高数(大一上)复习资料
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x
x
1．由 xn a 化简得 n g ，
第二节
函数的极限
【题型示例】已知函数 f x ，证明 lim f x A 【证明示例】 语言 ∴ g
x x0
x x0 时函数极限的证明
1．由 f x A 化简得 0 x x0 g ， 2．即对 0 ， g ，当 0 x x0 时，始终有不等式 f x A 成立， ∴ lim f x A
1 2
lim f x lim f x f x0
x x0
间断点的分类（P67）（★）
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极限存在） 可去间断点（相等） （特别地， 可去间断点能在分式中 第二类间断点 无穷间断点（极限为） 约去相应公因式）
第三节 闭区间上连续函数的性质 零点定理（★） 【题型示例】证明：方程 f x g x C 至少有一个根介于 a 与 b 之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数 x f x g x C 在闭区间 a, b 上连续； 2．∵ a b 0 （端点异号） 3． ∴ 由 零 点 定 理 ， 在 开 区 间 a, b 内 至 少 有 一 点 ， 使 得 4．这等式说明方程 f x g x C 在开区间 a, b 内至少有一个根
（特别地， lim
sin( x x0 ) 1） x x0 x x0
单调有界收敛准则
Leabharlann Baidu
2
第二个重要极限： lim 1 （一般地， lim f x
g x
x
1 e x
x
lim f x
lim g x
，其中 lim f x 0 ）
x x0
x 时函数极限的证明 【题型示例】已知函数 f x ，证明 lim f x A
【证明示例】 X 语言 ∴ X g
x
1．由 f x A 化简得 x g ， 2．即对 0 ， X g ，当 x X 时，始终有不等式 f x A 成立， ∴ lim f x A
1
1
函数 f x 无穷小 lim f x 0
1
x 为无穷大
x 为无穷小；反之，
加减： 数乘： （其中 c 是一个常数） （定理二）乘除法则
关于多项式 p x 、 q x 商式的极限运算
m m 1 p x a0 x a1 x am 设： n n 1 q x b0 x b1 x bn n m p x a0 nm 则有 lim x qx b0 nm 0 f x0 g x0 0 g x 0 f x g x0 0, f x0 0 lim x x0 g x 0 g x0 f x0 0 0 f x 0 （特别地，当 lim （不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断 x x0 g x 0
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高等数学（大一上）复习资料
第一节 数列的极限 数列极限的证明 【题型示例】已知数列 xn ，证明 lim xn a 【证明示例】 N 语言 ∴N g 2．即对 0 ， N g 。当 n N 时，始终有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解） 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）
（定理五） 若函数 f x 是定义域上的连续函数， 那么， lim f x f lim x
x x0
x x0
第二节 夹逼准则
极限存在准则及两个重要极限
第一个重要极限： lim ∵ x 0,
sin x 1 ， sin x x tan x ∴ lim x 0 x 2
sin x 1 x 0 x
lim
lim1 x 1 x 0 lim 1 x 0 sin x x 0 sin x sin x lim x 0 x x
第一节 无穷小量的阶（无穷小的比较） 等价无穷小（★★） U ~ sin U ~ tan U ~ arcsin U ~ arctan U ~ ln(1 U ) 1． ~ eU 1
2． U 2 ~ 1 cosU （乘除可替，加减不行） 第二节 函数的连续性 函数连续的定义（★）
x x0
x
第三节 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质（★）
函数 f x 无穷大 lim f x 无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设 f x 为有界函数， g x 为无穷小，则 lim f x g x 0 （定理四）在自变量的某个变化过程中，若 f x 为无穷大，则 f 若 f x 为无穷小，且 f x 0 ，则 f 第一节 极限运算法则 极限的四则运算法则 （定理一）加减法则
x
1．由 xn a 化简得 n g ，
第二节
函数的极限
【题型示例】已知函数 f x ，证明 lim f x A 【证明示例】 语言 ∴ g
x x0
x x0 时函数极限的证明
1．由 f x A 化简得 0 x x0 g ， 2．即对 0 ， g ，当 0 x x0 时，始终有不等式 f x A 成立， ∴ lim f x A
1 2
lim f x lim f x f x0
x x0
间断点的分类（P67）（★）
跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极限存在） 可去间断点（相等） （特别地， 可去间断点能在分式中 第二类间断点 无穷间断点（极限为） 约去相应公因式）
第三节 闭区间上连续函数的性质 零点定理（★） 【题型示例】证明：方程 f x g x C 至少有一个根介于 a 与 b 之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数 x f x g x C 在闭区间 a, b 上连续； 2．∵ a b 0 （端点异号） 3． ∴ 由 零 点 定 理 ， 在 开 区 间 a, b 内 至 少 有 一 点 ， 使 得 4．这等式说明方程 f x g x C 在开区间 a, b 内至少有一个根
（特别地， lim
sin( x x0 ) 1） x x0 x x0
单调有界收敛准则
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2
第二个重要极限： lim 1 （一般地， lim f x
g x
x
1 e x
x
lim f x
lim g x
，其中 lim f x 0 ）
x x0
x 时函数极限的证明 【题型示例】已知函数 f x ，证明 lim f x A
【证明示例】 X 语言 ∴ X g
x
1．由 f x A 化简得 x g ， 2．即对 0 ， X g ，当 x X 时，始终有不等式 f x A 成立， ∴ lim f x A
1
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函数 f x 无穷小 lim f x 0
1
x 为无穷大
x 为无穷小；反之，
加减： 数乘： （其中 c 是一个常数） （定理二）乘除法则
关于多项式 p x 、 q x 商式的极限运算
m m 1 p x a0 x a1 x am 设： n n 1 q x b0 x b1 x bn n m p x a0 nm 则有 lim x qx b0 nm 0 f x0 g x0 0 g x 0 f x g x0 0, f x0 0 lim x x0 g x 0 g x0 f x0 0 0 f x 0 （特别地，当 lim （不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断 x x0 g x 0
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第一节 数列的极限 数列极限的证明 【题型示例】已知数列 xn ，证明 lim xn a 【证明示例】 N 语言 ∴N g 2．即对 0 ， N g 。当 n N 时，始终有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解） 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）
（定理五） 若函数 f x 是定义域上的连续函数， 那么， lim f x f lim x
x x0
x x0
第二节 夹逼准则
极限存在准则及两个重要极限
第一个重要极限： lim ∵ x 0,
sin x 1 ， sin x x tan x ∴ lim x 0 x 2
sin x 1 x 0 x
lim
lim1 x 1 x 0 lim 1 x 0 sin x x 0 sin x sin x lim x 0 x x
第一节 无穷小量的阶（无穷小的比较） 等价无穷小（★★） U ~ sin U ~ tan U ~ arcsin U ~ arctan U ~ ln(1 U ) 1． ~ eU 1
2． U 2 ~ 1 cosU （乘除可替，加减不行） 第二节 函数的连续性 函数连续的定义（★）
x x0
x
第三节 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质（★）
函数 f x 无穷大 lim f x 无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设 f x 为有界函数， g x 为无穷小，则 lim f x g x 0 （定理四）在自变量的某个变化过程中，若 f x 为无穷大，则 f 若 f x 为无穷小，且 f x 0 ，则 f 第一节 极限运算法则 极限的四则运算法则 （定理一）加减法则