1.2.1函数的概念(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)

1．2．1函数的概念（教学设计）
教学目的：
1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？
问题2：x y =与x
x y 2
=是同一函数吗？
观察对应：
300450600
90212
22
3941
1-12-23-3
3-32-21-1
149
123
123456
(1)
(2)(3)(4)
开平方
求正弦
求平方
乘以2
A A A
A B B
B B 1
二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念
设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作
)(x f y =， x ∈A
其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合
{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:
这里 A, B 为非空的数集.
（2）A ：定义域；{}A x x f ∈|)(：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B （3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f
例1：(tb0107701)判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？
（1）x 2+y=1 （2）x+y 2
=1 答：（1）是；（2）不是。

（二）已学函数的定义域和值域
请填写下表：
函数
一次函数
二次函数
反比函数
a>0
a<0
对应关系 定义域
值域
⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2
（三）函数的值：关于函数值 )(a f
题：)(x f =2
x +3x+1 则 f(2)=2
2+3×2+1=11
注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样。

2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。

3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数。

（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例题讲解
例2： 求下列函数的定义域：
① 21)(-=
x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x
x x f -++=21
1)(. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定。

如果只给出解析式)(x f y =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合。

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式
2
1
-x 无意义，
而2≠x 时，分式
21
-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32
时，根式23+x 无意义，
而023≥+x ，即3
2
-≥x 时，根式23+x 才有意义，
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x
-21
同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨
⎧≠-≥+0
201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21
x x
∴这个函数的定义域是： {x |1-≥x 且2≠x }
变式训练2：（课本P19练习NO ：1）
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例3： 已知函数)(x f =32
x -5x+2，求f (3), f(-2), f(a+1).
解：f(3)=3×2
3-5×3+2=14；
f(-2)=3×(-2)2
-5×(-2)+2=8+52；
f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2
+a.
变式训练3：（课本P19练习NO ：2）
例4：下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？
⑴()
2
x y =
；⑵33x y =；⑶2
x y =（4）y=2
x x
解：⑴()2
x y =
＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是；
⑵33x y =＝x （R x ∈）,R y ∈，定义域值域都相同，是同一个函数；
⑶2
x y =＝|x |=⎩
⎨⎧-x x ,00
<≥x x ,0≥y ；值域不同，不是同一个函数。

(4)定义域不同，所以不是同一个函数。

变式训练4：
①3
)
5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （定义域不同）
②111-+=
x x y )1)(1(2-+=x x y （定义域不同）
③2
1)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同）
例5： 求下列函数的值域：
（1）x y 3=；（2）x
y 8=
；（3）54+-=x y ；（4）762
+-=x x y ． 分析：在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1）、（3）两个一次函数的函数值可以取到一切实数；（2）这个反比例函数的函数值不能等于0；（4）这个二次函数有最小值．
解：（1）值域为实数集R ； （2）值域为{}
R y y y ∈≠,0； （3）值域为实数集R ；
（4）函数762
+-=x x y 的最小值是-2，所以值域为{}
2-≥y y ． （五）区间的概念
研究函数时常会用到区间的概念．
设b a ,是两个实数，而且b a <．我们规定：
（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ； （2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；
（3）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为),[b a ，],(b a ． 这里的实数b a ,都叫做相应区间的端点．
实数集R 可用区间表示为),(+∞-∞，我们把满足a x ≥，a x >，b x ≤，b x <的实数x 的集合分别表示为),[+∞a ，
),(+∞a ，],(b -∞，),(b -∞．
“∞” 读作“无穷大”，“-∞” 读作“负无穷大”，“+∞” 读作“正无穷大”． 区间可在数轴上表示（课本第17页）．
上面例4的函数值域用区间表示分别为：（1）),(+∞-∞，（2）),0()0,(+∞-∞ ，（1）),(+∞-∞，（4）),2[+∞-． 三、课堂小结，巩固反思：
函数是一种特殊的对应f ：A →B ，其中集合A ，B 必须是非空的数集；)(x f y =表示y 是x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(a f 表示)(x f 在x=a 时的函数值，是常量；而)(x f 是x 的函数，通常是变量。

四、布置作业： A 组：
1、（课本P24习题1.2 A 组NO ：1）
2、（课本P24习题1.2 A 组NO ：2）
3、（课本P24习题1.2 A 组NO ：3）
4、（课本P24习题1.2 A 组NO ：4）
5、（课本P24习题1.2 A 组NO ：5）
6、（课本P24习题1.2 A 组NO ：6） B 组：
1、（课本P24习题1.2 B 组NO ：1）
2、(tb0305316)已知二次函数y= -x 2
+4x+5
（1） 当x ∈R 时，求函数的值域。

（2） 当x ∈[0,3]时，求函数的值域。

（3） 当x ∈[-1,1]时，求函数的值域。

（答：(1) (-]9,-∞；(2)[5，9]；(3)[0，8]） C 组：
1、(tb0108313)设函数f(x)=x 2
+x+2
1
的定义域是[n,n+1] (n ∈N +)，那么在f(x)的值域中共有___________个整数。

（答：2n+2）。