2018秋北师大版九年级数学上册单元测试卷：第1章特殊平行四边形

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北师大版九年级数学上册-第一章-特殊的平行四边形-单元测试题(有答案)

九年级数学上册第一章特殊的平行四边形单元测试题班级：姓名：成绩：一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列属于菱形性质的是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直C．对角互补 D．四个角都是直角2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则正确的结论是（）A．AB 垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．四边形ABCD是菱形3．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．154．如图，O为矩形ABCD的对角线AC的中点，过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，连结CE．若该矩形的周长为20，则△CDE的周长为（）A．10 B．9 C．8 D．55．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD 交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD为矩形的只有（）A．AC＝BD B．AB＝6，BC＝8，AC＝10 C．AC⊥BD D．∠1＝∠26．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°7．如图，在正方形ABCD中，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE，BE得到△ABE，则△ABE与正方形ABCD的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．8．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（）A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AB＝BC D．AC＝BD9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（）A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（6，3）二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）10．矩形（非正方形）四个内角的平分线围成的四边形是形．（填特殊四边形）11．如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥BC于点F．若EF ＝4，则点E到边AB的距离为．12．在菱形ABCD中，AC＝12cm，若菱形ABCD的面积是96cm2，则AB＝．13．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，∠AOB＝60°，AB＝10，E、F 分别为AO、AD的中点，则EF的长是．14．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是．15．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O．若BO＝3，则菱形ABCD的面积为．16．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝3．延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为时，△ABP和△DCE全等．17．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF 的中点，那么CH的长是．三．解答题（共7小题，共66分）18．已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE ＝DF．求证；四边形ABCD是菱形．20．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，求∠EAC的度数．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，E为边BC上一点，且EC＝AD，连结AC．（1）求证：四边形AECD是矩形；（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，22．如图，在边长12的正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在边AD上，且AF＝3DF，连接BE，BF，EF，请判断△BEF的形状，并说明理由．23．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．（1）求证：四边形OCED是正方形．（2）若AC ＝，则点E到边AB 的距离为．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：A、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故原命题错误，不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，故原命题正确，符合题意；C、菱形的对角相等，故原命题错误，不符合题意；D、矩形的四个角都是直角，菱形不一定是，故原命题错误，不符合题意，故选：B．2．解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB垂直平分CD，故选：A．3．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO ＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD 的面积＝×6×8＝24，故选：B．4．解：∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，∴AO＝OC，∵过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，∴AE＝CE，∵矩形的周长为20，∴AD+DC＝AB+BC＝10，∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝10，故选：A．5．解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2+BC2＝62+82＝102，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形．C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，D、正确，∵∠1＝∠2，∴AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∵∠OAD＝55°，∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°故选：A．7．解：过E作EF⊥AB于F，由题意得，△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∴EF ＝BE，设正方形的边长为a，则AB＝BE＝BC＝a，∴EF ＝a，∴S△ABE ＝AB•EF ＝•a a ＝a，S正方形ABCD＝a2，∴△ABE与正方形ABCD的面积比为1：4，故选：C．8．解：由∠A＝∠B＝∠C＝90°可判定四边形ABCD为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，故选：C．9．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠FCD+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4．故选：C．10．解：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD∵AB的中点是坐标原点，∴AO＝BO＝3，∴DO ＝＝3∴点C坐标（6，3）故选：D．二．填空题11．解：∵AF，BE是矩形的内角平分线．∴∠ABF＝∠BAF﹣90°．故∠1＝∠2＝90°．同理可证四边形GMON四个内角都是90°，则四边形GMON为矩形．又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD＝BC．∴OD＝OC，△AMD≌△BNC，∴NC＝DM，∴NC﹣OC＝DM﹣OD，即OM＝ON，∴矩形GMON为正方形，故答案为：正方．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴BD平分∠ABC，∵E为BD上的一点，EF＝4，∴点E到AB的距离＝EF＝4，故答案为：4．13．解：如图，∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO＝6cm，BO＝DO，AC⊥BD ∵S菱形ABCD ＝×AC×BD＝96∴BD＝16cm∴BO＝DO＝8cm∴AB ＝＝10cm故答案为：10cm14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，∴DO＝CO＝AO＝BO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝10，∴AO＝OB＝DO＝10，∵E、F分别为AO、AD的中点，∴EF ＝DO ＝＝5，故答案为：5．15．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAE＝45°＝∠ACB．∵AE＝AC，∴∠ACE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°．∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．故答案为22.5°．16．解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，∴AO ＝＝4∴AC＝8，BD＝6∴菱形ABCD 的面积＝AC×BD＝24，故答案为：2417．解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝1，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝2t＝1，所以t＝0.5，因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝1，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP＝8﹣2t＝1，解得t＝3.5．所以，当t的值为0.5或3.5秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为：0.5秒或3.5秒．18．解：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC ＝BC ＝，CF ＝CE＝3，∴∠ACF＝45°+45°＝90°，在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF ＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH ＝AF ＝．故答案为：．三．解答题19．解：∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，∴AD＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BA，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°；∵BD＝4，∴DO＝2，AD＝4，∴AO ＝＝2，∴AC＝4；∴AB ＝＝＝4，∴菱形ABCD的周长为4×4＝16；菱形ABCD 的面积为：BD•AC ＝×4×4＝8．20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥DC∴∠AEB＝∠AFD＝90°．又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（AAS）∴DA＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形．21．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC，OD＝OB，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∵∠BAD＝90°，∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝30°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABO＝90°﹣30°＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠EAC＝∠BAO﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°．22．解：（1）证明：∵AD∥BC，EC＝AD，∴四边形AECD是平行四边形．又∵∠D＝90°，∴四边形AECD是矩形．（2）∵AC平分∠DAB．∴∠BAC＝∠DAC．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB．∴∠BAC＝∠ACB．∴BA＝BC＝5．∵EC＝2，∴BE＝3．∴在Rt△ABE中，AE ＝＝＝4．23．解：△BEF是直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°．∵点E是CD的中点，∴DE＝CE ＝CD＝6．∵AF＝3DF，∴DF ＝AD＝3．∴AF＝3DF＝9．在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF2＝AB2+AF2＝144+81＝225，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2＝CB2+CE2＝144+36＝180，在Rt△DEF中，由勾股定理可得EF2＝DF2+DE2＝9+36＝45，∵BE2+EF2＝180+45＝225，BF2＝225，∴BE2+EF2＝BF2．∴△BEF是直角三角形．24．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD＝OC，∴∠COD＝90°，∴四边形OCED是正方形．（2）解：如图，连接EO并延长，交AB于G，交CD于H，由（1）知：四边形OCED是正方形，∴CD⊥OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴EG⊥AB，∵AC ＝，∴AB＝BC＝1＝GH，Rt△DCE中，∵DE＝CE，EH⊥CD，∴DH＝CH，∴EH ＝CD＝0.5，∴EG＝1+0.5＝1.5，∴点E到边AB的距离为1.5；故答案为：1.5．25．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试（4）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1BC．2D．2．正方形面积为36，则对角线的长为（）A．6B．C．9D．3．如图，在矩形ABCD中，对角线BD＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（）B．2cm C．D．4cmA4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（）A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm5．下列命题中，真命题是（）．A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A ．AC ＝BD ，AB∠CD ，AB ＝CDB ．AD∠BC ，∠A ＝∠C C ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC∠BD D ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC7．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD 一定是( )A ．菱形B ．对角线互相垂直的四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形8．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3109．图，在∠ABC 中，AB ＝AC ，四边形ADEF 为菱形，O 为AE ，DF 的交点，S △ABC ＝，则S 菱形ADEF ＝（）A ．4B ．C ．D ．10．如图，四边形ABCD 中，90BAD C ∠=∠=︒，AB AD =，AH BC ⊥于H ，若线段AH =ABCD 的面积是（）．A ．3B ．4C ．D ．6二、填空题11．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm ，则∠1=_______°12．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD ，相交于点O ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE ＝_____．13．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C 的坐标为_____________．14．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∠BD ，垂足为点E ，CE ＝5，EO ＝2DE ，则DE 的长为________．15．如图，四边形ABCD 是菱形，24,10,AC BD DH AB ==⊥ 于点H ，则线段BH 的长为_________．16．将五个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、A 3、A 4分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积的和为______．17．图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点（不与B ，D 重合），PE∥CD 交BC 于点E ，PF ∥BC 交CD 于点F ，连接AP ，EF ．给出下列结论：∠PD EC ；∠四边形PECF 的周长为8；∠∠APD 一定是等腰三角形；∠AP ＝EF ．其中正确结论的序号为________．三、解答题18．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O BE AC CF BD ⊥⊥，，，垂足分别为.E F ，求证：BE CF ＝．19．如图，在77⨯的正方形网格中，网格线的交点称为格点，B 在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以AB 为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝5，AC＝6，DE∠BC的延长线于点E，求OE的长．21．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．(1)求证：四边形AEBO是矩形；(2)若CD＝3，求EO的长．22．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．(1)在AC上找一点P，使∠BPE的周长最小（作图说明）；(2)求出∠BPE周长的最小值．23．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.=；（1）求证：AF HG∠=∠；（2）求证：FAE GHC24．如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN∠BC，设MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．（3）若AC 边上存在点O，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．25．有一张矩形纸片ABCD，其中AB＝10，AD＝6，现将矩形纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形纸片的边的交点），再将纸片还原．(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图∠）．∠当点P与点A重合时，∠DEF＝________°，当点E与点A重合时，∠DEF＝________°，当点F与点C重合时，AP＝________；∠若点P为AB的中点，求AE的长；(2)若点P落在矩形ABCD的外部（如图∠），点F与点C重合，点E在AD上，BA与FP交于点M，当AM＝DE时，请求出AE的长；(3)若点E为动点，点F为DC的中点，直接写出AP的最小值．参考答案：1．C【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出∠DAB 是等边三角形，进而得出BD 的长，【详解】解：∠菱形ABCD 的边长为2，∠AD =AB =2，又∠∠DAB =60°，∠∠DAB 是等边三角形，∠AD =BD =AB =2，则对角线BD 的长是2．故选C ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出∠DAB 是等边三角形是解题关键．2．B【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．【详解】设对角线长是x ．则有12x 2=36，解得：x故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．3．D【分析】根据矩形的性质求出4AO BO cm ==，再根据等边三角形的判定可得AOB 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得．【详解】∠120AOD ∠=︒∠18060AOB AOD ∠=︒-∠=︒∠四边形ABCD 是矩形，8BD cm = ∠118,4,422AC BD cm AO AC cm BO BD cm ======∠4AO BO cm ==∠AOB 是等边三角形∠4AB AO cm ==故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟记矩形的性质是解题关键．4．D【分析】根据菱形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∠菱形的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AO =OC ，BO =OD ，AC ∠BD ，AB =BC =CD =AD ，∠AC =6cm ，BD =8cm ，∠在Rt∠AOB 中，AO =3cm ，BO =4cm ，∠AOB =90°，由勾股定理得：AB ，∠菱形的周长为4×5=20cm ，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键．5．C【详解】解：A 、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C 、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．故选C ．6．C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A ，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B ，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C ，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．7．D【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∠FG，EF=FG，EF=12BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．【详解】解：∠E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，∠EH=12AC，EH∠AC，FG=12AC，FG∠AC，EF=12BD，∠EH∠FG，EF=FG，∠四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∠EH=12AC，EF=12BD，则EF=EH，∠平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，故选：D．【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．8．B【分析】根据矩形的性质，得△EBO∠∠FDO，再由△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的12得出结论．【详解】解：∠四边形为矩形，∠OB＝OD＝OA＝OC，在△EBO与△FDO中，∠∠EOB＝∠DOF，OB ＝OD ，∠EBO ＝∠FDO ，∠∠EBO ∠∠FDO （ASA ），∠阴影部分的面积＝S △AEO ＋S △EBO ＝S △AOB ，∠∠AOB 与△ABC 同底且△AOB 的高是△ABC 高的12， ∠S △AOB ＝12S △ABC ＝14S 矩形ABCD ．故选B【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质9．C【分析】根据菱形的性质，结合AB =AC ，得出DF 为∠ABC 的中位线，DF∥BC ，12DF BC =，从而得出AE 为∠ABC 的高，得出BC AE ⨯=的面积．【详解】解：∠四边形ADEF 为菱形，∠EF∥AB ，DE∥AC ，AF =EF =DE =AD ，AE ∠DF ，∠CEF B ∠=∠，DEB C ∠=∠，AC AB =，B C ∴∠=∠，CEF B C DEB ===∴∠∠∠∠，∠CF =EF ，DE =DB ，CF AF ∴=，AD DB =，∠DF∥BC ，12DF BC =， 90AOD ∠=︒，90AEB AOD ==︒∴∠∠，AE BC ∴⊥，ABC S =∵12BC AE ⨯=∴即BC AE ⨯=1111=2224ADEF S DF AE BC AE ⨯=⨯⨯=⨯菱形∴C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF 为∠ABC 的中位线，是解题的关键．10．D【详解】试题解析：过A 点作CD 的垂线,交CD 的延长线于F 点,如图，则四边形AECF 是矩形90,90DAE BAE DAE DAF ∠+∠=∠+∠=，BAE DAF ∴∠=∠，在∠ABE 和∠DAF 中，{AB ADBAE DAF AEB AFD =∠=∠∠=∠，则(AAS)ABE DAF ≌，,AE AF ∴=又∠四边形AECF 是矩形.∠四边形AECF 为正方形，而四边形ABCD 的面积是6，故选D.11．120【详解】由题意可得AB 与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得∠1的度数．解：由题意可得AB 与菱形的两邻边组成等边三角形，则∠1=120°．故答案为120．此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．12【分析】由正方形对角线相交于点O ，则DO CO ⊥，12DO BD ==，过点E 作EF CD ⊥于F ，设EO EF DF x ===，则DE =，列出方程x =解出x ，最后得出答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF CD ⊥于F ，∠正方形ABCD 的边长为1，∠AC =BDDO CO ⊥，∠OA =OC =OB =OD =2， ∠CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，∠EO =EF ，∠在正方形ABCD 中，∠ADB =∠CDB =45°，∠EF =DF ，设EO EF DF x ===，则DE =，∠OD =OE +DE =x =∠解得x =∠DE =OD -OE 1=，1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与角平分线的性质，解题的关键是根据角平线的性质作出辅助线．13．（4，4）【详解】解：连接AC 、BD 交于点E ，如图所示：∠四边形ABCD 是菱形，∠AC ∠BD ，AE =CE =12AC ，BE =DE =12BD ，∠点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∠OD=2，BD=8，∠AE=OD=2，DE=4，∠AC=4，∠点C的坐标为：（4，4）故答案为：（4，4）【点睛】本题考查菱形的性质；坐标与图形性质．14【分析】由矩形的性质得到∠ADC=90°，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，求得OC=OD，设DE=x，OE=2x，得到OD=OC=3x，根据勾股定理即可得到答案．【详解】解：∠四边形ABCD是矩形，∠∠ADC=90°，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，∠OC=OD，∠EO=2DE，∠设DE=x，OE=2x，∠OD=OC=3x，∠CE∠BD，∠∠DEC=∠OEC=90°，在Rt△OCE中，∠OE2+CE2=OC2，∠（2x）2+52=（3x）2，解得：x，∠DE【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．15．50 13【详解】试题分析：∠四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∠AO=12，OD=5，AC∠BD，=13，∠DH∠AB，∠AO×BD=DH×AB，∠12×10=13×DH，∠DH=12013，5013=．考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.16．4【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF∠∠NAE，进而可得四边形AENF的面积等于∠NAP的面积，同理可得答案．【详解】如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∠∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∠∠PAF=∠NAE，∠∠PAF∠∠NAE，∠四边形AENF的面积等于∠NAP的面积，而∠NAP 的面积是正方形的面积的14，而正方形的面积为4， ∠四边形AENF 的面积为1cm 2，四块阴影面积的和为4cm 2．故答案为4．【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：∠定点-旋转中心；∠旋转方向；∠旋转角度．17．∠∠∠【分析】∠证明PF EC =，PDF ∆是等腰直角三角形，即可说明PD =；∠先证明四边形PECF 为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC ，则四边形PECF 的周长为8；∠根据P 的任意性可以判断APD ∆不一定是等腰三角形；∠四边形PECF 为矩形，通过正方形的轴对称性，证明AP EF =．【详解】解：∠PE BC ⊥，PF CD ⊥，90PEC PFC ∴∠=∠=︒，又90C ∠=︒，∴四边形PECF 是矩形，EC PF ∴=．四边形ABCD 是正方形，45PDF ∴∠=︒，PDF ∴∆是等腰直角三角形，PD ∴==，故∠正确；∠PE BC ⊥，PF CD ⊥，90BCD ∠=︒，∴四边形PECF 为矩形，∴四边形PECF 的周长222228CE PE CE BE BC =+=+==，故∠正确； ∠点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，45ADP ∠=︒，∴当45PAD ∠=︒或67.5︒或90︒时，APD ∆是等腰三角形，除此之外，APD ∆不是等腰三角形，故∠错误．∠四边形PECF为矩形，∠=∠，∴=，PFE ECPPC EF正方形为轴对称图形，∴=，AP PC∴=，AP EF故∠正确；故答案为∠∠∠．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．18．证明见解析【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【详解】证明：∠四边形ABCD为矩形，∠AC=BD，则BO=CO．∠BE∠AC于E，CF∠BD于F，∠∠BEO=∠CFO=90°．又∠∠BOE=∠COF，∠∠BOE∠∠COF．∠BE=CF．19．（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）【分析】（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；（2）利用菱形面积公式求解．【详解】解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求（2）图1中AC =2，BD =6∠图1中菱形面积12662=⨯⨯=．图2中，AC22442，BD =∠图2中菱形面积182=⨯=．图3中，AC BD =∠图3菱形面积1102=⨯=．【点睛】本题考查菱形的性质，掌握菱形的概念准确作图是关键．20．4【分析】由菱形的性质得出AC BD ⊥，OB OD =，112OA OC AC ===，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得：4OD =，得出28BD OD ==，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AD ＝AB ＝5，AC ∠BD ，AO ＝12AC ＝12×6＝3，OB ＝OD ．在Rt∠AOD 中，由勾股定理得OD ＝4OD ==，∠BD ＝2OD ＝8．∠DE ∠BC ，∠∠DEB ＝90°．又∠OD ＝OB ，∠OE ＝12BD ＝12×8＝4．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．(1)见解析；(2)3【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO 是平行四边形，再利用菱形的对角线互相垂直和矩形的判定证明即可；（2）利用矩形的性质求解即可．(1)证明：∠BE∠AC，AE∠BD，∠四边形AEBO是平行四边形．∠四边形ABCD是菱形，∠AC∠BD，即∠AOB＝90°．∠四边形AEBO是矩形．(2)解：∠四边形AEBO是矩形，∠EO＝AB，在菱形ABCD中，AB＝CD，∠EO＝CD＝3．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．22．(1)见解析(2)12【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，∠BPE的周长最小．理由：证明∠AB P′∠∠AD P′，即可求解；（2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解．（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，∠BPE的周长最小．理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∠AP′=AP′，∠∠ABP′∠∠ADP′，∠BP′=DP′，∠BP+PE= DP′+ P′E≥DE，即当点P位于PP′时，∠BPE的周长PB+EP+BE最小；（2）解：由（1）得：B P ′=DP ′，∠P ′B ＋P ′E ＝DE ．∠BE ＝2，AE ＝3BE ，∠AE ＝6．∠AD ＝AB ＝8．∠DE10．∠PB ＋PE 的最小值是10．∠∠BPE 周长的最小值为10＋BE ＝10＋2＝12．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．23．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据题意可先证明四边形AHCE 为平行四边形，再根据正方形的性质得到∠AH FG =，//AH FG ，故可证明四边形AHGF 是平行四边形，即可求解；（2）根据四边形AHGF 是平行四边形，得180FAH AHG ∠+∠=︒，根据四边形ABCD 是矩形，可得 DAH AHB ∠=∠，再根据平角的性质及等量替换即可证明.【详解】（1）证明：∠四边形ABCD 是矩形，且E 、H 分别为AD 、BC 的中点， ∠AE HC =，//AE HC ，∠四边形AHCE 为平行四边形，∠AH EC =，//AH EC ，又∠四边形ECGF 为正方形，∠EC FG =，//EC FG ，∠AH FG =，//AH FG ，∠四边形AHGF 是平行四边形，∠AH FG =；（2）证明：∠四边形AHGF 是平行四边形，∠180FAH AHG ∠+∠=︒，∠四边形ABCD 是矩形，∠//AD BC ，∠DAH AHB ∠=∠，又∠180AHB AHG GHC ∠+∠+∠=︒，∠FAD GHC ∠=∠；【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质定理.24．（1）见解析；（2）当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．见解析；（3）△ABC 是直角三角形，理由见解析．【分析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4,进而得出答案；(2)根据AO =CO ,EO =FO 可得四边形AECF 平行四边形，再证明∠ECF =90°利用矩形的判定得出即可；(3)利用正方形的性质得出AC ∠EN ，再利用平行线的性质得出∠BCA =90°，即可得出答案；【详解】证明：（1）∠MN 交∠ACB 的平分线于点 E ，交∠ACB 的外角平分线于点 F ， ∠∠2＝∠5，∠4＝∠6，∠MN ∠BC ，∠∠1＝∠5，∠3＝∠6，∠∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠EO ＝CO ，FO ＝CO ，∠OE ＝OF ；（2）当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．证明：当 O 为 AC 的中点时，AO ＝CO ，∠EO ＝FO ，∠四边形 AECF 是平行四边形，∠CE 是∠ACB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，∠∠ECF ＝12（∠ACB +∠ACD ）=90°，∠平行四边形 AECF 是矩形．（3）∠ABC 是直角三角形，理由：∠四边形AECF 是正方形，∠AC∠EN，故∠AOM＝90°，∠MN∠BC，∠∠BCA＝∠AOM，∠∠BCA＝90°，∠∠ABC 是直角三角形．【点睛】此题考查了正方形的判断和矩形的判定，需要知道平行线的特征和角平分线的性质才能解答此题．25．(1)∠ 90，45，2；∠11 12(2)1275【分析】（1）∠分别画出三种情况下的图形即可得到解答；∠连接EP，设AE＝x，可以得到关于x的方程，从而得到AE的值；（2）连接EM，设AE＝y，根据题意可以得到关于y的方程，解方程即可得到问题解答；（3）画出图形后根据题意可以得到解答．（1）∠如图1所示，点P与点A重合，由题意可知，PD∠EF，所以∠DEF＝90°，如图2所示，点E与点A重合，由题意可知，ED=EP，PD∠EF，所以∠DEF＝45°，如图3所示，点F与点C重合，连结CP，由题意可知，CP=DF=10，BC=6，∠在RT∠CPB中，PB=8，∠AP=AB-PB=2，故答案为90；45；2；∠如图4所示，连接EP，∠点P为AB的中点，∠AP＝BP＝5，由折叠知DE＝EP，设AE＝x，则DE＝EP＝6－x，在Rt∠AEP中，AE2＋AP2＝EP2，即x2＋52＝（6－x）2，解得x＝1112，即AE＝1112．（2）如图5所示，连接EM，设AE＝y，由折叠知PE＝DE，∠CDE＝∠EPM＝90°，CD＝CP＝AB＝10，∠AM＝DE，∠AM＝PE．在Rt∠AEM和Rt∠PME中，,, AM PE EM ME=⎧⎨=⎩∠Rt∠AEM∠Rt∠PME（HL），∠AE＝PM＝y，∠CM＝10－y，BM＝AB－AM＝AB－DE＝10－（6－y）＝4＋y．在Rt∠BCM中，BM2＋BC2＝CM2，∠（4＋y）2＋62＝（10－y）2，解得y＝127．∠AE＝127．（3）如图6所示，连结AF，在Rt ADF中，∠D=90°，AD＝6，DF=CF=5，∠AF∠PF=DF=5，∠5AP AF PF≥-=，∠AP5．【点睛】本题考查矩形的的折叠问题和最短距离问题，正确分类并画出图形是解题的关键．。

北师大版九年级上册数学第1章特殊的平行四边形单元测试卷(答案解析)

九年级（上）数学第1章特殊的平行四边形单元测试卷一．选择题（共10小题）1．平行四边形的对角线、相交于点，下列条件中，不能判定平行四边形是菱形的是A．B．C．D．平分2．下列不能判断是正方形的有A．对角线互相垂直的矩形B．对角线相等的矩形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形D．对角线相等的菱形3．如图所示，已知四边形是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是A．的面积等于的面积B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形D．的周长等于的周长4．如图，菱形的顶点在直线上，若，，则的度数为A．B．C．D．5．如图，以正方形的边向外作等边三角形，连接，则的度数为A．B．C．D．6．如图，已知点为的边上的中点，连接并延长到，使得，要使四边形为矩形，中需添加的条件是A．B．C．D．7．如图，、都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是A．B．C．D．8．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为A．4B．4.5C．8D．99．如图，已知是矩形的对角线的交点，，作，，、相交于点．四边形的周长是20，则A．5B．C．10D．10．如图，在矩形中，，且，点、分别在、上，连接、，若四边形是菱形，则的长为A．B．3C．D．4二．填空题（共8小题）11．已知正方形的对角线长为，则正方形的面积为．12．如图，矩形的对角线相交于点，若，则．13．平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形为正方形．则添加条件可以是（只需添加一个）．14．如图，在菱形中，与交于点，若，，则菱形的面积为．15．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则．16．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则．17．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积为．18．如图，在矩形中，，，点从点向点以每秒的速度运动，以每秒的速度从点出发，在、两点之间做往返运动，两点同时出发，点到达点为止（同时点也停止），这段时间内，当运动时间为时，、、、四点组成矩形．三．解答题（共7小题）19．如图，在矩形中，、分别是，边上的点，且，若，试判断四边形的形状，请说明理由．20．如图，正方形和正方形有公共点，点在线段上．（1）判断与的位置关系，并说明理由：（2）若正方形的边长为2，正方形的边长为，求的长．21．如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．（1）求证：；（2）若点在上，且，则成立吗？为什么？22．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．（1）求证：四边形是菱形．（2）若，，求四边形的周长和面积．23．如图，是菱形对角线与的交点，，；过点作，过点作，与相交于点．（1）求证：四边形为矩形；（2）求四边形的面积．24．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，求的长度．25．如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合．（1）证明不论、在、上如何滑动，总有；（2）当点、在、上滑动时，分别探讨四边形的面积和的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．参考答案一．选择题（共10小题）1．平行四边形的对角线、相交于点，下列条件中，不能判定平行四边形是菱形的是A．B．C．D．平分解：、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，能判定平行四边形是菱形，故不符合题意；、一组邻边相等平行四边形是菱形，故不符合题意；、根据一组对角相等的平行四边形不能判断该平行四边形是菱形，故符合题意；、一条对角线平分一角，可得出一组邻边相等，也能判定为菱形，故不符合题意．故选：．2．下列不能判断是正方形的有A．对角线互相垂直的矩形B．对角线相等的矩形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形D．对角线相等的菱形解：、对角线互相垂直的矩形可得是正方形，故此选项不符合题意；、对角线相等的矩形，不能判定为正方形，故此选项符合题意；、对角线互相垂直且相等的平行四边形可得是正方形，故此选项不符合题意；、对角线相等的菱形可得是正方形，故此选项不符合题意；故选：．3．如图所示，已知四边形是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是A．的面积等于的面积B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形D．的周长等于的周长解：、由平行四边形的性质可得，根据等底等高的三角形面积相等可得：的面积等于的面积，故选项正确，不符合题目要求；、四边形是平行四边形，，，，，，四边形是菱形，故选项正确，不符合题目要求；、，，四边形是平行四边形，四边形是矩形；、，，的周长不等于的周长，故选项错误，符合题目要求，综上所述，符合题意是选项；故选：．4．如图，菱形的顶点在直线上，若，，则的度数为A．B．C．D．解：四边形是菱形，，，，，，，，，故选：．5．如图，以正方形的边向外作等边三角形，连接，则的度数为A．B．C．D．解：四边形为正方形，，，为等边三角形，，，，，，故选：．6．如图，已知点为的边上的中点，连接并延长到，使得，要使四边形为矩形，中需添加的条件是A．B．C．D．解：点为的边上的中点，，且，四边形是平行四边形，有一个角为直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，添加条件为，故选：．7．如图，、都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是A．B．C．D．解：矩形的面积，而，即．故选：．8．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为54，则的长为A．4B．4.5C．8D．9解：四边形是菱形，，，，，，，，，，故选：．9．如图，已知是矩形的对角线的交点，，作，，、相交于点．四边形的周长是20，则A．5B．C．10D．解：，，四边形是平行四边形．四边形是矩形，，，四边形是菱形；四边形的周长是20，，，四边形是矩形，，又，是等边三角形，，．故选：．10．如图，在矩形中，，且，点、分别在、上，连接、，若四边形是菱形，则的长为A．B．3C．D．4解：四边形是菱形，，，且，，设，则，在中，，，解得：，故选：．二．填空题（共8小题）11．已知正方形的对角线长为，则正方形的面积为32．解：四边形为正方形，，，正方形的面积，故答案为：32．12．如图，矩形的对角线相交于点，若，则60．解：四边形是矩形，，，，，，，是等边三角形，．故答案为60．13．平行四边形对角线互相垂直，若添加一个适当的条件使四边形为正方形．则添加条件可以是对角线相等或（只需添加一个）．解：平行四边形对角线互相垂直，四边形是菱形，当对角线或时，平行四边形是矩形，四边形是正方形；故答案为：对角线相等或，14．如图，在菱形中，与交于点，若，，则菱形的面积为24．解：四边形是菱形，，，，菱形的面积为；故答案为：24．15．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则2．解：立柱、垂直于横梁，，，是中点，，，是的中位线，，在中，，．故答案为：2．16．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则22．解：正方形中，，，，，，，，，，是的外角，，故答案为：22．17．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积为16．解：作于，交于．则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，，，，，，，，故答案为1618．如图，在矩形中，，，点从点向点以每秒的速度运动，以每秒的速度从点出发，在、两点之间做往返运动，两点同时出发，点到达点为止（同时点也停止），这段时间内，当运动时间为或或时，、、、四点组成矩形．解：根据已知可知：点将4次到达点；在点第一次到达点过程中，四边形是矩形，，若，则四边形是平行四边形，，设过了秒，，则，，，，在点第二次到达点过程中，设过了秒，则，，解得：，在点第三次到达点过程中，设过了秒，则，，解得：，在点第四次要到达点的过程中，设过了秒，则，，解得：．无法构成矩形，故此舍去．故答案为：或或；三．解答题（共7小题）19．如图，在矩形中，、分别是，边上的点，且，若，试判断四边形的形状，请说明理由．解：四边形是菱形，理由如下：四边形是矩形，，，，，在和中，，，，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形．20．如图，正方形和正方形有公共点，点在线段上．（1）判断与的位置关系，并说明理由：（2）若正方形的边长为2，正方形的边长为，求的长．解：（1），理由如下：四边形，四边形是正方形，，，，，，在和中．，，，即．；（2）连接，正方形的边长为2，正方形的边长为，，，设，则，在中，利用勾股定理可得，的长为．21．如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．（1）求证：；（2）若点在上，且，则成立吗？为什么？【解答】（1）证明：四边形是正方形，，，是延长线上一点，，在和中，，，；（2）成立，理由：，，又，，，，在和中，，，，，，成立．22．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．（1）求证：四边形是菱形．（2）若，，求四边形的周长和面积．【解答】（1），，四边形是平行四边形，，，又矩形的对角线，相交于点，，，四边形是菱形；（2）如图，连接，交于点，由（1）知，四边形是菱形，，菱形的面积：，在中，，，，，菱形的周长为．23．如图，是菱形对角线与的交点，，；过点作，过点作，与相交于点．（1）求证：四边形为矩形；（2）求四边形的面积．【解答】（1）证明：，，四边形是平行四边形，在菱形中，，四边形是矩形（2）解：四边形是菱形，，，，在中，，，由（1）得：四边形为矩形，，，，四边形的面积24．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，求的长度．【解答】（1）证明：四边形是菱形，且，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是矩形；（2）解：四边形是菱形，，，，，在中，，在中，，四边形是菱形，，．25．如图所示，在菱形中，，，为正三角形，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合．（1）证明不论、在、上如何滑动，总有；（2）当点、在、上滑动时，分别探讨四边形的面积和的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．解：（1）如图，连接，四边形为菱形，，，是等边三角形，，，，，，，和为等边三角形，，，在和中，，．；（2）四边形的面积不变，的周长发生变化．理由如下：由（1）得，则，故，是定值，作于点，则，．的周长由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短．故的周长会随着的变化而变化，且当最短时，的周长会最小．。

2018---2019学年度第一学期北师大版九年级单元测试题第一章特殊的平行四边形

2018--2019学年度第一学期北师大版九年级数学单元测试题第一章特殊的平行四边形做题时间100分钟满分120分一．单选题（共10小题,每题3分，计30分）1. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ：∠EDA=1：3，且AC=10，则DE 的长度是（）A ．3B ．5C ．D ．225 2. 如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则DOAO等于（）A ．352 B ．31 C ．32 D ．213.如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若∠BAD ′=30°，则∠AED ′等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4. 一个平行四边形绕着它的对角线的交点旋转90°，能够与它本身重合，则该四边形是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定5. 如图，边长为1的正方形ABCD 绕着点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，图中阴影部分的面积为（）A ．21 B ．33 C ．1-33 D ．1-43 6. 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°7. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（） A ．20 B ．16 C ．12 D ．10 8. 如图，延长正方形ABCD 的一边BC 至E ，使CE=AC ，连接AE 交CD 于F ，则∠AFC 的度数是（）A ．112.5°B ．120°C ．122.5°D ．135°9. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（）A．75° B．65° C．55° D．50°10. 如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2 B．3 C． D．二．填空题（共8小题,每题4分，计32分）1. 已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为___________cm．2. 菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为AB边上一点，且AE=3，BE=5，在对角线AC上找一点P，使PE+PB的值最小，则最小值为___________．3. 直角三角形斜边的中线长是4cm，则它的两条直角边中点的连线长为___________cm．4. 长方形的长为cm，宽为cm，则这个长方形的面积是___________cm2．5.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，BF∥DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE：BE=5：2，则阴影部分面积为___________cm2．6. 若正方形的对角线长为2cm，则它的面积是___________cm2．7. 菱形的两条对角线的长的比是2：3，面积是12cm2，则它的周长为___________．8.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件___________，可使它成为矩形．三．解答题（共7小题,计58分）1. 三角形中位线定理，是我们非常熟悉的定理．①请你在下面的横线上，完整地叙述出这个定理：______．②根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证明．2. （1）顺次连接菱形的四条边的中点，得到的四边形是______．（2）顺次连接矩形的四条边的中点，得到的四边形是______．（3）顺次连接正方形的四条边的中点，得到的四边形是______．（4）小青说：顺次连接一个四边形的各边的中点，得到的一个四边形如果是正方形，那么原来的四边形一定是正方形，这句话对吗？请说明理由．3.如图所示，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数．4.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．5. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长．6. 已知菱形对角线BD=4，∠BAD：∠ADC=1：2，求：菱形面积及对角线AC的长。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中，∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．2AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3，∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°，∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中，∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。

北师大版-数学-九年级上册-特殊平行四边形单元测卷2018.9

初中-数学-打印版九年级数学试卷第1章特殊平行四边形单元测卷2018.9姓名：班级：九（）学号：总分：一、选择题（每小题4分，共40分）1．菱形不具备的性质是（）A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对边相等D ．对角线互相平分2．若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为（）A ．83cm 2B ．43cm 2C ．23cm 2D ．8cm 23．将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形4．如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AC ＝6，BD ＝4，则菱形ABCD 的周长是( )A ．24B ．16C ．132D ．1345．下列命题是真命题的是（）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D ．有三个角是直角的四边形是矩形6．菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是2 cm ，则另一条对角线的长是（）A ．4cmB ．1cmC ． 2cmD ．2cm 7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC=6cm ，∠BOC=•120°，则∠ACB 的度数为（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ，则∠AEB 的度数为（）A ．10°B ．12.5°C ．15°D ．20°9．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是( )A ．菱形B ．平行四边形C ．正方形D ．矩形10．如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=DC二、填空题．（每小题4分，共40分）11. 如图，在菱形中，，，则对角线等于________．12. 如图，在菱形中，与相交于点，，，则菱形边长等于________．13. 菱形中，对角线，，则菱形的面积是________.14. 若直角三角形的两条直角边分别是6cm和8cm，则斜边上的中线长为________cm.15. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是的中点，则的长等于________．16.如图一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1＋∠2的度数是________．17. 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，请你添加一个适当的条件 (答案不唯一)，使其成为正方形．(只填一个即可)18.已知四边形ABCD是菱形，如果补充一个条件就可以判定四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以为.19.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠E的度数是________．20.如图，ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，则∠EAD= ．三、解答题.（每小题10分，共20分）21.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点，求证：AE＝CE.22. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD、PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．。

北师大版九年级数学上册_第一章_特殊平行四边形_单元检测试卷(含答案)

北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元检测试卷学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿考号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿一、选择题（本题共计１０小题，每题３分，共计３０分，）１．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝６０∘，AC＝８，DB＝６，DH⊥AB于H，则DH＝（）Ａ．２４５Ｂ．１２５Ｃ．４Ｄ．８２．如图：A，D，E在同一条直线上，AD＝３，DE＝１，BD，DF分别为正方形ABCD，正方形DEFG的对角线，则三角形△BDF的面积为（）Ａ．４．５Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．２３．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）Ａ．对角线互相垂直Ｂ．对角线互相平分Ｃ．对角线相等Ｄ．对角线平分一组对角４．如图，菱形ABCD的周长为１６，∠ABC＝１２０∘，则AC的长为（）Ａ．４√３Ｂ．４Ｃ．２√３Ｄ．２５．下列说法中：（１）四个角都相等的四边形是矩形．（２）两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．（３）对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．（４）一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形．正确的个数是（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个６．如图，由两个长为９，宽为３的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD 面积的最大值是（）Ａ．１５Ｂ．１６Ｃ．１９Ｄ．２０７．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个８．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若∠OAE＝２４∘，则∠BAE的度数是（）Ａ．２４∘Ｂ．３３∘Ｃ．４２∘Ｄ．４３∘９．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（−３，１），点B的纵坐标是４，则B，C两点的坐标分别是（）Ａ．（−２，４），（１，３）Ｂ．（−２，４），（２，３）Ｃ．（−３，４），（１，４）Ｄ．（−３，４），（１，３）１０．对于四边形ABCD，给出下列４组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝９０∘，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有（）Ａ．１组Ｂ．２组Ｃ．３组Ｄ．４组二、填空题（本题共计１０小题，每题３分，共计３０分，）１１．己知菱形相邻两角的度数比为１：５，且它的面积为８，则这个菱形的周长为＿＿＿＿＿＿＿＿．１２．如图，正方形ABCD中对角线交于O点，正方形OMNQ与正方形ABCD的边长均为a，DE＝CF，则两个正方形重合的部分面积为＿＿＿＿＿＿＿＿．１３．如图，在矩形ABCD中，AB＝３，AD＝４，P为AD上一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD 于F，则PE＋PF的值为＿＿＿＿＿＿＿＿．１４．如图，在ABCD中，AC⊥BD于O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD 是正方形，则还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿＿＿．１５．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF ／／ AE，则∠BCF的度数为＿＿＿＿＿＿＿＿．１６．如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．△ABD绕对称中心O顺时针至少旋转＿＿＿＿＿＿＿＿度，四边形DFBE 成为正方形．１７．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于＿＿＿＿＿＿＿＿．１８．已知⊙O是等边三角形ABC的内切圆，⊙O的半径为１，则等边三角形ABC的边长为＿＿＿＿＿＿＿＿．１９．请你添加一个条件，使平行四边形ABCD成为一个菱形，你添加的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿．２０．在四边形ABCD中，AB ／／ DC，AD ／／ BC，AC，BD交于点O，有下列四个条件：①∠ADC＝９０∘②AO＝CO；③AD＝BC；④∠AOB＝９０∘．如果添加其中一个条件，即可判定该四边形是矩形，那么这个条件是＿＿＿＿＿＿＿＿．三、解答题（本题共计６小题，每题１０分，共计６０分，）２１．AD是Rt△ABC斜边上的高，BE平分∠B交AD于点G，交AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，试证明：（１）AG＝AE；（２）四边形AFEG是菱形．２２．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF＝DE，（１）求证：四边形AECF是菱形；（２）若AB＝２，BF＝１，求四边形AECF的面积．２３．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝４cm，BC＝８cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是１cm／s．（１）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（２）分别求出菱形AQCP的周长、面积．２４．如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE ／／ AC，CE ／／ BD，连接OE．求证：（１）四边形OCED是矩形；（２）OE＝BC．２５．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（１）求证：OP＝OQ；（２）若AD＝４厘米，AB＝３厘米，当AP为何值时，四边形PBQD是菱形，并加以说明．２６．已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在边BC、AC上，且DF ／／ AB，过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E，连结CE、BF．（１）求证：△ABF≅△ACE；（２）若D是BC的中点，判断△DCE的形状，并说明理由．答案１．Ａ２．Ｂ３．Ｂ４．Ａ５．Ｃ６．Ａ７．Ａ８．Ｂ９．Ａ１０．Ｂ１１．１６a２１２．１４１３．１２５１４．AC＝BD等（答案不唯一）１５．１０５∘１６．９０１７．１５０∘１８．２√３１９．AB＝BC２０． ①２１．证明：（１）∵∠C ＋DAC ＝９０∘，∠BAD ＋∠DAC ＝９０∘， ∴∠C ＝∠BAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∵∠AGE ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠AEG ＝∠C ＋∠CBE ， ∴∠AGE ＝∠AEG ，∴AG ＝AE ；（２）∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥BC ，EA ⊥AB ， ∴EA ＝EF ＝AG ，∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴AD ／／ EF ，∵AG ＝EF ，∴四边形AGFE 是平行四边形，∵AG ＝AE ，∴四边形AEFG 是菱形．２２．（１）证明：正方形ABCD 中，对角线BD ， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠ABF ＝∠CBF ＝∠CDE ＝∠ADE ＝４５∘．∵BF ＝DE ，∴△ABF ≅△CBF ≅△DCE ≅△DAE （SAS ）．AF ＝CF ＝CE ＝AE∴四边形AECF 是菱形；（２）解：在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 BD ＝√AB ２＋AD ２，AC ＝BD ＝２√２，EF ＝BD −BF −DE ＝２√２−１−１，四边形AECF 的面积＝AC ⋅EF ÷２＝２√２×（２√２−２）÷２＝４−２√２．２３．解：（１）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形 ∴DP ＝xcm ，AP ＝CP ＝AD −DP ＝（８−x ）cm ， ∵DP ２＋CD ２＝PC ２，∴１６＋x ２＝（８−x ）２，解得x ＝３即经过３秒后四边形是菱形．（２）由第一问得菱形的边长为５ ∴菱形AQCP 的周长＝５×４＝２０（cm ）菱形AQCP 的面积＝５×４＝２０（cm ２）２４．证明：（１）∵DE ／／ AC ，CE ／／ BD ， ∴四边形OCED 是平行四边形，又∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，即∠COD ＝９０∘， ∴四边形OCED 是矩形；（２）∵四边形OCED 是矩形， ∴OE ＝CD ，又∵菱形ABCD 中，BC ＝CD ，∴OE ＝BC ．２５．（１）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ／／ BC ，∠A ＝９０∘，∴∠PDO ＝∠QBO ，∵O 为BD 中点，∴OB ＝OD ，在△PDO 和△QBO 中， {∠PDO ＝∠QBOOB ＝OD ∠POD ＝∠BOQ，∴△PDO ≅△BQO （ASA ），∴OP ＝OQ ．（２）解：当AP ＝７８时，四边形PBQD 是菱形；理由如下： ∵OB ＝OD ，OP ＝OQ ，∴四边形PBQD 是平行四边形，当四边形PBQD 是菱形时，BP ＝PD ，设AP ＝x 厘米，则BP ＝PD ＝（４−x ）厘米，由勾股定理得：X ２＋３２＝（４−x ）２，解得：x ＝７８，即当AP 为７８厘米时，四边形PBQD 是菱形．２６．（１）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝６０∘，∵DE ／／ AB ，AE ／／ BD ，∴∠EFA ＝∠BAC ＝６０∘，∠CAE ＝∠ACB ＝６０∘，∴△EAF 是等边三角形， ∴AF ＝AE ，在△ABF 和△ACE 中，∵{AB ＝AC∠BAF ＝∠CAE AF ＝AE，∴△ABF ≅△ACE （SAS ）．（２）△DCE 是直角三角形，∠DCE ＝９０∘．理由：连接AD ，∵DE ／／ AB ，AE ／／ BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ＝BD ，∵D 是BC 中点，∴BD ＝DC ，∴AE ＝DC ，∵AE ／／ DC ，∴四边形ADCE 是平行四边形， ∵AB ＝AC ，D 是BC 中点， ∴AD ⊥DC ，∴四边形ADCE 是矩形， ∴△DCE 是直角三角形，∠DCE ＝９０∘．。

【北师大版】九年级数学上：第1章《特殊平行四边形》单元测试(含答案)

北师大版九年级数学上第1章《特殊平行四边形》单元试题（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试卷-(含答案及解析)

北师大版九年级数学上册单元测试卷第一章特殊平行四边形1．下列说法正确的是A ．对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线互相平分的四边形是菱形C ．菱形的对角线相等且互相平分D ．菱形的对角线互相垂直且平分 2．下列说法中，你认为正确的是（）A ．四边形具有稳定性B ．等边三角形是中心对称图形C ．任意多边形的外角和是360D ．矩形的对角线一定互相垂直 3．已知下列命题：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；①两条对角线相等的四边形是矩形；①有两个角相等的平行四边形是矩形；①两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 4．如图，下列条件中①AC BD ⊥①BAD 90∠=①AB BC =①AC BD =，能使平行四边形ABCD 是菱形的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 5．已知菱形ABCD ，对角线5AC =，12BD =，则菱形的面积为（）A ．60B ．50C ．40D ．30 6．在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是否为菱形，以下拟定的测量方案，正确的是（）A ．测量一组对边是否平行且相等B ．测量四个内角是否相等C ．测量两条对角线是否互相垂直D ．测量四条边是否相等一、单选题（共30分，每小题3分）7．如图，把长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，下列结论：①①ABD 与△EDB 全等；①①ABF 与△EDF 全等；①AF EF =；①①BDF 是等腰三角形．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．如图，在正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，CE 交AD 于点F ，连接AE ．若①AEC=140︒，则①DFC 等于（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°9．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，,AO CO BO DO ==.添加下列条件，可以判定四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AB AD =B ．AC BD =C ．AC BD ⊥ D ．ABO CBO ∠=∠ 10．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，它是菱形 B ．当AC BD ⊥时，它是菱形C ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形D ．当AC BD =时，它是正方形二、填空题（共30分，每小题3分） 11．矩形的两条对角线的夹角为60，较短的边长为12cm ，则对角线长为________cm ． 12．已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为________．13．如图所示，已知ABCD 中，下列条件：①AC =BD ；①AB =AD ；①①1=①2；①AB ①BC 中，能说明ABCD 是矩形的有______________（填写序号）14．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6，4，则AB 长为__．15．如图，平行四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形，请你添加一个适当的条件________，使ABCD 成为正方形（只需添加一个即可）．16．如图，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连接BE ，DF ，EF ，BD ．若四边形BEDF 是菱形，且EF =AE +FC ，则边BC 的长为____________．17．如图，将两张长为16cm ，宽为4cm 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，那么菱形周长的最大值与最小值的和是________．18．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ①AC ，CE ①BD ，已知AB =6cm ，BC =8cm ，则四边形ODEC 的周长为______cm ．19．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O 点，E ，F 分别是AB ，BC 边上的中点，连接EF ，若EF =4BD =，则菱形ABCD 的面积为________．20．如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长到E ，使CE CD =，连接AE 交BC 于F ，AFC n D ∠∠=，当n =______时，四边形ABEC 是矩形．三、解答题（共60分） 21．矩形ABCD 中68AB cm BC cm AE ==，，平分BAC ∠交BC 于E CF ，平分ACD ∠交AD 于F ．（共8分）（1）说明四边形AECF 为平行四边形；（2）求四边形AECF 的面积．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且①ADO为等边三角形，过点A 作AE①BD于点E.（共8分）(1)求①ABD的度数；(2)若BD＝10，求AE的长．23．已知如图，两个长为8，宽为2的矩形纸条倾斜地重叠着．（共10分）()1求证：两矩形重叠部分为菱形；()2求菱形面积最大和最小值．24．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，AD 为BC 边上的高，过点A 作//AE BC ，过点D 作//DE AC ，AE 与DE 交于点E ，AB 与DE 交于点F ，连结BE ．（共10分）()1求证：四边形AEBD 是矩形；()2求四边形AEBD 的面积．25．如图，正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且45.∠=试说明：EAF+=．（共12分）BE DF EF26．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA 上，连接CF．（共12分）()1求证：HEA CGF∠=∠；()2当AH DG=时，求证：菱形EFGH为正方形．参考答案：1．D 2．C 3．C 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 9．B 10．D11．24 12．24 13．①① 1415．90ABC∠=16．17．4018．20 19．20．221．（1）见解析；（2）30cm2（1）①四边形ABCD是矩形，①AD①BC（即AF①CE），AB①CD，①①BAC=①ACD，又①AE平分①BAC，CF平分①ACD，①①EAC=①FCA，①AE①CF，①四边形AECF是平行四边形；（2）过点E作EO①AC于点O，①①B=90°，AE平分①BAC，①EO=BO，①AE=AE，①Rt①ABE①Rt①AOE，①AO=AB=6，①在Rt①ABC，10,①OC=AC-AO=4（cm）,设CE=x，则EO=BE=BC-CE=8-x，①在Rt①OEC中由勾股定理可得：222-+=，解得：58(x x4)x=，①EC=5，①S四边形AECF=CE·AB=5×6=30（cm2）.22．(1)①ABD＝30°；(2)AE(1)①四边形ABCD是矩形，①①DAB＝90°，①①ADO为等边三角形，①①ADB＝60°，①①ABD＝180°－①DAB－①ADB＝30°；(2)①BD＝10，①BAD＝90°，①ABD＝30°，①AD＝12BD＝5，①①ADO为等边三角形，①AD＝AO＝DO＝5，①AE①DO，①DE＝EO＝12DO＝2.5，在Rt①AED中，由勾股定理得AE23．（1）详见解析；（2）菱形面积最大和最小值分别是172、4．()1根据题意得：AD//BC，AB//CD，①四边形ABCD是平行四边形．如图1，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，①两纸条宽度相同，①AE AF=．①平行四边形ABCD的面积为AE CD BC AF⨯=⨯，①CD BC=．①平行四边形ABCD为菱形；()2如图2，此时菱形ABCD的面积最大．设AB x =，EB 8x =-，AE 2=，则由勾股定理得到：2222(8x)x +-=，解得 17x 4=， 1717S 242=⨯=最大；如图3，此时菱形ABCD 的面积最小．S 224=⨯=最小．综上所述，菱形面积最大和最小值分别是172、4． 24．（1）详见解析；（2）12. ()1①AE //BC ，BE //AC ，①四边形AEDC 是平行四边形． ①AE CD =．在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的高， ①ADB 90∠=，BD CD =．①BD AE =．①四边形AEBD 是矩形．()2在Rt ADC 中，ADB 90∠=，AC 5=，1BD CD BC 32===，①AD 4=．①四边形AEBD 的面积BD AD 3412=⋅=⨯=． 25．证明见解析.①四边形ABCD 为正方形①AB=AD,①BAD=①B=①ADF=90°如图，把△ABE 逆时针旋转90°得到△ADG ，①BE =GD ，AE =AG ．①ADG=①ABE=90°，①GAD=①BAE ①①ADG+①ADF=180°①G 、D 、F 在同一条直线上.①①EAF =45°，①①F AG =①GAD+①DAF=①BAE+①DAF=①BAD-①EAF=90°﹣45°=45°， ①①EAF =①F AG ．在△AEF 和△AGF 中，①AE AG EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AEF ①①AGF （SAS ），①EF =GF ，即EF =GD +DF ，①BE +DF =EF ．26．（1）详见解析；（2）详见解析.（1）连接GE ，①AB//CD ，①AEG CGE ∠∠=，①GF//HE ，①HEG FGE ∠∠=，①HEA CGF ∠∠=；()2①四边形ABCD 是正方形， ①D A 90∠∠==， ①四边形EFGH 是菱形， ①HG HE =，在Rt HAE 和Rt GDH 中， AH DG HE HG =⎧⎨=⎩， ①()Rt HAE Rt GDH HL ≅， ①AHE DGH ∠∠=，又DHG DGH 90∠∠+=， ①DHG AHE 90∠∠+=， ①GHE 90∠=， ①菱形EFGH 为正方形；。

2018-2019学年数学北师大版九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测卷(解析版)

2018-2019学年数学北师大版九年级上册第1章特殊的平行四边形单元检测卷一、单选题1.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A. 20B. 24C. 40D. 482.一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）cm2．A.12B.96C.48D.243.如图，在□ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A.AM=ANB.MN⊥ACC.MN是∠AMC的平分线D.∠BAD=120°4.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（）A. B. 8 C. D. 65.下列命题中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形6.如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是线段BD，BC，AC，AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A. 当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形B. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形D. 当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形7.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角形互相垂直平分8.夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A，F分别在两条平行线上．若A，D，F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系是（）A.∠1+∠2=60°B.∠2﹣∠1=30°C.∠1=2∠2．D.∠1+2∠2=90°9.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④ ．上述结论中正确的是( )A. ②③B. ②④C. ①②③D. ②③④二、填空题11.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，，，则BD的长为________．12.如图,矩形ABCD中,E、F分别为AD、AB上一点,且EF=EC,EF⊥EC,若DE=2,矩形周长为16,则矩形ABCD 的面积为________13.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为________．14.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F 的坐标为________．15.如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是________三、解答题16.如图，在四边形中，，.是四边形内一点，且.求证：（1）；（2）四边形是菱形.17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是________．18.如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长．19.已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．20.如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE，（1）当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由（2）在（1）的条件下，当∠A=________时四边形BECD是正方形．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】菱形的性质【解析】【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且AO⊥BO，则AB= =5，故这个菱形的周长L=4AB=20．故答案为：A．【分析】利用菱形的性质：对角线互相垂直平分，可求出AO、BO的长，艾莱依勾股定理求出菱形的边长，就可求出菱形的周长。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试题及答案

第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）一、选择题(本大题共6小题，共24分)1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF ∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形123．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC ＝130°，则∠AOE的度数为( )A．75° B．65° C．55° D．50°4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A.125B.65C.245 D．不确定345．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是( )A．2.5 B.5 C.322 D．26．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为( )图5A．(2，2 3) B．(32，2－3)C．(2，4－2 3) D．(32，4－2 3)二、填空题(本大题共6小题，共30分)7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm.679．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．8911．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．图1012．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．三、解答题(共46分)13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．图1114．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？图1215．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.图1316．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．图141．C 2.D 3.B 4.A5．B ．6．C7．6 .8．49．(2＋2，2)10．45°.11．12 12.75813．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形．(2)∵正方形ABCD的边长为4，∴BD＝AC＝4 2.∵AE＝CF＝2，∴EF＝AC－2 2＝2 2，∴S菱形BEDF＝12BD·EF＝12×4 2×2 2＝8.14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，∴AE＝CF.∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝12 cm时，四边形BEDF为矩形．∵运动时间为t，∴AE＝CF＝2t，∴EF＝20－4t＝12，∴t＝2；当点E在OC上，点F在OA上时，EF＝BD＝12 cm，EF＝4t－20＝12，∴t＝8.因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，∴在Rt△ABD中，DE＝12AB＝AE，在Rt△ACD中，DF＝12AC＝AF.又∵AB＝AC，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形．(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3.设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49.①由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(12y)2＋(12x)2＝32，即x2＋y2＝36.②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝132，∴菱形AEDF的面积S＝12xy＝134.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，)∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)如图所示：(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝12×90°＝45°.第一章：特殊的平行四边形单元测试卷（典型题汇总）（100分钟，120分）一、选择题1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC 2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（）A．③B．①② C．②③D．③④5．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）A．3B．4 C．5 D．76．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（）A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（）A．8 B．9 C．11 D．129．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．3 C．D．二、填空题11．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形、正方形．12．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．13．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 3.5 ．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H为AD边中点，∴OH=AD=3.5；15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为5．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，求△AEF的周长。

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》单元测试卷(带答案)一、选择题1．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为（）2cm．A．48B．24C．12D．202．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角相等D．对边平行3．要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（）A．测量四边形画框的两个角是否为90︒B．测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C．测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D．测量四边形画框的四边是否相等4．如图，在矩形ABCD中，已知AE BD⊥于E，∠BDC=60°，BE=1，则AB的长为（）A．3B．2C．3D35．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（）A．对角线相等的平行四边形B．对角线互相平分且垂直的四边形C．对角线互相垂直且相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形6．如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则ba=（）A 51-B 53+C 51+D 217．如图，在菱形ABCD 中 50ABC ∠=︒ ，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为CD 的中点，连接OE ，则 AOE ∠ 的度数是（）A ．110°B ．112°C ．115°D ．120°8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝4，CD ＝6，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝120°，则AD 的长度为（）A ．3B ．3C ．3D ．3+39．如图，点E 、F 在矩形ABCD 的对角线BD 所在的直线上，BE =DF ，则四边形AECF 是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形10．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，CD 上的动点，且BE CF =，连接BF ，DE ，则BF DE +的最小值为（）A 3B 5C ．3D ．512．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD ，∠A ＝120°，则A ．13．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上一点90AED ∠=︒，∠EAD=30°，F 是AD 边的中点2cm EF =则BE = cm ．14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，则∠BEQ 周长的最小值为．三、解答题15．如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE//BD ，BE//AC ．（1）求证：四边形AEBO 是菱形；（2）若2AB =，OB=3，求AD 的长及四边形AEBO 的面积．16．如图，平行四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，点P 从点A 出发以每秒1cm 的速度沿射线AC 移动，点Q 从点C 出发以每秒1cm 的速度沿射线CA 移动．（1）经过几秒，以P ，Q ，B ，D 为顶点的四边形为矩形？（2）若BC∠AC 垂足为C ，求（1）中矩形边BQ 的长．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF =45°，分别连接EF 、BD ，BD 与AF 、AE 分别相交于点M 、N.（1）求证：EF =BE +DF .为了证明“EF =BE +DF ”，小明延长CB 至点G ，使BG =DF ，连接AG ，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程. （2）若正方形ABCD 的边长为6，BE =2，求DF 的长.18．已知：如图，在 Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ ， CD 是 ABC 的角平分线，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分別为E 、F.求证：四边形 CEDF 是正方形.四、综合题19．如图，在ABC 中，AB=AC=2，∠BAC=45°，AEF 是由ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D .（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长.20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE∠AC ，且12DE AC =，连接CE（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB=6，AC=8，求AE的长.21．已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图1，连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断∠“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图2为例说明理由.22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图（1），连接AF、CE．①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；②求AF的长；（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿∠AFB和∠CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q 的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵菱形周长为20cm∴一条边的边长a=5cm又∵一条对角线长为8cm根据勾股定理可得另一条对角线长的一半22543 b-=∴另一条对角线长为6cm∴2186242m=⨯⨯=菱形的面积故答案为：B.【分析】本题考查菱形的性质、菱形的面积公式以及勾股定理，首先根据菱形的四边相等可知边长为5，又因为菱形的对角线垂直，所以结合一条已知的对角线求出另一条对角线的长度为6，两条对角线长度已知即可求出菱形的面积.2．【答案】B【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故A不符合题意；矩形的对角线互相不垂直，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对角都相等，故C不符合题意；因为矩形与菱形都是特殊的平行四边形，所以矩形与菱形的对边都平行，故D不符合题意；故答案为：B．【分析】菱形和矩形具有平行四边形的一切性质，菱形特有：四条边都相等，对角线互相垂直且平分一组对角，矩形特有：四个角都是直角，对角线相等，据此逐一判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、测量四边形画框的两个角是否为90°，不能判定为矩形，故选项A不符合题意；B、测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分，能判定为矩形，故选项B符合题意；C、测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，能判定为平行四边形，不能判定是否为矩形，故选项C 不符合题意；D、测量四边形画框的四边是否相等，能判断四边形是菱形，故选项D不符合题意.【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，据此一一判断得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：四边形ABCD 为矩形60BDC ∠=︒=60ABD ∴∠︒AE BD ⊥30BAE ∴∠=︒AB 2∴=故答案为：B ．【分析】由矩形的性质求出∠ABD=90°，利用三角形内角和求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意；B 、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意；C 、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C 选项不符合题意，D 选项符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，一一判断可得答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：依题意得()2()a b b b a b +=++整理得：22222a b ab b ab ++=+则220a b ab -+= 方程两边同时除以2a 2()10b b a a --=152b a +∴=（负值已经舍去）【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a＋b），右图是一个长方形，长宽分别为（b＋a＋b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a＋b）2＝b（b＋a＋b），解方程即可求出ba的值.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC∠BD，∠CDO= 12∠ADC=12∠ABC=25°∴∠DOC=90°∵点E是CD的中点∴OE=DE= 12CD∴∠DOE=∠CDO=25°∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+25°=115°故答案为：C.【分析】根据菱形的性质得出AC∠BD，∠CDO=25°，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出OE=DE，则由等腰三角形的性质求出∠DOE=25°，最后根据角的和差关系求∠AOE的度数即可. 8．【答案】A【解析】【解答】解：延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E∵∠ABC=∠BCD=120°∴∠EBC=∠ECB=60°∴∠BCE是等边三角形∵BC=4，∴EC=BE=BC=4∵AB=1，CD=6∴AE=1+4=5，DE=CD+CE=4+6=10∵∠A=90°∴22221057553DE AE-=-=故答案为：53.【分析】延长DC、AB，DC、AB的延长线相交于点E，结合已知易得∠BCE是等边三角形，由等边三角形的性质可得EC=BE=BC，由线段的构成可求出AE、DE的值，然后在直角三角形ADE中，用勾股定理可求得AD的值.9．【答案】A∴AO=CO BO=DO又BE=DF∴ BO+BE=DO+DF即EO=FO∴ 四边形AECF 是平行四边（对角线互相平分的四边形是平行四边形）故选：A【分析】根据矩形性质得到平行四边形的判定条件。

2018届九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定练习（含答案）北师大版

2018届九年级数学上册第⼀章特殊平⾏四边形第3节正⽅形的性质与判定练习（含答案）北师⼤版正⽅形的性质与判定⼀、选择题(本⼤题共10⼩题)1.如图，四边形ABCD是正⽅形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（）A.22.5°B.25°C.23° D.20°2.如⼀个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是（）A.平⾏四边形B.菱形C.正⽅形 D.矩形3.四边形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，使四边形ABCD为正⽅形，下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD．需要满⾜（）A.①②B.②③C.②④D .①②或①④4.如图，正⽅形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正⽅形的⾯积为（）A.3B.12C.18D.365.如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（）A.平⾏四边形B.矩形C.菱形 D.正⽅形6.已知在正⽅形ABCD中，对⾓线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（）A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm7.如图，正⽅形ABCD的边长为x，点E、F分别是对⾓线BD上的两点，过点E、F作AD、AB的平⾏线，则图中阴影部分的⾯积的和为（）A.x2B.x2C.x2D.x28.如图，正⽅形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的⾯积是（）A.30B.34C.36D.409.如图，E是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂⾜，若正⽅形ABCD周长为a，则EF+EG等于（）A. B. C.aD.2a10.已知正⽅形ABCD的⼀条对⾓线长为2，则它的⾯积是（）A.2B.4C.6⼆、填空题(本⼤题共6⼩题)11.如图，在正⽅形ABCD中，E为CD边上⼀点，以CE为对⾓线构造正⽅形CMEN，点N在正⽅形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为 ______ ．12.如图，已知：正⽅形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正⽅形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正⽅形ABCD的⾯积为16，AE=1，则正⽅形EFGH的⾯积为 ______ ．13.如图，将正⽅形纸⽚按如图折叠，AM为折痕，点B落在对⾓线AC上的点E处，则∠CME= ______ ．14.如图，BD是△ABC的⾓平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满⾜条件 ______ 时，四边形BEDF是正⽅形．15.如图，正⽅形ABCD的边长为4，线段GH=AB，将GH的两端放在正⽅形的相邻的两边上同时滑动，如果G点从A点出发，沿图中所⽰⽅向按A→B→C→D→A滑动到A⽌，同时点H从点B出发，沿图中所⽰⽅向按B→C→D→A→B滑动到B⽌，在这个过程中，线段GH的中点P所经过的路线围成的图形的⾯积为 ______ ．16.如图，在正⽅形ABCD中，AB=，点P为边AB上⼀动点（不与A、B重合），过A、P在正⽅形内部作正⽅形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三⾓形时，AP= ______ ．三、解答题(本⼤题共8⼩题)17.已知：P是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂⾜．（1）求证：DP=EF．（2）试判断DP与EF的位置关系并说明理由．18.如图，在正⽅形ABCD中，E为对⾓线AC上⼀点，连接EB、ED．（1）写出图中所有的全等三⾓形；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数．19.已知，在正⽅形ABCD中，E是CB延长线上⼀点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某⼀标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．20.如图，矩形ABCD的对⾓线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；（2）当矩形ABCD满⾜什么条件时，四边形PCOB是正⽅形．正⽅形的性质与判定练习参考答案⼀、选择题。

北师大版2018-2019学年九年级数学第一学期第一章特殊平行四边形单元检测题(含答案)

2018-2019学年九年级数学上册第一章单元测试卷（时间：100分钟满分：120分）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A. 对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等 D 既是轴对称图形又是中心对称图形2. 下列命题中，真命题是（）A.两条对角线垂直的四边形是菱形 B.对角线垂直且相等的四边形是正方形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是矩形3. 菱形的周长为4, 一个内角为60°,则较短的对角线长为（）A. 2B. 3C. 1D. 1如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开.如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A. —定不是平行四边形B. —定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC = BD 时它是矩形 4. A. 22.5D. 60° 角 ,第6题图）B DC ,第7题图） 5.如图，点E, F , G H 分别为四边形ABCD 勺四边AB,点，则关于四边形EFGH 下列说法正确的是（）BC CD DA 的中 C. 45° 角D8 cm, ALL BC于6. 如图，菱形ABCD勺对角线AC, BD的长分别是6 cm, 点E,则AE的长是（）48 f 24 J2 A — cm B. — cm C ——cm 5 5 5 7. 如图，在△ ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B , C 两点不重合），过点D 作DE// AC , DF// AB 分别交AB AC 于E, F 两点，下列说法正确的是（） A. 若ADL BC 则四边形AEDF 是矩形 B. 若BD= CD 则四边形AEDF 是菱形 C. 若AD 垂直平分BC 则四边形AEDF 是矩形 D. 若AD 平分/ BAC 则四边形 AEDF 是菱形 8. 如图，在矩形ABC 冲，AB= 2，BC -4，对角线AC 的垂直平分线分别交 9. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）D 边―110. 如图，点E 为边长为2的正方形ABCD 勺对角线上一点，BE= BC ,点P 为CE 上任意一点，PQL BC 于点Q PR! BE 于R,贝U PQ^ PR 的值为（）B. 2 C 鲁 Dj2二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11. 已知菱形的周长是20 cm, 一条对角线长为8 cm,则菱形的另一条对D. 5 3 cm AD, AC 于点 E, 0, 连接CE,则CE 的长为（ A. 3 B. 3.5 C . 2.5 D. 2.8,第9题图）,第10题图）角线长为（）12. 矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,请你添加一个适当的条件（）,使其成为正方形.（只填一个即可）13. 如图，点E 为正方形 ABCE 外卜一点，AE= AD , / ADE= 75°，则/ AEB=14. 15. 连接0A 16. ,第13题图）4直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm 和6 cm 则它的面积是30cmL 如图，矩形ABCD 的对角线BD 的中点为0,过点0作OELBC 于点E,已知A 吐5，BC = 12,则四边形 ABEO 勺周长为（）.如图，/ M0比45°, 0A = 1,作正方形ABCA ，周长记作G;再作第二个正方形A 2B 2CA ,周长记作C 2;继续作第三个正方形 ARCA ，周长记作C 3; 点A 1, A A 3, A …在射线0N±,点B 1, B, B 3, B …在射线0M 上，依此类推，则第n 个正方形的周长G=（）.三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17.如图，在正方形 ABCD 中，点E 是对角线BD 上的点，求证：AE= CE.A D18.如图，已知菱形ABCD 两条对角线BD 与 AC 的长度之比为3 : 4,周长为 40 cm,求菱形的高及面积.门19. 如图，在矩形ABCD中，点E为AD边上一点，EF丄CE交AB于点F, 若DE= 2,矩形的周长为16,且CE= EF,求AE的长.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20. 如图，已知平行四边形ABCD对角线AC,BD相交于点0, / OB G/ 0CB.⑴求证：平行四边形ABCD是矩形;（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.21. 如图，已知BA= AE= DC AD= EC CELAE,垂足为E.⑴求证：△ DCA^A EAC（2）只需添加一个条件，即AD= BC（答案不唯一）,可使四边形ABC助矩形, 请加以证明.22. 如图，在△ ABC中，/ ACB= 90°, BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E, F在DE的延长线上，且AF= CE= AE.(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；⑵当/B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由./?五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 如图，将矩形纸片ABCDff叠，使点D与点B重合，点C落在点C处,折痕为EF.⑴求证：BE= BF;⑵若/ABE= 20°，求/ BFE的度数;⑶若A吐6，AD= 8,求AE的长.24. 如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°, AO 60 cm / A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cms的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB 方向以2 cms的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E运动的时间是t s(0 v t < 15).过点D作DF丄BC于点F,连接DE, EF.(1) 求证：AE= DF;⑵ 四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF 为直角三角形？请说明理由.25. 已知正方形ABCD 中，点E , F 分别为BC, CD 上的点，连接 AE BF 相交于点H,且AE 丄BF.(1) 如图1,连接AC 交BF 于点G 求证：/ AGF=Z AE 聊45°;(2) 如图2,延长BF 到点M 连接MC 若/ BM & 45°，求证：AH^ BHh BM ；(3) 如图3,在⑵的条件下，若点H 为BM 的三等分点，连接BD DM 若HE =1,求△ BCM 的面积. 2018-2019学年九年级数学上册第一章单元测试卷(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)A.对角线互相平分 B •对角线互相垂直C. 对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形2. 下列命题中，真命题是(D)A.两条对角线垂直的四边形是菱形B •对角线垂直且相等的四边形是正方形t 值；如果不能,A D 4 ___________ ° # _________ P 图I 图2 图3C.两条对角线相等的四边形是矩形D.两条对角线相等的平行四边形是3. 菱形的周长为4, 一个内角为60°,则较短的对角线长为（C ）A. 2B.C. 1D.14. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开•如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（0点，则关于四边形EFGH 下列说法正确的是（C ）A. —定不是平行四边形B. —定不是中心对称图形C.可能是轴对称图形D.当AC - BD 时它是矩形6. 如图，菱形ABCD 勺对角线AC, BD 的长分别是6 cm, 点E ,则AE 的长是（B ）A^cm B.24cm C 妥 cm D •畀3 cm 5 5 57. 如图，在△ ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B , C 两点不重合），过点D 作DE// AC , DF// AB 分别交AB AC 于E, F 两点，下列说法正确的是（DA. 若ADL BC ,则四边形AEDF 是矩形B. 若BD= CD ,则四边形AEDF 是菱形C. 若AD 垂直平分BC ,则四边形AEDF 是矩形D. 若AD 平分/ BAC 则四边形 AEDF 是菱形8. 如图,在矩形ABC 冲,AB= 2 , BC -4,对角线AC 的垂直平分线分别交矩形出 D C ,第7题图）5.如图，点E, F , G H 分别为四边形ABCD 勺四边AB,BC CD DA 的中 8 cm, AE! BC 于 C. 45° 角 A. 22.5 ° ,第6题图） D. 60° 角 E ,第5题图）AAD, AC于点E, O,连接CE贝U CE的长为（C）,第9题图）A. 3B. 3.5C. 2.5D. 2.89. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个C"D迄―1绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是（D10. 如图，点E为边长为2的正方形ABCD勺对角线上一点，BE= BC点P为CE上任意一点，PQL BC于点Q PR! BE于R,贝U PC^ PR的值为（D）逹 B.2譜D.V2二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11. 已知菱形的周长是20 cm 一条对角线长为8 cm则菱形的另一条对角线长为6cm12. 矩形ABCD勺对角线AC, BD相交于点O,请你添加一个适当的条件AB =BC （答案不唯一），使其成为正方形.（只填一个即可）13. 如图，点E为正方形ABCE外卜一点，AE= AD / ADE= 75°，则/ AEB= 30,第13题图）14. 直角三角形斜边上的高与中线分别是 5 cm 和6 cm,则它的面积是30cmf.15. 如图，矩形ABCD 勺对角线BD 的中点为0,过点0作0吐BC 于点E, 连接0A 已知A 吐5, BC = 12,则四边形 ABEO 勺周长为20. 16. 如图，/ MO 比45°, OA = 1,作正方形ABCA ，周长记作G;再作第二个正方形A 2B 2CA ,周长记作C 2;继续作第三个正方形 ARCA ，周长记作C 3;点A 1, A A 3,几…在射线ON±,点B 1, B, B 3, B …在射线OM 上，依此类推，则第n 个正方形的周长G= 2n +1. 、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17. 如图，在正方形 ABCD 中，点E 是对角线BD 上的点，求证：AE= CE.j-AB = CBABE=Z CBE 在厶 ABE 和厶 CBE ,第16题图）M证明:中 , / ABE=Z CBE ，二△ ABE^A CBEQAS ，二 AE= CEBE= BE,18. 如图,已知菱形ABCD 两条对角线BD 与 AC 的长度之比为3 : 4,周长为 40 cm,求菱形的高及面积. 55 =BO + A O ,.・.A 吐 2X,•••菱形的周长是 40 cm,.・.AB = 40-4= 10(cm)，即qx1 1=10,二 x= 4,二 BD = 12 cm, AC = 16 cm ,二 S 菱形ABC 尸2 96 亠96(cm)，又tS 菱形ABC = AB ・h ,「. h =和=9.6( cm)，菱形的咼是9.6 cm ,面积是 296 cm 19. 如图，在矩形 ABCD 中，点E 为AD 边上一点，EF 丄CE 交AB 于点F , 若DE= 2,矩形的周长为16,且CE= EF,求AE 的长.解：T EF 丄 EC 二/ 1 + Z 3= 90° . t 在矩形 ABCD 中，/ A =Z D = 90•••/ 3 +Z 2= 90°,A Z 1 = Z 2.又t EF = EC 二△ EFA^^ CEDAAS ，二 AE=CD 设AE = x ,则DC = x.由矩形的周长为16得2x + 2 = 8, — x = 3,即AE 的长为解: T BD ： AC= 3 : 4, •••设 BD= 3x , AC=,AO= 2x ,又 T AW C四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20. 如图，已知平行四边形ABCD对角线AC,BD相交于点O, Z OB(=Z OCB.(1) 求证：平行四边形ABCD是矩形；(2) 请添加一个条件使矩形ABCD为正方形.解：(1) t 四边形ABCD是平行四边形,•••OA= OC OB= OD tZ OB(=Z OCB •••0B= OC二AC= BD,二平行四边形ABCD是矩形(2) AB = AD(或Ad BD答案不唯一).理由：t四边形ABCD是矩形,又t AB=AD •••四边形ABCD是正方形(或：•••四边形ABCD是矩形，又：ACL BD •••四边形ABCD是正方形)21. 如图，已知BA= AE^ DC, AD= EC, CE L AE,垂足为E.⑴求证：△ DCA^A EAC(2) 只需添加一个条件，即AD= BC(答案不唯一),可使四边形ABC助矩形, 请加以证明.DS EA解：⑴在厶DCA和厶EAC 中，AD= CE, /.△ DCA^A EACQSS (2)添加AO CAAD= BC,可使四边形ABCD为矩形.理由：；AB= DC, AD= BC,二四边形ABCD是平行四边形•••• CELAE, •••/ E= 90°,由(1)知厶DCA^A EAC •— D=ZE二90°, A四边形ABCD%矩形22. 如图,在厶ABC中,/ ACB= 90° , BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E, F在DE的延长线上,且AF= CE= AE.(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；⑵当/B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形,并说明理由.8解：(1)由题意知/ FDG^Z DCA F 90°, A EF// CA /-Z AEF=Z EAC.V AF=CE= AE, A Z F=Z AEF=Z EAG Z ECA又T AE= EA AEG^^ EAF, A EF=CA A四边形ACEF是平行四边形⑵当Z B= 30°时,四边形ACEF是菱形.理1由：/ B= 30°,/ ACB= 90°,二AOqAB.：DE 垂直平分BC, /• BE= CE.v AE1=CE二AE= BE= CE=尹B ••• AO CE,由(1)得四边形ACEF是平行四边形，二四边形ACEF是菱形五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)23. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕为EF.(1) 求证：BE= BF;(2) 若/ABE= 20°,求/ BFE的度数；(3) 若AB= 6, AD= 8,求AE的长.解: (1)由题意得/ BEF=Z DEF.：四边形ABCD%矩形，二DE// BF,二/BFE =/ DEF•••/ BEF=Z BFE 二BE= BF (2)：四边形ABCD为矩形，二/ ABF= 90° ;而/ ABE= 20°，• / EBF= 90° -20°= 70° ;又：/ BEF=Z BFE • / BFE的度数为55° (3)由题意知BE= DE设AE= x，则BE= DE= 8-x，由勾股定理得(8 —x)2= 62+ x2，解得x=右，即AE的长为724. 如图，在Rt△ ABC中,/ B= 90°, AC= 60 cm, / A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cms的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB 方向以2 cms 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E运动的时间是t s(0 v t < 15).过点D作DF丄BC于点F,连接DE, EF.(1)求证：AE= DF;⑵四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能,请说明理由；(3) 当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由.解：(1)：/ DFC= 90°,/ C= 30°, DC= 4t，二DF= 2t，又：AE= 2t，二AE= DF (2) 能,理由：：AB丄BQ DF丄BC,二AE// DF,又；AE= DF,二四边形AEFD为平行四边形，当AE= AD时，四边形AEFD为菱形，即60-4t = 2t，解得t = 10,A当t = 10秒时，四边形AEFD为菱形(3)①当/DEF= 90°时，由(1) 知四边形AEFD为平行四边形，••• EF/ AD, A/ ADE=Z DEF= 90 ° ,v/ A= 60°,1A/ AED= 30°,A AD= qAE= t，又AD= 60 - 4t，即60-4t = t，解得t = 12;②当/EDF= 90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△ AED中/A= 60°，则/ ADE=30°15,A AD M2AE,即60-4t = 4t，解得t =3；③若/ EFD= 90°,则E与B重合，15D与A重合，此种情况不存在.综上所述，当t s或12 s时，△ DEF为直角三角形25. 已知正方形ABCD中，点E, F分别为BC, CD上的点，连接AE, BF相交于点H,且AE丄BF.(1) 如图1,连接AC交BF于点G 求证：/ AG M/ AE聊45°;(2) 如图2,延长BF到点M 连接MC若/ BM M 45°，求证：AH^ BHh BM；(3) 如图3,在⑵的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD DM若HE =1,求厶BDM的面积.(1) V 四边形 ABCD 是正方形，•••/ ABC=/BC 4 90°,二/ACB=Z AC 4 45°,v AE 丄 BF ,AZ AEB^Z FBC= 90°,V Z FBC^Z BFC= 90°A Z AE 吐 / BFC VZ AG BZ BFC^Z ACF •Z AGF=Z AE 聊 45于 K ,：Z BKC=Z AH * 90°,V Z BM &45°,二 CK = MK V 四边形ABCD 是正方形,• A 吐 BC , Z ABC=Z BC * 90° , AB*Z BCK •△ ABHm BCKAAS , • BH= CK= MK AH= BK, • BM * BK + MK *AH+ BH (3)由(2)得,BH= CK= MKV H 为BM 的三等分点,• BH * HK= KM 过E 作ENL CK 于N, •四边形 HENK 是矩形,• HK *EN *BH Z BH *Z ENC •△ BHE^A ENCASA , • HE= CN *NK=1, • CK * BH *2, • BM * 6,连接 CH , V HK * MK CKLMH Z BM *45°, • CH * CM Z MC * 90°,BC *Z DCM •△ BHC^A DMCSA§ , • BH * DM * 2 , 1 Z BH(*Z DM * 135°, DM *90°, •△ BDlM 勺面积为 2DM- BM * 6解:⑵过C 作CK! BM MA DB E C。

北师大九年级数学上《第1章特殊平行四边形》单元测试初三数学

《第1章特殊平行四边形》一、选择题1．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD2．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形ABCD的边长是（）A．（）B．（）C．（）D．（）二、填空题3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使▱ABCD是矩形．4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为．9．正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B 2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为．10．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，AE=AD ，过点E 作AC 的垂线，交边CD 于点F ，那么∠FAD= 度． 11．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是（只填一个）．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为．13．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= cm ，AB= cm ．三、解答题14．如图，在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ．四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE ．求证：四边形BECD 是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF ∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．17．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；18．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．27．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB 于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足为点E．若AD=1，AB=2，求CE的长．29．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．30．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．《第1章特殊平行四边形》参考答案与试题解析一、选择题1．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．2．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形ABCD的边长是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】方法一：解：如图所示：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=，则B 2C 2=（）1，同理可得：B 3C 3==（）2，故正方形A n B n C n D n 的边长是：（）n ﹣1．则正方形ABCD 的边长是：（）．故选：D ．方法二：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，∴D 1E 1=B 2E 2=，∵B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…∴∠E 2B 2C 2=60°，∴B 2C 2=，同理：B 3C 3=×=…∴a 1=1，q=， ∴正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长=1×．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．二、填空题3．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件AC=BD （只添一个即可），使▱ABCD 是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【解答】解：添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是45°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB与AD的关系，∠BAD的度数，根据等边三角形的性质，可得AE与AD的关系，∠AED的度数，根据等腰三角形的性质，可得∠AEB与∠ABE的关系，根据三角形的内角和，可得∠AEB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了正方形的性质，先求出∠BAE的度数，再求出∠AEB，最后求出答案．5．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，=（）n﹣1．∴第n个正方形的边长an故答案为（）n﹣1．【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．6．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．7．边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长，进而得出△ABC的面积即可．【解答】解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE=DB=，∴△ABC的面积=AB•CE=×1×=，故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出BE和CE的长．8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 5 ．【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB，根据面积求出EM，得出BC=4，根据勾股定理求出即可．【解答】解：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：BE===5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出BC 的长，难度适中．9．正方形OA 1B 1C 1、A 1A 2B 2C 2、A 2A 3B 3C 3，按如图放置，其中点A 1、A 2、A 3在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3在直线y=﹣x+2上，则点A 3的坐标为（，0）．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题；规律型．【分析】设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），根据t 一次函数图象上点的坐标特征得到t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1），然后利用同样的方法可求得B 2（，），B 3（，），则A 3（，0）．【解答】解：设正方形OA 1B 1C 1的边长为t ，则B 1（t ，t ），所以t=﹣t+2，解得t=1，得到B 1（1，1）；设正方形A 1A 2B 2C 2的边长为a ，则B 2（1+a ，a ），a=﹣（1+a ）+2，解得a=，得到B 2（，）；设正方形A 2A 3B 3C 3的边长为b ，则B 3（+b ，b ），b=﹣（+b ）+2，解得b=，得到B 3（，），所以A 3（，0）．故答案为（，0）．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．10．已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD= 22.5 度．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据正方形的性质可得∠DAC=45°，再由AD=AE易证△ADF≌△AEF，求出∠FAD．【解答】解：如图，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF，∴∠DAF=∠EAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠CAD=45°，∴∠FAD=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证Rt△AEF≌Rt△ADF是解本题的关键．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（只填一个）．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【专题】开放型．【分析】根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD ．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD ．【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定． ①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90度的平行四边形是矩形．12．如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB 、BC 、CD 、DA 边上分别取点A 1、B 1、C 1、D 1，使AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=a ，在边A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1上分别取点A 2、B 2、C 2、D 2，使A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2=D 1D 2=A 1B 2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n 的面积为．【考点】正方形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可求得正方形A 1B 1C 1D 1的面积=，然后再在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理求得正方形A 2B 2C 2D 2的面积=，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论．【解答】解：在Rt △A 1BB 1中，由勾股定理可知；==，即正方形A 1B 1C 1D 1的面积=；在Rt △A 2B 1B 2中，由勾股定理可知：==；即正方形A 2B 2C 2D 2的面积=…∴正方形A n B n C n D n 的面积=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键．13．如图，▱ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若▱ABCD的周长为42cm，FM=3cm，EF=4cm，则EM= 5 cm，AB= 13 cm．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的应用．【专题】综合题；压轴题．【分析】由条件易证∠AEB=∠AFD=∠DMC=90°．进而可证到四边形EFMN是矩形及∠EFM=90°，由FM=3cm，EF=4cm可求出EM．易证△ADF≌△CBN，从而得到DF=BN；易证△AFD∽△AEB，从而得到4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．AE=4（k+1），BE=3（k+1），从而有AD=5k，AB=5（k+1）．由▱ABCD的周长为42cm可求出k，从而求出AB长．【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠DAB，同理：∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠BCM=∠DCM=∠BCD，∠CDM=∠ADM=∠ADC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，AD=BC．∴∠DAF=∠BCN，∠ADF=∠CBN．在△ADF和△CBN中，．∴△ADF≌△CBN（ASA）．∴DF=BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°．∴∠EAB+∠EBA=90°．∴∠AEB=90°．同理可得：∠AFD=∠DMC=90°．∴∠EFM=90°．∵FM=3，EF=4，∴ME==5（cm）．∵∠EFM=∠FMN=∠FEN=90°．∴四边形EFMN是矩形．∴EN=FM=3．∵∠DAF=∠EAB，∠AFD=∠AEB，∴△AFD∽△AEB．∴=．∴=．∴4DF=3AF．设DF=3k，则AF=4k．∵∠AFD=90°，∴AD=5k．∵∠AEB=90°，AE=4（k+1），BE=3（k+1），∴AB=5（k+1）．∵2（AB+AD）=42，∴AB+AD=21．∴5（k+1）+5k=21．∴k=1.6．∴AB=13（cm）．故答案为：5；13．【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强．三、解答题14．（2015•聊城）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．15．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），点B，D在直线y=x+1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面积是2．求证：四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征．【专题】证明题．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据△ABE的面积得到整个四边形的面积和AD的长，根据平行四边形的面积计算方法得当DA⊥AB即可判定矩形．【解答】证明：作EF⊥AB于点F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B两点纵坐标相同，∴AB∥CD∥x轴，∴m﹣2=4，m=6，将B（6，n）代入直线y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4=AB，△AEB的面积是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大．16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF ∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）；（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．17．（2015•义乌市）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；【专题】压轴题．【分析】（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；（2）当α=180°时，DF=BF．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90°，∴DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF（SAS），∴DF=BF；（2）解：图形（即反例）如图2，（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0°．18．（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据角的和差，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°∴∠BAE=∠CDE=150°在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，同理：∠CED=15°∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．【点评】本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．19．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论；（3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴正半轴的顶点坐标．【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】分两种情况：①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，得到OA=OB=3，∠BAO=45°，根据DE⊥OA，推出DE=AE，由于四边形COED是正方形，得到OE=DE，等量代换得到OE=AE，即可得到结论；②如图2，由（1）知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，由四边形CDEF是正方形，得到EF=CF，于是得到AF=OF=2OF，求出OA=OF+2OF=3，即可得到结论．【解答】解：分两种情况；①如图1，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3，∴OA=OB=3，∴∠BAO=45°，∵DE⊥OA，∴DE=AE，∵四边形COED是正方形，∴OE=DE，∴OE=AE，∴OE=OA=，∴E（，0）；②如图2，由①知△OFC，△EFA是等腰直角三角形，∴CF=OF，AF=EF，∵四边形CDEF是正方形，∴EF=CF，∴AF=OF=2OF，∴OA=OF+2OF=3，∴OF=1，∴F（1，0）．【点评】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．21．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．【解答】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，∵DE=CB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．【分析】（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形；（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，=BD•AD=3×4=12．∴S矩形ADBE【点评】本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．24．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE ∥AB．求证：四边形AECD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．【解答】证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE．∵点E是BC的中点，∴EC=BE=AD．∴四边形AECD是平行四边形．∵AB=AC，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．∴▱AECD是矩形．【点评】本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE ⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．26．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行，得到∠CDE为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，则四边形BFDE为矩形．【点评】此题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．27．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB 于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】证明题．【分析】（1）先根据EQ⊥BP，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论．【解答】（1）证明：∵EQ⊥BP，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；。