圆锥曲线焦点弦问题
圆锥曲线焦点弦的定点分比
一类圆锥曲线关于焦点弦问题的新解法
中 学数学
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一 类 圆 锥 曲 线 关于 焦 点 弦 问 题 的 新 解 法
# $ % % # % 西 北师范 大学 数学 与信 息科 学学 院 王立 新
本 文介 绍 了 圆 锥 曲 线 的 焦 点 弦 & 或焦半 径’ 与离 心率 的一 条 新关 系式 及其 推 论 ( 并说 明了 其在 解高考 题中 的应 用 ) 定理 设点 +是 离心 率为 , 焦点 在 -轴 上 的圆 ( 锥曲线的 一个焦点( 过焦 点 + 的弦 与 -轴 的夹 角为 . ( / 为 焦点 + 到 其对 应 准 线的 距离 ( 为 该圆 锥 曲线 0 的焦 半径 ( 则有 , 1 图* 0 & 6’ /2 0 3 4 5 . 成立 ( 其中 7 若该 圆锥 曲线 为椭 圆 ( 当 定点 + 为左 & * ’ 焦点 时 ( 式 取8 号( 当 定点 + 为右 焦点 & 6’ 9: 时( 式取 8 号< & 6’ ;: 若该 圆锥 曲线 为双 曲线 ( 当定 点 + 为 & = ’ 右焦 点时 ( 式取 8 号( 当定 点 +为 左焦 & 6’ 9: 点时 ( 式 取8 号< & 6’ ;: 若该 圆锥 曲 线为 抛物 线 ( 当开 口 向右 & $ ’ 时( 式取 8 号( 当开 口向 左 时 ( 式 & 6’ 9: & 6’ 取8 号) ;: 证明 留给读 者 ) 推论 > 设点 + 是 离 心率 为 , 焦 点在 ( 轴上 的圆 锥曲 线的 一个 焦点 ( 过 +的 弦 ? @与 则两 焦半 径 ? -轴的 夹角为 . ( +与 + @之 比为 A 1 略证 * 9, 3 4 5 . ) * ;, 3 4 5 . , 1 0 /9 0 3 4 5 .
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例22性质 ⑴过 椭圆 x2 + y2 =1（a >b >0）焦点 F 的直 线交椭圆 于 A 、B 两点 ，设 abAF p, BF =q 。
若 A 、B 两点在双曲线的同一支上（此时称 AB 为双曲线的同支焦点弦）AF p, BF =q ， 11 则 + = pq 2a b 2 2 = e 2d 0 ,其中d = b c 2是焦准距，cce= 是离心率。
a⑵过双曲线 22x 2 y 2 122 ab(a > 0,b > 0) 焦点 F 的直线交双曲线于 A 、 B 两点，设1 12 b 2则 + = ，其中 d 0 = 是焦准距； p q ed 0 c若 A 、B 两点分别位于双曲线的左支和右支上 时称 AB 为双曲线的异支焦点弦），则1 - 1pqe 2d 0 ,其中d 0 b 2c 是焦准距， ce= 是离心率。
a（抛物线的类似性质，本文从略） 证明：（只证性质⑴ , 性质⑵的证明从略） 由对称性，不妨取 F 为右焦点。
设右准线 l 与 x 轴交于点 D ，过 A 作 AG ⊥l 于 G ，过 B 作 BH ⊥l 于点 H ，则 AG ∥FD ∥ BH ；且由椭圆的第二定义知， |AG|= AF p，|BH|= BF q。
e e e e令|FE|= m ,|ED|= n ，故由 mq,n = pmnpq p = p+q,q =。
∴e(p q)e e因此， b2 m +n = ? c 2pq b2e(p q) 。
c2∴p q 2c2。
又 ec，从而1 1 p q 2a2= 2 ,其中d0= b就是焦准距。
证毕。
pqeb 2a p q pqb 2ed 0 c[ 说明 ] ①在上述证明过程中出现的“ m = n ”， “即 |FE|=|ED| ”，亦即 E 为线段 FD 的中点（如图 1） 这是椭圆焦点弦的另一条性质。
双曲线与抛物线也则 m +n =|FD|=FEBF，AGBA，BH GB =AB可得：②如图 1，若设∠ AFD =θ，并分别过 A 、F 作 FD 和 BH 的垂线，则可证： p= ba+ ccos θ2ab2； 从 而 得 焦 点 弦 长 公 式 ： |AB| = p + q= 2 2 2 q =1 - e cos θa -c cos θ22d0e2,其中d 0 就是焦准距 b。
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标全参数方程)
圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。
由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。
本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=.推论：（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.2FOABxy例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：232020yx +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.2FABCD Oxy 1F P例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.A ByO F x1l2lN M金指点睛1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________.2. 过双曲线1322=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.B O xy AF4. 已知抛物线px y 42=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值.yO F x AB5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.O xNPy MQF6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.yO F xA BDEC lαm P7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.（1）求点M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.FO xA BD C y8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD的面积的最小值.y2FAO x1l2l B CD参考答案：证明：设双曲线方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a ce =，弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为为参数）（，t t y t c x ⎩⎨⎧=+-=.sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：|cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24||||22222222222222222222222122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=-=-----=-+=-=）（）（.|cos 1|22αe H-=例1.解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x . 从而点A 的坐标为），（231或），（231-. 点A 在抛物线2C 上，.249p =∴即.89=p此时抛物线2C 的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2πα≠.则直线AB 的方程为）（1tan -⋅=x y α.抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径382==p H ，离心率1=e ，于是有又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==a b H ，离心率21=e . ∴.cos 412|cos 1|||222αα-=-=e H AB∴）（α2cos 138-.cos 4122α-= 解之得：6tan 71cos 2±==αα，.抛物线2C 的焦点），（m F 32在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而36±=m . 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ； 当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x 例2.（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角απ+2..cos 138sin ||22）（αα-==H AB 2FOABxy通径33422==a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222ααπαα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 例3，解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||，∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m OA =，45||mOB =. 又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x aby =. ∴.tan ab=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α 2FABCD Oxy 1F P∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a bαα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN .即451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x .1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23==a c e ，通径122==ab H ，直线l 的倾斜角4πα=.∴58)22()23(11sin 1||2222=⋅-=-=αe HAB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==ace ，通径622==a b H ，直线的倾斜角6πα=. A ByO F x1l2lN M∴3|)23(21|6|cos 1|||2222=⋅-=-=αe HAB .3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率22==a c e ，通径222==ab H .当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2===ab H AB ，高1||==c OF ，△AOB 的面积221221=⨯⨯=S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即tan tan =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααs i n|s e c ||t a n|1t a n |t a n 0ta n 0|2==++-⨯=d . αααα222222sin 122cos 222cos )22(12cos 1||+=-=⋅-=-=e HAB . ∴△AOB 的面积αα2sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴22sin 2sin 2=≤ααS .当且仅当1sin =α，即2πα=时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为22. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOBBO xy AF的面积22||||21p OF AB S =⨯⨯=. ∴3442444p pp m p m S ===，是定值.当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即tan tan =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααs i n |s e c ||t a n|1t a n |t a n |2p p p d ==+=. αα22sin 4sin ||pH AB ==. ∴△AOB 的面积αsin 2||212p d AB S =⨯⨯=.∴32242424sin sin 41sin 4p pp m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32p m S =（3p 为定值）.5. 解：在椭圆1222=+y x 中，.112===c b a ，， 由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥. 如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角απ+2.通径222==ab H ，离心率22=e .于是有.sin 222sin 1||cos 222)2(sin 1||222222ααααπ-=-=-=+-=e H PQ e HMN ，∴四边形PQMN 的面积O xNPy MQFyO F x AB.2sin 816sin 222cos 22221||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为916和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(， 准线l 的方程为2-=x .（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααααcos ||||,cos ||||,sin 8sin ||22AF AD FP EF H AB ====.∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF .∴αcos 14||-=AF .∴αααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=-=-=AB AF AE AF EF ， 从而αα2sin 4cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||22=⋅=-=-ααααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.从而22=p，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.（2） 两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α， 则直线CD 的倾斜角为α+︒90.y O F xA BDEClαm P BDy抛物线的通径82==p H ，于是有：αααα2222sin 8)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===H CD H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 128sin 8cos 821||||21222ααα=⋅⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为128.8. 解：（1）在椭圆1522=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F .在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为212==p x . 在双曲线中，21,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为1322=-y x .（2） 两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90.双曲线的通径622==a b H ，离心率2==a ce . 于是有： αααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB .∴四边形ACBD 的面积.2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S =18 y2FAO x1l2l B CD当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为18.。
圆锥曲线焦点弦的八大结论
圆锥曲线焦点弦的八大结论圆锥曲线是几何学中的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在圆锥曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念，它们之间有着许多有趣的关系。
本文将介绍圆锥曲线焦点弦的八大结论。
一、椭圆的焦点弦椭圆有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过椭圆两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2上；2. 焦点到弦的距离之和等于弦长，即AF1 + BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即AF1 - BF2 = PM - PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在椭圆上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与椭圆焦点连线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为椭圆长轴的中点；5. 弦中点M到椭圆两个焦点的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即MF1 - MF2 = PM - PN；6. 弦端点P和N到椭圆两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF1 - NF2；7. 椭圆的两个焦点到弦的距离之积等于椭圆长轴的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = AC - AB，其中AC为椭圆长轴的长度；8. 弦段所在直线与椭圆中心连线的斜率等于椭圆长轴和短轴的比值，即PG/PM = b/a，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
二、双曲线的焦点弦双曲线有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过双曲线两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2的延长线上；2. 焦点到弦的距离之差等于弦长，即AF1 - BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即AF1 + BF2 = PM + PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在双曲线上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与双曲线渐近线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为双曲线渐近线的中点；5. 弦中点M到双曲线两个焦点的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即MF1 + MF2 = PM + PN；6. 弦端点P和N到双曲线两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF2 - NF1；7. 双曲线的两个焦点到弦的距离之积等于双曲线的常数c的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = c - AB，其中c为双曲线的常数；8. 弦段所在直线与双曲线中心连线的斜率等于双曲线焦点之间的距离和双曲线渐近线的斜率之和的倒数，即PG/PM = (F1F2/c) + (c/PN)。
圆锥曲线的焦点弦问题(特征梯形)
课题：探究抛物线中的焦点弦问题【学习目标】：探讨解决抛物线中有关焦点弦问题的思想方法.【问题探究】：抛物线定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 距离相等的点的轨迹.问题一：已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则?AB = （1）：12AB x x p =++ （2）：m i n AB问题二、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，'',A B 为,A B 在准线上的射影， 则''?A FB ∠= （3）：''90A FB ∠=（4）：以Q 为圆心，以''A B 为直径的圆切AB 于F 点(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyF´B´A´Q问题三、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，'',A B 为,A B 在准线上的射影， 则以,A B 为直径的圆与准线的位置关系？（5）：以P 为圆心，以AB 为直径的圆切''A B 于Q 点 （6）：90AQB ∠=问题四、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则1212?,?x x y y == （7）：221212,4p x x yy p ==-问题五、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则11?AF BF+= （8）：112A F B F p+=(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´QP(x 1,y 1)(x 2,y 2)xy(x 1,y 1)(x 2,y 2)xy例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是例2、直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果''A B a =，Q 为''A B 的中点， 则QF = （用a 表示）变式：直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果,AR a BF b ==，Q 为''A B 的中点， 则QF = （用,a b 表示）例3、设坐标原点为O ，过焦点的直线l 交抛物线24y x =于,A B 两点，则OA OB ⋅=例4、过抛物线22(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+=小结：（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个 直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形 的运用；（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´。
高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相互的问答
与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+ 备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y+=，1F为椭圆之左焦点，过点1F的直线交椭实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB的中垂线交长轴于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB的中垂线交焦点所在直线于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB的中垂线与对称轴交于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F为焦点）备用课件圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=u u u r u u u u r恒成立？11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=u u u r u u u u r恒成立.12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）问题探究12已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点， ,C D 分别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究点P 的轨迹.抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线（抛物线的D 点在无穷远处）.备用课件13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， ,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究1PF Q ∠是否为定值.14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，并证明之.抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线 备用课件15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D ∠ 备用课件16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广问题探究16已知椭圆22184x y +=，过点(2,0)N 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线4x =.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -= 备用课件17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试求λμ+的值.过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值. 备用课件18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18已知方向向量为3)e =r 的直线l 过点(0,3)A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==u u u r r u u u r u u u r.⑴求椭圆C的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=u u u r u u u r 222EF F T λ=u u u u r u u u r，求12λλ+的值.实验成果动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e →→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e→→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即PA=m 1AF PB=m 2BF备用课件m 1+m 2=0。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线是指圆锥与平面相交而产生的曲线。
焦点弦是指通过
焦点，并且与曲线相交于两点的直线。
对于圆锥曲线的焦点弦公式，具体的形式取决于所讨论的具体曲线类型，比如椭圆、双曲线或抛
物线。
下面我将分别介绍这三种情况下的焦点弦公式。
对于椭圆而言，焦点弦的公式可以表示为，对于椭圆
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$。
对于双曲线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于双曲线
$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = -1$。
对于抛物线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于抛物线$y^2
= 4ax$，焦点弦的公式可以表示为$y = mx + \frac{a}{m}$。
需要注意的是，以上给出的焦点弦公式是简化的形式，实际应
用中可能会根据具体问题的要求进行变形。
焦点弦在几何学和物理
学中有着重要的应用，比如在光学中的折射定律、天体运动中的轨
道分析等方面都有着重要的作用。
希望这些信息能够帮助到你理解焦点弦的公式。
圆锥曲线焦点弦的公式及应用
圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
圆锥曲线焦点弦公式及应用
圆锥曲线焦点弦公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。
定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。
极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题
极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题圆锥曲线是一种常见的二维曲线形式，它可以由圆锥的剖面所生成。
在数学中，我们经常遇到求解圆锥曲线焦点弦的问题。
首先，让我们回顾一下极坐标的基本概念。
极坐标是一种用极径和极角来描述平面上点位置的坐标系统。
对于圆锥曲线，我们可以使用极坐标来描述其形状和特性。
求解圆锥曲线焦点弦的问题是要找到圆锥曲线上两个焦点之间的弦的方程。
为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定圆锥曲线方程：根据圆锥曲线的类型，如椭圆、双曲线或抛物线，确定其标准方程。
例如，对于椭圆，标准方程为 r = a(1 - e*cosθ)；对于双曲线，标准方程为r = a(1 + e*cosθ)；对于抛物线，标准方程为r = a(1 + cosθ) 或 r = a(1 - cosθ)。
2. 确定焦点坐标：通过曲线方程中的参数，计算出曲线的焦点坐标。
对于椭圆和双曲线，焦点坐标为 (ae, 0) 和 (-ae, 0)，其中 e 是离心率。
对于抛物线，焦点坐标为 (a/2, 0)。
3. 求解弦的方程：选择两个不同的点作为弦的端点，可以通过给定的焦点坐标和极径的差值来确定弦的长度。
然后，通过两点式或极坐标变换，推导出弦的方程。
在进行上述步骤时，应注意选择合适的曲线方程和坐标系，以确保结果的准确性和一致性。
此外，还应牢记圆锥曲线的性质和特点，以便在求解过程中进行验证和判断。
综上所述，通过极坐标求解圆锥曲线焦点弦问题需要确定圆锥曲线方程、焦点坐标和弦的方程。
这一过程涉及到数学知识和计算技巧，并需要合理地选择坐标系和参数值。
通过正确地应用这些步骤，我们可以准确地求解圆锥曲线焦点弦的问题。
用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题
用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题重庆巴蜀科学城中学校（401331）李兰［摘要］圆锥曲线焦点弦结论具有统一形式，利用焦点弦结论可以快速解决高考题，为考生打开解题思路，提高学生的解题能力。
［关键词］圆锥曲线；焦点弦；高考题［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2023）17-0024-03一、公式及其证明圆锥曲线中的焦点弦就是过焦点的弦长，弦长公式AB=1+k2||x1-x2，圆锥曲线有统一方程，思考由抛物线的焦点弦与弦长倾斜角度、离心率（抛物线的离心率为1）有关的弦长公式，类比推导圆锥曲线的另一个统一公式：焦半径=半通径1±e⋅cosθ=b2a1±e⋅cosθ（半通径就是垂直于焦点所在轴的焦半径，抛物线为y2=2px(p>0)中的p）。
证明如下：①椭圆x2a2+y2b2=1中，直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，其中A（x1，y1），B（x2，y2），l的倾斜角为θ（锐角），则焦半径AF=b2a1+e·cosθ，BF=b2a1-e·cosθ。
（如图1）x=a2cθ图1由A、B两点分别向右准线作垂线，垂足为M、N，由A点向x轴作垂线，垂足为D，由圆锥曲线统一定义，椭圆上点到焦点的距离比到准线的距离等于离心率得||AF||AM=ca，所以||AF=||AM e=e·()a2c-x1=a-ex1，||FD=||AF cosθ。
所以c+||AF cosθ=x1，即c+||AF cosθ=a-||AFe，即||AF（1+e cosθ）=a-c2a=b2a。
所以AF=b2a1+e·cosθ，同理BF=b2a1-e·cosθ。
②双曲线x2a2-y2b2=1中，直线l过焦点F与同一支交于A、B两点，结论同上，证明略。
③抛物线y2=2px（p>0），直线l过右焦点F与抛物线交于A、B两点，则AF=p1-cosθ，BF=p1+cosθ，长短视角度而定。
圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。
组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。
一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。
法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。
设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin pθ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.【解析】（1）求离心率套公式即可1cos 1e λθλ-=+，代入求得23e =套用公式22215|AB |||1cos 4ep e θ==-解得252a p c c =-=又因为23e =，故可解出3,a b ==，椭圆方程为22195x y +=例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。
圆锥曲线的焦点弦公式及其应用
Ｊ Ｚ 一 ） ＝ ａ
一
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一ｂ２ ｝ ａ Ｚ － ２ ｎ０ ａ ｔ
－
２ ｔ ｎ０ ａｎ ０ ｃ
ｂ ＋ （ 一 Ｃ ｔ ｎ ｎ ２） ａ ０ ２ 。— ａ
ｆ ２
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解 由知１一 ｉ２ 又 ： 已 得譬 ４ 。 ’ 一 一
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２１ ０ ０年 第 ３期
数 学 教 育 研 究
・ ４３ ・
４ 综 合 应 用
例 ４ （ ０ ９湖 南 卷 理 ） 平 面 直 角 坐 标 系 ｚ ｙ ２０ 在 Ｏ 中 ， Ｐ 到 点 Ｆ（ ｏ 的 距 离 的 ４倍 与 它 到 直 线 ｚ一 ２ 点 ３， ） 的 距 离 的 ３ 之 和记 为 ｄ， Ｐ 点 运 动 时 ， 倍 当 ｄ恒 等 于 点 Ｐ 的横 坐 标 与 １ ８之 和 ． （ Ｉ）求 点 Ｐ 的轨 迹 Ｃ； （ Ⅱ）设 过 点 Ｆ 的 直线 Ｉ与 轨 迹 Ｃ 相 交 于 Ｍ ， 两 Ｎ 点 ， 线 段 ＭＮ 长 度 的最 大值 ． 求 解 ：（工）设 点 Ｐ 的 坐 标 为 （ ） 贝 ｄ 一 ｚ， ， Ｕ
（Ｕ） 已 知 过 点 Ｆ１ 一 ２ ０ 倾 斜 角 为 ０的 亘 线 交 椭 （ ，）
设 点 Ａ、 的坐 标 分 为 （ Ｙ ） （ ｚ Ｙ ） 则 由 上 Ｂ ｚ ， 和 ｚ ，ｚ ，
式 得 ３１ ｚ 一 。 ２＋ ｚ ２
—
ａ２
ｃｔ ｎ ａ ２ ０
ｔ
： ．
圆 ｃ于 Ａ， Ｂ两 点求 证 ：ＡＢＩ Ｉ —
２ ｔｎ ・ｚ十 ａ ｃａ ０ ｔ ｎ 一 ｎ ２— ０． ａ２ ｂ
２
． ２
÷
ｘ
已 知 椭 圆 ｃ：
高中数学专题：圆锥曲线中焦点弦取值范围的探究
圆锥曲线中焦点弦的取值范围的探究本文主要探究圆锥曲线中焦点弦的取值范围，尤其时焦点弦弦长何时取最小值和最大值，运用直线的参数方程和弦长公式，得出椭圆、抛物线、双曲线的焦点弦的取值范围的以下结论：结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长； （2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；探究一：已知椭圆:C 12222=+by a x ，点F 为椭圆C 的左焦点，直线l 过点F ，交椭圆C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围； 解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=--+b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t +=+，αα2222421sin cos a b b t t +-=， 由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b +++= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b +=+++= α2222sin 2c b ab += 所以当0sin 2=α时，焦点弦AB 取最大值，a AB 2max =，即椭圆的长轴长，此时AB l 与x 轴重合；当1sin 2=α时，焦点弦AB 取最小值，ab AB 2min 2=，即椭圆的通经，此时直线x l AB ⊥轴；综上所述：焦点弦⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a b AB 2,22 结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；探究二：已知抛物线C ：px y 22=，点F 为抛物线C 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围；解：)0,2(pF ，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin cos 2t y t p x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和抛物线C 的方程得： 0cos 2sin 222=--p pt t αα，由韦达定理得：αα221sin cos 2p t t =+，α2221sin p t t -=， 由弦长公式得：αααα2224222122121sin 2sin 4sin cos 44)(pp p t t t t t t AB =+=-+=-=， 因为直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，所以倾斜角0≠α，所以(]1,0sin 2∈α，则[)+∞∈,2p AB ，当1sin 2=α，即x l AB ⊥轴时，取最小值p AB 2min =，即通经长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；探究三：已知双曲线:C 12222=-by a x ，点F 为双曲线C 的左焦点，直线l 过点F ，交双曲线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围； 解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=+--b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t -=+，αα2222421sin cos a b b t t -=， 由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b ---= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b -=---= α2222sin 2c b ab -= 因为[]1,0sin 2∈α，所以[]0,sin 222c c -∈-α， 所以[]22222,sin b a c b -∈-α，因为直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，所以ab±≠αtan ，即0sin 222≠-αc b ，所以[)(]22222,00,sin b a c b -∈-α，（1）若b a ≥，则(]2222,0sin a c b ∈-α，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22a b AB ，当1sin 2=α，即直线x l AB ⊥轴时，取最小值ab AB 2min2=，即双曲线的通经；（2）若b a <，则(]2222,0sin b c b ∈-α，[)+∞∈,2a AB ，当0sin 2=α，即AB l 与x 轴重合时，取最大值a AB 2max =，即双曲线的实轴长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长； （2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；。
焦点弦的常用公式
当前位置：首页>>高中数学>>学生中心>>解题指导圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用湖北省阳新县高级中学邹生书如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
高考数学专题07 圆锥曲线第二定义与焦点弦(原卷版)-2021高考数学满分突破之解析几何篇
专题07 圆锥曲线的第二定义与焦点弦【突破总分值数学之秒杀技巧与答题模板】：焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A 、B ，弦AB 叫做曲线的焦点弦。
秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：①焦点弦长公式：θ222cos 12e a b -(θ为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：22b a (最短焦点弦)； ②焦点弦被焦点分成两局部,m n ，那么2112am n b+=(定值)(取通径即可)。
③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：①过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，那么:2p y y B A -=,42p x x B A =。
(焦点在y 轴上的性质比照给出。
)引伸:M (,0)a (0)a >在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点。
1122(,),(,)A x y B x y ,12.y y =2pa -(定值)。
②α2sin 2||pAB =(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=12x x p ++(焦点在x 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为2p )最短。
③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθ，θcos 1-=p AF ，θcos 1+=p BF (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
④面积:θsin 22p S AOB=∆，θ32sin 2p S AMNB =(θ是直线AB 与焦点所在轴的夹角)。
⑤以AB 为直径的圆与准线MN 相切，切点为MN 中点Q ，BQ AQ ,分别是抛物线的切线，并且分别是NBA MAB ∠∠,的角平分线。
⑥以MN 为直径的圆与AB 相切，切点为焦点F 。
⑦以焦半径为直径的圆与y 轴相切。
⑧N O A ,,三点共线,M O B ,,三点共线。
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圆锥曲线焦点弦问题题型一：已知倾斜角为θ的直线过圆锥曲线12222=+by a x 的焦点F ，且与圆锥曲线交于BA ,两点，1.若），（或FB AF FB AF λλ==，求离心率2.求弦AB 的长3.求ABO ∆面积的取值范围经典解法：如图，在中，21F AF ∆由余弦定理：θcos 22112212122F F AF F F AF AF -+=由a AF AF 221=+得θcos 21c a b AF -=同理，在中，21F BF ∆θcos 21c a b BF +=1. 若），（或FB AF FB AF λλ==，则θλθcos cos 22c a b c a b +=-即11cos +-=λλθe (椭圆，抛物线) 11cos -+=λλθe (双曲线) 2. θθθ22222211cos 2cos cos c a ab c a b c a b BF AF AB -=++-=+=3. 如图，=∆ABO S θsin 2121211AB c y y OF =-=θθ2222cos sin c a acb -题型二1：如图，直线21,l l 均过圆锥曲线12222=+by a x 的焦点F ，与圆锥曲线分别交点B A ,；D C ,， 求四边形ABCD 面积的取值范围θ2222cos 2c a ab AB -=，θπθ22222222sin 22cos 2c a ab c a ab CD -=⎪⎭⎫⎝⎛--=θθ22222222sin 2cos 22121c a ab c a ab CD AB S ABCD--== 题型二2：如图，直线21,l l 均过圆锥曲线12222=+by a x 的焦点1F ，2F ，与圆锥曲线分别交点B A ,；D C ,， 求四边形ABCD 面积的取值范围高考题：1.过抛物线)0(22>=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B两点（点A 在y 轴左侧），则=FBAF解:由公式：11cos +-=λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 312.双曲线12222=-by a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3，FB AF 4=则双曲线的离心率e=解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-=λλθe 得：e 11-21+=λλ=141-4+ ∴ e=563.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+by a x （a>b>0）,离心率23=e ，过右焦点且斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若FB AF 3=，则k=（ B ）A 、1B 、2C 、3D 、2 解：由公式：11cos +-=λλθe 得cos θ=31∴ k=tan θ=2;故选B 。
4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（ ）解 这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解 如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。
8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。
11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿解易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。
由焦半径公式得，。
12.（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿解 因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。
注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。
设F 1、F 2是椭圆12322=+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。
（法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，，根据椭圆的定义，1||23AF m =-，1||23BF n =-，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得2222(23)44cos (23)44cos m m m n n n αα⎧-=+-⎪⎨-=++⎪⎩， ∴23cos m α=-，23cos n α=+，∴11211||||2()sin 22F ABB A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+ 22()sin 3cos 3cos ααα=+-+243sin 2sin αα=+ 令sin t α=，所以01t <≤，∴21()22t g t t t t==++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2πα=时，max 1()3g t =，故1ABF △的面积的最大值为433．13. 如图，已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于D B ,两点，过2F 的直线交椭圆于C A ,两点，且BD AC ⊥。
求四边形面积的最小值。
F 2F 1AOBxy解 由方程可知，，则。
设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴的夹角为。
代入弦长公式得， ，。
故四边形的面积为，所以四边形面积的最小值为。
（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果||AB =154，求椭圆C 的方程解 （1）这里，，由定理1的公式得，解得。
（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。
.(全国卷II)P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ ⊥MN ，直线PQ 、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为K ，又PQ 过点F(0,1)，故PQ 的方程为y =kx +1将此式代入椭圆方程得(2+2k )2x +2kx －1=0设P 、Q 两点的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则12x x ==从而222221212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+亦即||PQ =(1)当k ≠0时，MN 的斜率为－1k，同上可推得221(1))||12()k MN k+-=+-故四边形面积22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k++++===++++ 令u =221k k +得4(2)12(1)5252u S u u +==-++ ∵u =221k k+≥2当k =±1时u =2，S=169且S 是以u 为自变量的增函数∴1629S ≤< ②当k =0时，MN 为椭圆长轴，，。
∴S=12|PQ||MN|=2 综合①②知四边形PMQN 的最大值为2，最小值为16。
（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 的面积最大值. 【解】（Ⅰ）设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，P (x 0, y 0)⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21 + a 2y21 = a 2b 2b 2x 22 + a 2y22 = a 2b2 ⇒ y 1 - y 2x 1 - x 2 = - b 2(x 1 + x 2)a 2(y 1 + y 2) ⇒ k AB = - b 2x 0a 2y 0OP 的斜率为 12 ⇒ x 0y 0 = 2，直线x + y- 3 = 0的斜率为-1 ⇒ k AB =-1⇒-1= - 2b2a 2 ⇒ a 2 = 2b 2 ……①由题意知直线x + y- 3 = 0与x 轴的交点F (3，0)是椭圆的右焦点，则才c = 3 ⇒a 2 - b 2 = 3 ……②联立解得①、②解得a 2 = 6，b 2 = 3所以M 的方程为：x 2—6 + y 2—3 = 1（Ⅱ）联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x + y- 3 = 0x 2—6 + y 2—3= 1，解得A (433 , - 33 )、B (0, 3)，求得| AB | = 463依题意可设直线CD 的方程为：y = x + mCD 与线段AB 相交⇒ - 533< m < 3联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x + m x 2—6 + y 2—3= 1 消去x 得：3x 2 + 4m x +2m 2 - 6 = 0 …… (*)设C (x 3, y 3)，D (x 4, y 4)，则| CD |2 = 2(x 3 - x 4)2 = 2[(x 3 + x 4)2 - 4x 3x 4]= 169(9 - m 2)四边形ACBD 的面积S = 12 | AB |• | CD | = 869 9-m 2当n = 0时，S 最大，最大值为863 .所以四边形ACBD 的面积最大值为863 .（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（01b <<）的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦点2F 的直线l 交双曲线于A 、B 两点,1F 为左焦点． (1) 求双曲线的方程；(2) 若AB F 1∆的面积等于62,求直线l 的方程．∴所以直线l 的方程为)2(-±=x y已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F 1和F 2，求这个平行四边形的面积最大值．.解：（1）∵椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a =2，b =，c =1，∴椭圆C 的方程为：．（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x =ty +1与椭圆交于A ，B 两点， 则，整理，得：（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y 1﹣y 2|===，∴==，椭圆C 的内接平行四边形面积为S =4S △OAB =，令m =≥1，则S =f （m ）==，注意到S =f （m ）在[1，+∞）上单调递减，∴S max =f （1）=6，当且仅当m =1，即t =0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．（2016全国1）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 解：（Ⅰ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）.（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以 1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.。