第六章 轴向拉压
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建筑力学 第六章 轴向拉伸与压缩
应力正负号规定
• 正应力：离开截面的正应力为正，指向 截面的正应力为负。
• 切应力以其对分离体内一点产生顺时针 转向的力矩时为正值的切应力，反之， 则为负的切应力 。
• 切应力的说法只对平面问题有效。
（3）. 应力的特征： 1 应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处，因
此，讨论应力必须明确是在哪一个截面上的哪一点处。
5. 要判断杆是否会因强度不足而破坏，还必须知道： ① 度量分布内力大小的分布内力集度－应力。 ② 材料承受荷载的能力。
大多数情形下，工程构件的内力并非均匀分布，内力集度 的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内 力集度(应力)最大处开始。
（2）应力的表示： F1 截面
F
△A上的内力平均集度为:
–
C
D
F
轴向拉压杆件横截面上的应力
一. 应力的概念：
F
F
（1）问题提出：
F
F
1. 两杆的轴力都为F. 2. 但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，
同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。
3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的， 一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不 同。
遇到向右的F ， 轴力 F N 增量为负F。
如果左端是约束，需先求出约束反力（约束反力也是外力）
8kN
5kN
3kN
8kN 3kN
5kN +
8kN – 3kN
如果杆件由几段不同截面的等直杆构成，轴力的计算方 法和单一截面的轴力计算方法一样。
O
B
C
4F 3F
D 2F
建筑力学大纲 知识点第六章 杆件的应力与强度计算
第6章 杆件的应力与强度计算6.1 轴向拉压杆的应力与强度计算6.1.1 应力的概念为了分析内力在截面上的分布情况，从而对杆件的强度进行计算，必须引入应力的概念。
图6-1（a ）所示的受力体代表任一受力构件。
pc)F图6-1由于截面上内力的分布一般不是均匀的，所以平均应力m p 与所取小面积A ∆的大小有关。
令A ∆趋于零，取极限0limA Fp A∆→∆=∆ (b)6.1.2轴向拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的内力为轴力N F ，与轴力N F 对应的应力为正应力σ。
NF Aσ=(6-1) 式（6-1）就是轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式。
6.1.3轴向拉压杆的强度条件 1.强度条件材料所能承受的应力值有限，它所能承受的最大应力称为该材料的极限应力，用u σ表示。
材料在拉压时的极限应力由试验确定。
为了使材料具有一定的安全储备，将极限应力除以大于1的系数n ，作为材料允许承受的最大应力值，称为材料的许用应力，以符号[]σ表示，即u []nσσ=(6-2)式中n 称为安全系数。
为了确保拉压杆不致因强度不足而破坏，应使其最大工作应力max σ不超过材料的许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (6-3) 2.强度条件的三方面应用(1) 强度校核：杆件的最大工作应力不应超过许用应力，即Nmax F Aσ=≤[]σ (2) 选择截面尺寸 ： 由强度条件式（6-3），可得A ≥N[]F σ 式中A 为实际选用的横截面积，(3) 确定许用荷载： 由强度条件可知，杆件允许承受的最大轴力N []F 的范围为N F ≤[]A σ6.2材料在轴向拉压时的力学性质在计算拉压杆的强度与变形时，要涉及材料的极限应力u σ和弹性模量E 等，这些反映材料在受力过程中所表现出的有关性质，统称为材料的力学性质。
6.2.1低碳钢在拉伸时的力学性质1．拉伸图与应力-应变曲线将试件装入试验机的夹头后启动机器，使试件受到从零开始缓慢增加的拉力F 作用，试件在标距l 长度内产生相应的变形l ∆。
第六章 轴向拉伸与压缩
第六章轴向拉伸与压缩一、判断题1、若物体产生位移，则必同时产生变形。
（×）解析：刚体变形一定有位移，但有位移不一定有变形。
若物体各点均无位移，则该物体必定无变形（✔）2、轴力是轴向拉、压杆横截面上的唯一的内力。
（√）解析：轴力是轴向拉、压杆横截面上的唯一的内力。
轴力必垂直于杆件的横截面。
轴力作用线一定通过杆件横截面的形心3、轴力一定是垂直于杆件的横截面。
（√）4、轴向拉、压杆件的应力公式只能适应于等截面杆件。
（×）解析：等截面拉压杆横截面上的正应力计算公式：AF N =σ适用于等截面直杆，对于横截面平缓变化的拉、压杆可近似使用，但对横截面骤然变化的拉、压杆不能用。
5、两根等长、等截面的杆件，一根为刚质杆，另一根为铜质杆，在相同的外力作用下，它们的应力和变形都不同。
（×）解析:应力相同，但变形不同。
解析：EA l F l A F N N =∆=胡克定律：应力公式：σ6、若将所加的载荷去掉，试件的变形可以全部消失，这种变形称为弹性变形。
（√）解析：弹性变形：是材料在外力作用下产生变形，当外力去除后变形完全消失的现象。
弹性变形的重要特征是其可逆性,即受力作用后产生变形,卸除载荷后,变形消失。
塑性变形：是物质-包括流体及固体在一定的条件下，在外力的作用下产生形变，当施加的外力撤除或消失后该物体不能恢复原状的一种物理现象。
7、若拉伸试件处于弹性变形阶段，则试件工作段的应力-应变成正比关系。
（×）低碳钢拉伸解析：弹性变形阶段（ob 段），其中前部分oa 段是直线度，应力-应变成正比关系。
即满足胡克定律，后部分ab 段出现了转折，在a 点对应的应力称为材料的比例极限。
即材料处于正比例关系时，所能承受的最大应力。
8、钢材经过冷作硬化处理后，其延伸率可以得到提高。
（×）解析：延伸率会下降。
因为冷作硬化后，材料硬度提高，变形度下降了。
比例极限提高。
9、对于脆性材料，压缩强度极限比拉伸强度极限高出许多。
第六章1 轴向拉压杆系
第二部分 材料力学
变形固体的基本假设
小变形前
一、变形固体： 在外力作用下可发生变形的固体。 二、变形固体的基本假设： 1、连续性假设：认为变形固体整个体积内都被物质连续 地充满，没有空隙和裂缝。 2、均匀性假设： 认为变形固体整个体积内各点处的力学 性质相同。 3、各向同性假设： 认为变形固体沿各个方向的力学性质 相同（不适合所有的材料）。 假设2和3表示材料的力学性能与坐标、方向无关
应力：一点处内力的聚集程度
r ⊿A面积上的内力合力 ∆P r r r ∆P = ∆N + ∆T r r ∆N ⊥截面； ∆T ∥截面。
② 一点的全应力：
∆P dP p = lim = ∆A→0 ∆A dA
③ 垂直于截面的应力分量----正应力
∆N dN σ = lim = ∆A→0 ∆A dA
∆T dT τ = lim = ④ 切于截面的应力分量------切应力 ∆A→0 ∆A dA p, σ ,τ 三者之间的关系： p 2 = σ 2 + τ 2
F /2 F /2 F /3 F /3 F /3
外力对内力分布的影响区域
杆端应力分布
二、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定 F (1) 内力确定： FNα= F (2)应力确定：
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
α
α
F
FNα pα
x
F
FNα
FN α F F = = cos α = σ cos α pα = A Aα A cos α
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ max
3、强度条件的应用： （解决三类问题）：
3、强度条件的应用： （解决三类问题）：
（1）、校核强度——已知：F、A、[σ]。 解： σ
变形固体的基本假设
小变形前
一、变形固体： 在外力作用下可发生变形的固体。 二、变形固体的基本假设： 1、连续性假设：认为变形固体整个体积内都被物质连续 地充满，没有空隙和裂缝。 2、均匀性假设： 认为变形固体整个体积内各点处的力学 性质相同。 3、各向同性假设： 认为变形固体沿各个方向的力学性质 相同（不适合所有的材料）。 假设2和3表示材料的力学性能与坐标、方向无关
应力：一点处内力的聚集程度
r ⊿A面积上的内力合力 ∆P r r r ∆P = ∆N + ∆T r r ∆N ⊥截面； ∆T ∥截面。
② 一点的全应力：
∆P dP p = lim = ∆A→0 ∆A dA
③ 垂直于截面的应力分量----正应力
∆N dN σ = lim = ∆A→0 ∆A dA
∆T dT τ = lim = ④ 切于截面的应力分量------切应力 ∆A→0 ∆A dA p, σ ,τ 三者之间的关系： p 2 = σ 2 + τ 2
F /2 F /2 F /3 F /3 F /3
外力对内力分布的影响区域
杆端应力分布
二、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定 F (1) 内力确定： FNα= F (2)应力确定：
①应力分布——均布 ②应力公式——
F
α
α
F
FNα pα
x
F
FNα
FN α F F = = cos α = σ cos α pα = A Aα A cos α
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ max
3、强度条件的应用： （解决三类问题）：
3、强度条件的应用： （解决三类问题）：
（1）、校核强度——已知：F、A、[σ]。 解： σ
材料拉伸时的力学性能.ppt
（4）弹性模量E随温度上升而一直下降，泊松比μ则一 直上升。
6.2.2 高温蠕变和应力松弛
（l） 蠕变现象
（2）松弛现象
6.2.3 在动载荷下应变速率对材料力学性能的影响
§6.3 安全系数 许用应力
通常把材料破坏的极限应力σu除以大于1的 数n作为许用应力，用[σ]表示，即
u
n
n称为安全系数,对于塑性材料,σu为屈服极限 σs，对于脆性材料,σu为强度极限σb。
③强化阶段（ce） 强化现象：材料恢复抵抗变形的能力，要使应变增加，
必须增大应力值。 曲线表现为上升阶段。
应力特征性：强度极限 b ——材料能承受的最大应力值。
冷作硬化——材料预拉到强化阶段，使之发生塑性变形，
然后卸载，当再次加载时弹性极限 和屈e 服极限 提高 s、
塑性降低的现象。工程上常用冷作硬化来提高某些材料在 弹性范围内的承载能力，如建筑构件中的钢筋、起重机的 钢缆绳等，一般都要作预拉处理。但冷作硬化使材料变硬、 变脆，使加工发生困难，且易产生裂纹，这时可以采用退 火处理，部分或全部地消除材料的冷作硬化效应。
（35l0）℃强b显温著度下在降25。0 ～ （3020）～流35动0极℃限后σ，s和流比动例阶极段限消σ失p随。温度升高而下降。到
（3）延伸率δ和截面收缩率Ψ在250～350 ℃时最低， 此时钢材呈现一定程度的脆性，以后δ和Ψ又随温度上 升而增加。
低碳钢拉伸试验现象：
屈服：
颈缩：
断裂：
6.1.2 铸铁在轴向拉伸时的力学性能
铸铁拉伸直到断裂，应力和应变近似地呈 现直线关系（图6－4）。因此，铸铁直至断裂 都满足胡克定律。铸铁拉伸直到断裂，试件尺
寸几乎没有变化，所以，铸铁是脆性材料。脆
6.2.2 高温蠕变和应力松弛
（l） 蠕变现象
（2）松弛现象
6.2.3 在动载荷下应变速率对材料力学性能的影响
§6.3 安全系数 许用应力
通常把材料破坏的极限应力σu除以大于1的 数n作为许用应力，用[σ]表示，即
u
n
n称为安全系数,对于塑性材料,σu为屈服极限 σs，对于脆性材料,σu为强度极限σb。
③强化阶段（ce） 强化现象：材料恢复抵抗变形的能力，要使应变增加，
必须增大应力值。 曲线表现为上升阶段。
应力特征性：强度极限 b ——材料能承受的最大应力值。
冷作硬化——材料预拉到强化阶段，使之发生塑性变形，
然后卸载，当再次加载时弹性极限 和屈e 服极限 提高 s、
塑性降低的现象。工程上常用冷作硬化来提高某些材料在 弹性范围内的承载能力，如建筑构件中的钢筋、起重机的 钢缆绳等，一般都要作预拉处理。但冷作硬化使材料变硬、 变脆，使加工发生困难，且易产生裂纹，这时可以采用退 火处理，部分或全部地消除材料的冷作硬化效应。
（35l0）℃强b显温著度下在降25。0 ～ （3020）～流35动0极℃限后σ，s和流比动例阶极段限消σ失p随。温度升高而下降。到
（3）延伸率δ和截面收缩率Ψ在250～350 ℃时最低， 此时钢材呈现一定程度的脆性，以后δ和Ψ又随温度上 升而增加。
低碳钢拉伸试验现象：
屈服：
颈缩：
断裂：
6.1.2 铸铁在轴向拉伸时的力学性能
铸铁拉伸直到断裂，应力和应变近似地呈 现直线关系（图6－4）。因此，铸铁直至断裂 都满足胡克定律。铸铁拉伸直到断裂，试件尺
寸几乎没有变化，所以，铸铁是脆性材料。脆
建筑力学 第六章
拉伸时为正； 拉伸时为正；压缩为负
4
实验证明： 实验证明：
EA称为杆的 称为杆的拉压刚度 △l ∝Fl/A 拉压刚度 FN l ∆l = EA
σ = E ⋅ε
称为虎克定律 称为虎克定律
比例系数E称为材料的弹性模量。 比例系数E称为材料的弹性模量。 虎克定律表明： 虎克定律表明：当杆内的应力不超过材料的某 一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系。 一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系。
（2）计算许可轴力 查型钢表： 查型钢表：A1
11
= 10.86cm 2 × 2 = 21.7cm 2 2 2 A2 = 12.74cm × 2 = 25.48cm
由强度计算公式： 由强度计算公式：
[ FP ] = A[σ ]
σ max =
2 2
FN ,max A
≤ [σ ]
[ FNAB ] = 21.7 ×10 mm ×120MPa == 260kN [ FNAC ] = 25.48×102 mm2 ×120MPa = 306kN
π 2 FN , AC d A= ≥ [σ t ] 4
d≥
15
4 ⋅ FN, AC π [σ t ]
4 × 90 ×103 N = = 26.8 mm π ×160MPa
d = 26mm
连接件的强度计算
连接构件用的螺栓、销钉、 连接构件用的螺栓、销钉、焊接等 这些连接件，不仅受剪切作用，而且同时 这些连接件，不仅受剪切作用， 还伴随着挤压作用。 还伴随着挤压作用。
轴向拉( 轴向拉(压)时横截面上的应力 一、应力的概念
内力在一点处的集度称为应力，反应了 内力在一点处的集度称为应力， 应力 内力在截面上的分布情况。 内力在截面上的分布情况。
4
实验证明： 实验证明：
EA称为杆的 称为杆的拉压刚度 △l ∝Fl/A 拉压刚度 FN l ∆l = EA
σ = E ⋅ε
称为虎克定律 称为虎克定律
比例系数E称为材料的弹性模量。 比例系数E称为材料的弹性模量。 虎克定律表明： 虎克定律表明：当杆内的应力不超过材料的某 一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系。 一极限值，则正应力和正应变成线性正比关系。
（2）计算许可轴力 查型钢表： 查型钢表：A1
11
= 10.86cm 2 × 2 = 21.7cm 2 2 2 A2 = 12.74cm × 2 = 25.48cm
由强度计算公式： 由强度计算公式：
[ FP ] = A[σ ]
σ max =
2 2
FN ,max A
≤ [σ ]
[ FNAB ] = 21.7 ×10 mm ×120MPa == 260kN [ FNAC ] = 25.48×102 mm2 ×120MPa = 306kN
π 2 FN , AC d A= ≥ [σ t ] 4
d≥
15
4 ⋅ FN, AC π [σ t ]
4 × 90 ×103 N = = 26.8 mm π ×160MPa
d = 26mm
连接件的强度计算
连接构件用的螺栓、销钉、 连接构件用的螺栓、销钉、焊接等 这些连接件，不仅受剪切作用，而且同时 这些连接件，不仅受剪切作用， 还伴随着挤压作用。 还伴随着挤压作用。
轴向拉( 轴向拉(压)时横截面上的应力 一、应力的概念
内力在一点处的集度称为应力，反应了 内力在一点处的集度称为应力， 应力 内力在截面上的分布情况。 内力在截面上的分布情况。
工程力学第六章杆件与结构的内力计算
M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
MA
FA
A
MA
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
M C Fl MC Fl
M C 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
1.剪力、弯矩方程：
FS FS (x) M M (x)
F
拉杆
FF
F
压杆
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
物体在受到外力作用而变形时，其内部各 质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质 点间相互作用的力也发生了改变。相互作用力 由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是 附加内力，简称内力。
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定
性问题的基础。
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
B
l
FA
FB
由对称性知： ql
FA FB 2
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
ql / 2
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
M
ql2 / 8
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
例题 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该
杆件轴向拉伸与压缩_图文
极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而 不能安全工作时的最小应力值，即材料丧失工作能力时的应力，以符号 σu表示，其值由实验确定。
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
B
D C
FP
图所示连接螺栓，内径d1＝15.3mm，被连接部分的总长度l＝ 54mm ， 拧 紧 时 螺 栓 AB 段 的 Δl=0.04mm ， 钢 的 弹 性 模 量 E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓 的横向变形。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
式中负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。
【例题6-1】如图所示之变截面直杆，已知：ADEB段杆的横截面 面积 AAB=10·102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5*102mm2； FP=60KN；铜的弹性模量EC=100MPa，钢的弹性量 EC=210MPa ； 各段长度如图，单位为mm。试求：
FP
FP
l l1 杆件的伸长量： l l1 l
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
实验表明：对于由结构钢等材料制成的拉杆，当横截面上 的σ≤σp时，不仅变形是弹性的，且存在
l Pl A
引入比例常数E，得到
l Pl FNl EA EA
胡克定律
E：弹性模量，材料拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，实验测定
其值为Fmax。取AC为研究对象，在不计杆件自重及连接处的摩擦时
，受力分析如图 所示。
根据平衡方程
ΣMC=0， Fmax sin AC W AC 0
解得
Fmax
W
s in
由三角形ABC求出
sin BC 0.8 0.388
AB 0.82 1.92
故有
Fmax
Байду номын сангаас
W
sin
15 0.388
38.7 kN
的最大载荷？ B
D C
FP
图所示连接螺栓，内径d1＝15.3mm，被连接部分的总长度l＝ 54mm ， 拧 紧 时 螺 栓 AB 段 的 Δl=0.04mm ， 钢 的 弹 性 模 量 E=200GPa，泊松比μ=0.3。试求螺栓横截面上的正应力及螺栓 的横向变形。
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
式中负号表示：纵向伸长时横向缩短；纵向缩短时则横向伸长。
【例题6-1】如图所示之变截面直杆，已知：ADEB段杆的横截面 面积 AAB=10·102mm2，BC段杆的横截面面积ABC=5*102mm2； FP=60KN；铜的弹性模量EC=100MPa，钢的弹性量 EC=210MPa ； 各段长度如图，单位为mm。试求：
FP
FP
l l1 杆件的伸长量： l l1 l
工程力学 第6章 拉压杆件的应力变形分析与强度设计
实验表明：对于由结构钢等材料制成的拉杆，当横截面上 的σ≤σp时，不仅变形是弹性的，且存在
l Pl A
引入比例常数E，得到
l Pl FNl EA EA
胡克定律
E：弹性模量，材料拉伸或压缩时抵抗弹性变形的能力，实验测定
其值为Fmax。取AC为研究对象，在不计杆件自重及连接处的摩擦时
，受力分析如图 所示。
根据平衡方程
ΣMC=0， Fmax sin AC W AC 0
解得
Fmax
W
s in
由三角形ABC求出
sin BC 0.8 0.388
AB 0.82 1.92
故有
Fmax
Байду номын сангаас
W
sin
15 0.388
38.7 kN
的最大载荷？ B
第六章轴向拉(压)杆及受扭杆的内力计算
轴向拉伸和压缩
构件中的内力随着变形的增加而增加大，但对于确定
的材料，内力的增加有一定的限度，超过这一限度，构件
将发生破坏。 因此，内力与构件的强度和刚度都有密切的联系。在 研究构件的强度、刚度等问题时，必须知道构件在外力作 用下某截面上的内力值。
轴向拉伸和压缩
二、求内力的基本方法——截面法
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 截面法的基本步骤： （1）截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件 一分为二。 （2）代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用， 用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 （3）平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已 知外力来计算杆在截开面上的未知内力。
轴向拉伸和压缩
例1
3 A 3
试求等直杆指定截面的轴力。
30kN
B 2 20kN 2 C FN 1 1 1 D 于1-1截面处 将杆截开，取右 段为分离体，设 轴力 为正值。 则 20kN
20kN
D
∑Fx= 0 FN1 + 20 = 0 FN1= -20kN
轴向拉伸和压缩
3 30kN A 3 B FN 2
或
-
泊松比μ是一个无单位的量。它的值与材料有关，可由 实验测出。
轴向拉伸和压缩
三、胡克定律
当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）
时
FN l l A
引进比例常数E
FN l l EA
——胡克定律。
E称为材料的弹性模量，可由实验测出。量纲与应力相同。 从式可推断出：对于长度相同，轴力相同的杆件，分母 EA越大，杆的纵向变形△l就越小，可见EA反映了杆件抵抗 拉（压）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。
第六章 杆件的内力与内力图
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
FP1=2.5kN A FP1=2.5kN 1 FP2=4kN C FN1 2 FP3=1.5kN
1
2
B
x
Σ X = 0 → FN1 - FP1 = 0
FP1=2.5kN FP2=4kN
FN1=2.5kN
FN2
Σ X = 0 → FN 2 + FP 2 - FP1 = 0
适用于求桁架中某些指定杆件的内力
求 解 要 点
例6-4 试求图中桁架中杆1和杆2的轴力。
Ⅰ Ⅱ
4m 2 1 A Ⅰ 8kN 16kN Ⅱ 16kN 4x3m 16kN FN1 A 8kN 8kN 16kN
B
Σ Fy = 0 FN 1 = -8kN
FN2 B 8kN 16kN
Σ Fy = 0 FN 2 5 = ´ 8kN = 10kN 4
FN2=-1.5kN
6-1-2 轴力图
表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为 轴力图（diagram of normal force）。
A
1 B 1Fp2
2 C 2 Fp3
Fp1
Fp1
FN1 FN2 Fp2 FN3
已知Fp1=6kN；Fp2=18kN； Fp3=8kN；Fp4=4kN;试画出 Fp4 图示杆件的轴力图。 3 解：1、计算各段的轴力。 Σ Fx = 0 AB段 FN1 = Fp1 = 6kN
例传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA= 36KW，从动轮B、 C、D输出功率分别为 PB= PC =11KW ， PD= 14KW，转速 n = 300r/min。试作该轴的扭矩图。
MeC MeA MeD
先计算外力偶矩
PA 1146 N m n P M eB M eC 9549 B 350 N m n P M eD 9549 D 446 N m n M eA 9549
工程力学-第六章-轴向拉伸与压缩
σ b ，且较小
算例：
解：（1）求试样横截面上的正应力 （2）根据胡克定律求弹性模量 （3）根据
F σ= A
σ = Eε
Δd ε′ = d
ε ′ = − vε
Δl ε= l
求泊松比
4．金属材料在压缩时的力学性能
4.1 低碳钢压缩时的 σ − ε 曲线
(1) E,
σ s 与 拉伸时大致相同。
压缩
(2) 因越压越扁，名义压应力将 远远偏离实际压应力，最后也得 不到强度极限
= 0.2% 时的应力规定为
3.2 灰口铸铁
（ 1 ）应力应变关系近似服从胡克定 律，没有屈服、强化和局部变形阶段 （2）伸长率很小，是脆性材料
脆性材料：
δ < 2 % ~ %5
−ε
（3）脆性材料的弹性模量 工程上取总应变为 0.1% 时的 σ 曲线的割线斜率为弹性模量。 （4）脆性材料的强度指标只有
FN 1 50 kN σI = = = −0.87 MPa 2 A1 0.24 × 0.24 m
FN 2 − 150 kN σ II = = = −1.1 MPa 2 A2 0.37 × 0.37 m
柱子的最大工作应力在柱子的下段，为1.1MPa的压应力
§6-4 拉（压）杆的变形、胡克定律
1．应变的基本概念 线变形：受力物体变形时，两点间距离的改变量
σe
应力应变特征值 汇总：
1、应力特征值
屈服极限 σ s (σ y ) 强度极限 σ b
其中 σ e , σ s , σ b 为强度指标 2、应变特征值（塑性指标）
比例极限 σ P 弹性极限 σ e
伸长率 断面收缩率
2.3 材料的卸载规律和冷作硬化 卸载规律:
轴向拉压杆及受扭杆的内力计算
例 6－ 2FLeabharlann FN1-1 FN2-2a)
b)
d)
c) FN3-3 图 6-8 e)
第三节 受扭杆的内力及扭矩图
同轴向拉压一样，研究圆轴扭转的强度和刚度问题，首先得讨论圆轴扭 转的内力，显然，扭转的内力与圆轴受到的外力偶有关。 一、外力偶的计算 在工程中的传动轴常常并不直接给出外力偶，而是给出轴的转速n和所传 递功率N。根据运动力学的知识可以导出功率、转速、力偶之间的关 系如下： P (6-1) T 9549
此处计算出的轴力是负的，说明图6-7b中 假设反了，即应该是压力。 (2)求2-2截面上的轴力。从2-2截面处假 想地将杆截开，取左段为研究对象，受力如 图6-7c所示。由平衡条件得 FN 22 10 16 0 ∑Fx＝0
10kN A
FN 22 16 10 6kN(拉力)
用截面法，可求出任意截面的轴力。很容易得出：AB段内各 截面的轴与FN1-1相等，BC段内各截面的轴力同FN2-2相等。
二、截面法
研究内力的方法是截面法。内力是“隐藏”在物体内部的，如果假想地 用一个截面把物体“切开”，把物体分成两部分，“切开”处物体的 内力就暴露出来了。就可以取其中的某一部分来研究。 具体方法是：要计算某个横截面上的内力，就假想地从该截面处将杆件 切为两段。 任取一段为研究对象，在所有外力和切开截面上的内力共同作用下，该 段处于平衡状态，进而通过平衡方程求出杆件的内力。
解：(1)求1-1截面上的轴力。从1-1截面处 假想地将杆切开，取左段为研究对象，受 力如图6-7b所示。由平衡条件得 10 FN11 0 ∑Fx＝0
例 6－ 1
10kN A 10kN
16kN B FN1-1 16kN B 图 6-7 FN2-2 C
工程力学第六章：轴向拉压
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部 分而言是外力）。
3.应力
1）概念：内力在截面上的分布集度。 2）表达式 微面△A上的内力之和为△F，则
F p A
F1
△A
△F
局部点的应力：
p lim F dF A0 A dA
细长杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。
1. 强度问题
强度破坏动画演示
2.刚度问题
齿轮轴刚度变形大，影响工件的加工精度。
桥式吊梁弹性变形过大将造成 车子移动困难。
齿轮轴变形过大造成齿轮和轴 承的不均匀磨损，引起噪声。
3.稳定性问题
动 画 演 示
二、变形体的基本假设 对可变形固体做成的构件进行强度、刚度、稳定性计算时，常 略去其次要性质，根据主要性质作出一系列假设。 1. 连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，无空隙。
轴线
轴线：由各横截面形心构成的连线。 （直杆、曲杆）
横截面
横截面与轴线相互垂直
3. 工程构件受力模型
动画演示
轴向拉压
扭转
剪切 动画演示
弯曲
动 画 演 示
除了上述四种基本变形，工程上常见的还有拉弯、压弯、弯扭等组合变形。
四、内力与应力的概念 1. 内力
构件受到外力作用而变形时，其内部各部分之间的相互作用
工作。这些都会使构件或结构失去承受载荷的能力。
工程上破坏实例
上海工地塔吊折断 泰国皇家大饭店倒塌 美 国 州 际 大 桥 断 裂 汽车碰撞试验
构件的承载能力包括三个方面： ◎强度： 杆件在外载荷作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。 ◎刚度： 杆件在外载荷作用下，抵抗过度弹性变形的能力。
轴向拉伸和压缩
2、横向变形
△b=b1－b
b1 b
Db b
横向线应变
泊松比
图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件 的轴向变形△L，B点的位移δB和C点的 位移δC
F A
F
B DLAB
C
FL EA
B
L
L
FL C B EA
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆， B点受荷载F作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位 移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
F
A B
C
l
l 2
一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一半为钢，另 一半为铝，则两段的（ B ）。 A.应力相同，变形相同；B.应力相同，变形不同； C.应力不同，变形相同；D.应力不同，变形不同。
6.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能
力学性能———指材料受力时在强度和变形方面表现
出来的性能。
塑性变形 变形 弹性变形
20kN E
18kN 4m 4m
30
O
FNCD
CFNBCFra bibliotek BC
FNBC ABC
A
1m
CD
B
FNCD ACD
(轴向接触问题）左端固定的等直杆，长度和拉（压）刚 度分别为l和EA，右端作用一轴向拉力F，杆伸长δ后，右 端与支撑刚性接触，然后，外力F继续加大。设杆件始终 在线弹性范围内工作，试分析外力F的施加过程中杆件轴 力FN的变化。
a
F D
FNAB B C
a
a
计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。 已知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。
第六章工程力学之拉伸与收缩案例
如图6-7（a）所示等直杆，为了观察变形，加载前在直杆 表面画出表示横截面外轮廓线的横向线ab、cd，与轴线平行 的纵向线qr、st。然后，在直杆两端施加一对大小相等、方 向相反的轴向载荷P，使杆产生轴向拉伸。观察轴向拉伸变 形，可以看到有以下两个特点。
•横向线ab、cd： 仍然为直线、与轴线垂直，间距增大。 •纵向线qr、st： 仍然为直线、与轴线平行，间距变小。
F N 2 P
（2） 如图 6-6（b）所示，用横坐标表示横截面的位置， 垂直于直杆轴线的纵坐标表示对应横截面上的轴力，得到的 图称为轴力图。可见，AB段各截面的轴力都为2P，BC段各 截面的轴力都为-P。
轴力图不仅可以直观地反映出各横截面轴力的大小，而 且还可以显示出各段是拉伸还是压缩。
三、轴向拉压杆横截面上的应力 1. 拉压杆的变形
例6-3 求图 6-4 中 2-2 截面上的内力。
解： （1） 用过 2-2 截面的平面假想地把杆切开，一分为二， 仍取左段为研究对象。
（2） 采用设正法，设2-2截面的轴力为FN2，列平衡方程
2P 3P FN 2 0 F N 2 P 得: FN2为负值，说明实际与所设方向相反，所设为拉，实际为 压。
X 0
FN 1 2P 0 FN 1 2P
由于FN1沿轴线方向，我们把FN1称为轴力。
小结： • 轴向拉压杆横截面上具有沿轴线方向的内力，称之为轴力。
• 通常规定，拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
• 用截面法求轴力时，采用设正法。即在不知道内力正负的 情况下，都先假设为正，如果结果为正，则内力是正的，如 果结果为负，则内力是负的。
FN A
该公式适用于横截面为任意形状的等截面拉压杆，对于图 6-10所示截面变化缓慢的变截面杆，只要外力合力与轴线重 合，该公式仍可以适用。 例6-5 一钢杆，横截面面积为A= 500 m m，所受外力如图611所示。试绘轴力图，并计算各段内横截面上的应力。 解：（1）将整个直杆分为等轴力的三段，用截面法求出每 一段上的轴力。 AB段： FN 1 60kN BC段： FN 2 60 80 20kN CD段： FN 3 30kN
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材料的机械性质通过试验测定，通常为常温 静载试验。试验方法应按照国家标准进行。
工程上常用的材料 典型代表
塑性材料：拉断时具有较大的塑性变形，
低碳钢、合金钢、铅、铝等。
脆性材料：拉断时塑性变形很小，
铸铁、砖、混凝土等。
一、材料在拉伸时的力学性能
典型代表
标准试件
为了便于比较不同 材料的试验结果
圆形截面标准试件：
第六章 轴向拉伸和压缩
•第一节 轴向拉伸和压缩时的内力 •第二节 杆件在轴向拉伸和压缩时的应力 •第三节 拉（压）杆的变形 ·胡克定律 •第四节 材料在拉伸和压缩时的力学性能 •第五节 轴向拉(压)杆的强度条件及其应用 •第六节 应力集中的概念
§6-1 轴向拉伸和压缩时的内力
一、 轴向拉伸和压缩的概念
6
4
4
+
B
-
C
D
4
4
例6-2 试画出图示阶梯柱的轴力图。F=40kN
F A
解： 1）用截面法求各段柱的轴力
AB段：
F
F 3m
AF
Fy = 0
B
N1 40 = 0
N1 4m
N1 = 40kБайду номын сангаасN(压 ）
C
F A
BC段：
F
F
B
N2
Fy = 0
N2 3F = 0 N2 = 120k N(压）
2）作轴力图
（2）轴力图中：横坐标轴表示各横截面位置，纵坐 标表示各横截面上轴力大小。将各截面上的轴力按一 定比例画在坐标系中并连线，标出轴力值及正负号（ 正值画上方，负值画下方）。
（3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力 大小。
例6-1 一直杆受轴向外力作用如图所示，用截面
法求各段杆的轴力，并画轴力图。
k
斜截面上的总应力:
Pa
=
Na Aa
=
N Aa
=
P cos a
A
= cos a
斜截面上的正应力和切应力
a = pa cosa = cos2 a a
ta
=
pa
sin a
= sin a cosa
= sin 2a
2
Na
a
a
pa
ta
斜截面上的正应力和切应力
a = cos2 a
ta
=
2
sin
2a
常用材料的E、 μ值
材料名称
碳
钢
合金钢
灰口铸铁
混凝土
木 材（顺纹）
E (103MPa ) 196-206 194-206 113-157 15.2-35.8 9.8-11.8
μ
0.24-0.28 0.25-0.3 0.23-0.27 0.16-0.18 0.539
三、虎克定律
实验表明，在比例极限内，杆的 轴向变形Δl与外力P及杆长l成正比，与 横截面积A成反比。即：
4、低碳钢
共同之处: 断裂破坏前经历较大
的塑性变形； 不同之处：
有的没有明显的四个 阶段，没有屈服阶段。
名义屈服极限 0.2
对于没有明显的屈服 阶段的塑性材料，工 程上将塑性应变为0.2 % 时对应的应力定义为 名义屈服极限，用0.2 表示，作为衡量无明显 屈服阶段的材料强度的 指标。
2. 脆性材料
一、轴拉（压）杆横截面上的应力 二、拉压杆斜截面上的应力
一、轴拉（压）杆横截面上的应力
1
F
1
1
1
F
N
2
2 2
2 N
横截面----是指垂直杆件
轴线方向的截面；
轴向拉伸时，杆件横截 面上各点处只产生正应 力，且大小相等。
F 假设：
① 平面假设
变形前为平面的 F 横截面，变形后
仍保持为平面,而 且仍垂直于轴线。
l Pl A
引入比例常数E，有：
l = Pl = Nl EA EA
----虎克定律
其中：E----弹性模量，单位为Pa; P70 表6-1
EA----杆的抗拉（压）刚度。
虎克定律的另一形式：
= E
=
E
表明：当杆件应力不超过某一极限
（ p ）时，应力与应变成正比。
例6-6
为测定钢材的E值，将钢材加工成直径 d=10mm的试件,放在实验机上拉伸，当 P=15kN时，测得纵向线应变ε=0.00096, 求钢材的弹性模量。
A
d
L
标距： 矩形截面试件：
l = 10d (长 试 件 ） l = 5d（ 短 试 件 ）
b
h
A
L
标距： l = 11.3 A
l = 5.65 A
（一）低碳钢的拉伸试验 1.拉伸图、应力应变曲线
拉伸图：以拉力P为纵坐标，纵向伸长Δl为 横坐标，按一定比例绘制成的曲线。
P
O
拉伸图
Δl
应力—应变曲线（ 曲线）：将拉伸图中纵坐标除
（4 ）颈缩阶段(de段) 衡量强度的两个重要指标：σs 、σb
3.塑性指标 (1)延伸率 = l1 l 100%
l
l1----试件拉断后的长度
≥5%—塑性材料 ＜5%—脆性材料
(2)截面收缩率
=
A
A1
A1----试件拉断后断口处
100%
4.冷作硬化现象 A σ
的最小横截面面积
如对试件预先加载，使
② 横截面上各点处 变形相同。
正应力在横截面 上均匀分布
正应力公式 = N
说明
A
N： 横 截 面 上 的 轴 力
A：
横
截面
面
积
此公式对受压的情况也成立；
正应力的正负号规定：
x
x x
x
拉应力为正，
压应力为负。
小结：轴向拉伸（或压缩）时，杆件横截面上
各点处只产生正应力，且大小相等，
拉应力为正，压应力为负。
以A，用σ表示；再将横坐标除以l，用ε表示，这样
得到的图形称为应力—应变曲线。
P
σ
O
拉伸图
O
Δl
σ—ε图
2.拉伸过程的四个阶段 σ
c
σs σσep
ab 屈服阶段
线弹性阶段
O
应力-应变（σ-ε）图
σs是衡量材料强度
的重要指标
（1 ）弹性阶段(ob段)
a点的应力:σe
直线斜率: E = tana
= E
= 1.17mm
3.求柱顶面A的位移。
L = 2lAB lBC = 1.86mm(向下）
例 图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E， 6-8 试计算D点的位移。
分析：解题的关键是先准确计算出每段杆的轴力，然后 计算出每段杆的变形，再将各段杆的变形相加即可得出D 点的位移。这里要注意位移的正负号应与坐标方向相对应。
解： 1）用截面法求各段杆 横截面上的轴力
切取
AB段： Fx = 0
代替
N1 6 = 0
平衡
N1 = 6k N(拉 ）
切取 代替 平衡
BC段：
Fx = 0
CD段：
N2 10 6 = 0
N2 = 4kN(压)
Fx = 0 4 N3 = 0 N3 = 4kN
2）画轴力图
N
6
(kN)
+
A
AB段：N1=6kN（拉） BC段：N2=- 4kN（压） CD段：N3=4kN（拉）
解：
=
N A
=
P A
=
15 103
1 102
=
191.08MPa
4
= E
E=
=
191.08 0.00096
=
1.99
105
MPa
例6-7 图示为正方形截面砖柱，上段柱边长为
240mm,下段边长为370mm。F=40kN， 不计自重，E = 0.03 105 MPa ,求砖柱顶面 A的位移。
N2= 100kN
2）作轴力图
平
衡
3） | N|max=100kN
N 图（kN） 100
例6-4 作图示杆件的轴力图
轴向拉伸和压缩
1 60kN
2 40kN
3 30kN
50kN
1 A
B2 C D 3
E
60 50
+ 20
N1 = 0 N2 = 60kN N3 = 50kN
N 图（kN）
§6-2 杆件在轴向拉伸和压缩时的应力
解：
P
3P
3P x1.截面法求轴力，画轴力图。
A
a
B
a
C
a
D
2.求各段杆的变形。
图5-1
N
l AB
=
Pa EA
-
P
3P
l BC = 0
lCD
=
3Pa EA
§6-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
材料的力学性能：材料在外力作用下表现 出的
变形、破坏等方面的特性称 材料的力学性能，也称 机械性能。
研究材料的力学性能的目的是确定材料的 一些重要性能指标，以作为计算材料强度、 刚 度和选用材料的依据。
其达到强化阶段，然后卸载； 当再加载时试件的线弹性阶
冷作硬化
段将增加，而其塑性降低。
O
----称为冷作硬化现象
应力-应变（σ-ε）图
（二）其它材料拉伸时的力学性能
1.其他塑性材料
1、锰钢
(MPa)
900
800
1
700
600 2
500
3 400
300
200
100 (%)
0 10 20 30
工程上常用的材料 典型代表
塑性材料：拉断时具有较大的塑性变形，
低碳钢、合金钢、铅、铝等。
脆性材料：拉断时塑性变形很小，
铸铁、砖、混凝土等。
一、材料在拉伸时的力学性能
典型代表
标准试件
为了便于比较不同 材料的试验结果
圆形截面标准试件：
第六章 轴向拉伸和压缩
•第一节 轴向拉伸和压缩时的内力 •第二节 杆件在轴向拉伸和压缩时的应力 •第三节 拉（压）杆的变形 ·胡克定律 •第四节 材料在拉伸和压缩时的力学性能 •第五节 轴向拉(压)杆的强度条件及其应用 •第六节 应力集中的概念
§6-1 轴向拉伸和压缩时的内力
一、 轴向拉伸和压缩的概念
6
4
4
+
B
-
C
D
4
4
例6-2 试画出图示阶梯柱的轴力图。F=40kN
F A
解： 1）用截面法求各段柱的轴力
AB段：
F
F 3m
AF
Fy = 0
B
N1 40 = 0
N1 4m
N1 = 40kБайду номын сангаасN(压 ）
C
F A
BC段：
F
F
B
N2
Fy = 0
N2 3F = 0 N2 = 120k N(压）
2）作轴力图
（2）轴力图中：横坐标轴表示各横截面位置，纵坐 标表示各横截面上轴力大小。将各截面上的轴力按一 定比例画在坐标系中并连线，标出轴力值及正负号（ 正值画上方，负值画下方）。
（3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力 大小。
例6-1 一直杆受轴向外力作用如图所示，用截面
法求各段杆的轴力，并画轴力图。
k
斜截面上的总应力:
Pa
=
Na Aa
=
N Aa
=
P cos a
A
= cos a
斜截面上的正应力和切应力
a = pa cosa = cos2 a a
ta
=
pa
sin a
= sin a cosa
= sin 2a
2
Na
a
a
pa
ta
斜截面上的正应力和切应力
a = cos2 a
ta
=
2
sin
2a
常用材料的E、 μ值
材料名称
碳
钢
合金钢
灰口铸铁
混凝土
木 材（顺纹）
E (103MPa ) 196-206 194-206 113-157 15.2-35.8 9.8-11.8
μ
0.24-0.28 0.25-0.3 0.23-0.27 0.16-0.18 0.539
三、虎克定律
实验表明，在比例极限内，杆的 轴向变形Δl与外力P及杆长l成正比，与 横截面积A成反比。即：
4、低碳钢
共同之处: 断裂破坏前经历较大
的塑性变形； 不同之处：
有的没有明显的四个 阶段，没有屈服阶段。
名义屈服极限 0.2
对于没有明显的屈服 阶段的塑性材料，工 程上将塑性应变为0.2 % 时对应的应力定义为 名义屈服极限，用0.2 表示，作为衡量无明显 屈服阶段的材料强度的 指标。
2. 脆性材料
一、轴拉（压）杆横截面上的应力 二、拉压杆斜截面上的应力
一、轴拉（压）杆横截面上的应力
1
F
1
1
1
F
N
2
2 2
2 N
横截面----是指垂直杆件
轴线方向的截面；
轴向拉伸时，杆件横截 面上各点处只产生正应 力，且大小相等。
F 假设：
① 平面假设
变形前为平面的 F 横截面，变形后
仍保持为平面,而 且仍垂直于轴线。
l Pl A
引入比例常数E，有：
l = Pl = Nl EA EA
----虎克定律
其中：E----弹性模量，单位为Pa; P70 表6-1
EA----杆的抗拉（压）刚度。
虎克定律的另一形式：
= E
=
E
表明：当杆件应力不超过某一极限
（ p ）时，应力与应变成正比。
例6-6
为测定钢材的E值，将钢材加工成直径 d=10mm的试件,放在实验机上拉伸，当 P=15kN时，测得纵向线应变ε=0.00096, 求钢材的弹性模量。
A
d
L
标距： 矩形截面试件：
l = 10d (长 试 件 ） l = 5d（ 短 试 件 ）
b
h
A
L
标距： l = 11.3 A
l = 5.65 A
（一）低碳钢的拉伸试验 1.拉伸图、应力应变曲线
拉伸图：以拉力P为纵坐标，纵向伸长Δl为 横坐标，按一定比例绘制成的曲线。
P
O
拉伸图
Δl
应力—应变曲线（ 曲线）：将拉伸图中纵坐标除
（4 ）颈缩阶段(de段) 衡量强度的两个重要指标：σs 、σb
3.塑性指标 (1)延伸率 = l1 l 100%
l
l1----试件拉断后的长度
≥5%—塑性材料 ＜5%—脆性材料
(2)截面收缩率
=
A
A1
A1----试件拉断后断口处
100%
4.冷作硬化现象 A σ
的最小横截面面积
如对试件预先加载，使
② 横截面上各点处 变形相同。
正应力在横截面 上均匀分布
正应力公式 = N
说明
A
N： 横 截 面 上 的 轴 力
A：
横
截面
面
积
此公式对受压的情况也成立；
正应力的正负号规定：
x
x x
x
拉应力为正，
压应力为负。
小结：轴向拉伸（或压缩）时，杆件横截面上
各点处只产生正应力，且大小相等，
拉应力为正，压应力为负。
以A，用σ表示；再将横坐标除以l，用ε表示，这样
得到的图形称为应力—应变曲线。
P
σ
O
拉伸图
O
Δl
σ—ε图
2.拉伸过程的四个阶段 σ
c
σs σσep
ab 屈服阶段
线弹性阶段
O
应力-应变（σ-ε）图
σs是衡量材料强度
的重要指标
（1 ）弹性阶段(ob段)
a点的应力:σe
直线斜率: E = tana
= E
= 1.17mm
3.求柱顶面A的位移。
L = 2lAB lBC = 1.86mm(向下）
例 图示等直杆的横截面积为A、弹性模量为E， 6-8 试计算D点的位移。
分析：解题的关键是先准确计算出每段杆的轴力，然后 计算出每段杆的变形，再将各段杆的变形相加即可得出D 点的位移。这里要注意位移的正负号应与坐标方向相对应。
解： 1）用截面法求各段杆 横截面上的轴力
切取
AB段： Fx = 0
代替
N1 6 = 0
平衡
N1 = 6k N(拉 ）
切取 代替 平衡
BC段：
Fx = 0
CD段：
N2 10 6 = 0
N2 = 4kN(压)
Fx = 0 4 N3 = 0 N3 = 4kN
2）画轴力图
N
6
(kN)
+
A
AB段：N1=6kN（拉） BC段：N2=- 4kN（压） CD段：N3=4kN（拉）
解：
=
N A
=
P A
=
15 103
1 102
=
191.08MPa
4
= E
E=
=
191.08 0.00096
=
1.99
105
MPa
例6-7 图示为正方形截面砖柱，上段柱边长为
240mm,下段边长为370mm。F=40kN， 不计自重，E = 0.03 105 MPa ,求砖柱顶面 A的位移。
N2= 100kN
2）作轴力图
平
衡
3） | N|max=100kN
N 图（kN） 100
例6-4 作图示杆件的轴力图
轴向拉伸和压缩
1 60kN
2 40kN
3 30kN
50kN
1 A
B2 C D 3
E
60 50
+ 20
N1 = 0 N2 = 60kN N3 = 50kN
N 图（kN）
§6-2 杆件在轴向拉伸和压缩时的应力
解：
P
3P
3P x1.截面法求轴力，画轴力图。
A
a
B
a
C
a
D
2.求各段杆的变形。
图5-1
N
l AB
=
Pa EA
-
P
3P
l BC = 0
lCD
=
3Pa EA
§6-4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
材料的力学性能：材料在外力作用下表现 出的
变形、破坏等方面的特性称 材料的力学性能，也称 机械性能。
研究材料的力学性能的目的是确定材料的 一些重要性能指标，以作为计算材料强度、 刚 度和选用材料的依据。
其达到强化阶段，然后卸载； 当再加载时试件的线弹性阶
冷作硬化
段将增加，而其塑性降低。
O
----称为冷作硬化现象
应力-应变（σ-ε）图
（二）其它材料拉伸时的力学性能
1.其他塑性材料
1、锰钢
(MPa)
900
800
1
700
600 2
500
3 400
300
200
100 (%)
0 10 20 30