立体几何空间计算
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教学过程
一、新课导入
我们已经学习了平面向量的内容，本节课就把平面向量及其线性运算推广到空间向量，并运用空间向量解决立体几何问题.
三、知识讲解
考点1 空间向量基本知识点及运算
1.向量的直角坐标运算 设a ＝
123(,,)
a a a ，
b ＝
123(,,)
b b b 则
(1) a ＋b ＝112233(,,)
a b a b a b +++； (2) a －b ＝
112233(,,)a b a b a b ---；
(3)λa ＝123(,,)
a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·
b ＝
112233
a b a b a b ++；
2.设A
111(,,)
x y z ，B
222(,,)
x y z ，则
AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 3、设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则
a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=. 4.夹角公式 ： 设a ＝
123(,,)
a a a ，
b ＝
123(,,)
b b b ，则2cos ,a b a <>=
5．异面直线所成角：
cos |cos ,|a b θ==
21
||||||
a b a b x ⋅=
⋅+6．平面外一点p 到平面α的距离：
已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法 向量，A 到平面α的距离为：||
||
AB n d n •=
. 7．线线夹角θ（共面与异面）[0,90]︒︒⇔两线的方向向量12,n n →→的夹角或夹角的补角，12cos cos ,n n θ→→
=<>.
8．线面夹角θ[0,90]︒︒：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin cos ,AP n θ→→
=<>.
9．面面夹角（二面角）θ[0,180]︒︒：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量12,n n →→
的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 12cos cos ,n n θ→
→
=±<>.
B
A
α
n
四、例题精析
考点1 空间几何体的结构
例1 如图，在底面为直角梯形的四棱锥-P ABCD 中,//, =90,AD BC ABC ︒∠PD ⊥平面ABCD
，=1, =4AD AB BC . ⑴求证：BD PC ⊥；
⑵求直线AB 与平面PDC 所成的角；
⑶设点E 在棱PC 上，=PE PC λ，若DE ∥平面PAB ，求λ的值.
A
P
E C
D
B
【规范解答】
如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.
（1）设P D a =，则(1,3,0),(3,)B D P C a =--=--，
∵330B D P C ⋅=-=，∴B D P C ⊥.
（2）由（1）知
B D P D
C
D B P D C ⊥面就是平面的法， .
由条件知A （1，0，0），B （1，0），
(0,3,0),(1,30)A B D B ==.
设A B P D C θ
与面所成角大小为，
则
||3s i n ||||23D B A B D B A B θ⋅==⋅. 09060,θθ
︒<<︒∴=︒， 即直线A B P D C 与平面所成角为60︒. （3）由（2）知C （－3，0），记P （0，0，a ），则
A B =），(0,0,)D P a =，P A a =（1，0，-），P C a =--），
B
而P E P C λ=
，所以P E a =-（，），
D E D P P E D P P C λ
=+=
+(0,0,)()a a =+-，
=3,.aa λ--）. 设n x y z =（，，）为平面PAB 的法向量，则00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即00x az =-=⎪⎩，即0
y x a z =⎧⎨
=⎩.
1z x a ==取，得， 进而得,,n a =（01），
由//D E P A B 平面, 得0D En ⋅=， ∴30a a a λλ+=--，
1
0.
4a λ≠∴=而， .
【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解.
例2 如图，棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都等于2， 601=∠=∠AC A ABC ，平面⊥11CC AA 平面ABCD . ⑴证明：1AA BD ⊥；
⑵求二面角C AA D --1的余弦值；
⑶在直线1CC 上是否存在点P ,使BP ∥平面11C DA ？若存在， 求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.