定积分及其应用5.6定积分在经济上的应用
经济数学基础——定积分在经济学中的应用
河北省高等教育自学考试定积分在经济学中的应用——定积分在经济学中的应用地市：沧州市专业：投资管理姓名：郭梦帆准考证号：1 身份证号：联系电话：内容摘要经济数学基础本着基础教学为专业服务及注重应用、培养能力的原则，根据微积分、线性代数、概率统计的基本知识逻辑，以知识介绍为重点，详略得当；叙述上力求简明、通俗，又不失科学性。
关键词：定积分微分经济学边际函数投资经济数学基础知识点1.一元函数极值设函数f（x）在X0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于X0的X恒有:f(x)<f(x0)，则称f(X0)为函数的极大值，称X0为函数的极大值点.f(X)>f(X0)，则f(X0)称为函数的极小值，称X0为极小值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点、极小值点统称为函数的极值点。
极值反映函数的局部性态，是一个局部概念．极大值不一定大于极小值，极大（小）值不一定是区间上的最大（小）值，但就极值点附近的范围来说极大（小）值就是最大（小）值；区间上的极值点可能有若干个。
2.二元函数极值设函数Z=f(x, y)在点(x0,y0)的邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点，如果都有f(x, y)<f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为函数Z=f（x, y）的极大值；如果都有f(x, y)>f(x0,y0)，则称f(x, y)为函数Z=f(x, y)的极小值；极大值和极小值统称为二元函数Z=(x, y)的极值；使二元函数Z=（x, y）取得极大值的点或者极小值的点f(x0,y0)，称为极大值点或者极小值点；极大值点和极小值点统称为极值点．求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决．与一元函数类似，可以利用函数的极大值、极小值求解函数的最大值、最小值，但是由于自变量个数的增加，应特别注意概念中的一些变化和计算．对于二元以上的函数极值问题可类似的加以解决，如可以将二元函数极值问题的理论推广到多元函数的情形，以及利用泰勒公式推导出判断多元函数极值存在的充分条件、极值不存在的必要条件等。
(完整版)定积分在经济中的应用
定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ （1） ()()()ba Cb C a C x dx '-=⎰ （2） ()()()ba Lb L a L x dx '-=⎰ （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）。
解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元 300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dt t t -⎰ 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。
例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。
解 由于2200()(0.08r t dt dt =+⎰⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为20()0.0820r t dtr ==+-⎰0.094≈例3 某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt'=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。
定积分
定积分在经济学中的应用The Application of Definite Integral in Economics摘要随着社会主义市场经济的迅速发展，经济学与数学这两个学科的联系已越来越紧密，数学知识广泛地应用于经济学中。
而数学中的定积分又是微积分中重要的组成部分，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。
因此，研究运用定积分来解决经济方面的问题就显得十分重要。
这篇文章借鉴其它学者研究成果的方法。
首先回顾了一些关于定积分的性质、定理。
然后列举出定积分在经济学中的应用的一些具体事例。
最后归纳整理，从两个大方面进行研究：定积分在生产上的应用；定积分在投资、决策上的应用。
并获得相应结果。
这篇文章从不同角度研究了定积分在经济学的应用，对其他作者有一定的借鉴意义。
关键词：定积分；经济学；边际函数；投资；决策AbstractWith the rapid development of the socialist market economy, economics and mathematics has become more and more closely linked together. Mathematics knowledge is widely used in economics. And the definite integral in mathematics is an important part of calculus, which is widely used in economics and is very rich in content. Therefore, it is important to study the economical problems by using definite integrals.This article draws on the methods of other scholars' research. Firstly, we review some properties and theorems of definite integral. Secondly, some examples are presented about the application of definite integral in economics. Finally, the paper summarizes the two major aspects: the application of definite integral in production and the application of definite integral in investment and decision making. And these get the results. This paper studies the application of definite integral in economics from different angles, and it has some significance for other authors.Key Words: Definite integral; Economics; Marginal functions; Investment; Decision making目录1.引言 (1)2.预备知识 (2)3.定积分在经济学中的应用 (2)3.1定积分在生产方面的应用 (2)3.1.1定积分在生产中求总成本、总收益方面的应用 (2)3.1.2定积分在最优化生产方面的应用 (4)3.1.3定积分在生产消费方面的应用 (4)3.1.4定积分在生产中预测所耗费劳动时数方面的应用 (6)3.2定积分在投资、决策方面的应用 (7)3.2.1定积分在投资方面的应用 (7)3.2.2定积分在广告策划方面的应用 (9)3.2.3定积分在企业决策方面的应用 (9)结语 (10)参考文献 (12)致谢 (13)1.引言随着社会主义市场经济的迅速发展，经济学与数学这两个学科的联系已越来越紧密，数学知识广泛地应用于经济学中。
定积分在经济学中的应用
目的和意义
研究定积分在经济学中的应用，有助于深入理解经济现象和规律，为经济决策提 供科学依据。
通过定积分的应用，可以更加精确地描述和预测经济行为，提高经济分析的准确 性和可靠性。同时，定积分的应用也有助于推动经济学与其他学科的交叉融合， 促进经济学的发展和创新。
定积分的结果通常是数值形式，对于非专业 人士来说可能难以理解和解释，需要结合实 际经济现象进行解释和说明。
05
定积分在经济学中的未来发展
研究方向
1 深化定积分与金融学的交叉研究
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
2 拓展定积分在产业组织理论中的应用
消费者行为模型
通过建立消费者行为模型，定积分可 以描述消费者的购买决策过程，解释 消费者如何权衡价格、收入和偏好等 因素。
生产者行为分析
成本最小化
定积分可用于分析生产者如何最小化生产成本，通过优化生产要素的配置，提 高生产效率。
产量决策
定积分可以用于确定生产者在不同市场条件下的最优产量决策，以实现利润最 大化。
定积分的应用需要满足一定的假设条件，如 连续性、可微性等，但在实际经济现象中，
这些假设可能并不总是成立。
数据要求高
定积分的计算过程较为复杂，需要耗费大量 的计算资源和时间，对于大规模的经济系统
可能存在计算瓶颈。
计算成本高
定积分需要大量的数据作为支撑，数据的准 确性和完整性对结果的影响较大。
解释难度大
探索定积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用 ，为金融市场提供更精确的定量分析工具。
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用
简述不定积分和定积分在经济生活中的应用经济学中不定积分和定积分是一种重要的计算工具，具有广泛的实际应用。
不定积分和定积分在经济生活中有着重要的意义，它可以帮助经济学家和经济管理者更好地了解和研究经济问题，有助于更好地推进经济发展和管理经济。
本文将简要介绍不定积分和定积分在经济生活中的应用。
不定积分在经济生活中的应用不定积分的应用在经济学中很广泛，可以用来解决许多经济中的问题。
首先，它可以用来计算价格。
不定积分可以用来计算出给定价格下消费者需求量和生产商供给量之间的关系，进而了解消费者和生产商在某一价格水平下多大程度上能够受到价格影响。
其次，不定积分可以用来计算投资成本。
不定积分可以用来计算投资成本，以判断投资成本究竟有多大，是否值得投入。
投资者也可以运用不定积分法来分析所考虑的投资项目的投资回报率，以更快地、更高效地学习投资过程的风险和收益。
定积分在经济生活中的应用定积分也在经济生活中有着重要的应用。
首先，它可以用来计算消费函数。
函数可以用来展示消费者在不同收入水平下的消费水平，这有助于经济学家和政策制定者更好地理解消费者的消费行为，推动经济发展。
其次，定积分也可以用来计算税收函数。
税收函数可以用来计算税收对投资的影响，以判断出税收的调节幅度，有助于政府制定出合理的税收政策，推动经济发展。
此外，定积分还可以用来计算产出函数。
产出函数可以用来计算不同生产要素投入水平下生产总量的大小，有助于计算出不同生产要素对总产出的贡献度，以及它们投入和产出间的关系。
结论从上述内容可以看出，不定积分和定积分在经济生活中有着重要的应用。
不定积分可以用来计算价格和投资成本，而定积分则可以用来计算消费函数、税收函数和产出函数。
因此，不定积分和定积分都是经济学上重要的工具，它们对经济管理者来说是不可或缺的。
它们的正确运用可以帮助经济学家和经济管理者更深入地理解和研究经济状况，有助于推动经济发展。
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用"定积分在经济学中的应用"定积分是数学中的一种重要概念，它通常用来解决连续函数的积分问题。
在经济学中，定积分也有着广泛的应用。
首先，定积分可以用来解决经济问题。
例如，在解决资本的无效配置问题时，可以使用定积分来求出资本的最优配置方案。
其次，定积分也可以用来解决生产函数问题。
通过对生产函数的定积分，可以得出生产总量与资本、劳动的函数关系，为企业决策提供参考。
此外，定积分还可以用来解决成本函数问题。
对成本函数进行定积分，可以得出成本总量与生产量的函数关系，为企业制定成本管理策略提供依据。
另外，定积分还可以用来解决供求函数问题。
通过对供求函数进行定积分，可以得出市场供需平衡的价格区间，为市场调节提供参考。
此外，定积分还可以用来解决效用函数问题。
对效用函数进行定积分，可以得出个体的效用曲线，为决策者制定1. 定积分的概念及其求法"1. 定积分的概念及其求法"定积分是数学中的一种重要概念，它是指在给定的区间内对一个连续函数的定义域进行积分的过程。
首先，定义定积分的概念。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫a^b f(x) dx，称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
其次，介绍定积分的求法。
常用的求定积分的方法有两种，一种是定义求积公式法，另一种是定积分的简单逼近法。
定义求积公式法是指根据函数f(x)的性质，使用一些特殊的函数求出f(x)在区间[a,b]上的定积分。
例如，当f(x)为常数时，f(x)在区间[a,b]上的定积分就是f(x)的常数值乘以区间[a,b]的长度。
定积分的简单逼近法是指使用一些简单的函数来逼近函数f(x)，然后求出这些简单函数的定积分，最后用这些定积分的和来近似求出f(x)在区间[a,b]上的定积分。
常用的简单逼近法有梯形公式法和 Simpson 公式法。
总之，定积分是数学中的一种重要概念2. 定积分在解决经济问题中的应用"2. 定积分在解决经济问题中的应用"定积分是数学中的一种重要概念，它在解决经济问题中也有着广泛的应用。
定积分及其应用
六、参考概率书籍，说明分布函数怎么计算 参考概率书籍， （p231，13） ， ）
分布函数 取值充满整个实数 轴的随机变量，就不可能用分 轴的随机变量， 布列来表述它取值的概率规律， 布列来表述它取值的概率规律， 一般可统一用分布函数来表述。 一般可统一用分布函数来表述。 分布函数是定义在实数轴上而 取值为大于等于0且小于等于 且小于等于1 取值为大于等于 且小于等于 的实数，对于实轴上任何一点x， 的实数，对于实轴上任何一点 ， 随机变量X的分布函数 的分布函数F（ ） 随机变量 的分布函数 （x） 点的值为随机变量X小于 在x点的值为随机变量 小于 点的值为随机变量 小于x 这个事件发生的概率。 这个事件发生的概率。分布函 数是单调非降的右连续函数， 数是单调非降的右连续函数， 在负无穷大时为0， 在负无穷大时为 ，在正无穷大 时为1。 时为 。
三、不定积分与定积分有什么联系和区别
不 定 积 分 原函数的 集合； 集合；用 换元法计 算时在 的计算 回； 回； 原函 数的
在区间[a,b]上连续 ⑴若f(x)在区间 在区间 上连续 则∫ (a,x)f(t)dt=G(x)是f(x)在 是 在 区间上的一个原函数， 区间上的一个原函数，即 G’(X)=f(x) ，即φ’(x)= ∫ (a,x)f(t)dt= f(x)【第一基本 【 定 是连续函数， 若f(x)是连续函数，F(x) 是连续函数 的一个原函数， 是f(x)的一个原函数，则∫ 的一个原函数 (a,b)f(x)dx=F(b) F(a) 【第 基本定
需求函数：在某一特定时期内， ①需求函数：在某一特定时期内，市场上某种商品的各种可能的购买量与决 需求量Q是价格 是价格p的函 定这些购买量的因素的关系 Q(p)= ∫(0,p)Q(t)dt+Q0 需求量 是价格 的函 价格为0时需求量最大 时需求量最大。 数，价格为 时需求量最大。 ②总成本函数：产品成本是以货币形式实现的企业生产销售产品全部费用支 总成本函数： 固定成本+变动成本 变动成本=总成本 出，固定成本 变动成本 总成本 C(x)= ∫(0,x)C′(t)dt+C0 C0=C 价格× ③总收入函数：总收入=价格×销售量 总收入函数：总收入 价格 R(x)= ∫(0,x)R′(t)dt （∫(0,x)L′(t)dt产量 产量 利润=收入 ④利润函数:利润 收入－成本 L(x)= ∫(0,x)L′(t)dt－C0 利润函数 利润 收入－ － 时的毛利， 为x时的毛利，毛利减去固定成本为纯利） 时的毛利 毛利减去固定成本为纯利）
定积分在数学中的应用
定积分在数学中有广泛的应用，涵盖了多个领域，包括几何、物理、经济学和工程学等。
以下是一些常见的应用领域：
1. 几何学：定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积、空间曲面的面积和体积等。
通过将几何问题转化为定积分的计算，可以准确求解各种形状的几何量。
2. 物理学：定积分在物理学中的应用非常广泛。
例如，可以用定积分计算物体的质心、转动惯量、流体的压力和力矩等。
还可以通过定积分计算曲线下的面积来求解物体的位移、速度和加速度等运动学问题。
3. 经济学：定积分在经济学中的应用主要用于计算累积量。
例如，可以使用定积分计算总收益、总成本、总利润等经济指标。
还可以通过定积分计算边际收益和边际成本，从而进行经济决策和优化问题的分析。
4. 工程学：定积分在工程学中也具有重要的应用价值。
例如，可以使用定积分计算电路中的电流、电压和功率等物理量。
在结构工程中，可以通过定积分计算材料的体积、质量和重心位置等。
此外，定积分还在概率论、信号处理、图像处理等领域有各种应用。
总之，定积分作为微积分的重要工具，广泛应用于数学及其他学科的建模、计算和问题求解中，提供了丰富的数学工具和方法，有助于深入理解各个学科中的现象和问题。
定积分在经济学上的应用
投资组合优化
投资组合优化
定积分可用于确定最优投资组合，以最 大化预期收益并最小化风险。通过求解 定积分，可以找到最佳的投资权重分配 ，使得在给定风险水平下获得最大的预 期回报。
VS
有效前沿
在投资组合优化中，定积分可用于计算有 效前沿，即所有可能投资组合中预期收益 与风险的比率最高的组合集合。有效前沿 为投资者提供了在不同风险水平下选择最 优投资组合的参考。
这种方法可以处理具有复杂约束条件的资源分配问题，如环保、安全等， 为决策者提供更加精确和可靠的资源配置方案。
06
定积分在经济增长与经济发展 中的应用
Chapter
经济增长模型的建立与分析
经济增长模型
定积分可以用于建立和分析经济 增长模型，通过积分运算来描述 经济产出的累积效应和动态变化
。
模型分析
资源管理
利用定积分的方法，可以对资源进行合理配置和管理，实 现资源的可持续利用和环境保护。
综合评估
定积分还可以用于综合评估可持续发展目标的实现情况， 通过数据分析和积分运算，分析不同指标之间的相互影响 和制约关系，提出改进措施和解决方案。
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定积分与不定积分之间的关系是，不 定积分是所有可能的原函数族，而定 积分是其中的一个特定值。
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和 或差的积分，可以分别对每个函数进行积分 后再相加或相减。
区间可加性
定积分在区间[a, b]上的积分等于在各个子区间上的 积分之和。
常数倍性质
定积分具有常数倍性质，即对于任意常数k ，有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
这种方法可以应用于各种资源分配场景，如资金、人力、物资等，为决策者提供科学的资源配置方案。
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。
文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。
关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余引言积分学是微分学和积分学的总称。
由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。
可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。
微积分是与应用联系着并发展起来的。
定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。
本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。
可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。
设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有dx x u u x u x )()0()(0⎰'+=例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。
解 总成本函数dx x c c x c x ⎰'+='0)()0()(=dx x x x )100143(1000002+-+⎰ =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+2 利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。
定积分应用与意义
定积分应用与意义定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学和实际应用中都具有广泛的意义和应用。
定积分的概念和定义虽然较为复杂，但是通过对定积分的研究和应用，我们可以更深入地理解数学的内涵，并将其应用于实际问题的解决中。
1. 定积分的基本概念定积分的概念最早由数学家牛顿和莱布尼茨同时独立提出，它是微积分的核心理论之一。
定积分的基本概念可以通过对微小变化的累加来得到，即将一个函数在某个区间上的微小变化进行累加，得到整体的变化情况。
定积分用于计算曲线与坐标轴所夹的面积，也可以用于计算函数在某个区间上的平均值等。
2. 定积分的数学意义定积分在数学上的意义非常重要，它在微积分的理论体系中起着重要的作用。
定积分可以用于求解函数的原函数，从而得到函数的不定积分。
同时，定积分可以通过数值计算的方式求解，从而得到函数在某个区间上的数值结果。
这为数学的理论研究和实际计算提供了基础。
3. 定积分在几何中的应用定积分在几何中有着广泛的应用。
例如，可以通过定积分计算曲线与坐标轴所夹的面积，从而解决几何问题。
同时，定积分还可以用于计算曲线的弧长，计算曲线的质心坐标等。
这些几何应用使得定积分成为几何分析中不可或缺的工具。
4. 定积分在物理中的应用定积分在物理学中也有着重要的应用。
在物理学中，许多物理量都可以通过定积分进行计算。
例如，通过定积分可以计算物体在某一时间段内的位移、速度和加速度等。
同时，定积分还可以用于计算物体在力场中所受的力和功等。
这些物理应用使得定积分在物理学中具有重要的意义。
5. 定积分在经济学中的应用定积分在经济学中也有着广泛的应用。
经济学中的许多问题需要通过定积分进行计算和求解。
例如，通过定积分可以计算收益曲线和成本曲线所围成的利润。
同时，定积分还可以用于计算市场需求曲线和供给曲线之间的均衡点。
这些经济应用使得定积分成为经济学中必不可少的工具。
综上所述，定积分在数学和实际应用中具有重要的意义和应用。
它不仅丰富了数学的理论体系，还在几何学、物理学、经济学等领域中发挥着重要的作用。
不定积分和定积分在经济生活中的应用
不定积分和定积分在经济生活中的应用
不定积分和定积分是微积分中的重要概念，它们在经济生活中有广泛的应用。
计算收益和成本：不定积分可以用于计算企业的收益和成本。
对于一个企业来说，经营过程中会有许多收入和支出，这些数据可以通过建立合适的数学模型进行计算。
不定积分可以帮助企业对收入和支出进行积分计算，以便更好地掌握经营状况。
评估投资价值：定积分可以用于评估不同投资方案的价值。
在投资决策中，需要综合考虑各种因素，如收益率、风险等。
通过建立合适的数学模型，可以用定积分计算不同投资方案的总收益或总成本，从而比较它们的优劣，作出合理的决策。
估算市场需求：定积分可以用于估算市场的需求量。
对于某种商品或服务，需求量通常随着价格的变化而变化。
通过建立合适的数学模型，可以用定积分计算不同价格下的市场需求量，以便制定合适的价格策略。
风险分析和管理：定积分可以用于分析和管理风险。
在金融领域中，不同的金融工具会涉及不同的风险，如市场风险、信用风险等。
通过建立合适的数学模型，可以用定积分计算不同风险下的概率和损失，从而更好地进行风险管理和控制。
综上所述，不定积分和定积分在经济生活中有广泛的应用，可以帮助企业和个人更好地理解和应对经济变化，制定合理的决策和策略，实现自身和社会的利益最大化。
定积分的概念定积分应用
THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限 确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力 和位移的乘积来计算。然而，当作用 力是变力时，不能简单地用力和位移 的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定 积分的概念。通过将变力函数在位移 区间上进行积分，可以得到变力做功 的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿 意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。 通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积， 即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者 愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差 额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的 面积，即总生产者剩余。
第九节 定积分的经济应用(2节课)
L (x ) MR MC (18 0.06x ) 3 15 0.06 x
令
L (x ) 15 0.06x 0
得唯一驻点： x
250
故产量为250件时，利润最大。
在最大利润的基础上再生产30件产品，利润的该变量为
280 27 L (MR MC )dx (15 0.06x )dx (15x 0.03x ) 250 250 250
2500 0.015 10 0.002 10 2 C 274 .05 则 C 24 10 2500 C (x ) 0.015 x 0.002 x 24 故平均成本为： x
3 C (x ) x C (x ) 2500 24x 0.015x 2 0.002x （元） 总成本为： 固定成本为： C (0) 2500（元）
60
60
（三）已知边际利润,求总利润
已知边际利润 ML L (x ) R (x ) C (x ),
则销量为x时的总利润为：
L (x ) R (x ) C (x )
x 0
x
0
x R (x )dx C (x )dx C 0 0
R (x ) C (x )dx C 0
0
30
38 (0.6Q 20)dQ 100 0 (18 0.6Q )dQ 100
30
30
0
(18Q 0.3Q )
2
40 30
30 0
100 170 （元）
40 30
(2)L [R (Q ) C (Q )]dQ 38 (0.6Q 20)dQ
定积分的计算方法和应用
定积分的计算方法和应用定积分是微积分中的重要概念，用于计算函数图像下的面积以及多种物理量的平均值和总值。
在这篇文章中，我们将讨论定积分的计算方法和应用以及如何将其应用于实际问题中。
一、前提知识在讨论定积分之前，我们需要了解几个微积分的基本概念：1.导数：表示函数在某一点的瞬时变化率，通常表示为f'(x)。
2.不定积分：表示函数f(x)的一个原函数，即求导为f(x)的函数。
3.定积分：表示函数f(x)在区间[a,b]上的积分，通常表示为∫(a,b)f(x)dx。
二、定积分的计算方法让我们看一个例子，计算函数y=x^2在区间[0,1]上的定积分。
我们可以通过以下步骤计算：1.将区间[0,1]分成n个小区间，即将区间[0,1]分成n份，每份的长度为Δx=(b-a)/n，其中a=0，b=1。
2.在每个小区间上选取一个点xi，计算出xi处函数值f(xi)=xi^2。
3.将每个小区间的面积加起来，即计算出所有小长方形的面积之和。
4.当Δx趋近于0时，可以得到定积分的值，即∫(0,1)x^2dx=1/3。
通过以上步骤，我们可以计算出定积分的值。
这种方法称为矩形法，其中每个小长方形的高度为函数在该点的函数值，宽度为每个小区间的长度。
除了矩形法之外，还有其他一些更准确的定积分计算方法，如梯形法、辛普森法等。
这些方法都是通过将区间分成小区间，计算每个小区间上的函数值并将其相加来计算定积分值。
三、定积分的应用定积分有很多实际应用场景，下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1.几何应用定积分可以用来计算曲线下的面积，即将曲线所围成的区域看作矩形或梯形的叠加。
这种方法可以用于计算三角形、圆形、椭圆形等几何图形的面积。
另外，定积分也可以用来计算旋转体的体积。
将一个曲线沿着某个轴旋转，那么旋转出来的图形就是一个旋转体。
通过计算曲线下的面积并将其绕轴旋转可以得到旋转体的体积。
2.物理应用定积分还可以用于计算多种物理量的平均值和总值。
定积分的求解方法及其应用
定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。
可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。
将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。
假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。
定积分经济学应用
定积分经济学应用
定积分是微积分的一个重要分支，它在经济学中有广泛的应用。
下面将从不同的角度来阐述定积分在经济学中的应用。
一、利润和成本的计算
在商业经济学中，利润和成本是企业最为关注的指标。
通过定积分，可以精确地计算企业的利润和成本。
例如，利润可以用销售额减去成本来计算，而成本中的各项费用可以通过定积分来计算。
这样，企业就可以更加准确地了解自己的利润和成本情况，从而做出更好的经营决策。
二、消费者剩余的测算
在市场经济中，商品的价格由供需关系决定。
为了衡量市场价格的合理性，经济学家引入了消费者剩余这一概念。
消费者剩余是指消费者愿意为某种商品支付的最高价格与实际支付的价格之差。
通过定积分的计算，可以精确地测算消费者剩余的大小，进而了解市场经济的运行情况，为政策制定和市场规划提供参考。
三、市场需求的计算
市场需求是指所有购买该商品的消费者的数量总和。
定积分常常用于计算市场需求，这能够帮助企业预测未来市场的走势以及生产规模。
除此之外，市场需求的计算还可以帮助政府了解市场需求量的大小，从而决定政策的制定方向。
四、投资决策的分析
在投资决策中，经济学家需要对不同投资方案的收益率进行计算。
通过定积分，可以计算出不同时期内各种投资方案的收益率，并选择其中最优的投资方案。
这样，企业就可以获得更大的收益。
总而言之，定积分在经济学中有着广泛的应用。
其中，利润和成本的计算、消费者剩余的测算、市场需求的计算以及投资决策的分析都是常见的应用。
这些应用帮助企业和政府更好地了解市场经济的运行情况，从而做出更加合理的决策。
定积分的应用
图1-1图1-2定积分的应用微积分学是微分学和积分学的统称;它的创立;被誉为“人类精神的最高胜利”..在数学史上;它的发展为现代数学做出了不朽的功绩..恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分;是数学的一个重要的分支;它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具..凡是复杂图形的研究;化学反映过程的分析;物理方面的应用;以及弹道﹑气象的计算;人造卫星轨迹的计算;运动状态的分析等等;都要用得到微积分..正是由于微积分的广泛的应用;才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展;解决了许多的困难..以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用..1 定积分的概念的提出1.1问题的提出曲边梯形的面积如图1所谓曲边梯形;是指由直线a x =、b x =b a <;x 轴及连续曲线)(x f y =0)(≥x f 所围成的图形..其中x 轴上区间],[b a 称为底边;曲线)(x f y =称为曲边..不妨假定0)(≥x f ;下面来求曲边梯形的面积..由于c x f ≠)(],[b a x ∈无法用矩形面积公式来计算;但根据连续性;任两点],[,21b a x x ∈ ;12x x -很小时;)(1x f ;)(2x f 间的图形变化不大;即点1x 、点2x 处高度差别不大..于是可用如下方法求曲边梯形的面积..（1） 分割用直线1x x =;2x x =;1-=n x x bx x x a n <<<<<-121 将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形;区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210这里取0x a =;n x b =..区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -;用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度;i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积;),,2,1(n i =;整个曲边梯形的面积S等于n 个小曲边梯形的面积之和;即∑=∆=ni i S S 12近似代替: 对每个小曲边梯形;它的高仍是变化的;但区间长度i x ∆很小时;每个小曲边梯形各点处的高度变化不大;所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积;就是;在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ;用以],[1i i x x -为底;)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ;近似代替这个小曲边梯形的面积图1-1; 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.3求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和;即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini ix f ∆∑=)(1ξ上式由于分割不同;i ξ选取不同是不一样的;即近似值与分割及i ξ选取有关图1－2..4取极限 将分割不断加细;每个小曲边梯形底边长趋于零;它的高度改变量趋于零;曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近;从而和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ的极限就定义为曲边梯形面积的精确值..令 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;当0→λ时;有∑=→∆=ni i i x f S 1)(lim ξλ上面的例子;最终归结为一个特定的形式和式逼近..在科学技术中还有许多同样的数学问题;解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割;近似求和;取极限”这是定积分概念的背景..1.2定积分的定义设函数)(x f y =在区间],[b a 上有界;在],[b a 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个小区间：],,[10x x ],[,],,[,],,[],,[113221n n i i x x x x x x x x --各个小区间的长度依次为：011x x x -=∆;122x x x -=∆;…; 1--=∆n n n x x x在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ;作函数值与小区间长度i x ∆的乘积i i x f ∆)(ξ..并作和=S ∑=∆ni i i x f 1)(ξ记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ;如果不论对],[b a 怎样分割;也不管在小区间],[1i i x x -上点i ξn i ,,2,1 =怎样取法;只要当0→λ时;和S 总是趋于确定的极限I ;我们称这个极限值为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分简称为积分;记作⎰ba dx x f )(;即⎰badx x f )(==I ∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ 1其中)(x f 称为被积函数;dx x f )(称为被积表达式;a 称为积分下限;b 称为积分上限;x 称为积分变量;∑=∆ni iixf 1)(ξ称为积分和..（1） 曲边梯形的面积是曲边方程)(x f y =在区间],[b a 上的定积分..即=S ⎰badx x f )()0)((≥x f2定积分在几何学上的应用2.1定积分在平面几何中的应用在初高中我们学习过求圆;三角形;平四边形;梯形等比较规则的图形面积;然而对于不规则的图形就无能为力了;所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积;部分稍复杂的图形;可能用有限个简单图形的分割也能求出来;但有很大的局限性;定积分的出现为这些问题;提出了很好的解决条件..一般地;由上、下两条连续曲线y=2f x 与y=1f x 以及两条直线x=a 与x=ba<b 所围成的平面图形;它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =-⎰ 1例 求由抛物线2y x =与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A 解 该平面图形如图3所示;先求出 直线与抛物线交点P1;-1与Q9;3.用X=1把图形分成左;右两部分;应用公式 （1） 分别求得它们的面积为1110[(-)]24/3,A x x dx xdx =-==⎰⎰921328()23A x x dx -=-=⎰. A=1A +2A =32/3..2.2定积分在立体几何中的应用 2.2.1由截面面积函数求立方体体积设Ω为三维空间中的一立体;它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与 x=b 之间a<b.为了方便起见称Ω为位于a;b 上的立方体..若在任意一点x ∈a;b 处作垂直于x 轴的平面;它截得Ω的截面面积显然是x 的函数;记得Ax;x ∈a;b;并称之为Ω的截面面积函数..则通过定积分的定义;得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式V=()ba A x dx ⎰..例 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围立体椭球的体积..解 以平面00()x x x a =≤截椭球面;得椭圆它在yoz 平面上的正投影：22222200221(1)(1)y z x x b c aa+=--..所以截面面积函数为Ax=22(1)x bc aπ-;x ∈-a;a.于是求得椭球体积V=224(1)3ba x bc dx abc a ππ-=⎰..显然;当a=b=c=r 时;这就等于球的体积43π3r ..pQ图2-12.2.2旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为y=()f x ;x ∈a;b 不妨设fx>=0.这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面;则面积公式s=2π(baf x ⎰..如果光滑曲线C 由参数方程x=xt;y=yt;t ∈α;β给出;且yt ≥0;那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2π(y t βα⎰.例 计算圆2x +2y =2R 在1x ;2x ⊂-R;R 上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.. 解 对曲线在区间1x ;2x 上应用公式3;得到 S=2π21x x ⎰=2πR 21x x -..特别当1x =-R; 2x =R 时;则得球的表面积S 球=4π2R .3定积分在经济学中的应用3.1求经济函数在区间上的增量根据边际成本;边际收入;边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量增量就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ 1()()()baC b C a C x dx '-=⎰ 2()()()baL b L a L x dx '-=⎰ 3例 已知某商品边际收入为0.0825x -+万元/t;边际成本为5万元/t;求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ;总成本C ()x ;利润()I x 的改变量增量..解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式1、式2、式3;依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=15300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元例 某厂生产某种产品;每日生产的产品的总成本C 的变化率即边际成本是日产量x 的函数xx C 257)(+=';已知固定成本为1000元;求总成本函数y .解 因总成本是边际成本的一个原函数;所以)(x C ⎰+=dx x)257(c x x ++=507已知当0=x 时;1000)0(=C ;代入上式得1000=c ;于是总成本函数为)(x C 1000507++=x x例 某产品销售总收入是销售量x 的函数)(x R ..已知销售总收入对销售量的变化率即边际收入x x R 52300)(-=';求销售量由100增加到400时所得的销售收入. 解 因销售收入是边际收入的一个原函数;按题意;有)300()400(R R -⎰'=400300)(dx x R⎰-=400300)52300(dx x 4003002)51300(x x -=16000=元3.2求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()f t ;则称2121()t t f t dtt t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率..例 某银行的利息连续计算;利息率是时间t 单位：年的函数：()0.08r t =+求它在开始2年;即时间间隔0;2内的平均利息率..解 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰0.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰ 0.094≈例 某公司运行t 年所获利润为()L t 元利润的年变化率为()310L t '=⨯/年求利润从第4年初到第8年末;即时间间隔3;8内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末;利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt '=⨯-⎰元/年即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元..3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t 年时的收入为()f t 万元;年利率为r ;即贴现率是()rt f t e -;则应用定积分计算;该项目在时间区间[,]a b 上总贴现值的增量为()brt af t e ndt -⎰..设某工程总投资在竣工时的贴现值为A 万元;竣工后的年收入预计为a 万元年利率为r ;银行利息连续计算..在进行动态经济分析时;把竣工后收入的总贴现值达到A;即使关系式Trt ae dt A -=⎰成立的时间T 年称为该项工程的投资回收期..例 某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元;竣工后的年收入预计为200万元;年利息率为0.08;求该工程的投资回收期..解 这里1000A =;200a =;0.08r =;则该工程竣工后T 年内收入的总贴现值为0.080.080.0802002002500(1)0.08Tt tT T e dt e e ---==--⎰令 0.082500(1)T e --=1000;即得该工程回收期为110001ln(1)ln 0.60.0825000.08T =--=- =6.39年3.4 利润、产量与开工时数的最佳值的确定例1 某厂生产一种产品;年产量为x 吨时;总费用的变化率即边际费用为)(x f 825.0+=x 单位：百元/吨;这种产品每吨的销售价为3000元;问一年生产多少产品工厂利润最大;并求出年利润的最大值.解 总费用是边际费用的原函数;故=)(x C ⎰+xdx x 0)825.0(x x 8125.02+=而收入函数)(x R x 30=百元;又由)(x L ＝)(x R =-)(x C 2125.022x x -则 )(x L 'x 25.022-=令 )(x L '0=;得88=x 吨..驻点唯一..此时025.0)88(<-=''L ;由实际问题可知;当88=x 时;)(x L 取得最大值96888125.08822)88(2=⨯-⨯=L 百元.因此;年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元..例 2 某工厂生产一种产品;每日总收入的变化率即边际收入是日产量x 的函数x x R 2.030)(-='单位：元/件..该厂生产此种产品的能力为每小时30件;问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大 并求出此最大总收入值.解 由题意)(x R ⎰-=xdx x 0)2.030(21.030x x -=;令 02.030)(=-='x x R ;得150=x ;又02.0)(<-=''x R ;因为)(x R 只有唯一的驻点150=x ;由实际问题知;当150=x 时;)(x R 取得最大值22501501.015030)150(2=⨯-⨯=R .因此;每日取得最大总收入的产量为150件;此时2250)150(=R 元.完成150件产品需要的工时为530150=小时;所以;每天生产这种产品5小时;就使每日收入最大;最大值为2250元..3.5 资本存量问题例1 资本存量)(t s s =是时间t 的函数..它的导数等于净投资)(t I ..现知道净投资t t I 3)(=单位：10万元/年..求第一年底到第四年底的资本存量.解 因资本存量s 是净投资的一个原函数;故=-)1()4(s s dt t ⎰41341232t=＝1410万元所以;第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元..例 2 某银行根据前四年存款情况;知该行现金净存量的变化率是时间t 的函数455.14)(t x f =单位：万元/年;计划从第五年起积存现金1000万元..按此变化率需几年时间解 依题意1000⎰+=xdt t 44455.14即 1000]4)4[(9584949-+=x由此;得 49494589000)4(+=+x 解此方程;得9993.94≈+x6≈x .所以;从第五年积存1000万元现金约需6 年.3.6消费者剩余和生产者剩余在自由市场中;生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述;它的状态可在如图上直观表现如下：0p 的经济意义是供应者会生产此商品的最低价..1p 是消费者会购买此种商品的最高价..1q 是免费供给此种商品的需求量如卫生纸经市场功能调节后;市场将趋于平衡价*P 和平衡数量*q ;两条曲线在),(**p q 相交..消费者以平衡价格购买了某种商品;他们本来打算出较高的价格购买这种商品;消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数..用积分式来表达就是：消费者剩余⎰=*0)(q d dq q Q **q p -＝曲边三角形*1p Mp 面积.生产者以平衡价格出售了某种商品;他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品;生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入..用积分式表达就是生产者剩余⎰-=***)(q s dq q Q q p ＝曲边三角形*0p Mp 面积.4定积分在工程中的应用4.1定积分中值定理定积分中值定理作为定积分的一个重要性质;计算河床的平均深度时;应用定积分中值定理知识..此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中;主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度;以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据..只要测量出河面在某处的宽度B;河床的横断面形状和河床的最大深度h ;则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度h ;即⎰-=ba dx x f ab h )(1m. 例 设一河流的河面在某处的宽度为2 b;河流的横断面为一抛物线弓形;河床的最深处在河流的中央;深度为h ;求河床的平均深度-h .分析：首先;选取坐标系使x 轴在水平面上;y 轴正向朝下;且y 轴为抛物线的对称轴..于是;抛物线方程为y=h-22x b h⋅.然后;运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度-h . 解：河床的平均深度⎰-=b a dx x f a b h )(1=h 32.4.2定积分的近似计算知识的应用近似求物体的截面积;应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识..此问题主要出现在水利工程专业的《灌溉排水技术》课程中;主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积;进而计算截面流量即渠系测流..由水利学知识可知;单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量;即Q ＝V/tm 3/s.在水利工程中;流量的计算通常运用公式Q=svm 3/s;即过水断面面积s 与流速v 的乘积..例1有一条宽为24米的大型干渠;正在输水浇灌农田;试利用流速仪并结合梯形法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流..分析：根据灌溉管理学知识;首先选择测流断面;确定测线..测流断面选择在渠段正直;水流均匀;无漩涡和回流的地方;断面与水流方向垂直；测流断面的测线确定为12条..其次;测定断面..先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索;测出测深线的起点距与断面起点桩的水平距离；测线深度;用木制或竹制的测深杆施测;从渠道一岸到对岸每隔2米测量一次水深;测得数据如下表..根据施测结果绘出测流断面图;如图所示..第三;利用流速仪施测断面流速..例如;利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m/s.第四;近似计算渠道过水断面面积和流量... 测线深度施测数据表 单位：m解答：（1） 抛物线法辛卜生公式：A ≈30.67m 2 ； Q=18.40m 3/s. （2） 梯形法：A ≈30.40m 2 ； Q=18.24m 3/s.例 2有一条河流;宽为200米;从河一岸到正对岸每隔20米测量一次水深;测的数据如下表..试分别用梯形法和抛物线法求此河床横截面积的近似值.. 单位：m4.3微元法知识的应用微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛;求解物体所受液体的侧压力;应用微元法知识..此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》、《水工建筑物》等课程中;主要应用于计算水闸及输水建筑物如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等上的闸门所受水压力的大小;作为设计或校核闸门结构的一个重要依据..水闸是一种低水头水工建筑物;既能挡水;又能泄水;用以调节水位;控制泄流量；多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边;在水利工程中的应用十分广泛..闸门是水闸不可缺少的组成部分;用来调节流量和上、下游水位;宣泄洪水和排放泥沙等..闸门的形式很多;按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等；按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门；按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等；按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等..闸门的主要作用是挡水;承受水压力是其作用荷载之一..运用微元法计算闸门所受水压力时;设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=fx ＞0;0≤a ≤x ≤bx=a;x=b 及x 轴所组成..x 轴正向朝下;y 轴在水平面上;水的密度为ρ=1000㎏/m 3;则闸门所受的水压力大小为P= ⎰b adx x gxf )(ρN.例 有一个水平放置的无压输水管道;其横断面是直径为6m 的圆;水流正好半满;求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力..分析：首先建立合适的直角坐标系;如图所示;则圆的方程为222r y x =+=9. 然后;运用微元法求解即可.. 解答：P=1.76×105N.5定积分在医学的应用如图显示了人的心血管系统..血液流经全身通过静脉进入右心房;然后通过肺动脉泵入肺部补充氧气..之后通过肺静脉流回左心房;再通过主动脉流往全身其它部位;进行血液循环..心输出量就是单位时间一分钟内;心脏泵出的血液量;即血液通过动脉的速率..安静状态下;成年男性每搏输出量为60～80毫升;心率75次/分钟;故心输出量约4.5～6升；女性的心输出量比同体重男性的约低10％..人体的血液一直在周身循环;我图4-2们只能人为定义血液流动的起点和终点;即便这样也很难测定心脏单位时间内泵出的血液总量;所以人们就探索利用辅助材料来测定心输出量..最简单的辅助材料就是染料;即指示剂..具体做法是把指示剂加入到右心房;那么指示剂会和血液一起流经心脏泵入动脉..通过一个插入动脉的探头在一段时间内等间隔测量测出流出心脏的指示剂的浓度;直到指示剂基本消失;即指示剂全部流出心脏..那么剩余的问题就是如何利用测得图5-1 图5-2的浓度计算心输出量呢严格意义;只能测定某一时刻指示剂的浓度;是一系列的离散值;我们假定这些离散值在某一微小的时间段内是不变的;所以当时间段分的越细我们测定的值越接近连续值;这种思想使我们很容易想到积分的概念;所以可建立数学模型解决这个问题..解 令ct 是t 时刻指示剂的浓度..如果把时间段0;t 划分成n 个等长的小时间段t ∆;指示剂流量=ctF t ∆;其中F 为我们测定的心输出量;这样总量即为()()n nc t F t F c t t ∆=∆∑∑;令n →∞时;指示剂总0()TA F c t dt =⎰..那么心输出量F=()TAc t dt⎰.这里的A 为已知量;即投入右心房的指示剂总量;ct 通过测量探头读取..6定积分在物理学的应用6.1变力做功在功的问题中;恒力做功是最简单的;公式为W F S =⋅． “以常代变”;功的微元应该通过恒力做功公式得到的．例 1 一压簧;原长1m ;把它每压缩1cm 时所用的力为0.05N ．问在弹性范围内把它由1m 如图6-1压缩到60cm 如图6-2所做的功．图6-1图6-2解令起点为原点;压缩的方向为x 轴的正方向当把弹簧自原点压缩至[]0,0.4之间的任意点x 处时如图6-3图6-3由胡克定律知所承受的弹簧的压力为()0.0550.01F x x x ==在此力的作用下;再继续压缩一点点dx ;即压缩至x dx +处由于dx 很小;这个压缩过程可认为力()F x 不变;即恒力做功 则由恒力做功公式得功的微元dW ()F x dx = 积分得W ()0.40F x dx =⎰0.45xdx =⎰20.4502x =0.4=()J ．例2 在原点处有一带电量为q +的点电荷;在它的周围形成了一个电场．现在x a =处有一单位正电荷沿x 轴正方向移至x b =处;求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动;移动至无穷远处;电场力要做多少功． 解点电荷在任意点x 处时所受的电场力为()2qF x kx=k 为常数 电场力做功的微元dW 为点电荷由任意点x 处移动至x dx +处时电场力()F x 所做的功 即()2qdW F x dx kdx x == 则移至x b =处电场力做的功2b a qW k dx x=⎰1bkqax =- 11kq a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；移至无穷远处电场力做的功2a qW k dx x +∞=⎰kqa=物理学中称此值为电场在x a =处的电位． 例 3 一圆台形水池;深15m ;上下口半径分别为20m 和10m ;如果把其中盛满的水全部抽干;需要做多少功 解水是被“一层层”地抽出去的;在这个过程中;不但每层水的重力在变;提升的高度也在连续地变化图6-4其中抽出任意一层水x 处厚为dx 的扁圆柱体;如图6-4阴影部分所做的功为抽水做功的微元dW即dW dm g x dV g x γ=⋅⋅=⋅⋅⋅22203gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则2152203W gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2152203g x x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰23415801200099g x x x γπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭20625g γπ=202125000π=()J ．6.2求物体质量对于密度均匀的物体的质量l m l γ=⋅或A m A γ=⋅、m V γ=⋅;这时密度是常量；但对于密度不均匀密度是变量的物体的质量就不能直接用上述公式了;而应该用微元法． 例 一半圆形金属丝;其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比;求金属丝的质量． 解 建立如图6-5坐标系图6-5则()22l x ky R x γ==-()0k >22y R x'=-()()22ds dx dy =+21y dx '=+22R x=-()l dm x ds γ=⋅2222R k R x dx R x=-⋅-kRdx =RR m kRdx -=⎰22kR =．例 1 设有一心脏线1cos r θ=+形的物质薄片;其面密度()2cos A γθθ=+;试求此物质薄片的质量． 解()22111cos 22dA r d d θθθ==+ ()A dm dA γθ=()()212cos 1cos 2d θθθ=++ ()3145cos 2cos 2cos 2d θθθθ=+++ ()230145cos 2cos 2cos 2m d πθθθθ=+++⎰321145sin sin 2sin sin 023πθθθθθ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ 4π=．例 2 设一立体为曲线211y x=+关于x 轴的旋转体;其上任一点x 的体密度等于其横坐标的绝对值即()x x γ=;试求该立体的质量． 解图6-62211x dV dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭图6-6中小圆柱体体积 ()x dm x dV γ= 2211x dx x π⎛⎫= ⎪+⎝⎭()221xdx x π=+()221xm dx x π+∞-∞=+⎰()2221xdx x π+∞=+⎰()()22211x d x π+∞-=++⎰2101x π+∞=-+ π=．6.3 液体压力液面下h 深处水平放置的面积为A 的薄板承受的液体压力P 可以由压强乘以面积得到;即P gh A γ=⋅;其中γ为液体密度;压强gh γ是个常量匀压强．现在如若把薄板垂直放置呢 薄板上的压强还是常量吗 还能用上边那个简单的公式吗 例 1 三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门;闸门垂直放置且上边与水面齐如图6-4;试计算闸门一侧所承受的水压力． 解回顾例3;我们知道抽水做功微元dW 为把x 处一层水抽出所做的功；类似地;侧压力微元dP 为x 处一层水对应的闸门的一个小窄条如图阴影部分所承受的水压力;即dP gxdA γ=2gx ydx γ= 22203gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则15022203P gx x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰15204403g x x dx γ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰2315498002009x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭29400000=()N ．参考文献1 华东师大数学系.数学分析M.北京：高等教育出版社;2001：130-150．2 朱峰．大学物理M.北京：清华大学出版社;2004：15-80．3曹定华．微积分M．上海：复旦大学出版;2006：13-14．4马敏﹑冯梅．经济应用数学M．苏州：苏州大学出版社;2007：13-20．。
定积分计算及其应用
定积分计算及其应用
一、定积分计算
1、图像法：通过图像来计算定积分，一般会将被定积函数的图像在
其中一区间内分割成许多小矩形，每一小矩形的面积就是定积分的值，然
后通过将多个小矩形的面积加和=求出定积分。
2、定积分计算公式：定积分是由定积分计算公式来计算的，定积分
公式结构为：∫a b f(x) dx，它代表的是从a到b的定积分，f(x)是定
积函数，dx是微元。
二、定积分应用
定积分的应用范围广泛，主要有三个方面：
1、地理学：定积分在地理学中有着广泛的应用，可以用定积分计算
地理曲线下面积、地球表面圆锥曲线的一定高度投影的面积等等。
2、力学、物理学：定积分在力学、物理学等学科中有着重要的应用，可以用定积分来计算绳、杆、轴旋转运动的角动量，以及各种复杂力场的
重力矩等等。
3、经济学：在经济学中，定积分可以用来求解复杂的经济关系，如
决定消费者及生产者福利的函数关系。
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和单笔款项一样，收益流的将来值定义为将 其存入银行并加上利息之后的存款值；而收益流 的现在值是这样一笔款项，你若把它存入可以获 得利息的银行，你就可以在将来从收益流中获得 预期达到的存款值．
在讨论连续收益流时，我们假设利息是以连 续复利的方式盈取．
如果有一笔用P(t)（元/年）表示的收益流， 设年利率为r，下面计算其现在值和将来值．
首页 上页 下页 12 2Q，
而 (1) 10 0 ， Q1 1为极小值.
(11) 10 0 , Q2 11为极大值.
由实际问题知所求最大利润一定存在，所以 Q2 11 为所求最大值点，即当产量为11时总利润最大，且
因此在 [t,t dt]内，
收益流的现值 [P(t)dt]ert P(t)ertdt
从而
总现值 T P(t)ert dt 0
在计算将来值时，收益P(t)dt在以后的(T t)年期间
获息.
因此在 [t,t dt]内，
收益流的将来值 [P(t)dt]er(T t) P(t)er(T t)dt
于是
x
u(x) u(0) 0 u(x)dx.
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具体来说，假设已知边际成本函数、边际收益函
数分别为MC 和 MR，由微分学知识
MC dC , dQ
MR dR . dQ
于是，总成本函数可表为
C(Q)
Q
0 (MC)dQ C0
(其中 C0为固定成本).
0
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将来值
20
100e
0.1( 20t
)
dt
100e
2
20 e 0.1t dt
0
0
1000e2 (1 e2 ) 6389.06.
显然
将来值 = 现值 e2 .
若在t =0时刻以现值1000(1 e2 )作为一笔款项存入银
行，以年连续复利率r =0.1来计息，则20年中这笔单
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考虑从现在开始(t = 0)到T年后这时间段．用微元法 ， 在[0,T ]内，任取一小区间 [t,t dt] ， 在[t,t dt]内将 P(t)近似看成常数，则所获得的金额近似等于P(t)dt（元）
从现在(t = 0)算起，P(t)dt这一金额是在t年后的将来获得，
最大利润为
(11) 1111
3
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5.6.2 收益流的现值和将来值
当我们支付给某人款项或某人获得款项时，通常把 这些款项当成离散地支付或者获得，即在某些特定的时 刻支付或者获得的，但一个大型公司的收益，一般来说 是随时流进的，因此这些收益可以被看作一种随时间连 续变化的收益流．既然收益流进公司的速率是随时间连 续变化的，所以收益流就被表示成 P(t)（元/年）．
10年付清，每年付款数相同．若以年连续复利率r=0.04
来计息，每年应付多少万元？
解 设每年付款A万元，由已知，全部付款的总现值
为5000万元，于是 即
5000 10 Ae0.04t dt A (1 e0.4 )
0
0.04
200 A(1 0.6703),
解得A=606.61(万元)．于是每年应付款606.61万元．
例5-34 设生产某产品的固定成本为50，边际成 本和边际收益分别为
MC Q2 14Q 111, MR 100 2Q. 问：产量为多少时总利润最大？并求出最大利润．
解
(Q)
Q 0
(MR
MC )dQ
C0
Q3 3
6Q2
11Q
50
令 (Q) 0 ， 即 Q2 12Q 11 0,
独款项的将来值为
1000(1 e2 )e0.1(20)1000(1 e2 )e2
而这正好是上述收益流在20年期间的将来值．
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一般来说，以年连续复利率来计息，则在从现在 起到T年后该收益流的将来值，等于将该收益流的现值 作为单笔款项存入银行T年后的将来值．
例4-36 一栋楼房现售价5000万元，分期付款购买，
5.6 定积分在经济中的应用
已知边际函数求总函数 收益流的现值和将来值
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5.6.1 已知边际函数求总函数
在经济问题中,经常都要涉及到各种经济量的总量.
这些总量,在已知边际量的条件下,可以用定积分来进
行计算.
设经济应用函数u(x)的边际函数为u(x) ，则有
x
0 u(x)dx u(x) u(0)
从而
将来值 T P(t)er(T t)dt 0
例4-35 假设以年连续复利率r = 0.1来计息，求每年
都以100元流进的收益流在20年期间内的现值和将来
值，将来值和现值的关系如何？试加以解释．
解
现值
20
100e
0.1t
dt
0
100(
e 0.1t 0.1
)
20
864.66.
总收益函数可表为 总利润函数可表为
Q
R(Q) 0 (MR)dQ.
Q
(Q) 0 (MR MC)dQ C0.
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例5-33 已知某产品的边际成本函数为 MC 3Q2 18Q 36
且固定成本为6，求总成本函数．
解 C(Q) Q (3Q2 18Q 36)dQ 6 0 Q3 9Q2 36Q 6.