数学建模介绍 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢
数学模型（姜启源第三版第二章）
数学模型（姜启源第三版第⼆章）1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在宿舍，432⼈住在，学⽣梦要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩树部分较⼤者。
（2）节中的Q值⽅法。
（3）⽅法：将A,B,C各宿舍的⼈数⽤正整数相除，其商数如下表：将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C⾏有横线的数分别为2,3,5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种⽅法的道理吗。
如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。
（4）你能提出其它⽅法吗。
⽤你的⽅法分配上⾯的名额。
2.⽤微积分的⽅法导出节的公式（2）。
3.在节中考虑8⼈艇分重量级组(桨⼿体重不超过86kg)和轻量级组（桨⼿体重不超过73kg，建⽴模型说明重量级组的成绩⽐轻量级组⼤约好5%。
4.⽤节实物交换模型中介绍的⽆差别曲线的概率，讨论以下雇员和雇主之间的协议关系：（1）以雇员⼀天的⼯作时间t和⼯资ω分别为横坐标和纵坐标，画出雇员⽆差别曲线族的⽰意图。
解释曲线为什么是你画的那种形状。
（2）如果雇主付计时⼯资，对不同的⼯资率（单位时间的⼯资）画出计时⼯资线族。
根据雇员的⽆差别曲线族和雇主的计时⼯资线族，讨论双⽅将在怎样的⼀条曲线上达成协议。
（3）雇员和雇主已经达成了⼀个协议（⼯作时间1t和⼯资1ω）.如果雇主想使雇员的⼯作时间增加到2t,他有两种⽅法：⼀是提⾼计时⼯资率，在协议线的另⼀点（2t,2ω）达成新的协议；⼆是实⾏超t t-付给更⾼的超时时⼯资制，即对⼯时1t仍付原计时⼯资，对⼯时21⼯资。
试⽤作图⽅法分析哪种办法对雇主更有利，指出这个结果的条件.5.在节核武器竞赛模型中，证明由（6）式表⽰的⼄安全线=的性质。
()y f x6.在节核武器竞赛模型中，讨论以下因素引起的平衡点的变化：（1）甲⽅提⾼导弹导航系统的性能。
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
简单优化模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。
• 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。
每天费用5000元
• 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。
允许 T ' 缺货
模型
Q'
2c1
c 2
c 3
rc2 c3
2c1r c3 c2 c2 c3
不允 许缺 货模 型
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
记 c2 c3
c3
T T , Q Q
不 允
1 T ' T , Q' Q c3
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
10 0
0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 g 0.16
生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。
强健性分析
研究 r, g不是常数时对模型结果的影响
模型应用
c2 T,Q
r T ,Q
c1=5000, c2=1，r=100
• 回答问题
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
• 经济批量订货公式（EOQ公式）
用于订货、供应、存贮情形
每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ， T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即到货。
数学模型 姜启源
数学模型
数学模型
精选ppt
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称
学时
36
数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
学分 课程类别
3 专业选修课
先修课程
微积分、线性代数、概率论与数理统计
课程简介
本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。也是本科生参加数学建 模竞赛的辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。 数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本书介绍数学建 模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：数据拟合， 网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归 分析及其试验设计。通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实 例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。
• 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
精选ppt
9
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
模 型
了解实际背景 明确建模目的 形成一个
准
比较清晰
备 搜集有关信息 掌精选握ppt 对象特征 的‘问题’25
《数学模型电子教案》课件
《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。
数学建模介绍 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制
阻滞增长模型( 模型) 阻滞增长模型(Logistic模型) 模型
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数 是 的减函数
r(x) = r − sx (r, s > 0)
评注和思考 建模的关键 ~ θ和 f(θ), g(θ)的确定 的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
1.3.2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏) 问题(智力游戏)
随从们密约, 随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货. 人多, 就杀人越货. 但是乘船渡河的方案由商人决定. 但是乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河? 商人们怎样才能安全过河
模型是为了一定目的， 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 是为了一定目的 进行简缩、抽象、提炼出来的原型 原型的替代物 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 集中反映了原型
你碰到过的数学模型——“航行问题” “航行问题” 你碰到过的数学模型
数学建模的具体应用
• 分析与设计 • 预报与决策 • 规划与管理
•
控制与优化
数学建模
如虎添翼
模示例
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 四条腿一样长，椅脚与地面点接触， 连线呈正方形; 连线呈正方形 • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 地面高度连续变化， 曲面; 曲面 • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 地面相对平坦， 只脚同时着地。 只脚同时着地。
MATLAB basics姜启源《数学模型》第三版课件
山东大学威海分校应用数学系数学建模课程Matlab基础及其应用山东大学威海分校应用数学系编程的难点和对策☐Matlab为什么也称为语言？语言的用途？词典意味着什么？☐难点：1、编程的工作就是映射2、调试、找错误☐对策：实践，实践，再实践Matlab的学习方法☐必须做大量的练习，熟悉其中的函数☐多看帮助文件，又一本好的参考书☐熟练使用Google等网络资源☐培养良好的编程习惯参考书(1)高等应用数学问题的MATLAB求解薜定宇，陈阳泉著清华大学出版社价格：43.00元参考书(2)优化建模与LINDO/LINGO软件谢金星等清华大学出版社价格：48.00元MATLAB 基础及其应用MATLAB 基础•概述•MATLAB 基本使用•MATLAB 的基本矩阵分析•矩阵操作•流程控制>>>>>一、概述MATLAB是一种交互式的以矩阵为基础的系统计算平台,它用于科学和工程的计算与可视化。
它的优点在于快速开发计算方法，而不在于计算速度。
1.1 MATLAB的出现☐70年代中期，Cleve Moler和他的同事开发了LINPACK和EISPACK的Fortran子程序库☐70年代末期，Cleve Moler 在新墨西哥大学给学生开线性代数，为学生编写了接口程序，这程序取名为MATLAB，即MATrix LABoratory☐1983年春天，工程师John Little与Moler、Steve Bangert一起开发了第二代专业版MATLAB ☐1984年，MathWorks公司成立，MATLAB正是推向市场。
1.2 Matlab的版本演化☐Matlab 1.0☐Pc matlab->matlab 386☐Matlab3.5+simulink☐Matlab 4.0：simlink内嵌☐Matlab 5.0 :全面的面向对象☐Matlab 5.1~5.3☐Matlab 6.0☐Matlab 6.5：购并了MATRIXx ☐Matlab 7.0:20041.3 MATLAB特点☐高度适应性、开放性：MATLAB的工具箱可以任意增减，任何人可以自己生成MATLAB工具箱☐可扩充性：MATLAB的函数大多为ASCII文件，可以直接编辑、修改☐基于矩阵运算的工作平台。
回归模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源、谢金星、叶 俊编制
-500
e ~ x1
-1000 0 5 10 15 20
500
0
-500
e ~组合
1 2 3 4 5 6
-1000
R2,F有改进，所有回归系数置信 区间都不含零点，模型完全可用
消除了不正常现象 异常数据(33号)应去掉
去掉异常数据后的结果
200
参数 参数估计值 置信区间 a0 11200 [11139 11261] a1 498 [494 503] a2 7041 [6962 7120] a3 -1737 [-1818 -1656] a4 -356 [-431 –281] a5 -3056 [-3171 –2942] a6 1997 [1894 2100] R2= 0.9998 F=36701 p=0.0000
参数
0 1 2 3 4
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 0 1x1 2 x2 3 x2 y
ˆ y 8.2933 (百万支)
区间 [7.8230，8.7636]
ˆ x x x2 x x ˆ y 0 1 1 ˆ2 2 ˆ3 2 ˆ4 1 2
输入 y~n维数据向量
2 x= [1 x1 x2 x2 ] ~n4数 据矩阵, 第1列为全1向量
输出
b~的估计值
bint~b的置信区间
r ~残差向量y-xb
rint~r的置信区间
alpha(置信水平,0.05) 参数
0 1 2 3
参数估计值 置信区间 17.3244 [5.7282 28.9206] 1.3070 [0.6829 1.9311 ] -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
数学模型(第三版)
成书过程
《数学模型（第三版）》是《数学模型（第二版）》的修订版，其中第4章由谢金星编写，第10章由叶俊编 写，其余各章由姜启源增补、修订，全书由姜启源统稿。
《数学建模（第三版）》在保持第二版大体原貌的基础上，有以下几项补充与修订： 1.增加了数学规划模型和统计回归模型； 2.在若干实例中增加了模型求解的数值计算、图形演示，及参数的灵敏度分析等内容； 3.删节、合并、调整了若干章节； 4.修订了原有的习题，增设了综合题目，并编写了习题参考解答； 5.编制了大部分章版）》全书共分十三章，主要包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、数学规划 模型、微分方程模型、稳定性模型、差分方程模型、离散模型、概率模型、统计回归模型、马氏链模型、动态优 化模型、其他模型等内容，此外，每章章末附有习题。
教材目录
（注：目录排版顺序为从左列至右列 ）
数学模型（第三版）
2003年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材目录 05 教材特色
目录
02 内容简介 04 教学资源 06 作者简介
《数学模型（第三版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编，高等教育出版社2003年8月出版的教材。该书可作 为高等学校各专业学生数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材料，以及科技工作者的参考书。
《数学模型（第三版）》在保持了第二版的大体原貌，并增加了几类重要的数学模型；将复杂次要的章节放 在全书或每章的最后以便于教学活动；将需要读者自己做出建设并建模的题目标注了号。 该教材内容的连贯性不 强，教材中的章节可以跳跃式地选用；教材有意包含了一些不会在教学活动中讲授的内容，可作为课外阅读材 料。
数学模型-姜启源-第三章
模型求解
dC 0 dx
求 x使 C(x)最小
c1t12 2c2t1 x 2c32
b
dB dt
x
0
t1
t2 t
结果解释
• / 是火势不继续蔓延的最少队员数
结果 解释
c1t1 2c2t1 x 2c32
Q rT 一周期 ~ C c1 c2 T c1 c2 总费用 2 2
~ C c1 c2 rT C (T ) T T 2
每天总费用平均 值（目标函数）
模型求解
dC 0 dT
c1 c2 rT Min 求 T 使C (T ) T 2
T 2c1 rc2
2c1r Q rT c2
I ( p) px
C( p) qx x( p) a bp
U ( p) I ( p) C( p)
( p q)(a bp)
q a p 2 2b
*
结果 解释
q a p 2 2b
*
x( p) a bp, a, b 0
• q / 2 ~ 成本的一半
• b ~ 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度） • a ~ 绝对需求( p很小时的需求) 思考：如何得到参数a, b? b p* a p*
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13 （30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w , 再作计算。
3.3
问题
《数学模型》(第三版)电子-省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
变
w w c w
c 20000 0.025
w 8000100
即每七天每公斤体重消耗 20230/100=200千 卡
1）不运动情况旳两阶段减肥计划
• 第一阶段: w(k)每七天减1公斤, c(k)减至下限10000千
卡w(k) w(k 1) 1 w(k 1) w(k) c(k 1) w(k)
当不稳定时政府能采用什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者旳需求关系 需求函数 yk f (xk ) 减函数
生产者旳供给关系 供给函数 xk 1 h( yk ) 增函数
y
f
g
y0
P0
0
x0
yk g (xk 1)
f与g旳交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
减肥计划
某甲体重100公斤，目前每七天吸收20230千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75公斤。
1）在不运动旳情况下安排一种两阶段计划。 第一阶段：每七天减肥1公斤，每七天吸收热量逐 渐降低，直至到达下限（10000千卡）； 第二阶段：每七天吸收热量保持下限，减肥到达目
2）的若要加紧进程，第二阶段增长运动，试安排计划。
• 运动(内容同前) C 8000 0.028 75 16800 (千卡)
7.3 差分形式旳阻滞增长模型
连续形式旳阻滞增长模型 (Logistic模型)
x(t) ~某种群 t 时刻旳数量(人口)
x(t) rx(1 x ) N
t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)
离散
yk ~某种群第k代旳数量(人口)
模型假设
1）体重增长正比于吸收旳热量— —每8000千卡增长体重1公斤；
数学建模姜启源第五章微分方程模型
提高阈值1/ 降低 被传染人数比例 x
5.2 经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
• 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
• 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t)
资金 K(t) 劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q
KQK LQL Q
~ 资金在产值中的份额 1- ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数 Q(K, L) f0K L , 0 , 1, f0 0
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
资金来自贷款，利率 r 劳动力付工资 w
资金和劳动力创造的效益 S Q rK wL
• 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
模型假设
值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
的估计
提高 r0
s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s0
0
忽略i 0
群体免疫
ln s0 ln s
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y (t )
g(x,
y)
姜启源版数学模型第三版第11章课件
已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率
正则 N 链 ,P N0 P2 0 正则链
稳态概率分布 w 满足 wP=w
w (w 1 ,w 2 ,w 3 ) (0 .2,0 8 .25 ,0 6 .43 )52 n, 状态概率 a (n )(0 .2,8 0 .25,6 0 .43) 52
随机繁殖 讨论基因类型的演变情况
假设
• 设群体中雄性、雌性的比例相等，基因类 型的分布相同（记作D:H:R）
• 每一雄性个体以D:H:R的概率与一雌性个体交配， 其后代随机地继承它们的各一个基因
• 设初始一代基因类型比例D:H:R =a:2b:c （a+2b+c=1), 记p=a+b, q=b+c, 则群体中优势基因和 劣势基因比例 d:r=p:q (p+q=1)。
k
i1
ai
(n)
1
转移 p ij 概 P (X n 1率 jX ni) pij0, k pij1,i1,2, ,k j1
基本方程
k
ai(n1 ) aj(n)pji,
i1 ,2, ,k
j 1
a(n)(a1(n),a2(n),,ak(n)) a(n1)a(n)P
~状态概率向量
P{pij}kk ~转移概率矩阵 a(n)a(0)Pn
p 1 2P (X n 1 2 (后d 代 )X r n （ 1为 d 父 ） )d q为
p 1 3P (X n 1 3 (后r代 )X rn （ 1为 d 父 ） )d 0为
p 2 1 P ( X n 1 1 ( 后 d ) X 代 n d （ 2 d 为 ） ) 父 r 1 /2 p p 为 /2
规划模型 《数学模型》(第三版)电子课件姜启源谢金星叶 俊编制.
每天 50桶牛奶 时间480小时
获利24元/公斤 获利16元/公斤 至多加工100公斤A1
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 Max z 72 x1 64 x2
原料供应
x1 x2 50
线性 规划
劳动时间
12 x1 8x2 480
每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
NO. ITERATIONS= 2
2.000000 0.000000
时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 <48, 应该买！
• 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！
DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes 最优解不变时目标函
模型
加工能力 非负约束
3x1 100
x1, x2 0
(LP)
模型分析与假设
比 xi对目标函数的
例 “贡献”与xi取值
性 成 xi对正约比束条件的
“贡献”与xi取值
可 加
成 xi对正目比标函数的 “贡献”与xj取值
性 无 xi对关约束条件的“贡献”与xj来自值连续性无关xi取值连续
线性规划模型
DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No
数学模型(姜启源) 第四章 数学规划模型
4.1 奶制品的生产与销售 4.2 4.3 4.4 4.5 自来水输送与货机装运 汽车生产与原油采购 接力队选拔和选课策略 饮料厂的生产与检修
4.6 钢管和易拉罐下料
y
数学规划模型
实际问题中 的优化模型 x~决策变量 决策变量
Min (或Max ) z = f ( x ), x = ( x1 , x n )T s.t. g i ( x ) ≤ 0, i = 1,2, m
原料最多增加10 原料最多增加 时间最多增加53 时间最多增加
35元可买到 桶牛奶,每天最多买多少? 最多买 桶! 元可买到1桶牛奶 元可买到 桶牛奶,每天最多买多少? 最多买10桶
例2 奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工 在例 基础上深加工
1千克 千克 获利44元 千克 获利 元/千克 0.8千克 1 千克B 千克 2小时 元 小时,3元 小时 公斤A 获利16元 公斤 获利 元/公斤 8小时 4公斤 2 小时 公斤 千克 50桶牛奶 480小时 1千克 桶牛奶, 桶牛奶 小时 获利32元 千克 获利 元/千克 0.75千克 2 千克B 千克 2小时 元 小时,3元 小时 1桶 桶 牛奶 或 12小时 小时 3千克 1 千克A 千克 获利24元 公斤 获利 元/公斤
模型求解
x1 + x2 ≤ 50
图解法
约 l2 : 12 x1 + 8 x2 = 480 束 12 x1 + 8 x2 ≤ 480 l4 条 3x1 ≤ 100 l3 : 3x1 = 100 件 c l4 : x1 = 0, l5 : x2 = 0 x1 , x 2 ≥ 0 目标 函数
l1 : x1 + x2 = 50
x1 + x5 x2 + x6 加工能力 + ≤ 50 3 4 附加约束 4( x1 + x5 ) + 2( x2 + x6 )