第六章方差分析-教材
合集下载
第6章方差分析精品PPT课件
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
第六章
电子工业出版社
1
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
主要内容
6.1 方差分析简介 6.2 单因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 协方差分析
电子工业出版社
2
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(1) 方差分析的概念
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
不同饲料的方差齐性检验结果
Test of Homogeneity of Variances 猪重
Levene Statistic df1 df2 Sig.
.024
➢ 第4步 给出显著性水平α，作出决策：如果相伴概率p值小 于显著性水平 ，则拒绝零假设；反之，认为控制变量不同水平 下各总体均值没有显著差异。
9
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
6.2.2 SPSS实例分析
【例6.1】用四种饲料喂猪，共19头分为四组，每一组用一 种饲料。一段时间后称重，猪体重增加数据如下表所示，比 较四种饲料对猪体重增加的作用有无不同。
➢ 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异
➢ 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
3
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(3) 方差分析常用术语
➢ 观测变量：也叫因变量，如上例中的作物产量；
➢ 控制变量：影响实验结果的自变量，也称因子，如上 例中的品种、施肥量等；
(2) 统计原理
单因素方差分析采用的统计推断方法是计算F统计量，进 行F检验。总的变异平方和记为SST，分解为两部分：一部分 是由控制变量引起的离差，记为SSA（组间Between Groups 离差平方和）；另一部分是由随机变量引起的离差，记为 SSE（组内Within Groups离差平方和）。于是有：
第六章
电子工业出版社
1
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
主要内容
6.1 方差分析简介 6.2 单因素方差分析 6.3 多因素方差分析 6.4 协方差分析
电子工业出版社
2
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(1) 方差分析的概念
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
不同饲料的方差齐性检验结果
Test of Homogeneity of Variances 猪重
Levene Statistic df1 df2 Sig.
.024
➢ 第4步 给出显著性水平α，作出决策：如果相伴概率p值小 于显著性水平 ，则拒绝零假设；反之，认为控制变量不同水平 下各总体均值没有显著差异。
9
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.2 单因素方差分析
电子工业出版社
6.2.2 SPSS实例分析
【例6.1】用四种饲料喂猪，共19头分为四组，每一组用一 种饲料。一段时间后称重，猪体重增加数据如下表所示，比 较四种饲料对猪体重增加的作用有无不同。
➢ 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异
➢ 实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
3
SPSS 19(中文版)统计分析实用教程
6.1 方差分析简介
电子工业出版社
(3) 方差分析常用术语
➢ 观测变量：也叫因变量，如上例中的作物产量；
➢ 控制变量：影响实验结果的自变量，也称因子，如上 例中的品种、施肥量等；
(2) 统计原理
单因素方差分析采用的统计推断方法是计算F统计量，进 行F检验。总的变异平方和记为SST，分解为两部分：一部分 是由控制变量引起的离差，记为SSA（组间Between Groups 离差平方和）；另一部分是由随机变量引起的离差，记为 SSE（组内Within Groups离差平方和）。于是有：
第6章-正交试验设计结果的方差分析
（4）计算F值
• 各均方除以误差的均方，例如：
FABiblioteka VA Ve或FA
VA V e
FAB
VAB Ve
或
FAB
VAB Ve
（5）显著性检验
• 例如： • 若 FAF(fA,f，e)则因素A对试验结果有显著影
响 • 若 F A BF (fA B,fe，)则交互作用A×B对试验结
果有显著影响
（6）列方差分析表
设：
QT
n
x
2 i
i1
n
T xi i1
②各因素引起的离差平方和
• 第j列所引起的离差平方和 ：
Sj
1( m r p1
Kp2j
)T2 n
k
ST S j Se j 1
③交互作用的离差平方和
• 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于 所在列的离差平方和
• 若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占 多列离差平方和之和，
• 例：3时
S S S AB （ AB ） 1 （ AB ） 2
④试验误差的离差平方和
• 方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空 列，即误差列
• 误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和 之和 ：
Se S空列
（2）计算自由度
①总自由度 ：＝n－1 ②任一列离差平方和对应的自由度 ：
＝m－1 ③交互作用的自由度 ：（以A×B为例） ×B＝ × ×B＝(m－1 ) 若m ＝ 2， ×B＝ 若m ＝ 3， ×B＝ 2 ＋ ④误差的自由度：
• 方差分析的基本步骤如下： • (1)计算离差平方和 • (2)计算自由度 • (3)计算平均离差平方和(均方) • (4)计算F 值 • (5)显著性检验
第六章 方差分析 《统计学》PPT课件
（ i =1，2，…，r； j =1，2，…， s ； k =1，2，…， m ）
若因素 A 和 B 的每个水平组合只有一个观测值，即 k 1，则上式可简化为：
xij x i j ij
（ i =1，2，…，r； j =1，2，…， s ）
二、只考虑主效应的双因素方差分析
二、只考虑主效应的双因素方差分析
如果影响因素的不同水平对因变量产生了显著影响，那么，它和随 机因素共同作用必然会使观测值有显著变动；反之，如果影响因素 的不同水平没有对因变量产生显著影响，那么，观测值的变动可以 归结为随机变量的影响所致。
二、方差分析的基本思想
总变异
组间变异
组内变异
i
二、方差分析的基本思想
总变异 SST
组间变异 SSA （不同促销方式引起，包含随机误差） 组内变异 SSE （随机误差）
F SSA (r 1) SSE (n r)
r
SSA ni (xi x)2 i1
r ni
SSE （xij xi )2 i1 j1
r ni
SST SSA SSE （xij x)2 i1 j1
式中：n 为总样本量，r 为因素 A 的水平数，ni 为第 i 水平下的样本数，r -1和 n - r 分别为 SSA 和 SSE 的自由度。 F 统计量服从（ r -1， n - r ）个自由度的 F 分布。
自变量对因变量影响效应的大小通过因变量的误差有多少是由于自变量造成的来体现。 因此，方差分析是通过对数据误差的分析来检验影响效应是否显著。
一、方差分析基本概念
待分析的指标一般称为“因变量”或“响应变量”（dependent variable，通常用x或y表示），即调查类数据中我们所获得的现象 数量表现或实验类数据的实验结果。
若因素 A 和 B 的每个水平组合只有一个观测值，即 k 1，则上式可简化为：
xij x i j ij
（ i =1，2，…，r； j =1，2，…， s ）
二、只考虑主效应的双因素方差分析
二、只考虑主效应的双因素方差分析
如果影响因素的不同水平对因变量产生了显著影响，那么，它和随 机因素共同作用必然会使观测值有显著变动；反之，如果影响因素 的不同水平没有对因变量产生显著影响，那么，观测值的变动可以 归结为随机变量的影响所致。
二、方差分析的基本思想
总变异
组间变异
组内变异
i
二、方差分析的基本思想
总变异 SST
组间变异 SSA （不同促销方式引起，包含随机误差） 组内变异 SSE （随机误差）
F SSA (r 1) SSE (n r)
r
SSA ni (xi x)2 i1
r ni
SSE （xij xi )2 i1 j1
r ni
SST SSA SSE （xij x)2 i1 j1
式中：n 为总样本量，r 为因素 A 的水平数，ni 为第 i 水平下的样本数，r -1和 n - r 分别为 SSA 和 SSE 的自由度。 F 统计量服从（ r -1， n - r ）个自由度的 F 分布。
自变量对因变量影响效应的大小通过因变量的误差有多少是由于自变量造成的来体现。 因此，方差分析是通过对数据误差的分析来检验影响效应是否显著。
一、方差分析基本概念
待分析的指标一般称为“因变量”或“响应变量”（dependent variable，通常用x或y表示），即调查类数据中我们所获得的现象 数量表现或实验类数据的实验结果。
统计学第6章方差分析精品PPT课件
量 MSA，服从自由度为 r 1 的卡方分布；组内估计量 MSE ，服从自由度为 nT r 的卡方分布。
于是，当原假设为真时，可得服从 F 分布的统计量， 其分子自由度为 r 1，分母自由度为 nT r 。此 F 统计
量可充当检验统计量： F MSA MSE
★ 6.2.2 方差分析基本步骤
:
2 1
2 2
2 r
H1
:
2 1
,
2 2
,,
2 r
不尽相等
Bartlett 方差齐性检验统计量是自由为 r 1的 2 统计量：
2
r j 1
nj
1 ln
sc2
s
s j
给定显著性水平
，检验中的拒绝准则为：
2
2
。应当注意，
Bartlett 检验结果只在样本数据具有正态性时有效。
6.3 方差相等性检验
种方法，称为最小显著性差异法，简称 LSD。LSD 的检验假设为：
H0 : i j H1 : i j
这里是针对问题中所涉及的总体的个数，提出了多次原假设。LSD 的检
验统计量是一个自由度为 nT r 的 t 统计量：t xi x j i j
M
SE
1 ni
1 nj
6.3 方差相等性检验
r 1
第六步：计算总体方差的组内估计
r
nj
1
s
2 j
MSE j1
nT r
第七步：计算 F 统计量的值。
F MSA MSE
第八步：编制方差分析表。
表 6.2
方差来源
平方和
自由度
组间
SSA
r 1
组内
SSE
nT r
于是，当原假设为真时，可得服从 F 分布的统计量， 其分子自由度为 r 1，分母自由度为 nT r 。此 F 统计
量可充当检验统计量： F MSA MSE
★ 6.2.2 方差分析基本步骤
:
2 1
2 2
2 r
H1
:
2 1
,
2 2
,,
2 r
不尽相等
Bartlett 方差齐性检验统计量是自由为 r 1的 2 统计量：
2
r j 1
nj
1 ln
sc2
s
s j
给定显著性水平
，检验中的拒绝准则为：
2
2
。应当注意，
Bartlett 检验结果只在样本数据具有正态性时有效。
6.3 方差相等性检验
种方法，称为最小显著性差异法，简称 LSD。LSD 的检验假设为：
H0 : i j H1 : i j
这里是针对问题中所涉及的总体的个数，提出了多次原假设。LSD 的检
验统计量是一个自由度为 nT r 的 t 统计量：t xi x j i j
M
SE
1 ni
1 nj
6.3 方差相等性检验
r 1
第六步：计算总体方差的组内估计
r
nj
1
s
2 j
MSE j1
nT r
第七步：计算 F 统计量的值。
F MSA MSE
第八步：编制方差分析表。
表 6.2
方差来源
平方和
自由度
组间
SSA
r 1
组内
SSE
nT r
数理统计CH方差分析pt课件
i1 j1 k 1 ab
原因AB旳互作效应
nij (xij xi x j x )2
i1 j1
ab
MSAB
SSAB
nij (xij xi x j x )2
i1 j1
(a 1)(b 1)
(a 1)(b 1)
2024/9/30
26
6.2 两向分组数据方差分析
平方和代表效应
(12)总离差平方和分解
x1b1
…
x1b,n1b
…
x2b1
…
x2b,n2b
…
…
A单向分组 …
xab1
…
xab,nab
2024/9/30
6
6.2 两向分组数据方差分析
(2)数据模式
➢各个处理(原因A与B旳水平组合)分别独立试
验，第i×j处理反复试验nij次取得nij个观察， 这nij个观察视作第i×j正态总体旳一种样本； ➢全部观察（整个样本）由a×b个独立正态总
互作效应假设 H13 : ij i j 不全为零
2024/9/30
14
6.2 两向分组数据方差分析
(6)统计假设
总效应分解成 各个原因效应
原因A效应假设 H01 :1 2 a 0
H11 : 1,2 ,
,
不全为零
a
原因B效应假设 H02 : 1 2 b 0 H12 : 1, 2 , , b不全为零
23
6.2 两向分组数据方差分析
(10)计算原因B平方和SSB
Var
x j
1
a
nij
Var
n2 j i1 k 1
xijk
2
n j
b
EH0 SSB
chapter6方差分析PPT课件
总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。
.
24
某B水iosta产tisti研cs 究所为了比较四种不同配合饲料 对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼 20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一 个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。
.
25
Biostatistics
这是一个单因素试验，处理数k=4，重复数 n=5。各项平方和及自由度计算如下：
(xij xi.)分别eij是μ、（μi-.
14
Biostatistics
告诉我们：
（ 每个观或x测ij 值 都i)，包故含k处nx理i个j 效观xi.应测（值μ的i-总μ或变异可）x分i.，解与为x.误处. 差理
间的变异和处理内的变异两部分。
.
在单因素试验结果的方差分析中，无效假设
为H0：μ1=μ2=…=μk，备择假设为HA：各μi不 全相等，或H0 ：2 =0,H A2 : ≠0；
F=MSt/MSe，也就是要判断处理间均方是否
显著大于处理内(误差)均方。
如果结论是肯定的，我们将否定H0；反之，不 否定H0。
.
33
Biostatistics
次的处理间变异，称为处理间平方和，记为SSt，
即
k
SSt n (xi.x..)2
i1
.
18
式B中ios，tatisticsk n (为xij 各 xi处.)2 理内离均差平方和之和，
i1 j1
反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方
和或误差平方和，记为SSe，即
于是有
kn
SSe
(xij xi.)2
Biostatistics
第六章 方差分析 analysis of variance（ANOVA）
【大学课件】方差分析 (Analysis of Variance,ANOVA)
组间变异 组内变“变异”之间的关系
离均差平方和分解：
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
且
ν总 =ν组间 +ν组内
=n-1 =k-1
=n-k
组内变异 SS 组内：
随机误差
组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
ppt课件
9
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Among Groups Variation
Variation Due to Random Sampling SSE
• Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
将36只大鼠随机分为甲、乙、丙三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌胃10 周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组） 12只，8周后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否相同？
例 6.1 三组大鼠 GSH 值（mg/gprot）
Total Variation SST
= Variation Due to Treatment SSTR
+
• Commonly referred to as:
Sum of Squares Among, or
Sum of Squares Between, or
Sum of Squares Model, or
§2. Two-way analysis of variance 双因素方差分析
离均差平方和分解：
SS总 = SS组间 + SS组内 ，
且
ν总 =ν组间 +ν组内
=n-1 =k-1
=n-k
组内变异 SS 组内：
随机误差
组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
ppt课件
9
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Among Groups Variation
Variation Due to Random Sampling SSE
• Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
将36只大鼠随机分为甲、乙、丙三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌胃10 周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组） 12只，8周后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否相同？
例 6.1 三组大鼠 GSH 值（mg/gprot）
Total Variation SST
= Variation Due to Treatment SSTR
+
• Commonly referred to as:
Sum of Squares Among, or
Sum of Squares Between, or
Sum of Squares Model, or
§2. Two-way analysis of variance 双因素方差分析
六章节方差分析-
化工产品得率试验(得率：%)
催化剂
温度
B1
B2
B3
A1(60 OC)
66
73
70
A2(70 OC)
81
96
53
A3(80 OC)
97
79
66
A4(90 OC)
79
76
88
5
案例 2 要研究的问题
⑴温度是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，应将温度控制在什么范围内可使 得率最高? ⑵催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，哪种催化剂的效果最好？ ⑶温度和催化剂的不同组合是否对产品得率有显 著影响？ 如有显著影响，哪种温度和催化剂的组合可使得 率最高？
因此需要了解： ⑴哪些因素会对所研究的指标产生显著影响； ⑵这些影响因素在什么状况下可以产生最好的结果。 方差分析就是解决这类问题的一种统计分析方法。
3
【案例1】哪种促销方式效果最好？
某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选 择下属 4 个门店，分别采用不同促销方式，对包装 食品各进行了4 个月的试验。
SAni(xi x)2反映了各样本(不同水平)间数据的差异， i
主要是由因素A的不同水平效应间的差异引起的， 称为因素
A的平方和 或 组间平方和。
利用 SA 和 Se 之比就可以构造出检验 H0 的统计量。
13
3. 检验 H0 的统计量
可以证明，当 H0 为真时Na)
ij
( x i jx i) 2 2 x i j( x i)x i( x ) n i( x i x ) 2
ij
ij
i
(xijxi)2 ni(xix)2ˆ Se SA
ij
i
6第六章 单因素方差分析
单因素方差分析
32
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析
33
①建立原假设“H0：各组平均数相等” ②构造统计量“F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（a-1），计算组内均 方时，使用自由度为a（n-1）。 ③F满足第一自由度为（a-1），第二自由度为a（n-1） 的F分布。查表。 ④推断：若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各
方差分析也主要是由 Fisher推导出来的，也叫F 检验。
6
方差分析优缺点
优：可以一次检验多组样本，避免 了t检验一次只能比较两组的缺陷。 缺：只能反映出各组样本中存在着
差异，但具体是哪一组样本存在差异，
无法进行判定。
方差分析的基本原理7差分析的意义其目的是推断两组或多组 资料的总体均数是否相同，检 验两个或多个样本均数的差异 是否有统计学意义。
72.1
70.0 69.1 71.0
68.2
69.8 68.3 67.5
株高
46
47
Test of Homogeneity of Variances 株高（ cm） Levene Statis tic 1.362 df1 4
ANOVA 株 高 （ cm） Sum of Squares 131.740 15.580 147.320 df 4 20 24 Mean Square 32.935 .779 F 42.279 Sig. .000
单因素方差分析
41
a
SSe SST SSA 147.32 131.74 15.58
单因素方差分析
42
3. 将以上结果列成方差分析表
变差来源
品系间 误 差 总 和
单因素方差分析
32
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析
33
①建立原假设“H0：各组平均数相等” ②构造统计量“F＝组间均方／组内均方” 在计算组间均方时，使用自由度为（a-1），计算组内均 方时，使用自由度为a（n-1）。 ③F满足第一自由度为（a-1），第二自由度为a（n-1） 的F分布。查表。 ④推断：若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各
方差分析也主要是由 Fisher推导出来的，也叫F 检验。
6
方差分析优缺点
优：可以一次检验多组样本，避免 了t检验一次只能比较两组的缺陷。 缺：只能反映出各组样本中存在着
差异，但具体是哪一组样本存在差异，
无法进行判定。
方差分析的基本原理7差分析的意义其目的是推断两组或多组 资料的总体均数是否相同，检 验两个或多个样本均数的差异 是否有统计学意义。
72.1
70.0 69.1 71.0
68.2
69.8 68.3 67.5
株高
46
47
Test of Homogeneity of Variances 株高（ cm） Levene Statis tic 1.362 df1 4
ANOVA 株 高 （ cm） Sum of Squares 131.740 15.580 147.320 df 4 20 24 Mean Square 32.935 .779 F 42.279 Sig. .000
单因素方差分析
41
a
SSe SST SSA 147.32 131.74 15.58
单因素方差分析
42
3. 将以上结果列成方差分析表
变差来源
品系间 误 差 总 和
单因素方差分析
第6章spss方差分析(共39张PPT)
“Separate Lines”框中。
因sp为he当ric一ity个）I因n，变c否l量则u被应d重校e复正i测n。量te几r次c，ep从t而i同n一m个体o的d几e次l 观-在察结模果间型存在中相关包，这括样就截不满距足独。立若性的能要求确，但定要求回满足协方差矩阵的球形性（ 归线不通过原点，则不选此项。 01，说明模型有统计学意义。
控制因素，可多 个
随机因素，不是 必需
协变量-用于去除该变量对因变量 的影响 ，协方差分析用
5
异方差时，将选入变量用加权最小二乘 法估计模型参数，协方差分析用
【Model按钮】:
Full factorial 全模型，包括所有因素的主效应、交互效应、协变 量主效应等。是系统默认的模型。
Custom 自定义模型。用户可以选择实验中感兴趣的效应 。
6
Factors&covariate-框中所列出的是主对话框中所选的因素：包 括固定因素（标F）、随机因素（标R）、协变量因素（标C） 。本例中只含有固定因素。
Build terms：针对所选因素选择不同的效应。 Interaction 指定任意的交互效应； Main effects 指定主效应； All 2-way 指定所有2维交互效应； All 3-way 指定所有3维交互效应； All 4-way 指定所有4维交互效应 All 5-way 指定所有5维交互效应。
Error 误差。其偏差平方和反应的是组内差异。也称组内偏差平方 和。
Total 是偏差平方和，在数值上等于截距+主效应+交互效应+误差
偏差平方和。 Corrected Total 校正总和。其偏差平方和等于校正模型与误差之偏 差平方和之总和。
22
因sp为he当ric一ity个）I因n，变c否l量则u被应d重校e复正i测n。量te几r次c，ep从t而i同n一m个体o的d几e次l 观-在察结模果间型存在中相关包，这括样就截不满距足独。立若性的能要求确，但定要求回满足协方差矩阵的球形性（ 归线不通过原点，则不选此项。 01，说明模型有统计学意义。
控制因素，可多 个
随机因素，不是 必需
协变量-用于去除该变量对因变量 的影响 ，协方差分析用
5
异方差时，将选入变量用加权最小二乘 法估计模型参数，协方差分析用
【Model按钮】:
Full factorial 全模型，包括所有因素的主效应、交互效应、协变 量主效应等。是系统默认的模型。
Custom 自定义模型。用户可以选择实验中感兴趣的效应 。
6
Factors&covariate-框中所列出的是主对话框中所选的因素：包 括固定因素（标F）、随机因素（标R）、协变量因素（标C） 。本例中只含有固定因素。
Build terms：针对所选因素选择不同的效应。 Interaction 指定任意的交互效应； Main effects 指定主效应； All 2-way 指定所有2维交互效应； All 3-way 指定所有3维交互效应； All 4-way 指定所有4维交互效应 All 5-way 指定所有5维交互效应。
Error 误差。其偏差平方和反应的是组内差异。也称组内偏差平方 和。
Total 是偏差平方和，在数值上等于截距+主效应+交互效应+误差
偏差平方和。 Corrected Total 校正总和。其偏差平方和等于校正模型与误差之偏 差平方和之总和。
22
李金昌《统计学》(最新版)精品课件 第六章 方差分析
假设2：在各总体Yi下，各Xij (j = 1,2,„，ni)也是独立 同分布的（正态分布），且有 X N ( , ) (i=1,„，r， j=1，„，ni)。
2 ij i
Statistics
显然，对于表6-1中每一个实际观察值（试验结果）而言， 其变化可以分解为三部分内容：
r 1 r ni i (n ni ) 一、“一般水平”，即， n i 1 i 1
Statistics
表6-2
水平号 A1 A2
……
单因素方差分析数据结构表
观察指标值 x11 x21
......
算术均值 x1n x2n
…...
方差 S1 2 S2 2
.......
x12 x22
……
….. …… …... ……
x1 x2
Ar
xr 1
xr2
xrn
x3
.......
Sr2
其中
xi xij
Statistics
因子A
水 平 1
X11a X21a
…… ……
因子B
水 平 k
X1ka X2ka
…… ……
因子C
水 平 l
X1lb X2lb
…… ……
水 平 2
X12a X22a
…… ……
……..
…….. ……. …….. …….. …….. ……..
水 平 1
X11b X21b
…… ……
水 平 2
115 210 128
125 185 110
100 165 105
• 研究人员需要回答：三种不同包装方式的销售量之间有没有 显著差异？应该如何安排生产？
生物统计学 第六章 方差分析
【���������2���
=
���������2��� ������−1
=
(������������−������)���2��� ������−1
���������2��� 为效应方差，������������为处理效应】
方差分析
4.F检验
4.1 F值和F分布 F=������������������������������������=������2+���������2������������2���，自由度������������1 = k − 1, ������������2=������������������=kn-k 在������������1, ������������2确定条件下，F值对应的概率分布称为F 分布, 对应的密度函数为f(F)。������������1, ������������2决定F分布 的形状, 随着自由度的增加，曲线趋向对称。
������������. 各处理观测值之和。
方差分析
自由度的剖分
总自由度dfT=kn-1 处理间自由度dft=k-1 误差自由度 dfe=dfT-dft 均方
试验的总均方、处理间均方、处理内均方分别为：
MST=���������������2���
=
������������������ ������������������
第六章 方差分析
第一节 方差分析的基本原理和步骤
1.基本概念
试验指标 为衡量试验结果的好坏或处理效应 的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项 目。
试验因子 试验中所研究的影响试验指标的因素。 当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试 验；若同时研究两个或两个以上的因素对试验指 标的影响时，则称为两因素或多因素试验。试验 因素常用大写字母A、B、C、…等表示。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总自由度：分解为处理间自由度与处理内自由度
两部分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异；
组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异；
组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe 总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe
总的均方：MST sT 2
(xij x)2 nk 1
组间的均方： MSt st 2 n
• 试验结果如下：
促销方式
与上年同期相比(%)
A1(广告宣传) 104.8 95.5 A2(有奖销售) 112.3 107.1 A3(特价销售) 143.2 150.3 A4(买一送一) 145.6 111.0
超市管理部门希望了解：
104.2 109.2 184.7 139.8
103.0 99.2 154.5 122.7
⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？
⑵哪种促销方式的效果最好？
案例 1 分析
• 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent List：促销方式 Factor：% Contrasts选项: 多项式比较 Post Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
sk2
T xij x
x
平方和与自由度的分解
在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。
将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要 将总均方分解为处理间均方和处理内均方。
总变异平方和（Total variation）： ：分解为处理间
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
观察值(xij, i=1,2,…,k; j=1,2,…,n)
总和 平均 均方
１ x11 x12 … x1j … x1n T1 x1 s12
２ x21 x22 … x2j … x2n T2
x2
s22
…………
……………
i
xi1 xi2 …
xij
… xin
Ti
xi
si2
…………
……………
xk
k xk1 xk2 … xkj … xkn Tk
第六章 方差分析ANOVA （Analysis of Variance)
方差分析的基本原理 多重比较 单向分组资料的方差分析 两向分组资料的方差分析 数据转换
• t 检 验 法 只 适用于两个处理平均数 • 间差异显著性检验。 • 1、计算工作量大
2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和 检验的灵敏度降低
i1
i1
j 1
ni
C
SS组内
a ni
(Yij
Yi )2
i1 j 1
a
(ni 1)Si2
i 1
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
二、F分布与F测验
F (1, 2 )
s12 s2 2
变异来源 处理间
DF SS
3
504
处理内（误差） 12
98
总
15 602
MS
F
F临界值
(xi x) 2 k 1
组内的均方： MSe se2
(xij xi )2 k(n 1)
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
均方差，均方(mean square，MS)
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得
到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别
记为 MST（或 ST2）、MSt（或 St2）和MSe
168
20.56** F0.05(3,1
2)=3.49
8.17
F0.01(3,1
2)=5.95
F>=F0.05, P<=0.05, 否定H0，处理间差异（极） 显著
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效 果，选择下属4个门店，分别采用不同促销 方式，对包装食品各进行了4个月的试验。
的变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
Yij2 C＝(N 1)S 2
i, j
总 N 1
a
(
ni
Yij
)2
N
(Yij )2
校正系数： C i1 j1
i,j
N
N
ni
a
a (
Y )2 ij
SS组间 ni (Yi Y )2
药剂 Ａ 18 Ｂ 20 Ｃ 10 Ｄ 28
x =21
苗高观察值
21
20
24
26
15
17
27
29
总和Ti 平均 xi
13
72
18
22
92
23
14
56
14
32
116
29
T=336
自由度和平方和的分解
总变异自由度： DFT=(nk-1)=(44)-1=15
药剂间自由度： DFt=(k-1)=4-1=3
对多个处理平均数进行差异显著性检验，不宜 采用t检验法，须采用方差分析法。
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是按照设计类型将变量的总变 异分解为若干部分，再通过比较各部分的 变异做出统计推断的检验方法。
• 自由度和平方和的分解 • F分布与F测验
一、自由度和平方和的分解
组别
设有k组数据，每组有n个观察值
药剂内自由度： DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
矫Байду номын сангаас数
C T 2 336 2 7056 nk 4 4
总的平方和： SST
xij2 C 602
组间平方和：
SSt
Ti 2 504 n
组内平方和：
SSe SST SSt 602 504 98
1. 总变异: 所有测量值之间总
（或 S
即
2）。
e MST
MSt
ST2 SST / dfT
S
2 t
SSt
/
dft
MSe
S
2 e
SSe
/
df e
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度
两部分来。
试验数据有三个不同的变异（表 5.1）
总变异： 26 只家兔的血清 ACE 浓度不尽相同， 称为总变异；
组间变异：4 组家兔血清 ACE 浓度的均数各不 相同，称为组间变异；
组内变异：即使同组内的家兔血清 ACE 浓度也 不相同，称为组内变异。
用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小
自由度和平方和的分解
总自由度DFT＝组间自由度DFt＋组内自由度DFe 总平方和SST＝组间平方和SSt+组内平方和SSe
总的均方：MST sT 2
(xij x)2 nk 1
组间的均方： MSt st 2 n
• 试验结果如下：
促销方式
与上年同期相比(%)
A1(广告宣传) 104.8 95.5 A2(有奖销售) 112.3 107.1 A3(特价销售) 143.2 150.3 A4(买一送一) 145.6 111.0
超市管理部门希望了解：
104.2 109.2 184.7 139.8
103.0 99.2 154.5 122.7
⑴不同促销方式对销售量是否有显著影响？
⑵哪种促销方式的效果最好？
案例 1 分析
• 可用 SPSS 软件的【工具】 →“analyze”→campare mean“One-Way ANOVA”
Dependent List：促销方式 Factor：% Contrasts选项: 多项式比较 Post Hoc选项: Options选项:Descriptive描述统计量， Homogeneity-of-variance方差齐次性检验， Means plot均值分布图 结果除了方差分析表，还有很多选项相应的结 果 求解单因素方差分析问题。
sk2
T xij x
x
平方和与自由度的分解
在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量数据资料的变异程度。
将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要 将总均方分解为处理间均方和处理内均方。
总变异平方和（Total variation）： ：分解为处理间
（ between group variation ）变异平方和与处理内（within group variation )变异平方和两部分；
观察值(xij, i=1,2,…,k; j=1,2,…,n)
总和 平均 均方
１ x11 x12 … x1j … x1n T1 x1 s12
２ x21 x22 … x2j … x2n T2
x2
s22
…………
……………
i
xi1 xi2 …
xij
… xin
Ti
xi
si2
…………
……………
xk
k xk1 xk2 … xkj … xkn Tk
第六章 方差分析ANOVA （Analysis of Variance)
方差分析的基本原理 多重比较 单向分组资料的方差分析 两向分组资料的方差分析 数据转换
• t 检 验 法 只 适用于两个处理平均数 • 间差异显著性检验。 • 1、计算工作量大
2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和 检验的灵敏度降低
i1
i1
j 1
ni
C
SS组内
a ni
(Yij
Yi )2
i1 j 1
a
(ni 1)Si2
i 1
S,为大方差， 处理间方差； S2为小方差， 处理内方差
二、F分布与F测验
F (1, 2 )
s12 s2 2
变异来源 处理间
DF SS
3
504
处理内（误差） 12
98
总
15 602
MS
F
F临界值
(xi x) 2 k 1
组内的均方： MSe se2
(xij xi )2 k(n 1)
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
均方差，均方(mean square，MS)
各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得
到总均方、处理间均方和处理内均方， 分别
记为 MST（或 ST2）、MSt（或 St2）和MSe
168
20.56** F0.05(3,1
2)=3.49
8.17
F0.01(3,1
2)=5.95
F>=F0.05, P<=0.05, 否定H0，处理间差异（极） 显著
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效 果，选择下属4个门店，分别采用不同促销 方式，对包装食品各进行了4个月的试验。
的变异程度，计算公式
a ni
SS总
Yij Y
2
Y a ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
Yij2 C＝(N 1)S 2
i, j
总 N 1
a
(
ni
Yij
)2
N
(Yij )2
校正系数： C i1 j1
i,j
N
N
ni
a
a (
Y )2 ij
SS组间 ni (Yi Y )2
药剂 Ａ 18 Ｂ 20 Ｃ 10 Ｄ 28
x =21
苗高观察值
21
20
24
26
15
17
27
29
总和Ti 平均 xi
13
72
18
22
92
23
14
56
14
32
116
29
T=336
自由度和平方和的分解
总变异自由度： DFT=(nk-1)=(44)-1=15
药剂间自由度： DFt=(k-1)=4-1=3
对多个处理平均数进行差异显著性检验，不宜 采用t检验法，须采用方差分析法。
第一节 方差分析的基本原理
方差分析是按照设计类型将变量的总变 异分解为若干部分，再通过比较各部分的 变异做出统计推断的检验方法。
• 自由度和平方和的分解 • F分布与F测验
一、自由度和平方和的分解
组别
设有k组数据，每组有n个观察值
药剂内自由度： DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
矫Байду номын сангаас数
C T 2 336 2 7056 nk 4 4
总的平方和： SST
xij2 C 602
组间平方和：
SSt
Ti 2 504 n
组内平方和：
SSe SST SSt 602 504 98
1. 总变异: 所有测量值之间总
（或 S
即
2）。
e MST
MSt
ST2 SST / dfT
S
2 t
SSt
/
dft
MSe
S
2 e
SSe
/
df e
注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。
自由度和平方和的分解
以Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种药剂处理水稻种子，其 中Ａ为对照，每处理各得４个苗高观察值(cm)，其 结果列于下表，试分解其平方和与自由度