初中平面几何证明题及答案

九年级数学练习题

１.如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG

求证：ABC AEG S S △△

２.如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG 。若O 为EG 的中点 求证:EG=2AO

３. 如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG ，若O 为EG 的中点，OA 的延长线交BC 于点H

求证：OH ⊥BC

４. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若AH⊥BC，HA的延长线交EG于点O

求证：O为EG的中点

5. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为边，向外作正方形ABFG和ACDE，连接CE，BG、GE

M、N、P、Q分别是EG、GB、BC、CE的中点

求证：四边形MNPQ是正方形

答案：

1.作CM⊥AB于点M，EN⊥GA，交GA的一次性于点N

∵∠MAN=∠CAE=90°

∴∠CAM=∠EAN

∵∠ANE=∠CMA=90°，AC=AE

∴△ACM≌△AEN

∴CM=EN

∵S△ABC=1/2*AB *CM，S△AGE=1/2*AG*EN

又∵AG=AB，CM=EN

∴S△ABC=S△AEG

2.证明：

延长AO到点M，使OM=OA，连接MG、ME

则四边形AEMG是平行四边形

∴GM=AE=AC，MG‖AE

∴∠MGA+∠GAE=180°

∵∠BAG+∠CAE=180°

∴∠BAC+∠GAE=180°

∴∠BAC=∠AGM

∵AC=AB

∴△AGM≌△BAC

∴BC=AM=2AO

3. OA与OH共线，所以向量AO与向量BC的数量积为0即可证出AH⊥BC 我用AB表示向量AB，即此时字母AB都有方向性，下边的都是如此，

2AO=AG+GE

过A作直线BC的平行线交FG于M，交DE于N，

2AO*BC

=(AG+AE)*BC

=AG*BC+AE*BC

=-|AG||BC|cos∠GAM+|AE||BC|cos∠EAN

=|BC|*(-|AB|*sin∠MAB+|AC|*sin∠NAC)

=|BC|*(-|AB|sin∠ABC+|AC|sin∠ACB)

设BC上的高长为h,

上式=|BC|(-h+h)=0

所以AO与BC垂直，即AH⊥BC

5.连结BE、CG，

∵PQ是△BEC的中位线，

∴PQ//BE，且PQ=BE/2，

同理MN//BC，MN=BE/2，

∴MN=PQ，且MN//PQ，

∴四边形PQMN是平行四边形，

同理MQ=PN=CG/2，

在△BAE和△GAC中，

BA=GA，

AC=AE，

∵〈BAG=〈CAE=90°，

〈BAG+〈BAC=〈CAE+〈BAC，

∴〈BAE=〈GAC，

∴△BAE≌△GAC，（SAS），

∴BE=CG，

∴BE/2=CG/2，

∴PQ=MQ，

∴四边形PQMN是菱形，

设CG和BE相交于O

〈AEB=〈ACG，（全等三角形对应角相等），

则A、O、C、E四点共圆，（共用AO底，同侧顶角相等的二三角形四点共圆）〈EOC=〈EAC=90°，

∴BE⊥CG，

∴PQ⊥MQ，

∴四边形PQMN是正方形。