相似三角形的判定之边边边及边角边定理 (最新)
第一讲(三 相似三角形的判定及性质)
A
例3
如图1 24 , 在 ABC 内任 取
一点D, 连接 AD和BD .点E在ABC 外, EBC ABD , ECB DAB. 求证 : DBE ~ ABC .
D
证明
在 DBE 与 ABC 中 , DBE
B
E
C
EBC CBD , ABC ABD DBC . 因为 ABD EBC , 所以
过 D 作 DE // BC , 交 AC 于点 E .由预备定理得
ADE ~ ABC .
因为 ADE B , B B `, 所以 ADE B `, 又因为 A A `, AD A `B `, 所以 ADE A `B `C `.
0
A
E1
D1
D
D2
E
E2
B
图 1 18
C
单击图标 打开几何画板 通过动 , ,
11 画演示 实验.解释 : 预备定理 P , ,
探究P ,引理P . 13 14
一般地 , 我们有 判定定理 1 对于任意两个三角形 角与另一个 相等 , 那么这
B D
A`
,
A B` C`
如果一个三角形的两个 三角形的两个角对应 两个三角形相似
C` A
证明
在 ABC 的边 AB 或延长线
B
D
E
上截取 AD A `B `, 过点 D 作 DE // BC , 交 AC 于点 E , 于是可得
AD AB AD AB EA CA DE BC A `B ` AB C `A ` CA AE AC
图 1 25
C
, ADE ~ ABC . 因为 AD A `B `, 所以
相似三角形的判定(边边边)
P
B
C
D
3.∠APD=90°，AP=PB=BC=CD
下列结论正确的是（ C）
A. △PAB∽△PCA B.△PAB∽△PDA C.△ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
1.如图:在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,若
AD=4,BD=3.5,AE=5,EC=1,下列结论错误的是(C ) A.1.5DE=BC B.△ABC∽△AED Ｄ
4
5
6 2
课堂小结 .判定三角形相似的方法有： （1）定义法：对应角相等、对应边成比例； (2)预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两 边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似； (3) 判定定理：（常用的方法） 1.两角对应相等的两个三角形相似 2.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 3.三边对应成比例，两个三角形相似
知识回顾: 判断两个三角形相似,你有哪些方法?
方法1：通过定义（不常用）
方法2：有两角对应相等的两三角形相似。
A
A A ' B B'
A'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
C
B'
C'
方法3：两边对应成比例且夹角相等的两三角相似
A
AB AC AA'
A'
A 'B ' A 'C '
∴ △ABC∽△A'B'C'
点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移
动.如果P，Q同时出发，用t（s）表示移 B
动的时间（0≤t≤6），那么：
Q
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函
数解析式；
相似三角形的应用名师课件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R．如果测得QS = 45 m，ST = 90m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
活动1
探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？
重点、难点知识★▲
小组合作：自学教材40页，例题5----测量河宽问题.
1.本题中是如何构造相似三角形来解决问题的？
2.你还可以用什么方法来测量河的宽度？
知识回顾
问题探究
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探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R．如果测得QS = 45 m，ST = 90m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
重点、难点知识★▲
例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（ ， ），点D的坐标为（0，1） （1）求直线AD的解析式； （2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
分析：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（ ， ），D（0，1）的坐标代入即可；
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例题讲解
三角形全等和相似的判定定理
三角形全等和相似的判定定理好嘞，今天我们聊聊三角形的全等和相似。
说到三角形，大家肯定会想到那种尖尖的、三条边的形状。
可是，三角形可不是单单靠外形就能判定的。
全等和相似，这两个概念可真是有趣。
想象一下，两个三角形，就像两个好朋友，虽然长得一模一样，但性格却可能截然不同。
全等的三角形就像是双胞胎兄弟，无论怎么换位置、怎么旋转，依然一模一样，边长和角度都是死死固定的。
而相似的三角形呢，就像是同一个家庭里的表亲，虽然他们的大小可能不一样，但整体风格、比例却是相似的。
这就像小时候我们一起玩搭积木，虽然最后搭出来的形状不尽相同，但整体的结构却有许多共同点。
真是有意思吧！咱们来聊聊判定全等的几种方法。
最直接的办法就是“边边边”法。
想象一下，你的好朋友有一双和你一模一样的鞋子，尺码、颜色全都匹配，那你们肯定是亲密无间的对吧？三角形也是如此，只要对应的三条边都相等，那这俩三角形绝对是全等的。
这就是经典的边边边全等定理，简单明了。
接着是“角边角”法。
想象一下，你跟朋友一起吃饭，你点了披萨，他点了汉堡，虽然食物不一样，但都是三角形的分割。
只要有两个角相等，并且夹着的那条边也相等，嘿，这两个三角形也是全等的。
这就像是你们俩虽然身高差不多，但发型和衣服各有千秋，依然是好朋友。
还有一个“边角边”法，嗯，听起来有点拗口，但实际上也是很简单的。
只要有一条边和它的两个角分别相等，那也是全等的，咋说呢，生活中总有些意外的组合让人惊喜，三角形的全等也是如此。
再说说相似三角形。
相似的判定方法可不是随便说说的哦。
“边边边”法同样适用，只要三条边的比例相同，不管三角形有多大，都是相似的。
就像兄弟俩，一米八的和一米六的，虽然身高不一样，但体型比例看起来还是蛮和谐的。
还有“角角角”法，嘿，只要三个对应角都相等，那这俩三角形就像兄弟姐妹一样，永远不会走出相似的圈子。
生活中有时候我们会看到一些东西，长得差不多，但大小不同，像是小孩和大人的模仿游戏，哈哈，这种情况就是相似三角形的完美体现。
相似三角形的判定3(三边对应成比例)
AB=14千米，AD=28千米， BD=21千米，
BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平
行吗？说出你的理由。
解：公路AB与CD平行。
∵
AB 14 2
BD 21 3
AD 28 2 BC 42 3
28 D
A
31.5 21
14
42
B
C
BD 21 2 DC 31.5 3
AB AD BD
例2、已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线 .求证：△ABC∽△FED
A
证明：∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
D
E
2
2
2B
F
C
∴ DE
BC
DF AC
EF
AB
1 2
∴ △ABC∽△FED
例3：如图，某地四个乡镇建有公路，已知
B 12
C
E
F
3:如图,在6×6的正方形方格中,△ABC与△DEF的 顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，
(1)填空: BC=___2___, AC=___1_0____ EF=_2___2__, DF=__2__1_0____.
(2)△ABC与△DEF相似 A 吗?若相似,请给出证明, 若不相似,请说明理由.
三角对应相等， 三边对应成比例 两边对
应成比 例，且 夹角相 等（SAS）
类似全等三角形的判定，除上述外，还有 其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。
三边对应成比例
A
A’
B’
C’
B
C
A'B' B'C' A'C'
相似三角形的判定条件
相似三角形的判定条件相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
判定两个三角形是否相似的条件包括三个方面：对应角相等、对应边成比例和三边对应比例相等。
1. 对应角相等两个三角形的对应角相等是判断其相似性最基本的条件之一。
如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们是相似的。
具体地，设三角形ABC和三角形DEF，如果∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF。
2. 对应边成比例相似三角形的另一个判定条件是对应边成比例。
在两个相似三角形中，对应边的比值要保持一致。
设三角形ABC和三角形DEF，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF。
3. 三边对应比例相等除了对应角相等和对应边成比例外，相似三角形还需要满足三边对应比例相等的条件。
具体地，设三角形ABC和三角形DEF，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC相似于三角形DEF。
基于以上判定条件，我们可以利用相似三角形的特点进行问题求解和证明。
例如，当我们已知一些三角形的角度或边的比例时，可以利用相似三角形的判定条件来推导出其他相关的角度或边的比例关系，从而解决一些三角形的性质和应用问题。
需要注意的是，相似三角形的判定条件是充要条件，即满足此条件的三角形一定是相似的，但只满足部分条件并不能保证三角形之间的相似性。
因此，在应用相似三角形的定理时，我们需要确保已满足了所有的判定条件。
综上所述，相似三角形的判定条件是对应角相等、对应边成比例和三边对应比例相等。
通过判定这三个条件是否满足，我们可以准确地判断两个三角形是否相似，并可以利用相似三角形的性质进行问题求解和证明。
相似三角形的判定之边边边及边角边定理
O
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
B
CB
C
类似于鉴定三角形全等旳措施，我们 还能不能经过三边来判断两个三角形相同 呢？
任意画一种三角形，再画一 种三角形，使它旳各边长都是原 来三角形各边长旳Ｋ倍，度量这 两个三角旳相应角，它们相等吗？ 这两个三角形相同吗？相互交流 一下，看看是否有一样旳结论．
1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否 相同,并阐明理由:
(1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30;
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25 .6cm.
2.图中旳两个三角形是否相同?
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵ AD AB, AD AB
AB AB
又 AB AC BC
AB AC BC
AD AE DE
B`
AB AC BC
A
D
∴ DE BC , EA CA .
BC BC CA CA
所以 DE BC, EA CA .
∴△ADE≌△ ABC
∴△ ABC∽△ABC
相同鉴定定理1： 假如两个三角形旳三组
相应边旳比相等,那么这两个三角形相同.
简朴地说:三边相应旳比相等,两三角形相同.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． 试鉴定△ABC与A′B′C′是否相同，并阐明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
三角形相似的判定
∵ ∠1=∠B ，∠A=∠A ∴△ACD∽△ABC ∴△ADE∽△ABC∽ △ACD
延伸练习。 已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别 是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。 （1）求证：ΔAEF∽ΔADC； （2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请 一一写出 。
A 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF. A
在△ABC 和△ A' B ' C ' 中, ∠A=∠A'， ∠B'=∠B △ABC与Байду номын сангаасA' B ' C ' 是否相似？
A
A'
利用相似三角形的 利用相似三角形的 可以证明！ 条件不够 B C B' 定义？ 预备定理？ 怎样创造具备预备定理条 把小的三角形移动到大的三角形上。 件的图形？
C'
证明：在AB，AC上分别截取AD= A'B' ，AE = A'C'
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
A
A'
C B'
C'
练习1
（1）ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800， ∠F=600。ΔABC与ΔDEF 相似（“相似”或“不相 似”）。 （2） D为ΔABC边AB上的一点，且∠ACD=∠B ，则 D 相似 （ “相似”或“不相似”）。 ΔABC与ΔACD (3)在ΔABC中，AB›AC，D为AB边上的一点，过D点作直 A
°03 °09
°06
°09
（3） 否
35°
相似三角形的判定之边边边及边角边定理
AD AE D E AB AC BC
B` A
C`
D
E
∴
因此 D . EB C , E A C A ∴△ADE≌△ABC
∴△ ABC ∽△ABC
B
C
要证明 △ABC∽△A’B’ C’，可以先作一 个与△ABC全等 的三角形，证明 它△A’B’C’与相 似．这里所作的 三角形是证明的 中介，它把 △ABC△A’B’C’ 联系起来．
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
相似判定定理1：
如果两个三角形的三组 对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
A E D
C
类似于判定三角形全等的方法，我们能通 过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
AB AC k A' B ' A'C ' A A'
三角形相似.
AB 4 1 BC 6 1 ( 2) , , A' B ' 12 3 B ' C ' 18 3 AC 8 . A' C ' 21 △ABC与△A’B’C‘的三组对应边 AB BC AC . 的比不等，它们不相似． A' B ' B ' C ' A' C '
九年级数学相似三角形的判定
目录
CONTENTS
目
01
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录
02
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相似三角形的定义与性
03 质
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相似三角形的判定方法
04
单击此处添加文本
相似三角形的应用
05
单击此处添加文本
相似三角形的变式与拓展
06
CONTENCT
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1
Part One
相似三角形的定义与性质
相似三角形在实际 问题中的变式
在测量中，有时需要利用相似三角形的 性质来计算距离、高度等。
测量中的应用
在建筑设计时，可以利用相似三角形的 性质来设计出符合要求的建筑结构。
建筑设计中的应用
在物理学中，有时需要利用相似三角形 的性质来分析力、运动等问题。
物理学中的应用
202X
THANK YOU
感谢聆听
相似三角形与其他几何知识点的结合
与全等三角形的结合 全等三角形是相似三角形的一种特殊 情况，当两个三角形完全相同时，它 们不仅是相似的，而且是全等的。 与平行四边形的结合 在平行四边形中，对角线将其划分为 两个相似的三角形。 与圆的结合 在圆中，相等的圆心角对应的两个扇 形是相似的，因此对应的两个三角形 也是相似的。
边边判定法
两个三角形中，如果两组对应的边成比例，则这两个三角形相似。
具体来说，如果 $frac{AB}{A'B'} = frac{BC}{B'C'} = frac{AC}{A'C'} = k$（$k$ 为常数），则$triangle ABC sim triangle A'B'C'$。
相似三角形及判定
相似三角形及判定在数学的奇妙世界中，相似三角形就像是一组神秘而有趣的密码，等待着我们去解读和探索。
相似三角形不仅在数学理论中占据重要地位，在实际生活中的应用也十分广泛。
那到底什么是相似三角形呢？简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形就是相似的。
这就好比是两个不同大小的同款风筝，它们的形状是一样的，只是一个大一个小。
相似三角形有很多有趣的性质。
比如说，它们的对应角相等。
想象一下，有两个相似三角形，其中一个三角形的三个角分别是 30 度、60 度和 90 度，那么另一个相似三角形对应的三个角也必然是 30 度、60度和 90 度。
再比如，它们的对应边成比例。
如果一个三角形的三条边分别是 3、4、5，而另一个与其相似的三角形的对应边分别是 6、8、10，那么 3 与 6 的比值、4 与 8 的比值、5 与 10 的比值都是相等的。
接下来，咱们重点聊聊相似三角形的判定方法。
这可是解决相似三角形问题的关键钥匙。
第一种判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
这很好理解，因为三角形的内角和是固定的 180 度，如果两个三角形有两个角分别相等，那么第三个角自然也相等。
就像两个人，眼睛和鼻子长得一样，那嘴巴大概率也长得差不多，整体长相也就相似了。
第二种判定方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
比如说，一个三角形的两条边分别是 4 和 6，夹角是 60 度；另一个三角形对应的两条边是 8 和 12，夹角也是 60 度，那么这两个三角形就是相似的。
第三种判定方法是“三边成比例的两个三角形相似”。
假如一个三角形的三边分别是 3、4、5，另一个三角形的三边分别是 6、8、10，因为 3 比 6 等于 4 比 8 等于 5 比 10，所以这两个三角形相似。
咱们通过几个实际的例子来看看这些判定方法是怎么运用的。
假设在一个三角形 ABC 中，角 A 等于 30 度，角 B 等于 60 度，在另一个三角形 DEF 中，角 D 等于 30 度，角 E 等于 60 度。
证明相似三角形判定方法
证明相似三角形判定方法证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形相似。
3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。
6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。
7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。
8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个三角形相似。
9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。
10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。
11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角形相似。
12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形相似。
13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形相似。
14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形相似。
15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三角形相似。
16. 利用角平分定理：如果平分一个三角形的一个角，并且用两条角平分线切分其对边，则所得的小三角形相似。
17. 边角边：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，则这两个三角形相似。
18. 角边角：如果两个三角形的一对对应角和夹边相等，则这两个三角形相似。
19. 边边边：如果两个三角形的三条边相等，则这两个三角形相似。
4.相似三角形判定PPT课件(北师大版)
积极探究：
黄金分割点的尺规作图：
读一读 神秘的0.618
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度 左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁 门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山， 九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在这黄金分割的纬度上。
与468的比值是一个神秘
468
的数字0.618,这个塔的
m
设计精致,外型匀称、漂
289.2m 亮、美观、大方.
A
D
P
Q
B
C
欣赏之四: 蒙娜丽莎
著名画家达·芬奇的蒙娜丽 莎, 其漂亮的面部抽象为矩 形ABCD，四边形BCQP恰 为正方形。AP与BP的比， BP与AB的比都是一个神
秘的数0.618.
生活中的黄金分割
归纳与对照
三角形全等与类似的判定方法
1.三角形全等判定：
三角对应相等, 三边对应相等
判定方法Biblioteka •角边角 •角角边 •边边边 •边角边
判定方法
2. 三角形类似判定：
三角对应相等, 判定方法 三边对应成比例
3.什么是黄金分割
1. 两角对应相等（判定１）
2.两边对应成比例且夹角相等（判定2）
3. 三边对应成比例（判定3） 4.两边对应成比例且
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与 长之比也接近0.618;
节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站 在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最 佳的位置;
生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来 舒坦顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8 开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形。
相似三角形的判定之边边边及边角边定理
A
4
B
50°
3.2
3.2 D G
2
50°
C
1.6 F
E
相似三角形的判定方法
方法2： 平行于三角形一边的直线与
其他两边(或延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似;
方法1：通过定义（不常用）
三 个 角 对 应 相 等 三 边 对 应 成 比 例
方法3： 三边对应成比例的,两三角形
相似.
方法4两边对应成比例且夹角相等,两
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
△ABC∽△A’B’C’
相似判定定理1：
如果两个三角形的三组 对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
相似三角形的判定之边边边及边角边定理和帮助边角边边边边边角边定理角边定理判定定理相似三角形边边角反馈意见
成比例 的两个三角形, 相等 对应边—————— 1. 对应角_______, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 。 2. 相似三角形的——————— , 各对应边——————
3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A P B D C
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为 B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是 否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有， 有几个？并求出此时BP的长，若没有， 请说明理由。
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D
E
.
因此 DE BC, EA CA . ∴△ADE≌△ABC
∴△ ABC ∽△ABC
B
C
要证明 △ABC∽△A’B’ C’，可以先作一 个与△ABC全等 的三角形，证明 它△A’B’C’与相 似．这里所作的 三角形是证明的 中介，它把 △ABC△A’B’C’ 联系起来．
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
AB 7 AC 14 7 解 : (1) , , A' B' 3 A' C ' 6 3 AB AC A' B' A' C '. 又A A' , ABC ∽ A' B' C '
要使两三角形相 似，不改变的 AC长，A’C’的 长应改为多少？
1.根据下列条件,判断△ABC与△A’B’C’是否相似, 并说明理由:
(1)∠A=400,AB=8,AC=15, ∠A’=400,A’B’=16,A’C’=30; (2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,
A’B’=16cm,B’C’=12.8cm,A’C’=25.6cm.
A D B E CB D O E
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
类似于判定三角形全等的方法，我们 还能不能通过三边来判断两个三角形相似 呢？
任意画一个三角形，再画一 个三角形，使它的各边长都是原 来三角形各边长的Ｋ倍，度量这 两个三角的对应角，它们相等吗？ 这两个三角形相似吗？相互交流 一下，看看是否有同样的结论．
A
A’
C
B
B’
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
相似判定定理1：
△ABC∽△A’B’C’
如果两个三角形的三组 对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
例1：在△ABC和△A′B′C′中，已知：
(1)AB＝4 cm， BC＝6 cm，AC＝8 cm，
A P B D C
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为 B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是 否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有， 有几个？并求出此时BP的长，若没有， 请说明理由。
8
6 14
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么 位置才能使△ADE△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 =？ =？ AB 3 AC 3
成比例 的两个三角形, 相等 对应边—————— 1. 对应角_______, 叫做相似三角形 . 对应角相等 成比例 。 2. 相似三角形的——————— , 各对应边——————
3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延 长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三边对应成比例
A
A’
B’
B
C
C’
A'B' B'C' A'C' = = AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
, 已知:如图△ABC和△ AB C中 求证:△ABC∽△A`B`C`
AB AC BC AB AC BC
A`
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
1.6 F
E
相似三角形的判定方法
方法2： 平行于三角形一边的直线与
其他两边(或延长线)相交,所构成的三 角形与原三角形相似;
方法1：通过定义（不常用）
三个角对应相等 三边对应成比例
方法3： 三边对应成比例的,两三角形
相似.
方法4两边对应成比例且夹角相等,两
三角形相似.
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ∵
AB AC BC 又 AB AC BC
AD AB AD AB, AB AB
AD AE DE AB AC BC
B` A
C`
∴
DE BC EA C A , BC BC CA CA
A E D
AB BC AC 解 AD DE AE
∴Δ ABC∽Δ ADE B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC 即∠BAD=∠CAE
C
类似于判定三角形全等的方法，我们能通 过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
AB AC k A' B' A' C ' A A'
A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm．
试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由．
(2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝30cm
如图已知
AB BC AC ， 试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
2.图中的两个三角形是否相似?
已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上 的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与 ΔQCP是否相似？为什么？
2如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2， 求证：△ABC∽△AED．
A 1 D B 2 E C
3.已知：如图，P为△ABC中线AD上 的一点，且BD2=PD.AD 求证：△ADC∽△CDP．
已知:如图△ABC和 A` △A`B`C`中,∠A＝∠A` , ∠A` ,A`B`:AB=A`C`:AC. C` 求证:△ABC∽△A`B`C` B`
A
D
E
B
C
类似于证明通过三边判定三角形相似 的方法,请你自己证明这个结论.
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三 角形相似的方法．
相似三角形判定定理2：如果两个三角形的两 组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那 么这两个三角相似.
B D A
E
∠A= ∠A
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
答案是2:1
？
思考
对于△ABC和△A’B’C’, 如果, ∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗? 试
3.2
3.2 D G
2
50°
C