2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题(含答案)

2020年北京市中学生数学竞赛高一年级试题

2020年6月 27日8:30～10:30

一、填空题（满分40分，每小题8分）

1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则293f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭

______． 2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL

+的值等于______． 3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．

4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC 的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12

S S =______． 5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且

a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +

b +

c +

d = ______．

二、（满分15分）面积为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6的正方形位

置如右图所示．求证：S 4+S 5+S 6=3(S 1+S 2+S 3)．

三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是整数

四、（满分15分）如右图，已知D 为等腰△ABC BC 上任一点，⊙I 1、⊙I 2分别为△ABD 、△ACD 内切圆，M 为BC 的中点．求证：I 1M ⊥I 2M ．

五、（满分15分）将集合I ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}B ={w , x , y , z }，使得A ∪B =I ，A ∩B =Ø，且A 与B 的元素至少有一种排列组成的正整数满足2wxyz abcde ，则称A 与B 为集合I 的一个“两倍型2分划”．

（1）写出集合I 的所有“两倍型2分划”，并给出理由；

（2）写出集合I 的每个“两倍型2分划”对应的所有可能的2wxyz abcde ．

2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）

高一年级试题及参考解答

2020年6月 27日

8:30～10:30

一、填空题（满分40分，每小题8分）

1．已知实函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+4xy ，且f (−1)·f (1)≥4．则29()3f -=______． 解：令x =y =0得f (0)=0，令x =−1，y =1，得f (1)+f (−1)=4．

平方得f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)=16，又因为f (−1)·f (1)≥4，

所以f 2(1)+2f (1)·f (−1)+f 2(−1)≤4f (1)·f (−1)．即(f (1)−f (−1))2≤0．

所以f (1)=f (−1)=2． 因为)32)(31(4)32()31()32(3

1)1(--⋅+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-f f f f 1118=3(

)4()()3339

f ， 所以 .234)31(3=+-f 因此.92)31(=-f 所以.9

894)31(2)32(=+-=-f f 于是29()3f -=8．

2．等腰梯形ABCD （AB =CD ）的内切圆与腰CD 的切点为M ，与AM 、BM 的交点分别为K 和L ．则AM BM AK BL

+的值等于______． 解：设N 是边AD 的中点，a =AN ，x =AK ，y =AM ，α=∠ADM ，（如图）．则ND=DM=a ，且根据余弦定理，对于△ADM ，有

y 2=4a 2+a 2−4a 2cos α=a 2(5−4cos α)． 另一方面，根据切割线定理，有xy=a 2，所以 2AM y y AK x xy ===5−4cos α． 类似地对于△BCM ，得到54cos .BM BL

α=+ 因此，10.AM BM AK BL

+= C B

D A L

K a y α

M

x

3．四位数abcd 比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大的一个是______．

解: 设abcd 为所求的自然数，则根据条件

1000a +100b +10c +d =a 2+b 2+c 2+d 2+2020．

考虑到 2000＜a 2+b 2+c 2+d 2+2020≤92+92+92+92+2020=2344，

可以断定a =2，于是100b +10c +d =b 2+c 2+d 2+24．

即 b (100−b )+c (10−c )=d (d −1)+24 (*)

由于c (10−c )＞0，当b ≥1时，b (100−b )≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b =0．

当b =0时，(*)式变为 d 2−d =10c −c 2−24． 由于四位数abcd 中a =2，b =0，要使20cd 最大，必需数字c 最大．

若c =9，c 2−c −24=90−92−24＜0，而d 2−d ≥0故(*)式不能成立．同理，c =8和c =7时，(*)式均不能成立．

当c =6时，c 2−c −24=60−62−24=0，这时，d =0及d =1，均有d 2−d =0，即(*)式均成立． 于是abcd =2060或2061．

所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．

4．已知点O 在△ABC 内部，且2021202020193AB BC CA AO ++=，记△ABC

的面积为S 1，△OBC 的面积为S 2，则12

S S =______． 解：由2021202020193AB BC CA AO ++=，得

22019()3AB BC AB BC CA AO ++++=，

因为0AB BC CA ++=，所以23AB BC AO +=，故23AB AC AB AO +-=. 所以3AB AC AO +=，取BC 的中点D ，则23AD AO =.

于是A 、D 、O 三点共线，且3AD OD =．所以123S AD S OD

==．

5．有4个不同的质数a , b , c , d ，满足a +b +c +d 是质数，且a 2+bc 、a 2+bd 都是完全平方数，那么a +b +c +d = ______．

解：由a +b +c +d 是质数，可知a , b , c , d 中有2．如果a ≠2，那么b , c , d 中有2，从而a 2+bc 、a 2+bd 中有一个模4余3，不是完全平方数．故a =2．

假设22+bc =m 2，那么bc =(m −2)(m +2)．如果m −2=1，那么m =3，bc =5，与已知矛盾．故不妨设b =m −2，c =m +2，则c =b +4．同理d =b −4，所以{a , b , c , d }={a , b , b +4, b −4}．而b −4, b , b +4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b −4=3，此时a +b +c +d =2+3+7+11=23．