2012届高考数学一轮复习教案：13.1 导数的概念与运算
2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)导数及其应用
§9.2 导数及其应用考点核心整合1.导函数(导数)是一个特殊的函数,它的引出和定义,始终贯穿着函数思想.2.求函数y=f(x)在点x 0处的导数的两种方法:导数定义法和导函数的函数法.3.导数的意义:①几何意义,f ′(x 0)是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率；②物理意义,s ′(t 0)是当物体的运动过程为s=s(t)时,物体运动在时刻t 0时的瞬时速度.4.要熟记常见函数的导数,掌握两个函数的和、差、积、商和复合函数的求导法则.5.掌握可导函数的单调性与其导数的关系,可导函数在某点取得极值的充要条件是导数在极值点两侧异号.链接·提示在相邻两区间单调性一致时,应考查相邻点函数是否连续.如函数y=x 3的单调性.6.设函数f(x)在\[a,b\]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在\[a,b\]上的最值步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 链接·拓展极值与最值有什么区别?提示:极值是相对于邻域而言,它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小,而最值是函数在给定区间上的全部函数值中最大(小)的值.极值是局部的概念,最值则是整体的概念. 考题名师诠释【例1】求下列函数的导数. (1)y=(x +1)(x 1-1)+ln xx +-11； (2)y=cos n (x+21x +).解：(1)y=21-x -21x +21ln(1-x)-21ln(1+x), y ′=-2123-x -2121-x +21·x -11(-1)-21·x+11 =-21(2212x x x xx -++). (2)y ′=ncos n-1(x+21x +)[cos(x+21x +)]′=-ncos n-1(x+21x +)sin(x+21x +)·(x+21x +)′=-ncos n-1(x+21x +)sin(x+21x +)·［1+21212)1(-+x (1+x 2)′］ =-ncos n-1(x+21x +)sin(x+21x +)·(1+21x x+).评述：在求复合函数的导数时可不写中间变量而直接对x 求导，对多次复合的函数求导时要把握由外向里逐次求导.【例2】（2006山东高考，18)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1), 其中a ≥-1.求f(x)的单调区间. 解：由已知得：函数f(x)的定义域为（-1，+∞），且f ′(x)=11+-x ax (a ≥-1). (1)当-1≤a ≤0时，f ′(x)＜0,函数f(x)在（-1,+∞）上单调递减.(2)当a ＞0时，由f ′(x)＞0,得x ＞a 1; 由f ′(x)＜0得,-1＜x ＜a1. 综上所述，当-1≤a ≤0时，函数f(x)在（-1，+∞）上单调递减；当a ＞0时，函数f(x)在（-1，a 1）上单调递减，在（a1,+∞）上单调递增. 【例3】（2006福建福州质量检查)已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+1在区间（-∞,-2］上单调递增，在区间［-2，2］上单调递减，且b ≥0.(1)求f(x)的表达式；(2)设0＜m ≤2，若对任意的x 1、x 2∈［m-2,m ］,不等式|f(x 1)-f(x 2)|≤16m 恒成立，求实数m 的最小值.解：（1）由题意知x=-2是该函数的一个极值点,由于f ′(x)=3x 2+2bx+c,∴f ′(-2)=0,即：12-4b+c=0,又f(x)在［-2，2］上单调递减，∴f ′(x)=3x 2+2bx+c 在［-2，2］上恒有f(x)≤0，∴f ′(2)≤0,即：12+4b+c ≤0.∴12+4b+4b-12≤0,∴b ≤0,又b ≥0,∴b=0,c=-12,f(x)=x 3-12x+1.(2)∵f ′(x)=3x 2-12=3(x-2)(x+2),0＜m ≤2,而当m-2≤x ≤m 时,0<m ≤x+2≤m+2,m-4≤x-2≤m-2≤0,∴f ′(x)≤0(x ∈［m-2,m ］).因此f(x)为［m-2,m ］上的减函数，∴对任意x 1,x 2∈［m-2,m ］都有|f(x 1)-f(x 2)|≤［f(x)］max -［f(x)］min =f(m-2)-f(m),=-6m 2+12m+16≤16m,∴m ≥34 即m min =34. 【例4】（2005全国高考Ⅲ，22理)已知函数f(x)=xx --2742,x ∈［0,1］. (1)求f(x)的单调区间和值域;(2)设a ≥1,函数g(x)=x 3-3a 2x-2a,x ∈［0,1］,若对于任意x 1∈［0,1］,总存在x 0∈［0,1］,使得g(x 0)=f(x 1)成立,求a 的取值范围.解：(1)对函数f(x)求导,得f ′(x)=222)2()72)(12()2(7164x x x x x x ---=--+-. 令f ′(x)=0,解得x=21或x=27.所以,当x ∈(0,2)时,f(x)是减函数; 当x ∈(21,1)时,f(x)是增函数. 当x ∈［0,1］时,f(x)的值域为［-4,-3］.(2)对函数g(x)求导,得g ′(x)=3(x 2-a 2).因为a ≥1,当x ∈(0,1)时,g ′(x)＜3(1-a 2)≤0, 因此当x ∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当x ∈［0,1］时,有g(x)∈［g(1),g(0)］.又g(1)=1-2a-3a 2,g(0)=-2a,即当x ∈［0,1］时,有g(x)∈［1-2a-3a 2,-2a ］.任给x 1∈［0,1］,f(x 1)∈［-4,-3］,存在x 0∈［0,1］使得g(x 0)=f(x 1),则［1-2a-3a 2,-2a ］⊇［-4,-3］,即⎩⎨⎧-≥--≤--)2(,32)1(,43212a a a 解①式得a ≥1或a ≤-35; 解②式得a ≤23. 又a ≥1,故a 的取值范围是1≤a ≤23. 评述：本题主要考查函数的性质、导数、不等式等基础知识,考查分析推理和知识的综合应用、转化的能力.运用导数求值域的一般步骤是:求导;令导数等于0;求y ′=0的根;求出最值点;写出范围.。
2012届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案
2012届高考理科数学第一轮总复习导数及其应用教案第三导数及其应用高考导航考试要求重难点击命题展望1导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义2导数的运算(1)能根据导数定义，求函数＝(为常数)，＝x，＝x2，＝x3，＝，＝的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数3导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；(2)了解函数在某点取得极值的必要条和充分条；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)4生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；(2)了解微积分基本定理的含义本重点：1导数的概念；2利用导数求切线的斜率；3利用导数判断函数单调性或求单调区间；4利用导数求极值或最值；利用导数求实际问题最优解本难点：导数的综合应用导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法因此，本知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力考题可能以选择题或填空题的形式考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式综合考查学生的分析问题和解决问题的能力知识网络3 1导数的概念与运算典例精析题型一导数的概念【例1】已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x，求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值【解析】由导数的定义知：f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2 f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时，平均变化率ΔΔx的极限【变式训练1】某市在一次降雨过程中，降雨量()与时间t(in)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t＝10 in的降雨强度为()A1 /inB14 /in12 /inD1 /in【解析】选A题型二求导函数【例2】求下列函数的导数(1)＝ln(x＋1＋x2)；(2)＝(x2－2x＋3)e2x；(3)＝3x1－x【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则(1)′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2(2)′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x＝2(x2－x＋2)e2x(3)′＝13(x1－x 1－x＋x(1－x)2＝13(x1－x 1(1－x)2＝13x (1－x)【变式训练2】如下图，函数f(x)的图象是折线段AB，其中A、B、的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(用数字作答)【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1)当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2题型三利用导数求切线的斜率【例3】已知曲线：＝x3－3x2＋2x，直线l：＝x，且l与切于点P(x0，0) (x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标【解析】由l过原点，知＝0x0 (x0≠0)，又点P(x0，0) 在曲线上，0＝x30－3x20＋2x0，所以0x0＝x20－3x0＋2而′＝3x2－6x＋2，＝3x20－6x0＋2又＝0x0，所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，解得x0＝32所以0＝－38，所以＝0x0＝－14，所以直线l的方程为＝－14x，切点坐标为(32，－38)【点拨】利用切点在曲线上，又曲线在切点处的切线的斜率为曲线在该点处的导数列方程，即可求得切点的坐标【变式训练3】若函数＝x3－3x＋4的切线经过点(－2，2)，求此切线方程【解析】设切点为P(x0，0)，则由′＝3x2－3得切线的斜率为＝3x20－3所以函数＝x3－3x＋4在P(x0，0)处的切线方程为－0＝(3x20－3)(x－x0)又切线经过点(－2,2)，得2－0＝(3x20－3)(－2－x0)，①而切点在曲线上，得0＝x30－3x0＋4，②由①②解得x0＝1或x0＝－2则切线方程为＝2 或9x－＋20＝0总结提高1函数＝f(x)在x＝x0处的导数通常有以下两种求法：(1) 导数的定义，即求ΔΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；(2)先求导函数f′(x)，再将x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值2求＝f(x)的导函数的几种方法：(1)利用常见函数的导数公式；(2)利用四则运算的导数公式；(3)利用复合函数的求导方法3导数的几何意义：函数＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是函数＝f(x)的曲线在点P(x0，0)处的切线的斜率导数的应用(一)典例精析题型一求函数f(x)的单调区间【例1】已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函数f(x)的单调区间【解析】函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定义域是(1，＋∞)f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，①若a≤0，则a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)②若a＞0，则a＋22＞1，故当x∈(1，a＋22]时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；当x∈[a＋22，＋∞)时，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，所以a＞0时，f(x)的减区间为(1，a＋22]，f(x)的增区间为[a＋22，＋∞)【点拨】在定义域x＞1下，为了判定f′(x)符号，必须讨论实数a＋22与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键【变式训练1】已知函数f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函数，求a 的取值范围【解析】因为f′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，即a≤2x＋1x恒成立又2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时，取等号)所以a≤22，故a的取值范围为(－∞，22]【点拨】当f(x)在区间(a，b)上是增函数时ͤf′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时ͤf′(x)≤0在(a，b)上恒成立然后就要根据不等式恒成立的条求参数的取值范围了题型二求函数的极值【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1(1)试求常数a，b，的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋因为x＝±1是函数f(x)的极值点，所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋＝0的两根由根与系数的关系，得又f(1)＝－1，所以a＋b＋＝－1 ③由①②③解得a＝12，b＝0，＝－32(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，所以当f′(x)＝32x2－32＞0时，有x＜－1或x＞1；当f′(x)＝32x2－32＜0时，有－1＜x＜1所以函数f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1【点拨】求函数的极值应先求导数对于多项式函数f(x)讲，f(x)在点x＝x0处取极值的必要条是f′(x)＝0但是，当x0满足f′(x0)＝0时，f(x)在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值【变式训练2】定义在R上的函数＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有()A f(x1)＜f(x2)B f(x1)＞f(x2)f(x1)＝f(x2)D不确定【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函数f(x)的图象关于x＝32对称又因为(x－32)f′(x)＜0，所以当x＞32时，函数f(x)单调递减，当x＜32时，函数f(x)单调递增当x1＋x22＝32时，f(x1)＝f(x2)，因为x1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)＞f(x2)故选B题型三求函数的最值【例3】求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在区间[0,2]上的最大值和最小值【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，同理，得知函数f(x)的单调递减区间是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－14为函数f(x)的极大值又因为f(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值【点拨】求函数f(x)在某闭区间[a，b]上的最值，首先需求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后，将f(x)的各个极值与f(x)在闭区间上的端点的函数值f(a)、f(b)比较，才能得出函数f(x)在[a，b]上的最值【变式训练3】(2008江苏)f(x)＝ax3－3x＋1对x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝【解析】若x＝0，则无论a为何值，f(x)≥0恒成立当x∈(0,1]时，f(x)≥0可以化为a≥3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3(1－2x)x4，x∈(0，12)时，g′(x)＞0，x∈(12，1]时，g′(x)＜0因此g(x)ax＝g(12)＝4，所以a≥4当x∈[－1,0)时，f(x)≥0可以化为a≤3x2－1x3，此时g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，g(x)in＝g(－1)＝4，所以a≤4综上可知，a＝4总结提高1求函数单调区间的步骤是：(1)确定函数f(x)的定义域D；(2)求导数f′(x)；(3)根据f′(x)＞0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递增区间；根据f′(x)＜0，且x∈D，求得函数f(x)的单调递减区间2求函数极值的步骤是：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)判断f′(x)在方程根左右的值的符号，确定f(x)在这个根处取极大值还是取极小值3求函数最值的步骤是：先求f(x)在(a，b)内的极值；再将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值33导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)＝12x2＋ln x(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域；(2)求证：x＞1时，f(x)＜23x3【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此f(x)在[1，e]上为增函数故f(x)ax＝f(e)＝e22＋1，f(x)in＝f(1)＝12，因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[12，e22＋1](2)证明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋ln x，则F′(x)＝x＋1x －2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，因为x＞1，所以F′(x)＜0，故F(x)在(1，＋∞)上为减函数又F(1)＝－16＜0，故x＞1时，F(x)＜0恒成立，即f(x)＜23x3【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时()Af′(x)＞0，g′(x)＞0Bf′(x)＞0，g′(x)＜0f′(x)＜0，g′(x)＞0Df′(x)＜0，g′(x)＜0【解析】选B题型二优化问题【例2】(2009湖南)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为26万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为万元(1)试写出关于x的函数关系式；(2)当＝640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝，即n＝x－1所以＝f(x)＝26n＋(n＋1)(2＋x)x＝26(x－1)＋x(2＋x)x＝26x＋x＋2－26(2)由(1)知f′(x)＝－26x2＋12x ＝2x2(x －12)令f′(x)＝0，得x ＝12所以x＝64当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数所以f(x)在x＝64处取得最小值此时n＝x－1＝64064－1＝9故需新建9个桥墩才能使最小【变式训练2】(2010上海)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用96米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到001平方米)【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r＋2h)＝96，所以2r＋h＝12S＝24πr－3πr2，h＝12－2r＞0，所以r＜06所以S＝24πr－3πr2(0＜r＜06)令f(r)＝24πr－3πr2，则f′(r)＝2 4π－6πr令f′(r)＝0得r＝04所以当0＜r＜04，f′(r)＞0；当04＜r＜06，f′(r)＜0所以r＝04时S最大，Sax＝11题型三导数与函数零点问题【例3】设函数f(x)＝13x3－x2＋(2－4)x，x∈R(1)当＝3时，求曲线＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且α＜β若对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求实数的取值范围【解析】(1)当＝3时，f(x)＝13x3－3x2＋x，f′(x)＝x2－6x＋因为f(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切点坐标为(2，23)，切线的斜率为－3，则所求的切线方程为－23＝－3(x－2)，即9x＋3－20＝0(2)f′(x)＝x2－2x＋(2－4)令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝＋2当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－2)上是增函数；当x∈(－2，＋2)时，f′(x)＜0，f(x)在(－2，＋2)上是减函数；当x∈(＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋2，＋∞)上是增函数因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3x ＋3(2－4)]，所以解得∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4)当∈(－4，－2)时，－2＜＋2＜0，所以α＜－2＜β＜＋2＜0此时f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，与题意不合，故舍去当∈(－2,2)时，－2＜0＜＋2，所以α＜－2＜0＜＋2＜β因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值因为当x＝＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以＋2＝1，即＝－1当∈(2,4)时，0＜－2＜＋2，所以0＜－2＜α＜＋2＜β因为对任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，所以α＜1＜β所以f(1)为函数f(x)在[α，β]上的最小值因为当x＝＋2时，函数f(x)在[α，β]上取最小值，所以＋2＝1，即＝－1(舍去)综上可知，的取值范围是{－1}【变式训练3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围【解析】(1)当a＞0时，F(x)的递增区间为(1a，＋∞)，递减区间为(0，1a)；当a≤0时，F(x)的递减区间为(0，＋∞)(2)[12ln 2，1e)总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值34定积分与微积分基本定理典例精析题型一求常见函数的定积分【例1】计算下列定积分的值(1) (x－1)dx；(2) (x＋sin x)dx【解析】(1)因为[16(x－1)6]′＝(x－1)，所以(x－1)dx＝＝16(2)因为(x22－s x)′＝x＋sin x，所以(x＋sin x)dx＝＝π28＋1【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值；(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分；(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：①若f(x)是偶函数时，则f(x)dx＝2 f(x)dx；②若f(x)是奇函数时，则f(x)dx＝0【变式训练1】求(3x3＋4sin x)dx【解析】(3x3＋4sin x)dx表示直线x＝－，x＝，＝0和曲线＝3x3＋4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x)所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－,]上是奇函数，所以(3x3＋4sin x)dx＝－(3x3＋4sin x)dx，所以(3x3＋4sin x)dx＝(3x3＋4sin x)dx＋(3x3＋4sin x)dx＝0题型二利用定积分计算曲边梯形的面积【例2】求抛物线2＝2x与直线＝4－x所围成的平面图形的面积【解析】方法一：如图，由得交点A(2,2)，B(8，－4)，则S＝[2x－(－2x)]dx＋[4－x－(－2x)]dx＝＋＝163＋383＝18方法二：S＝[(4－)－22]d＝＝18【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ()的形式，同时，积分上、下限必须对应的取值【变式训练2】设是一个正整数，(1＋x)的展开式中x3的系数为116，则函数＝x2与＝x－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为【解析】Tr＋1＝r(x)r，令r＝3，得x3的系数为313＝116，解得＝4由得函数＝x2与＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝43题型三定积分在物理中的应用【例3】(1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为s＝v(t)dt＋(－v(t))dt＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt= ＋＝22秒末所在的位置为x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt＝13所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13 (2) 物体的速度为v＝(bt3)′＝3bt2媒质阻力F阻＝v2＝(3bt2)2＝9b2t4，其中为比例常数，且＞0当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝t1＝(ab) ，又ds＝vdt，故阻力所做的功为阻＝ds ＝v2•vdt＝v3dt＝(3bt 2)3dt＝277b3t71 ＝2773a7b2【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)＝a(t)dt，s(t)＝v(t)dt 和＝F(x)dx这三个公式【变式训练3】定义F(x，)＝(1＋x)，x，∈(0，＋∞)令函数f(x)＝F[1，lg2(x2－4x＋9)]的图象为曲线1，曲线1与轴交于点A(0，)，过坐标原点向曲线1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，设曲线1在点A，B之间的曲线段与线段A，B所围成图形的面积为S，求S的值【解析】因为F(x，)＝(1＋x)，所以f(x)＝F(1，lg2(x2－4x＋9))＝＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又过坐标原点向曲线1作切线，切点为B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4所以解得B(3,6)，所以S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x) =9总结提高1定积分的计算关键是通过逆向思维求得被积函数的原函数2定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理过程和物理原理3利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；（4）计算定积分，写出答案。
2012高考(文科)数学一轮复习课件：第3章第1节 导数的概念及运算知识研习(新课标版)
数．
• (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
• 3．导数在研究函数中的应用 • (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数
• 考点一 导数的定义 • 【案例1】 用导数的定义证明：偶函数的导数是奇函
数．
• 证明：设f(x)是偶函数，则
f′(x)＝liΔxm→0
fx＋Δx－fx Δx
＝liΔxm→0
f－x－Δx－f－x Δx
＝－li－Δmx→0 f－x＋－－ΔΔxx－f－x＝－f′(－x)，
• 即对函数f(x)的定义域内的任意x有f′(－x)＝－f′(x)，所以 f′(x)是奇函数．
，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体在t0时的 s′(瞬t0)时速度v，即v＝s′(t0)．
• 4．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就
是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 f′(x0)．
，斜即率kk ＝
• 5．若y＝C，则
.
• 若y＝xn(n∈Q)，则y′＝y′＝0 .
【即时巩固 2】 求下列各函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
• 解析：因为y′＝3x2－6x，所以在点(1，－1)处的切线斜 率为k＝y′|x＝1＝－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即 y＝－3x＋2.
• 答案：B
3．已知某物体的运动方程是 s＝t＋19t3，则当9 m/s
2012届高考数学知识要点导数的概念及运算复习教案
2012届高考数学知识要点导数的概念及运算复习教案导数的概念及运算一．复习目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程．二．知识要点：1．导数的概念：；．2．求导数的步骤是．3．导数的几何意义是．三．课前预习：1．函数的导数是（）2．已知函数的解析式可（）3．曲线上两点，若曲线上一点处的切线恰好平行于弦，则点的坐标为（）4．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（）5．已知曲线在处的切线的倾斜角为，则，．6．曲线与在交点处的切线的夹角是．四．例题分析：例1．（1）设函数，求；（2）设函数，若，求的值．（3）设函数，求．解：（1），∴（2）∵，∴由得：，解得：或（3）例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离其中为经历的时间，，若，则下列说法正确的是（）（A）0～1s时间段内的速率为（B）在1～1+△ts时间段内的速率为（C）在1s末的速率为（D）若△t＞0，则是1～1+△ts时段的速率；若△t＜0，则是1+△ts～1时段的速率．小结：本例旨在强化对导数意义的理解，中的△t可正可负例3．（1）曲线：在点处的切线为在点处的切线为，求曲线的方程；（2）求曲线的过点的切线方程．解：（1）已知两点均在曲线C上.∴∵∴，可求出∴曲线：（2）设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴解得：或，当时，切点为，切线方程为：当时，切点为，切线方程为：例4．设函数(1)证明：当且时，；(2)点（0解：（1）∵，∴，两边平方得：即：，∵，∴，∴∴（2）当时，，曲线在点处的切线方程为：，即：∴切线与与轴，轴正向的交点为∴所求三角形的面积为例5．求函数图象上的点到直线的距离的最小值及相应点的坐标.解：首先由得知，两曲线无交点.，要与已知直线平行，须，故切点：（0,－2）..五．课后作业：班级学号姓名1．曲线在点处的切线方程为（）2．已知质点运动的方程为，则该质点在时的瞬时速度为（）12080503．设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）4．若，则5．设函数的导数为，且，则已知曲线（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求过点并与曲线相切的直线方程．7.设曲线：，在哪一点处的切线斜率最小？设此点为求证：曲线关于点中心对称.8.已知函数.若，且，，求．9..曲线上有一点，它的坐标均为整数，且过点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.10.已知函数的图像过点.过点的切线与图象仅点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求的解析式.。
高考数学一轮复习必备 导数导数的概念及运算.doc
第95课时：第十三章 导数——导数的概念及运算课题：{导数的概念及运算 一．复习目标：理解导数的概念和导数的几何意义，会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程． 二．知识要点：1．导数的概念：0()f x '= ； ()f x '= ． 2．求导数的步骤是 3．导数的几何意义是 ． 三．课前预习：1．函数22(21)y x =+的导数是 （ C ）()A 32164x x + ()B 348x x + ()C 3168x x + ()D 3164x x +2．已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可（ A ）()A )1(3)1()(2-+-=x x x f ()B )1(2)(-=x x f()C 2)1(2)(-=x x f ()D 1)(-=x x f3．曲线24y x x =-上两点(4,0),(2,4)A B ，若曲线上一点P 处的切线恰好平行于弦AB ，则点P 的坐标为 （ B ）()A (1,3)()B (3,3) ()C (6,12)- ()D (2,4)4．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ A ）5．已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为34π，则(2)f '-=1-，[(2)]f '-=0． 6．曲线2122y x =-与3124y x =-在交点处的切线的夹角是4π． 四．例题分析：例1．（1）设函数2()(31)(23)f x x x x =+++，求(),(1)f x f ''-； （2）设函数32()25f x x x x =-++，若()0f x '=，求x 的值． （3）设函数()(2)nf x x a =-，求()f x '．解：（1）32()61153f x x x x =+++，∴2()18225f x x x '=++（2）∵32()25f x x x x =-++，∴2()341f x x x '=-+ 由()0f x '=得：203410x x -+=，解得：01x =或013x =（3）0(22)(2)()lim n nx x a x x a f x x∆→-+∆--'=∆112210lim[(2)24(2)2()]n n n nn n n n x C x a C x x a C x ---∆→=-⋅+∆-++∆12(2)n n x a -=-例2．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离212S gt =其中t 为经历的时间，29.8/g m s =，若 0(1)(1)limt S t S V t∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ C ）（A ）0～1s 时间段内的速率为9.8/m s（B ）在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s （C ）在1s 末的速率为9.8/m s（D ）若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．小结：本例旨在强化对导数意义的理解，0lim →∆t t S t S ∆-∆+)1()1(中的△t 可正可负例3．（1）曲线C ：32y ax bx cx d =+++在(0,1)点处的切线为1:1l y x =+ 在(3,4)点处的切线为2:210l y x =-+，求曲线C 的方程；（2）求曲线3:2S y x x =-的过点(1,1)A 的切线方程． 解：（1）已知两点均在曲线C 上. ∴⎩⎨⎧=+++=439271d c b a d∵232y ax bx c '=++ /(0)f c = /(3)276f a b c =++∴12762c a b c =⎧⎨++=-⎩， 可求出11,1,,13d c a b ===-=∴曲线C ：32113y x x x =-+++（2）设切点为3000(,2)P x x x -，则斜率200()23k f x x '==-，过切点的切线方程为：3200002(23)()y x x x x x -+=--，∵过点(1,1)A ，∴32000012(23)(1)x x x x -+=--解得：01x =或012x =-，当01x =时，切点为(1,1)，切线方程为：20x y +-= 当012x =-时，切点为17(,)28--，切线方程为：5410x y --=例4．设函数1()1,0f x x x=->(1)证明：当0a b <<且()()f a f b =时，1ab >； (2)点00(,)P x y （0<x 0<1）在曲线()y f x =上，求曲线上在点P 处的切线与x 轴，y 轴正向所围成的三角形面积的表达式．（用0x 表示） 解：（1）∵()()f a f b =，∴11|1||1|a b -=-，两边平方得：22121211a a b b+-=+- 即：111111()()2()a b ab a b -+=-，∵0a b <<，∴110a b -≠，∴112,2a b ab a b+=+=2ab a b ⇒=+>∴1ab >（2）当01x <<时，11()11f x x x=-=-，00201()(01)f x x x '=-<<曲线()y f x =在点P 处的切线方程为：00201()y y x x x -=--， 即：02002x x y x x -=-+ ∴切线与与x 轴，y 轴正向的交点为20002(2,0),(0,)x x x x -- ∴所求三角形的面积为22000000211()(2)(2)22x A x x x x x -=-⋅=- 例5．求函数42y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐标.解：首先由⎩⎨⎧-=-+=424x y x x y 得420x += 知，两曲线无交点.341y x '=+，要与已知直线平行，须3411x +=，0x =故切点：（0 , －2）. d ==2.五．课后作业：1．曲线3231y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为（ ）()A 34y x =- ()B 32y x =-+ ()C 43y x =-+ ()D 45y x =-2．已知质点运动的方程为24105s t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为（ ）()A 60 ()B 1 ()C 80 ()D 503．设点P 是曲线335y x =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 （ ）()A 2[0,]3π ()B 2[0,][,)23πππ ()C 2(,]23ππ ()D 2[,]33ππ 4．若0()2f x '=，则00()()lim 2k f x k f x k→∞--=5．设函数()f x 的导数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(2)f '=6.已知曲线3:2S y x x =-（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程；（2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．7.设曲线S ：3266y x x x =---，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为00(,)P x y 求证：曲线S 关于P 点中心对称.8.已知函数22(),()f x x ax b g x x cx d =++=++. 若(21)4()f x g x +=，且()()f x g x ''=，(5)30f =，求(4)g ．9..曲线(1)(2)y x x x =+-上有一点P ，它的坐标均为整数，且过P 点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.10.已知函数32y x ax bx c ==++的图像过点(1,2)P .过P 点的切线与图象仅P 点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求()f x 的解析式。
高中总复习第一轮数学 第十三章 导数(理) 13.1 导数的概念与运算
第十三章 导数(理)网络体系总览考点目标定位1.导数的概念、导数的几何意义、几种常见函数的导数.2.两个函数的和、差、积、商和导数,复习函数的导数、基本导数公式.3.利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值.4.了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 复习方略指南深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大(小)值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.13.1 导数的概念与运算巩固²夯实基础一、自主梳理1.导数的概念(1)如果当Δx →0时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00. (2)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时对于开区间(a,b)内每一个确定的值x 0,都对应着一个确定的导数f ′(x 0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，记作f ′(x),即f ′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数. 2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.3.几种常见的导数C ′=0(C 为常数)；(x n )′=nx n-1；(sinx)′=cosx ；(cosx)′=-sinx ；(e x )′=e x ；(a x )′=a x lna ；(lnx)′=x 1；(log a x)′=x1log a e. 4.导数的四则运算法则设u 、v 是可导函数，则(u ±v)′=u ′±v ′；(uv)′=u ′v+uv ′；(v u )′=2''vuv v u -(v ≠0).链接²提示f(x)在x=x 0处的导数f ′(x 0)的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义:f ′(x 0)是函数f(x)的导函数f ′(x)当x=x 0时的函数值.二、点击双基1.质点运动方程为s=61t 3-21t 2+1,那么当质点在t=2时的速度为( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析:s ′=21t 2-t,∴s ′(2)=0. 答案:A2.设函数f(x)在x=x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+( ) A.与x 0、h 都有关 B.仅与x 0有关而与h 无关C.仅与h 有关而与x 0无关D.与x 0、h 均无关答案:B3.函数y=x 2的曲线上点A 处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为45°,则点A 的坐标为_ __________________________.解析:设点A 的坐标为(x 0,y 0),则y ′0|x x ==2x 0|x x ==2x 0=k 1.又直线3x-y+1=0的斜率k 2=3,∴tan45°=1=|1|||1212k k k k +-=|006123x x +-|. 解得x 0=41或x 0=-1. ∴y 0=161或y 0=1, 即A 点坐标为(41，161)或(-1，1). 答案:(41，161)或(-1，1) 4.0lim →x xx θθsin )sin(-+=___________________________. 解析:0lim →x xx θθsin )sin(-+=sin ′θ=cos θ. 答案:cos θ诱思²实例点拨【例1】 若f(x)在R 上可导，(1)求f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数的关系；(2)证明若f(x)为偶函数，则f ′(x)为奇函数.剖析:(1)需求f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数；(2)求f ′(x)，然后判断其奇偶性.(1)解:设f(-x)=g(x),则g ′(a)=0lim →∆x xa g x a g ∆-∆+)()(=0lim→∆x xa f x a f ∆--∆--)()( =-0lim →∆x x a f x a f ∆---∆--)()( =-f ′(-a).∴f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数互为相反数.(2)证明:f ′(-x)=0lim→∆x xx f x x f ∆--∆+-)()( =0lim →∆x xx f x x f ∆-∆-)()( =-0lim →∆x x x f x x f ∆--∆-)()( =-f ′(x).∴f ′(x)为奇函数.讲评:用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致.链接²拓展(2)中若f(x)为奇函数，f ′(x)的奇偶性如何？【例2】（2004潍坊高三统一考试）已知函数f(x)=lnx,g(x)=21x 2+a(a 为常数),直线l 与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l 与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线l 的方程及a 的值.剖析:由直线l 与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线l 与函数g(x)的图象相切,所以l 与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过Δ=0,求出a 的值.解:由f ′(x)|x=1=1,知k l =1,切点为(1,f(1)),即(1,0),所以直线l 的方程为y=x-1.直线l 与y=g(x)的图象相切,等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a x y x y 221,1只有一解,即方程 21x 2-x+(1+a)=0有两个相等的实根,∴Δ=1-4³21(1+a)=0. ∴a=-21. 讲评:本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力.【例3】 求下列函数的导数:(1)y=x 2sinx ； (2)y=ln(x+21x +)； (3)y=11-+x x e e ；(4)y=xx x x sin cos ++. 解:(1)y ′=(x 2)′sinx+x 2(sinx)′=2xsinx+x 2cosx. (2)y ′=211x x ++²(x+21x +)′ =211x x ++(1+21x x +)=211x +.(3)y ′=2)1()'1)(1()1()'1(--+--+x x x x x e e e e e =2)1(2--x xe e . (4)y ′=2)sin ()'sin )(cos ()sin ()'cos (x x x x x x x x x x +++-++ =2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+-- 链接²聚焦函数f(x)在点x 0处是否可导与是否连续有什么关系？。
华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十六章)第一讲：导数的概念与运算
第一讲 导数的概念与运算教学目的：掌握导数的概念．导数的几何意义．几种常见函数的导数公式．两个函数的和、差、积、商的导数公式．复合函数的导数公式．教学重点：掌握导数的概念；熟练地进行导数的运算 教学难点：掌握导数的概念；熟练地进行导数的运算【知识概要】新课标教学目标（1）通过丰富的实际材料体验导数概念的背景。
（2） 理解导数是平均变化率的极限；理解导数的几何意义。
（3）掌握函数y=x n（n ∈N*）的导数公式，会求多项式函数的导数。
（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。
（5）通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用。
（6）通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值、文化价值及基本思想。
知识点1 曲线的切线如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了。
设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim→∆x =∆∆xy 0lim→∆x 0我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.指出：（1）割线PQ 斜率的极限就是曲线在点P 处的切线的斜率。
（2）若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在；反之，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，即函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线。
高考数学一轮复习专题13导数的概念及其运算教学案文.doc
1
y0＝0，
【解析】
(1)
设切点为(x0，y0)，y′＝x＋a，所以有
x0＋a＝1，
解得
a＝2.
y0＝ln（x0＋a），
1
1
(2)∵f(x)
＝2x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋x.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
1
∴f′(x)存在零点，∴x＋x－a＝0有解，
1
∴a＝x＋x≥2(x>0).
专题13导数的概念及其运算
1.了解导数概念的实际背景；
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；
1
3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝ ，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数；x
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合
函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；
(6)复合函数：由外向内，层层求导.
【变式探究】求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y
cos x＝ex
；
π
π
(3)y
＝xsin
2x＋
2
cos 2x＋
2
；
(4)y
＝ln(2x
－5).
在点(x0，f(x0))的切线的斜率
等于f′(x0)．
2．函数f(x)
的导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称
f(x)
在区间(a，b)可导．这样，对开
区间(a，b)内每个值
2012届高考数学导数的概念及运算第一轮基础知识点复习教案
2012届高考数学导数的概念及运算第一轮基础知识点复习教案第三编导数及其应用§31 导数的概念及运算1在曲线=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δ），则为答案Δx+22已知f(x)=sinx(sx+1)，则f′(x)=答案s2x+sx3若函数=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式不一定成立的是（填序号）①af(b)＞bf(a)②af(a)＞bf(b)③af(a)＜bf(b)④af(b)＜bf(a)答案①③④4（2008•辽宁理，6）设P为曲线：=x2+2x+3上的点，且曲线在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为答案(2008•全国Ⅱ理，14)设曲线=eax在点（0，1）处的切线与直线x+2+1=0垂直，则a=答案2例1 求函数= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率解∵Δ=== ，∴=例2 求下列各函数的导数：（1）= ；（2）=（x+1）（x+2）（x+3）；（3）=-sin (1-2s2 )；（4）= +解（1）∵= =x +x3+ ，∴′=（x ）′+(x3)′+(x-2sinx)′=- x +3x2-2x-3sinx+x-2sx(2)方法一=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴′=3x2+12x+11方法二′=［（x+1）（x+2）］′（x+3）+（x+1）（x+2）（x+3）′=［（x+1）′（x+2）+（x+1）（x+2）′］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11（3）∵=-sin (-s )= sinx，∴′=( sinx) ′= （sinx）′= sx（4）= + = = ，∴′=( )′= =例3 求下列函数的导数：（1）= ;(2)=sin2(2x+ );(3)=x解（1）设u=1-3x,=u-4则x′= u′•ux′=-4u-•（-3）=(2)设=u2,u=sinv,v =2x+ ,则x′= u′•u v′•v x′=2u•sv•2=4sin •s=2sin(3)′=(x )′=x′• +x•（)′= + =例4 （14分）已知曲线= x3+(1)求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程解（1）∵′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率=′|x=2=43分∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为-4=4(x-2),即4x--4=06分（2）设曲线= x3+ 与过点P（2，4）的切线相切于点A(x0，x03+ )，则切线的斜率=′| =x028分∴切线方程为-( x03+ )=x02(x-x0),即=x02•x- x03+ 10分∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02- x03+ ,即x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0,∴x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x--4=0或x-+2=014分1求= 在x=x0处的导数解=== ，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于,∴f′(x0)=2求=tanx的导数解′= == =3设函数f（x）=s（x+ ）（0＜＜）若f(x)+f′(x)是奇函数,则=答案4若直线=x与曲线=x3-3x2+2x相切，则=答案2或-一、填空题1若f′（x0）=2，则当无限趋近于0时=答案-12（2008•全国Ⅰ理，7）设曲线= 在点（3，2）处的切线与直线ax++1=0垂直，则a=答案-23若点P在曲线=x3-3x2+(3- )x+ 上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是答案4曲线=x3-2x2-4x+2在点（1,-3）处的切线方程是答案x+-2=0（2009•徐州六县一区联考）若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-=0,则点P的坐标为答案（1，0）6已知曲线S:=3x-x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线，其切线共有条答案37曲线= 和=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是答案8若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(lgax)(0＜a＜1)的单调递减区间是答案二、解答题9求下列函数在x=x0处的导数（1）f（x）=sx•sin2x+s3x，x0= ；（2）f（x）= ，x0=2；（3）f（x）= ，x0=1解（1）∵f′(x)=［sx(sin2x+s2x)］′=(sx)′=-sinx,∴f′（）=-(2)∵f′(x)=== ,∴f′(2)=0(3)∵f′(x)=(x )′-x′+(lnx)′=- x -1+ ,∴f′(1)=-10求曲线=ln(2x-1)上的点到直线2x-+3=0的最短距离解设曲线上过点P（x0,0）的切线平行于直线2x-+3=0，即斜率是2，则′| == | = =2解得x0=1,所以0=0,即点P（1，0），点P到直线2x-+3=0的距离为,∴曲线=ln(2x-1)上的点到直线2x-+3=0的最短距离是11（2008•海南、宁夏，21，（1）（3）问）设函数f(x)=ax+ （a,b ∈Z），曲线=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为=3（1）求f（x）的解析式；（2）证明：曲线=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值(1)解f′(x)=a- ,于是解得或因为a,b∈Z,故f(x)=x+(2)证明在曲线上任取一点（x0,x0+ ）,由f′(x0)=1- 知,过此点的切线方程为- = (x-x0)令x=1,得= ,切线与直线x=1的交点为;令=x,得=2x0-1,切线与直线=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=1与直线=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为|2x0-1-1|= |2x0-2|=2所以,所围三角形的面积为定值212偶函数f（x）=ax4+bx3+x2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为=x-2，求=f（x）的解析式解∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1①又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）故ax4+bx3+x2+dx+e=ax4-bx3+x2-dx+e∴b=0，d=0②∴f（x）=ax4+x2+1∵函数f（x）在x=1处的切线方程为=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a++1=-1③∵f′（1）=（4ax3+2x）|x=1=4a+2，∴4a+2=1 ④由③④得a= ，=-∴函数=f（x）的解析式为f（x）= x4- x2+1。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版一、教学目标：1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法及应用；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率；2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；3. 导数的应用：求函数的极值、单调性、曲线的凹凸性等。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、计算方法及应用；2. 难点：导数的计算规则、复合函数的导数、导数在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解导数的定义、计算方法和应用；2. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；3. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率；2. 讲解导数的定义，通过图形和实例使学生理解导数的物理意义；3. 讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；4. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；5. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题；6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
教案内容仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评估：1. 课后作业：布置有关导数计算和应用的习题，巩固所学知识；2. 课堂练习：及时反馈学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导；3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，了解学生的理解程度和团队合作能力。
七、教学拓展：1. 导数在实际应用中的例子：如优化问题、物理运动方程等；2. 导数与其他数学概念的联系：如微分方程、泰勒公式等；3. 导数在高等数学中的作用：如多元函数的导数、隐函数的导数等。
八、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，如《高等数学》、《数学分析》等；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 习题库：整理一份全面的习题库，便于学生课后练习。
高三数学一轮复习 《导数的概念及运算》教案 人教大纲版
高三一轮复习课堂讲义 导数的概念及运算★ 知 识 梳理 ★1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率x y ∆∆.（3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处 的3. 几种常见函数的导数'c =0（c 为常数）；()n x '=1n nx -（R n ∈）；'(sin )x = ；'(cos )x = ；(ln )x '=1x ； (log )a x '=1log a e x； '()x e =xe ；'()x a =ln xa a .4.运算法则①求导数的四则运算法则：'()u v ±=''u v ±；'()uv = ；'u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)v ≠.考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 考点2.求曲线的切线方程[例2] 如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s 内其运动方程是s =s (t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s )，求小球在t =5时的速度.1. 曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 题型1:求导运算[例4] 求下列函数的导数：（1） cos xy e x = （2）2tan y x x =+导数在研究函数中的应用★ 知 识 梳理 ★1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 判别f (x 0)是极大、极小值的方法若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 题型1.讨论函数的单调性例5． 求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y （2）x x y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k （4）αln 22-=x y题型2.由单调性求参数的值或取值范围例6: 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.题型3.借助单调性处理不等关系 例7．求证下列不等式 （1）当0x >，求证1xe x >+（2）πxx 2sin > )2,0(π∈x题型4导数与函数的极值和最大(小)值.例8．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是例9．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间强化训练一、选择题：1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．02．已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为_______________________．3．下列求导运算正确的是( )A ．(x +211)1x x +=' B ．(log 2x )'=2ln 1x C ．(3x)'=3xlog 3e D ．(x 2cos x )'=－2x sin x 4．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞5．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0 7．函数323922yx x x x 有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 9．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 10．函数x x y ln =的最大值为（ ）A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 11．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④12．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）二、填空题：13．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 14．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．15．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。
高考数学 一轮复习导数的概念与运算教案 苏教版
导数的概念与运算【复习目标】 1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率； 2．掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法那么及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算； 【重点难点】导数的定义，求导公式．理解导数的物理、几何意义，求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度. 【知识梳理】1．导数概念及其几何意义① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
③导数的概念。
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f 〔x 0+x ∆〕－f 〔x 0〕，比值xy∆∆叫做函数y=f 〔x 〕在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f 〔x 〕在点x 0处的导数，记作f’〔x 0〕或y’|0x x =。
说明：x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
④导数的几何意义。
函数y=f 〔x 〕在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f 〔x 〕在点p 〔x 0，f 〔x 0〕〕处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f 〔x 〕在点p 〔x 0，f 〔x 0〕〕处的切线的斜率是f’〔x 0〕。
相应地，切线方程为y －y 0=f /〔x 0〕〔x －x 0〕。
2．导数的运算① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3，y=1/x ，y=x 的导数；② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数，能求简单的复合函数〔仅限于形如f 〔ax+b 〕〕的导数； ③ 会使用导数公式表。
高三一轮--导数的概念及运算教案
导数的概念及运算☆复习目标1．了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率与导数的关系;2．能根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数； 3．通过函数图象直观地理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程； 4．提高学生运算能力，培养数形结合思想，分类讨论思想； ☆复习重点1．导数的概念及运算2．导数的几何意义及应用 ☆复习难点 导数的几何意义及应用 ☻基础热身：2、求下列函数的导数☻知识梳理：1. 平均变化率与瞬时变化率：（1）函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为 x y ∆∆＝()()1212x x x f x f --（2）函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率为 ()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim2. 导数的概念：（1）函数()f x 在x x = 处的导数： f （x ）在点x 0处的导数就是函数()f x 在x x = 处的瞬时变化率即()f x ' =lim →∆x x y∆∆=()()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆0000'lim（2）函数()f x 的导函数:当x 变化时()x f '是x 的一个函数，称()x f '为()f x 的导函数（简称导数）即()()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆0'lim()的瞬时速度为：，则在时刻单位：其运动方程是、一物体作直线运动，323612=-+=t m t t s ()52y 123++=x x ()x xe x ln y 2+=()2cos 2sin 2y 3x x x -=()xx sin y 42=()b a y x b b ax x y ,,01,032则求处的切线方程是在点若曲线、=+-++=3. 导数的几何意义与物理意义： （1）几何意义：（2）物理意义瞬时速度 加速度4．基本初等函数的导数①;C '= ②();nx'=③(sin )x '=; ④(cos )x '=; ⑤()x a '=;⑥();x e '=⑦()l g a o x '=; ⑧()ln x '=.5．导数的运算法则6．复合函数的导数()()()()的导数的关系为：的导数与复合函数x g u u f y x g f y ===,'''x u u y y ⋅=☆ 案例分析例1：2x y =已知曲线方程为（1） 求过A （2,4）点且与曲线相切的直线方程 （2） 求过B （3,5）点且与曲线相切的直线方程例2.已知函数 y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如右图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（ ）()()()()()====k x f x x f y x f y x x f y 切线的斜率即：处的在点是曲线处的导数在函数000'0,P ()0'x f x x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(00lim0()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t S S S ===t t t t ()()时刻的是物体运动在处的导数在函数00'0t t V V V ===t t t t ()()()[]=±'1x g x f ()()()[]='.2x g x f ()()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'3x g x f ()()x g x f ''±()()()()x g x f x g x f ''⋅+⋅[]2)()()()()(x g x g x f x g x f '-'☆ 走进高考：例3.（08北京）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A BC ，， 的坐标分别为(04)(20)(64，，，，，，则((0))f f = ；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）例4.（2010天津文科20）☆ 课堂小结：（1） 导数的概念及运算 （2） 导数的几何意义及运算☆ 课后练习：（2010辽宁12）()()()()()()()()的取值范围；恒成立，求上，若在区间处的切线方程；在点，求曲线若其中已知函数a x f f x f y a a R x x ax x f 021,2122,2110,12323>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==>∈+-=取值范围的求处的切线的倾斜角，则为曲线在点上，在曲线已知点ααP 14P +=x e y。
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*第十三章导数●网络体系总览●考点目标定位1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.13.1 导数的概念与运算●知识梳理1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy ； （2）求平均变化率xy ∆∆. （3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim→∆x xy ∆∆. 2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度.3.求导公式(c )'=0，(x n )'=n ·x n －1（n ∈N *）. 4.运算法则 如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'= c f '（x ）.●点击双基1.若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy ∆∆等于A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2 解析：Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy∆∆=4+2Δx . 答案：C2.对任意x ，有f '（x ）=4x 3，f （1）=－1，则此函数为A.f （x ）=x 4－2B.f （x ）=x 4+2C.f （x ）=x 3D.f （x ）=－x 4 解析：筛选法. 答案：A3.如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为 A.6 B.18 C.54 D.81 解析：∵s ′=6t 2，∴s ′|t =3=54. 答案：C4.若抛物线y =x 2－x +c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.解析：∵y ′=2x －1，∴y ′|x =－2=－5.又P （－2，6+c ），∴26-+c=－5.∴c =4. 答案：45.设函数f （x ）=（x －a ）（x －b ）（x －c ）（a 、b 、c 是两两不等的常数），则)(a f a '+)(b f b '+)(c f c'=________. 解析：∵f （x ）=x 3－（a +b +c ）x 2+（ab +bc +ca ）x －abc ， ∴f '（x ）=3x 2－2（a +b +c ）x +ab +bc +ca . 又f '（a ）=（a －b ）（a －c ），同理f '（b ）=（b －a ）（b －c ），f ' （c ）=（c －a ）（c －b ）. 代入原式中得值为0.答案：0 ●典例剖析【例1】 （1）设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为 A.［0，a 1］ B.［0，a21］ C.［0，|ab2|］ D.［0，|ab 21-|］ （2）（2004年全国，3）曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 A.y =3x －4 B.y =－3x +2 C.y =－4x +3 D.y =4x －5 （3）（2004年重庆，15）已知曲线y =31x 3+34，则过点P （2，4）的切线方程是______.（4）（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P （x 0，f （x 0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］， ∴P 到曲线y =f （x ）对称轴x =－a b 2的距离d =x 0－（－a b 2）=x 0+ab 2. 又∵f '（x 0）=2ax 0+b ∈［0，1］，∴x 0∈［a b 2-，a b 21-］.∴d =x 0+a b 2∈［0，a21］. （2）∵点（1，－1）在曲线上，y ′=3x 2－6x ，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y +1=－3（x －1）. （3）∵P （2，4）在y =31x 3+34上，又y ′=x 2，∴斜率k =22=4.∴所求直线方程为y －4=4（x －2），4x －y －4=0. （4）y ′=6x －4，∴切线斜率为6×1－4=2. ∴所求直线方程为y －2=2（x +1），即2x －y +4=0. 答案：（1）B （2）B （3）4x －y －4=0 （4）2x －y +4=0评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用. 思考讨论导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用?答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】 曲线y =x 3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y =27x －54，此直线与x 轴、y 轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S =21×2×54=54. 评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】 已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ，直线l ：y =kx ，且直线l 与曲线C 相切于点（x 0，y 0）（x 0≠0），求直线l 的方程及切点坐标.剖析：切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.解：∵直线过原点，则k =00x y（x 0≠1）.由点（x 0，y 0）在曲线C 上，则y 0=x 03－3x 02+2x 0， ∴00x y=x 02－3x 0+2. 又y ′=3x 2－6x +2，∴在（x 0，y 0）处曲线C 的切线斜率应为k =f '（x 0）=3x 02－6x 0+2. ∴x 02－3x 0+2=3x 02－6x 0+2. 整理得2x 02－3x 0=0. 解得x 0=23（∵x 0≠0）. 这时，y 0=－83，k =－41.因此，直线l 的方程为y =－41x ，切点坐标是（23，－83）. 评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】 证明：过抛物线y =a （x －x 1）·（x －x 2）（a ≠0，x 1<x 2）上两点A （x 1，0）、B （x 2，0）的切线，与x 轴所成的锐角相等.剖析：利用与x 轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可. 解：y ′=2ax －a （x 1+x 2），y ′|1x x ==a （x 1－x 2），即k A =a （x 1－x 2），y ′|2x x ==a （x 2－x 1），即k B =a （x 2－x 1）. 设两条切线与x 轴所成的锐角为α、β，则tan α=|k A |=|a （x 1－x 2）|， tan β=|k B |=|a （x 2－x 1）|，故tan α=tan β. 又α、β是锐角，则α=β.评述：由tan α=tan β不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β.●闯关训练 夯实基础1.函数f （x ）=（x +1）（x 2－x +1）的导数是 A.x 2－x +1 B.（x +1）（2x －1）C.3x 2D.3x 2+1 解析：∵f （x ）=x 3+1， ∴f '（x ）=3x 2.答案：C2.曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为3x +y +3=0，则 A. f '（x 0）>0 B. f '（x 0）<0 C. f '（x 0）=0 D. f '（x 0）不存在 解析：由题知f '（x 0）=－3.答案：B3.函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f '（－1）=4，则a 的值等于________. 解析： f '（x ）=3ax 2+6x ，从而使3a －6=4，∴a =310. 答案：310 4.曲线y =2x 2+1在P （－1，3）处的切线方程是________________.解析：点P （－1，3）在曲线上，k =f '（－1）=－4，y －3=－4（x +1），4x +y +1=0. 答案：4x +y +1=05.已知曲线y =x 2－1与y =3－x 3在x =x 0处的切线互相垂直，求x 0.解：在x =x 0处曲线y =x 2－1的切线斜率为2x 0，曲线y =3－x 3的切线斜率为－3x 02.∵2x 0·（－3x 02）=－1，∴x 0=361.答案： 3616.点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）.当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）. ∴α∈［0，2π）∪［43π，π）. 培养能力7.曲线y =－x 2+4x 上有两点A （4，0）、B （2，4）.求： （1）割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；（2）在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）k AB =4204--=－2， ∴y =－2（x －4）.∴所求割线AB 所在直线方程为2x +y －8=0.（2）y '=－2x +4，－2x +4=－2，得x =3，y =－32+3×4=3. ∴C 点坐标为（3，3），所求切线方程为2x +y －9=0. 8.有点难度哟！若直线y =3x +1是曲线y =x 3－a 的一条切线，求实数a 的值. 解：设切点为P （x 0，y 0），对y =x 3－a 求导数是y '=3x 2，∴3x 02=3.∴x 0=±1.（1）当x =1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上， ∴y =3×1+1=4，即P （1，4）. 又P （1，4）也在y =x 3－a 上， ∴4=13－a .∴a =－3. （2）当x =－1时，∵P （x 0，y 0）在y =3x +1上，∴y =3×（－1）+1=－2，即P （－1，－2）. 又P （－1，－2）也在y =x 3－a 上， ∴－2=（－1）3－a .∴a =1.综上可知，实数a 的值为－3或1.9.确定抛物线方程y =x 2+bx +c 中的常数b 和c ，使得抛物线与直线y =2x 在x =2处相切. 解：y '=2x +b ，k =y ′|x =2=4+b =2，∴b =－2.又当x =2时，y =22+（－2）×2+c =c ， 代入y =2x ，得c =4. 探究创新10.有点难度哟！曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程. 解：y '=3x 2+6x +6=3（x +1）2+3，∴x =－1时，切线最小斜率为3，此时，y =（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14. ∴切线方程为y +14=3（x +1），即3x －y －11=0. ●思悟小结1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法. ●教师下载中心 教学点睛 1.f '（x 0）=0lim→x xx f x x ∆-∆+)()(00的几种等价形式：f '（x 0）=0limx x →00)()(x x x f x f -- =0lim →h h x f h x f )()(00-+=0lim→h hh x f x f )()(00--2.曲线C ：y =f （x ）在其上一点P （x 0，f （x 0））处的切线方程为 y －f （x 0）=f '（x 0）（x －x 0）.3.若质点的运动规律为s =s （t ），则质点在t =t 0时的瞬时速度为v =s '（t 0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.拓展题例【例题】 曲线y =x 2+1上过点P 的切线与曲线y =－2x 2－1相切，求点P 的坐标. 解：设P （x 0，y 0），由题意知曲线y =x 2+1在P 点的切线斜率为k =2x 0，切线方程为y =2x 0x +1－x 02，而此直线与曲线y =－2x 2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x 2+2x 0x +2－x 02=0的判别式 Δ=4x 02－2×4×（2－x 02）=0.解得x 0=±332，y 0=37. ∴P 点的坐标为（332，37）或（－323，37）.。