立体几何空间计算

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三维立体几何中的坐标定位与距离计算

三维立体几何中的坐标定位与距离计算在三维立体几何中，坐标定位和距离计算是非常重要的概念和技巧。

通过准确的坐标定位，我们可以确定一个点在三维空间中的位置，而距离计算则可以帮助我们衡量两个点之间的距离。

本文将探讨三维立体几何中的坐标定位和距离计算，并介绍一些常用的方法和公式。

一、坐标定位在三维空间中，我们可以使用三个坐标轴（x、y、z）来定位一个点。

这些坐标轴相互垂直，并且通过原点（0,0,0）来确定位置。

例如，一个点的坐标可以表示为（x,y,z），其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。

通过坐标定位，我们可以准确地描述和定位一个点在三维空间中的位置。

这对于计算机图形学、建筑设计和物理模拟等领域非常重要。

例如，在计算机图形学中，我们可以通过给定的坐标来绘制一个点，从而创建出各种形状和物体。

二、距离计算在三维空间中，距离是一个重要的概念。

它可以帮助我们衡量两个点之间的距离，并在许多应用中起到关键作用。

距离的计算可以通过欧几里得距离公式来实现，即：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)其中，（x1,y1,z1）和（x2,y2,z2）分别表示两个点的坐标，d表示这两个点之间的距离。

距离计算在许多领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，我们可以使用距离计算来确定两个物体之间的距离，并根据它们之间的距离来计算力的大小。

在导航系统中，我们可以使用距离计算来确定两个地点之间的距离，并找到最短的路径。

三、坐标变换在三维立体几何中，坐标变换是一种常见的操作。

通过坐标变换，我们可以将一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系。

这在计算机图形学和机器人学等领域中非常有用。

常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放。

平移是将一个点沿着坐标轴移动一定的距离，旋转是将一个点绕着某个中心点旋转一定的角度，缩放是改变一个点的大小。

通过坐标变换，我们可以改变一个点在三维空间中的位置和大小，从而实现各种复杂的效果和动画。

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。

更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。

首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法一：利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是。

向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= (2)直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。

范围：直线和平面所夹角的取值范围是。

向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为|cos |___________.θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.(3)二面角二面角的取值范围是 . 二面角的向量求法：方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的即为所求的二面角的大小；方法二：设1n ，2n 分别是两个面的，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。

二：利用空间向量求空间距离（1）点面距离的向量公式平面α的法向量为n ，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是，即d =||||MP ⋅n n . （2）线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d = .平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n . （3）异面直线的距离的向量公式设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是MP 在向量n 方向射影的绝对值，即d =||||MP ⋅n n .三：利用空间向量解证平行、垂直关系1：①所谓直线的方向向量，就是指的向量，一条直线的方向向量有个。

立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。

求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ，有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。

则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。

新课标2023版高考数学一轮总复习第6章立体几何第5节空间向量及其运算课件

2
解析：|E→F|2＝
→ EF
2＝(E→C＋C→D＋D→F)2
＝E→C2
＋C→D2＋D→F2＋
→→ 2(EC·CD
＋E→C·D→F＋C→D·D→F
)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos
120°＋0＋
2×1×cos 120°)＝2，所以|E→F|＝ 2，所以 EF 的长为 2．
02
关键能力·研析考点强“四翼”
B 解析：M→N＝O→N－O→M＝12(O→B＋O→C)－23O→A＝－23a＋12b＋12c．
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心．若 A→E＝A→A1＋xA→B＋yA→D，则 x，y 的值分别为( )
A．1,1
B．1，12
向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
考向 2 空间数量积的应用如图，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD
是边长为 1 的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°． (1)求线段 AC1 的长； (2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD．
空间向量基本定理空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使得 p＝xa＋yb＋zc
设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对平面 ABC
推论
内任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y， z，使O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，且 x＋y＋z＝1
空间向量基本定理的 3 点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (2)由于零与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零不能作为基向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．

立体几何中的向量方法求空间角和距离

§8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离1．空间向量与空间角的关系(1)已知异面直线l 1，l 2的方向向量分别为s 1，s 2，当0≤〈s 1，s 2〉≤π2时，直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉；当π2<〈s 1，s 2〉≤π时，直线l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉． (2)已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2，当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉． (3)已知直线l 的方向向量为s ，平面π的法向量为n ，则直线l 与平面π的夹角θ满足：sin θ＝|cos 〈s ，n 〉|. 2．距离公式点到直线的距离公式：d ＝|P A →|2－|P A →·s 0|2.点到平面的距离公式：d ＝|P A →·n 0|.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π2]．( √ )(5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°. ( √ ) 2．已知二面角α－l －β的大小是π3，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A.2π3 B.π3C.π2D.π6答案 B解析 ∵m ⊥α，n ⊥β，∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补．又∵异面直线所成角的范围为(0，π2]，∴m ，n 所成的角为π3.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．1答案 B解析 P 点到平面OAB 的距离为 d ＝|OP →·n||n |＝|－2－6＋2|9＝2，故选B.4．若平面α的一个法向量为n ＝(4,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－2，－3,3)，则l 与α所成角的正弦值为_____________．答案41133解析 ∵n·a ＝－8－3＋3＝－8，|n |＝16＋1＋1＝32，|a |＝4＋9＋9＝22，∴cos 〈n ，a 〉＝n·a |n|·|a |＝－832×22＝－41133.又l 与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝41133. 5． P 是二面角α－AB －β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM 、PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么平面α与β的夹角为________．答案 90°解析不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，如图，作ME ⊥AB 于E ，NF ⊥AB 于F ， ∵∠EPM ＝∠FPN ＝45°， ∴PE ＝22a ，PF ＝22b ，∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF → ＝ab cos 60°－a ×22b cos 45°－22ab cos 45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0， ∴EM →⊥FN →，∴平面α与β的夹角为90°.题型一求异面直线所成的角例1 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010思维启迪本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量BC 1→、AE →所成的角来求．答案 B解析建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)． BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 思维升华用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,2)， ∴BE →＝(0，－1,1)， CD 1→＝(0，－1,2)，∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22·5＝31010.题型二求直线与平面所成的角例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 的中点． (1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．思维启迪：平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH 的法向量．(1)证明以H 为原点，HA ，HB ，HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A (1,0,0)，B (0,1,0)．设C (m,0,0)，P (0,0，n ) (m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，m 2，0. 可得PE →＝⎝⎛⎭⎫12，m 2，－n ，BC →＝(m ，－1,0)．因为PE →·BC →＝m 2－m2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)解由已知条件可得m ＝－33，n ＝1，故C ⎝⎛⎭⎫－33，0，0，D ⎝⎛⎭⎫0，－33，0，E ⎝⎛⎭⎫12，－36，0， P (0,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·HE →＝0，n ·HP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0.因此可以取n ＝(1，3，0)．又P A →＝(1,0，－1)，所以|cos 〈P A →，n 〉|＝24.所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 思维升华利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(2013·湖南)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．方法一 (1)证明如图，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ，而B 1D 平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D .(2)解因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连接A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1，从而A 1B 1⊥AD 1. 又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形．于是A 1D ⊥AD 1，故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D . 由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1. 故∠ADB 1＝90°－θ，在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB . 从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB DA ＝BC AB ，即AB ＝DA ·BC ＝ 3.连接AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 21＋BD 2＝BB 21＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D ＝21.在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝AD B 1D ＝321＝217，即cos(90°－θ)＝217.从而sin θ＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217.方法二 (1)证明易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)， C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →＝(－t,3，－3)，AC →＝(t,1,0)，BD →＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)，因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D .(2)解由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)， B 1C 1→＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 题型三求两个平面的夹角例3 (2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求平面A 1CD 与平面A 1CE 夹角的正弦值．思维启迪根据题意知∠ACB ＝90°，故CA 、CB 、CC 1两两垂直，可以C 为原点建立空间直角坐标系，利用向量求两个平面的夹角．(1)证明连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF 平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解由AC ＝CB ＝22AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CC 1→的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)， CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.所以平面A 1CD 与平面A 1CE 夹角的正弦值为63. 思维升华求平面间的夹角最常用的方法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为[0，π2]．如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是的中点，D 为AC 的中点．(1)证明：平面POD ⊥平面P AC ；(2)求平面ABP 与平面ACP 夹角的余弦值．(1)证明如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (－1,0,0)， B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0，2)，D (－12，12，0)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面POD 的一个法向量，则由n 1·OD →＝0，n 1·OP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＝0，2z 1＝0.所以z 1＝0，x 1＝y 1，取y 1＝1，得n 1＝(1,1,0)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AC 的一个法向量，则由n 2·P A →＝0，n 2·PC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2z 2＝0，y 2－2z 2＝0.所以x 2＝－2z 2，y 2＝2z 2. 取z 2＝1，得n 2＝(－2，2，1)．因为n 1·n 2＝(1,1,0)·(－2，2，1)＝0，所以n 1⊥n 2.从而平面POD ⊥平面P AC . (2)解因为y 轴⊥平面P AB ，所以平面P AB 的一个法向量为n 3＝(0,1,0)．由(1)知，平面P AC 的一个法向量为n 2＝(－2，2，1)．设向量n 2和n 3的夹角为θ，则cos θ＝n 2·n 3|n 2|·|n 3|＝25＝105.所以平面ABP 与平面ACP 夹角的余弦值为105. 题型四求空间距离例4 已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________．思维启迪所求距离可以看作CG 在平面GEF 的法向量的投影．答案61111解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则CG →＝(0,0,2)，由题意易得平面GEF 的一个法向量为n ＝(1,1,3)，所以点C 到平面GEF 的距离为d ＝|n ·CG →||n |＝61111.思维升华求点面距一般有以下三种方法：①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．(2012·大纲全国改编)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则点A 到平面BED 的距离为 ( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1答案 D解析以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)， C (0,2,0)，C 1(0,2,22)，E (0,2，2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BED 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝2x ＋2y ＝0n ·DE →＝2y ＋2z ＝0.取y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)为平面BED 的一个法向量．又DA →＝(2,0,0)，∴点A 到平面BED 的距离是 d ＝|n ·DA →||n |＝|－1×2＋0＋0|(－1)2＋12＋(－2)2＝1.利用空间向量求角典例：(12分)(2013·江西)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 夹角的余弦值．思维启迪 (1)可利用判定定理证明线面垂直；(2)利用AD 、AP 、AB 两两垂直建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用向量夹角求两个平面BCP 、DCP 夹角的余弦值．规范解答(1)证明在△ABD 中，因为E 为BD 的中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3.因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA .[2分]故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，[4分]所以GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .[6分](2)解以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D (0，3，0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32，故BC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，CP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，32，CD →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0.[8分]设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CP →＝0n 1·BC →＝0即⎩⎨⎧－32x 1－32y 1＋32z 1＝012x 1＋32y 1＝0令y 1＝－3，则x 1＝3，z 1＝2，n 1＝(3，－3，2)． [9分] 同理求得面DCP 的法向量为n 2＝(1，3，2)，[10分]从而平面BCP 与平面DCP 夹角θ的余弦值为 cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝44×22＝24.[12分]利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系．第二步：确定点的坐标．第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标．第四步：计算向量的夹角(或函数值)．第五步：将向量夹角转化为所求的空间角．第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．温馨提醒(1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用．(2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范．(3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错．方法与技巧1．用向量来求空间角，各类角都可以转化为向量的夹角来计算．2．求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．失误与防范1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2．求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1如图所示，则直线B 1D 和CD 1所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°答案 D解析以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则射线CD 1、B 1D 的方向向量分别是CD 1→＝(－1,0,1)， B 1D →＝(－1,1，－1)，cos 〈CD 1→，B 1D →〉＝1＋0－12×3＝0，∴直线B 1D 和CD 1所成的角为90°.2．如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角答案 D解析 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . 又∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC .其中SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，从而AC ⊥SB . 故A 正确；易知B 正确；设AC 与DB 交于O 点，连接SO .则SA 与平面SBD 所成的角为∠ASO ，SC 与平面SBD 所成的角为∠CSO ，又OA ＝OC ，SA ＝SC ，∴∠ASO ＝∠CSO . 故C 正确；由排除法可知选D.3． (2013·山东)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ( )A.5π12 B.π3C.π4D.π6答案 B解析如图所示：S ABC ＝12×3×3×sin π3＝334.∴VABC －A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OPOA＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22答案 B解析以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0,1,0)， ∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23. 所以平面A 1ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为23.5．在四面体P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC的距离为( )A.63B.33a C.a 3D.6a答案 B解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则 P (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (0,0，a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点 P 到平面ABC 的距离．∵P A ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，a 3. ∴PH ＝⎝⎛⎭⎫a 3－02＋⎝⎛⎭⎫a 3－02＋⎝⎛⎭⎫a 3－02＝33a .∴点P 到平面ABC 的距离为33a . 二、填空题6．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面夹角的大小为________．答案 π4解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝22，∴〈m ，n 〉＝π4.∴两平面夹角的大小为π4.7．如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1 所成的角是________．答案 60°解析以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)， ∴EF →·BC 1→＝2，∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12，∴EF 和BC 1所成的角为60°.8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．答案3510解析以A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，F (12，1,0)，D 1(0,1,1)．∴A 1E →＝(1,0，－12)，A 1D 1→＝(0,1,0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1E →＝0，n ·A 1D 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1.∴n ＝(1,0,2)．又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离为 d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.三、解答题9．如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，P A 与平面ABD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4， CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线P A 与BC 所成的角的余弦值．解 (1)建立如图空间直角坐标系，∵∠ADC ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A (2,0,0)，C (0,1,0)，B (2,4,0)．由PD ⊥平面ABCD ，得∠P AD 为P A 与平面ABCD 所成的角， ∴∠P AD ＝60°.在Rt △P AD 中，由AD ＝2，得PD ＝23，∴P (0,0,23)． (2)∵P A →＝(2,0，－23)，BC →＝(－2，－3,0)， ∴cos 〈P A →，BC →〉＝2×(－2)＋0×(－3)＋(－23)×0413＝－1313，∴异面直线P A 与BC 所成的角的余弦值为1313.10．(2013·天津)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱 AA 1的中点． (1)证明：B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．方法一如图，以点A 为原点，以AD ，AA 1，AB 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)， B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)证明易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝ 0，所以B 1C 1⊥CE .(2)解 B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)解 AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋(λ＋1)2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1，于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM ＝ 2.方法二 (1)证明因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1平面 A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E 平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE 平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)解过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)知，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)解连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有 MH ＝26x ，AH ＝346x . 在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ，整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝2(负值舍去)．所以线段AM 的长为 2.B 组专项能力提升(时间：30分钟)1．过正方形ABCD 的顶点A 作线段P A ⊥平面ABCD ，若AB ＝P A ，则平面ABP 与平面CDP的夹角大小为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝P A ＝1，知A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)由题意得，AD ⊥平面ABP ，设E 为PD 的中点，连接AE ，则AE ⊥PD ，又∵CD ⊥平面P AD ，∴AE ⊥CD ，又PD ∩CD ＝D ，∴AE ⊥平面CDP .∴AD →＝(0,1,0)，AE →＝(0，12，12)分别是平面ABP 、平面CDP 的法向量，而〈AD →，AE →〉＝45°，∴平面ABP 与平面CDP 的夹角大小为45°.2．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________．答案 155解析以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∴F (1,0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)，∴FD 1→＝(－1,0,2)，OE →＝(－1,1,1)，∴cos 〈FD 1→，OE →〉＝1＋25·3＝155. 3．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．答案 233解析如图建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)，∴D 1A 1→＝(2,0,0)，DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0n ·DB →＝2x ＋2y ＝0. 令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴点D 1到平面A 1BD 的距离为d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.4．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求平面BPD 与平面ABD 的夹角．(1)证明如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)， C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)．∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .(2)解设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12. ∴平面BPD 与平面ABD 的夹角为60°.5． (2013·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求平面A 1BC 1与平面BB 1C 1夹角的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BD BC 1的值． (1)证明在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC .(2)解在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5，∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧A 1C 1→·n 1＝0，A 1B →·n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4x 1＝03y 1－4z 1＝0 ∴取向量n 1＝(0,4,3)由⎩⎪⎨⎪⎧ B 1C 1→·n 2＝0，BB 1→·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0. 取向量n 2＝(3,4,0)∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝165×5＝1625. 由题意知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，∴平面A 1BC 1与平面BB 1C 1夹角的余弦值为1625. (3)证明设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)，解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.∴AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0则λ＝925，因此BD BC 1＝925.。

空间几何体的表面积及体积公式大全

空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥：h c S ‘底棱锥侧21=② 圆锥：l c S 底圆锥侧21=3、台体① 棱台：h c c S )(21‘下底上底棱台侧+=② 圆台：l c c S )(21下底上底棱台侧+=4、球体① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略二、体积 1、柱体① 棱柱 ② 圆柱 2、锥体① 棱锥 ② 圆锥3、① 棱台 ② 圆台 4、① 球：rV 334π=球②球冠：略 ③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。

三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。

最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。

2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的32。

分析：圆柱体积：r r hSV r 3222)(ππ=⨯==圆柱圆柱侧面积：r hcS r r 242)2(ππ=⨯==圆柱侧因此：球体体积：r r V 3334232ππ=⨯=球球体表面积：r S 24π=球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式公式： )(31S SS S h V 下下上上台++=证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。

延长两侧棱相交于一点P 。

设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。

易知：PDC ∆∽PAB ∆，设h PE 1=，则h h PF +=1由相似三角形的性质得：PFPEAB CD =即：hh hSS +=11下上(相似比等于面积比的算术平方根)整理得：SS h S h 上下上-=1又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴hS S S h h S h h S V 下上下上下台）（31)(313131111+-=-+=代入：SS h S h 上下上-=1得：h S S S SS h S V 下上下上下上台31)(31+--=即：)(3131)(31S SS S h h S S S hS V 下下上上下上下上台++=++=∴)(31S SS S h V 下下上上台++=4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n ），n 越大，每一层越近似于圆柱，+∞→n 时，每一层都可以看作是一个圆柱。

空间几何的计算与证明

空间几何的计算与证明空间几何是研究三维空间中的物体形状、大小、位置等性质的数学学科。

在解决实际问题中，我们常常需要进行空间几何的计算与证明。

本文将介绍一些常见的空间几何计算方法和证明技巧。

一、空间几何计算1. 点到平面的距离计算对于三维空间中的一点P(x,y,z)，以及平面Ax+By+Cz+D=0，我们可以利用点P到平面的距离公式来计算二者的距离。

该公式为：d = |Ax+By+Cz+D| / √(A^2+B^2+C^2)例如，给定一个平面2x+y+3z-4=0，点P(1,2,3)到该平面的距离可以计算如下：d = |2*1+1*2+3*3-4| / √(2^2+1^2+3^2)= |2+2+9-4| / √14= 9 / √142. 直线和平面的交点计算对于直线和平面的交点计算，我们需要先求出直线的参数方程和平面的方程，然后解联立方程组即可得到交点的坐标。

例如，假设有一条直线L，其参数方程为：x = x_0 + lty = y_0 + mtz = z_0 + nt另外有一个平面P，其方程为：Ax + By + Cz + D = 0我们可以将直线的参数方程代入平面方程，得到一个关于t的一元二次方程，解该方程即可求得直线和平面的交点的坐标。

3. 多面体的表面积和体积计算对于多面体的表面积和体积计算，常用的方法是利用相应的公式进行计算。

例如，对于一个六面体，其表面积和体积的计算公式如下：六面体的表面积 S = 2(ab+ac+bc)六面体的体积 V = abc其中，a、b、c分别表示六面体的三个相邻棱长。

二、空间几何证明1. 平行线之间的角度在空间几何中，证明两条平行线之间的角度是一个重要问题。

一种常见的证明方法是利用平行线与平行线之间的交线来构造三角形，然后应用三角形的性质进行角度证明。

例如，我们希望证明两条平行直线L1和L2之间的夹角为90度。

我们可以构造一条与L1和L2都垂直的直线L3，然后证明L3与L1、L2之间的夹角都是90度，从而推出L1和L2之间的夹角也是90度。

空间解析几何中的立体几何

空间解析几何中的立体几何在空间解析几何中，立体几何是一个重要的分支，它研究了空间中的点、直线和面及其相互关系。

通过立体几何的分析和运用，我们可以深入了解三维空间中的形状和结构。

本文将介绍空间解析几何中的立体几何的基本概念、性质以及应用。

1. 点、直线和面的表示方法在空间解析几何中，我们用坐标来表示点、直线和面。

一般情况下，点可以表示为三维空间中的一个坐标，即 (x, y, z)。

直线可以表示为两个方向向量的线性组合，例如直线l可以表示为参数方程 x=x_0 + t·a,y=y_0 + t·b, z=z_0 + t·c，其中(x_0, y_0, z_0)为直线上的一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。

面可以表示为一个点和法向量的关系，例如平面Π可以表示为方程ax+by+cz+d=0，其中(a, b, c)为法向量，(x, y, z)为平面上的一点，d为常数。

2. 点、直线和面的位置关系在立体几何中，我们常常需要判断点、直线和面的位置关系。

例如，判断一个点是否在直线上，可以将点的坐标代入直线的参数方程，若存在参数t使得等式成立，则点在直线上。

类似地，判断一个点是否在面上，可以将点的坐标代入平面方程，若等式成立，则点在面上。

另外，两个平面的位置关系也可以通过它们的法向量来判断，如果两个平面的法向量平行，则它们互相平行或重合，如果两个平面的法向量垂直，则它们互相垂直。

3. 直线的倾斜角和两直线的夹角直线的倾斜角是指直线与坐标轴的夹角。

设直线的方向向量为(a, b, c)，则直线与x轴的倾斜角的余弦值为cosθ=a/√(a^2+b^2+c^2)，类似地，可以计算直线与y轴和z轴的倾斜角。

两条直线的夹角可以利用它们的方向向量来计算，夹角的余弦值等于两个向量的内积除以它们的模的乘积，即cosθ=(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2)/(√(a_1^2+b_1^2+c_1^2)·√(a_2^2+b_2^2+c_2^2))。

立体几何空间向量点到直线距离

立体几何空间向量点到直线距离
要计算立体几何空间中点到直线的距离，可以使用以下步骤：
1. 确定直线的参数方程：假设直线的参数方程为 P + td，其中 P 是直线上的一个点，d 是直线的方向向量，t 是参数。

2. 计算点到直线的向量：设点为 A，点到直线的向量为 V = A - P。

3. 计算距离：点到直线的距离可以通过计算点到直线向量 V 在直线方向向量 d 上的投影来获得。

投影长度即为点到直线的距离。

具体计算步骤如下：
1. 计算投影向量：将向量 V 投影到直线方向向量 d 上，得到投影向量Proj = (V · d) / |d|² * d，其中·表示点乘运算。

2. 计算距离：点到直线的距离为 |V - Proj|，即点到直线向量 V 减去投影向量 Proj 的模长。

请注意，这个方法适用于计算立体几何空间中点到直线的距离。

如果直线是平面上的，则可以使用平面几何中的方法计算点到直线的距离。

立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)

空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。

空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。

其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。

下面举例说明。

一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。

E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。

求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。

思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求解。

思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。

转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。

（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二：延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。

则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。

在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。

空间向量与立体几何公式大全

以下是部分空间向量与立体几何的公式：1. 向量的模：向量的长，可参考点点距离求模。

2. 向量的加法：三角形法则或平行四边形法则。

3. 向量的减法：三角形法则。

4. 向量的数乘：m*(x,y,z)=(mx,my,mz)。

5. 向量的积：向量m*向量n=m模*n模*cos<m,n>。

6. 向量的数乘：a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2) a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2) λa=(λx1，λy1，λz1) a·b=x1x2+y1y2+z1z2 a∥b：x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2 a⊥b：x1x2+y1y2+z1z2=0。

7. 法向量与方向向量解答如下关系：线线平行：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m=y*n；线面平行：法向量与方向向量垂直；面面平行：法向量平行；线线垂直：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m*n=0；线面垂直：法向量与方向向量平行；面面垂直：法向量垂直；线线夹角：方向向量乘积公式求角；线面夹角：方向向量与法向量乘积公式求角；面面夹角：法向量乘积求角。

8. 点点距离：向量模长公式；点面距离：设点为o，取平面内点p，向量op*法向量n；线线距离：直线a，b，E、F为线a，b上点；直线ab距离d为=向量EF*公垂线方向向量n/向量n模；直线方向向量求法：(1)直线l:ax+by+c=0，则直线l的方向向量为=(-b,a)或(b,-a)。

(2)若直线l的斜率为k，则l的一个方向向量为=(1,k)。

(3)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB所在直线的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1)。

9. 法向量求法：法向量(a,b,c)与面内向量乘积为零，带入求解方程。

如需更多公式和信息，建议查阅数学书籍或相关网站获取。

立体几何空间奔驰定理

立体几何空间奔驰定理引言：立体几何是数学中的一个重要分支，研究空间中的图形、体积和位置关系。

奔驰定理是立体几何中的一个重要定理，它揭示了平行四边形的性质与平行四边形对角线之间的关系。

本文将介绍奔驰定理的定义、证明方法以及相关应用。

一、奔驰定理的定义奔驰定理是指平行四边形对角线之间的关系定理。

在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，那么有以下结论：1. 对角线互相平分：即AO与CO互相平分，BO与DO互相平分。

2. 对角线互相垂直：即AO与BO互相垂直，CO与DO互相垂直。

3. 对角线平方和相等：即AC² + BD² = 2(AB² + BC²)。

二、奔驰定理的证明方法下面将介绍奔驰定理的证明方法，主要利用向量的性质来进行推导。

证明：设向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，向量OD=d。

由平行四边形的性质可知，向量OC=a+b，向量OD=a+d。

根据向量平行四边形法则，有向量OC平方等于向量OA加向量OB的平方，即|a+b|²=|a|²+|b|²+2a·b。

同理，有向量OD平方等于向量OA加向量OD的平方，即|a+d|²=|a|²+|d|²+2a·d。

由于平行四边形的性质，有向量OC平方等于向量OD平方，即|a+b|²=|a+d|²。

将上述两个式子相等的条件展开，得到|a|²+|b|²+2a·b=|a|²+|d|²+2a·d。

整理可得2a·b=2a·d，即a·b=a·d。

由于向量a不为零向量，所以可以得到b=d。

因此，平行四边形的对角线互相平分，即AO与CO互相平分，BO与DO互相平分。

同理，可以证明平行四边形的对角线互相垂直，即AO与BO互相垂直，CO与DO互相垂直。

立体几何中的向量方法-—求空间距离

立体几何中的向量方法------距离问题一、求点到平面的距离 1．（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离.在PAO Rt ∆中，θθsin ||||sin AP d AP =⇒=又|||||sin n AP n AP =θ||n d =∴（其中AP 为斜向量，n 为法向量）二、直线到平面的距离转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为斜向量，n 为法向量）三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：||n d =AP 为斜向量，n 为法向量）四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量，n 是与b a ,都垂直的向量）例1．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求下列问题：（1）求1B 到面BE A 1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则•αOP),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x n =为面BE A 1的法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴n选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为32||11==n d （2）求C D 1到面BE A 1的距离；)2,2,1()1(:1=n BE A 的法向量知平面由解)0,0,1(11=A D 斜向量 311111==∴nn A D d BE A D 的距离为到面点 (3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；)1,1,1(:11-==AC n BD A 的法向量为由图知平面解)0,0,1(11=A D 又斜向量 311111==∴nn A D d BD A D 的距离为到面点 33111的距离为与即面CB D BD A (4) 求异面直线B D 1与E A 1的距离.xyz D -系如图建立空间直角坐标解:)1,1,1(),0,21,1(11-=-=∴B D E Axxxx111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2D B AE 则B D E A z y x n 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y B D n E A n 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(=n 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D得11BD E A 与的距离为1414||11==n n A D d 练习1：1．如图在直三棱柱111C B A ABC -中，1==BC AC ,∠ACB 面BC A 1的距离.2．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求平面11C DA 和平面C AB 1间的距离3．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求直线1DA 和AC 间的距离。

高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)

高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|；（2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值非正常考你余弦值，需要再算一步。

直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。

注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。

平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。

二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。

一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量）（4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

中职数学立体几何中空间夹角的计算涉及的课程思政

中职数学立体几何中空间夹角的计算涉及的课程思政在中职数学教学中，立体几何是数学课程中的一部分，它主要研究空间中的图形的性质、相互关系及其测量等问题。

而在立体几何中，空间夹角的计算是其中的一个重要内容之一。

空间夹角是指由两个直线或两个平面之间形成的夹角。

在立体几何中，空间夹角的计算涉及到三维空间的概念和立体图形的性质，与学生日常生活和学习息息相关。

因此，空间夹角的计算也是数学教育中的一种思政教育手段。

首先，通过空间夹角的计算，可以培养学生的观察力和空间想象能力。

立体几何是一门需要学生通过观察和想象来理解和解决问题的学科。

在计算空间夹角时，学生需要观察和理解给定的图形，同时运用空间想象力来确定夹角的位置和大小。

这样的实践培养了学生的观察力和想象力，提高了他们的空间思维能力。

其次，在空间夹角的计算中，涉及到角度的概念和运算，这有助于学生理解和掌握角度的性质和运算法则。

角度是几何学中一个重要的概念，它不仅在立体几何中有应用，而且在日常生活中也经常出现。

通过空间夹角的计算，学生可以进一步理解角度的度量和运算方法，并通过实际应用中的练习来提高他们的计算能力和逻辑思维能力。

另外，空间夹角的计算还能培养学生的合作精神和团队意识。

在解决立体几何问题时，往往需要学生之间相互合作和协作。

计算空间夹角也不例外，学生需要共同研究问题、相互讨论并寻找解决方案。

这样的实践培养了学生的合作精神和团队意识，培养了他们的社会交往能力和团队合作能力。

此外，通过空间夹角的计算，还可以培养学生的思辨能力和创新意识。

在解决立体几何问题时，学生需要运用所学的知识和方法，并进行推理和推断，以确定正确的解决方案。

计算空间夹角也需要学生进行思考和推理，寻找问题的本质和解决的方法。

这样的实践培养了学生的思辨能力和创新意识，提高了他们的问题解决能力和创造力。

再次，空间夹角的计算还涉及到数学与日常生活的联系，引导学生将数学知识运用到实际生活中。

立体几何是数学与现实生活结合的一个重要领域，在计算空间夹角时，学生可以运用所学的知识来解决现实生活中的问题，例如测量建筑物的倾斜角度、计算汽车行驶的转弯半径等。

高中数学第二章空间向量与立体几何空间向量的运算求线段长度素材

应用22a a =求线段长度由空间向量的数量积公式容易得到公式：22=a a ，应用这个公式可以解决空间问题中两点之间的距离，即空间的距离问题可以转化为求向量的数量积加以解决．事实上公式22=a a 在计算空间线段长度方面的应用非常广泛，下面举例加以说明．例1 如图1，三棱锥P ABC -中，PA =PB ，CB ⊥面PAB ，M 、N 分别在PC 、AB 上，且PM =MC ,AN =3NB ,（1)求证：MN ⊥AB ；（2）当∠APB =90°，BC =2，AB =4时，求MN 的长．简解：（1）设PA PB BC ===，，a b c ，则=a b ，且0=a c ,0=b c ，AB =-b a ，PC =+b c ，1()2PM =+b c ，113()444PN PB BN =+=+-=+b a b a b ，∴111442MN PN PM =-=+-a b c ，∴111()442AB MN ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭b a a b c2211114422=--+b a c b c a2211044=-=b a∴AB ⊥MN ；（2）∵∠APB =90°，BC =2，AB =4，则0===a b a c b c 且22==a b ，2=c ,∴21111(2)4424MN =+-=+-a b c a b c222142444=+++--a b c a b a c b c1881624=++=即MN 的长为2．例2 如图2，有一长方形的纸片ABCD ，长AB ＝4cm,宽AD ＝3cm ，现沿它的一条对角线AC 把它折叠成120°的二面角,求折叠后BD 的长．简解：作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，点E 、F 为垂足，则AC ==5cm ，431255DE BF ⨯=== cm ，23955AE CF ===cm ，75EF = cm ．折叠后，DE 、EF 、FB 的长度保持不变,且 22()BD BF FE ED =++222222BF FE ED BF FE BF ED FE ED =+++++ 2222cos 60FE BF DE BF ED =+++22221271212148125555225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴5BD =cm ．。

立体几何的向量方法-空间向量求距离

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ERA
向量的表示与运算
向量的表示
空间中一个点可以表示为一个有序实数对(x,y,z)，与该点对应的向量可以表示为 $overrightarrow{OP} = (x,y,z)$。
向量的加法
对于任意两个向量$overrightarrow{a} = (a_1, a_2, a_3)$和$overrightarrow{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的和为$overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$。
04
空间向量求距离的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
球面距离问题
总结词
利用向量方法求球面上的两点之间的最短距离
VS
详细描述
将球面上的两点分别表示为向量，通过向量的模长和夹角计算两点之间的距离。具体步骤包括将球面距离转化为平面距离，利用向量的模长和夹角公式计算距离。
平面距离问题
总结词
利用向量方法求平面上的两点之间的最短距离
详细描述
将平面上的两点分别表示为向量，通过向量的模长和夹角计算两点之间的距离。具体步骤包括将平面距离转化为直线距离，利用向量的模长和夹角公式计算距离。
异面直线间的距离问题
总结词
利用向量方法求异面直线间的最短距离
详细描述
将异面直线分别表示为向量，通过向量的模长和夹角计算直线之间的距离。具体步骤包括将异面直线间的距离转化为平面距离，利
用向量的模长和夹角公式计算距离。