高数(大一上)复习资料

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大一上高数复习知识点

大一上高数复习知识点一、函数与极限函数的定义：设有两个非空集合 A 和 B，如果按照某种确定的对应关系 f，使得对于 A 中的每一个元素 x，在 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应，那么就称 f 是从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x)。

函数的极限：设函数 f(x) 在点 x=a 的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0<|x-a|<δ 时，有 |f(x)-A|<ε 成立，那么就称函数 f(x) 在点 x=a 处的极限为 A，记作lim(x→a) f(x) = A。

二、导数与微分导数的定义：设函数 y=f(x) 在点 x=a 处某个邻域内有定义，如果极限lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]/h存在，则称该极限为函数 y=f(x) 在点 x=a 处的导数，记作 f'(a)或 dy/dx| (x=a)。

导数的应用：函数的导数具有很广泛的应用，例如：1. 切线问题：导数可以表示函数曲线在某一点处的切线斜率。

2. 函数的单调性与极值问题：通过导数的正负性可以判断函数的单调性及极值点。

3. 函数的凹凸性与拐点问题：通过导数的增减性可以判断函数的凹凸性和拐点。

4. 弧长与曲率问题：导数可以用于计算函数曲线的弧长和曲率等。

微分的定义：设函数 y=f(x) 在点 x=a 处可导，那么函数在点x=a 处的微分 dy 是指函数 f(x) 在点 x=a 处的增量与自变量增量 dx 之比，即 dy=f'(a)·dx。

三、积分与定积分定积分的定义：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上有定义，将区间 [a, b] 分成 n 个小区间，假设 Delta x 是区间 [a, b] 中最大的小区间长度，选取小区间 [x(i-1), xi] 上的任意一点 x(i)，然后构造和式：Σ f(x(i))·Delta x，当 n 趋于无穷大，Delta x 趋于 0 时，如果和式的极限存在，且与区间的选取方式无关，那么称此极限为函数 f(x)在区间 [a, b] 上的定积分，记作∫[a,b] f(x)dx。

大一上学期高数知识点大全

大一上学期高数知识点大全1. 代数的基本概念1.1. 实数和复数1.2. 整式与分式1.3. 幂与根1.4. 指数与对数2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.2. 一次函数与二次函数2.3. 指数函数与对数函数2.4. 极限的定义与性质3. 导数与微分3.1. 导数的定义与性质3.2. 常见函数的导数3.3. 高阶导数3.4. 微分的定义与应用4. 积分与不定积分4.1. 不定积分的定义与性质 4.2. 基本积分公式4.3. 定积分的定义与性质4.4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 一元函数的应用5.1. 函数的增减性与最值问题 5.2. 函数与导数的几何意义 5.3. 曲线的图像与拐点5.4. 泰勒展开与近似计算6. 二元函数与多元函数6.1. 二元函数的性质与图像 6.2. 多元函数的极值与最值6.3. 偏导数与全微分6.4. 隐函数与参数方程7. 重积分与曲线积分7.1. 二重积分的定义与计算 7.2. 三重积分的定义与计算 7.3. 曲线积分的定义与计算 7.4. 曲面积分的定义与计算8. 空间解析几何8.1. 点、直线和平面的方程 8.2. 空间曲线与曲面8.3. 空间向量与坐标系8.4. 空间几何运算和投影9. 常微分方程9.1. 基本概念与一阶微分方程9.2. 可降阶的一阶微分方程9.3. 二阶线性常微分方程9.4. 高阶常微分方程的初值问题以上是大一上学期高等数学的主要知识点，通过深入学习这些内容，可以为后续学习及应用数学打下坚实的基础。

希望对你的学习有所帮助！。

大一高数上册期末知识点

大一高数上册期末知识点大一高数上册期末考试即将到来，为了帮助同学们复习和掌握重要的知识点，本文将对本学期教学内容进行总结和归纳。

以下是大一高数上册期末考试的重点知识。

一、极限与连续性1. 数列的极限数列极限的定义、极限存在准则、常数列的极限、有界性原理、夹逼定理、单调有界原理2. 函数的极限函数极限的定义、极限性质、函数极限的四则运算、复函去极限3. 连续性与间断点函数连续性的定义、函数连续性的运算、间断点的分类二、导数与微分1. 导数的概念导数的定义、导数与函数的图象、可导与连续的关系2. 基本导数公式幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数3. 导数的四则运算和差法则、常数倍法则、乘积法则、商法则、复合函数求导4. 高阶导数高阶导数的定义、求高阶导数的方法5. 隐函数与参数方程的导数隐函数求导、参数方程求导6. 微分与线性近似微分的定义、微分近似计算、一阶微分的应用三、微分中值定理与最值问题1. 罗尔定理罗尔定理的条件、罗尔定理的结论2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的条件、拉格朗日中值定理的结论、洛必达法则3. 函数的最值函数最值的定义、求函数最值的方法、闭区间上连续函数的最值四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与性质原函数与不定积分、不定积分的性质、换元积分法2. 定积分的概念与性质定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算法3. 牛顿－莱布尼兹公式牛顿－莱布尼兹公式的内容与应用五、定积分的应用1. 参数方程的弧长参数方程的弧长公式、求参数方程的弧长2. 平面图形的面积直角坐标系下的平面图形面积、极坐标系下的平面图形面积3. 物理应用质量、质心、力矩、功、液体压力六、微分方程1. 微分方程的基本概念微分方程的定义、微分方程的解及解的存在唯一性2. 一阶微分方程可分离变量型、线性型、齐次型、一阶非线性方程的解法3. 高阶线性微分方程二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程以上是大一高数上册期末考试的重要知识点概述，希望同学们能够认真复习，牢固掌握这些知识点，取得好成绩。

大一上期末高数知识点

大一上期末高数知识点高等数学是大学阶段的一门重要课程，它是学习许多理工科学科的基础。

大一上学期的高等数学内容较为广泛，包括了许多重要的知识点。

本文将对大一上期末高数的知识点进行归纳和总结。

一、数列与数学归纳法1. 数列的定义与性质2. 等差数列与等比数列3. 通项公式与求和公式4. 数列极限的概念与求解二、函数与极限1. 函数的定义与性质2. 基本初等函数及其图像3. 极限的基本性质与运算法则4. 无穷大与无穷小5. 函数的连续性与间断点三、导数与微分1. 导数的定义与几何意义2. 基本初等函数的导数3. 导数运算法则及其应用4. 高阶导数与隐函数求导5. 微分的定义与应用四、数理方程与不等式1. 一元二次方程与不等式2. 绝对值方程与不等式3. 方程与不等式组的解法4. 参数方程与方程求解五、定积分与不定积分1. 定积分的定义与性质2. 基本初等函数的不定积分3. 定积分的计算与应用4. 不定积分与定积分的关系六、微分方程1. 微分方程的基本概念与分类2. 可分离变量的微分方程3. 一阶线性微分方程4. 高阶线性常微分方程七、空间解析几何1. 空间直角坐标系与向量2. 空间中的点、直线与平面3. 空间曲线与曲面八、多元函数与偏导数1. 二元函数与二元函数的图像2. 偏导数的定义与计算3. 隐函数与全微分4. 多元函数的极值与条件极值以上便是大一上学期高等数学的主要知识点。

掌握这些知识点，对于后续的学习以及理解其他学科都具有重要的作用。

希望同学们在期末考试中能够巩固这些知识，取得优异成绩！。

大一高数上所有知识点总结

大一高数上所有知识点总结一、函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义1.2 函数的性质2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的充分条件2.3 极限的性质及四则运算法则3. 无穷小量与无穷大量3.1 无穷小量的概念与性质3.2 无穷大量的概念与性质4. 极限的计算4.1 用夹逼准则求极限4.2 用无穷小量比较求极限4.3 用洛必达法则求极限4.4 用泰勒公式求极限二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则1.1 导数的概念1.2 导数的计算与求导法则1.3 隐函数的导数1.4 高阶导数2. 函数的微分与高阶导数2.1 函数的微分2.3 高阶导数的概念与计算3. 函数的增减性与凹凸性3.1 函数的单调性3.2 函数的最值与最值存在条件3.3 函数的凹凸性及拐点三、函数的应用1. 泰勒公式在误差估计中的应用2. 函数的极值及其应用3. 函数的图形与曲线的切线方程4. 收敛性与闭区间紧性的概念及应用四、不定积分1. 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的性质1.3 不定积分的基本公式2. 不定积分的计算2.1 一些特殊函数的不定积分2.2 有理函数的不定积分2.3 有理三角函数的不定积分2.4 特殊的不定积分解法五、定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质2. 定积分的几何应用2.1 定积分与曲线下面积2.2 定积分与旋转体的体积计算2.3 定积分与空间几何体的体积计算六、微分方程1. 微分方程的概念与基本性质1.1 微分方程的定义1.2 微分方程的基本性质2. 常微分方程的解法2.1 一阶微分方程的解法2.2 二阶微分方程的解法2.3 高阶微分方程的解法3. 微分方程在物理问题中的应用3.1 弹簧振动问题3.2 电路的动态特性问题3.3 理想气体的状态方程问题七、多元函数微积分1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义1.2 多元函数的导数与偏导数1.3 多元函数的微分2. 多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值点2.2 多元函数的条件极值点3. 二重积分与三重积分3.1 二重积分的概念与性质3.2 二重积分的计算3.3 三重积分的概念与性质3.4 三重积分的计算4. 重积分在几何与物理中的应用4.1 重积分与平面图形的面积计算4.2 重积分与曲面旋转体的体积计算4.3 重积分与空间物体的质量与重心计算八、无穷级数1. 数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛的充分条件1.3 数项级数的审敛法2. 幂级数2.1 幂级数的概念与性质2.2 幂级数的收敛域2.3 幂级数在收敛域上的一致收敛性3. 函数项级数3.1 函数项级数的概念与性质3.2 函数项级数收敛的判别法3.3 函数项级数的一致收敛性以上是大一高数的知识点总结，总结了函数与极限、导数与微分、函数的应用、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微积分、无穷级数等内容。

高数大一上期末复习要点

高数大一上期末复习要点高等数学是一门大一上学期的重要课程，它是数学的一门基础性课程，也是理工科学生必修的一门课程。

本文将总结和归纳高等数学大一上学期的复习要点，以帮助同学们对这门课程进行有效的复习。

一、函数与极限1. 函数的概念、性质和表示法2. 函数的基本类型：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等3. 函数的运算：和、差、积、商、复合函数4. 函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性5. 极限的定义、性质和相关定理6. 数列极限与函数极限的关系二、导数与微分1. 导数的概念、定义和几何意义2. 导数的计算法则：常数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导等3. 高阶导数的概念与计算4. 函数的微分与微分近似值的应用5. 函数的单调性与极值问题6. 函数的图像与导数的关系三、积分与不定积分1. 积分的概念、性质和计算方法2. 定积分的概念、性质和计算方法3. 牛顿-莱布尼茨公式与不定积分的概念4. 不定积分的基本性质和计算方法5. 不定积分的换元法与分部积分法6. 定积分的几何应用：面积、曲线长度、平均值等四、微分方程1. 微分方程的概念和基本形式2. 一阶微分方程的可分离变量、齐次方程和线性方程解法3. 一阶线性微分方程的常数变易法和伯努利方程解法4. 二阶齐次线性微分方程的特征方程解法5. 二阶非齐次线性微分方程的特解叠加法与待定系数法6. 微分方程的应用：变种种群模型、生命问题、机械振动等五、级数与幂级数1. 数列与级数的概念和性质2. 收敛与发散的判定：比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 常数项级数的和与收敛域4. 幂级数的收敛半径与收敛域5. 幂级数的运算：求导、求积等6. 幂级数的应用：函数展开、函数逼近等上述要点是大一上学期高等数学课程的重点内容，同学们在复习的过程中应该重点关注，并通过课堂笔记、教材、习题集等进行系统复习和巩固。

同时，在复习过程中要注重提高自己的问题解决能力和应用能力，培养数学思维和分析能力。

高数笔记大一必备知识点

高数笔记大一必备知识点1. 函数与极限- 函数定义和性质- 极限的定义和性质- 常见函数的极限求解方法2. 微分学- 导数的定义和性质- 常见函数的导数求解方法- 高阶导数与导数的应用- 极值与最值的求解方法3. 积分学- 不定积分的定义和性质- 常见函数的积分求解方法- 定积分的定义和性质- 微积分基本定理的应用4. 函数的应用- 曲线图像的分析- 函数模型的建立与应用5. 常微分方程- 常微分方程的基本概念与分类- 一阶常微分方程的解法- 高阶常微分方程的解法6. 级数- 级数的定义和性质- 常见级数的求和方法- 级数收敛与发散的判别方法7. 二重积分- 二重积分的定义和性质- 坐标变换与极坐标法的应用8. 三重积分- 三重积分的定义和性质- 坐标变换与球坐标法的应用9. 偏导数与多元函数微分学- 偏导数的定义和性质- 多元函数的全微分与求导10. 曲线积分与曲面积分- 曲线积分的定义和性质- 曲面积分的定义和性质- 根据题目使用参数化与换元法解决具体问题以上是大一学习高等数学所必备的知识点，对于每个知识点，你需要深入理解其定义、性质和基本求解方法。

在学习过程中，可以结合教材和习题集进行实际练习，掌握每个知识点的应用技巧。

尽管高等数学是一门理论与实践相结合的学科，但通过积极参与课堂讨论、与同学组队解题、与教师进行交流等实践方式，你将能更好地理解与应用这些知识点。

最后，要善于总结和整理自己的思路，形成自己的高数笔记。

这将有助于加深对知识点的理解，并为以后的学习打下坚实基础。

祝愿你在大学的高数学习中取得好成绩！。

大一高数上册知识点提纲

大一高数上册知识点提纲数列与数学归纳法1. 数列的概念和表示方法2. 等差数列的性质和通项公式3. 等比数列的性质和通项公式4. 斐波那契数列的性质和递推公式5. 数学归纳法的基本思想和应用函数与极限1. 函数的基本概念和性质2. 基本初等函数及其性质3. 极限的概念和性质4. 极限的运算法则5. 无穷大与无穷小6. 函数的连续性及其运算法则导数与微分1. 导数的定义和计算方法2. 基本初等函数的导数3. 函数的导数与可导性4. 高阶导数与导数公式5. 隐函数与参数方程的导数6. 微分的概念和计算方法微分中值定理与导数的应用1. 罗尔中值定理及其证明2. 拉格朗日中值定理及其证明3. 柯西中值定理及其特殊情况4. 应用题：极值问题、函数图像的描绘等不定积分与定积分1. 不定积分的概念和基本性质2. 基本初等函数的不定积分3. 第一类换元积分法4. 分部积分法及其应用5. 定积分的概念和性质6. 定积分的计算方法：换元法和分部积分法定积分的应用1. 曲线长度与曲面积的计算2. 物理应用：质量、质心和转动惯量的计算3. 概率应用：概率密度函数与累积分布函数常微分方程1. 基本概念：微分方程、初值问题、通解和特解2. 可分离变量的一阶微分方程3. 齐次方程和一阶线性微分方程4. 二阶常系数齐次线性微分方程5. 指数函数、三角函数和特殊函数的微分方程以上是大一高数上册的知识点提纲，涵盖了数列与数学归纳法、函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分与定积分、定积分的应用以及常微分方程等内容。

希望这份提纲可以帮助你系统地理解和掌握这些知识点，为之后的学习打下坚实的基础。

祝你学习顺利！。

大一上高数必考知识点

大一上高数必考知识点高等数学作为理工科类专业的一门重要基础课程，对于大一学生而言，是一门必考的重要科目。

本文将围绕大一上学期高等数学课程的必考知识点展开讨论，以便同学们能够针对这些知识点有针对性地进行复习。

一、极限与连续1. 函数的极限与极限的运算法则- 函数极限的定义与性质- 极限的四则运算法则- 夹逼准则和单调有界准则2. 连续与间断- 连续函数的定义与性质- 闭区间上连续函数的性质- 间断点的分类与性质二、导数与微分1. 导数的概念与求导法则- 导数定义与基本性质- 基本函数的导数与常数法则- 乘积、商、复合函数求导法则2. 高阶导数与高阶导数的运算- 高阶导数的定义- 高阶导数的运算法则- 高阶导数与微分的关系三、一元函数的微分学应用1. 函数的极值与最值- 极值的必要条件与充分条件- 最大值与最小值的存在性2. 曲线的凸凹性与拐点- 凸函数与凹函数的定义与性质- 凸凹性与拐点的判定方法3. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与形式- 泰勒公式在近似计算中的应用四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分与原函数的关系- 不定积分的基本性质与运算法则2. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与性质- 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的计算3. 定积分的应用- 定积分在几何问题中的应用- 定积分在物理问题中的应用五、级数1. 数项级数的概念与性质- 数项级数的收敛与发散- 收敛级数的性质与运算法则2. 常见级数的收敛性质- 等比级数和调和级数的收敛性- 幂级数的收敛区间与收敛域3. 函数展开为幂级数- 函数展开的定义与条件- 常见函数的幂级数展开综上所述，大一上学期高等数学的必考知识点包括极限与连续、导数与微分、一元函数的微分学应用、不定积分与定积分以及级数等内容。

希望同学们能够针对这些知识点进行系统性的学习和复习，为考试打下坚实的基础。

祝各位同学在高等数学考试中取得优异的成绩！。

大一高数上册知识点

大一高数上册知识点一、数列与极限1.数列的概念：数列是按照一定规律排列的一列数。

2.数列的表示方法：通项公式、递推公式。

3.数列的性质：有界性、单调性。

4.数列的极限：数列逐渐趋近于无穷大或无穷小的值。

5.数列的收敛与发散：当数列存在极限时，称其收敛，否则称其发散。

6.常见数列：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

二、函数与映射1.函数的定义：函数是一种特殊的关系，每个自变量对应唯一的一个因变量。

2.函数的基本性质：定义域、值域、图像、单调性、奇偶性等。

3.基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

4.函数的运算与复合：函数加减乘除、函数复合运算。

5.映射的概念：映射是一种把一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的规则。

三、极限与连续1.函数的极限：函数在某点或无穷远处的趋近值。

2.极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性等。

3.极限的计算方法：夹逼定理、函数极限运算法则等。

4.连续的概念：连续函数在其定义域内的任意点都有极限且与函数值相等。

5.连续函数的性质：介值定理、最大最小值定理等。

6.不连续点的分类：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点等。

四、导数与微分1.导数的概念：函数在某点的变化率。

2.导数的计算方法：基本导数公式、导数的四则运算、高阶导数等。

3.导数的几何意义：切线的斜率、函数图像的局部性质等。

4.微分的概念：函数在某点的线性近似变化量。

5.微分的计算方法：微分的四则运算、复合函数的微分等。

6.幂指对数函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数的导数公式。

五、微分中值定理与导数应用1.罗尔定理：连续函数在闭区间端点值相等时，必定存在某点使导数为零。

2.拉格朗日中值定理：连续函数在闭区间内存在某点使导数等于平均变化率。

3.柯西中值定理：两个函数在闭区间内存在某点使导数的商等于函数的商。

4.泰勒公式：函数在某点的函数值可以用该点的导数表示的公式。

5.应用问题：最值问题、曲线的凹凸性、曲率、速度与加速度等。

大一高数知识点归纳

大一高数知识点归纳一、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义与性质- 函数极限的定义与性质- 无穷小与无穷大的概念- 极限的四则运算法则2. 极限的计算- 极限的代入法- 极限的因式分解法- 洛必达法则- 夹逼定理3. 连续函数- 连续性的定义- 连续函数的性质- 闭区间上连续函数的性质（最大值最小值定理）二、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义与物理意义- 可导与连续的关系2. 常见函数的导数- 基本初等函数的导数- 导数的运算法则- 高阶导数3. 微分- 微分的定义- 微分的运算法则- 隐函数的微分法三、中值定理与导数的应用1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 导数的应用- 函数的单调性- 函数的极值问题- 曲线的凹凸性与拐点- 函数的渐近线四、不定积分1. 不定积分的概念- 原函数与不定积分的定义 - 不定积分的基本性质2. 常见函数的积分方法- 换元积分法- 分部积分法- 有理函数的积分五、定积分1. 定积分的概念- 定积分的定义- 定积分的性质2. 定积分的计算- 微积分基本定理- 定积分的换元法与分部积分法3. 定积分的应用- 平面图形的面积- 曲线的长度- 旋转体的体积六、级数1. 级数的基本概念- 级数的定义与分类- 收敛级数与发散级数2. 级数的收敛性判别- 正项级数的比较判别法- 比值判别法与根值判别法- 交错级数的收敛性判别3. 幂级数- 幂级数的收敛半径与收敛区间 - 泰勒级数与麦克劳林级数七、空间解析几何1. 向量与直线- 向量的运算与性质- 直线的方程与性质2. 平面与曲线- 平面的方程- 空间曲线的方程3. 多元函数的微分学- 偏导数与全微分- 多元函数的链式法则八、重积分1. 二重积分- 二重积分的定义与性质 - 二重积分的计算方法2. 三重积分- 三重积分的定义与性质 - 三重积分的计算方法九、曲线积分与格林公式1. 曲线积分- 曲线积分的定义与性质 - 曲线积分的计算2. 格林公式- 格林公式的表述- 应用格林公式计算曲线积分以上是大一高数的主要知识点归纳，每个部分都包含了关键的概念、定义、性质和计算方法。

大一高数复习资料【全】

高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦。

当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞→lim第三节函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞→lim第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311limlim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】3x →===第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim（一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x ee e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +- 2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节函数的连续性 ○函数连续的定义（★）()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0fg C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩ ∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11fx f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+=⎝⎛⎫⎪ =⎝⎭=解：⎛ ⎝第四节高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程ye x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由ye x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1yy e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0ff ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ== 即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，xe e x >⋅ 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，xe e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+；2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，xe e x >⋅第二节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解：（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim xx x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln limln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 00200020*******,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim limlim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x xx x x xx x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1xe x >+ 【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >）2．()10xx e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1xe x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩3．（四行表）x (,0)-∞ 0 (0,1)1 (1,2)2 (2,)+∞y ' - 0 + + 0 - y '' + + - - y 1 (1,3) 54．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸；⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-= x1- ()1,1-1 (]1,3()f x ' 0+-()f x极小值极大值4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量）○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求221dx a x +⎰【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d Ca x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求【求解示例】()()121212x x C=+=+=○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用）⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ；⑶对于根号下平方差的形式（0a >）：asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ；bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x =，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式）【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C Ct =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x xx x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd ee x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2xxe xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分 ○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节积分表的使用（不作要求）第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b baaf x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0a af x dx =⎰ ⑶()()b ba akf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）()()()()1212b b ba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0baf x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b baa f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求40⎰ 【求解示例】()2210,43220,1014,332332311132213111332223522933解：t t x x t x t t dx t t t dt t dt t x t =-====+−−−−−−→+⎛⎫=⋅⋅=+=+ ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰ ⑶（分部积分法）()()()()()()()()()()()()bba ab bb aaau x v x dx u x v x v x u x dxu x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0aaf x dx -=⎰第四节定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的证明。

大一上高数重点知识点

大一上高数重点知识点一、函数与极限1.函数：-函数的定义：函数是一个变量间的关系，通常表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f(x)是给定x的函数值。

-四则运算和复合运算：加法、减法、乘法、除法、复合等运算规则。

-基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

2.极限：-极限的定义：当自变量x无限接近一些确定值时，函数f(x)的值逐渐趋向于一个确定的常数L，称L为函数f(x)当x趋近于一些确定值时的极限。

-极限的性质：极限的唯一性、局部有界性、保序性等。

-极限计算法则：四则运算法则、复合运算法则、等价无穷小替代法则等。

二、导数与微分学1.导数：- 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，定义为f'(x)=lim(x→0)(f(x+h)-f(x))/h。

-导数的几何意义：导数表示函数的变化率，即函数曲线在一点的斜率。

-基本求导法则：常数法则、乘法法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。

2.微分学：- 微分的定义：函数f(x)在点x处的微分表示为df(x)=f'(x)dx。

-微分的几何意义：微分代表函数曲线在特定点附近的线性近似，即切线与x轴的交点的y坐标。

-高阶导数：导数的导数称为高阶导数，如f''(x)表示f'(x)的导数。

三、不定积分与定积分1.不定积分：- 不定积分的定义：函数F(x)是f(x)的一个原函数，表示为∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

-基本积分法则：幂函数积分、指数函数积分、对数函数积分、三角函数积分等。

-分部积分法：将积分的乘积分解为两个函数的乘积的积分形式进行求解。

-特殊积分：标准形式的积分表达式的求解，如三角函数的积分、有理函数的积分等。

2.定积分：- 定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分表示为∫[a,b]f(x)dx，表示函数在该区间上的面积。

高数大一上知识点总结复习

高数大一上知识点总结复习在大一上学期的学习中，我们学习了高等数学（高数）的一些基础知识点。

这些知识点对我们建立数学思维、提高分析问题和解决问题的能力非常重要。

接下来，我将对这些知识点进行总结和复习。

一、极限与连续1. 数列与极限数列的概念：数列是按照一定规律排列的一串数。

数列的极限：当数列中的数值趋于某个常数时，称该常数为数列的极限。

数列极限的性质：极限唯一性、保号性、夹逼性、有界性等。

2. 函数与极限函数的定义：函数是一个对应关系，将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

函数的极限：当自变量趋近于某个值时，函数对应的因变量的值趋近于某个常数。

函数极限的性质：极限唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。

3. 连续与间断连续函数的定义：函数在其定义域内的任何点上都满足极限存在且与函数值相等。

间断点与间断性：函数在某些点上极限不存在或者与函数值不相等，称为间断点。

二、导数与微分1. 导数的概念与性质导数的定义：描述函数在某一点附近的变化率。

导数可以表示斜率、速率、函数的变化趋势等。

导数的性质：四则运算法则、常数函数的导数、乘积法则、商法则等。

2. 导数的应用切线与法线：导数与函数图像上的切线方程和法线方程的应用。

函数的单调性：导数与函数的单调性的关系，判断函数在某个区间上的单调性。

函数的最值：通过导数来判断函数的最值。

3. 微分的概念与性质微分的定义：描述函数在某一点附近的变化量。

微分的性质：微分与导数的关系、微分的线性性质等。

三、不定积分与定积分1. 不定积分不定积分的定义：描述函数的原函数。

不定积分是导数的逆运算。

基本积分表：求解一些常见函数的不定积分所需的基本积分表。

不定积分的性质：线性性质、分部积分法、换元积分法等。

2. 定积分定积分的定义：描述函数在某个区间上的累积效果。

定积分的性质：线性性质、区间可加性、积分中值定理等。

牛顿-莱布尼茨公式：定积分和不定积分的关系。

四、微分方程1. 微分方程的概念与基本形式微分方程的定义：含有一个或多个未知函数的导数和自变量的关系式。

大一上学期高数知识点总结

大一上学期高数知识点总结一、导数与微分1. 函数的极限与连续性- 函数极限的定义与性质- 连续函数的定义与性质2. 导数与微分的概念- 导数的定义与几何意义- 微分的定义与应用3. 常见函数的导数- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数计算4. 高阶导数与高阶微分- 高阶导数的概念及计算方法- 高阶微分的概念及应用二、常用函数与曲线的性质1. 一次函数与二次函数- 一次函数与二次函数的图像特征 - 一次函数与二次函数的性质及应用2. 指数函数与对数函数- 指数函数与对数函数的图像特征 - 指数函数与对数函数的性质及应用3. 三角函数与反三角函数- 基本三角函数的定义与性质- 反三角函数的定义与性质4. 参数方程与极坐标方程- 参数方程的概念与性质- 极坐标方程的概念与性质三、积分与定积分1. 不定积分与定积分- 不定积分的定义与性质- 定积分的定义与性质2. 常见函数的积分- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的积分计算3. 积分中值定理与换元法- 积分中值定理的概念及应用- 换元法的基本思想与应用4. 微元法与面积体积计算- 微元法的基本原理与应用- 曲线下面积、旋转体体积的计算四、常微分方程1. 一阶常微分方程- 可分离变量方程的解法- 齐次方程的解法2. 线性常微分方程- 一阶线性齐次方程的解法- 一阶线性非齐次方程的解法3. 高阶常微分方程- 二阶常系数齐次方程的解法 - 二阶常系数非齐次方程的解法五、级数与幂级数1. 数项级数的概念与性质- 数项级数收敛的判定方法- 数项级数收敛的性质2. 幂级数的性质与收敛半径- 幂级数的收敛域与收敛半径- 幂级数的运算与收敛区间的确定3. 常见函数的幂级数展开- 指数函数、三角函数、对数函数的幂级数展开六、空间解析几何1. 空间直线与平面- 点、直线、平面的位置关系与方程- 直线与平面的交点及距离计算2. 空间曲线与曲面- 曲线的参数方程与性质- 曲面的方程与性质3. 空间向量的运算- 空间向量的基本运算法则- 向量积与混合积的计算以上是大一上学期高数的主要知识点总结，希望对你的复习有所帮助。

高数大一上册知识点笔记

高数大一上册知识点笔记1. 函数与极限:- 函数的概念及基本性质- 极限的定义与性质- 极限运算法则2. 导数与微分:- 导数的定义与计算- 导数的几何意义与物理意义- 微分的概念与计算3. 微分中值定理与高阶导数:- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 高阶导数的概念与计算4. 不定积分与定积分:- 不定积分的定义与基本性质- 基本积分公式与常用积分公式 - 定积分的概念与性质- 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的应用:- 曲线长度与曲面面积- 物理应用：质量、质心与静力学6. 微分方程:- 高阶导数与高阶线性微分方程 - 一阶线性微分方程- 可分离变量的一阶微分方程- 齐次线性微分方程7. 无穷级数:- 数列极限与数列的收敛性质 - 正项级数与收敛判别法- 收敛级数的性质- 幂级数及其收敛域8. 函数序列与函数级数:- 函数序列的定义与性质- 函数序列的一致收敛性- 麦克劳林级数与泰勒级数9. 空间解析几何:- 空间直线与平面的方程- 空间曲线与曲面的方程- 空间直线与平面的位置关系 - 空间曲线与曲面的位置关系10. 多元函数与偏导数:- 多元函数的概念与性质- 偏导数的定义与计算- 高阶偏导数与混合偏导数11. 多元函数的极值与条件极值: - 多元函数的极值与最大最小值 - 条件极值与拉格朗日乘数法12. 重积分:- 二重积分的概念与计算- 二重积分的性质与应用- 三重积分的概念与计算- 三重积分的性质与应用13. 曲线与曲面积分:- 第一类曲线积分的概念与计算 - 第二类曲线积分的概念与计算- 曲面积分的概念与计算14. 广义积分:- 广义积分的概念与收敛性- 参数积分的概念与性质- Gamma函数与Beta函数的定义与性质这些是高数大一上册的主要知识点笔记，对于每个知识点，可以进一步展开，提供详细的定义、定理、公式和实例，以帮助理解和掌握相关内容。

大一上学期的高数课程重点在于奠定基础，熟练掌握这些知识点对于后续的学习和应用都具有重要意义。

高数总复习重点,大一

三、导数的几何意义
K切=f ′(x0) 切线方程：切线方程：y-f(x0)= f ′(x0)(x-x0) 在点（，）如求y=x3在点（1，1）处的切线方程在点x=1处的切线方程求y= −x2+7在点在点处的切线方程
四、基本求导公式和导数的四则运算法则基本求导公式和导数的四则运算法则五、复合函数的导数复合函数的导数
第二章导数与微分
一、导数的定义
f ′(x0)= lim
∆x → 0
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆x
二、连续与可导的关系
f ( x + ∆x) − f ( x) lim f ′ (x)= ∆x →0 ∆x
可导必定连续，但连续未必可导典型 y=|x|在x=0处即函数在一点可导是函数在该点连续的充分不必要条件充分不必要条件反之函数在一点连续是函数在该点可导的必要不充分条件必要不充分条件
π
小结
熟练掌握各章的重点内容、解题的方法和技巧，关键是能熟练运用所学的知识解决具体问题。
作业
• 认真复习，准备考试 • 祝大家成功
八、高阶导数高阶导数九、微分 dy 微分
1.求导数或微分（1）
y=
x 2
重点是概念和二阶导数
= f ′( x ) dx
（2）y
x sin x −5x log ，求y′
2
= sin(ln x )求dy
x （3）y = tan 求dy 5
（4）设 f ( x) = sin x + cos x求dy
[2x+xy−sin(x+ey)] ′ x =(0) ′
2x ⋅ln2+1⋅y+x⋅y′ x−cos(x+ey) ⋅ (1+ey ⋅y ′ x) =0

大一上学期高数期末知识点

大一上学期高数期末知识点高等数学是大学数学的重要组成部分，也是理工科学生必修的一门基础课程。

下面将对大一上学期高等数学的期末考试中可能涉及的重要知识点进行总结和梳理，供同学们参考复习。

1. 函数与极限- 函数的定义及性质- 极限的概念和性质- 极限的运算法则- 无穷小与无穷大- 函数连续性及其判定2. 导数与微分- 导数的定义及性质- 常见函数求导法则- 高阶导数和隐函数求导- 微分的定义及性质- 泰勒展开与近似计算3. 微分中值定理与应用- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 应用题中的最值和最优化问题4. 不定积分与定积分- 不定积分的基本概念- 常见函数的不定积分- 定积分的定义及性质- 牛顿-莱布尼茨公式- 定积分的应用5. 微分方程- 微分方程的基本概念- 可分离变量的微分方程- 一阶线性微分方程- 常系数线性齐次微分方程- 高阶线性齐次微分方程及特征方程6. 多元函数及偏导数- 多元函数的定义及性质- 偏导数的概念和计算方法- 隐函数求导- 多元函数的极值及条件极值7. 重积分- 重积分的定义及性质- 二重积分的计算方法- 三重积分的计算方法- 坐标变换与重积分的应用8. 曲线与曲面积分- 第一类曲线积分的计算- 第二类曲线积分的计算- 曲面积分的计算- 格林公式及其应用9. 空间解析几何- 点、直线、平面的坐标表示 - 空间曲线和空间曲面的方程 - 空间曲线的切向量和法平面 - 直线与平面的位置关系10. 数列和级数- 数列的定义和性质- 数列极限的概念和性质- 常见数列极限的计算方法 - 级数的概念和性质- 收敛级数和发散级数的判定以上是大一上学期高等数学的重要知识点总结，同学们可以根据自己的学习进度和实际情况进行有针对性的复习。

希望大家在期末考试中取得好成绩！。