培优 易错 难题二次函数辅导专题训练附答案解析
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;
(3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)9
4
;(3)点P(1,0)或(2,﹣1);(4)M(2,﹣
3).
【解析】
试题分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解;
(2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答;
(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可;
(4)根据抛物线的对称性可知MA=MB,再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时,|MA﹣MC|最大,然后利用待定系数法求出直线BC的解析式,再求解即可.
试题解析:解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),
∴
930
10
b c
b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
,解得
4
3
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
(2)令x=0,则y=3,∴点C(0,3),则直线AC的解析式为y=﹣x+3,设点P(x,x2﹣4x+3).∵PD∥y轴,∴点D(x,﹣x+3),∴PD=(﹣x+3)﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=﹣
(x﹣3
2
)2+
9
4
.∵a=﹣1<0,∴当x=
3
2
时,线段PD的长度有最大值
9
4
;
(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,此时,点P(1,0),②∵y=x2﹣4x+3=(x ﹣2)2﹣1,∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣1).∵A(3,0),∴点P为在抛物线顶点时,∠PAD=45°+45°=90°,此时,点P(2,﹣1).
综上所述:点P(1,0)或(2,﹣1)时,△APD能构成直角三角形;
(4)由抛物线的对称性,对称轴垂直平分AB,∴MA=MB,由三角形的三边关系,|MA﹣MC|<BC,∴当M、B、C三点共线时,|MA﹣MC|最大,为BC的长度,设直线BC的解析
式为y=kx+b(k≠0),则
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
,解得:
3
3
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
,∴直线BC的解析式为y=﹣
3x+3.∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2,∴当x=2时,y=﹣3×2+3=﹣3,∴点M (2,﹣3),即,抛物线对称轴上存在点M(2,﹣3),使|MA﹣MC|最大.
点睛:本题是二次函数综合题,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,二次函数的对称性以及顶点坐标的求解,(2)整理出PD的表达式是解题的关键,(3)关键在于利用点的坐标特征作出判断,(4)根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键.
2.已知,点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围.
(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(1
4
,y1),D(
3
4
,y2)
都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.
【答案】(1)点M在直线y=4x+1上;理由见解析;(2)x的取值范围是x<0或x>
5;(3)①当0<b<1
2
时,y1>y2,②当b=
1
2
时,y1=y2,③当
1
2
<b<
4
5
时,y1<
y2.
【解析】
【分析】
(1)根据顶点式解析式,可得顶点坐标,根据点的坐标代入函数解析式检验,可得答案;(2)根据待定系数法,可得二次函数的解析式,根据函数图象与不等式的关系:图象在下方的函数值小,可得答案;
(3)根据解方程组,可得顶点M的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案.【详解】
(1)点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,
∴M的坐标是(b,4b+1),
把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,
∴点M在直线y=4x+1上;
(2)如图1,
直线y=mx+5交y轴于点B,
∴B点坐标为(0,5)又B在抛物线上,
∴5=﹣(0﹣b)2+4b+1=5,解得b=2,
二次函数的解析是为y=﹣(x﹣2)2+9,
当y=0时,﹣(x﹣2)2+9=0,解得x1=5,x2=﹣1,
∴A(5,0).
由图象,得
当mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1时,x的取值范围是x<0或x>5;
(3)如图2,
∵直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于F,
A(5,0),B(0,5)得
直线AB的解析式为y=﹣x+5,
联立EF,AB得方程组
41
5 y x
y x
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
,
解得
4
5
21
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
,
∴点E(4
5,
21
5
),F(0,1).
点M在△AOB内,
1<4b+1<21
5
,