机器人学数学基础

（ 2.3）
a×b =
ijk
ax ay az bx by bz
（2.4）
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2.2 点齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v a i b j c k 式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
为 kz sin , k w 在y轴上的投影为 jy sin ， k w 在z轴上的投影为
kz cos ，所以有：
z
ix i
ix jv
ix
kw
W'
R(x, ) jy i jy jv jy kw
w
kz i kz jv kz kw
V'
1 ix iu0
0
0
c os sin
0
sin cos
U'
u
x
O'
o
图 2-5
vy
方向余弦阵大家好
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z
三个基本旋转矩阵:
同理：
1 0
0
R(x,)0 cos sin
0 sin cos
cos 0 sin
R（y,) 0
1
0
sin 0 c os
W'
w
O'
o
u x
U'
z w
W'
c os -sin 0
R（z,)sin c os 0
o
O'
0 0 1
u
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x
U'
vy
P点在ΣO´uvw中是不变的仍然
Pw P
成立，由于ΣO´uvw回转，则：
v
o
Pv
y
P x P uv ixw ix(P u iu P vjv P w k w )
(O ')
P y P uvjy w jy(P uiu P vjv P w k w ) x P z P uvjz w jz(P u iu P vjv P w k w )
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在欧几里得（或称笛卡尔）空间里描 述2D/3D 几何物体是很理想的，但在投 影空间里面却并不见得。
我们用 (x, y) 表示笛卡尔空间中的一 个 2D 点，而处于无限远处的点 (∞,∞) 在 笛卡尔空间里是没有意义的。投影空间 里的两条平行线会在无限远处相交于一 点，但笛卡尔空间里面无法搞定这个问 题（因为无限远处的点在笛卡尔空间里 是没有意义的），因此数学家想出齐次 坐标这个点子来了。
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[例]：
V 3 i 4 j 5 k
可以表示为：
V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T
或 V=[-12 -16 -20 -4]T
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• 齐次坐标与三维直角坐标的区别
• V点在ΣOXYZ坐标系中表
示是唯一的（x、y、z）
z
• 而在齐次坐标中表示可 以是多值的。不同的表 示方法代表的V点在空间 位置上不变。
考坐标系 Oxyz做如下运动：① R（x, 90°）；② R(z, 90°)；③ R(y,90°)。求点 Po'uvw在固定参考坐标系 Oxyz下 的位置。 解1：用画图的简单方法
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解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2
反过来： Puvw R1Pxyz
R1 R* det R
由刚体的等距变换可知： pT xypzxyzpuTvw puvw
将上式代入，可得： RTRI
R为正交矩阵。
R为 R的伴随 deR 矩 为 t R的 阵行 ，列R 式 是， 正由 交
因R 此 1RT
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由图可知，jv 在y轴上的投影为 jy cos ， jv 在z轴上的投影
X = x/w Y = y/w
笛卡尔坐标中的点 (1, 2) 在齐次坐标中就是 (1, 2, 1) 。如果这 点移动到无限远(∞,∞)处，在齐次坐标中就是 (1, 2, 0) ，这样我 们就避免了用没意义的"∞" 来描述无限远处的点。
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点 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 对应笛卡尔坐标中的同一点 (1/3, 2/3)。 任意数量积的(1a, 2a, 3a) 始终对应于笛卡尔坐标中的同一 点 (1/3, 2/3)。因此这些点是“齐 次”的，因为他们始终对应于笛 卡尔坐标中的同一点。换句话说 ，齐次坐标描述缩放不变性（ scale invariant）。
运动学逆问题---已知操作机杆件的几何参数，给定操作 机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位 置），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？ 如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的 条件？
杆件参数
关节角
运动学正问题 杆件参数
末端执行器
关节角
运动学正问题
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研究的对象
• 机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式 串联机器人，另外一种是并联机器人。
a
u
H y
v = ai + bj + ck
x
通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、
y、z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，
z
0
图2.1 点向量的描述
即
v = [ x y z w ]T
其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。
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已知两个向量
a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k
v' vy
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2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式旋转变换：
Px
0Pu
Py
R
0
Pv
Pz 1
0
0
0
0 1
Pw 1
Pu
0Px
Pv
R1
0Py
Pw 1
0
0
0
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10P1z
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• 2.2.3 合成旋转矩阵:
例1：在动坐标中有一固定点 P'uov1 w231 T，相对固定参
• 给每个关节指定一个参考坐 标系，然后，确定从一个关 节到下一个关节（一个坐标 系到下一个坐标系）来进行 变换的步骤。如果将从基座 到第一个关节，再从第一个 关节到第二个关节直至到最 后一个关节的所有变换结合 起来，就得到了机器人的总 变换矩阵。
• D-H模型表示了对机器人连 杆和关节进行建模的一种非 常简单的方法，可用于任何 机器人构型，而不管机器人 的结构顺序和复杂程度如何。 它也可用于表示已经讨论过 的在任何坐标中的变换，例 如直角坐标、圆柱坐标、球 坐标、欧拉角坐标及RPY坐 标等。另外，它也可以用于 表示全旋转的链式机器人、 SCARA机器人或任何可能的 关节和连杆组合。
i u 、j v 、k w 为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，
w
P
则P点在Σoxyz中可表示为：
o
v
(O ')
y
Pxy z PxixPyiyPziz
P P 大u家vw好
xyz
Hale Waihona Puke u21x• 当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系
Σoxyz中的位置
z
w
已知： P uv wP uiuP vjuP wkw
列矩阵 x
x a=
y , b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器大人家好的运动分析中，总是取w=113。
为什么引入齐次坐标？
在欧几里得几何空间 里，两条平行线永远 都不会相交。但是在 投影空间中，如右图 中的两条铁轨在地平 线处却是会相交的， 因为在无限远处它们 看起来相交于一点。
上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述 结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：
Px
Py
R44
Pz 1
Pu
Pv
P1w
R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：
R 4 4 R （ y ,)R (z ,)R (x ,)
定义1： 当动坐标系 O'uvw绕固定坐标系 Oxyz各坐标轴顺序有限次
转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。
注意：旋转矩阵间不可以交换大家好
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z
• 平移齐次变换矩阵
c
1 0 0 a HTran(sabc) 0 1 0 b
0 0 1 c 0 0 0 1
w′
o′ u′
v′
b
a x
o
y
因此对向量 u = [ x y z w ]T，经H变换为向量v可表示为
x + aw
x/w+a
y + bw
y/w+b
z + cw
z/w+c
w
1
注意：平移矩阵间可以交换，
平移和旋转矩阵间不可大以家交好 换
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2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵