高一数学开学考试试卷
保定一中2024-2025学年高一(第八届贯通班)上学期开学考试数学试题(原卷版)
2024—2025学年度第一学期开学考试数学试题第八届贯通实验班数学组注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题（本大题有8个小题，每小题5分，共40分）1. 集合{}13M x x =−≤≤∣和{}*21,N x x k k ==−∈N ∣关系的Venn 图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有（ ）A. 1−B. 0C. 1D. 52. 命题“x ∃∈R ，2ln 0x x +>”的否定是（ ）A. x ∃∈R ，2ln 0x x +≥B. x ∃∈R ，2ln 0x x +<C. x ∀∈R ，2ln 0x x +≥D. x ∀∈R ，2ln 0x x +≤3. “不积跬步，无以至千里，不积小流，无以成江海.”此句话是出自荷子的《劝学》，由此推断，其中最后一句“积小流”是“成江海”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知OA a = ，OB b =，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB 上距C 较近的一个三等分点，则OD 在基{},a b 下的坐标为（ ）A. 45,99B. 97,1616C. 21,33D. 31,445. 已知()0,πα∈，且π1cos 43α+= ，则cos2α=（ ）A.B. C. 79 D. 79± 6. 如图，在ABC 中，已知π,223BAC AB AD BD ∠====，则sin C 为（ ）AB.C.D. 7. 如图,O 是坐标原点,M ,N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则|OM ON +|的范围为( )A. [0√2)B. [0,2)C. [1,√2)D. [1,2)8. 奔驰定理：已知O 是ΔΔΔΔΔΔΔΔ内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ΔΔΔΔΔΔΔΔ内的一.,点，A ，B ，C 是ΔΔΔΔΔΔΔΔ的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）A. sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=B. cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=C. tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D. sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=二、多选题（本大题有3个小题，每小题6分，全部选对得6分，错选不得分）9. （多选）下列命题中，正确的是（ ）A. 在ABC 中，A B >，则sin sin A B >B. 在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立C. 在ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则ABC 必是等腰直角三角形D. 在ABC 中，若60B =°，2b ac =，则ABC 必是等边三角形10. 定义域为RR 的函数()f x 满足：()()22,,22x y x y x y f x f y f f +− ∀∈=−R ，当0x >时，()0f x <，则下列结论正确的有（ ）A. ()01f =B. ()12yf x =+−的图象关于点()1,2−−对称 C ()()()()()()202320252024202220242023f f f f f f +=+ D. ()f x 在(0,+∞)上单调递增11. 围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一.现代围棋棋盘共有19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑子､白子､空三种情况，因此整个棋盘上有3613种不同的情况，下面对于数字3613的判断正确的是（）（参考数据：lg30.4771≈）.A. 3613个位数是3B. 3613的个位数是1C. 3613是173位数D. 3613是172位数三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分）12. ()f x 的周期为2，值域为[]0,1，且为偶函数，则()f x 的解析式()f x =__________.（写出一个即可）13. 用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为________．14. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）.四、解答题（本题共5题，共77分）．15. 设()()sin ,cos ,cos ,cos a x x b x x = x R ∈，函数()f x =•a （a b + ）． （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值；（2）求()f x 的单调递增区间．16. 已知函数2()1mx n f x x +=+是定义在[1,1]−上的奇函数，且()11f =. （1）求m ，n 值：（2）试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）求使()()2110f a f a −+−<成立的实数a 的取值范围. 17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =+．（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，1BD =，且______，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．的的18. 已知函数π()sin()0,0,||2f x A x B A ωϕωϕ =++>>< 的某一周期内的对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()y f nx =，0n >的最小正周期为2π3，当π0,3x ∈ 时，方程()=f nx m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 19.如图，矩形ABCD 中，AB =4BC =，点M ，N 分别在线段AB ，CD (含端点)上，P 为AD 的中点，PM PN ⊥，设APM α∠=.（1）求角α的取值范围；（2）求出PMN 的周长l 关于角α的函数解析式()f α，并求PMN 的周长l 的最小值及此时α的值.。
广西柳州市柳州高级中学2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题
广西柳州市柳州高级中学2023-2024学年高一上学期开学考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
中，
10．如图，在ABC
交AB于E，则DE
a b>，且满足：对实数
11．设,0
值为.
12．记[]x表示不超过实数
如0，7等都是“好数
四、解答题
13．二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，例如：
15．某单位欲购买A､B两种电器，根据预算，共需资金两件B种电器共需资金2300元：购买两件
(1)购买一件A种电器和一件B
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使APB ∠为锐角？若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形OACB 的边,OA OB 分别在x 轴和y 轴上，8,6OA OB ==.点P 从点O 开始沿OA 边匀速移动，点M 从点B 开始沿BO 边匀速移动，点P ，点M 同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t 秒()06t ≤≤.
(1)连接矩形的对角线AB ，当t 为何值时，以,,P O M 为顶点的三角形与AOB 相似；
(2)在点P ，点M 运动过程中，线段PM 的中点Q 也随着运动，请求出CQ 的最小值；
(3)将POM 沿PM 所在直线翻折后得到PDM △，试判断D 点能否在对角线AB 上，如果能，求出此时t 的值，如果不能，请说明理由.。
江西省临川第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题
江西省临川第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列各数中最小的数是（ ）A ．2024B ．12024C ．2024-D ．12024- 2．下列各点中，在函数2y x =-的图象上的是（ ）A ．()2,2B ．()0,2C ．()2,0-D ．()2,0 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）A ．20B ．21C ．23D ．265．如图，AB 是O e 的弦，OC AB ⊥交O e 于点C ，点D 是O e 上一点，连接,BD CD .若28D ∠=o ，则OAB ∠的度数为（ ）A ．28oB ．34oC ．56oD ．62o6．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接,AE AF ，AM 平分EAF ∠交CD 于点M .若1BE DF ==，则DM 的长度为（ ）A ．2 BC D ．125二、填空题7．若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =.8．不等式240x ->的解集是.9．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球个.10．半径为4，圆心角为90o 的扇形的面积为（结果保留π）.11．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象过点()()()()0,,1,,2,,3,A m B m C n D m --，其中,m n 为常数，则m n的值为.12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l 的表达式为y x =，点1A 的坐标为)，以O 为圆心，1OA 为半径画弧，交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交x 轴于点2A ；以O 为圆心，2OA 为半径画弧，交直线l 于点2B ，过点2B 作直线l 的垂线交x 轴于点3A ；以O 为圆心，3OA 为半径画弧，交直线l 于点3B ，过点3B 作直线l 的垂线交x 轴于点4A ；……按照这样的规律进行下去，点2024A 的横坐标是.三、解答题13．（1）计算：011233-⨯- （2）先化简，再求值：()()()2233m m m m m --++-，其中52m =. 14．如图，已知矩形ABCD .(1)尺规作图：作对角线AC 的垂直平分线，交CD 于点E ，交AB 于点F ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE CF ､.求证：四边形AFCE 是菱形.15．如图，一次函数()0y ax b a =+≠的图象与反比例函数()0k y k x=≠的图象交于点()()1,4,1A B n -､.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)利用图象，直接写出不等式k ax b x+<的解集； 16．如图，在ABC V 中，//,DE BC EDF C ∠=∠.(1)求证：BDF A ∠=∠；(2)若45,A DF ∠=o 平分BDE ∠，请直接写出ABC V 的形状.17．小明的书桌上有一个L 型台灯，灯柱AB 高40cm ，他发现当灯带BC 与水平线BM 夹角为9o 时（图1），灯带的直射宽DE BD ⊥BC ,CE ⊥BC 为35cm ，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30o 时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.（结果保留1位小数）()sin90.16,cos90.99,tan90.16≈≈≈o o o18．如图，已知AB 是O e 的直径，AC 是O e 的弦，点D 在O e 外，延长,DC AB 相交于点E ，过点D 作DF AB ⊥于点F ，交AC 于点,G DG DC =.(1)求证：DE 是O e 的切线；(2)若O e 的半径为6，点F 为线段OA 的中点，8CE =，求DF 的长.19．某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）.并绘制出不完整的条形统计图（如图2）.图1学生体质健康统计表图2学生体质健康条形统计图(1)图1中a=__________，b=__________，c=__________；(2)请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；(3)为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会.请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率.20．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500kg进行销售，其中A种水果收购单价10元/kg，B种水果收购单价15元/kg.(1)求A，B两种水果各购进多少千克；(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.21．某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示.列车运行时刻表请根据表格中的信息，解答下列问题：(1)D 1001次列车从A 站到B 站行驶了__________分钟，从B 站到C 站行驶了__________分钟；(2)记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1;1002d G 次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d .①12v v =__________；②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d -=，求t 的值.22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()1,0,A B -两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴是直线52x =.(1)求拋物线的表达式；(2)点P 是直线BC 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PD //x 轴交抛物线于点D ，作PE BC ⊥于点E ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标； (3)将抛物线沿射线BC 在PD 取得最大值的条件下，点F 为点P 平移后的对应点，连接AF 交y 轴于点M ，点N 为平移后的抛物线上一点，若45NMF ABC ∠-∠=o ，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标.23．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC 和ADE 中，3,4,90AB AD BC DE ABC ADE ∠∠======o .(1)【初步感知】如图1，连接,BD CE ，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究BD CE的值. (2)【深入探究】如图2，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，当点D 恰好落在ABC V 的中线BM 的延长线上时，延长ED 交AC 于点F ，求CF 的长.(3)【拓展延伸】在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究,,C D E 三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形CDE 的面积；若不能，请说明理由.。
福建省漳州市部分区县2024-2025学年高一上学期开学考试 数学含答案
福建省漳州市2024-2025学年上学期部分区县高一开学联考数学试卷（答案在最后）【满分：150】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.如图为一种结构简单的长方体空心结构件,其具有较高的强度和刚性,广泛应用于建筑领域、桥梁工程、汽车制造、航空航天以及环保方面.图中箭头所指方向为正面,则该几何体的主视图是()A. B.C. D.2.某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路,感悟革命精神”的党员主题实践活动,全程80千米.学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地,因堵车大巴车晚到,推迟了10分钟出发,途中大巴车平均每小时比原计划多走20%,结果正好按原计划到达目的地.设大巴车原计划的平均速度为x 千米/时,则可列方程为()A.()808010120%60x x =+- B.()808010120%60x x =-+C.()808010120%x x =++ D.()808010120%60x x =++3.一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为310的是()A.摸出白球 B.摸出红球 C.摸出绿球 D.摸出黑球4.已知0x >,0y >,且30x y xy +-=,若23x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围为()A.][(),34,-∞-+∞B.()4,3-C.()3,4-D.][(),43,-∞-+∞ 5.对于任意的有理数a ，b ，如果满足2323a b a b ++=+，那么我们称这一对数a ，b 为“相随数对”，记为(,)a b .若(,)m n 是“相随数对”，则32[3(21)]m m n ++-的值为()A.-2B.-1C.2D.36.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了特例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形[如图（1）所示]，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由三段圆弧围成的曲边三角形，图（2）是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法错误的是()A.勒洛三角形不是中心对称图形B.图（1）中，点A 到 BC上任意一点的距离都相等C.图（2）中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等D.图（2）中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等7.能够完全重合的两块直角三角形纸片按如图方式摆放,90BAC EDC ∠=∠=︒,DC AC ⊥.连接AE ,交CD 于点F ,交CB 于点G ,若1AB =,2AC =,则线段FG 的长为()A.3132 B.857 C.253 D.813218.如图，点H 是平行四边形OABC 内一点，AH 与x 轴平行，BH 与y 轴平行，3BH =135BHC ∠=︒，6BHC S =△，若反比例函数(0)k y x x=>的图像经过C ，H 两点，则k 的值是()A.3B.12C.83D.15二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得补部分分，有选错的得0分.9.设集合{}1,3M =，{}30,N x ax a =+=∈R 且M N N = ，则实数a 可以是()A.-1B.1C.-3D.010.已知1x >,1y >,且不等式223111x y m y x +≥---恒成立,则m 的值可以是()A.2 B.3 C.4 D.511.设非空集合{}S x m x n =≤≤,其中m ,n ∈R ,若集合S 满足：当x S ∈时,有2x S ∈,则下列结论正确的是()A.若12m =-,则114n ≤≤B.若12n =,则202m -≤≤C.若1m =,则{}1S x x =≥D.若1n =,则10m -≤≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一粒米的质量是0.000021千克,0.000021用科学记数法表示为______.13.如果两个正数a 、b ,即0a >,0b >,我们把2a b +叫做正数a 、b 的算术平均数,叫做正数a 、b 的几何平均数,于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,即2a b +≥.该结论在数学中有广泛的应用,是解决最大值、最小值问题的有力工具.根据上述结论,若0m >,则43m m +的最小值为______.14.如图,在ABCD 中,60B ∠=︒,点P 是BC 上一动点,将ABP △沿AP 翻折.得到AB P '△,点B '恰好落在DP 上.若4AB =,5BC =,则线段BP 的长为______.四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）先化简、再求值：222444142x x x x x x -++⎛⎫-÷- ⎪-+⎝⎭,其中22130x x +-=.16.（15分）设全集U =R ,集合401x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭,集合{}22210B x x ax a =-+-<,其中a ∈R .(1)当4a =时,求()A B U ð;(2)若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.17.（15分）如图，在O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点．在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使BCD A ∠=∠．（1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）若120ACD ∠=︒，3CD =，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．18.（17分）仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示,其中AE 是骑行公路.经测量,点C 在点B 正南方,点D 在点B 正东方,60BCD ∠=︒,500CD =米,点A 在点B 的北偏西23°方向,300AB =米,点E 在点D 正北方且在点A 正东方.(参考数据：sin 230.39︒≈,cos 230.92︒≈,tan 230.42︒≈3 1.73≈)(1)求AE 的距离；(结果精确到个位)(2)小华和小亮同时从游客中心点C 出发,前往点E 处的露营基地,小华沿路线C D E →→步行到达基地,速度为1.2m /s ；小亮以1m /s 的速度沿C B A →→到达点A 后,立即骑行到达点E ,骑行速度为6m /s ,请计算说明小华和小亮谁先到达E 点？19.（17分）已知抛物线23y ax bx =++的顶点坐标为()1,4-,与x 轴交于点A 和点B ,与y 轴交于点C ,点P 为第二象限内抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,连接OP 交BC 于点D ,当:1:2CPD BPD S S =△△时,请求出点D 的坐标；(3)如图2,点E 的坐标为()01-，,点G 为x 轴负半轴上的一点,15OGE ∠=︒,连接PE ,若2PEG OGE ∠=∠,请求出点P 的坐标；答案以及解析1.答案：C 解析：该几何体的主视图为：,故选：C.2.答案：D解析：设大巴车原计划的平均速度为x 千米/时,由题意,得：()808010120%60x x =++；故选D.3.答案：B解析：A 、摸出白球的概率为4424321105==+++，不符合题意；B 、摸出红球33432110=+++，符合题意；C 、摸出绿球2214321105==+++，不符合题意；D 、摸出黑球11432110=+++，不符合题意；故选：B.4.答案：B解析：因为不等式23x y m m +>+恒成立,则2min (3)x y m m +>+,因为0x >,0y >,由30x y xy +-=可得311x y+=,所以3193(3)6612y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭,当且仅当9y x x y=,即6x =,2y =时取等号,故min (3)12x y +=,所以212m m +<,即2120m m +-<,解得43m -<<,则实数m 的取值范围是(4,3)-.故选:B.5.答案：A解析：因为(,)m n 是“相随数对”，所以2323m n m n ++=+，所以3265m n m n ++=，即940m n +=，所以32[3(21)]32(321)3642942022m m n m m n m m n m n ++-=++-=++-=+-=-=-.故选A.6.答案：C解析：勒洛三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项A 正确；题图（1）中，点A到 BC 上任意一点的距离都相等，选项B 正确；如图，连接1O E ，连接1DO 并延长交 EF 于点G ，设等边三角形DEF 的边长为a ，易得113O D EO a ==，DG DE a == ，13O G a a ∴=-，∴勒洛三角形上的点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离不一定相等，选项C 错误；设等边三角形DEF 的边长为a ，则勒洛三角形的周长60π3π180a a ⨯=⨯=，圆的周长πa =，∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，选项D 正确.故选C.7.答案：D解析：根据题意知：2CD AC ==,1DE AB ==,过E 作EH AC ⊥于H ,∵CD AC ⊥,90CDE ∠=︒,∴四边形CDEH 是矩形,∴2EH CD AC ===,1CH DE AB ===,∴3AH =,∴2213AE AH EH =+=,∵90D DCA ∠=∠=︒,∴//DE AC ,∴DEF CAF ∽△△,∴12EF DF DE AF CF AC ===,∴2213123AF AE ==+24123CF CD ==+,∵DC AC ⊥,90BAC ∠=︒,∴//CD AB ,∴CFG BAG ∽△△,∴44313FG CF AG AB ===,∴434FG AF ==+,故选：D.8.答案：D解析：过点C 作CE y ⊥轴，延长BH 交CE 于点F，AH 与x 轴平行，BH 与y 轴平行，90AHB ∴∠=︒，ADE ABH ∠=∠， 四边形OABC 为平行四边形，∴//AB OC ，AB OC =，COE ADE ABH ∴∠=∠=∠，在COE △和ABH △中，AHB CEO COE ABH OC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS COE ABH ∴≌△△，OE BH ∴==，CE AH =，162BHC S BH CF =⋅=△，∴CF =，135BHC ∠=︒ ，45CHF ∴∠=︒，HF CF ∴==，点H 的纵坐标为，设(C m ，则(H m -，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过C 、H 两点，5(k m ∴==-，m ∴=C ∴，15k ∴=，故选：D.9.答案：ACD解析：{}1,3M =，因为M N N = ，所以N M ⊆，因为{}30,N x ax a =+=∈R ，所以当0a =时，N =∅，满足N M ⊆，当1a =-时，{}3N =，满足N M ⊆，当3a =-时，{}1N =，满足N M ⊆，故选：ACD.解析：设1a x =-,1b y =-,则1x a =+,1y b =+,故2222(1)(1)11x y a b y x b a+++=+--.因为1x >,1y >,所以0a >,0b >,所以()22(1)(1)222228a b b a +++++⎫+≥=≥≥⨯+=⎪⎭,当且仅当1a b ==时,等号成立.因为223111x y m y x +≥---恒成立,所以318m -≤,所以3m ≤.11.答案：AB解析：因为非空集合{}S x m x n =≤≤,满足：当x S ∈时,有2x S ∈,所以当m S ∈时,由2m S ∈,即2m m ≥,解得1m ≥或0m ≤,同理,当n S ∈时,由2n S ∈,即2n n ≤,解得01n ≤≤,对于A 中,若12m =-,则必有214m S =∈,则201n m n ⎧≥⎨≤≤⎩,解得114n ≤≤,所以A 正确;对于B 中,若12n =,则2212m m m ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩,解得202m -≤≤,所以B 正确;对于C 中,若1m =,则必有21m S =∈,则101n n ≥⎧⎨≤≤⎩,此时1m n ==,所以{}1S =,所以C 不正确;对于D 中,若1n =,则满足221m m m ⎧≤⎨≤⎩,解得10m -≤≤或1m =,所以D 错误.故选：AB.12.答案：52.110-⨯解析：0.000021千克52.1110-=⨯千克；故答案为:52.110-⨯千克.解析： 0a >,0b >时,2a b +≥,∴a b +≥ 0m >,∴30m >,40m>,∴43m m +≥==,∴43m m +的最小值为故答案为：14.答案：7解析：过D 作DH BC ⊥于H ,在ABCD 中,60B ∠=︒,4AB =,5BC =,∴4AB CD ==,5AD BC ==,//AB CD ,//AD BC ,∵//AD BC ,∴DAP APB ∠=∠,∵将ABP △沿AP 翻折.得到AB P '△,点B '恰好落在DP 上,APB APB ∠=∠',∴APB DAP ∠=∠',∴5DP AD ==,∵//AB CD ,∴60DCH B ∠=∠=︒,∴cos 4cos 602CH CD DCH =⋅∠=⨯︒=,sin 4sin 60DH CD DCH =⋅∠=⨯︒=∴PH ==,∴7BP BC CH PH =+-=-,故答案为：7-.15.答案：242x x +,413解析：222444142x x x x x x -++⎛⎫-÷- ⎪-+⎝⎭()()()2222242x x x x x x x -+---+=÷+()()()2224222x x x x x x x +---+=⋅-+242x x x x ++=-+()()()2242x x x x x +-+=+2224442x x x x x x++--=+242x x=+,∵22130x x +-=,∴2213x x +=,∴原式413=.16.答案：(1)[)4,5(2)[]0,3解析：(1)由401x x ->+得：()()410x x -+<,解得：14x -<<,则()1,4A =-,(][),14,A ∴=-∞-+∞U ð;当4a =时,()()22221815350x ax a x x x x -+-=-+=--<,解得35x <<,则()3,5B =;()[)4,5A B ∴=U ð.(2)由(2)知：()1,4A =-;由()()2221110x ax a x a x a -+-=---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,解得：11a x a -<<+,即()1,1B a a =-+,因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,B ∴是A 的真子集,1114a a -≥-⎧∴⎨+≤⎩且等号不会同时取到,解得03a ≤≤,即实数a 的取值范围为[]0,3.17.答案：(1)见解析(2)2π3解析：（1）证明：连接OC ，AB 是直径，∴90ACB OCA OCB ∠=∠+∠=︒，OA OC =，BCD A ∠=∠，∴OCA A BCD ∠=∠=∠，∴90BCD OCB OCD ∠+∠=∠=︒，∴OC CD ⊥，OC 是O 的半径，∴直线CD 是O 的切线；（2） 120ACD ∠=︒，90ACB ∠=︒，∴1209030A BCD ∠=∠=︒-︒=︒，∴260AOC A ∠=∠=︒，在Rt OCD △中，tan tan 60CD AOC OC ∠==︒，CD =，∴OC=2OC =，∴160π22π221803ACD BOC S S S ⨯⨯=-=⨯-=- 阴扇形．18.答案：(1)AE 的距离约为550米(2)小亮先到达E 点解析：(1)设CB 的延长线交AE 于点F ,由题意知：CDB △和ABF △都是直角三角形,四边形BDEF 是矩形,23ABF ∠=︒,在Rt CDB △中,∵60BCD ∠=︒,500CD =米,∴3·sin 5003432.52BD CD BCD =∠=⨯=≈(米),∴432.5EF BD ==米,∴在Rt ABF △中,∵23ABF ∠=︒,300AB =米,∴·sin 300sin233000.39117AF AB ABF =∠⨯︒≈⨯=＝(米),∴117432.5550AE AF EF =+=+≈(米),答：AE 的距离约为550米；(2)在Rt CDB △中,∵60BCD ∠=︒,500CD =米,∴1·cos 5002502BC CD BCD =∠=⨯=(米),∴在Rt ABF △中,∵23ABF ∠=︒,300AB =米,∴·cos 300cos233000.92276BF AB ABF =∠=⨯︒≈⨯=(米),∴276DE BF ==米,∴小华到达E 点所花时间为()()()1.2500276 1.2646.67s CD DE +÷=+÷≈,小亮到达E 点所花时间为()()()1625030015506641.67s CB AB AE +÷+÷=+÷+÷≈,∵646.67641.67>,∴小亮先到达E 点.19.答案：(1)223y x x =--+(2)点()1,2D -(3)点117117,22P ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭解析：(1)∵抛物线23y ax bx =++的顶点坐标为()1,4-,∴1234b a a b ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩,解得：12a b =-⎧⎨=-⎩,∴抛物线解析式为223y x x =--+；(2)令y 0=,得2230x x --+=,解得：13x =-,21x =,∴()1,0A ,()3,0B -,令0x =,则2233y x x =--+=,∴()0,3C ,∴3OB OC ==,∴BC ==,45CBO ∠=︒,∵1:2CPD BPD S S =:△△,设点P 到BC 的距离为h ,∴1·1212·2CPD BPD CD h S CD S BD BD h ===△△,∴2233BD BC ==⨯=过点D 作DK x ⊥轴于点K ,则BDK △是等腰直角三角形,∴22D K D K B B ===,∴1OK =,∴()1,2D -；(3)设直线PE 交x 轴于点H,∵15OGE ∠=︒,230PEG OGE ∠=∠=︒,∴45OHE OGE PEG ∠=+=︒∠∠,∴1OH OE ==,∴()1,0H -,设直线HE 的解析式为y k x b ''=+,∴01k b b '''-+=⎧⎨=-⎩,∴11k b =-⎧⎨=-''⎩,∴直线HE 的表达式为1y x =--,联立2231y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩,解得1172x -±=(舍去正值),∴117117,22P ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭.。
湖南省名校联盟2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题(含答案)
百年世范精准联考2024级高一新生人学考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在题卡上：2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效：3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁：5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸：6．本学科试卷共23个小题，考试时量90分钟，满分100分一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（ ）A ．B ．C．D ．20242．2017年11月29日，湖南博物院新馆正式对外开放，为公众提供“有温度有力度有速度”的参观体验，成为了湖南走向世界的“文化名片”和实至名归的“湖南文化地标”，到目前为止已累计接待国内外观众超1000万人次，数据1000万用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3．下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列各式计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中，不断重复上述过程，一共取了200次，其中有50次取到黑棋子，由此估计盒中白棋子的枚数约为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．502024-12024-2024-1202480.110⨯7110⨯61010⨯6110⨯223a a a +=23622a a a ⋅=()324222a a a a -÷=()()22a b b a a b-+=-6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ A ．B ．C ．D ．7．如图，已知直线，E 、F 分别为直线AB 、CD 上的点，P 为直线AB 上方一点．若，，则的度数为（ ）A ．450B ．60°C ．65°D ．75°8．如图，是等边三角形，于点D ，于点E ．若，则的面积为（）ABC ．D ．9．某种品牌的汽车经过1、2季度连续两次降价，每辆售价由31万元降到了28万元，设平均每季度降低的百分率为x ，根据题意列出的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，是的内接等边三角形，点D 在劣弧AB 上运动（不与点A ，B 重合），连接CD ．则下列结论不成立的是（）324523x x x x --<-+⎧⎪+⎨≤⎪⎩AB CD ∥135AEP ∠=︒30EPF ∠=︒PFD ∠ABC △AD BC ⊥DE AC ⊥AD =EDC △()228131x +=()228131x -=()231128x -=()231128x +=ABC △O eA ．点A 是的中点B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．因式分解：______．12有意义，则实数x 的取值范围是______．13．某班篮球兴趣小组甲、乙、丙三名队员进行投篮测试，每轮投10次，每人投10轮投中的平均数都是76次，方差分别为，，，则甲、乙、丙三名队员中投篮最稳定的队员是______．14．一个零件的形状如图所示，，，分别是20°和30°．则的度数为______．15．如图，用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．16．已知点是关于x 的反比例函数图象上的一点，其中a ，b 满足，则k 的取值范围为______．二、解答题（本大题共7小题，共52分，其中第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题9分，第23题每小题10分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1718．先化简，再求值：，其中19．某数学兴趣小组开展了测量学校国旗旗杆高度的实践活动，通过观察学校操场的主席台与国旗旗杆之间的相对位置，确定利用主席台的可测数据与在点A 、B 处测出点D 的仰角度数，来求出旗杆DE 的高，如图，AB 的长为5米，高BC 为3米，在点A 处测得点D 的仰角为45°，在点B 处测得点D 的仰角为34.3°，»BC120DBC ∠=︒ADC BDC∠=∠AD BD CD+=3327m m -=20.45S =甲20.56S =乙20.36S =丙90A ∠=︒B ∠D ∠BCD ∠(),a b ()31ky x x=-<<-22)440(a b a b a b -+-=≠()2024312sin 30--+-+︒21691236x x x x -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭3x =A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，求旗杆DE 的高，（参考数据：，，，结果保留整数）20．2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日，全民国家安全教育日（英语：National Security Education Day ）是为了增强全民国家安全意识，维护国家安全而设立的节日，某中学为了解学生对全民国家安全教育日的了解程度，学校采用随机抽样的方式获取了若干名学生的进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，整理后得到下列不完整的图表：类别A 类B 类C 类D 类评价结果非常了解了解较多基本了解了解较少频数8mn4请根据图表中提供的信息解答下面的问题：（1）此次调查共抽取了______名学生，______，______；（2）扇形统计图中，B 类所对应的扇形的圆心角是______度；（3）已知在D 类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加国家安全教育培训活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．21．为丰富学生课外活动内容，光明中学组建了机器人兴趣小组，要购进甲、乙两种型号机器人，甲种型号机器人的单价比乙种型号机器人的单价贵0.3万元，已知用8万元购买甲种型号机器人的数量与用5万元购买乙种型号机器人的数量相同．（1）求甲、乙两种型号机器人的单价分别是多少？（2）因参与机器人兴趣小组学生人数增加，学校要再购买一些机器人，购买乙种型号机器人的数量是甲种型号机器人数量的2倍，总费用不超过15万元，则最多能购买甲种型号机器人多少台？22．如图，在等腰直角中，，D 是BC 边上任意一点（不与B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接CE ，DE ，DE 交AC 于点F ．sin 34.30.564︒≈cos34.30.826︒≈tan 34.30.682︒≈m =n =ABC △90BAC ∠=︒（1）求证：；（2）若，，求DE 的长．23．如图，二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为，点、在这个二次函数图像上．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线MN 与直线平行，求的最小值；（3）如图，连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15°，求线段CP 的长．百年世范精准联考2024级高一新生人学考试数学试卷答案解析及评分细则一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1-5 DBCDB6-10 BDACB二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．12．且13．丙14．140°15．116．三、解答题（本大题共7小题，共52分．其中第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题9分，第23题10分。
上海市建平中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题
上海市建平中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题一、填空题1．用描述法表示直角坐标系中第二象限的所有点组成的集合.2．若()22232a b a b +=+，则20242025a b +=3．设,a b ∈R ，集合{}1,,0,b a b a a ⎧⎫+⊇⎨⎬⎩⎭，则a b += 4．已知5.43x =，0.63y =，则11x y -=. 5．若不等式1ax b +<的解集为()1,2-，则实数a 的取值集合为6．已知集合{}{}22|320,|(1)0A x x x B x x m x m =++==+++=，若A B A =U ，则m =7．已知集合{}|24A x x =-<<，{}10|B x x a =+-<，若{}|2A B x x ⋃=>-，则a 的取值范围为8．已知α：124m x m +≤≤+，β：13x ≤≤，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.9．已知R x ∈，记符号[]x 表示不大于x 的最大整数，集合[][]{}2|23A x x x =-=，[]1,3B =-，则A B =I10．已知方程()2110x a x a +-++=的两根为12,x x ，且满足22124x x +=，则实数a =11．已知x ，y 是正实数，且关于x ，y k 的取值范围是. 12．在算式“4130⨯+⨯=□○”的两个,□ ○中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对(),□ ○应为二、单选题13．若a ，b ，R c ∈，a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b <B ．22a b <C ．2211a b c c >++D ．a c b c >三、多选题14．若关于x 的方程()2110x m x +-+=至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）A ．13m -<<B ．24m -<<C ．4m <D ．12m -≤<四、单选题15．关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,1-，对于系数a 、b 、c ，有如下结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++>；⑤0a b c -+>则结论正确的数量为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．关于集合，下列说法正确的是（ ）A ．空集是任何集合的真子集B ．集合真子集的个数是21n -，其中n 是集合中元素的数量C ．无限集不可能真包含无限集D ．对于有序数对()(),,,a b c d 属于集合A ，必有a c ≠或b d ≠五、解答题17．已知关于x 的不等式50ax x a--≤的解集为M. (1)当4a =时，求集合M ；(2)若5M ∉，求实数a 的取值范围.18．（1）解关于x 的不等式()()331m x x -<+（2）已知不等式()()222240m x m x ----≤对一切x ∈R 都成立.求实数m 的取值范围.19．已知实数a ､b ､c ､d ，显然ab cd ab ad ad cd -=-+-，定义两实数的误差为两数差的绝对值.(1)求证：ab cd a b d d a c --+-≤；(2)若任取a ，[]1,10b ∈，a 与c 的误差､b 与d 的误差最大值均为0.1，求ab 与cd 误差的最大值，并求出此时a ､b ､c ､d 的值.20．已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R.(1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．21．对于正整数的子集{}123,,,,n A a a a a =L （Z n ∈且1n >），如果任意去掉其中一个元素()1,2,3,i a i n =L 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“平分集”(1)请你直接写出一个…平分集‟(2)若集合{}123,,,,n B a a a a =L （Z n ∈且1n >）是…平分集‟①判断n 的奇偶性并证明②求：集合A 中元素个数的最小值。
2023-2024学年山东省济南市高一上学期开学考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年山东省济南市高一上学期开学考试数学质量检测模拟试题A ．c b-<B ．a c >-A ．．C ．．“260x x -->”是“xA ．当3x >时，12y y <C ．当03x <<时，12y y >8．已知集合{}31A x x x =-或，B =a 的取值范围是A ．34a <<B ．34a ≤<16．在《数书九章》CD 表示竹竿顶端到地面的高度，A 、C 、E 在一条水平直线上．已知远眺塔顶B ，视线恰好经过竹竿的顶端四、解答题（本题共6小题，共17．（1）()1013π12-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭（2）化简：222141x x x x -⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭18．解下列不等式：(2)根据频数分布表分别计算有关统计量：统计量中位数众数平均数方差七年级33x 1.48八年级m n 3.3 1.01由图可知，投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果共有36种，其中，朝上一面的点数之和为7的结果有6种，则投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率为61366 P==，∵CD AB ∥，即∥DC BA ，∴FDH △∽FBQ ，∴DH FHBQ FQ=∴10 5.630QB=，解得16.8QB =（米）∴ 1.416.818.2AB AQ QB =+=+=18.2（2）将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，位数，2101325++=，210132146+++=即第25个数和第26个数分别是3和∴中位数34 3.52m+==，∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数。
2024-2025学年上海华二附中高一上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高一年级数学开学考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合{}|3A x a x =≤≤，{}|0B x x =<，若A B =∅，a Z ∈，则实数a 的取值集合是________（选填“R ”或“Q ”或“N ”或“Z ”） 2．满足{}{}1,11,0,1A−=−的集合A 共有________个．3．若集合{}2|360M x x x =+−=，{}|60N x kx =+=且N M ⊂，则k 的所有可能值的乘积为________．4．某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购________张车票．5．已知集合{},,A x y z ⊆，x ，y ，z 均属于自然数集，x 没有倒数，y 既不是素数也不是合数，z 是3的因数，若A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 的个数共有________个． 6．已知集合{}|13A x x =<<，集合{}|21B x m x m =<<−，若A 是B 的必要不充分条件，则m 的取值范围为________．7．设全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,5A =，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数的最大值与最小值的差为________．8．已知集合()(){}2|10M x x a x ax a =−−+−=各元素之和等于3，则实数a =________． 9．设集合{}1234,,,S a a a a =，若集合S 的所有非空子集的元素之和是64，则1234a a a a +++=________．10．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 自倒集合，集合112,1,0,,,1,2,3,423M ⎧⎫=−−⎨⎬⎩⎭的所有非空子2集中，自倒集合的个数为________．11．以集合{},,,U a b c d =的子集中选出两个子集，需同时满足以下两个条件：（1）a 、b 都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有________种不同的选法．12．设集合S 是正整数集的子集，且S 中至少有两个元素，若集合T 满足以下三个条件：①T 是正整数的子集，且T 中至少有两个元素；②对于任意x ，y S ∈，当y x ≠，都有xy T ∈；③对于任意x ，y T ∈，若y x >，则yS x∈；则称集合T 为集合S 的“耦合集”，若集合{}1234,,,S p p p p =，且43212p p p p >>>≥，设1P k =，则集合S 的“耦合集”T =________． 二、选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13．对于集合A ，B ，若B A ⊆不成立，则下列理解正确的是（ ）A ．集合B 的任何一个元素都属于A B ．集合B 的任何一个元素都不属于AC ．集合B 中至少有一个元素属于AD ．集合B 中至少有一个元素不属于A14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为（ ） A ．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 B ．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 C ．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和 D ．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和15．设a ，b ，c 分别为ABC 的三边BC ，AC ，AB 的长，则（ ） （1）关于x 的方程2220x ax b ++=与2220x cx b +−=没有公共实根 （2）关于x 的方程2220x ax b ++=与2220x cx b +−=有公共实根A ．BC AB =是（1）的充分非必要条件 B ．90A ∠=︒是（2）的充分非必要条件C ．BC AB =是（1）的必要非充分条件D ．90A ∠=︒是（2）的充要条件16．已知非空集合A，B满足以下两个条件：（i）{}A B =，A B=∅；1,2,3,4,5,6（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对(),A B的个数为（）A．10 B．12 C．14 D．16三、解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）17．若集合{}=<<−，{}|21A x a x a=<<，且A B|1B x x m⊂，求：a的取值范围．18．设集合{}22==−∈∈．|,,A x x m n m Z n Z（1）求证：所有奇数均属于集合A；（2）用反证法证明：10不是集合A的元素．3419．一辆行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s （单位：m ）与汽车的车速v （单位：/km h ）满足下列关系：2100400nv v s =+（n 为常数，且n N ∈），做了两次刹车实验，有关数据如图所示，其中12681417s s <<⎧⎨<<⎩．（1）求n 的值；（2）要使刹车距离不超过12.6m ，则行驶的最大速度是多少？（3）若该型号的汽车在某一限速为80/km h 的路段发生了交通事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超过了25.65m ，请问该车是否超速行驶？说明理由．520．利用反证法，是正面难以进行对真命题进行简单证明的迂回策略，请利用它证明我们初中所学的真命题（1（2）①求证：三角形的内角和为180︒；②求证：三角形至少有一个内角大于等于60︒21．已知集合{}()12,,2k A a a a k =⋯⋯≥，其中()1,2,i a Z i k ∈=⋯⋯，由A 中元素可构成两个点集P 和Q ：(){},|P x y x A y A x y A =∈∈+∈且且，(){},|Q x y x A x A x y A =∈∈−∈且且，其中P 中有m 个元素，Q 中有n 个元素新定义1个性质G ：若对任意的x A ∈，必有x A −∉，则称集合A 具有性质P（1）已知集合{}0,1,2,3J =与集合{}1,2,3K =−和集合{}2|22L y y x x ==−+，判断它们是否具有性质G ，若有，则直接写出其对应的集合P ，Q ；若无，请说明理由 （2）若2024k =，求：集合A 有几个元素？（3）试判断：集合A 具有性质P 是m n =的什么条件并证明6参考答案一、填空题1.N ;2.4;3.0;4.27;5.6;6.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭; 7.28; 8.322或;9.8; 10.15； 11.32 12.{}3456711111T P ,P ,P ,P ,P =11．以集合{},,,U a b c d =的子集中选出两个子集，需同时满足以下两个条件：（1）a 、b 都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有________种不同的选法． 【答案】32【解析】不妨设元素少的为A ,元素多的为B ,则B 必包含有,,a b A 为B 的真子集, (1)若{},B a,b A =为B 的真子集，共2213−=种， (2)若{},B a,b,c A =为B 的真子集,共3217−=种, (3)若{},B a,b,d A =为B 的真子集,共3217−=种，(4)若{},B a,b,c,d A =为B 的真子集,共42115−=种,共有3771532+++=种. 故答案为:32.12．设集合S 是正整数集的子集，且S 中至少有两个元素，若集合T 满足以下三个条件：①T 是正整数的子集，且T 中至少有两个元素；②对于任意x ，y S ∈，当y x ≠，都有xy T ∈；③对于任意x ，y T ∈，若y x >，则yS x∈；则称集合T 为集合S 的“耦合集”，若集合{}1234,,,S p p p p =，且43212p p p p >>>≥，设1P k =，则集合S 的“耦合集”T =________． 【答案】{}3456711111T P ,P ,P ,P ,P =【解析】因为43212p p p p >>>…,由上一问知21p S p ∈,得211Pp P =即221p p =, 同理可得342311,P Pp p P P ==,所以343141,p p p p ==,7又因为T 的可能元素为:12131423,,,P P P P P P P P ,2434,P P P P ,所以{}3456711111T P ,P ,P ,P ,P = 二、选择题13.D 14.D 15. D 16.A 16．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（i ）{}1,2,3,4,5,6AB =，AB =∅；（ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素， 则有序集合对(),A B 的个数为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 【答案】A【解析】若集合A 中有1个元素,则集合B 中有5个元素,则1,5A B ∉∉即5,1A B ∈∈,此时有序集合对()A,B 有041C =种若集合A 中有2个元素，则集合B 中有4个元素，则2,4A B ∉∉即4,2A B ∈∈,此时有序集合对()A,B 有144C =种若集合A 中有3个元素,则集合B 中有3个元素,则3,3A B ∉∉，不满足题意 若集合A 中有4个元素,则集合B 中有2个元素,则4,2A B ∉∉即2,4A B ∈∈,此时有序集合对()A,B 有344C =种若集合A 中有5个元素，则集合B 中有1个元素，则5,1A B ∉∉即1,5A B ∈∈,此时有序集合对()A,B 有441C =种故有序集合对()A,B 的个数是144110+++=，故选：A. 三．解答题17.1,2m a +⎛⎤∈−∞ ⎥⎝⎦； 18.（1）（2）证明略19.（1）6n = （2）60/km h（3）是20．【答案】(1)假设根号3是有理数,先证明若2n 为3倍数,n 为3倍数（再次利用反证法），8（2）过定点做平行线,利用平角与同位角（内错角亦可） （3）利用反证法，推出三角形内角和小于180的矛盾21．【答案】(1)J,L 不是,K 是,()(){}(){}1331,2123S ,,,T ,,,=−−=−（） (2)2047276 (3)充分非必要。
河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题(原卷版)
2024-2025学年方城县第一高级中学高一开学考试数学试卷一、单选题（共8题，每题5分，共计40分）1.已知正数a ，b ，满足2a b +=，则ab 有（）A.最小值1B.C. D.最大值12.下列命题是全称量词命题的是（）A.存在一个实数的平方是负数B.至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C.每个四边形的内角和都是360°D.x ∃∈R ，2x x =3.下列对象能构成集合的是（）A.我国近代著名的数学家 B.的所有近似值C.所有的欧盟成员国 D.2023年全国高考数学试题中所有难题4.{}110A x x =∈≤≤N ，{}260B x x x =∈+-=R ，则图中阴影部分表示的集合为（）．A.{}2B.{}3C.{}3,2-D.{}2,3-5.由实数x ，x -，||x ，所组成的集合，最多含元素个数为（）A.2B.3C.4D.56.下列说法正确的是（）A.ac bc =是a b =的充分条件B.1x ≥是21x ≥的必要条件C.四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件D.“13x <<”是“0x ≥”的充分不必要条件7.已知集合{}24x A x =>，集合{}B x x a =<∣，若A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围为（）A.(],2-∞B.[)2,+∞C.(),2-∞D.()2,+∞8.对于集合A ，B ，“⊆”不成立的含义是()A.B 是A 的子集B.A 中的元素都不是B 的元素C.A 中至少有一个元素不属于BD.B 中至少有一个元素不属于A二、多选题（共3题，每题6分，共计18分）9.（多选）下列说法中，正确的有（）A.空集是任何集合的真子集B.若A B ⊆，B C ⊆，则A C⊆C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集D.如果不属于B 的元素一定不属于A ，则A B⊆10.下列不等式中不成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b << D.若0a b <<，则11a b>11.若“x M ∃∈，0x <”为真命题，“x M ∃∈，4x ≥”为假命题，则集合M 可以是（）A .{}1x x < B.{}14x x -≤≤C.{}03x x ≤< D.{}44x x -<<三、填空题（共3题，每题5分，共计15分）12.已知全集U R =，集合{}13A x x =≤≤，{}24B x x =≥，则A B = __，()U A B = ð__.13.含有3个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{a ²，a +b ，0}，则20232023a b +=_______14.“一元二次方程()()10x a x a ---=有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是______；四、解答题（共5题，共计77分）15.已知0,0a b >>，求证：1a b ++++.16.已知全集为，集合{}023A x x a =<+≤，122B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（1）当1a =时，求A B ⋃；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围．17.已知集合{}2340A x Rax x =∈--=∣．（1）若1A ∈，求集合A （用列举法表示）；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．18.已知集合[]21,35A a a =+-，[]3,22B =．（1）当10a =时，求A B ⋂，A B ；（2）求能使A B A = 成立的实数a 的取值范围．19.甲、乙两人同时从A 地出发沿同一路线走到B 地，所用时间分别为1 s t ，2 s t ．甲有一半的时间以m m/s 的速度行走，另一半的时间以n m/s 的速度行走；乙有一半的路程以m m/s 的速度行走，另一半的路程以n m/s 的速度行走，且m n ≠．（1）请用含m ，n 的代数式表示甲、乙两人所用的时间1t 和2t ；（2）比较1t 与2t 的大小，并判断甲、乙两人谁先到达B 地。
2023—2024学年安徽省A10联盟高一下学期开学考试数学试卷
2023—2024学年安徽省A10联盟高一下学期开学考试数学试卷一、单选题1. 设全集，集合，，则（）A．B．C．D．2. 若，则（）A．B．2C．D．53. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．4C．D．84. 点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，则点的坐标为（）A．B．C．D．5. 若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．6. 已知角，满足，，则（）A．B．C．D．7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8. 如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（）A．2B．C．D．二、多选题9. 下列计算中正确的是（）A．B．C．D．10. 函数的部分图象如图所示，则（）A．B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C．的图象关于点对称D．若方程在上有且只有6个根，则11. 已知是定义在R上的偶函数，若，，且，恒成立，且，则满足的实数m的值可能为（）A．B．C．1D．3三、填空题12. 已知幂函数过点，则 ____________ .13. 函数的值域是 ____________ .14. 中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置 __________ 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，）四、解答题15. 已知集合，命题“，”是真命题.(1)求实数a的取值集合B；(2)在（1）的条件下，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.16. 近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.(1)求的解析式；(2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长.17. 已知函数.(1)若，且，求函数的零点；(2)若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围.18. 已知函数.(1)若，求的值；(2)设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.19. 已知函数的定义域为，，且当时，.(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)解不等式：；(3)已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围.。
上海市七宝中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题(含答案和详细解析)
第1页共16页2023-2024学年上海市七宝中学高一年级下学期开学考数学试卷2024.2一、填空题(本大题共有12小题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合{}{}2,1,0,1,2,230,A B x x x N =--=-<∈，则A B = ______.的弦所对的劣弧长是______.3.函数21log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为______.4.已知:31p x - ，:(q x a a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是______.5.设,,a b c 都是非零常数，且满足49a b c b ==，则11a c +=______.（结果用b 表示）6.已知角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．则cos2α=______.7.已知关于x 的不等式20ax x a -+<的解集非空，则实数a 的取值范围是______.8.若实数x 满足cos2sin 1x x +=，且()0,x π∈，则x =______.9.对任意[),0,x y ∈+∞，且x y ≠，不等式x y -恒成立，则实数c 的取值范围为______.10.在ABC ∆中，tan 4tan B A =，则当B A -取最大值时，sin C =______.11.已知函数122|2|log (1),1()()22,x x x n f x n m n x m ----⎧⎪=<⎨⎪-<⎩ 的值域是[]1,2-，当30,4n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，实数m 的取值范围是______.12.定义：关于x 的两个不等式()0f x <，()0g x <的解集分别为(,)a b 和1(a ，1b，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式2cos 20x θ-+<与不等式224sin 10x x θ++<为对偶不等式，则θ=______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.设,a b R ∈，若110a b <<，则（）.A.a b < B.a b < C.a b ab+> D.22a b <。
湖南省衡阳市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题含答案
2023级高一年级第二学期开学考试数学试题（答案在最后）时量：120分钟分值：150分考试内容：必修一，必修二第六章1-3节命题人：一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，U 是全集，,M N 是U 的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（）A.M N ⋂B.()UM N⋃ð C.()U M N⋂ð D.()U N M N ⋂⋂ð【答案】D 【解析】【分析】根据给定的图形，利用集合的交并补运算即可求解.【详解】观察图形知，阴影部分在集合N 中，且不在集合M ，在()U M N ⋂ð中，ABC 不可选，也不在M N ⋂中，所以阴影部分可表示为()U N M N ⋂⋂ð.故选：D 2.函数3ln y x x=-的零点所在区间是（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,1【答案】B 【解析】【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由3,ln y y x x==-在(0,)+∞上递减，所以3ln y x x=-在(0,)+∞上递减，又3(2)ln 2ln 022f =-=>，e (3)1ln 3ln 03f =-=<，所以零点所在区间为()2,3.故选：B3.函数()3e 1x x f x =+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数的奇偶性与函数值符号判断．【详解】∵函数()3e 1x x f x =+为非奇非偶函数，∴其图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故选项C 错误；当0x <时，()30e 1x x f x =<+，故A ，D 错误，故选：B4.已知()1,3P 为角α终边上一点，则()()()()2sin πcos πsin 2π2cos αααα-++=++-（）A.17-B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tan 1tan 2αα-+，结合三角函数的定义求得tan 3α=，即可求值.【详解】由()()()()2sin πcos π2sin cos 2tan 1sin 2π2cos sin 2cos tan 2αααααααααα-++--==++-++，又tan 3α=，所以2tan 12311tan 232αα-⨯-==++.故选：B5.已知2169log 3,2,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b >>B.c b a >>C.a b c >>D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数换底公式，结合对数函数性质及媒介数比较大小即得.【详解】依题意，1633111log 3log log 31627a ==>=，922111log 2log 9log 38c ==<=，又291log 2log 24c b -=>===，所以,,a b c 的大小关系为a c b >>.故选：A 6.已知()()1241,2(0,1)2,2x a x a x f x a a ax -⎧-++≤=>≠⎨>⎩．若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围为（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.10,(1,2)2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,(1,2)4⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】通过对参数a 分类讨论，研究()f x 在(,2]-∞和(2,)+∞的单调性，再结合已知条件，即可求解.【详解】解：由题意，不妨令()(2)41g x a x a =-++，(,2]x ∈-∞；1()2x h x a -=，(2,)x ∈+∞，①当01a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递减，易知1()2x h x a -=在(2,)+∞上的值域为(0,2)a ，又因为()f x 存在最小值，只需(2)(2)2410g a a =-⨯++≤，解得12a ≤，又由01a <<，从而102a <≤；②当12a <<时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递减，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，又因为()f x 存在最小值，故(2)(2)g h ≤，即(2)2412a a a -⨯++≤，解得，34a ≤，这与12a <<矛盾；③当2a =时，9,2()2,2x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，易知()f x 的值域为(4,)+∞，显然()f x 无最小值；④当2a >时，()(2)41g x a x a =-++在(,2]-∞上单调递增，1()2x h x a -=在(2,)+∞上单调递增，从而()f x 无最小值.综上所述，实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：A.7.如图，在ABC 中，1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，BC ，AB 边上的两条中线AD ，CE 相交于点P ，则cos DPE ∠=（）A.14B.7C.17D.14【答案】D 【解析】【分析】由题得ABC 为直角三角形，建立平面直角坐标系，将问题转化为求AD 与CE夹角的余弦即可.【详解】因为1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，由余弦定理得，2222cos 41221cos603BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=，得到BC =，又222BC AC AB +=，所以ABC 为直角三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则有(1,0),3),(0,0)A B C ，又,D E 分别为,BC AB 中点，所以313(0,),(,)222D E ，故313(1,(,)222AD CE =-= ，所以13724cos cos ,143131444AD CEDPE AD CE AD CE-+⋅∠===⋅+⋅+，故选：D.8.已知点,024A π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()()cos f x x ωϕ=+（0ω>且，*ω∈N ，0ϕπ<<）的图像上，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴.若()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ϕ=（）A.6π B.4π C.3πD.23π【答案】C 【解析】【分析】由()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调求出ω的范围，先由函数零点与对称轴之间的关系求出周期，进而求得ω，利用对称轴即可求出ϕ.【详解】∵()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，3662T πππ∴-=≤，得1226ππω⨯≥，所以06ω<≤∵24x π=是函数()()cos f x x ωϕ=+的零点，直线6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴6248πππ-=，若84T π=，则2T π=，此时22ππω=，得4ω=，满足条件，若384T π=，则6T π=，此时26ππω=，得12ω=，不满足条件，综上可知，函数()()cos 4f x x ϕ=+，∵6x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴，∴4,6k k Z πϕπ⨯+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈，∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，故选：C【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数性质的应用，结合的单调区间以及对称轴对称中心之间的关系求出周期和ω是解决本题的关键，属于一般题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<，则2a c +=B.若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为()0,x ∃∈+∞，1ln x x-≤C.已知函数()()()2511x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,1--D.已知()()2ln 21f x mx x =++.若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围(]0,1【答案】AB 【解析】【分析】对于A ，不等式解集的端点即对应方程的根，可求出a ，c 判断正误；对于B ，使用含有一个量词的命题的否定的知识进行判断；对于C ，结合函数单调性的定义，结合分段函数单调性知识进行判断；对于D ，可使用复合函数的值域知识进行判断.【详解】对于A ，不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则1-和2是方程220ax x c ++=的两个根，故20440a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得2a =-，4c =所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称量词命题“x M ∀∈，()p x ”的否定为存在量词命题“x M ∃∈，()p x ⌝”因此命题():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->，则其否定为()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤，故B 正确；对于C ，因为()f x 是增函数，需满足当1x ≤时，25y x ax =---为增函数，当1x >时，ay x=为增函数，且当1x =时，25a x ax x ---≤，所以12015a a a a⎧-≥⎪⎪<⎨⎪---≤⎪⎩，解得32a --≤≤，故C 不正确；对于D ，令ln y t =，221t mx x =++，()f x 的值域为R ，则ln y t =的值域为R ，即(0,)+∞为221t mx x =++值域的子集，当0m =时，21t x =+，值域为R ，满足题意，当0m ≠时，需00m >⎧⎨∆≥⎩，即0440m m >⎧⎨-≥⎩，解得01m <≤，综上所述，实数m 的取值范围是01m ≤≤，故D 不正确.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.函数()228f x x x =+-的零点是()()4,0,2,0-B.方程e 3x x =+有两个解C.函数313,log xy y x-==的图象关于y x =对称D.用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈内的近似解的过程中得到()()10, 1.50f f <>，()1.250f <，则方程的根落在区间()1,1.25上【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由零点的定义即可得解；对于BD ，由零点存在定理即可判断；对于C ，由互为反函数的两个函数图象的位置关系即可判断.【详解】对于A ，零点不是点，而是函数图象与x 轴交点的横坐标，故A 错误；对于B ，令()e 3xx f x =--，则()()232e10,3e 0f f ---=-<-=>，()()1010020,10e 1321310241310110f f =-<=->-=-=>，所以由零点存在定理可知()e 3xx f x =--（其图象连续不断）在()()3,2,0,10--内各有一个零点，故B正确；对于C ，若331log log 3xx y x y y -⇔-=⇔==，所以函数313,log xy y x-==互为反函数，所以函数313,log xy y x-==的图象关于y x =对称，故C 正确；由零点存在定理可知方程的根落在区间()1.25,1.5，故D 错误.故选：BC.11.给出下列命题，其中正确的选项有（）A.等边ABC 中，向量AC 与向量BC的夹角为60B.()2,1a =r ，()3,1b =- ，则向量a 在向量b 上的投影向量为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.非零向量,a b 满足a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角为30D.若()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围为34m >-【答案】ABC 【解析】【分析】由向量夹角定义知A 正确；由投影向量定义，结合向量坐标运算知B 正确；根据向量线性运算的几何意义可确定C 正确；由cos BA BCABC BA BC⋅∠=⋅ ，根据ABC ∠为锐角可构造不等式组求得D 错误.【详解】对于A ，,AC BC C =∠ ，ABC 为等边三角形，,60AC BC ∴=，A 正确；对于B，cos ,2a b a a b b ⋅===- ，3,1,1010b b ⎛-==- ⎝⎭，a ∴r 在b 上的投影向量为31cos ,,22b a a b b ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，a b a b ==-，∴以,,a b a b - 构成如图所示的等边三角形ABC ，其中AB a =，AC b =，CB a b =- ，以,AB AC 为邻边作平行四边形ABCD ，则a b AD +=，四边形ABCD 为菱形，,a a b BAD ∴+=∠，又60CAB ∠= ，AD 平分CAB ∠，,30a a b BAD ∴+=∠=，C 正确；对于D ，()3,1BA OA OB =-=-- ，()1,BC OC OB m m =-=---，()()22cos 101BA BC ABC BA BC m m ⋅∴∠==⋅⋅--+- ABC ∠ 为锐角，cos 0cos 1ABC ABC ∠>⎧∴⎨∠≠⎩，解得：34m >-且12m ≠，D 错误.故选：ABC.12.已知函数()sin sin f x x x =⋅，则下列说法正确的是（）.A.()f x 是周期函数B.ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间C.若()()120f x f x +=，则()12πZ x x k k +=∈D.不等式sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅的解集为15,88k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈【答案】ABD 【解析】【分析】利用正弦型函数的图象与性质逐一判断即可.【详解】对于A ，因为()()()()2πsin 2πsin 2πsin sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅=，所以2π是()f x 的一个周期，正确；对于B ，因为()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，且函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 是奇函数，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()21cos 2sin 2x f x x -==单调递增，又因为()f x 是奇函数且过原点，所以ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数()f x 的一个单调递增区间，正确；对于C ，由AB 可画出函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上的图象，又因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于π2x =对称，可画出函数()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，即得到函数()f x 在π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，即一个周期的图象，如图：则π13π1,4242f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π3π044f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，但π3ππ442-+=，错误；对于D ，先求不等式sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅在一个周期内的解集，取区间[]0,2π，因为sin 2πsin 2πcos 2πcos 2πx x x x ⋅>⋅，所以()π2π2π2f x f x ⎛⎫>+⎪⎝⎭，则π2π4π7π2π24x x ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，则在整个定义域上有π2π2π4π7π2π2π24x k x k ⎧>+⎪⎪⎨⎪+<+⎪⎩，解得15,Z 88k x k k +<<+∈，正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于新的三角函数，往往先画出一个周期的函数图象，进而得到整个函数图象，利用三角函数图象不仅解决三角函数性质问题，还可以解不等式、方程零点个数等问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．13.51log 22661611742log 3log 4cos4953π-⎛⎫⎛⎫⨯++-+= ⎪⎝⎭⎝⎭__________．【答案】9【解析】【分析】由指数与对数的运算法则以及诱导公式即可求解.【详解】原式512266log 2414[()]log 9log 4cos(6)753-π=⨯++-+π-16414()log 36cos723-π=⨯+-+1172922=+-+=故答案为：914.若扇形的弧长为8，圆心角为4rad ，则扇形的面积为__________.【答案】8【解析】【分析】由弧长公式求出扇形的半径r ，再由扇形的面积公式求解即可.【详解】解：8,4,l α== 2,lr α∴==182S rl ∴==.故答案为：815.a b c >>，*N n ∈，且11n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为__．【答案】4【解析】【分析】将不等式变形分离出n ，不等式恒成立即n 大于等于右边的最小值；由于a c a b b c -=-+-，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．【详解】解：由于11n a b b c a c+≥---恒成立，且a c >即a c a cn a b b c --≤+--恒成立只要a c a cn a b b c--≤+--的最小值即可a c a c ab bc a b b ca b b c a b b c---+--+-+=+----2b c a ba b b c--=++--a b c>> 0a b ∴->，0b c ->，故4a c a c a b b c ⎛⎫--+≥ ⎪--⎝⎭，因此4n ≤故答案为：4．16.如图，ABC 是等边三角形，边长为2,P 是平面上任意一点．则()PA PB PC ⋅+的最小值为__________．【答案】32-【解析】【分析】取BC 的中点D ，AD 的中点O ，利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】在边长为2的在ABC 中，取BC 的中点D ，连接AD 并取其中点O ，连接PO ，则1322OD AD ==，于是)22()()(PA PB PC PA PD PO OA PO OD ⋅+=⋅=+⋅+ 222332()()222()22PO OD PO OD PO OD =-⋅+=-≥-⨯=- ，当且仅当点P 与点O 重合时取等号，所以()PA PB PC ⋅+ 的最小值为32-.故答案为：32-四､解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.如图所示，已知在△AOB 中，BC =2AC ，OD =2DB ，DC 和OA 交于点E ，设OA a = ，OB b =．（1）用a和b 表示向量OC 、DC；（2）若OE OA λ=，求实数λ的值【答案】（1）2OC a b =- ；523DC a b=-（2）4=5λ【解析】【分析】（1）结合向量的加法、减法法则运算即可（2）根据向量的减法法则可得()2EC a b λ=-- 、523DC a b =-，结合平行向量的基本定理计算即可.【小问1详解】由题意知，A 是BC 的中点，且23OD OB =，由平行四边形法则，2OB OC OA +=，所以22OC OA OB a b =-=-，()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-.【小问2详解】因为//EC DC ，又()()22EC OC OE a b a a b λλ=-=--=--，523DC a b =- ，所以22λ-＝153--，解得4=5λ．18.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，其中，点P 的坐标为(6,0)-，点Q 是()f x 图象上的最低点且坐标为(2,3)--，点R 是()f x 图象上的最高点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）记RPO α∠=，QPO β∠=（α，β均为锐角），求()tan 2αβ+的值.【答案】（1）()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）7736【解析】【分析】（1）由图象可得A ，由函数()y f x =的最小正周期求得ω的值，利用正弦函数的对称中心结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）利用函数周期求得(6,3)R ，由两点式斜率公式及诱导公式求得1tan 4α=，3tan 4β=，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.【小问1详解】由图象及(6,0)P -，(2,3)Q --可知，3A =，又函数()f x 的最小正周期()42616T ⎡⎤=---=⎣⎦，所以2ππ8T ω==，因为点(6,0)P -为函数()f x 的一个对称中心，所以()π6π,Z 8k k ϕ⨯-+=∈，即3ππ,Z 4k k ϕ=+∈，又π2ϕ≤，所以π0,4k ϕ==-，所以()ππ3sin 84f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）函数周期及最值知(6,3)R ，因为RPO α∠=，QPO β∠=，(6,0)P -，(2,3)Q --，所以()301tan 664PR k α-===--，()()303tan πtan 264PQ k ββ---=-===----，即3tan 4β=，所以22122tan 84tan 21tan 15114ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()83tan 2tan 77154tan 2831tan 2tan 361154αβαβαβ+++===-⋅-⋅.19.为了预防流感病毒，某中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y 与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为18x ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室（精确到0.01）.【答案】（1）0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）0.77【解析】【分析】（1）根据已知图象过的点的坐标，即可直接求出相应解析式；（2）令0.25y =，即可得出结果.【小问1详解】由题知，药物释放过程中，设y kx =，将()0.1,1代入解析式可得，0.11k =，解得10k =，以及0.1118a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0.1a =，所以从药物释放开始，0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】由（1）知，0.110,00.11,0.18x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，令0.110.258x -⎛⎫< ⎪⎝⎭，则20.10.773x >+≈，所以从药物释放开始，至少需要经过约0.77小时后，学生才能回到教室.20.已知函数()211f x x x =---．（1）求函数()f x 的零点以及不等式()0f x ≤的解集M ；（2）设M 中的最大数是m ，正数a b ､满足3a b m +=，求225b aa b++的最小值．【答案】（1）20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）132【解析】【分析】（1）将函数写为分段函数的形式，再根据范围依次解不等式即可.（2）确定2a b +=，变换224659b a a b a b=+++-，再利用均值不等式计算得到最值.【小问1详解】,1121132,121,2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，当1x ≥时，0x ≤，解得∅；当112x <<时，320x -≤，解得23x ≤，即12,23x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当12x ≤时，0x -≤，解得102x ≤≤，即10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；综上所述：20,3x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，即20,3M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】23m =，2a b +=，()()22222222555949486a b b a b a a b a b a b a a b a a b a b --++=++=++=++=-()1941194113622222b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当94b a a b=，即65a =，45b =时等号成立.21.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC的夹角；（2）若⊥AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．【答案】21.6π22.sin cos 4αα-=，33sin cos αα+47128=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开33sin cos αα+，进而得解.【小问1详解】由OA OC += 得()224+cos sin 21αα+=，1cos 2α=，又0πα<<，3πα∴=，1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC的夹角为β,()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅=23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC的夹角β为6π.【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅=，即()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，1sin cos 4αα∴+=，152sin cos 016αα-∴=<，故ππ2α<<,()21531sin cos 11616αα-∴-=-=，sin cos 4αα∴-=.又33sin cos αα+()()22sin cos sin sin cos cos αααααα=+-+1151432⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭47128=.22.已知函数()()12log 2sin 1 3.f x x =+-（1）求f (x )的定义域；（2）若0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求f (x )的值域;（3）设R a ∈，函数()2232g x x a x a =--，[0,1]x ∈，若对于任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01 g x f x =成立，求a 的取值范围.【答案】（1）7{|22Z}66x k x k k ππππ-<<+∈；（2）[4,3]--；（3）53(,][1,]32-∞- .【解析】【分析】（1）由对数函数的意义，列出不等式，再求解作答.（2）求出函数2sin 1y x =+在[0,]6π上的值域，再结合对数函数单调性求解作答.（3）利用二次函数对称轴分类，结合（2）的结论列出不等式，求解作答.【小问1详解】函数12()log (2sin 1)3=+-f x x 有意义，有2sin 10x +>，即1sin 2x >-，解得722,Z 66k x k k ππππ-<<+∈，所以函数f (x )的定义域为7{|22Z}66x k x k k ππππ-<<+∈.【小问2详解】当06x π≤≤时，10sin 2x ≤≤，则12sin 12x ≤+≤，121log (2sin 1)0x -≤+≤，4()3f x -≤≤-，所以f (x )的值域是[4,3]--.【小问3详解】由（2）知，1[0,]6x π∈，14()3f x -≤≤-，函数()2232g x x a x a =--图象对称轴232a x =，而[0,1]x ∈，当2312a ≤，即33a -≤≤时，显然(0)233g a =-≥->-，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则必有2(1)1324g a a =--≤-，解得53a ≤-或1a ≥，显然无解，当2312a >，即3a <-或3a >时，函数()2232g x x a x a =--在[0,1]上单调递减，()()()10g g x g ≤≤，因为任意10,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的0[0,1]x ∈，使得()()01g x f x =成立，则(0)3(1)4g g ≥-⎧⎨≤-⎩，于是得2231324a a a -≥-⎧⎨--≤-⎩，解得53a ≤-或312a ≤≤，满足3a <-或3a >，因此53a ≤-或312a ≤≤，所以a 的取值范围是53(,[1,]32-∞- .【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题
广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列各式正确的是（ ）A ．623a a a ÷=B ．22133x x -=C 2= D ．=2．如图，已知矩形ABCD 中，12DE DC =，则DF DB=（ ）A ．15B ．14 C ．13 D ．1232，结果是（ ）A ．6x ―6B ．―6x +6C ．―4D ．44．已知2124192n n ++=，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．因式分解22ab a b --+=（ ）A ．()()12a b -+B ．()()12a b --C ．()()12a b +-D ．()()12a b ++ 6．若20a b =，10b c=，则a b b c ++的值为（ ） A ．1121 B ．2111 C ．11021 D ．210117．在ABC V 中，30,45,A B AC ︒︒∠=∠==AB 的长为（ ）A ．B ．4C ．3D ．58．一种产品今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该产品销售额平均每月的增长率是（ ）A ．50%B ．30%C ．25%D ．20%9．开口方向向上的二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴相交于()()1,0,2,0A B -两点，则以下结论：①0ac <；②对称轴为1x =；③20a c +=；④0a b c ++>.其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．如图所示，在边长为1⎫⎪⎪⎝⎭的正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ）ABCD二、填空题11．已知22320x xy y -+=，则x y=． 12．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，若80BOD ∠=o ，则BCD ∠的度数是．13．方程210x mx +-=的两根为12,x x ，且12113x x +=-，则m =. 14．不等式：31024x x -≥+的解为． 15．在平面直角坐标系中，圆1C 的圆心为点()2,0-，半径为2，圆2C 的圆心为点()2,3，半径为r .若圆1C 和圆2C 有三条公切线，则半径r 的值为.16．已知222450x y x y +-++=，则x y +=.17．把抛物线22(21)3y x =-+向左平移个单位，得到抛物线的解析式为283y x =+. 18．已知正整数n 满足：1116,1447(32)(31)19n n +++=⨯⨯-⨯+L 则n ＝ 19．因式分解：332x x -+=.20．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，则22x y +=．三、解答题21．已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=有实数根.(1)求m 的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为12,x x ，且221212x x +=，求m 的值. 22．已知函数2y x bx c =++，当3x =-时，0y =；当1x =时，0y =.(1)求这个函数的解析式；(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象，观察函数图象，写出该函数的一条性质；(3)若关于x 的方程2x bx c t ++=有4个不同实数根，请直接写出t 的取值范围.23．如图，AB 是O e 的直径，点C 是O e 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F .(1)证明：AC 平分DAB ∠；(2)证明：PC PF =.24．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号1a 表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，常用符号2a 表示，L L ，第n 个位置上的数叫做这个数列的第n 项，常用符号n a 表示.定义：一个正整数n 称为“漂亮数”，当且仅当存在一个数列12,,,k a a a L ，满足①②③：①12,,,k a a a L 都是正整数；②()1212k k a a a a n k -<<<<=≥L ；③121111ka a a +++=L . (1)写出最小的“漂亮数”；(2)当4k =时，求出所有的“漂亮数”n .。
2024-2025学年上海复旦附中高一上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)
1复旦附中2024学年第一学期高一年级数学开学考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．用列举法表示《沁园春·长沙》前三句的意象所组成的集合________．2．设高一（5）班全体学生的集合为A （A 中有17名男生，23名女生），高一（5）班全体女生的集合为B ，则A ________B ． 3．用区间法表示实数集R =________．4．已知集合{}0,1,2A =，集合{}|23x B x =>，则AB =________．5．已知集合{}1,2A =，{}532|24670B x x x x x =−+++=，则A B =________．6．已知集合{}1,2,3,4A =、{}1,2B =，满足A C BC =的集合C 有________个．7．已知集合()(){}2|10,x x x x a x R −−+=∈中的所有元素之和为1，则实数a 的取值集合为________．8．设集合{}2,0,1M =−，{}|1N x x a =−<，若M N 真子集个数为1，则正实数a 的取值范围为________． 9．关于的方程221x k xx x x−=−−的解集中只含有一个元素，则k 的所有可能值组成的集合 是________．10．设集合{}{}123,,,,1,2,3,,107n A a a a a =⊆，且A 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为________．11．已知集合A 满足若n A ∈且n Z ∈，则1A n∈，小张同学迅速得出3个结论：（1）0A ∉（2）集合A 不可能是单元素集（3）当n 取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为________． 12.若规定集合{}0,1,2,,E n =的子集{}123,,,,m a a a a 为E 的第k 个子集，其中23122222m a a a a k =++++，则E 的第211个子集的真子集个数为________．二、选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）13．必要的习题训练，也是数学训练的必须。
安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷含答案
1号卷·A10联盟2023级高一下学期2月开年考数学（人教A 版）（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I 卷选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，集合{}21x A x =<，()(){}120B x x x =+-≥，则()UA B ⋃=ð（）A.{}2x x ≥B.{}02x x ≤<C.{}02x x << D.{}0x x ≥【答案】B 【解析】【分析】解出指数不等式，得到集合A ，再解出一元二次不等式得到集合B ，最后根据集合的交并补即可.【详解】由题意得，{}0A x x =<，{1B xx =≤-∣或2}x ≥，{0A B x x ∴⋃=<∣或2}x ≥，(){}02U A B x x ∴⋃=≤<ð，故选：B.2.若()254025a a =>，则2log 5a =（）A.254B.2C.15D.5【答案】C 【解析】【分析】把指数式化为对数式，根据对数运算性质进一步化简即可.【详解】由25425a =，得42log 255a=，222log 55a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，222log 55a ∴=，21log 55a∴=.故选:C.3.已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则xy 的最小值为（）A. B.4C. D.8【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式及题中条件建立不等式，解出即可.【详解】2x y xy += ，0x >，0y >，2x y ∴+≥xy ≥，8xy ∴≥，当且仅当2x y =，即2,4x y ==时等号成立，则xy 的最小值为8.故选：D.4.点P 从13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭出发，沿着单位圆顺时针运动11π6到达点Q ，则点Q 的坐标为（）A.1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可知不妨设点P 所对应的角为2π3，再利用诱导公式求出7πsin 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，7πcos 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得解.【详解】因为2π3sin 322π1cos 32⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以不妨设点P 所对应的角为2π3，则2π11π7π366-=-，7ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭，7ππcos cos 662⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，所以点Q 的坐标为7π7πcos ,sin 66⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.5.若2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1223b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，231log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a c b >>B.b c a>> C.c a b>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可.【详解】由题意得，23110122a ⎛⎫⎛⎫<=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，201012233b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭<⎝<=⎭，22331log log 1223c =>=，211322112223⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<，c b a ∴>>.故选：D.6.已知角α，β满足tan tan 3αβ=-，()1cos 2αβ+=，则()cos αβ-=（）A .14-B.1- C.38- D.18【答案】A 【解析】【分析】根据商数关系得到sin sin 3cos cos αβαβ=-，再利用两角和与差的余弦公式计算即可.【详解】sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==- ，sin sin 3cos cos αβαβ∴=-，()1cos cos cos sin sin 4cos cos 2αβαβαβαβ+=-==，1cos cos 8αβ∴=，()1cos cos cos sin sin 2cos cos 4αβαβαβαβ∴-=+=-=-，故选：A.7.已知函数()21log ,01221,1ax x f x x ax x ⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.(]1,3 C.71,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]1,4【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.【详解】由题意得，1141log 1212a a aa ⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-≤-+⎪⎩，解得712a <≤.故选：C.8.如图，在扇形OAB 中，π2AOB ∠=，1OA =，点P 在弧AB 上（点P 与点,A B 不重合），分别在点,P B 作扇形OAB 所在圆的切线1l ，2l ，且1l ，2l 交于点C ，1l 与OA 的延长线交于点D ，则2BC CD +的最小值为（）A.2B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】连接OP ，OC .设POD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用直角三角函数以及切线的性质表示出2BC CD +，再利用三角恒等变形公式及基本不等式求最值.【详解】连接OP ，OC .设POD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在Rt OPD 中，tan tan PD OP θθ==，由Rt Rt OBC OPC ≅△△得1π242COP BOP θ∠=∠=-，CB CP =.在Rt COP 中，ππtan tan 4242CP OP θθ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πtan tan 42CD θθ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，π2tan 3tan 42BC CD θθ⎛⎫∴+=+- ⎪⎝⎭.令π42θα=-，则π22θα=-，且π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π11tan 2tan 23tan 3tan 3tan 2tan 22tan BC CD ααααααα-⎛⎫+=-+=+=+ ⎪⎝⎭15tan 2tan 2αα=+≥，当且仅当15tan 2tan 2αα=，即tan 5α=时取等号.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列计算中正确的是（）A.1sin105cos 752︒︒=B.sin 20cos 40cos160sin 2202︒︒+︒︒=C.2π12cos 122-=- D.7πtan212=+【答案】BC 【解析】【分析】利用三角恒等变形的公式逐一计算判断.【详解】对于A ：111sin105cos 75sin 75cos 752sin 75cos 75sin150224︒︒=︒︒=︒︒=︒=，故A 错误；对于B ：23sin 20cos 40cos160sin 220sin 20cos 40cos 20sin 40sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒=，故B 正确；对于C ：212cos cos 122π6π-=-=-，故C 正确；对于D ：7πtan tan 21234ππ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：BC.10.函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则（）A.π()3sin(26f x x =+B.()f x 的图象向右平移2π3个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()f x 的图象关于点4π(,0)3-对称D.若方程3()2f x =在()0,m 上有且只有6个根，则10π(3π,]3m ∈【答案】AD 【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.【详解】由图象得，3A =，3(0)3sin 2f ϕ==，而π||2ϕ<，则π6ϕ=，π()3sin()6f x x ω=+，由()f x 的图象过点5π(,0)12，得()5πππ2πZ 126k k ω+=+∈，解得()242Z 5k k ω=+∈，而()f x 的周期T 有5212T π>，即25212ππω>，解得1205ω<<，因此2ω=，π()3sin(2)6f x x =+，A 正确；函数()f x 的图象向右平移23π个单位长度后得到的新函数是2π(3y f x =-4ππ7π3sin(2)3sin(2)366x x =-+=-，非奇非偶函数，B 错误；4π5π()3sin()332f -=-=-，C 错误；显然π4π7π10π3(0)()(π)((2π)()(3π)()33332f f f f f f f f ========，若方程3()2f x =在(0,)m 上有且只有6个根，则10π(3π,]3m ∈，D 正确.故选：AD11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，若1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x <，()()221221f x f x x x ->-恒成立，且()12f =，则满足()2122f m m m -+<+的实数m 的值可能为（）A.2- B.1- C.1D.3【答案】ABD 【解析】【分析】构造函数()()2g x f x x =+，根据条件确定其单调性和奇偶性，然后利用单调性和奇偶性来解不等式即可.【详解】由已知()()221221f x f x x x ->-等价于()()221122f x x f x x +>+，令()()2g x f x x =+，则()()12g x g x >，又120x x ≤<，所以函数()g x 在[)0,∞+上单调递减.因为()f x 是偶函数，所以()()2g x f x x =+是偶函数，且()()21113g f =+=.因为()2122f m m m -+<+，即()21213f m m m -+-+<，即()()11g m g -<，所以11m -<-或11m ->，解得0m <或m>2.故选：ABD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数()f x 过点3,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()8f =____________.【答案】24【解析】【分析】设()f x x α=，代入点的坐标求出α的值，即可求出函数解析式，最后代入求值即可.【详解】设()f x x α=，则()123333f α-====，解得12α=-，所以()f x=，则()84f ==.故答案为：413.函数()2sin sin 2xf x x =+的值域是____________.【答案】22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分离常数后，根据正弦函数的值域，逐步计算即可.【详解】()2sin 42sin 2sin 2x f x x x -==+++，因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以444sin 23x --≤≤-+，所以4222sin 23x --≤+≤+，即函数()2sin sin 2x f x x =+的值域是22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.14.中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至50℃时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是0T ，经过min t 后的温度是T ，则()()0ee 2.71828t hT T T T αα--=-≈ ，其中T α表示环境温度，h 为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是90℃，放在10℃的室温中，10min 以后茶水的温度是70℃，在上述条件下，大约需要再放置__________min 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）【答案】13.3【解析】【分析】根据题意列出等式，可得102ln 2ln 3h=-，根据条件列出方程，解出即可.【详解】由题意得，()1070109010e h--=-，即103e4h-=，则102ln 2ln 3h =-.设大约需要再放置min t 能达到最佳饮用口感，则()1050109010e t h+--=-，即101e2t h+-=，则10ln 2t h +=，所以102ln 2ln 310ln 2t -=+，解得10ln 310ln 210 1.1100.74013.32ln 2ln 320.7 1.13t -⨯-⨯===≈-⨯-.故答案为：13.3.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{}11A x m x m =-<<+，命题“R x ∃∈，210x ax ++<”是真命题.（1）求实数a 的取值集合B ；（2）在（1）的条件下，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),22,B =-∞-+∞ ；（2）(][),33,∞∞--⋃+.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列式求解即得.（2）由（1）的结论，利用充分不必要条件的定义，借助集合包含关系求解即得.【小问1详解】由命题“R x ∃∈，210x ax ++<”是真命题，得240a ->，解得2a <-或2a >，所以实数a 的取值集合()(),22,B =-∞-+∞ .【小问2详解】显然A ≠∅，由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得A 真包含于B ，则12m +≤-或12m -≥，解得3m ≤-或3m ≥，所以实数m 的取值范围是(][),33,∞∞--⋃+.16.近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P 在风车的最低点（此时P 离地面60米）.设点P 转动t （秒）后离地面的距离为S （米），则S 关于t 的函数关系式为()()()sin 0,0,πS t A t B A ωϕωϕ=++>><.（1）求()S t 的解析式；（2）求叶片旋转一圈内点P 离地面的高度不低于80米的时长.【答案】（1）()2ππ40sin 10052S t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）103【解析】【分析】（1）根据题中条件写出方程组，解出即可；（2）根据题中条件建立不等式，解出即可.【小问1详解】如图，建立平面直角坐标系，当0=t 时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P 在风车的最低点，设为0P ，则()00,60P ，由题意得，2π5ω=，()10040100400sin 60A B A B S A B ϕ⎧+=+⎪-+=-⎨⎪=+=⎩，解得40100π2A B ϕ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=-⎩，所以()2ππ40sin 10052S t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.注：写成()240cos1005S t t π=-+也给分.【小问2详解】令()80S t ≥，则()2ππ40sin 1008052S t t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭，即2π1cos 52t ≤，所以()π2π5π2π2πZ 353k t k k +≤≤+∈，解得()52555Z 66k t k k +≤≤+∈.当0k =时，52566t ≤≤，25510663-=，所以叶片旋转一圈内点P 离地面的高度不低于80米的时长为103秒.17.已知函数()()()log 01x a f x a t a a =+>≠且.（1）若2a =，且1t =，求函数()()1g x f x =-的零点；（2）若1a >，函数()f x 的定义域为I ，存在[],m n I ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[]2,2m n ，求实数t 的取值范围.【答案】（1）0（2）1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）令()0g x =，解出方程即可；（2）考查函数()f x 的单调性，可得()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，转化为关于x 的方程()log 2x a a t x +=有两个不同的根，换元后转化关于λ的方程20t λλ--=有两个不同的正实数根1λ，2λ，列出不等式组，解出即可.【小问1详解】若2a =，且1t =，则()()2log 21x f x =+，令()0g x =，则()2log 2110x +-=，解得0x =，即函数()()1g x f x =-的零点为0.【小问2详解】因为1a >，所以函数()xp x a t =+在定义域内单调递增，函数log a y P =在定义域内单调递增，所以函数()f x 在定义域内单调递增.因为函数()f x 的定义域为I ，存在[],m n I ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[]2,2m n ，故()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以关于x 的方程()log 2x a a t x +=有两个不同的根，所以2x x a t a +=，即()20xx a a t --=有两个不同的根.令x a λ=，则0λ>，则关于λ的方程20t λλ--=有两个不同的正实数根1λ，2λ，所以1212140100t t λλλλ∆=+>⎧⎪+=>⎨⎪=->⎩，解得104t -<<，故实数t 的取值范围为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.已知函数()()()233sin πcos πtan π22πsin πcos 2x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭.（1）若()12f θ=，求sin 2θ的值；（2）设()()cos 22g x x f x =-⋅，若不等式πcos 2112g x x m ⎛⎫+--< ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）45-（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后根据条件得tan θ的值，再将sin 2θ转化为用tan θ表示，代入tan θ的值计算即可；（2）先根据三角函数的性质求出cos 212πg x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的范围，然后将恒成立问题转化为最值问题求解即可.【小问1详解】由已知()()()()222sin cos cos sin tan cos tan sin sin sin x x x x x x f x x x xx -⋅-⋅-⋅===--⋅，若()12f θ=，则1tan 2θ-=，即1tan 2θ=-，所以2222122sin cos 2tan 42sin 22sin cos sin cos tan 15112θθθθθθθθθ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=====-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由题意得，()()()cos 2tan 2sin 2g x x x x =-⋅-=，所以cos 2sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin cos πππ21666π2g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ2,662x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由题意可知不等式sin 216πx m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即1sin 216πm x m ⎛⎫-<-<+ ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以11211m m ⎧-≤-⎪⎨⎪+≥⎩，解得102m ≤≤，即实数m 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19.已知函数()f x 的定义域为()1,1-，()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++=⎪+⎝⎭，且当()1,0x ∈-时，()0f x >.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）解不等式：()()21f x f x ->；（3）已知113f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()21g x x bx =++，若对111,33x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x >成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）()0,1（3）((),3,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）通过赋值法，利用奇函数的定义进行判断即可；（2）考查函数的单调性，利用单调性转化不等式求解即可；（3）根据题意知()()12min min f x g x >，即()2min 1g x <-，分类讨论求得()2min g x ，解出不等式即可.【小问1详解】()f x 为奇函数.令0x y ==，则()()()000f f f +=，解得()00f =.令y x =-，则()()()00f x f x f +-==，即()()f x f x -=-，又()f x 的定义域关于原点对称，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】令1211x x -<<<，则()()()()212121121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1211x x -<<，则1210x x ->，因为()()()211212*********x x x x x x x x x x ---=-+-=+-<，所以2112011x x x x -<<-.因为当()1,0x ∈-时，()0f x >，()f x 为奇函数，所以当()0,1x ∈时，()0f x <，所以211201x x f x x ⎛⎫-< ⎪-⎝⎭，即()()21f x f x <，因为12x x <，所以()f x 在()1,1-为减函数.因为()()21f x f x ->，所以1211x x -<-<<，解得01x <<，即不等式()()21f x f x ->的解集为()0,1.【小问3详解】因为111,33x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，2[1,2]x ∃∈-，使得()()12f x g x >成立，所以()()12min min f x g x >，由上可知()1min 11133f x f f ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2min 1g x <-.因为()21g x x bx =++的对称轴为2b x =-，[]1,2x ∈-.①当12b -≤-，即2b ≥时，()g x 在[]1,2-上单调递增，则()2min ()12g x g b =-=-，所以21b -<-，解得3b >，所以3b >；②当22-≥b ，即4b ≤-时，()g x 在[]1,2-上单调递减，则()2min ()252g x g b ==+，所以521b +<-，解得3b <-，所以4b ≤-；③当42b -<<时，()g x 在[]1,2-上先减再增，则22min ()124b b g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2114b -<-，解得b <-b >，所以4b -<<-；综上所述，实数b 的取值范围是((),3,∞∞--⋃+.。
山东省临沂第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题
山东省临沂第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =I （ ） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤ 2．命题“x R ∀∈，20x x -≥”的否定是A ．x R ∀∈，20x x -<B ．x R ∃∈，20x x -≥C ．x R ∀∈，20x x -≤D ．x R ∃∈，20x x -< 3．下列因式分解正确的是（ ）A ．()223632ax ax ax ax -=-B ．()()22x y x y x y +=-+--C ．()222242a ab b a b +-=+D ．()2221ax ax a a x -+-=-- 4．小莹同学10个周综合素质评价成绩统计如下：这10个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是（ ）A ．97.5 ，2.8B ．97.5 ，3C ．97 ，2.8D ．97 ，3 5．如图，在矩形ABCD 中，2,3AB BC ==，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ．设运动的路程为x ，ADP △的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为 A ．2m =- B ．3m = C ．3m =或2m =- D ．3m =-或2m = 7．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则BC 的长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．168．抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．211t ≤<B ．2t ≥C ．611t <<D ．26t ≤<9．已知命题{}:13,0p x x x x a ∀∈≤≤-≥∣，若命题p 是真命题，则实数a 的值可以是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2-二、多选题10．（多选）对任意实数a ，b ，c ，下列结论不正确的是（ ）A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件C ．“ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“ac bc =”是“a b =”的充分条件三、填空题11．设集合{|5S x x =>或1}x <-，{}|8T x a x a =<<+，S T =R U ，则a 的取值范围是. 12．当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是． 13．如下图，Rt AOB V 中，AOB 90∠=o ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x=>与()50y x x -=<的图象上，则tan BAO ∠的值为．14．如图，直线1y x =+与抛物线245y x x =-+交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，S △P AB =．四、解答题15．已知关于x ，y 的二元一次方程组2352x y x y k-=⎧⎨-=⎩的解满足x y >，求k 的取值范围. 16．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求(1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁UB )∪(∁UC )．17．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示，改造前的斜坡200AB =米，坡度为AB 的高度AE 降低20AC =米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1:4．求斜坡CD 的长.（结果保留根号）18．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果.调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克：若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计.）19．设集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-.（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x R ∈时，不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围. 20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点()4,0,A 点()0,4B ，ABO V 的中线AC 与y 轴交于点,C 且圆M 经过,,O A C 三点．(1)求圆心M的坐标：(2)若直线AD与圆M相切于点,A交y轴于点,D求直线AD的函数表达式：PE y轴，交直线AD于点(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点,P过点P作//E．若以PE为半径的圆P与直线AD相交于另一点F．当EF P的坐标．。
湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题(B卷)(含解析)
株洲市二中2024年下学期高一年级开学考试试卷数学试题（B 卷）时量：120分钟分值：150分第I 卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）A.或B.C.D.2.下列运算正确的是（）A.B.C. D.3.桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示.则组成此几何体需要正方体的个数是（）A.7B.8C.9D.104.下列方程中两根之和为6的是（）A.B.C. D.5.设集合，若，则（）A.-3或-1或2B.-3或-1C.-3或2D.-1或26.函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A.B.{3xx ≤-∣3}x ≥{}33x x -≤≤∣{}3x x ≤-∣{}3x x ≥∣623a a a ÷=426a a a ⨯=()325a a =336a a a +=26150x x -+=21260x x -+=22630x x --=2318170x x -+={}22,1,2A a a a =--+4A ∈a =22y kx =-()0k y k x=≠C. D.7.关于的不等式组恰好有5个整数解，则的取值范围是（）A.B.C. D.8.定义：若抛物线的顶点，抛物线与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）.若，当为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线.A.或B.或C.或D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A.B.C. D.10.如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（）A.众数是2.1B.中位数是1.6x 0723x m x +<⎧⎨-⎩...m 76m -<-...76m --......76m -<- (76)m -<<-1:3l y x b =+10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()1122331,,2,,3,B y B y B y (),n n B n y ⋯n x ()()1122,0,,0A x A x ()()3311,0,,0n n A x A x ++⋯n 1(01)x d d =<<d 51271251211127121112712,,x y z xyz x y z x y z xyz+++0M ∉2M ∈4M -∈4M ∈C.平均数是2.08D.方差大于111.已知二次函数的图像与轴有两个交点，则下面说法正确的是（）A.该二次函数的图像一定过定点；B.若该函数图像开口向下，则的取值范围为：；C.当，且时，的最大值为；D.当，且该函数图像与x 轴两交点的横坐标满足时，m 的取值范围为：第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则式子的值为__________.13.如图，一段抛物线记为，它与轴交于点；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点如此进行下去，直至得到.若在第13段抛物线上，则__________.14.给定实数集合，定义运算.设，则中的所有元素之和为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.16.（本小题15分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C ，D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I .从三个口袋中各随机取出1个小()2223y m x mx m =-++-x ()()12,0,,0x x ()1,5--m 625m <<2m >12x ……y 45m -2m >12,x x 1232,10x x -<<--<<21114m <<2,3a b ab +==-32232a b a b ab ++()()303y x x x =--≤≤1C x 1O A ､1C 1A 180 2C x 2A 2C 2A 180 3C x 3A 13C ()37,P m 13C m =,A B {},,A B xx ab a b a A b B ⊗==++∈∈∣{}{}0,2,4,,18,98,99,100A B == A B ⊗x 2640x x m -++=12,x x m 12,x x 1232x x =+m球.（1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，A ，E ，I 是元音字母；B ，C ，D ，H 是辅音字母）17.（本小题15分）对､定义一种新运算“”，规定：（其中､b 均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：.（1）已知.①求的值；②若关于x 的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t 的取值范围.（2）若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，m ，结论“”都成立，试探索a ､b 所应满足的关系式.18.（本小题17分）定义：若任意可以相等，都有，则集合称为集合A 的生成集；（1）求集合的生成集B ；（2）若集合的生成集为的子集个数为4个，求实数的值；（3）若集合，A 的生成集为B ，求证.19.（本小题17分）已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.（1）求的值；（2）点在抛物线上，点在抛物线上.（i ）若，且，求的值；（ii ）若，求的最大值.m n ◊5m n am bn ◊=-+a 56565a b ◊=-+()231,3110◊=◊-=a b ､()()23936x x x t ⎧◊-<⎪⎨◊-≤⎪⎩◊m m n n m ◊=◊,(,m n A m n ∈10mn +≠,,1m n B x x m n A mn ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭{}3,4A ={},2,A a A =,B B a 11A -≤≤A B =2y x bx =-+b 22y x x =-+b ()11,A x y 22y x x =-+()11,B x t y h ++2y x bx =-+3h t =10,0x t >…h 11x t =-h答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合即满足的的集合.本题考查了集合的表示方法，属于基础题.3x x【解答】解：在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是满足的的集合，解绝对值不等式可得：，故选B.2.【答案】B【解析】略3.【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.【解答】解：根据俯视图可知该组合体共2行､4列，结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：则组成此几何体需要正方体的个数是8，故选B.4.【答案】D【解析】略5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于中档题.分别由，求出的值，再将值代入验证即可.【解答】解：若，则，满足；若，则或，时，；时，，不符合互异性，则或2.故选C.6.【答案】C【解析】解：分两种情况讨论：3x ≤x {}33xx -≤≤∣214,24a a a -=-+=a a 14a -={}23,214,2,4,14a a a A =-∴-+=∴=224a a -+=2a =1a =-2a ={}11,2,1,4a A -=-∴=-1a =-12a -=3a =-①当时，反比例函数，在一､三象限，而二次函数开口向上，与y 轴交点为，都不符；②当时，反比例函数，在二､四象限，而二次函数开口向下，与y 轴交点为，C 符合.故选：C.根据，结合两个函数的图象及其性质分类讨论.本题主要考查二次函数､反比例函数的图象特点.7.【答案】A【解析】略8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键.由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可.【解答】解：直线经过点，则；直线.由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；该等腰三角形的高等于斜边的一半.，该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；当时，，当时，，当时，，美丽抛物线的顶点只有.①若为顶点，由，则；0k >k y x =22y kx =-()0,2-0k <k y x=22y kx =-()0,1-0,0k k ><01d <<11:3y x b =+10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭14b =∴11:34l y x =+x ∴01d << ∴ 1x =1117113412y =⨯+=<2x =21111213412y =⨯+=<3x =311531344y =⨯+=>∴12B B ､1B 171,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭7511212d =-=②若为顶点，由，则，综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线.故选：B.9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查集合中元素的性质､集合与元素的关系，注意题意中的位置有对称性，即代数式的值只与中有几个为负数有关，与具体中谁为负无关.根据题意，分析可得代数式的值与的符号有关；按其符号的不同分4种情况讨论，分别求出代数式在各种情况下的值，即可得，分析选项可得答案.【解答】解：根据题意，分4种情况讨论；①全部为负数时，则xyz 也为负数，则，②中有一个为负数时，则xyz 为负数，则，③中有两个为负数时，则xyz 为正数，则，④全部为正数时，则xyz 也正数，则；则，分析选项可得CD 符合.故选CD.10.【答案】AC 【解析】解：A ､因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数数是2.1，故本选项正确，符合题意；B ､把这些数从小到大排列为：，中位数是2.1，故本选项错误，不符合题意；C ､平均数是：，故本选项正确，符合题意；D ､方差是：，故本选项错误，不符合题意；故选：AC.2B 2112,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭11111211212d ⎡⎤⎛⎫=---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦d 5121112x y z ､､x y z ､､x y z ､､xyz x y z x y z xyz+++x y z ､､M x y z ､､4xyz x y z x y z xyz+++=-x y z ､､0xyz x y z x y z xyz+++=x y z ､､0xyz x y z x y z xyz +++=x y z ､､4xyz x y z x y z xyz+++={}4,4,0M =- 1.6,1.8,2.1,2.1,2.8()1 2.8 2.1 2.1 1.8 1.6 2.085⨯++++=22221(2.8 2.08)2(2.1 2.08)(1.6 2.08)(1.8 2.08)0.165615⎡⎤⨯-+⨯-+-+-=<⎣⎦根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析，即可得出答案.本题考查了平均数，众数，中位数，方差的意义.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量.11.【答案】ABD【解析】略12.【答案】-12【解析】略13.【答案】2【解析】由题知图像与轴的交点坐标分别为，易知图像与轴的交点坐标分别为，，且图像在x 轴上方，的表达式为，当时，.14.【答案】29970【解析】【分析】本题考查了集合的新定义问题【解答】解：由，可知所有元素之和为.15.【答案】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，，解得：，的取值范围为.（2）：关于的一元二次方程有两个实数根，①，②.，当时，有③，联立①③解得：，当时，有④，联立①④解得：（不合题意，舍去）.符合条件的的值为4.【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系.1C x ()()0,0,3,01,5C x ()36,0()39,013C ∴()()133639y x x =---37x =()()373637392y =--⨯-=()()111x a b =++-()131930*********+++⨯-⨯= x 2640x x m -++=12,x x ()2(6)442040m m ∴∆=--+=-≥5m ≤m ∴5m ≤x 2640x x m -++=12,x x 126x x ∴+=124x x m =+1232x x =+ 20x ≥1232x x =+122,4x x ==84,4;m m ∴=+=20x <1232x x =-+122,8x x =-=∴m（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；（2）由根与系数的关系可得①､②，分和可找出③或④，联立①③或①④求出的值，进而可求出的值.16.【答案】【小题1】个元音个元音个元音【小题2】【解析】1.略2.略17.【答案】解：（1）①，，解得：；②，，，即，解得：关于x 的不等式组，有且只有一个整数解，，解得：，即字母t 的取值范围是；（2），，，，2040m ∆=-≥126x x +=124x x m =+20x ≥20x <1232x x =+1232x x =-+12x x ､m (1P 5)(212P =1)(33P =1)12=16()231,3110◊=◊-= 23513510a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩1,2a b ==()()239,1,236x x a b x t⎧◊-<⎪==⎨◊-≤⎪⎩ ()2353119xa x b x ∴--+=-+<()365317xa b x t --+=+≤3119317x x t-+<⎧⎨+≤⎩23173x t x ⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩()()23936x x x t ⎧◊-<⎪⎨◊-≤⎪⎩17123t -∴≤<2023t ≤<2023t ≤<m n n m ◊=◊ 55ma nb na mb ∴-+=-+0ma nb na mb ∴--+=()()0m a b n a b ∴+-+=，为任意数，不一定等于0，，即所应满足的关系式是.【解析】略本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组､一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键.（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t 的不等式组，求出解集即可；（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案.18.【答案】解：（1）由题可知①当时，，②当时，，③当或时，，所以；（2）①当时，，②当时，，③当或时，，的子集个数为4个，则中有2个元素，所以或或，解得或或舍去.（3）证明：，，，，即，()()0a b m n ∴+-=m n ､m n ∴-0a b ∴+=a b ､0a b +=3m n ==3331335x +==+⨯4m n ==44814417x +==+⨯3,4m n ==4,3m n ==34713413x +==+⨯387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭2m n ==2241225x +==+⨯m n a ==22211a a a x a a +==++2,m n a ==,2m a n ==212a x a+=+B B 24251a a =+222112a a a a +=++24125a a +=+1a =1a =-1(22a a ==[],1,1m n A ∀∈-=()()111011m n m n mn mn++++=++…()()111011m n m n mn mn---+-=++…111m n mn+∴-+……[]1,1B =-，又，所以A ，综上可得.【解析】本题考查集合的新定义问题，集合中子集的个数，作差法比较大小，属于较难题.（1）根据新定义算出的值即可求出B ；（2）B 的子集个数为4个，转化为中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；（3）求出B 的范围即可证明出结论.19.【答案】解：（1）：抛物线的顶点横坐标为的顶点横坐标为1，，；（2）点在抛物线上，，在抛物线上，，，，（i ），，（ii ）将代入，，B A ∴⊆[]1,1A =-B ⊆A B =x B a 2y x bx =-+2,22b y x x =-+112b ∴-=4b ∴= ()11,A x y 22y x x =-+21112y x x ∴=-+()11,B x t y h ++ 24y x x =-+()()21114y h x t x t ∴+=-+++()()22111124x x h x t x t -++=-+++211224h t x t x t ∴=--++3h t = 2113224t t x t x t ∴=--++()1122t t x t x +=+10,0x t ≥>120t x +>1t =3h =11x t =-211224h t x t x t =--++2:382h t t =-+-，，：当，即时，取最大值.【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，掌握二次函数性质是解题的关键.（1）求出抛物线的顶点横坐标为的顶点横坐标为1，根据题意列方程，即可求出b 的值；（2）先求出，（i ）列方程即可求出h 的值；（ii ）求出关于的方程，配顶点式求出最大值.2410333h t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭30-<43t =113x =h 1032y x bx =-+2,22b y x x =-+211224h t x t x t =--++h h。
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霍邱一中2015—2016学年第二学期高一开学考试
数学试题
试卷满分150分 考试时间120分钟
一．选择题（本大题共12题，每题5分，共60分） 1．已知{
}
{}
A x x y y
B x y x A ∈==-=
=,,422，则=⋃B A （ ）
A ． ]4,2[-
B ． {}
224≤≤-=x x x 或 C ． ]2,0[ D ． ),2[+∞- 2．=-
)3
11
cos(π（ ） A ．
21 B ．2
1- C ．23- D ．23
3．)(),(x g x f 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，已知0)1()1(,2)1(=+=-g f f ， 则=-+-)1()1(g f （ ）
A ．4-
B ．4
C ．0
D ．以上均不正确
4．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()ln(1)f x x =+，则函数
()f x 的大致图象为（ ）
5．下列区间内含有函数2ln )(-+=x x x f 的零点的是（ ） A ． )0,1(- B ．)1,0( C ．)2,1( D ．),2(e 6．锐角α满足0cos 2sin 2
=-αα，则=++1cos 2sin 2αα（ ）
A ．
52 B ．57 C ．58 D ．5
13 7．x x f 2)(log 16=，则=)2
1
(f （ ）
A ．1
B ． 16
C ．8
D ．2
1
C
D
8．如右图，在四边形ABCD 中，设AB a =，AD b =，BC c =， 则DC = （ ）
A ．c b a +-
B ．)(c a b +-
C ．c b a ++
D ． c a b +- 9．将函数x y cos =的图象经过怎样的平移，可以得到函数in()6
y s x π
=+的图象（ ）
A ．向左平移6π个单位
B ．向左平移3π个单位
C ．向右平移3π个单位
D ．向右平移6
π
个单位
10．已知函数44)().
,0[),1ln(),
0,(,2)(22--=⎩⎨
⎧+∞∈+-∞∈+=x x x g x x x x x x f ，若存在实数a ，使得 0)()(=+x g a f ，则x 的取值范围为（ ）
A ． ]5,1[-
B ．),5[]1,(+∞--∞
C ．),1[+∞-
D ．]5,(-∞
11．若函数)53(log )(2
3
1+-=ax x x f 在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A ．]6,(--∞
B ．]6,8(--
C ．)6,8[--
D ． ]6,8[-- 12．已知函数)2
,0(),sin()(π
ϕωϕω<
>+=x x f 的部分图
象如图所示，那么ϕω,的值分别为（ ） A ． 6,
1π B ．2,2π C ．6,2π D ．3
,2π
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．幂函数2
22
)22()(---=m
x m m x f 在),0(+∞上单调递减，则m = ；
14．
160sin 80cos 20cos 80sin -的值为 ； 15．在圆O 中截出一面积为3
2π
的扇形OAB ，恰好OAB ∆为等边三角形，则此圆的 面积为 ；
16．直角三角形ABC 中，角A 为直角，3=AB ，6=AC ，点D 满足DC AD 2=， 则=⋅BD AD 。
三．解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题各12分，共70分） 17．(本小题10分)
已知角α的终边经过点)5
3,54(-P ， （1）求αcos 的值；
（2）求)
3cos()
tan()sin()
2
sin(
αππαπααπ
--⋅
+-的值．
18．(本小题12分)
已知全集R U =，集合{}{}
82,51<<=<≤=x x B x x A ． （1）求B A C B A U ⋂⋃)(,；
（2）若{}
3+≤<=a x a x C ，且C A C =⋂，求a 的取值范围。
19．(本小题12分)
已知函数2
3cos 3cos sin )(2
+
-=x x x x f ； （1）求)(x f 的最小正周期和单调递减区间； （2）若角α为锐角，求)(αf 的取值范围。
20．(本小题12分)
已知函数)10(),)(1()(<<--=-a a
a a x f x
x
．
（1）判断)(x f 的奇偶性并证明； （2）用定义证明)(x f 为R 上的增函数。
21．(本小题12分)
已知在四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB ． （1）若DA BC //，求)(x f y =的解析式；
（2）在（1）的条件下，若BD AC ⊥，求y x ,的值以及四边形ABCD 的面积。
22．(本小题12分)
已知函数),(,2
1
)(2
R c a c x ax x f ∈+-=满足条件①0)1(=f ；②对一切R x ∈， 都有0)(≥x f 。
（1） 求c a ,的值；
（2） 若存在实数m ，使函数mx x f x g -=)()(在区间]2,[+m m 上有最小值5-，求
m 值。
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