物理功能原理

Force） ）
自然界中有一类力具有特殊的性质， 自然界中有一类力具有特殊的性质，它们 的功有共同特点。 的功有共同特点。
4.1
功 动能定理
一、功
力对质点所作的功： 力在质点位移方向的分量 力对质点所作的功： 与位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积。 位移大小的乘积，即为力与质点位移的点积 力与质点位移的点积。 的乘积 1、恒力直线运动的功： 恒力直线运动的功：
r F
r r r A = F cosθ | ∆r | = F ⋅ ∆r
2、质点系的动能定理 、 个质点， 对第 i 个质点，有： 1 1 2 Ai = m i v i − m i v i20 2 2 1 1 2 Ai外 + Ai内 = m i v i − m i v i20 2 2
m1
v ex Fi
v in m i m2 Fi
1 1 2 Ai外 + ∑ Ai内 = ∑ m i v i − ∑ m i v i20 对质点系， 对质点系，有： ∑ 2 2 质点系动能定理 ∑ Ai外 + ∑ Ai内 = E k − E k 0
r r
2
x
r dr12 ≠ 0,
r r r r r r r dA = f12 ⋅ dr1 + f 21 ⋅ dr2 = f12 ⋅ d ( r1 − r2 ) r r = f 12 ⋅ dr12
r r dA = f12 ⋅ dr12 ≠ 0
1 3 例3：一质量为 m = 2kg 的物体按 x = t + 2(m) ： 2
明确几点： 明确几点： A = ∆Ek , 即 ：
∫
P 2
P 1
r r 1 2 1 2 F ⋅ dr = mv2 − mv1 2 2
1）动能定理说明，做功可以引起物体动能的 ）动能定理说明， 变化，也可以说功是能量变化的量度 功是能量变化的量度。 变化，也可以说功是能量变化的量度。 2） 功是过程量，动能是状态量。 ） 功是过程量 动能是状态量 过程量， 状态量。 在计算复杂的外力作功时， 在计算复杂的外力作功时，只须求始末两态的 动能变化，即可求出该过程的功。 动能变化，即可求出该过程的功。 3） A 为合力做的功，而不是合力中某一个力 ） 为合力做的功， 的功。动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。 的功。动能定理中的速度必须相对同一个惯性系。 4） 通过作功，质点与外界进行能量交换。 ） 通过作功，质点与外界进行能量交换。 动能是质点因运动而具有的做功本领。 动能是质点因运动而具有的做功本领。
B 2
C 2 D
v v 解： F = ( 4 − 2 y ) i
Fx = 4 − 2 y
Fy = 0
O
（1）OD段：y=0,dy=0, DC段：x=2,Fy=0 ） 段 段
AODC =
∫
OD
v v F ⋅ dr +
∫
DC
v v 2 F ⋅ dr = ∫ (4 − 2 × 0)dx + 0 = 8 J
由上章可见 ，力对物体持续作用的时间 积累效应，是物体的动量发生改变。 积累效应，是物体的动量发生改变。那么力对 物体持续作用的空间积累效应是什么？ 物体持续作用的空间积累效应是什么？
v → v dv F＝m dt →
∫
t2
t1
v v Fdt = ∆P
v v F dr = ? ∫
教学内容： 教学内容： 4.1 4.2 4.3 4.4 功 动能定理 保守力及保守力的功 势能 (势能曲线 势能梯度 势能曲线 势能梯度) 功能原理 机械能守恒定律
A外 + A内 = ∆ E k 即：外力的功与内力的功的代数
注意 和，等于质点系总动能的增量。 等于质点系总动能的增量。 内力可以改变质点系的总动能。 内力可以改变质点系的总动能。
注意：内力能改变系统的总动能， 注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统 的总动量。 的总动量。 因为内力总是成对出现， 因为内力总是成对出现，而一对作用力反作用 力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。 力的冲量为零，因而内力不能改变系统的动量。 但是由于质点系内各质点间可以有相对位移， 但是由于质点系内各质点间可以有相对位移， 有相对位移 一般情况下，内力的功不一定为零， 一般情况下，内力的功不一定为零，所以内力作功 可以改变质点系的总动能。 可以改变质点系的总动能。 比如: 比如 子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功，而子 子弹射入墙中，墙对子弹的摩擦力作负功， 弹对墙的摩擦力不作功， 弹对墙的摩擦力不作功，所以 A内 ≠ 0
A = ∫ Fdx , F = ma x
1
x2
d 2 x dv a= 2 = = 3t dt dt
F = ma = 6 t
3 2 A = ∫ 6tdx = ∫ 6t t dt 0 2
2
1 1 2 A = mv − mv 0 2 = 36J 2 2
4.2
保守力（Conservation 及其功
r r dA = F ⋅ dr
v dA = F cos θ dr = F cos θ ds b r r A = ∫ dA = ∫ F ⋅ dr
a
= ∫ F cos θ ds
a
b
功的计算主要在于把握对元功的分析。 功的计算主要在于把握对元功的分析。 元功的分析 不论力是在变还是位移的方向在变， 不论力是在变还是位移的方向在变，我们都只 力是在变还是位移的方向在变 抓住在任一元位移中，它们都可视为不变的， 抓住在任一元位移中，它们都可视为不变的，因而 可写出元功，这叫做微元法 微元法。 可写出元功，这叫做微元法。
v v A = ∫ ( ∑ Fi ) ⋅ d r =
v v ∑ ∫ Fi ⋅ d r =
∑A
i
i
４）在直角坐标系中功的解析式： 在直角坐标系中功的解析式：
v v v v F = F x i + F y j + Fz k v v v v d r = d x i + d yj + d zk
A = ∫ dA = ∫
vb dr
P
θ
0 ° < θ < 90 ° ,
dA > 0
a
r F
90 ° < θ < 180 ° , d A < 0 v v θ = 90°, F ⊥ dr , dA = 0
３）合力的功 = 各分力的功的代数和
2） 功是过程量，是力对空间的积累作用。 ） 功是过程量，是力对空间的积累作用。 一般来说，功的值与质点运动的路径有关。 一般来说，功的值与质点运动的路径有关。 如摩擦力的功） （如摩擦力的功）
r r dA = F ⋅ dr = F cosθ | dr | v dr = ds
“化整为零，以直代曲，以恒代变，再求和”。 化整为零，以直代曲，以恒代变，再求和” 把路径分成许多微小的位移元； 把路径分成许多微小的位移元； 位移元 在各段位移元上质点受的力可以看成是恒力 恒力， 在各段位移元上质点受的力可以看成是恒力， 在该微过程中的元功 元功为 在该微过程中的元功为： vb dr r
f静
3、功率 、
∆A 平均功率： 平均功率： P = ∆t 瞬时功率： 瞬时功率：
r r dA = F ⋅ dr
r r 轴作直线运动， 例：某质点沿 x 轴作直线运动，受力为 F = (4 + 5 x )i N , 的过程中该力所做 求：质点从 x0 = 0 移动到 x = 10m 的过程中该力所做 的功。 的功。
r r 是质点m 设 f 12与 f 21 是质点 1、m2
的一对作用力反作用力。 的一对作用力反作用力。
一对作用力与反作用力的功
y
m1
v f 12
v d r1
v f 21 m 2
v d r2
r r f 12 = − f 21
v r 1
dt 时间内， m1 和m2 相对于 时间内， r r 某参照系有位移 dr1 和 dr2 z O 这一对相互作用力作功之和为： 这一对相互作用力作功之和为：
r F
θ
r r r 位移无限小时： 位移无限小时：dA = F ⋅ dr ∆r v dA = F cos θ dr = F cos θ ds = Fτ ds
dA 称为元功， 称为元功 元功，
是指质点发生微小的位移过程中，力所作的功。 是指质点发生微小的位移过程中，力所作的功。
2、变力曲线运动的功
解决方法： 解决方法：微元积分法
作直线运动。 作直线运动。求：物体由 x1 = 2m 运动到 x2 = 6m 的过程中外力做的功 外力做的功。 的过程中外力做的功。 方法二： 方法二：功的定义
方法一： 解： 方法一：动能定理
dx 3 2 υ= = t dt 2
x1= 2m， t = 0， v0= 0 ， ， v x2= 6m， t = 2s， = 6m/s ， ，
二、动能定理 1、质点的动能定理 、
v v b b dv v Ft = m A = ∫ F ⋅ dr = ∫ Ft dr = ∫ Ft ds, a a a dt b vb dv 1 1 2 2 A=∫ m ds = ∫ m vd v = m v b − m v a a va dt 2 2
b
动能（状态函数） 动能（状态函数） 函数 动能定理
b
a
r r F ⋅ dr
A=
∫F
x
dx +
∫F
y
dy +
∫ F dz
z
5）功的大小与参照系有关。 ）功的大小与参照系有关。 例如： 例如：传送带将箱子从低处 运到高处，地面上的人看摩 运到高处，地面上的人看摩 擦力作功了，而站在传送带 擦力作功了，而站在传送带 上的人看摩擦力没有作功。 上的人看摩擦力没有作功。 看摩擦力没有作功
v v ∆A dA P = lim = = F ⋅ v = F v cos θ ∆t → 0 ∆ t dt
r r r r 解： A = F ⋅ dr = ( 4 + 5 x ) i ⋅ dxi ∫ ∫
= ∫ ( 4 + 5 x )dx = 290 J
0
10
例题2：
一个质点沿如图所示的路径运行， 一个质点沿如图所示的路径运行，求力 F=(4-2y)i (SI) 对该质点所作的功，（ ）沿 对该质点所作的功，（ ，（1） ODC；（ ）沿OBC。 ；（2） ；（ 。
0
（2）OB段：Fy=0, BC段：x=2 ） 段 段
AOBC =
∫
OB
v v F ⋅ dr +
∫
BC
v v 2 F ⋅ dr = ∫ (4 − 2 × 2)dx + 0 = 0
0
结论：力作功与路径有关， 结论：力作功与路径有关，即力沿不同的路径所作的功是不同的
计算功的基本步骤： 计算功的基本步骤： 建立坐标系； 建立坐标系； 在过程区间任选一元位移 元位移； 在过程区间任选一元位移； 元功， 写出元功 分析变量关系； 写出元功，分析变量关系； 积分计算功； 积分计算功； 分析结果的物理意义。 分析结果的物理意义。
重点： 重点： 功、势能的概念及其计算； 势能的概念及其计算； 功和能的基本规律（动能定理、功能原理、 功和能的基本规律（动能定理、功能原理、 机械能守恒定律） 机械能守恒定律）及应用 难点： 难点： 变力的功的计算； 变力的功的计算； 势能概念的正确理解； 势能概念的正确理解； 应用功能规律解题时，系统的划分和相应规律的 应用功能规律解题时， 正确应用。 正确应用。
1 p 2 Ek = m v = 2 2m
2
A = E kb − E ka = ∆Ek
功和动能都与参考系有关； 功和动能都与参考系有关； 参考系有关 惯性系。 动能定理仅适用于惯性系 动能定理仅适用于惯性系。
即：合力对质点所作的功，等于质点动能的增量。 合力对质点所作的功，等于质点动能的增量。 注意
教学基本要求 掌握功的概念 能计算变力的功， 功的概念， 一、 掌握功的概念，能计算变力的功， 理解保守力作功的特点及势能的概念 保守力作功的特点及势能的概念， 理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算 万有引力、重力和弹性力的势能。 万有引力、重力和弹性力的势能。 掌握动能定理 动能定理、 二、 掌握动能定理、功能原理和机械能 守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想 守恒定律，掌握运用守恒定律分析问题的思想 和方法。 和方法。
ds
P
θ
r F
力的总功 由 a 移动到 b ，力的总功 等于各段上元功的代数和， 等于各段上元功的代数和，
a
v r
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v r′
o
A = ∫ dA = ∫
b
a
r r b F ⋅ dr = ∫ F cos θ ds
a
r r r 说明： 说明： dA = F ⋅ dr = F cosθ | dr |
1）功是标量，没有方向，但有正负。 ）功是标量，没有方向，但有正负。