08-14江苏高考真题汇编-压轴题(数列、函数)

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08-14江苏高考真题汇编-压轴题(数列、函数)

08-14江苏高考数列与函数一概述以08-14近六年高考的江苏真题为背景，研究数列与函数两个部分解答题的命题特点，解题思路，解答技巧。

二真题方法提炼1 数列（08）19．（1）设是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i ）当4n =时，求1a d的数值；（ii ）求n 的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，⋯n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．初等数论的简单应用（09）17．（本小题满分14分）设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+= （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项.简单的分离常数，整体法（10）19．（16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n S 是公差为d 的等差数列.①求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）②设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

求证：c 的最大值为29 基本不等式，初等数论的简单应用（12）20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}nb满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1n n nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．基本不等式与函数单调性的应用（13）19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n}是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2n n nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)；(2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.待定系数法求解（11）20、设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式（14）20.(本小题满分16分)设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H 数列”.(1)若数列的前n 项和(N ),证明: 是“H 数列”;(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H 数列”,求的值；(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H 数列”和，使得 (N )成立.}{n a n n S n m m n a S =}{n a }{n a n n S 2=∈n *}{n a }{n a 11=a 0<d }{n a d }{n a }{n b }{n c n n n c b a +=∈n *2 函数（08）20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若（1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；（2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为2b a -（闭区间[,]m n 的长度定义为n m -）用到不等式的知识利用图像进行讨论（09）20．(本小题满分16分)设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1) 若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2) 求()f x 的最小值；(3) 设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集. 利用图像分析求解（10）20.（16分）设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P .(1)设函数)(x f )1(12)(>+++=x x b x h ，其中b 为实数 ①求证：函数)(x f 具有性质)(b P②求函数)(x f 的单调区间(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ，给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围先讨论内容较少，较易拿分的深刻理解题目的含义，利用不等式的传递性，放缩的思想（12）18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．找特殊点，待定系数法求高次多项式的根利用图像找零点（11）19、已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；（2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值找特殊点，缩小范围（13）20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e x－ax，其中a为实数．(1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．常规方法先找较易求解的进行讨论，同时结合图像（14）19.(本小题满分16分)已知函数,其中e 是自然对数的底数.(1)证明:是R 上的偶函数；(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.x x x f -+=e e )()(x f x )(x mf 1e -+-m x ),0(+∞m a ),1[0+∞∈x )3()(0300x x a x f +-<1e -a 1e -a。

2008年高考数学(江苏卷)(含加试题)含答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式:样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ .【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒= 【答案】102．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】1123．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】14．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 ▲ 个元素【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37x x -<+得2560x x --<,(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z = ，共有6个元素．【答案】65．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b == ，则|5|a b -= ▲ ．【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+锥体体积公式13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π==22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -= 7【答案】76．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ 【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=【答案】6.428．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲ 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。

江苏高考数学压轴题

2008年江苏高考数学原创压轴题2008年将是不平静的一年，除了奥运会的举办等国际国内的大事以外，就数牵动千百万家庭的高考了，特别是江苏的高考，是进入新课程后的第一次高考，全新的课程标准、全新的教学方法、全新的高考模式、全新的录取形式，所以必然出现全新的高考命题模式.通过认真学习《高中数学课程标准》、《江苏省课程标准教学要求》等纲领性文件，反复研读了2005、2006、2007三年高考江苏卷的试卷评析报告,下面给出几个原创题，供高三师生参考，权当抛砖引玉.1.如果复数()()21m i mi ++是实数，则实数m=____________________.解： ()()21m i mi ++展开后，“原始项”共四项，但是我们并不关心实部项，虚部项为：21m mi i ⋅+⋅，只需310m +=即可，所以1m =-.【命题意图】考查复数的运算和相关基本概念的理解.过去复数在《选修Ⅱ》中，《选修Ⅰ》没有复数，所以，近几年江苏一直不讲复数，因此，复数成了新内容．2.设[]x 表示不大于x 的最大整数，集合{}2|2[]3A x x x =-=，1|288x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =I _________________. 解：不等式1288x <<的解为33x -<<，所以(3,3)B =-. 若x A B ∈I ，则22[]333x x x ⎧-=⎨-<<⎩，所以[]x 只可能取值3,2,1,0,1,2---. 若[]2x ≤-，则232[]0x x =+<，没有实数解；若[]1x =-，则21x =，解得1x =-；若[]0x =，则23x =，没有符合条件的解；若[]1x =，则25x =，没有符合条件的解；若[]2x =，则27x =，有一个符合条件的解x =因此，{A B =-I .【命题意图】此题是一元二次方程根分布问题，涉及指数不等式的解法，函数与方程思想，分类讨论思想等.数学的精华在于数学思想方法，思考问题的支撑点也是数学思想方法，只有理解了数学思想方法，才算真正学明白了数学.3.如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得 00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060，则塔高AB= _____ .解：由原解答得()tan sin 30tan 60sin 30156sin()sin 1530s AB θβαβ⋅===++o oo o （米）【命题意图】在2007年的课改区高考试题中，十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查，试题设计更加注意贴近生活实践.4.若关于,x y 的方程组22110ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有的解都是整数，则有序数对(),a b 的数目为 .解：因为2210x y +=的整数解为：()()()()()()()()1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1--------，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(),a b ，所以有序数对(),a b 的数目为32.【命题意图】本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征.是较难问题.5.若数列{a n }的通项公式a n ＝21(1)n +，记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1)f ，(2)f ，(3)f 的值，推测出()f n ＝．解：∵ ()()1213(1)2121211f a ⎡⎤=-=⨯-=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，122314(2)2(1)(1)1233f a a ⎛⎫=⨯--=-= ⎪⎝⎭，()3415(3)(2)113164f f a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴归纳猜想得2(1)n f n n +=+. 【命题意图】考查考生对归纳猜想和递推的理解和运用.此题涉及属探索性问题，考生可根据特殊情形归纳概括一般性结论.6.已知三个正数,,a b c 满足a b c <<.(1)若,,a b c 是从129,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭中任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率； (2)若,,a b c 是从(0,1)中任取的三个数，求,,a b c 能构成三角形三边长的概率.分析:在(1)中,,a b c 的取值是有限可数的，可用列举法解决；(2)中,,a b c 的取值是无穷的,得用几何概型的方法求解.解:(1)若,,a b c 能构成三角形，则4,10a b c c +>≥. ①若410c =时，32,1010b a ==.共1种； ②若510c =时.432,,101010b a ==.共2种；同理610c =时，有3+1=4种； 710c =时，有4+2=6种； 810c =时，有5+3+1=9种； 910c =时，有6+4+2=12种. 于是共有1+2+4+6+9+12=34种.下面求从129,,101010⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭中任取的三个数,,a b c (a b c <<)的种数： ①若110a =，210b =，则39,,1010c =⋅⋅⋅，有7种；349,,,101010b c ==⋅⋅⋅，有6种；410b =，59,,1010c =⋅⋅⋅，有5种；……； 89,1010b c ==，有1种. 故共有7+6+5+4+3+2+1=28种.同理，210a =时，有6+5+4+3+2+1=21种；310a =时，有5+4+3+2+1=15种；410a =时，有4+3+2+1=10种；510a =时，有3+2+1=6种；610a =时，有2+1=3种；710a =时，有1种. 这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种.∴,,a b c 能构成三角形的概率为34174824=. (2)a b c 、、能构成三角形的充要条件是0101a b c a b c c <<<<⎧⎪+>⎨⎪<<⎩.在坐标系aOb 内画出满足以上条件的区域(如右图阴影部分)，由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可.又12S =阴影，于是所要求的概率为112.12P == 【命题意图】统计、概率对于现代社会（经济发达）越来越显得重要，也是学生由确定性数学向不确定性（随机性）数学的一个转变，有着基本的重要性，考查是必然的．7.请认真阅读下列程序框图：已知程序框图(1)i i x f x =-中的函数关系式为42()1x f x x -=+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域，把此程序框图中所输出的数i x 组成一个数列{}n x .（理科考生请完成下列各题）（1）若输入04965x =，请写出数列{}n x 的所有项；（2）若输出的无穷数列{}n x 是一个常数列，试求输入的初始值0x 的值；（3）若输入一个正数0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：*n N ∀∈，都有1n n x x +<，试求正数0x 的取值范围.（文科考生请完成下列各题）（1）若输入04965x =，请写出输出的所有数i x ；（2）若输出的所有数i x 都相等，试求输入的初始值0x 的值.解：（1）当04965x =时，12349111111165191955x f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，所以输出的数列为1111195-，，…………………（3分）（2）数列{}n x 是一个常数列，则有120n x x x x ==⋅⋅⋅== 即000042()1x x f x x -==-，解得：0012x x ==或所以输入的初始值0x 为1或2时输出的为常数列.(3)由题意知 142()1n n n n n x x f x x x +-==>+，因00x >， 0n x ∴>，有： 421n n n x x x ->+得42(1)n n n x x x ->+ 即2320n n x x -+<，即(2)(1)0n n x x --<要使*n N ∀∈，都有1n n a a +>，须00(2)(1)0x x --<，解得：012x <<，所以当正数0x 在(1，2)内取值时，所输出的数列{}n x 对任意正整数n 满足1n n x x +<（文科）解：（1）当04965x =时，12349111111165191955x f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以输出的数为1111195-，，，要使输出的数i x 都相等，即11()i i i x f x x --== (2)此时有 100()x f x x ==，即00421x x -+=0x ，解得01x =或02x =，所以输入初始值01x =或02x =时，输出的数i x 均相等.【命题意图】算法思想可以贯穿于整个中学数学内容之中，有很丰富的层次递进的素材，而在算法的具体实现上又可以和信息技术相联系，因此，算法与函数，数列等知识的融合，有利于培养学生理性精神和实践能力，是实施探究性学习的良好素材.8.已知二次函数2(),f x ax bx c =++直线21:8l y t t =-+（其中t 为常数）；2:2=x l .若直线12,l l 与函数()f x 的图象以及1l ，y 轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（Ⅰ）求a 、b 、c 的值（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数()S t 的解析式；（Ⅲ）若,ln 6)(m x x g +=问是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.解：（I ）由图形知：2201880804164c a a b c b c ac b a⎧⎪==-⎧⎪⎪⎪⋅+⋅+==⎨⎨⎪⎪=-⎩⎪=⎪⎩,解之得：，∴函数()f x 的解析式为x x x f 8)(2+-= （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=x x y t t y 8822得2128(8)0,,8,x x t t x t x t ---=∴==-∵0≤t ≤2，∴直线l 1与()f x 的图象的交点坐标为（)8,2t t t +-由定积分的几何意义知：⎰⎰+--+-++--+-=102222]8()8[()]8()8[()(t dx t t x x dx x x t t t S 12223222088(8)()()(8)32032tx x x x t t x t t x ⎡⎤⎡⎤=-+--++-+--+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦34016103423+-+-=t t t （Ⅲ）令.ln 68)()()(2m x x x x f x g x ++-=-=ϕ因为x ＞0，要使函数()f x 与函数()g x 有且仅有2个不同的交点，则函数 m x x x x ++-=ln 68)(2ϕ的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点262862(1)(3)()28(0)x x x x x x x x x xϕ-+--'∴=-+==> 当x ∈（0，1）时，()0,()x x ϕϕ'>是增函数；当x ∈（1，3）时，()0,()x x ϕϕ'<是减函数当x ∈（3，+∞）时，()0,()x x ϕϕ'>是增函数当x=1或x=3时，()0x ϕ'=∴;7)1()(-=m x ϕϕ极大值为153ln 6)3()(-+=m x ϕϕ极小值为又因为当x →0时，-∞→)(x ϕ当+∞→+∞→)(x x ϕ时，所以要使0)(=x ϕ有且仅有两个不同的正根，必须且只须(1)0(3)0(3)0(1)0ϕϕϕϕ==⎧⎧⎨⎨'<>⎩⎩,或即706ln 31506ln 315070m m m m -=+-=⎧⎧⎨⎨+-<->⎩⎩,或， ∴m=7或.3ln 615-=m∴当m=7或.3ln 615-=m 时，函数()f x 与函数()g x 的图象有且只有两个不同交点.【命题意图】对江苏来说，与以往不同的是，增加了正弦、余弦、指数、对数的导数，还有积的导数，商的导数．对理科另外还有求形如)(b ax f +的复合函数导数以及定积分．高校教师熟悉微积分，历来是命题的热点（江苏2003年21题就很难），加上新增加许多函数的导数，2008年大题考导数，定积分的可能性极大．。

2008年江苏省高考数学试卷加详细解析

2008年江苏省高考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2008•江苏）若函数最小正周期为，则ω=_________．2．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是_________．3．（5分）（2008•江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=_________．4．（5分）（2008•江苏）若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有_________个元素．5．（5分）（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，，则=_________．6．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是_________．7．（5分）（2008•江苏）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：序号i 分组（睡眠时间）组中值（G i）频数（人数）频率（F i）1 [4，5） 4.5 6 0.122 [5，6） 5.5 10 0.203 [6，7） 6.5 20 0.404 [7，8）7.5 10 0.205 [8，9]8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为_________．8．（5分）（2008•江苏）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为_________．9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C （c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为，请你完成直线OF 的方程：_________．10．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为_________．11．（5分）（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是_________．12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a 为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为_________．13．（5分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是_________．14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=_________．二、解答题（共12小题，满分90分）15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求α+2β的值．16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．19．（15分）（2008•江苏）（1）设a1，a2，…，a n是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当n=4时，求的数值；（ii）求n的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，b n，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．20．（15分）（2008•江苏）已知函数，（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）21．（2008•江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED2=EB•EC．22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值．24．（2008•江苏）设a，b，c为正实数，求证：．25．（2008•江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记．当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．26．（2008•江苏）请先阅读：在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n（x∈R，正整数n≥2），证明：．（2）对于正整数n≥3，求证：（i）；（ii）；（iii）．2008年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：根据三角函数的周期公式，即T=可直接得到答案．解答：解：.故答案为：10点评：本小题考查三角函数的周期公式，即T=．2．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．解答：解析：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故．故填：．点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．3．（5分）考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．解答：解：．∵，∴a=0，b=1，因此a+b=1故答案为1点评：本小题考查复数的除法运算．4．（5分）考点：交集及其运算．分析：先化简集合A，即解一元二次不等式（x﹣1）2＜3x+7，再与Z求交集．解答：解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．故答案是6点评：本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．5．（5分）考点：向量的模．专题：计算题．分析：根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值．解答：解：由题意得，=，∴=7．故答案为：7．点评：本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“”进行求解．6．（5分）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），满足条件的事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．解答：解析：本小题是一个几何概型，∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积是42=16，满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×12根据几何概型概率公式得到∴故答案为：．点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．7．（5分）考点：频率分布表；工序流程图（即统筹图）．专题：图表型．分析：观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值，再结合直方图中数据即可求解．解答：解：由流程图知：S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08=6.42，故填：6.42．点评：本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．8．（5分）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．解答：解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．故答案为：ln2﹣1点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．9．（5分）考点：直线的一般式方程；归纳推理．专题：转化思想．分析：本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程为，分析A（0，a），B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF的方程为：．解答：解：由截距式可得直线AB：，直线CP：，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．故答案为：．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．10．（5分）考点：归纳推理；等比数列的前n项和．专题：压轴题；规律型．分析：观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．解答：解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．11．（5分）考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．12．（5分）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：抓住△OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解．解答：解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故，解得，故答案为．点评：本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．13．（5分）考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；压轴题．分析：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．解答：解：设BC=x，则AC=x，根据面积公式得S△ABC=AB•BCsinB=×2x，根据余弦定理得cosB===，代入上式得S△ABC=x=，由三角形三边关系有，解得2﹣2＜x＜2+2．故当x=2时，S△ABC取得最大值2．点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．14．（5分）考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x ＜0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．解答：解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；当x＜0即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：4点评：本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．二、解答题（共12小题，满分90分）15．（15分）考点：两角和与差的正切函数．分析：（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；最后利用tan（α+β）=解之．（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．解答：解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因为α为锐角，则sinα＞0，从而同理可得，因此．所以tan（α+β）=；（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，又，故，所以由tan（α+2β）=﹣1得．点评：本题主要考查正切的和角公式与转化思想．16．（15分）考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．解答：证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．17．（15分）考点：在实际问题中建立三角函数模型．分析：（1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．解答：解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则，故，又OP=10﹣10tanθ，所以，所求函数关系式为②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，令y′=0得sin，因为，所以θ=，当时，y′＜0，y是θ的减函数；当时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处．点评：本小题主要考查函数最值的应用．①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．18．（15分）考点：二次函数的图象；圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标．解答：解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．（3）圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0=0，解得经检验知，（﹣2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．点评：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．19．（15分）考点：等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．专题：探究型；分类讨论；反证法．分析：（1）根据题意，对n=4，n=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况．（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．解答：解：（1）①当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0．若删去a2，则a32=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得a1+4d=0，得若删去a3，则a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得综上，得或．②当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项．若删去a3，则a1•a5=a2•a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）•（a1+3d）化简得3d2=0，因为d≠0，所以a3不能删去；当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，a n﹣2，a n﹣1，a n中，由于不能删去首项或末项，若删去a2，则必有a1•a n=a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；同样若删去a n﹣1也有a1•a n=a3•a n﹣2，这与d≠0矛盾；若删去a3，，a n﹣2中任意一个，则必有a1•a n=a2•a n﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）综上所述，n=4．（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，b n，其中b x+1，b y+1，b z+1（0≤x＜y ＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则b2y+1=b x+1•b z+1，即（b1+yd）2=（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2﹣xz）d2=（x+z﹣2y）b1d（*）由b1d≠0知，y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾．故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数．于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．例如n项数列1，，，，满足要求．点评：本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．20．（15分）考点：指数函数综合题．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f2（x）对所有实数x成立等价于，即对所有实数x均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数x均成立等价于，即|p1﹣p2|≤log32，（2）分两种情形讨论：①当|p1﹣p2|≤log32时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p1﹣p2|＞log32时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．解答：解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于，即对所有实数x均成立．（*）由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|，故（*）等价于，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i）当|p1﹣p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]）则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知，再由的单调性可知，函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度为（参见示意图）（ii）|p1﹣p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，，则p2﹣p1＞log32，于是当x≤p1时，有，从而f（x）=f1（x）；当x≥p2时，有从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，，及，由方程解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为（1）显然，这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b ﹣p2），由于f（a）=f（b），即，得p1+p2=a+b+log32（2）故由（1）、（2）得综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为．点评：考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法．21．（2008•江苏）考点：与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．分析：根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得．解答：证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，所以∠CAE=∠CBA．又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．又EA2=EC•EB，所以ED2=EB•EC．点评：此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB和EC的乘积．考点：圆的标准方程；矩阵变换的性质．专题：计算题．分析：由题意先设椭圆上任意一点P（x0，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x0′，y0′），得到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简．解答：解：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，则点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x0′，y0′）则有，即，所以又因为点P在椭圆上，故4x02+y02=1，从而（x0′）2+（y0′）2=1所以，曲线F的方程是x2+y2=1点评：本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．23．（2008•江苏）考点：椭圆的参数方程．专题：计算题；转化思想．分析：先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求．解答：解：因椭圆的参数方程为（ϕ为参数）故可设动点P的坐标为，其中0≤ϕ＜2π．因此所以，当时，S取最大值2．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．24．（2008•江苏）考点：平均值不等式；不等式的证明．专题：证明题．分析：先根据平均值不等式证明，再证．解答：证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得，即，所以，，而，所以，点评：本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：计算题；压轴题．分析：由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于，即，再将用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可解答：解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）由，得，所以显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于，则等价于即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得因此，λ的取值范围是点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．26．（2008•江苏）请先阅读：考点：微积分基本定理；二项式定理；类比推理．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．（2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证．（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．解答：证明：（1）在等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2++C n n x n两边对x求导得n（1+x）n﹣1=C n1+2C n2x++（n﹣1）C n n n x n﹣1﹣1x n﹣2+nCn移项得（*）（2）（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得所以（ii）由（1）知n（1+x）n﹣1=C n1+2C n2x+…+（n﹣1）C n n﹣1x n﹣2+nC n n x n﹣1，n≥3 两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2C n2+3•2C n3x+…+n（n﹣1）C n n x n﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2C n2+3•2C n3（﹣1）+…+n（n﹣1）C n2（﹣1）n﹣2即，亦即（1）又由（i）知（2）由（1）+（2）得（iii）将等式（1+x）n=C n0+C n1x+C n2x2+…+C n n x n两边在[0，1]上对x积分由微积分基本定理，得所以点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．。

2008－2014年江苏高考数列题综合分析

2008－2014年江苏高考数列题综合分析吕剑【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】3页(P48-50)【作者】吕剑【作者单位】苏州大学数学科学学院 215006【正文语种】中文数列是高中数学的重要内容，自《普通高中数学课程标准(实验)》实施以来，江苏2008年至2014年高考对数列的考察分数占总分的比值稳定在13.125%(2009年11.875%)，《2014年江苏省高考说明(数学科)》中8个最高等级“C级”(掌握层次)要求中数列就占了2个，其难度水平不言而喻．问题的解决依赖于思想方法的指导和关键点突破，因此本文综合分析江苏近7年里高考试题中的数列部分，力求归纳呈现高考数列解题的一般思路和需要重点关注的地方，并结合教学现状给出建议，以期抛砖引玉．虽然江苏高考把数列列入最高等级的要求，但不妨碍其对基本概念和基本公式的考查，能力考查当以基础考查为先．在等差(或等比)数列的题目中，都是以首项和公差(或公比)这两个量为基础，从而展开一系列的研究．实际运用中，亦可以条件中给定的项取代首项．求解这两个基本量常运用方程的思想，即将问题中的已知和未知之间的数量关系转化为方程或方程组，通过解方程或方程组，使问题得到解决．例1 (2014年江苏高考第7题)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是________．分析设公比为q，因为a2=1，由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2(q>0)，解得q2=2，所以a6=a2q4=4．点评本题也可以用a1和q来联立方程组求解，但增加了求解难度，所以要注意利用给定项a2．在复杂数列问题中，运用方程的思想求解这两个基本量往往最有效，遇到此类情况，要能迅速反应出来，如2013年江苏高考第14题和2009年江苏高考第17题．等差(或等比)数列{an}的通项公式an和前n 项求和公式Sn能相互推导，要能够认识到这两个公式的依赖关系．这里也就是要有转化的思想，已知其中一个可以转化得到另外一个．例2 (2014年江苏高考第20题)设数列{an}的前n 项和为Sn．若对任意正整数n ，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；(2)设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d<0，若{an}是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn (n∈N*)成立．分析 (1) 首项a1=S1=2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，所以所以对任意的n∈N*，Sn=2n，存在m=n+1使得am=2m-1=2n，即Sn=am，因此数列{an}是“H数列”．(2)(3)略．点评本题已知求和公式Sn，在求通项公式an时要注意分类年江苏高考第19题的第(1)问也属于此类型．若题目中给出的是求和公式之间的数量关系，要注意寻求并建立与通项公式之间的联系．例3 (2011年江苏高考第20题)设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn．已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立．(1)设M = {1}，a2=2，求a5的值；(2)设M={3,4}，求数列{an}的通项公式．分析 (1)由题设知，当n≥2时，Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)，即(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1，所以an+1-an=2a1=2．所以当n≥2时，an=2+2(n-2)=2n-2．因此a5=8．(2)略．点评本题递推关系式中出现三项时要注意“两两组合”，转化为两项，再进一步求解问题．再比如“an+1=an+2an-1”可转化为“an+1+an=2(an+an-1) ”．数列题多为压轴题，对学生的思维层次有着较高的要求，把握高考题中常见的结构与模式，能迅速让学生掌握解数列题的技巧与方法．分析式子的结构，找出结论成立的条件，一般是必要条件，再进行逐一验证．若C=A+B(C， A均为奇数)，则B必为偶数；若C=A+B(C， A均为整数)，则B必为整数；若分式均为整数)是整数，则B是A的因子；若An2+Bn+C=0对一切n∈N*恒成立，则系数A=B=C=0；等差数列的通项公式是“An + B型”，前n 项和公式是“An2 + Bn型”．例4 (2009年江苏高考第17题)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n 项和，满足(1)求数列{an}的通项公式及前n 项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．分析 (1)设公差为d(d≠0)则(2)因为为数列{an}中的项，故为整数，又由(1)知am+2=2m-3为奇数，所以am+2=±1，即m=1, 2．检验：m=1时不符合；m=2时符合．所以m=2．点评结合已知条件分析、观察式子的结构是快速找到可能结果的关键所在．注意这里是“可能的结果”，千万要记住返回检验．看2014年江苏高考第20题的第(2)问(见例2)：由题意因为数列{an}是“H数列”，所以存在m∈N*，使即由于又m∈N*，则对一切正整数n都成立，所以d=±1．又已知d<0，故d=1，经检验符合要求．2013年江苏高考第19题的第(2)题也是从这方面出发而得以解决的．不等式本身在高中内容中占据重要地位，运用不等式的性质在数列问题中进行估计非常重要．例5 (2013年江苏高考第14题)在正项等比数列{an}中则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为．分析设公比q(q>0)，因为所以解得q=2，所以从而所以即而由得n(n-13)<-10，又n∈N*，所以1≤n≤12，代入(*)式检验得最大正整数n=12．点评欲直接解(*)式并不容易，采取的方法是对不等式进行放缩，即先解较大的范围2n-2>0，再返回验证．这里还用到一个小技巧，不必把n 的具体范围求出，化成n(n-13)<-10(n∈N*)，通过观察即可得答案．2012年江苏高考第20题和2010年江苏高考第19题均使用到不等式而平时训练中较少涉及此不等式，故应引起师生的关注．当问题过于抽象、不能直接找到解决方案时，可以先考虑问题的最简单形式．通常采取构造法，把基本情况研究好，再以此为基础寻求结果．例6 2014年江苏高考第20题第(3)问(见例2)．分析考虑dn = bn(b是常数)，则数列{dn}前n项和为是数列{dn}中的第项，因此{dn}是“H数列”．对任意的等差数列{an}，设an=a1+(n-1)d(d是公差)，取bn=a1n，cn=(d-a1)(n-1)，则an=bn+cn，且{bn}和{cn}都是“H数列”，证毕．点评基于问题，通过观察、联想，大胆猜想，再进行验证．2008年江苏高考第19题正是在“等差数列中，若有连续三项成等比数列，则该数列的公差为0”这样一个基本事实的基础上得以解决的．难题的解决需要从多方面进行把控，一般需要经历观察、猜想、验证与推理的过程．例7 (2012年江苏高考第20题)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足(1)设求证：数列是等差数列；(2)设且{an}是等比数列，求a1和b1的值．分析第(1)问采取分析与综合法，把握要证的结论中有对给定的进行变形以构造右边分子分母同时除以an，问题迎刃而解．第(2)问是难点所在，首先利用不等式估计出an +1的范围为然后根据基本事实“正项等比数列从第二项起要落在范围内，则必有其公比q=1”，明显地，若q>1，一个大于1的数不断乘以一个大于1的数总可以超过；同样地，若0<q<1，一个大于1的数不断乘以一个介于0和1之间的数总会小于1(这里的说理在实际解题时需以数学语言表达)．于是数列{an}为常数数列，进一步容易得数列{bn}也为等比数列，其公比若则b1<b2<b3，又由知{bn}中的项只可能有两个值，这样b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾.所以从而点评能从看似不确定的条件中找出必然的结论需要敏锐的洞察力，日常训练中当有这方面的意识．再如2009年江苏高考第14题，五个数中两正两负，从中选四项构成等比数列，看似多种情况，其实不然，首先选出的四项必然有负数，等比数列中有负项则要么全是负项要么正负相间，这里显然是后者，两负自然被取出并且隔项，再结合公比的范围，问题就解决了．本题使用了3次“夹逼”：通过不等式“夹逼”出通项的范围；在q>0的前提下，通过说明q>1和0<q<1都不成立，“夹逼”出q=1；在时，通过否定不成立而“夹逼”出“夹逼”顾名思义，从两边确定范围，不断进行限制，使对象所处的范围越来越小，以达到预期目标．“夹逼”思想看似简而易懂，却因几乎得不到训练而被遗忘．2010年江苏高考第19第(2)问也是对“夹逼”思想的考查．数列题形式多变，解题方法灵活，因此把握数列中的基本量、项与项的依赖关系，把握解题过程中式子的“结构”，利用不等式的性质进行估计，以及能够充分运用并阐明基本事实是当前数列综合性问题中应给予关注的地方．数列命题的趋势除了重视基础知识外，更注重运用与创新意识，后者更成了教学的难点．通过上面的分析并结合教学的实际情况，笔者给出以下建议：(1)讲授基础知识的同时多引领学生观察与分析，能够从特殊情形入手，先感知后推理证明一般情形，只有把最特殊的、最基本的弄清楚才能解决广泛、一般的问题；(2)式子的结构性问题本身不难，难在平时缺少这方面的练习，如在练习中增加类似“数列{an}的通项公式为an =2n+1，若是此数列中的项，求m的值”“等差数列{an}的通项公式为为常数)，其前n项和为Sn，求S20”的题目；(3)培养学生通过不等式对数列中的相关项进行估计的能力，简单的如“数列{an}的通项公式为则0<an<1”，复杂的如例7；(4)教学中寻找并抓住渗透“夹逼” 思想的机会；(5)日常教学，尤其在高考复习阶段，要注意数列与其他知识块之间的融合，上面的分析已可见一斑，教学中当有意识地挖掘．。

2008江苏高考数学试题及参考答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差(n s x =+−其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=−⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+−表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ． 4.A={()}2137x x x −<−，则AZ 的元素的个数 ▲ ．5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b −= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ． 7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随即选择了50为老人进行调查，下在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ 。

2008高考江苏数学试卷含附加题详细答案(全word版)

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式: 样本数据1x ,2x , ,n x的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=【答案】102．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】112锥体体积公式 13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】14.A={()}2137x x x -<-，则A Z 的元素的个数 ▲ ．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A Z 的元素不存在．【答案】05.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -= 7【答案】76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7.算法与统计的题目8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ．【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：（ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭. 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．【答案】11b c- 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．【答案】262n n -+11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．【答案】312.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ?【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c =，解得2c e a ==．13．若，则ABC S ∆的最大值 ▲． ?【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-== 244x x-=，代入上式得ABCS ∆==由三角形三边关系有22x x+>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值【答案】14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x-=0>()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为10．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．由条件的cos αβ==，因为α,β为锐角，所以sin αβ=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．（Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ，所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y >，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+。

2008年全国高考数学试题及答案—江苏卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=▲． 2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率▲． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +==▲．4.A={()}2137x x x -<-，则AZ 的元素的个数▲．5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b =则5a b -=▲．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率▲．7.算法与统计的题目8.直线12yx b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝▲． 9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c,p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC,AB 于点E,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：（▲）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭. 10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 23 456 78910．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为▲．11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值▲．12.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b +=1(a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e =▲．13．若BC ，则ABC S ∆的最大值▲． 14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0成立，则a =▲．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点，已知A,B的横坐标分别为．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．16．在四面体ABCD 中，CB=CD,AD ⊥BD ，且E,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km,CB=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km)，将y 表示成x x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 19.（Ⅰ）设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n=4时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． 20.若()113x p f x -=，()2223x p f x -=，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）；（Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p (),a b ,若()()f a f b =求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）．一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=2．【答案】112【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯ 3.【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==-，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4.【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅，因此A Z 的元素不存在．5.【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=7 6.【答案】16π 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯7.算法与统计的题目 8.【答案】ln2－1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x =，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1． 9【答案】11b c- 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p +=，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．【答案】262n n -+【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n-个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11.【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12.【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP是等腰直角三角形，故2a c =，解得2c e a ==． 13．【答案】【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x -<<，故当x =ABCS ∆最大值14.【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0>()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由条件的cos αβ==α,β为锐角，所以sin αβ= 因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ）22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．解：（Ⅰ）∵E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．（Ⅱ）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD. ∵CB=CD,F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD. 又EFCF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad)，则10cos cos AQ OA θθ==,故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ，所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km)，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<<（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y <，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y >，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km 处。

2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及详解

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式:样本数据1x ,2x ,L ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．4.A={()}2137x x x -<-，则A I Z 的元素的个数 ▲ ．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ▲ ．锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π= 其中R 为球的半径6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．7.算法与统计的题目 8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ．9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：（ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．12.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ．13．若BC ，则ABC S ∆的最大值 ▲ ．14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为225,105．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．CBPOAD19.（Ⅰ）设12,,,n a a a L L 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b L L ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．20.若()113x p f x -=，()2223x p f x -=g ，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）；（Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p (),a b ,若()()f a f b = 求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）．卷221．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分． A ．选修4—1 几何证明选讲如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2ED EB EC =g ．B ．选修4—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵A=⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．C ．选修4—4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．B C ED AD ．选修4—5 不等式证明选讲设a ，b ，c为正实数，求证：333111abc a b c +++≥必做题22．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，求λ的取值范围．23．请先阅读：在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-，由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-g g ，化简得等式：sin 22cos sin x x x =g ．（1）利用上题的想法（或其他方法），试由等式（1＋x ）n ＝0122C C C C n n n n n n x x x ++++L （x ∈R ，正整数2n ≥），证明：1[(1)1]n n x -+-＝11C nk k n k k x-=∑．（2）对于正整数3n ≥，求证：（i ）1(1)C nkk n k k =-∑＝0；（ii ）21(1)C nkk n k k =-∑＝0；（iii ）11121C 11n nkn k k n +=-=++∑．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1. 【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=2．【答案】112【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 3. 【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4. 【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A I Z 的元素不存在．5. 【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+r r r rr r r r g=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=r r 76. 【答案】16π 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯7.算法与统计的题目 8. 【答案】ln2－1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．9【答案】11b c- 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．【答案】262n n -+【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11. 【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12.【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP是等腰直角三角形，故2a c=，解得2c e a ==．13．【答案】【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B =g 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==g 244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值14. 【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由条件的cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=,sin 105β= 因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．（Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF I CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ． 17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ，所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==g 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边3km 处。

2008年江苏省高考数学试卷及部分答案

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

序号（i ）分组（睡眠时间）组中值（i G ）频数（人数）频率（i F ）1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.203 [6,7) 6.5 20 0.404 [7,8) 7.5 10 0.20 5 [8,9) 8.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是。

8.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

2008普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案-江苏卷

2008年全国高考数学试题及答案—江苏卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ． 2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ． 4.A={()}2137x x x -<-，则AZ 的元素的个数 ▲ ．5.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．6.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．7.算法与统计的题目8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ． 9在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：（ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭. 10．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．12.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ．13．若BC ，则ABC S ∆的最大值 ▲ ．14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km,CBPOADCB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 19.（Ⅰ）设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求1a d的数值；②求n 的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,,,n b b b，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列． 20.若()113x p f x -=，()2223x p f x -=，12,,x R p p ∈为常数，且()()()()()()()112212,,f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （Ⅰ）求()()1f x f x =对所有实数成立的充要条件（用12,p p 表示）；（Ⅱ）设,a b 为两实数，a b <且12,p p (),a b ,若()()f a f b = 求证：()f x 在区间[],a b 上的单调增区间的长度和为2b a-（闭区间[],m n 的长度定义为n m -）．一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1. 【答案】10【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=2．【答案】112【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 3. 【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 4. 【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A Z 的元素不存在．5. 【答案】7【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a b a a b b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=7 6. 【答案】16π 【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯7.算法与统计的题目 8. 【答案】ln2－1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x =，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1． 9【答案】11b c- 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．【答案】262n n -+【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．11. 【答案】3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x zy +=，代入2y xz 得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12.【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c=，解得2c e a ==．13．【答案】【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC ，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值14. 【答案】4【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．解：由条件的cos αβ==α,β为锐角，所以sin αβ= 因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．解：（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．（Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ． 17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ，所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km 处。

2008年江苏省高考数学试卷及部分答案

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

(免费,精华)江苏历年高考压轴题整合,含答案

江苏高考压轴题整合（含答案）1．（本小题满分12分）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 2．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a（Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k ka a a121.31)(3．设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若首项=1a 32，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.4．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m ,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M . 若2MQ QF =，求直线l 的斜率.5．已知函数()()f x x R ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 2121212()()[()()]x x x x f x f x λ-≤--和1212()()f x f x x x -≤-，其中λ是大于0的常数. 设实数a 0，a ，b 满足0()0f a =和()b a f a λ=- (Ⅰ)证明1λ≤，并且不存在00b a ≠，使得0()0f b =； (Ⅱ)证明22200()(1)()b a a a λ-≤--； (Ⅲ)证明222[()](1)[()]f b f a λ≤-.6.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵证明：BC ⊥平面SAB ；⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小不必写出解答过程）7.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合；AF EC B A 1EFCP B⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值8.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立9.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）。

2008年江苏省高考数学试卷及部分答案

下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。

08-14江苏高考真题汇编-填空

08-14江苏高考填空汇编［集合］：08 4．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有个元素.09 11. 已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = .10 1. 设集合{}3,1,1-=A ，{}4,22++=a a B ，{}3=⋂B A ，则实数a 的值为 . 11 1．已知集合{1,1,2,4}A =-，{1,0,2}B =-，则A B =12 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ． 13 4. 集合{－1,0,1}共有__________个子集．14 已知集合A ={}，，则 . ［复数］：08 3．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ． 09 1. 若复数12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为 .10 2. 设复数z 满足i i z 46)32(+=-（其中i 为虚数单位），则z 的模为 . 11 3．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是12 3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 13 2. 设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________． 14 2. 已知复数(i 为虚数单位),则的实部为 .4,3,1,2--}3,2,1{-=B =B A 2)i 25(+=z z［概率与统计、算法］：08 2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是． 6．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：则输出的S 的值为09 5. 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 6. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为2s =7. 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = .10 3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有根在棉花纤维的长度小于20mm.7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .11 4．根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值为．5．从1，2，3，4是另一个的两倍的概率是．6．则该组数据的方差2s = ．12 2334::，抽取容量为50 4．右图是一个算法流程图，则输出的k6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．13 5. 下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．（第4题）14 3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2乘积为6的概率是 .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.n （第3题）100 80 90 110 底部周长/cm （第6题）［三角函数、向量、解三角形］： 08 1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= . 5．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|5|a b -= ． 13．满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值 09 2. 已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||==a b a 和向量b 的数量积a ib = . 4. 函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .10 10. 定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与x sin =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为13. 在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=，则t a n t a n t a n t a n C CA B+= . 11 7．已知tan()24x π+=9．函数()sin(f x A x ωϕ=+图象如图所示，则(0)f 10．已知，，若12 9．如图，在矩形ABCD F 在边CD 上，若11．设α为锐角，若cos 65α⎛+= ⎪⎝⎭，则s i n2125α+= ⎪⎝⎭的值为．（第9题）13 1.函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．10. 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2A D A B ，2=3BE BC .若(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．14 5. 已知函数与(0≤),它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是 .12. 如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 .14. 若△的内角满足,则的最小值是.x y cos =)2sin(ϕ+=x y πϕ<3πϕABCD 8=AB 5=AD 3=2=⋅AD AB ⋅ABC C B A sin 2sin 2sin =+C cos （第12题）［函数］：08 14．设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为09 3. 函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .10.已知12a -=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 .10 5. 设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则实数a = .11. 已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是 .11 2．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是8．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是．11．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为．12 5．函数()f x 的定义域为．10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为． 13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为．13 11. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A之间的最短距离为a 的所有值为__________． 14 10. 已知函数若对于任意, 都有成立,则实数的取值范围是 .13. 已知是定义在R 上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .［导数］： 08 8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 09 9. 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 .10 14. 将边长为m 1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是 .11 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是． 14 11. 在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数)过点，且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m )(x f )3,0[∈x |212|)(2+-=x x x f a x f y -=)(]4,3[-a xOy xbax y +=2)5,2(-P 0327=++y x b a +［解析几何］： 08 9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a px c b，请你完成直线OF 的方程： ( )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。

江苏历年高考数学试题及答案汇编十二函数和导数

江苏历年高考数学试题及答案汇编十二函数和导数江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十二函数和导数（2008-2021）试题1、8．（5分）（2008江苏）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为．2、11．（5分）（2008江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则3的最小值是．3、14．（5分）（2008江苏）f（x）=ax﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a= ．324、3．（5分）（2009江苏）函数f（x）=x﹣15x﹣33x+6的单调减区间为． 35、9．（5分）（2009江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x ﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为．6、10．（5分）（2009江苏）已知，函数f（x）=loga，若正实数m，n满足f（m）x＞f（n），则m，n的大小关系为．x﹣x7、5．（5分）（2021江苏）设函数f（x）=x（e+ae）（x∈R）是偶函数，则实数a= ． 8、11．（5分）（2021江苏）已知函数＞f（2x）的x的范围是． 9、12．（5分）（2021江苏）设实数x，y满足3≤xy≤8，4≤2，则满足不等式f（1﹣x）2≤9，则的最大值是．10、14．（5分）（2021江苏）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．11、2、（5分）（2021江苏）函数f(x)?log5(2x?1)的单调增区间是__________12、8、（5分）（2021江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)?2的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________ x13、11、（5分）（2021江苏）已知实数a?0，函数f(x)???2x?a,x?1，若??x?2a,x…1f(1?a)?f(1?a)，则a的值为________14、12、（5分）（2021江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)?e(x?0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_____________ 15、5．（5分）（2021江苏）函数f（x）=1x的定义域为．16、10．（5分）（2021江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，（x）f=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为．17、13．（5分）（2021江苏）已知函数f（x）=x+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为． 18、14．（5分）（2021江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是．19、11．（5分）（2021江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．2220、13．（5分）（2021江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．221、10．（5分）（2021江苏）已知函数f（x）=x+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．22、11．（5分）（2021江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是． 23、13．（5分）（2021江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是． 24、7．（5分）（2021江苏）不等式2＜4的解集为．2225、13．（5分）（2021江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为． 26、5．（5分）（2021江苏）函数y=的定义域是．，27、11．（5分）（2021江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．28、10．（5分）（2021江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．29、11．（5分）（2021江苏）已知函数f（x）=x﹣2x+e﹣3x，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a）≤0．则实数a的取值范围是．2230、14．（5分）（2021江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=是．31、5. （5分）（2021江苏）函数f?x??log2?1的定义域为__________.32、9. （5分）（2021江苏）函数f(x)满足f(x?4)?f(x)(x?R),且在区间(?2,2)上，其中集合D={x|x=，n∈N}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数*?x?cos,0?x?2??2f(x)??,则f(f(15))的值为__________.1?|x?|,?2?x?0??233、11. （5分）（2021江苏）若函数f(x)?2x3?ax2?1(a?R)在(0,??)内有且只有一个零点,则f(x)在[?1,1]上的最大值与最小值的和为__________. 解答题1、20．（15分）（2008江苏）已知函数，（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）2、26．（2008江苏）请先阅读：22在等式cos2x=2cosx﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cosx﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）?2=4cosx?（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx?sinx．n0122nn（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）=Cn+Cnx+Cnx+…+Cnx （x∈R，正整数n≥2），证明：（2）对于正整数n≥3，求证：（i）；．（ii）；3（iii）．3、19．（16分）（2009江苏）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为 m元，则他的满意度为则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他．对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA=mB时，求证：h甲=h乙；（2）设mA=mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．24、 20．（16分）（2009江苏）设a为实数，函数f（x）=2x+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集． 5、20．（16分）（2021江苏）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，2使得f′（x）=h（x）（x﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数．（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；②求函数f（x）的单调区间．（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g （α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，求m的取值范围．6、17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.324。

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08-14江苏高考数列与函数
一概述
以08-14近六年高考的江苏真题为背景，研究数列与函数两个部分解答题的命题特点，解题思路，解答技巧。

二真题方法提炼
1数列
(08) 19 . (1)设即幻，…心是各项均不为零的n ( n > 4 )项等差数列, 且公差d 0，若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.
(i)当n 4时，求虫的数值；
d
(ii)求n的所有可能值.
(2)求证：对于给定的正整数n(n》4)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列
b, t2,? b n，其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.
初等数论的简单应用
(09) 17 .(本小题满分14分)
设 a n 是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足
(1)求数列a n 的通项公式及前n 项和S n ；
(2)试求所有的正整数 m ，使得苑为数列a n 中的项.
a
m 2
简单的分离常数，整体法
2 2 a 2
a 3
2
2 r
a 4
a 5
，S
7
（10）19. （16分）设各项均为正数的数列a n的前n项和为&，已知
2a2 a i a3，数列....S n是公差为d的等差数列.
①求数列a n的通项公式（用n,d表示）②设c为实数，对满足m n 3k且m n的任意正整数m,n,k ，不等式
9
S m S n CS k都成立。

求证：C的最大值为-
2
基本不等式，初等数论的简单应用
(12) 20 •(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个数列｛a n
｝和｛b n
｝满
2
(1)设b n i 1鸟，n N ，求证：数列弘是等差数列;
基本不等式与函数单调性的应用 (
13) 19. (2013江苏，19)(本小题满分16分)设｛a n
｝是首项为a ,公差为d 的等
差数列(d M 0), S 是其前n 项和•记b n 爭二，n € N *，其中c 为实 n c
(2)设 b n 1 N ，且｛a n ｝是等比数列，求印和b 1的值.
足：a n 1
数.
(1)若 c = 0,且b1, b2, b4成等比数列，证明：Sk = n2S(k, n€ N)；
⑵若｛b n｝是等差数列，证明：C = 0.
待定系数法求解
(11 ) 20、设M为部分正整数组成的集合，数列｛a n｝的首项a1 和为S n，已知对任意整数k属于M当n>k时，S n k S n k 2(S n
(1)设M=｛ 1｝, a2 2，求a5 的值；
(2)设M=｛3, 4｝，求数列｛a n｝的通项公式
1，前n 项S k)都成立
14)20.( 本小题满分16 分)
设数列｛a n｝的前n 项和为S n. 若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S n
a m，则称｛a n｝是“ H数列”.
⑴若数列｛a n｝的前n项和S n 2(n N ),证明：｛a n｝是“ H数列”；
⑵设｛a n｝是等差数列,其首项a i 1,公差d 0.若｛a n｝是“ H数列”，求d的值；
⑶证明：对任意的等差数列｛a n｝，总存在两个“ H数列” ｛b n｝和｛C n｝，使得a n b n c n
( n N ) 成立.
2函数
(08) 20 .已知函数
f 1(x) 3x P1 , f 2(x) 2 3x 切(x R, p i , p 2为
常数).函
数f(x)定义为：对每个给定的实数x , f (x)
(1)求f(x) f i (x)对所有实数x 成立的充分必要条件(用P i , P 2表示)；
(2)设a,b 是两个实数，满足a b ，且口心(a,b).若f(a) f(b)，求证：函数
b a
f(x)在区间［a,b ］上的单调增区间的长度之和为仝上(闭区间［m, n ］的长度定义
2
为n m )
用到不等式的知识利用图像进行讨论
f l (x),若 f i (x) f 2 (x) f 2 ( x),若 f i ( x) f 2 ( x)
(09) 20 ．(本小题满分16 分)
设a为实数，函数f(x) 2x2 (x a)|x a |.
⑴若f (0) 1，求a的取值范围；
(2)求f (x) 的最小值；
(3)设函数h(x) f (x),x (a, ) ，直．接．写．出．(不需给出演算步骤)不等式h(x) 1
的解集.
利用图像分析求解
(10) 20. (16分)设f(x)使定义在区间(1,)上的函数，其导函数为f'(x). 如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x (1,)都有h(x) >0，使得f'(x) h(x)(x2ax 1)，则称函数 f (x)具有性质P(a).
(1)设函数f(x) h(x) ——(x 1)，其中b为实数
x 1
①求证：函数f(x)具有性质P(b)
②求函数f(x)的单调区间
⑵已知函数g(x)具有性质P(2)，给定人也(1, )" X2,设m为实数，
口捲(1 m)X2，(1 m)X1 mx?，且1, 1，若I g( ) g( ) |<|
g(xj g(x2)|,求m的取值范围
先讨论内容较少，较易拿分的
深刻理解题目的含义，利用不等式的传递性，放缩的思想
12) 18．(本小题满分16 分)已知a，b 是实数，1 和1是函数
f (x) x3 ax2 bx 的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g(x) f(x) 2，求g(x)的极值点；
(3)设h(x) f(f(x)) c,其中c [ 2 ,2]，求函数y h(x)的零点个数.
找特殊点，待定系数法求高次多项式的根
利用图像找零点
11)19、已知a ,b 是实数，函数f (x) x3ax,g(x) x2bx, f (x)和g (x)
是f(x), g(x)的导函数，若f (x)g (x) 0在区间I上恒成立，则称f (x)和g(x)在
区间I 上单调性一致
(1)设a 0 ,若函数f (x)和g(x)在区间［1,)上单调性一致，求实数b的取值范围；
(2)设a 0,且a b，若函数f (x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值
找特殊点，缩小范围
(13) 20. (2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x) = In x —ax,
g(x) = e x—ax,其中a为实数.
(1)若f(x)在(1 ,+x)上是单调减函数，且g(x)在(1 , )上有最小值, 求a的取值范围；
⑵ 若g(x)在(一1,+^)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.
常规方法
先找较易求解的进行讨论,同时结合图像
( 14 ) 19.(本小题满分16 分)
已知函数f(x) e x e x,其中e 是自然对数的底数.
⑴证明：f(x)是R上的偶函数；
⑵若关于x的不等式mf (x) Q x m 1在(0,)上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)已知正数a满足：存在x o [1,)，使得f (x o) a( x0 3x°)成立.试比较e a 1与a e 1的大小，并证明你的结论.。