数列极限和数学归纳法练习(有-答案)

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第6章数列与数学归纳法(6.4-6.8)

6.4数学归纳法例题精讲【例1】用数学归纳法证明22>n n ,5n N n ∈≥,则第一步应验证n = ．【参考答案】n =5（注：跟学生说明0n 不一定都是1或2，要看题目）【例2】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（）A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；B ．若4)2(<f 成立，则1)1(<f 成立；C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立；D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立．【参考答案】B【例3】用数学归纳法证明命题：若n 是大于1的自然数，求证：n n <-++++12131211Λ，从k 到+1k ，不等式左边添加的项的项数为．【参考答案】当k n =时，左边为1214131211-+++++k Λ．当1+=k n 时，左边为1212211212112141312111-+++++++-++++++k k k k k ΛΛ．左边需要添的项为121221121211-+++++++k k k k Λ，项数为k k k 212121=+--+．【例4】用数学归纳法证明：422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．【参考答案】当=1n 时，8545353361224=+=+++n n 能被14整除．假设当k n =时原命题成立，即422135n n +++能被14整除*n N ∈（）．当1+=k n 时，原式为4(1)22(1)1442221353355k k k k +++++++=⋅+⋅4422121423(35)5(35)k k k +++=+--44221213(35)565k k k +++=+-⋅．422135n n +++能被14整除，56也能被14整除，所以上式能被14整除，所以当1+=k n 时原命题成立．综上所述，原命题成立．【例5】是否存在常数,a b 使得()()2112233413n n n an bn +⨯+⨯+⨯+++=+L 对一切正整数n 都成立？证明你的结论．【参考答案】先用1n =和2n =探求1,2a b ==，再用数学归纳法证明【例6】若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n n nαααααα=L ．【参考答案】① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=过关演练1．等式22222574123 (2)n n n -+++++=（）．A ． n 为任何正整数时都成立B ．仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立． 2．用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为．3．利用数学归纳法证明“对任意偶数*()n n N ∈，nna b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是．4．若*1111...()23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明*21(2,)2n nS n n N >+≥∈，n 从k 到1k +时，不等式左边增加的项为． 5．若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ ．6．利用数学归纳法证明22nn >，第一步应该论证． 7．数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（*n N ∈）时，当n 从k 到1k +时等式左边增加的项为；等式右边增加的项为． 8．用数学归纳法证明：221(1)n n a a ++++可以被21a a ++整除（*n N ∈）．9．用数学归纳法求证: （1）(1)123 (2)n nn +++++=；（2）222123+++ (2)1(1)(21)6n n n n +=++；（3）333123+++ (3)221(1)4n n n +=+． 10．在数列{}n a 中，已知111,6(123...)1n a a n +==+++++，*n N ∈，若数列{}n a 前n项和为n S ，求证：3n S n =．6.5数学归纳法的运用例题精讲【例1】已知11=a ，)(*2N n a n S n n ∈=（1）求5432,,,a a a a ；（2）猜想它的通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明【参考答案】解：（1）151,101,61,315432====a a a a （2）)1(2+=n n a n ，证明：（1）当n=1时，11=a 成立；（2）当n>1时，假设n=k 时，命题成立，即)1(2+=k k a k ，则当n=k+1时，⇒+=++121)1(k k a k S )2)(1(2222]1)1[(2221122++=+•+=+=⇒-+=++k k k k k k k k a k a a k a k k k k k 综上所述，对于所有自然数*N n ∈，)1(2+=n n a n 成立。

数列1

1，1，1，1， · · ·.
2 1 . 41421
（4）
（5）
（6）
定义：
按一定顺序排列的一列数叫数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，· · · · · · ，第n项， · · · · · · 。
根据数列的定义知数列是按一定顺序排列的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但次序不同，则不是同一数列。
1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 6 .
（2）在通项公式中依次取n=1，2， 3，4，5，得么数列a n 的前5项为
－1，2，－ 3，4，－ 5.
例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：
作业：
P46 习题十七 1、2。
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石器时代定义：使用磨制石器为主的时代叫做新石器时代 [1] ，属于石器时代的后期，年代大约从1.8万年前开始，结束时间从距今 5000多年至2000多年不等。在新石器时代的人类已经会使用陷阱捕捉猎物。这个时期，人类开始从事农业和畜牧，将植物的果实加以播种，并把野生动物驯服以供食用。人类不再只依赖大自然提供食物，因此食物的来源变得稳定。同时农业与畜牧的经营也使人类由逐水草而居变为定居下来，节省下更多的时间和精力。在这样的基础上，人类生活得到了更进一步的改善，开始关注文化事业的发展，使人类开始出现文明。
第六章
数列、极限、数学归纳法
一数列
6、1 数列
1，2，3，4，5，· · ·n， · · · .（1）
1，，，，，· · · ，· · ·. （2）

数列、极限、数学归纳法

数列、极限、数学归纳法考试内容数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式．数列的极限及其四则运算．数学归纳法及其应用．考试要求（1）理解数列的有关概念．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．（3）理解等比数列的概念．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题．（4）了解数列极限的意义．掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限．（5）了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题．复习建议本讲内容包括数列、极限与数学归纳法三个部分 1．数列的知识要点：（1）理解数列的定义、表示法、数列的分类．理解数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N （或它的有限子集｛1，2，3，…，n ，…｝）上的函数f （n ），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f （1），f （2），f （3），…，f （n ），…．数列的图象是由一群孤立的点构成的．（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本章内容一个重点，要认真掌握之．即a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n ．特别要注意的是，若a 1 适合由a n ＝S n －S n －1（n ≥2）可得到的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．2．等差数列的知识要点：（1）掌握等差数列定义a n ＋1－a n ＝d （常数）（n ∈N ），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a 3－a 2＝a 2－a 1＝d （常数）就说｛a n ｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列．还可由a n ＋a n ＋2＝2 a n ＋1 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n 来判断．（2）等差数列的通项为a n ＝a 1＋（n －1）d ．可整理成a n ＝a n ＋（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合．（3）对于A 是a 、b 的等差中项，可以表示成2 A ＝a ＋b ．（4）等差数列的前n 项和公式S n ＝21n a a +·n －na 1＋2)1(-n n d ，可以整理成 S n ＝2d n 2＋n da )2(1-．当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次式．3．等比数列的知识要点：（可类比等差数列学习）（1）掌握等比数列定义nn a a 1+＝q （常数）（n ∈N ），同样是证明一个数列是等比数列的依据．也可由a n ·a n ＋2＝21+n a 来判断．（2）等比数列的通项公式为a n ＝a 1·q n －1．（3）对于G 是a 、b 的等差中项，则G 2＝ab ，G ＝±ab ．（4）特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q ＝1与q ≠1两类．当q ＝1时，S n ＝na 1．当q ≠1时，S n ＝qq a n --⋅1)1(1，S n ＝q q a a n -⋅-11．（5）对于数列求和．主要掌握以下几种方法：① 直接运用公式求和法；② 折项分组求和法；③ 倒序相加求和法；④ 错项相减求和法；⑤ 折项相消求和法． 4．数列极限知识要点：（1）应掌握数列极限的定义：对于数列｛a n ｝，如果存在一个常数A ，无论预先指定多么小的正数，都能在数列找到一项a n ，使得n ＞N 时，|a n －A |＜恒成立，则∞→n lim a n ＝A ，会用此定义证明简单数列的极限．（2）应掌握极限的运算法则．如果∞→n lim a n ＝A ，∞→n lim b n ＝B ，那么∞→n lim (a n ±b n )＝A ±B ；∞→n lim (a n b n )＝A ·B ；∞→n limnnb a ＝B A （B ≠0）．（3）当|q |＜1时，无穷等比数列多项和S ＝∞→n lim S n ＝qa -11． 5．数学归纳法知识要点：应理解数学归纳法是一种递推方法，它称两个步骤进行．第一步是递推的基础，第二步是递推的根据．二步缺一不可．关键是第二步推证必须合理使用归纳假设．应重点掌握猜证法，猜想是用不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法给予证明，形成一个完整的创造过程．数列极限数学归纳法综合练习题一、选择题（1）设2a ＝3，2b ＝6，2c＝12，则数列a ，b ，c （）A ．是等差数列而非等比数列B ．是等比数列而非等差数列C ．既是等差数列又等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列（2）等比数列{a n }，首项a 1＝1，公比q ≠1．若其中a 1，a 2，a 3依次是某等差数列的第1，2，5项，则它的公比q ＝（） A ．2 B ．3 C ．－3 D ．－2 （3）{a n }是等差数列，则下列关系式中正确的是（）A ．a 3·a 6≥a 4·a 5B ．a 3·a 6＞a 4·a 5C ．a 3·a 6≤a 4·a 5D ．a 3·a 6＜a 4·a 5（4）一个等比数列共有3n 项，公比q ≠1，它的前n 项的和记为S ，第二个n 项的和记为P ，第三个n 项的和记为Q ，则S ，P ，Q 间的关系是（）A ．P ＝SQB ．2P ＝S ＋QC ．P 2＝SQ D ．P ＝S ＋Q（5）在3和9之间插入两个数a ，b ，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则|a ＋b |的最小值是（）A ．445B ．6C ．2D ．0（6）∞→n limM a a n n=+-+111，当a ＞1时，M 的值是P ，当0＜a ＜1时，M 的值为Q ，则P ＋Q 的值是（）3A ．1＋a 1B ．1－a1 C ．1＋a D ．1－a（7）∞→n lim )11)(1(2)12(4321+---++-+-nn nn 的值是（）A ．0B ．1C ．－1D ．不存在（8）若f (n )＝1＋21＋31＋41＋…＋n1(n ∈N )，则代数式f (2n ＋1)－f (2n)（在不合并的情况下）共有 A ．1项 B ．n 项 C ．2n项 D ．2n －1项（9）∞→n lim （1－221）（1－231）（1－241）…（1－21n ）的值是（） A ．0B ．21C ．1D ．非以上答案（10）等比数列{a n }，a n ＞0，若a 3·a 9＝2，则a 1·a 2·a 3·…·a 11的值是（） A ．322 B ．32C ．64D ．非以上答案（11）若数列{a n }满足，a 1＝5，a n ＋1＝2221n n n aa a ++（n ∈N ），则其前10项的和S 10的值是（）A ．50B ．100C ．150D ．120（12）极限∞→n lim nn n )2()2(8421)2(11-+-++-+---+ 的值是（）A ．－6B ．6C ．3D ．－3二、填空题（13）等比数列{a n }，公比q ＞1，a 1＝b (b ≠0)，则∞→n limnna a a a a a a a +++++++876321＝____________．（14）等差数列{a n }，公差d ＞0，首项a 1＞0，若S ＝∑=+ni i i aa 111，则∞→n lim S ＝____________．（15）平面内有n （n ∈N ）条直线，它们两两相交但无三条直线交于一点，若其中k 条（1≤k ＜n ）直线将平面分为f (k )个区域，则f (k ＋1)－f (k )＝__________________．（16）若f (n )＝1＋2＋3＋…＋n （n ∈N ），则∞→n lim 22)]([)(n f n f ＝__________________．三、解答题（17）一个等差数列和一个等比数列，它们第一项之和等于－3，第三项之和等于1，第5项之和等于5，求等差数列的公差和等比数列的公比．（18）数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·2n＋b (n ∈N )，其中a 、b 是常数且a ≠0. （Ⅰ）若{a n }是等比数列，求a 、b 应满足的条件；（Ⅱ）当{a n }是等比数列时，求∞→n lim1+n nS S 的值．（19）数列{a n }的前n 项的和记为A n ，数列{b n }是首项b 1＝9，公差d ＝－2的等差数列，其前n 项的和记为B n ，且有b n ＝4+n A n. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）比较A n 与B n 的大小并说明理由．（20）等比数列{a n }，a n ＞0（n ∈N ），它的前n 项的和S n ＝80，a 1，a 2…，a n 中，最大的一项是54，且前2n 项的和S 2n ＝6 560，（Ⅰ）求数列的通项a n ＝f (n )；（Ⅱ）求∞→n limnnS a ．（21）{a n }是等差数列且它的公差d ≠0，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，（Ⅰ）求证点列：P 1（1，S 1），P 2（2，22S ），P 3（3，33S ）…，P n (n ，nS n )都在直线l 1上；（Ⅱ）过点Q 1（1，a 1），Q 2 (2，a 2)作直线l 2，l 2与l 1的夹角为θ，求证ta n θ≤42. （22）已知f (n )＝1＋21＋31＋…＋n1，（Ⅰ）若n ，m ∈N 且n ＞m ，求证f (n )－f (m )≥n mn -; （Ⅱ）用数学归纳法证明，当n ∈N 时，f (2n)＞2n ．5数列极限数学归纳法综合练习题答案一、（1）A （2）B （3）C （4）C （5）D （6）B （7）C （8）C （9）B （10）A （11）A （12）D 二、（13）1 （14）da 11（15）k ＋1 （16）2 三、（17）设等差数列的首项为a ，公差为d ；等比数列的首项为b 1，公比为q∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+5412341121111q b d a q b d a b a∵12)3(5=-+ ∴ ①＋③－2×②得b 1(q 4－2q 2＋1)=0，即b 1(q 2－1)2=0∵ b 1≠0，则q 2=1 ∴ q ±1将q =±1代入方程②得a 1＋2d ＋b 1=1 ④ ④－①得2d =4，则d =2 （18）（Ⅰ）a 1=S 1=2a ＋b∵ S n =a ·2n ＋b S n －1=a · 2n －1＋b (n ≥2) a n =S n －S n －1=a ·2n －1∵ {a n }是等比数列，首项为a ，公比为2∴ a 1=a 21－1=2a ＋b即 a ＋b =0⇒b =－a ≠0（Ⅱ）∵ S n =a · 2n －a ，S n ＋1=a · 2n ＋1－a∴ 1212lim )12()12(lim lim 111--=--=+∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n a a S S 21212211lim =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→n nn（19）（Ⅰ）b n =b 1＋(n －1)d =9＋(n －1)(－2) ∴ b n =－2n ＋11 ∵ 4+=n A b nn ，则A n =(n ＋4)b n∴ A n =(n ＋4)(－2n ＋11)=－2n 2＋3n ＋44. ∵ a 1=A 1=－2×1＋3×1＋44=45 当n ≥2时，a n =A n －A n －1=(－2n 2＋3n ＋44)－[－2(n －1)2＋3(n －1)＋44] =－4n ＋5 ∴ ⎩⎨⎧≥+-==)2(54)1(45时时n n n a n①② ③（Ⅱ）B 1=b 1=9，a 1=45，a 1＞b 1 B n =b 1＋b 2＋…＋b n =n n n n 102)1129(2+-=+-A n =a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n=45＋(－4)×2＋5＋(－4)×3＋5＋…＋(－4)n ＋5 =45＋(－4)(2＋3＋4＋…＋n )＋5(n －1)=－2n 2＋3n ＋44A n －B n =－2n 2＋3n ＋44－(－n 2＋10n )=－n 2－7n ＋44 =－(n －4)(n ＋11) ∵ n ∈N ，n +11＞0∴ n ＜4时，A n －B n ＞0，A n ＞B n n =4时，A n －B n =0，A n =B n n ＞4时，A n －B n ＜0，A n ＜B n （20）（Ⅰ）∵ a n ＞0，∴ a 1＞0且q ＞0，当0＜q ＜1时，数列是递减数列，a 1，a 2，a 3，…，a n 中，a 1=54最大.∵ S 2n =a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n +1＋a n +2＋…＋a 2n=S n ＋q n S n =80(1＋q n)=6560∴ 1＋q n =82，q n=81∴ q ＞1与0＜q ＜1矛盾 ∴ q ≥1当q =1时，na 1=82，2na 1=160≠6560 ∴ q ≠1∴ q ＞1，a 1，a 2，…，a n 中最大项a n∴ a n =a 1q n －1=54.∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=65601801211211q q a a S q q a a S nn nn ②÷①得，1＋q n=82，q n=81 ∴ a 1q n=81a 1⇒54q =81a 1 ③∴ 801548011111=--⇒=-⋅--qq a q q q a a n ④③与④联立解得：q =3，a 1=2∴ a n =2 · 3n －1（Ⅱ）S n =a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n=1331)31(2-=--n n ∴ 321332lim lim 1=-⨯=-∞→∞→n n n nn n S a① ②7（21）（Ⅰ）S 1=a 1，S 2=a 1＋a 2=2a 1＋d ∴ P 1(1，a 1)，P 2⎪⎭⎫⎝⎛+222,21d a ,021221121≠=--+=d a d a k p p则l 1的方程为y －a 1=)1(2-x d任取3≤k ≤n ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛kS k P k k ,∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=d k k ka S k 2)1(1，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+d k a k P k 21,1 代入l 1的方程，左d k a d k a 212111-=--+= 右=-=-=d k k d 21)1(2左 ∴ 点⎪⎭⎫⎝⎛k S k P k k ,（3≤k ≤n ）在直线l 1上. ∴ 点列P 1，P 2，…，P n 都在直线l 1上. （Ⅱ）设2,1211222121dk k d a a k k P P Q Q ===--== ∵ l 1与l 2的夹角是∴ d dd d d d d d d dd k k k k +=+=+=+=+-=+-=212222121tan 22222112θ∵22222=⋅≥+d dd d （等号在2=d 时成立） ∴ 42221tan =≤θ （22）（Ⅰ）f (n )－f (m ) ⎪⎭⎫⎝⎛++++-++++++=m n m 1312111131211 nm m 12111+++++=（共n －m 项）≥nm n n n n -=+++111 （等号在n =m ＋1时成立）（Ⅱ）证明：①n =1时，f (21)=1＋2321=＞21∴ n =1时，f (21) ＞21不等式成立. ②设n =k 时不等式成立，即f (2k) ＞2k ∵ 11211212131211)2(++++++++++=k kk k f ，比f (2k ) 多2k 项 ∴ 上述不等式两边加上kk k k 221221121++++++ ≥++++++++++++1121121221221121)2(k k k k kkk f项k k k k k 21112121212+++++++∴ 2121222221121)2(11+=+=+++++++k k k f k k k k k∴ 1211212131211+++++++++k k k ＞21+k 即 )2(1+k f ＞21+k∴ n =k ＋1时不等式也成立.由①②可知对任何自然数n ，f (2n)＞2n 说明：这个命题说明，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的极限是0，但其前n 项的和S n =1+n 13121+++ 都没有极限，因为n →∞时，2n→∞，n S n 2lim ∞→≥nn 2lim∞→→∞。

数列与数学归纳法专项训练(含答案)(新)

数列与数学归纳法专项训练1.如图，曲线2(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.4. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ）（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求)1(lim -∞→n b n n ．5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的6. （1（27. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*∈N n ，都有n n pa p S p -=⋅-)1(（p 为大于1的常数），并记nn n n n n n S a C a C a C n f ⋅⋅++⋅+⋅+=21)(2211 .（1）求n a ；（2）比较)1(+n f 与)(21n f pp ⋅+的大小*∈N n ；（3）求证：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅-+≤≤⋅---=∑1212111111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*∈N n ).8. 已知n N *∈，各项为正的等差数列{}n a 满足263521,10a a a a ⋅=+=，又数列{}lg n b 的前n 项和是()()11lg312n S n n n n =+--。

数列、极限、数学归纳法(下)

【例题解析】例1 完成下列各选择题（1）“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（） A.1个 B.2个C.3个D.4个（2）命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c(a ≠0)，则数列{a n }是等差数列；命题3：若数列{a n }的前n 项和S n =na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（） A.0个 B.1个C.2个D.3个（3）设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A.1 B.2 C.4 D.6 解析（1）四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知a n+1=a n ×21，a n+1<a n 未必成立，当首项a 1<0时，a n <0，则21a n >a n ，即a n+1>a n ，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c ∈R ，此时有ac b =2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac ，则成为不必要也不充分条件。

（2）上述三个命题均涉及到S n 与a n 的关系，它们是a n =⎩⎨⎧--,11n nS S a 时当时当21≥=n n正确判断数列{a n }是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。

上述三个命题都不是真命题，选择A 。

由命题1得，a 1=a+b ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(a －1)·a n －1。

10312数学归纳法与数列的极限(答案)

an c 充分接近于零，如果这个任意小的正数用来表示，那么当 n 充分大时，总有 an c 。
3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。 5.极限的运算性质性质：
1)如果 lim an A, lim bn B, 则
n x
(1) lim(an bn ) lim an lim bn A B.
q 1 0 C n q 1 2）几个重要极限： lim C C ; lim 0; lim q 1 n n n n 不存在 q 1或q 1
1
ak b lk l k k 1 ak n ak 1n a1n a0 lim 0 lk n b n l b n l 1 b l b l l 1 1 0 不存在 lk 6.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把 q 1 的无穷等比数列前 n 项和 Sn ，当 n 无穷增大时的极限叫做无
4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列 an 中的项无限趋近于一个常数 A，那么 A 叫做数列 an 的极限，或叫做数列 an 收敛于 A，记作 lim an A 。
n
注意点：1）只有无穷数列，当 n 趋近于无穷大时， an 无限趋近于某一常数；
2）对于数列 an ，当 n 无穷增大时， an 无限趋近于某一定值时 c ，是通过 an c 无限趋近于零来描述的。这里 an c 无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取 n 充分大以后，使
提示:| q | 1, 则 lim | q |n 0.极限问题的解题思路，很多时候就是想方设法拼凑出q值。
n
n
3 2n 1 1 (2)求 lim 2 2 2 . n n 1 n 1 n 1 解 : 原式 lim 1 3 (2n 1) n2 1 lim lim 1. 2 2 n n n 1 n 1 n 1 1 2 n 注意：和的极限要转化成极限和，和式的项数必须是有限的。

数列专题复习及答案

数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562*∈+=N n n na n ，则数列{}n a 的最大项是 2、在等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则101413a a -= 3、已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 4、数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列1{}1n a +是等差数列，则=11a 5、在数列{}n a 和{}n b 中，n b 是n a 与1n a +的等差中项，12a =且对任意n N *∈都有031=-+n n a a ，则数列{}n b 的通项公式为 ___ _______6、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为8、正数数列{}n a 中，已知12a =，且对任意的,s t N *∈,都有s t s t a a a ++=成立，则12231111n n a a a a a a ++++9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且42358,26a a a a -=+=，记2nn S T n =，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，n T M ≤都成立．则M 的最小值是__________ 10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,n n n a S a a a S →∞+++-=中，各项的和为且则实数1a 的范围11、设正数数列{}n a 的前n项和为n S ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有2n a t+=成立，若n nt →∞<，则实数t 的取值范围为12、数列{n a }的通项公式为12(12)1()(3,)3n n nn a n n N -*⎧≤≤⎪=⎨≥∈⎪⎩，则=∞→n n S lim13、已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则0121231nn n n n n a C a C a C a C ++++=14、数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2007a 的值为____15、在数列{}n a 中，如果对任意n N *∈都有211()n n n na a k k a a +++-=-为常数，则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）7.A S 8.B S 13.C S15.D S17、在等差数列}{n a 中，15100,517a a a >=，则数列}{n a 前n 项和n S 取最大值时，n的值为（）.12A .11B .10C .9D18、设}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（）.11A .17B .19C .20D19、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且56S S <,678S S S =>,则下列结论中错误的是（） .0A d < 7.0B a =95.C S S > 67.n D S S S 和均为的最大值20、已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于（）.A 55 .70B .85C .100D21、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OB ＝1200a OA a OC ＋，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S =（）.A 100 .B 101 .C 200 .D 20122、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（） .2A .3B .4C .5D三、解答题23、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，13n n n a S +=+，*n N ∈．（1）设3nn n b S =-，求{}n b 的通项公式；（2）若1n n a a +≥，*n N ∈，求a 的取值范围．24、数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和．（1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；25、数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中n N *∈；（1）设11,n n n b a a +=--{}n b 求证:数列是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项；（3）设分别为数列、n n T S {}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。

数列、级数和数学归纳法专项测试卷及答案解析

数列、级数和数学归纳法专项测试卷及答案解析一、选择题（每题2分，共10题）1. 设数列${a_n}$的通项公式为$a_n = 3n - 1$，则$a_5$的值是多少？A. 12B. 11C. 13D. 9正确答案：B2. 已知数列${b_n}$的前两项为$b_1 = 2$，$b_2 = 5$，且$b_n = b_{n-1} + b_{n-2}$，则$b_3$的值是多少？A. 6B. 7C. 8D. 9正确答案：C3. 若$a_1 = 1$，$a_{n+1} - a_n = 2n - 1$，则$a_7$的值是多少？A. 15B. 16C. 17D. 18正确答案：B4. 若$n$为正整数，且$a_n = a_{n-1} + 2n$，则$a_5$的值是多少？A. 19B. 21C. 23D. 25正确答案：D5. 若$a_n = \frac{n-1}{n+1}$，则$a_3$的值是多少？A. $-\frac{1}{2}$B. $\frac{1}{2}$C. $-\frac{2}{3}$D. $\frac{2}{3}$正确答案：B二、填空题（每题3分，共5题）1. 求等差数列${c_n}$的第11项，已知$a_1 = 2$，$d = 3$。

答案：$c_{11} = a_1 + 10d = 2 + 10 \times 3 = 32$2. 求等比数列${d_n}$的第5项，已知$a_1 = 2$，$q = 4$。

答案：$d_5 = a_1 \times q^{5-1} = 2 \times 4^4 = 128$3. 若级数$\sum_{k=1}^n a_k$的前$n$项和$S_n = 3n^2 + 6n$，则$a_7$的值是多少？答案：$a_7 = S_7 - S_6 = (3 \cdot 7^2 + 6 \cdot 7) - (3 \cdot 6^2 + 6 \cdot 6) = 119$4. 若级数$\sum_{k=1}^\infty b_k$的部分和$S_n =\frac{2}{n(n+1)}$，则$b_1$的值是多少？答案：由$S_n = \frac{2}{n(n+1)}$可得$b_1 = S_1 =\frac{2}{1(1+1)} = 1$5. 若级数$\sum_{k=1}^\infty c_k$的前$n$项和$S_n = \frac{n^2 + n}{2}$，则$c_{10}$的值是多少？答案：$c_{10} = S_{10} - S_9 = (\frac{10^2 + 10}{2}) -(\frac{9^2 + 9}{2}) = 55$三、判断题（每题2分，共5题）1. 数列{$a_n$}的通项公式为$a_n = n^2$，则$a_{10} = 100$。

19[1].数列、数列的极限、数学归纳法

数列及其极限、数学归纳法综合练习【例题精选】例1、写出下列数列的通项公式a n 。

①1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……;②a a a n n 11332==-+,.分析: ①将已知数列变形成 1 + 0, 2 + 1, 3 + 0, 4 + 1, 5 + 0, 6 + 1, 7－0, ……等,则 ()()a n n N n n=++-∈112。

②用递推形式给出的数列, 可以用写出前n 项后进行归纳, 也可直接推出。

方法一: a a a a a 1213233273219==-==-=,,, a a a a 4354325532163=-==-=,,则由a a a a 1232433123123123==+⨯=+⨯=+⨯,,,, a 54123=+⨯,…归纳 ()a n N n n =+⨯∈-1231。

方法二: 由()a a a a n n n n ++=--=-1132131,得 ∴{}a n -1是公比为3的等比数列, 首项为a 112-= ∴a a n n n n -=⨯=+⨯--12312311,即例2、求下列数列的前n 项和S n 。

①()()12345621222222222-----，，，…，，…n n ; ②111211231123，，，…，…，…+++++++n. 分析: (1)∵ ()()a n n n n =--=-+2124122 ∴()S n n n =-+++++4123…()()=-++=-+41221·n n n n n②∵()a n n n n n n =++++=+=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪1123212111… ∴S n n n =-+-+-++-+⎛⎝⎫⎭⎪211212131314111…=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+211121n n n 例3、①等差数列的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为。

②设{}a n 是由正数组成的等比数列, 公比q = 2, 且a a a a 12330302···…·=,那么a a a a 36930···…·的值为。

11级高二数学数列极限数学归纳法检测题及答案

成都七中高2011级《数列极限数学归纳法》测试题（满分150分，用时90分钟）命题人：张世永审题人：周莉莉一、选择题（每小题5分，共60分）1．lim n→∞2n 2＋3n ＋1n 2＋2的值为（） A ．2 B.0 C.1D.122．93lim 23-+-→x x x =（）A ．13B ．0C ．16D ．－163．f(x)=⎩⎨⎧3x+m ( x ≤0 )e x ( x ＞0 )，若lim x →0 f(x) 存在，则常数m 的值为( ) A. 0 B. -1 C. 1 D. e4．某个命题与正整数n 有关，若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（） A.当6=n 时，该命题不成立 B.当6=n 时，该命题成立 C.当4=n 时，该命题不成立 D.当4=n 时，该命题成立 5．若xx x x f x +-→20)1)((lim存在，则)(x f 不可能为（）Ａ．2x Ｂ．||x Ｃ．x Ｄ．x -6．已知数列{}n a 是由正数组成的数列，31=a ，且满足c a a n n lg lg lg 1+=-，其中2,1>>c n 且为整数，则n n nn n a a +---∞→1122lim 等于（） A. -1 B. 1 C.21 D. c17．()012n n nn C C C lim 1352n 1→∞++++++-＝( )A ．1B ．12C ．13D ．148．若1)11(21lim =---→xbx a x ,则常数b a ,的值为（） A.4,2=-=b a ， B. 4,2-==b a ， C. 4,2-=-=b a ， D. 4,2==b a 9．设n 棱柱有f(n)个对角面，则n+1棱柱的对角面的个数f(n+1)等于（） A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-210．若()f x 在0x =处连续，且0x ≠时，311()11x f x x +-=--，则(0)f =（）A.32-B.23- C.0 D.1 11．已知无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且lim(2)1n n S S →∞-=，则其首项1a 的取值范围（）Ａ．)0,1(-；Ｂ．)1,2(--；Ｃ．)0,2(-；Ｄ．)0,1()1,2(--- ；12．设,1132-+++++=n n q q q q a ,332211n nn n n n n a c a c a c a c A ++++= 且13<<-q ，则nnn A 2lim∞→的值为（） A.q 1 B. q-11 C. q D. q -1二填空题（每小题5分，共20分）13．若1lim()n n n a n →∞+-＝1，则常数a 的值=_________14．=--+-→)131(lim 21x x x x x . 15．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……试用 n 表示出第n 个图形的边数 ____________na .16．设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有_______. ,lim ,2的取值范围是则若成立t t a S a t tS nn n nn <+=∞→成都七中高2011级《数列极限数学归纳法》测试题答卷命题人：张世永审题人：周莉莉班级————————————— 学号姓名——————————————）13 １４１５１６三解答题（每小题14分，共70分）17．已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>x x ，其前n 项和为n S（1）求函数1lim )(+∞→=n n n S S x f 的解析式；（2）解不等式8310)(xx f ->．18．已知函数)1,)((ax R x x f ≠∈满足()2()ax f x bx f x ⋅=+，0≠a ，1)1(=f ；且使x x f 2)(=成立的实数x 只有一个。

数列的极限与数学归纳法

数列极限与归纳法例1、设{}n a 是等差数列，11=a ，前n 项和为n S ；{}n b 是等比数列，1<q ，其前n 项和为n T ，已知8lim ,12,2624=-==∞→n n T T S b a 。

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n P ，对一切自然数n ，有12211+=+++n n n a c b c b c b 成立，求n n n b P ∞→lim 。

例2、用数学归纳法证明：()()*∈-⋅+Nn n n1713能被9整除。

例3、在数列{}n a 、{}n b 中，4,211==b a ，且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列()*∈N n 。

（1）求432,,a a a 及432,,b b b ，由此猜测{}n a 、{}n b 的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：1251112211<++++++n n b a b a b a 。

例4、已知数列{}n a 满足条件()()()().,6,11121*+∈+==-+=-N n n a b a a n a n n n n n 。

（1）写出数列{}n b 的前4项；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在非零常数q p ,，使数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+q pn a n 成等差数列，若存在，求出q p ,满足的关系式；若不存在，说明理由。

例5、已知 ,,,321B B B 顺次为曲线()01>=x xy 上的点， ,,,321A A A 顺次为x 轴上的点，且均为 ,,,,1122111++∆∆∆n n n A B A A B A A OB 均为等腰直角三角形，其中 ,,,321B B B 均为直角的顶点，记n A 坐标为()()*∈N n x n ，0,。

（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）设n S 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x 1的前n 项的和，试比较()1lg +n S 和()1lg 21+n 的大小。

极限习题及答案：数学归纳法

数列通项及用归纳法证明不等式例一、在1与2间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这n+2个数成等比数列；又在1、2间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这n+2个数成等差数列．记.,21321n n n n b b b B a a a a A ．求：（1）数列}{n A 和}{n B 的通项；（2）当7 n 时，比较A n 与B n 的大小，并证明你的结论．分析：考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，,221123121 k n k n n n a a a a a a a a))(())()((121231212a a a a a a a a a a A n n n n n n.22,2)21(n n nn A2,,,,,,1321n b b b b 成等差数列，,3211 n b b.232)(1n n b b B n n所以数列}{n A 的通项22nn A ，数列}{n B 的通项.23n B n（2）,49,2,23,22222n B A n B A n n n n n n要比较n A 与n B 的大小，只需比较22nn B A 与的大小，也就是比较当7 n 时，n 2与249n 的大小．当n=7时，41110494949,12822 n n ，知.4922n n经验证，n=8,n=9时，均有2492n n 成立，猜想，当7 n 时有,4922n n下面用数学归纳法证明：（ⅰ）n=7时已证2492n n（ⅱ）假设)7( k k n 时不等式成立，即2492k k，好么].1)2()1[(49]12)1[(4949222222221 k k k k k k k k k,)1(49]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722 k k k k k k k k k 故21)1(,492 k k ．即1 k n 时不等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）当7 n 时，2492n n成立，即.,22n n n n B A B A说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例一、设数列}{n a 满足,,3,2,1,121 n na a a n n n（1）当21 a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；（2）当31 a 时，证明对所有的1 n ，有（ⅰ）;2 n a n （ⅱ）.2111111121 n a a a 分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．解：（1）由21 a 得,311212 a a a由,32 a 得,4122223 a a a 由43 a ，得.5133234 a a a由此猜想n a 的一个通项公式：).1(1 n n a n （2）（ⅰ）用数学归纳法证明： ①当213,11 a n ，不等式成立． ②假设当n=k时不等式成立，即2k a k ，那么，,31)2)(2(1)(1 k k k k k a a a k k k 也就是说，当1 k n 时，.2)1(1 k a k根据①和②，对于所有1 n ，有.2 n a n （ⅱ）由1)(1 n a a a n n n 及（ⅰ），对2k ，有,121)121(1)1(1111 k k k k k a k k a k a a k …….1)1(2122211211 a a a k k k k于是,2,21111111 k a a k knk ka a a111111111nk k a 2111121n k k a 111.213121221说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k 成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．数列与归纳法的综合题例一、设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n（Ⅰ）证明对任意;2)1(]2)1(3[51,101a a n n n n n nn（Ⅱ）假设对任意1 n 有1 n n a a ，求0a 的取值范围．分析：本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．证明：（Ⅰ）证法一：（1）当1 n 时，由已知0121a a ，等式成立．（ⅱ）假设当)1( k k n 等式成立，即].)1(2)1(3[5101a a a k k k k kk那么.2)1(]2)1(3[52323111a a a k k k k kkk kk].)1(2)1(3[510111a k k k k 也就是说，当1 k n 时，等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）可知证法二：如果设).3(2311 n n n n a a 用1123 n n n a a 代入，可解出.51a 所以}53{n n a 是公比的－2，首项为531 a 的等比数列．).()2)(5321(5310 N n a a n n n即.2)1(52)1(302a a n n nn n n（Ⅱ）解法一：由n a 通项公式.23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n)(1 N n a a n n ①（ⅰ）当 ,2,1,12 k k n 时，①式即为.)23()15()1(32022 k k a即为.51)23(51320k a ② ②式对 ,2,1 k 都成立，有.3151)23(5110 a（ⅱ）当 ,2,1,2 K k n 时，.)23()15()1(22012 k k a即为.51)23(51220 k a ③ ③式对 ,2,1 k 都成立，有.051)23(512120 a综上，①式对任意 N n 成立，有.3100 a故0a 的取值范围为)31,0(解法二：如果)(1 N n a a n n 成立，特别取2,1 n 有.031001 a a a.06012 a a a因此 .3100a 下面证明当3100 a 时，对任意 N n ，有.01 n n a a 由n a 通项公式,2,1,12)(51 k k a a n n ，时.02523222352332)(511101111 n n n n n n n n a a a（2）当 ,2,1,2 k k n 时，.023********)(5111111 n n n n n n n n a a a故0a 的取值范围为).31,0(判断证明过程的正误例试判断下面的证明过程是否正确：用数学归纳法证明：)13(21)23(741 n n n证明：（1）当1 n 时，左边＝1，右边＝1 ∴当1 n 时命题成立．（2）假设当k n 时命题成立，即)13(21)23(741 k k k则当1 k n 时，需证))(23)(1(21]2)1(3[)23(741 k k k k由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为1 k 的等差数列的前n 项和，其和为)23)(1(21)131)(1(21 k k k k ∴)( 式成立，即1 k n 时，命题成立．根据（1）（2）可知，对一切N n ，命题成立．分析：看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确．关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的．解：以上用数学归纳法证明的过程是错误的．在证明当1 k n 时等式成立时，没有用到当k n 时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求．第二步正确的证明方法是：假设当k n 时命题成立，即),13(21)23(741k k k 则当1 k n 时， )253(21)13()13(21]2)1(3[)23(7412 k k k k k k k]1)1(3)[1(21)23)(1(21 k k k k 即当1 k n 时，命题成立．说明：用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成缺一不可．尽管有些与正整数有关的命题用其它方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的．用数学归纳法证明等式例用数学归纳法证明nn n n n n 121112)12(1431211 分析：用数学归纳法证明一个与整数有关的命题，关键是第二步，要注意当1 k n 时，等式两边的式子与k n 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．证明：（1）当1 n 时，左边21211，右边21，赞美式成立．（2）假设当k n 时，等式成立，即.2121112)12(1431211k k k k k 则当1 k n 时， )22)(12(12)12(1431211 k k k k )22)(12(1212111k k k k k 11221121213121k k k k k k 221121213121k k k k k )1)(1(1)1(12)1(11)1(1k k k k k k即当1 k n 时，等式成立．根据（1）、（2）可知，对一切N n ，等式成立．说明：解题过程中容易将1 k n 时，等式右边错写为)1()1(12111 k k k k ，从而导致证明错误或无法进行．特别要注意等式右边的每一个式子都在随n 的变化而变化．利用数学归纳法证明正切等式例用数学归纳法证明)N ,2(tan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tann n n n n n分析：在由假设k n 时等式成立，推导当1 k n 时等式成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式，本题中涉及到两个角的正切的乘积问题，联想到两角差的正切公式的变形公式：1)tan(tan tan tan tan，问题就会迎刃而解．证明：（1）当2 n 时，左边222tan 1tan 2tan 1tan 2tan 右边222tan 1tan 22tan )tan 1(tan 22tan 2tan ，等式成立．（2）假设当k n 时，)N ,2(k k 等式成立，即k k k ktan tan tan )1tan(3tan 2tan tan 则当1 k n 时，)()1tan(tan tan tan )1tan(tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tank k k k k k k k 由k k k k k k tan )1tan(1tan )1tan(])1tan[(tan得1tan tan )1tan()1tan(tank k k k代入)( 式，得右边),1(tan )1tan(1tan tan )1tan(tan tank k k k k k即 )1tan(tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan k k k k).1(tan )1tan(k k这就是说，当1 k n 时等式成立．根据（1）、（2）可知，对任意N ,2n n ，等式成立．说明：灵活应用三角公式是解决三角问题常用的方法和技巧，恰当的应用公式是关键．如果应用公式cos sin tan来变形，本题就会出现困难．解决有关 tan tan ,tan tan 的式子时，经常要用到)tan( 展开式及其变形公式．利用归纳法证明整除问题例用数学归纳法证明：17)13( nn 能被9整除．)N (n ．分析：证明一个与n 有关的式子)(n f 能被一个数a （或一个代数式)(n g ）整除，主要是找到)1( k f 与)(k f 的关系，设法找到式子)(),(21k f k f ，使得)()()()1(21k f a k f k f k f ，就可证昨命题成立．证明：（1）当1 n 时，2717)13( k ，能被9整除，命题成立．（2）假设当k n 时，17)13( kn 能被9整除，当1 k n 时，17)]2718()13[(17]7)1(21[17]1)1(3[1 k k k k k k k k k k k 7)32(9]17)13[(]17)13[( k k 和k k 7)32(9 都能被9整除． k k k k 7)32(9]17)13[( 都能被9整除．即17]1)1(3[1k k 能被9整除．即当1 k n 时，命题成立．由（1）、（2）可知，对任何N n 命题都成立．说明：如果将1 k n 时，17]1)1[(1k k 变为673]17)13[(71 k k k 能被9整除，困难就大一些．本题也可用二项式定理把n7写成n)16( 展开后，再证明．用归纳法证明直线分割平面问题例平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明这n 条直线把平面分成)2(212n n 个部分．分析：用数学归纳法证明几何问题，主要搞清楚当1 k n 时比当k n 时，分点增加了多少个，区城增加了多少块，线段增加了多少条．本问题中第1 k 条直线与前k 条直线有k 个分点，平面区域增加了1 k 块．证明：（1）当1 n 时，平面被分成2部分．又2)211(212，命题成立．（2）假设当)N (k k n 时命题成立．即符合条件的k 条直线把平面分成)2(212k k 个部分．现在来考虑平面内有1 k 条直线的情况．任取其中的一条直线，记为l （如下图）图l 与其它k 条直线有k 个交点，平面区域增加了1 k 块，从而这1 k 条直线把平面分成了)1()2(212k k k )222(212 k k k ]2)1()1[(212 k k 根据（1）、（2）可知，命题对任何正整数都成立．说明：不能错误地认为第1 k 条直线被其它k 条直线分成k 段，区域增加了k 部分或2k 部分．证明有关几何问题，哪n 边形内角和公式，n 边形对角线条数公式，还要确定初始值0n 应为多少．由k n 到1 k n 时又是如何变化的．猜想并证明数列的通项例对于数列}{n a ，若.1),10(1111n n a a a a a a a a且（1）求422,,a a a ，并猜想}{n a 的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．分析：由已知条件，可直接求出422,,a a a 式，通过观察归纳，猜想出n a 的表达式，再用数学归纳法加以证明．解：（1）,1,1111nn a a a a a a)1(111112242112 a a a a a a aa a a a a a a)1(11)1(11242462422213 a a a a a a a a a a a a a a a同理可得)1(124624684 a a a a a a a a a 猜想)1(1111)1(122221222242222222 n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a （2）（ⅰ）当1 n 时，右边12241)1(1a aa a a a ，等式成立．（ⅱ）假设当k n 时)N (k ，等式成立，即)1(1222 k k k a a a a ，则当1 k n 时，1)1(1122221 k k k k a a a a a a a a )1()1()1)(1(2222222 k k k a a a a a a,)1(1)1(2)2(2 k k a a a 这就是说，当1 k n 时，等式也成立．根据（ⅰ）、（ⅱ）可知，对于一切N n ，)1(1222 n n n a a a a 成立．说明：这类题型是常见题型，尤其是用数学归纳法证明与递推关系有关系的命题时，依归纳假设证明当1 k n 时命题也成立时，除了用上假设之外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用．这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方．。

数列极限和数学归纳法练习(有-答案)

数列极限和数学归纳法练习(有-答案)数列极限和数学归纳法一、知识点整理：数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。

1、理解数列极限的概念：21,(1),nn n-等数列的极限 2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广 3、常见数列的极限：1lim 0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞==<=nn n n q q C C n4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-nn a S Sq q数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题（1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64整除，2438(1)9k k +-+-）229(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确；（2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。

二、填空题1、计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =_____3_____。

2、有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nV V V 21=+++∞→)(lim 21nn V V V 87. 3、20lim______313n n n →∞+=+134、数列的通项公式，前项和为，则=______32_______. 5、设{}n a 是公比为21的等比数列，且4)(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3 ．6、在等比数列{}na 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim nn a a a →∞+++=_16±______.7、数列{}na 的通项公式是13(2)--+=+-n n na，则)(lim 21nn a a a +++∞→ =___76____ . 8、已知数列{}na 是无穷等比数列，其前n 项和是nS ，若232aa +=，341a a +=，则lim nn S →∞的值为 163.9、设数列{}n a 满足当2na n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21(1)n a n +>+成立．下列四个命题：（1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若310a =，则525a >．（3）若255≤a ，则164≤a ．（4）若2(1)n a n ≥+，则21n a n +>．其中正确的命题是（2）（3）{}na *1 , 1()1 , 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩n nS lim nn S →∞（4） .（填写你认为正确的所有命题序号）10、将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为nS ，则=∞→nn S lim ___12________． 11、在无穷等比数列{}na 中，所有项和等于2，1则的取值范围是a ()()0,22,412、设无穷等比数列{}na 的公比为q ，若245lim()→∞=+++nn a a a a ，则15-+13、已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++nn C 23,12，其中n 为正整数，设nS 表示△ABC 的面积，则=∞→nn S lim ___2.5________．14、下列关于极限的计算，错误．．的序号___（2）___．（1）==（2）（++…+）=++…+=0+0+…+0=0 （3）（－n ）===；（4）已知=（15）已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b ∈R ，满足()22f =，()()()f ab af b bf a =+，记()()22,22nnnnnf f a b n==，其中*N n ∈．考察下列结论：①()()01f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③数列{}na 为等比数列；④数列{}nb 为等差数列.其中正确结论的序号有 ① ③ ④ ．二、选择题：16、已知,,若，则的值不可能．．．是… ………（（D ））（A ） . （B ）. （C ）. （D ）.17、若21lim 12n n r r+→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（（A ））（A ）1r ≤-或13r ≥- ；（B ）1r <-或13r >-；（C ）1r ≤-或13r >- ；（D ）113r -≤≤- 观察下列式子：，可以猜想结论为((C) ) .(A)；(B)(C)；(D)19、已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，nS 是数列{}na 的前n 项和（ (A ））0>a 0>b 11lim 5n n nnn a ba b++→∞-=-b a +78910 ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+<(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈(A ）lim nn a →∞和lim nn S →∞都存在； (B) lim nn a →∞和lim nn S →∞都不存在。

高中数学数列与极限练习题及参考答案

高中数学数列与极限练习题及参考答案以下是针对高中数学数列与极限练习题的练习题及参考答案：一、选择题1. 以下哪个数列是等差数列?A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：B2. 若数列 {an} 为等差数列，常数为 d，差为 a1 - a0，以下哪个不等式成立？A. a100 > a50 + 50dB. a100 > (a0 + a100)/2C. a100 > a50 + (50/2 - 1)dD. a100 > a50 + (50/2)d参考答案：D3. 以下哪个数列是等比数列？A. {1，2，4，8，16}B. {1，3，6，10，15}C. {1，4，9，16，25}D. {1，-2，4，-8，16}参考答案：A4. 给定 {an} 为等比数列，公比为 q，首项为 a0，以下哪个等式成立？A. a0 + a3 = a1 + a2B. a2q = a4C. a1 - a0 = (1 - q)a0D. a5 + a2 = a4 + a3q参考答案：D二、计算题1. 已知数列 {an}，其中 a0 = 1，a1 = 2，a2 = 4，求 a3 和 a4。

参考答案：a3 = 8，a4 = 162. 给出等比数列 {an}，其中 a1 = 2，a2 = 8，求公比 q。

参考答案：q = 43. 如果知道 {an} 是等差数列，a3 = 13，a6 = 28，求 a17。

参考答案：a17 = 674. 若 {an} 是等比数列，a3 = 20，a6 = 320，求公比 q。

参考答案：q = 4三、证明题1. 证明等差数列 {an} 的通项公式为 an = a0 + nd。

参考答案：通过递推法可得出 an = an-1 + d，即 {an - d} 为等差数列，且 a0 = a0 + 0d，故得证。

数列专题复习及答案

数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题l、已知a n=n E N*)'则数列忆｝的最大项是旷+1562、在等差数列{a J中，若a4+a6十Gio+ a12 = 90'则知0-—a l4=3、酰廿等比数列包｝，若Gi= l a5 = 4, 则a3的值为4、数列{a J中，a3= 2, a5 = l, 则数列｛｝是等差数列，则a ll=a n +l5、在数列{a J和｛九｝中，b n是a n与a n+I的等差中项，a1=2且对任意nEN*都有3a n+I -a n = Q , 则数列｛九｝的通项公式为6、设等差数列{a n}的公差d不为O,a1 = 9d, a k是a,与a2k的等比中项，则k=7、等差数列{a J的前n项和为S n,若S4�10,S5sl5,则a4的最大值为8、正数数列{a J中，已知a1= 2, 且对任意的s,t EN*, 都有a s+a t= a s+t成立，则1 1+ + +a l a2 a2a3 a n a n+I s9、等差数列{a J的前n项和为S n,且a4-a2 = 8,a3 + a5 = 26 , 记兀＝号－，如果存在正整数M,使得对一切正整数n,T n sM都成立．则M的最小值是10、已知无穷等比数列{a n}中，各项的和为s,且lim[3(a1+a尸+a n)—S]=4,则实n今OO数a l的范围11、设正数数列{a J的前n项和为S n,且存在正数t'使得对千所有自然数n,有寂=n a +t 成立，若lim 瓦< t'则实数t的取值范围为2 n➔ 00a n12、数列{a,)的通项公式为a,={�::3(1:::; n:::; 2)，则lirn s = n之3,n EN*) nn➔oo13、已知数列[a,}的通项三式为a,�2•-1+I, 则a立+a立+a立+a,, 立＝12a n 0:::;;a n<—)14、数列{a }满足a= 2 6n+l � l '若a l=—，则a2001的值为2a n -I —:::;;a n< I)7215、在数列{a J中，如果对任意nEN*都有a n+2—a n+l= k (k为常数），则称{a J为等a n+l -a n差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：(1)等差比数列的公差比一定不为0;(2)等差数列一定是等差比数列；(3)若a n=-3勹2,则数列{aJ是等差比数列；(4)若等比数列是等差比数列，则其公比等千公差比．其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列{a n}的公差为d,前n项的和为S n,当首项a l和d变化时a2+as+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A. s7B. SsC. s l3D. s l517、在等差数列{aJ中，Cli> 0, 5a5 = 17 a10 , 则数列{aJ前n项和凡取最大值时，n的值为（）A.12B.llC.10D.918、设{a n}为等差数列，若生)_<—1,且它的前n项和S n有最小值，那么当凡取得最小正值时，n=a l O（）A 11 B.17 C.19 D. 2019、等差数列{a n}的前n项和为S n,且Ss< S6, S6 = S1 > Ss,则下列结论中错误的是（）A d<O C. S9 > SB. a7 = 0D. S6和S7均为S n的最大值20、已知数列{a J、｛九｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为a l、b l'且a1+ b1 = 5, a1 ,b1 EN*. 设e n= a b,, (n E N勹，则数列{e n}的前10项和等千（）A. 55B. 70C.85D.10021、已知等差数列{a J的前n项和为S n,若OB=CliOA十生OO OC,且A,B,C三点共线（该直线不过原点0),则s200= c )A. 100B. 101C. 200D. 201A 7n+4522、已知两个等差数列{aJ和｛仇｝的前n项和分别为A n和B n,且_____!!.='则使B n+3a得二为整数的正整数n的个数是（b nA. 2三、解答题B. 3C. 4D. 523、设数列忆｝的前n项和为S n,已知a l=a'a n+I =凡+3n,n E N*.(1)设九＝凡_3n,求忱｝的通项公式；(2)若a＊n+I� 化，nEN,求a的取值范围．24、数列曰｝满足a 1=a , a 2 = -a (a > 0) , 且{a n }从第二项起是公差为6的等差数列，凡是{a n }的前n项和.(1)当n �2时，用a与n表示a n 与S n (2)若在s 6与趴两项中至少有一项是凡的最小值，试求a的取值范围；125、数列{aJ中，a l=—，点(n,2a n+l -aJ在直线y =x 上，其中nEN *2(1)设九=a n +l -a n -1, 求证数列｛九｝是等比数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)设S n 、Tn 分别为数列{a小｛九｝的前n项和，是否存在实数入，使得数列｛凡:入T"}为等差数列？若存在，试求出入；若不存在，则说明理由。

高中数学数列的求和、极限、数学归纳法训练题(含答案)

高中数学数列的求和、极限、数学归纳法训练题（含答案）一.选择题(1) 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=3，S 8=7，则S 12的值是( )A 8B 11C 12D 15 (2) 已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（）A 0B 3-C 3D23 (3) 数列1,(1+2),(1+2+22),…,( 1+2+22+…+2n-1+…)的前n 项和是( )A 2nB 2n -2C 2n+1- n -2D n·2n(4) 从集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝中任选三个不同的数，如果这三个数经过适当的排列成等差数列，则这样的等差数列一共有 ( )A 20个B 40个C 10个D 120个 (5) limn →∞2123nn ++++＝ ( )A 2B 4C 21D 0 (6) 如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( )A 5481a a a a >B 5481a a a a <C 1845a a a a +>+D 5481a a a a =(7)已知等差数列｛a n ｝与｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与T n , 若1223+-=n n T S n n , 则lim ∞→n bn b a 的值是 ( )A32 B 26C 23D 49 (8) lim ∞→n nnnn n n C C C C 22212210++++++++ 的值是 ( ) A 51 B 41 C 21 D 31 (9) 已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则)111(12312lim nn n a a a a a a -++-+-+∞→ = ( )A 2B 23C 1D 21(10) 已知数列{}n x 满足122x x =,()1212n n n x x x --=+,3,4,n =….若lim 2n n x →∞=,则( )Ａ32Ｂ３Ｃ４Ｄ５二.填空题(11) 在等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，a 5=3a 7，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n = . (12) 在等差数列｛a n ｝中，前n 项和为S n ，若S 19=31，S 31=19，则S 50的值是______ (13)在等比数列｛a n ｝中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log ｝前19项之和为_______(14)若a>0,且a ≠1, 则lim n →∞nna a +-123的值是 .三.解答题(15) 设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11为偶数21为奇数4nn n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩,记2114n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·．（I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（III ）求123lim()n n b b b b →∞++++(16) 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）2462n a a a a ++++的值.(17) 已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由..(18) 已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件：1211),...,4,3,2)((,a a n a f a a a n n ≠===-，)...,4,3,2)(()()(11=-=---n a a k a f a f n n n n ，其中a 为常数，k 为非零常数.（Ⅰ）令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，证明数列}{n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）当1||<k 时，求n n a ∞→lim .参考答案一选择题: 1.C[解析]：∵｛a n ｝等差数列，∴2(S 8 －S 4)= S 4＋(S 12－S 8)，且S 4=3，S 8=7，则S 12=122.B[解析]：已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则,0,3,3432==-=a a a 有规律的重复了，故20a =3-。

(十二)数列、极限、数学归纳法2008.11.26

（3）两个重要极限①∞→n lim c n 1=⎪⎩⎪⎨⎧不存在10 000<=>c c c ②∞→n lim r n =⎪⎩⎪⎨⎧不存在10 11||11||-=>=<r r r r 或 1.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 . （3）()111lim11nn a q a S q q→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q- (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理0lim ()x x f x a →=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限（1）1lim0n n→∞=，lim 0nn a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，011limx x xx →=.5.两个重要的极限（1）0sin lim1x x x→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).6.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x a b g x b→=≠.7.数列极限的四则运算法则若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).高考题回顾一.数列的极限1. 计算：112323lim-+∞→+-n nnn n =_________。

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