98,5分)已知线性方程组(Ⅰ)
a11x1 a12 x2 L a12n x2n 0
a21x1
a22 x2 L
L
a22n x2n 0
an1x1 an2 x2 L an2n x2n 0
的一个基础解系为 (b11, b12,…,b12n)T，(b21, b22,…,b22n)T，…，(bn1, bn2,…,bn2n)T，
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从2002年，2003年考题来看，对矩阵初 等变换的要求明显比往年要高。
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二、非齐次线性方程组
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5.(96,3分)设
1 1 1 L
a1
a2
a3 L
A
a12 M
a
2 2
M
a32 L M
a1n1
a n1 2
a n1 3
L
x1
1
an
a
2 n
M
种
i1
ai
0
。试讨论a1,
a2,…,
an,和b满足何
关系时
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(1)方程组仅有零解； (2)方程组有非零解，在有非零解时，求此 方程组的一个基础解系。
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先把第1行的-1倍依次加至其余各行，然 后是把i行的-ai倍加至第1行(i=2,…,n)，再将 第1行移到最后一行。
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评注：本题行列式 A 的计算方法特别 多，不知你还会那些？你能用特征值的方法和 理论求出 A 的值吗？
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试写出线性方程组(Ⅱ)
b11 y1 b12 y2 L b12n y2n 0
b21 y1
b22 y2 L
L
b22n y2n
0
bn1 y1 bn2 y2 L bn2n y2n 0
的通解，并证明理由。
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(01,6分)设α1,α2,…,αs为线性方程组Ax=0的一 个基础解系β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,…, βs=t1αs+t2α1，其中t1,t2为实常数，试问满足什 么关系时，β1, β2,…,βs也为Ax=0的一个基础 解
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一、齐次方程组有非零解、基础解系、 通解等问题
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*1.(02，3分)设A是m×n矩阵，B是n×m矩 阵，则线性方程组(AB)x=0
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(A) 当n>m时仅有零解； (B) 当n>m时必有非零解； (C) 当m>n时仅有零解； (D) 当m>n时必有非零解。
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2.(02，8分)设齐次线性方程组
1
0
。
1
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(2)(00,2,6分)设
第四章 线性方程组
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线性方程组是否有解？若有解，那么一 共有多少解？怎样求出其所有解？
往年考题中，方程组出现的频率较高， 大致有三种类型，一是非齐次线性方程组的 求解(含对参数取值的讨论)，二是齐次线性方
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程组基础解系的求解与证明，再者是有 解，有非零解的判定及解的结构。向量的线 性表示实际上也是一个方程组求解问题，而 向量的线性相关实际上是齐次方程组是否有 非零解的问题。
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*4.(04,4分)设n阶矩阵A的伴随矩阵
A*≠0，若 1,2,3,4 是非齐次线性方程组
Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方 程组Ax=0的基础解系。
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(1)不存在； (2)仅含一个非零解向量； (3)含有两个线性无关的解向量； (4)含有三个线性无关的解向量。
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(96,6分)求齐次线性方程组
系。
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(04,9分)设有齐次线性方程组
(1 a)x1 x2 L xn 0
2
x1
(2
a) x2 L
L
2xn
0
nx1 nx2 L (n a)xn 0
(n≥2)试问a为何值时，该方程组有非零解，
并求其通解。
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(98,5分)已知三阶矩阵A的第一行是(a,b,c)，
1 2 3
a,b,c不全为零，矩阵B
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3.(03，13分)已知齐次线性方程组
(a1 b)x1 a2x2 a3x3 L anxn 0
aa11xx11
(a2 b)x2 a2x2 (a3
a3 b)
x3 x3
L L
an xn anxn
0 0
L L
a1x1 a2x2 a3x3 L (an b)xn 0
其中 n
ax1 bx2 L bxn 0
b
x1 L
a L
x
2
L
bxn 0
b x1 b x2 L a x n 0
其中a≠0 ，b≠0，n≥2，试讨论a,b为何值
时，方程组仅有零解，有无穷多组解？在有
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无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系 表示全部解。
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评注：把第n行的-1倍加至第i行，i由1 至n-1；然后把每行的-b倍均加至第n行。
2
4
6
(k为常数)，
3 6 k
且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。
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综述：总体上看这一部分考得不十分理 想，看来在基础解系的理解与把握上还有问题。 复习时应当理解齐次线性方程组的基础解系与 通解的概念，要掌握齐次线性方程组的基础解 系与通解的求法，否则在特征向量的求解上还
要出问题。
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n-r(A)这个数有两层含义，它既表示齐次 线性方程组Ax=0的基础解系中有n-r(A)个解 向 量，又表示每个解中有n-r(A)个自由变量，搞 清这个数会减少一些无谓的失误，目前考生在
，X
x
2
x3 M
a
n n
1
x n
1
1
，B
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M
，
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其中ai≠aj (i≠j, i, j =1,2,…,n)，则线性方程
ATx=B的解是 。
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6.(08，6分)设n元线性方程组Ax=b，其中
2a 1
a
2
2a
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a2 2a 1
A
OOO
a2 2a 1
a2
2a
x1
x
x
2
M
x
n
1
b
0
M
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(Ⅰ)当a取何值时，该方程组有唯一解，并 求x1； (Ⅱ)当a取何值时，该方程组有无穷多解， 并求通解。
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这样的方程组要会解
(1)设线性方程组
x1 x1
a1x2 a2x2
a
2 1
x
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a
2 2
x
3
a
3 1
a
3 2
x1
a3x2
a
2 3
x
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a
3 3
x
1
a4x2
a
2 4
x
3
a
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(1)证明：若a1, a2, a3, a4,两两不相等，则此线 性方程组无解。 (2)设a1=a3=k，a2=a4=-k (k≠0)，且已知β1， β2是该方程组的两个解，其中
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写出此方程组的通解。
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评注：也可把Ax=0的基础解系简写为
x1 x2 x5 0
x1
x2
x3
0
x 3 x 4 x 5 0
的基础解系。
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*(98,5分)已知线性方程组(Ⅰ)
a11x1 a12 x2 L a12n x2n 0
a21x1
a22 x2 L
L
a22n x2n 0
an1x1 an2 x2 L an2n x2n 0
的一个基础解系为 (b11, b12,…,b12n)T，(b21, b22,…,b22n)T，…，(bn1, bn2,…,bn2n)T，