解析几何第二章 圆锥曲线
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考纲解读 知识框图 备考策略 考点整合 基础训练 典例导练 考径避陷 方法技巧 名校押题
1~6 6~9 10~12
例题备选
圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容, 在新课标高考中,客观题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何 性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用,以圆锥曲线与 二次方程的关系及其几何性质的探究作为命题源,展示圆锥曲 线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.解答题常作为压 轴题综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑 理等方面的能力.
+
by22=1(a>b>0)上的点中,横坐标x的取值范围是[-a
,a],纵坐标y的取值范围是[-b,b],|F1F2|=2c,若|PF1|+|PF2|<2c,则点
P的轨迹不存在,若|PF1|+|PF2|=2c,则点P的轨迹是线段F1F2.
(2)椭圆的对称轴为x轴和y轴,椭圆的对称中心为原点,对称
中心叫做椭圆的中心.
1.椭圆及其标准方程
(1)平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数Hale Waihona Puke Baidu大于|F1F2|)的点
的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭
圆的焦距.
x2 y2
x2 y2
(2)椭圆的标准方程是 a2 + b2 =1(a>b>0)和 b2+ a2=1(a>b>0).
(3)椭圆的标准方程中a、b、c之间的关系是a2=b2+c2.
【答案】8
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1~6 6~9 10~12
例题备选
4.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A、B为焦点,且过C、D两点
的椭圆的离心率为
.
【解析】根据题意c=2,2a=AC+BC=5+3=8,a=4,∴e=
c a
a2 1 =
a
1
1 a2
,由a>4,得0<
1 a2
1
<16
,∴
15 4
<
1 1 a2
<1,故
选D.
【答案】D
3.(2008年·浙江)已知F1、F2为椭圆2x52
y2
+9
=1的两个焦点,过F1的直线
交椭圆于A、B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=
.
【解析】依题意在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B| =12,∴|AB|=8.
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1~6 6~9 10~12
例题备选
5.位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题,是研究解 析几何的重点内容,常涉及直线与曲线交点的判定、弦长、 对称、共线等问题,其解法为充分利用解析几何知识以及韦 达定理、方程思想等.
=
1 2
.
【答案】
1 2
题型1 应用椭圆定义解题
例1 如图,已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( )
(A)圆.
(B)椭圆.
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1~6 6~9 10~12
3.轨迹问题.主要有三种类型;(1)曲线形状未定,其方程如 何求?(2)曲线形状已知,其方程如何求?(3)由曲线方程如何讨 论形状.基本方法有:直译法、定义法、代入法、交轨法、几 何法、参数法、极坐标法.
4.范围问题.解析几何问题中参数范围是近年高考又一 个命题热点,其解法通常依据题设条件建立含有参变量的函 数关系式或不等式,然后确定参数的取值范围.基本方法:定义 法、函数法、方程法、不等式法及几何法等.
(A)充分而不必要条件.
(B)必要而不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.
x2 y2
【解析】∵m>n>0,∴方程可表示为 1 + 1 =1⇒方程mx2+ny2=1表
mn
示焦点在y轴上的椭圆;方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆⇒ m>n>0.应为充要条件.
【答案】C
2.(2009年·开封质量检测)椭圆
(3)椭圆
x2 a2
+
by22=1(a>b>0)的四个顶点坐标是(-a,0)、(a,0)、(0
,-b)、(0,b),它们是椭圆与其对称轴的交点.
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1~6 6~9 10~12
例题备选
1.(2009年·陕西)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的 椭圆”的( )
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1~6 6~9 10~12
例题备选
(4)形如Ax2+By2=C的方程,只要A、B、C同号不为零,且A≠B,就
x2 y2
是椭圆方程,可化为标准形式: CA+ CB=1. 2.椭圆的简单几何性质
(1)椭圆
x2 a2
x a
2 2
+y2=1(a>4)的离心率的取值范围是
()
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1~6 6~9 10~12
例题备选
(A)(0,
15 16
).
(B)(0,
15 4
).
(C)(
15 16
,1).
(D)( 15 ,1).
4
【解析】e=
c a
=
6.最值问题.解析几何中的最值问题,是从动态角度去研 究数学问题的主要内容,因而备受高考命题组的青睐.其解法 通常是依题设条件,建立目标函数,然后再用最值方法.
§8.2.1 椭 圆
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1~6 6~9 10~12
例题备选
圆锥曲线问题的几大热点如下: 1.互化问题.曲线的参数方程与普通方程的互化解题,关 键是抓住互化的等价性,预测新高考中不会出大题及难题.
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例题备选
2.圆锥曲线基础题.主要是指考查下述问题:(1)圆锥曲线 的两种定义、标准方程、焦点、常见距离及其a、b、c、e、 p五个参数的求解;(2)讨论圆锥曲线的几何性质;(3)曲线的交 点问题,即直线与二次曲线和两圆的交点问题;(4)圆锥曲线的 对称性,一是曲线自身的对称性;二是曲线间的对称性.
1~6 6~9 10~12
例题备选
圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容, 在新课标高考中,客观题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何 性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用,以圆锥曲线与 二次方程的关系及其几何性质的探究作为命题源,展示圆锥曲 线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.解答题常作为压 轴题综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑 理等方面的能力.
+
by22=1(a>b>0)上的点中,横坐标x的取值范围是[-a
,a],纵坐标y的取值范围是[-b,b],|F1F2|=2c,若|PF1|+|PF2|<2c,则点
P的轨迹不存在,若|PF1|+|PF2|=2c,则点P的轨迹是线段F1F2.
(2)椭圆的对称轴为x轴和y轴,椭圆的对称中心为原点,对称
中心叫做椭圆的中心.
1.椭圆及其标准方程
(1)平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数Hale Waihona Puke Baidu大于|F1F2|)的点
的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭
圆的焦距.
x2 y2
x2 y2
(2)椭圆的标准方程是 a2 + b2 =1(a>b>0)和 b2+ a2=1(a>b>0).
(3)椭圆的标准方程中a、b、c之间的关系是a2=b2+c2.
【答案】8
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1~6 6~9 10~12
例题备选
4.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A、B为焦点,且过C、D两点
的椭圆的离心率为
.
【解析】根据题意c=2,2a=AC+BC=5+3=8,a=4,∴e=
c a
a2 1 =
a
1
1 a2
,由a>4,得0<
1 a2
1
<16
,∴
15 4
<
1 1 a2
<1,故
选D.
【答案】D
3.(2008年·浙江)已知F1、F2为椭圆2x52
y2
+9
=1的两个焦点,过F1的直线
交椭圆于A、B两点,若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=
.
【解析】依题意在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B| =12,∴|AB|=8.
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1~6 6~9 10~12
例题备选
5.位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题,是研究解 析几何的重点内容,常涉及直线与曲线交点的判定、弦长、 对称、共线等问题,其解法为充分利用解析几何知识以及韦 达定理、方程思想等.
=
1 2
.
【答案】
1 2
题型1 应用椭圆定义解题
例1 如图,已知椭圆的焦点是F1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( )
(A)圆.
(B)椭圆.
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1~6 6~9 10~12
3.轨迹问题.主要有三种类型;(1)曲线形状未定,其方程如 何求?(2)曲线形状已知,其方程如何求?(3)由曲线方程如何讨 论形状.基本方法有:直译法、定义法、代入法、交轨法、几 何法、参数法、极坐标法.
4.范围问题.解析几何问题中参数范围是近年高考又一 个命题热点,其解法通常依据题设条件建立含有参变量的函 数关系式或不等式,然后确定参数的取值范围.基本方法:定义 法、函数法、方程法、不等式法及几何法等.
(A)充分而不必要条件.
(B)必要而不充分条件. (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.
x2 y2
【解析】∵m>n>0,∴方程可表示为 1 + 1 =1⇒方程mx2+ny2=1表
mn
示焦点在y轴上的椭圆;方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆⇒ m>n>0.应为充要条件.
【答案】C
2.(2009年·开封质量检测)椭圆
(3)椭圆
x2 a2
+
by22=1(a>b>0)的四个顶点坐标是(-a,0)、(a,0)、(0
,-b)、(0,b),它们是椭圆与其对称轴的交点.
考纲解读 知识框图 备考策略 考点整合 基础训练 典例导练 考径避陷 方法技巧 名校押题
1~6 6~9 10~12
例题备选
1.(2009年·陕西)“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的 椭圆”的( )
考纲解读 知识框图 备考策略 考点整合 基础训练 典例导练 考径避陷 方法技巧 名校押题
1~6 6~9 10~12
例题备选
(4)形如Ax2+By2=C的方程,只要A、B、C同号不为零,且A≠B,就
x2 y2
是椭圆方程,可化为标准形式: CA+ CB=1. 2.椭圆的简单几何性质
(1)椭圆
x2 a2
x a
2 2
+y2=1(a>4)的离心率的取值范围是
()
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1~6 6~9 10~12
例题备选
(A)(0,
15 16
).
(B)(0,
15 4
).
(C)(
15 16
,1).
(D)( 15 ,1).
4
【解析】e=
c a
=
6.最值问题.解析几何中的最值问题,是从动态角度去研 究数学问题的主要内容,因而备受高考命题组的青睐.其解法 通常是依题设条件,建立目标函数,然后再用最值方法.
§8.2.1 椭 圆
考纲解读 知识框图 备考策略 考点整合 基础训练 典例导练 考径避陷 方法技巧 名校押题
1~6 6~9 10~12
例题备选
圆锥曲线问题的几大热点如下: 1.互化问题.曲线的参数方程与普通方程的互化解题,关 键是抓住互化的等价性,预测新高考中不会出大题及难题.
考纲解读 知识框图 备考策略 考点整合 基础训练 典例导练 考径避陷 方法技巧 名校押题
1~6 6~9 10~12
例题备选
2.圆锥曲线基础题.主要是指考查下述问题:(1)圆锥曲线 的两种定义、标准方程、焦点、常见距离及其a、b、c、e、 p五个参数的求解;(2)讨论圆锥曲线的几何性质;(3)曲线的交 点问题,即直线与二次曲线和两圆的交点问题;(4)圆锥曲线的 对称性,一是曲线自身的对称性;二是曲线间的对称性.