一元一次方程的应用讲义(经典讲义)
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，在我们的日常生活和实际问题中有着广泛的应用。
通过建立一元一次方程，可以将一些看似复杂的问题转化为数学语言，从而找到解决问题的方法。
一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
比如，甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为每小时 5 千米，乙的速度为每小时 4 千米，经过 3 小时两人相遇，求 A、B 两地的距离。
我们设 A、B 两地的距离为 x 千米。
甲走的路程为 5×3 ＝ 15 千米，乙走的路程为 4×3 ＝ 12 千米。
由于两人是相向而行，所以他们走过的路程之和等于两地的距离，即 15 ＋ 12 ＝ x，解得 x ＝ 27 千米。
再比如，一辆汽车以每小时 60 千米的速度从甲地开往乙地，4 小时后到达。
返回时由于路况不好，速度变为每小时 48 千米，求返回时需要的时间。
设返回时需要的时间为 x 小时。
根据路程相等，去时的路程为 60×4 ＝ 240 千米，返回的路程为 48x 千米，所以 48x ＝ 240，解得 x ＝ 5 小时。
二、工程问题工程问题也是经常用到一元一次方程的领域。
例如，一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成。
把这项工程的工作量看作单位“1”，甲每天的工作效率为 1/10，乙每天的工作效率为 1/15，两人合作每天的工作效率为 1/10 ＋ 1/15。
根据工作量＝工作效率×工作时间，可得（1/10 ＋ 1/15)x ＝ 1，解得 x ＝ 6 天。
又如，一个水池，有甲、乙两个进水管，单开甲管8 小时可以注满，单开乙管 12 小时可以注满，现在两管同时打开，多少小时可以注满水池？设 x 小时可以注满水池。
甲管每小时的注水量为 1/8，乙管每小时的注水量为 1/12，两管同时开每小时的注水量为 1/8 ＋ 1/12，所以（1/8 ＋ 1/12)x ＝ 1，解得 x ＝ 48 小时。
(完整版)一元一次方程讲义
去分母，得;根据等式的性质（ ）
去括号，得；
移 项,得;根据等式的性质（ ）
合并同类项，得；
系数化为 ,得；根据等式的性质（ ）
【例10】解方程：
（3）含有多层括号的一元一次方程的解法
【例11】解方程：
（4）一元一次方程的技巧解法
【例12】解方程：
五、一元一次方程的实际应用
（一）行程问题：
最简形式：方程 （ ， ， 为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
注意：
（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程 是一元一次方程。如果不变形，直接判断就出会现错误。
(2）方程 与方程 是不同的，方程 的解需要分类讨论完成.
教学准备
课本,5年中考3年模拟,历年中考真题
教学过程
知识详解
一、等式的概念和性质小四
1、等式的概念
楷体五号用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。等式可以是数字算式,可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则。号
2、等式的性质
注意：定义中含有两层含义，即:方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个
待确定的数即未知的字母,二者缺一不可。
2、方程的次和元
楷体五号方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元.号
3、方程的已知数和未知数
楷体五号已知数：一般是具体的数值，如 中（ 的系数是1，是已知数．但可以不说）。5和0
【例06】下列各式中:① ；② ；③ ;④ ；⑤ ；⑥ ;⑦ ；⑧ 。哪些是一元一次方程?
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们解决许多实际问题的有力工具。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。
举个简单的例子，像 3x ＋ 5 ＝ 14 就是一个一元一次方程。
在这个方程中，只有一个未知数 x，而且 x 的最高次数是 1。
为了更清楚地理解一元一次方程，我们需要明白几个关键的概念。
首先是“元”，它表示未知数的个数；“次”则表示未知数的最高次数。
所以，“一元”就是一个未知数，“一次”就是未知数的最高次数是 1。
二、一元一次方程的形式一元一次方程的一般形式是：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 是常数，且 a ≠ 0）。
在这个一般形式中，a 被称为方程的系数，x 是未知数，b 则是常数项。
例如，在方程 2x 7 ＝ 0 中，2 是系数，－7 是常数项。
需要注意的是，当 a ＝ 0 时，方程就不再是一元一次方程了。
比如0x ＋ 5 ＝ 0，因为 0x 等于 0，这个方程实际上就变成了 5 ＝ 0，这显然是不成立的。
三、一元一次方程的解法接下来，我们来学习如何解一元一次方程。
解一元一次方程的基本步骤可以概括为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
（一）去分母如果方程中各项的分母不同，我们需要先找到分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以这个最小公倍数，把分母去掉。
例如，方程（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x 1) ／ 3 ＝ 6 ，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，方程两边同时乘以 6 ，得到 3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝ 36 。
（二）去括号如果方程中有括号，我们需要运用乘法分配律把括号去掉。
比如，在方程 3(x ＋ 5) 2(2x 1) ＝ 10 中，去括号得到 3x ＋ 15 4x ＋ 2 ＝ 10 。
（三）移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的基础内容，也是解决实际问题的有力工具。
通过建立一元一次方程模型，我们能够将生活中的各种情境转化为数学语言，从而找到问题的答案。
接下来，让我们一起深入探讨一元一次方程的应用。
一、行程问题行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
比如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时 x 千米，乙的速度是每小时 y 千米，经过 t 小时两人相遇。
那么 A、B 两地的距离就可以用方程（x ＋ y）× t 来表示。
再比如，某人骑自行车以每小时 15 千米的速度从 A 地前往 B 地，返回时速度变为每小时 10 千米。
已知 A、B 两地相距 30 千米，求此人往返的平均速度。
我们可以设往返的平均速度为 v 千米/小时，根据“总路程÷总时间＝平均速度”，总路程为 2×30 ＝ 60 千米，去时所用时间为 30÷15 ＝ 2 小时，回时所用时间为 30÷10 ＝ 3 小时，总时间为 2 ＋ 3 ＝ 5 小时，可列出方程 60÷5 ＝ v ，解得 v ＝ 12 千米/小时。
二、工程问题工程问题中也常常需要用到一元一次方程。
假设一项工程，甲单独完成需要 x 天，乙单独完成需要 y 天，两人合作需要 z 天完成。
那么根据“工作总量＝工作时间×工作效率”，工作总量通常看作单位“1”，甲的工作效率为 1/x ，乙的工作效率为 1/y ，两人合作的工作效率为1/z ，可列出方程（1/x ＋ 1/y）× z ＝ 1 。
例如，一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作 4 天后，剩下的部分由乙单独完成，还需要几天？设还需要 t 天完成，可先算出两人合作 4 天完成的工作量为（1/10 ＋ 1/15）× 4 ＝ 2/3 ，那么乙单独完成的工作量为 1 2/3 ＝ 1/3 ，因为乙的工作效率为 1/15 ，所以可列出方程 1/15 × t ＝ 1/3 ，解得 t ＝ 5 天。
七年级上第12讲 一元一次方程的实际应用讲义+练习
第12讲一元一次方程的实际应用概述适用学科初中数学适用年级初一适用区域人教版区域课时时长（分钟）120知识点1、解一元一次方程2、一元一次方程的实际应用3、根据实际问题找到等量关系教学目标通过列方程解决实际问题，逐步建立方程的思想教学重点自主分析题意的过程中能够使已设未知数参与其中。
教学难点找到问题中的数量关系,将未知数参与其中的代数式用“=”连接起来，使之构成方程【教学建议】一元一次方程的实际应用是这一章的重点和难点，也是学生最容易出现问题以及最怕的内容，因此在教学过程中要由易到难，慢慢递进，慢慢引导学生读题，再用自己的语言表述问题，分析问题、理解问题、进而找出等量关系，最后根据问题列出方程。
找等量关系是比较困难的，因此要多次引导学生对问题的思考和解决过程。
行船问题工程问题【知识导图】1.知识链接：根据实际问题列方程。
（1）、世界上最大的动物是蓝鲸，一只鲸重124吨。
比一头大象体重的25倍少一吨，这头大象重几吨？若已知大象的重量（如X 吨）如何求蓝鲸的重量？（2）顾客用540卢布买了两种布料共138尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布。
两种布料各买了多少？（设蓝布料买了X 尺）2.复习与预习：（1）方程的解的概念使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：①方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.②方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.（2）移项法则教学过程一、导入一元一次方程的实际应用利润问题几何问题行程问题把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.（3）去括号法则（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.（4）解方程的一般步骤1)去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数).2)去括号(按去括号法则和分配律).3)移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号).4)合并(把方程化成(0)a xb a 形式).5)系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a).二、知识讲解考点1利润问题（1）计算盈利和亏损问题与那些量有关.商品利润=商品售价－商品进价商品利润率商品进价商品利润打x 折的售价=原售价×10x （2）如何计算盈亏问题，公式是什么？盈利=售价－进价亏损=进价－售价盈利=利润率×进价考点2行程问题（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间。
一元一次方程的应用讲义（经典讲义）
一元一次方程的应用讲义（经典讲义）一元一次方程的应用讲义用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）设：设未知数（一般求什么，就设什么）；（4）列：根据相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；（6）检：检查所求解是否符合题意；（7）答：写出答案（包括单位名称）.水箱变高了长方形的周长=_________，面积=__________ ．长方体的体积=_________，正方体的体积=__________．圆的周长=___________；面积=_______________．圆柱的体积=_______________．例：把直径6cm ，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢，求锻造后的圆钢的长？这个问题中的等量关系是：解：设锻造后圆钢的高为x 厘米，填写下表：随堂检测：将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？这个问题中的等量关系是：设锻压后圆柱的高为x 厘米，填写下表：例：用一根250cm 长的铁丝恰好能围成一个长方形，且长方形的长比宽多25cm,求长方形的宽？等量关系：随堂练习：用一根长为60cm 的铁丝围成一个长方形，若长方形的宽是长的3 2，求这个长方形的长和宽？打折销售（1）进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价）（2）售价：在销售商品时的售出价（有时称成交价，卖出价）（3）标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）（4）利润：在销售商品的过程中纯收入即：利润=售价－进价（5）利润率：利润占进价的百分率，即：利润率=利润÷进价×100%（6）打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称打了几折，或理解为：销售价占标价的百分率。
例如某种服装打8 折即按标价的百分之八十出售。
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一元一次方程是数学中的重要基础知识，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
掌握一元一次方程的应用，不仅能够提高我们的数学解题能力，还能培养我们用数学思维解决生活中各种问题的能力。
一、一元一次方程的基本概念在深入探讨一元一次方程的应用之前，我们先来回顾一下一元一次方程的基本概念。
一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。
其一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（其中$a$，＄b$为常数，且$a ≠ 0$）。
例如：＄3x ＋5 ＝14$就是一个一元一次方程，其中$x$是未知数，＄3$是$x$的系数，＄5$是常数项。
二、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤为：1、去分母（如果方程中有分母）：在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，注意移项要变号。
4、合并同类项：将方程化为$ax ＝ b$的形式。
5、系数化为 1：在方程两边同时除以未知数的系数$a$，得到方程的解$x ＝＼frac{b}｛a}＄。
例如，解方程$2(x 3) ＋ 3 ＝ 5 （x ＋ 1)＄：首先去括号：＄2x 6 ＋ 3 ＝ 5 x 1$然后移项：＄2x ＋ x ＝ 5 1 ＋ 6 3$合并同类项：＄3x ＝ 7$系数化为 1：＄x ＝＼frac{7}｛3}＄三、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
基本公式：路程＝速度×时间例如，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。
甲的速度为每小时5 千米，乙的速度为每小时4 千米，经过3 小时两人相遇。
问 A、B 两地的距离是多少？设 A、B 两地的距离为$x$千米。
甲行驶的路程为$5×3 ＝ 15$千米，乙行驶的路程为$4×3 ＝ 12$千米。
由于两人相向而行，所以他们行驶的路程之和等于 A、B 两地的距离，即$15 ＋ 12 ＝ x$解得$x ＝ 27$千米。
一元一次方程讲义-10页word资料
初一（上）数学第五章一元一次方程一、知识网络二、目标认知重点：一元一次方程的解法，列方程解应用题难点：列方程解应用题三、知识要点梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程．2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么cb c a = 要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：mb ma bm amb a ÷÷==（其中m≠0） 特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：6.12.045.03=+--x x ，将其化为：6.12401053010=+--x x 方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤常用步骤 具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律 注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；合并同类项 把方程化成ax ＝b(a≠0)的形式合并同类项法则 计算要仔细，不要出差错；系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒b的解x ＝要点诠释：理解方程ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0时，方程有唯一解ab x； ②a=0，b=0时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0时，方程无解。
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念在数学的世界里，一元一次方程就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多实际问题。
那么，什么是一元一次方程呢？一元一次方程指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1 的整式方程。
一般形式为：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 为常数，a ≠ 0）。
例如：3x ＋ 5 ＝ 11 就是一个一元一次方程，其中 x 是未知数，3是 x 的系数，5 是常数项。
二、一元一次方程的解法解一元一次方程的主要步骤包括：1、去分母：如果方程中有分母，要乘以分母的最小公倍数，将分数化为整数。
2、去括号：运用乘法分配律去掉括号。
3、移项：将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，注意移项要变号。
4、合并同类项：将同类项进行合并。
5、系数化为1：等号两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
例如，解方程：（2x ＋ 1) ／ 3 （5x 1) ／ 6 ＝ 1首先，去分母，两边同时乘以 6，得到：2(2x ＋ 1) （5x 1) ＝ 6然后，去括号：4x ＋ 2 5x ＋ 1 ＝ 6接着，移项：4x 5x ＝ 6 2 1合并同类项：x ＝ 3最后，系数化为 1，两边同时除以－1：x ＝－3三、一元一次方程在实际问题中的应用1、行程问题行程问题中，速度、时间和路程之间有着密切的关系。
基本公式为：路程＝速度×时间。
例如：小明骑自行车以每小时 15 千米的速度从 A 地到 B 地，用了3 小时。
返回时速度变为每小时 10 千米，问返回时用了多长时间？设返回时用了 x 小时，根据路程相等，可列出方程：10x ＝ 15×3解得 x ＝ 45所以返回时用了 45 小时。
2、工程问题工程问题中，工作效率、工作时间和工作量之间的关系是：工作量＝工作效率×工作时间。
例如：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成。
两人合作需要多少天完成？设两人合作需要 x 天完成，将工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为 1/10，乙的工作效率为 1/15。
一元一次方程讲义1
龙文教育学科教师辅导讲义课 题 一元一次方程的应用教学目标一元一次方程解法步骤 一元一次方程的应用重点、难点一元一次方程的应用考点及考试要求灵活运用一元一次方程的方法教学内容分母含有小数。
例：知识纵横1、若3x 3y m －1与－21x n+1y 3是同类项，请求出 m,n 的值。
2、已知x=21是关于x 的方程3m+8x=21+x 的解，求关于x 的方程，m+2x=2m －3x 的解。
分母含有小数。
怎样转化为整数呢？可以利用分数的基本性质，分子、分母同乘以一个数（10）即可化为整数。
常数项不用乘例1 5位教师和一群学生一起去公园，教师按全票的票价是每人7元，学生只收半价.如果买门票共花费206.50元，那么学生有多少人？分析 题中哪些量是已知的？哪些量是未知的？这些量之间有什么关系？能用表格去表示吗？设哪个未知数为x ？题中的相等关系是什么？从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是： 1. 审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系； 2. 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x ）； 3. 列方程：根据相等关系列出方程； 4. 解方程：求出未知数的值；步 骤 根 据 注 意 事 项去分母 等式性质2①不漏乘不含分母的项； ②注意给分子添括号。
去括号 分配律、去括号法则①不漏乘括号里的项；②括号前是“－”号，要变号。
移项 移项法则 移项要变号 合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项 两边同除以未知数的系数 等式性质2乘以系数的倒数5. 检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.练习 甲、乙两人从相距为180千米的A ，B 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时.经过多少时间两人相遇？变题一 相遇后经过多少时间乙到达A 地？变题二 如果甲先行1时后乙才出发，问甲再行多少时间与乙相遇？例2 甲、乙两人从A 、B 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1时乙到达A 地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？变题 相遇后经过多少时间甲到达B 地？设甲的速度为x 千米/时，题目中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示：相遇前 相遇后速度 时间 路程 速度 时间 路程甲 x3 3x x3903x x+ 3x +90 乙3903x +33x +903903x +13x相遇前甲行驶的路程+90=相遇前乙行驶的路程；相遇后乙行驶的路程=相遇前甲行驶的路程.解 设甲行驶的速度为x 千米/时，则相遇前甲行驶的路程为3x 千米，乙行驶的路程为（3x +90）千米，乙行驶的速度为3903x +千米/时，由题意，得390133x x+⨯=.解这个方程，得x =15.检验：x =15适合方程，且符合题意. 将x =15代入3903x +，得3903x +=315903⨯+=45.答：甲行驶的速度为15千米/时，乙行驶的速度为45千米/时.想一想 如果设乙行驶的速度为x 千米/时，你能列出有关的方程并解答吗？在分析应用题中的数量关系时，常用列表分析法与线段图示法，使题目中的条件和结论变得直观明显，因而容易找到它们之间的相等关系.例 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多2人，应调往甲、乙两处各多少人？利息税是对个人储蓄存款利息所得征收个人所得税本金、利息、年利率、利息税、实得利息和实得本利和，它们之间有如下的相等关系：⨯⨯=本金利率期数利息；⨯=利息税率利息税；=利息-利息税实得利息.头3天甲生产零件的个数 后5天生产零件的个数 乙生产零件的个数甲生产零件的个数 940个甲、乙合做4天的工作量乙单独做 的工作量全部工作量1=本金+利息-利息税实得本利和.例5 小明把压岁钱按定期一年存入银行.年利率为1.98℅,利息税率为0.396℅,到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92元.问小明存入银行的压岁钱有多少元？对于数量关系较复杂的应用题，有时可先画出示意图，使题目中的条件和结论变得直观明显，因而容易找到它们之间的相等关系，这种方法通常称为图示法.应用方程解实际问题时，我们经常用示意图来分析数量关系，并建立方程.例6 甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人 共生产这种零件940个.问乙每天生产这种零件多少个？分析 可以用示意图来分析本题中的数量关系：从图得到如下的相等关系：头3天甲生产零件的个数+后5天甲生产零件的个数+后5天乙生产零件的个数=940. 根据这一相等关系，设乙每天生产零件x 个，就可以列出方程. 解 设乙每天生产零件x 个.根据题意，得3805805940x ⨯+⨯+=.解这个方程，得x =60.答：乙每天生产零件60个.例7某装潢公司接到一项业务，如果由甲组需10天完成，由乙组做需15天完成.为了早日完工，现由甲、乙两组一起做，4天后甲组因另有任务，余下部分由乙组单独做，问还需几天才能完成？分析 1）用示意图来分析数量关系.2）总工作量怎样表示？甲、乙两人的工作效率如何表示？3）如何设未知数？甲、乙合作的工作效率如何表示？乙单独做的工作量如何表示？ 4）根据怎样的相等关系列方程？。
《一元一次方程的应用》 讲义
《一元一次方程的应用》讲义一、一元一次方程的基本概念首先，咱们来了解一下啥是一元一次方程。
简单说，一元一次方程就是含有一个未知数，并且这个未知数的次数是 1 的等式。
比如 3x ＋5 ＝ 17 ，这里只有一个未知数 x ，而且 x 的次数是 1 。
一元一次方程一般的形式是：ax ＋ b ＝ 0 （其中 a 、 b 是常数， a ≠ 0 ）。
在解决实际问题时，我们经常需要通过设未知数、找等量关系来列出一元一次方程。
二、一元一次方程在行程问题中的应用行程问题是一元一次方程常见的应用场景之一。
比如说，小明骑自行车以每小时 15 千米的速度去某地，回来时因为逆风，速度变成了每小时 10 千米，去的时候用了 3 小时，问回来用了多长时间？咱们可以设回来用的时间为 x 小时。
去的路程＝回来的路程，根据路程＝速度×时间，去的时候速度是 15 千米/小时，时间是 3 小时，所以路程是 15×3 ＝ 45 千米。
回来的速度是 10 千米/小时，时间是 x 小时，路程就是 10x 千米。
那么就可以列出方程： 10x ＝ 45 ，解得 x ＝ 45 ，所以回来用了 45 小时。
再比如，甲乙两人同时从 A 、 B 两地相向而行，甲的速度是每小时 8 千米，乙的速度是每小时 6 千米， 3 小时后两人相遇，问 A 、 B 两地相距多远？设 A 、 B 两地相距 x 千米。
甲走的路程＋乙走的路程＝总路程，甲 3 小时走的路程是 8×3 ＝24 千米，乙 3 小时走的路程是 6×3 ＝ 18 千米。
方程就是： 24 ＋ 18 ＝ x ，解得 x ＝ 42 千米， A 、 B 两地相距 42 千米。
三、一元一次方程在工程问题中的应用工程问题也是常考的类型。
比如一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作需要几天完成？设两人合作需要 x 天完成。
把这项工程的工作量看成单位“ 1 ”，甲每天的工作效率就是 1/10 ，乙每天的工作效率就是 1/15 。
《一元一次方程的解法》 讲义
《一元一次方程的解法》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们经常会遇到的一个重要概念。
那什么是一元一次方程呢？简单来说，一元一次方程就是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。
例如：3x ＋ 5 ＝ 17 ， 2y 8 ＝ 10 ，这些都是一元一次方程。
它的一般形式可以表示为：ax ＋ b ＝ 0 （其中 a、b 为常数，且a ≠0 ）。
二、为什么要学习一元一次方程的解法学习一元一次方程的解法有着非常重要的意义。
首先，它是解决实际问题的有力工具。
在我们的日常生活中，很多问题都可以通过建立一元一次方程来解决。
比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等。
其次，它为我们后续学习更复杂的数学知识打下了坚实的基础。
像二元一次方程、一元二次方程等，如果我们能够熟练掌握一元一次方程的解法，那么在学习这些新知识时就会更加轻松。
三、一元一次方程的解法步骤接下来，让我们详细了解一下一元一次方程的解法步骤。
1、去分母如果方程中存在分数，我们需要先去分母。
方法是在方程两边同时乘以分母的最小公倍数。
例如，方程：（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x ＋ 2) ／ 3 ＝ 5 。
分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，所以方程两边同时乘以 6 ，得到：3(x ＋ 1) ＋ 2(x ＋ 2) ＝ 302、去括号去掉方程中的括号，运用乘法分配律将括号外的数乘以括号内的每一项。
对于上面的例子，去括号后得到：3x ＋ 3 ＋ 2x ＋ 4 ＝ 303、移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
继续上面的例子，移项后得到：3x ＋ 2x ＝ 30 3 44、合并同类项将方程中相同类型的项进行合并。
上式合并同类项后得到：5x ＝ 235、系数化为 1在方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
继续上面的例子，方程两边同时除以 5 ，得到：x ＝ 23 ／ 5四、例题讲解为了让大家更好地掌握一元一次方程的解法，我们来看几个具体的例题。
一元一次方程应用(一)---教师讲义
中 正 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 七年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课程主题 一元一次方程应用（一）授课类型 T 课本同步C 专题辅导T应用能力提升授课日期时段 年 月 日 段（ ：00-- ：00）学习目标1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值.教学内容【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点二、水箱变高了（等积变形问题）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积.常用的面积、体积公式：长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽 长方体的体积公式：长×宽×高正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 正方体体积公式：边长×边长×边长圆的周长公式：C=2d r ππ=；面积公式：2S r π=；圆柱的体积公式：V 柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V 锥=13×底面积×高 要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变. 要点三、打折销售（利润问题） (1)-=100%=100%⨯⨯利润售价成本利润率成本成本(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑． 【典型例题】类型一、水箱变高了（等积变形问题）1．一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．【思路点拨】先求得两个圆柱的体积，进而求得体积差，等量关系为：体积小的底面积×高度=体积差，把相关数值代入即可求解．解：底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内体积为：V 1=π×（）2×18=（立方厘米）， 底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃体积为：V 2=π×（6÷2）2×10=（立方厘米），因为V 2＜V 1，所以装不下. 设瓶内水面还有xcm ．π×（）2×x=，解得：x=3.6．答：装不下，瓶内水面还有3.6厘米．【总结升华】解决本题的难点是判断出哪个容器的体积大；关键是得到倒满较小的容器后的体积的等量关系．2．一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其它三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是多少？解：根据小王的设计可以设宽为x米，则长为（x+5）米，根据题意得：2x+（x+5）=35解得： x=10．因此小王设计的长为x+5=10+5=15（米），而墙的长度只有14米，小王的设计不符合实际的．根据小赵的设计可以设宽为y米，长为（y+2）米，根据题意得2y+（y+2）=35解得： y=11．因此小赵设计的长为y+2=11+2=13（米），而墙的长度只有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11×13=143（平方米）．答：小赵的设计符合实际按照他的设计，鸡场的面积是143平方米.【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，但要注意所得的结果应满足实际情况的需要.类型二、打折销售（利润问题）3．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？解：设该商品的成本为a元，则商品的现价为(1+30%)a元，依题意其后来折扣的售价为(1+40%)(1-50%)(1+30%)a =0.91a.∵0.91a-a=-0.09a,∴0.09aa·100%=-9%.答：商家不仅没有利润，而且还亏损9%.【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意．分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．举一反三：【变式】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？ 解：设该商品打x 折，依题意，则： 500(1+40%)·10x=500（1+12%）. x=8.答：该商品的广告上可写上打八折.4．列方程解应用题：丽丽的妈妈到百盛商场给她买一件漂亮毛衣，售货员说：“这毛衣前两天打八折，今天又在八折的基础上降价10%，只卖144元，丽丽很快算出了这件毛衣的原标价，你知道是多少元吗？【思路点拨】首先设毛衣的原价是x 元，则八折就是80%x 元，再在八折的基础上降价10%卖价是（1-10%）×80%x ，再根据题目中说的“只卖144元”可得方程． 解：设毛衣的原价是x 元，由题意得： （1-10%）×80%x =144， 解得： x=200， 答：这件毛衣的原价是200元.【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄清题意，设出未知数，根据题意表示出售价．此题用到的公式是：原售价×打折率=实际售价． 举一反三：【变式】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价．解：设李明上次购买书籍的原价为x 元，由题意得： 0.8x+20＝x-12， 解得：x ＝160．答：李明上次所买书籍的原价是160元．一、选择题1．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm2．请根据图中给出的信息，可得正确的方程是（）A．B．C．D．3．图（①）为一正面白色，反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上黏贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图（②）所示．若图（②）中白色与灰色区域的面积比为8：3，图（②）纸片的面积为33，则图（①）纸片的面积为（）A．B．C．42 D．444．某物品标价为132元，若以9折出售，仍可获利10%，则该物品进价是( )A．105元 B．106元 C．108元 D．118元5．某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣, 每件售价均为135元, 若按成本计算, 其中一件盈利25%, 一件亏本25%, 则在这次买卖中他 ( )A．不赚不赔 B．赚9元 C．赔18元 D．赚18元6．某品牌冰箱去年国庆节开始季节性降低20%，到今年五一节又季节性涨价20%后，现售价为2400元/台，则该品牌冰箱去年国庆节之前的售价为每台（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2500元二、填空题7．用长为1米，直径是40毫米的圆钢能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝米．8．一只直径为90毫米的圆柱形玻璃杯中装满了水，把杯中的水倒入一个底面性为131×131平方毫米、高为81毫米的长方体铁盒中，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度大约下降了多少设大约下降了x毫米，则可列方程．9．如图，将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条（阴影部分）后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，若两次剪下的长条面积正好相等，则每一个长条的面积为cm2．10．一件商品进价的15%的利润后售价为230元，它的进价是x元，那么可得方程为，它的进价是．11．五•一期间，某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了折优惠．12．商场打折促销时，张老师买了一件衣服和一条裤子，共用了284元．其中衣服按标价打六折，裤子按标价打八折，衣服的标价为300元，则裤子的标价应为元.三、解答题13．某商品的进价为200元，标价为300元，折价销售的利润率为5%，问此商品是按几折销售的?14．若进货价降低8%，而售出价不变，那么利润可由目前的p%增加到（p+10）%，求p ．15．在一次春游中，小明、小亮等同学随家人一同到江郎山游玩．如图所示是购买门票时，小明与他爸爸的对话：问题：(1)小明他们一共去了几个成人?几个学生?(2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱?并说明理由． 【答案与解析】 一、选择题1．【答案】C 【解析】设小杯的高为x ，根据题意得：π×102×30=π×12×（10÷2）2x 解得：x=10 2．【答案】A 【解析】等级变形问题，形变体积不变．3．【答案】C 【解析】设每一份为x ，则图②中白色的面积为8x ，灰色部分的面积为3x ，由题意，得 8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面积为：3×3=9，∴图（①）纸片的面积为：33+9=42． 4．【答案】 C 【解析】设该物品进价是x 元，则有132×90%＝(1+10%)x ， 解得x ＝108． 5．【答案】C 【解析】成本分别为：135108125%=+，135180125%=-；盈亏：13513510818018+--=-6．【答案】D 【解析】先降价20%，价格应是原价的（1﹣20%），又涨价20%，涨价后的价格应是原价的（1﹣20%）×（1+20%），所以设该品牌冰箱去年国庆节之前的售价为每台x 元，根据题意得出：（1﹣20%）×（1+20%）x =2400，解得：x=2500． 二、填空题7．【答案】100【解析】设能锻拉成直径为4毫米的圆钢丝x 米，则22201=2x ππ⨯⨯⨯⨯，解得：x ＝100． 8．【答案】【解析】等级变形问题，形变体积不变．9．【答案】80【解析】解：设正方形的边长是xcm ，则根据题意得：4x=5（x ﹣4），解得：x=20．故长方条的面积为4x=80cm 2．10．【答案】230%)151(=+x ， 200元【解析】考查利润、进价、售价之间的关系，利润=售价-进价． 11．【答案】九【解析】设用贵宾卡又享受了x 折优惠，依题意得：10000﹣10000×80%×=2800，解之得：x=9．12．【答案】130【解析】设裤子标价为x 元．由题意得：300×60%+80%x=284，解得：x=130． 三、解答题13．解：设此商品是按x 折销售的，依题意得：3002002005%10x⨯-=⨯ 解得， x ＝7 答：此商品是按7折销售的．14．解：设进货价为x ，则下降后的进货价为0.92x ．则 （1+p%）x= [1+（10+p ）%]0.92x ， 即（1+0.01p ）x= [1+0.01（p+10）] 0.92x ， 解得： p=15． 答：p 为15．15．解：(1)设小明他们一共去了x 个成人，则去了(11-x)个学生，根据题意得： 40x+0.5×40×(11-x)＝360． 解得x ＝7．所以11-x ＝4．答：小明他们一共去了7个成人，4个学生． (2)若按14人购买团体票，则需要花费： 14×40×60%＝336(元)，360-336＝24(元)．答：买团体票更省钱，可节省24元．一、选择题1. 小明在一次登山活动中捡到一块矿石，回家后，他使用一把刻度尺，一只圆柱形的玻璃杯和足量的水，就测量出了这块矿石的体积．如果他量出玻璃杯的内直径是d ，把矿石完全浸没在水中，测出杯中水面上升的高度为h ，则小明的这块矿石体积是（ ）A ． 4πd 2hB ． 2πd 2hC ． πd 2hD ．4πd 2h 2. 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯（ ） A ． 64B ． 100C ． 144D ． 2253. 如图，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD ：AB=？（ ）A ． 5：3B ． 7：5C ． 23：14D ． 47：294．阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20％，则这种电子产品的标价为( ) A ．26元 B ．27元 C ．28元 D ．29元5. 受季节影响，某种商品开始实行优惠措施，按原价降低10%后，又降低a 元，现在每件售价b 元，那么该商品每件的原售价为（ ） A ． 110%a b +-B ． -110%b a-C ． （1﹣10%）（a+b ）D ． （1﹣10%）（a ﹣b ）6. 学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元的，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元的，一律打九折；③一次性购书超过200元的，一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为( )A ．180元B ．202.5元C ．180元或202.5元D ．180元或200元 二、填空题7．爷爷病了，需要挂100毫升的药液，小明守候在旁边，观察到输液流量是每分钟3毫升，输液10分钟后，吊瓶的空出部分容积是50毫升（如图），利用这些数据，计算整个吊瓶的容积是 毫升．8．如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积为．9.矩形ABCD被分成6个正方形，其中最小的正方形边长为1，则矩形ABCD的面积为．10. 杉杉打火机厂生产某种型号的打火机．每只的成本为2元，毛利率为25%．工厂通过改进工艺，降低了成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15％．则这种打火机每只的成本降低了________元．（精确到0.01元．毛利率＝）．11．某书城开展学生优惠购书活动,凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠,超过200元的,其中200元按九折算,超过200元的部分按八折算.某学生第一次去购书付款72元,第二次去购书享受八折优惠,他查看了所买书的定价,发现两次共节约了34元.则该学生第二次购书实际付款______________元.12. 中百超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折．某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款 .三、解答题13. 甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按40％的利润定价，乙服装按50％的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装的成本各是多少元？14. 加油啊！小朋友！春节快到了，鄂州移动公司为了方便学生上网查资料，提供了两种上网优惠方法：A．计时。
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程就像是一座基础的桥梁，连接着各种数学知识和实际问题。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程，简单来说，就是含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 1 的等式。
比如，“3x ＋ 5 ＝14”就是一个典型的一元一次方程，其中“x”是未知数，只有一个，而且“x”的次数是 1。
这个定义虽然听起来简单，但它却有着非常重要的作用。
它能够帮助我们解决很多生活中的实际问题，比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等等。
二、一元一次方程的形式一元一次方程一般可以写成“ax ＋ b ＝0”的形式，其中“a”和“b”是常数，“a”不能为 0 ，“x”是未知数。
当“a ＝1”，“b ＝－5”时，方程就是“x 5 ＝0”；当“a ＝2”，“b ＝3”时，方程就是“2x ＋ 3 ＝0”。
这种形式可以让我们更清楚地看到方程中各项的系数和常数，方便我们进行计算和分析。
三、一元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。
那么，什么是一元一次方程的解呢？一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值。
比如说，对于方程“2x ＋ 3 ＝7”，我们通过计算可以得出“x ＝2”，把“x ＝2”代入方程中，左边等于“2×2 ＋ 3 ＝7”，右边也是 7，方程左右两边相等，所以“x ＝2”就是这个方程的解。
那怎么求解一元一次方程呢？四、求解一元一次方程的步骤求解一元一次方程一般有以下几个步骤：1、去分母如果方程中存在分数，我们可以通过在等式两边同乘各分母的最小公倍数来去掉分母。
比如方程“（x ＋ 1)／2 ＋（x 1)／3 ＝6”，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，所以在等式两边同乘 6，得到“3(x ＋ 1) ＋ 2(x1) ＝36”。
2、去括号运用乘法分配律去掉括号。
对于上面得到的方程“3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝36”，去括号后变为“3x ＋ 3 ＋ 2x 2 ＝36”。
《一元一次方程的解法》 讲义
《一元一次方程的解法》讲义一元一次方程是数学中的一个重要基础知识，它在解决实际问题和进一步学习数学知识中都有着广泛的应用。
掌握一元一次方程的解法对于我们提高数学解题能力和思维能力都非常关键。
一、一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
一般形式为：＄ax ＋ b ＝0$（＄a$，＄b$为常数，＄a≠0$）。
例如：＄3x ＋ 5 ＝ 11$，＄05x 7 ＝ 2$ 都是一元一次方程。
二、等式的基本性质在学习一元一次方程的解法之前，我们先来复习一下等式的基本性质，这是解方程的重要依据。
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立。
例如：如果$x ＝ 5$，那么$x ＋ 3 ＝ 5 ＋ 3$，＄x 2 ＝ 5 2$。
性质 2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为 0 的数，等式仍然成立。
例如：如果$2x ＝ 6$，那么$2x × 2 ＝ 6 × 2$，＄2x ÷ 2 ＝ 6 ÷ 2$。
三、一元一次方程的解法步骤1、去分母如果方程中有分母，我们要先去分母。
方法是在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数。
例如：方程$＼frac{x}｛2} ＋＼frac{x}｛3} ＝ 6$，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，方程两边同时乘以 6 得到：＄6 ×＼frac{x}｛2} ＋ 6 ×＼frac{x}｛3} ＝ 6 × 6$＄3x ＋ 2x ＝ 36$2、去括号如果方程中有括号，要运用乘法分配律去括号。
例如：方程$2(x ＋ 3) ＝ 10$，去括号得：＄2x ＋ 6 ＝ 10$3、移项把含未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，移项要变号。
例如：方程$3x ＋ 5 ＝ 11 2x$，移项得：＄3x ＋ 2x ＝ 11 5$4、合并同类项将方程中同类项合并，化简方程。
一元一次方程专题--讲义
内容基本要求略高要求较高要求一元一次方程的解法及应用题掌握一元一次方程的解法掌握利用一元一次方程解应用题第一节 基础巩固 1、分数方程解法：原则：第一步就要去掉分母，方法：如果有括号，一定先去括号；如果没有括号，或者已经去掉括号了，那么（1）分母是整数的每一个项乘以所有分母的最小公倍数。
例：y -21y -=3-52+y例：25（3x -2x +52）-2=53（x -72）+94（此题必须先去掉括号，才能再去分母）（2）分母中含有小数或者全部是小数的一般用所有分母相乘后，做-去分母的公倍数，来去掉分母；例题精讲中考要求一元一次方程专题例：5.03-x -2.04+x =1.62、相遇问题应用题：总的等量关系式：路程=速度×时间，可能在一个题目中反复应用多次。
（1）普通相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程例：A 、B 两站间的路程为448 km ，一列慢车从A 站出发，每小时行驶60 km ，一列快车从B 站出发，每小时行驶80km ，问：两车同时开出相向而行，出发后多少小时相遇?（2）追赶问题（追及问题）： 一定是同向而行；总的关系式：追及时间×速度差 = 需要追及的距离①同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程例：A 、B 两站间的路程为448 km ，一列慢车从A 站出发，每小时行驶60 km ，一列快车从B 站出发，每小时行驶80km ，问：两车沿BA 方向相向而行，快车开出后多少小时两车相遇?②同地不同时：甲的时间=乙的时间-时间差 甲的路程=乙的路程 例：甲乙两人同住一处，一天乙骑自行车到县城，速度为20 km/h ，出发3小时后，甲骑摩托车也去县城，速度为60 km/h ；如果路程足够远，问：甲经过多长时间能追上乙?③环形跑道上的相遇和追及问题： 这种问题有两种类型：同向和异向。
当同向出发时，相当于追及问题； 当异向出发时，相当于相遇问题．假设甲、乙两人同时从A 地出发，同向而行，则快者第一次追上慢者时，快者比慢者多跑一圈路程，即S 甲-S 乙=1圈长假设甲、乙两人同时从A 地出发，异向而行，则两人第一次相遇时，两人所走路程之和等于一圈长，即S 甲+S 乙=1圈长例：甲、己两人环湖散步，环湖一周是400m ，甲每分钟走80m ，乙速是甲速的45。
3.1第三章一元一次方程(章节讲义)
一元一次方程章节讲义一、本章相关知识点(一)、一元一次方程的基本概念1、方程：含 的等式．．叫做方程. 2、方程的解：使方程的等号左右两边相等的 ，就是方程的解。
3、解 方 程：求． 的过程叫做解方程．．．。
4、一元一次方程:只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次数是．．．．．1．的整式方程叫做一元一次方程。
5、▲等式的基本性质·等式的性质1：等式的两边同时加（或减） （ ），结果仍相等。
即：如果a =b ，那么a ±c =b 。
等式的性质2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。
即：如果a =b ，那么ac =bc ； 或 如果a =b （ ），那么a/c =b/c 6、△分数的基本的性质分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：b a=bm am =mb ma ÷÷（其中m ≠0）（二）、【解一元一次方程的一般步骤】1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。
（三）、一元一次方程与应用问题及实际问题初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系1、行程问题·基本量及关系：路程=速度×时间时间路程速度= 时间=速度路程[典型问题]·相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离 ·追及问题中的相等关系：追及者的行程－被追者的行程=相距的路程 ·顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V 静＋风（水）速 逆速=V 静－风（水）速2、销售问题·基 本 量：成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率） ·基本关系：利润=售价－成本、亏损额=成本－售价、成本利润利润率=、成本亏损额亏损率=利润=成本×利润率 亏损额=成本×亏损率3、工程问题·基本量及关系：工作总量=工作效率×工作时间工作效率工作总量工作时间=、工作时间工作总量工作效率=4、分配型问题此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。
《一元一次方程的应用》PPT课件(第1课时)
课堂小结
列方程解应用题的步骤：
（1）审题，找等量关系 （2）设未知数 （3）列方程 （4）解方程 （5）写出答案
在和、差、倍、分问题中，量与量之间都存在着关系式： 各分量之和=总量.
知识讲解
某湿地公园举行观鸟节活动，其门票价格如下：
全价票 半价票
20元/人 10元/人
该公园共售出1200张门票，得总票款20000元， 问全价票和半价票各售出多少张？
知识讲解
分析题意可得此题中的等量关系有： 全价票数＋_半__价__票__数_＝1200张； _全__价__票__款_＋半价票款＝_2_0_0_0_0_元__．
随堂训练
4. 小明和小东各有课外读物若干本，小明课外读物的数 量是小东的2倍，小明送给小东10本后，小东课外读物的数 量是小明的3倍，求小明和小东原来各有课外读物多少本．
解：设小东原来有课外读物x本，则小明原来有课外读 物2x本，由题意，得
3(2x－10)＝x＋10
解得x＝8，2x＝16. 答：小明原来有课外读物16本，小东原来有课外读物8本．
英语课件： . /kejian/yingyu/ 美术课件： . /kejian/meishu/
科学课件： . /kejian/kexue/ 物理课件： . /kejian/wuli/
化学课件： . /kejian/huaxue/ 生物课件： . /kejian/shengwu/
地理课件： . /kejian/dili/
根据题意，得 15%x=x-170 解这个方程，得 x=200 答：七年级共有200名同学参加这次 公益活动。
两种思路所反映的等量关系相同，都是利用七年级学生的人数 是不变量来列方程
知识讲解
运用方程解决实际问题的一般过程是: 1.审题:分析题意,找出题中的已知量、未知
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一元一次方程的应用讲义
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
（1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；
（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；
（3）设：设未知数（一般求什么，就设什么）；
（4）列：根据相等关系列出需要的代数式，从而列出方程；
（5）解：解所列的方程，求出未知数的值；
（6）检：检查所求解是否符合题意；
（7）答：写出答案（包括单位名称）.
水箱变高了
长方形的周长=_________，面积=__________ ．
长方体的体积=_________，正方体的体积=__________．
圆的周长=___________；面积=_______________．圆柱的体积=_______________．例：把直径6cm ，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢，求锻造后的圆钢的长？
这个问题中的等量关系是：
解：设锻造后圆钢的高为x 厘米，填写下表：
随堂检测：
将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？
这个问题中的等量关系是：
设锻压后圆柱的高为x 厘米，填写下表：
例：用一根250cm 长的铁丝恰好能围成一个长方形，且长方形的长比宽多25cm,求长方形的宽？ 等量关系：
随堂练习：
用一根长为60cm 的铁丝围成一个长方形，若长方形的宽是长的3
2
，求这个长方形的长和宽？
打折销售
（1）进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价）
（2）售价：在销售商品时的售出价（有时称成交价，卖出价）
（3）标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价）
（4）利润：在销售商品的过程中纯收入即：利润=售价－进价
（5）利润率：利润占进价的百分率，即：利润率=利润÷进价×100%
（6）打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称打了几折，或理解为：销售价占标价的百分率。
例如某种服装打8 折即按标价的百分之八十出售。
必会公式
（1
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
例：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，以8 折(即按标价的：80%)优惠卖出,结果每件仍获利15 元，这种服装每件的成本是多少元?
这15 元的利润是怎么来的?
我们知道，每件商品的利润是商品售价与商品成本价的差。
如果设每件服装的成本价为X 元，那么：
每件服装的标价为：（1＋40％）x
每件服装的实际售价为：（1＋40％）x 80%
每件服装的利润为：（1＋40％）x 80%－x
由此,列出方程：（1＋40％）x 80%－x＝15
解方程,得X= 。
答：每件服装的成本价是元。
基础公式练习
1、佳佳电脑城为了促销，进行6折酬宾活动，电脑每台标价5000元，则折
后售价为每台_____元.
2、惠民服装店新进了一批品牌服装，进价每件100元，售价180元，则每
件衣服的利润为＿＿元，利润率是＿＿．
3、某商品的利润是50元，售价是150元，则进价是_____元，利润率为______.
4、某商品的进价为1000元，利润率为30%，则利润为_____元.
5、服装店今天卖出了一件衣服，售价120元，利润率为20%，你能算出进
价为多少吗？
例题讲解：
1、某商店因价格竟争,将某型号彩电按标价的8折出售，此时每台彩电的利润率是5%。
此型号彩电的进价为每台4000元，那么彩电的标价是多少？
2、某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25 % ，另一件亏损25 % ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
练习：
1、某商品的进价为250元，按标价的9折销售时，利润率为15.2%，商品的标价是多少？
2、某商品的进价为200元，标价为300元，打折销售时的利润率为5%，此商品按几折销售的？
课堂检测
(1)一件衣服的进价为50元,售价为60元,利润是____元,利润率是______
(2)一件衣服的进价为50元,售价为80元,若按原价的8折出售,利润是___元,利润率是________.
3、某商店以每件60元的价格卖出一件衣服,盈利25%,这件衣服的进价是多少?利润是多少?
4、一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为每件360元，则每件服装获利（）
A．168元B．108元C．60元D．40元
5、．某商店有两个进价不同的计算器都卖了135元，其中一个盈利25%，另一个亏本25%，在这次买卖中，这家商店( )
A.不赔不赚
B.赚了9元
C.赚了18元
D.赔了18元
6．一家商店把某商品按标价的九折出售仍可获利15%，若该商品的进价是35元，若设标价为x元，则可列得方程（）
A. 90%35
15%
35
x-
= B.
9%35
15%
35
x-
=
C. 90%35
15%
x
x
-
= D.
9%35
15%
x
x
-
=
课后作业
1、一件上衣进价为80元，以100元售出，其利润为元，利润率为元，一台彩电进价为1000元，为获得10%的利润率，售价为元
2、标价为200元的服装以八折销售，现在购买需要元，利润元
3、小红以八折的优惠价买了一件牛仔裤，省了25元，设这件牛仔裤的原价为x 元，可列方程为解得原价为元，售价为元
4、商场将一款冰箱按原价的八折销售，仍可获得利润20%，若该冰箱的进价为2000元，则标价为多少元？
14、（1）元旦节日期间，百货商场为了促销，对某种商品按标价的8折出售，仍获利160
元，若商品的标价为2200元，那么它的成本为（）
A、1600元
B、1800元
C、2000元
D、2100元
（2）商场将某种商品按标价的八折出售，仍可获利90元，若这种商品的标价为300元，则该商品的进价为（）。
A. 330元
B. 210元
C. 180元
D.150元
（3）一件商品按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元。
设这件商品的成本价为x元，则可列方程：_______________．
15、某种产品，商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进货价为（）。
A．80元B．85元C．90元D．95元
16、文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，第一台盈利20％，另—台亏本20％，则本次出售中，商场( )
A.不赚不赔B．赚160元C．赚80先 D. 赔80元
●希望工程
1、我校初一所有学生参加2011年“元旦联欢晚会”，若每排坐30人，则有8人无座位；若每排坐31人，则空26个座位，则初一年级共有多少名学生？
2、星星果汁店中的A种果汁比B种果汁贵1元，小彬和同学要了3 杯B种果汁、2杯A种果汁，一共花了16元。
A种果汁、B种果汁的单价分别是多少元？
●追赶小明
1.小李和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60米，小刚每分走
90米，几分钟后两人相遇？
2.小明和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，小刚每分走
80米，小明每分走多少米？
3.王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行，王强每分行60米，赵文每分行80米，
王强出发3分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？
4.两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时
后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？
5、 A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是( )
A. 2
B. 2或10
C. 2.5
D. 2或2.5。