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2020届绵阳二诊 文科数学试题(解析版)

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2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(文科) (解析版)

2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(文科) (解析版)

2020年高考数学第二次监测试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．05．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．14．若，则sin2α＝．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：由（x﹣1）（x﹣3）≤0得1≤x≤3，所以集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣3）≤0}＝{x|1≤x≤3}，又B＝{x|﹣1＜x＜2}，所以A∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．5+10i D．5﹣10i【分析】直接根据复数的四则运算化简即可求解．解：因为复数z满足z•（1+2i）＝|3+4i|，故．故选：B．3．某人坚持跑步锻炼，根据他最近20周的跑步数据，制成如下条形图：根据条形图判断，下列结论正确的是（）A．周跑步里程逐渐增加B．这20周跑步里程平均数大于30kmC．这20周跑步里程中位数大于30kmD．前10周的周跑步里程的极差大于后10周的周跑步里程的极差【分析】由图数形结合可逐项判断选项的正误，解：根据统计图表可知，A，由图周跑步里程有增有减，故周跑步里程逐渐增加，故A错误，B，由图周跑步里程有8周里程在30km及以上，且最高里程为35km，有12周在35km 以下且最低为15km，故估算这20周跑步里程平均数远小于30km，故B错误，C项这20周跑步里程从小到大排列中位数是第十周和十一周里程数的平均值小于30km，故C错误；D项由图前10周的周跑步里程的极差为第十周里程减第三周里程，大于后10周的周跑步里程的极差为第十五周里程减第十一周里程，故D正确．故选：D．4．若x，y满足，则z＝2x+y的最大值为（）A．6B．4C．3D．0【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，不等式组表示的可行域是以（0，0），A（2，0），B （0，2）为顶点的三角形及其内部，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当目标函数z＝2x+y过点B（2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z最大，为2×2+0＝4，故选：B．5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin B＝2sin A，，则的值为（）A．B．C．2D．【分析】根据正弦定理求得b＝2a，再根据余弦定理可得c＝a．解：由sin B＝2sin A，据正弦定理有b＝2a；又，据余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得c2＝3a2．故．故选：A．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．7．已知直线l经过圆＝4的圆心，l与圆C的一个交点为P，将直线l 绕点P按顺时针方向旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】画出图形，通过直线与圆的位置关系，转化求解写出即可．解：由题意知，PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（）A．2B．C．4D．与点C的位置有关【分析】由题意可得SO⊥平面ABC，可得球心O1在SO上，设球的半径为R，在Rt△O1AO中由勾股定理可得R的值．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+（）2＝R2，解得R ＝2．故选：A．9．以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出勒洛三角形的面积，由测度比是面积比得答案．解：设三角形ABC边长为2，则正三角形DEF边长为1，以D为圆心的扇形面积是＝△DEF的面积是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为，△ABC面积为，所求概率．故选：C．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知直线l与抛物线x2＝4y交于A，B两点，（其中O为坐标原点）．若，则直线OP的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】利用已知条件画出图形，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），通过，推出x1x2＝﹣16，求解直线OP的斜率为k的表达式，利用基本不等式转化求解即可．解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（x1+x2，y1+y2），依题意，，即x1x2+y1y2＝0，即，即x1x2＝﹣16，从而直线OP的斜率为k，则＝，，当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，若，则实数λ＝．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，从而解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故答案为：．14．若，则sin2α＝．【分析】法一：由已知直接利用二倍角的余弦及诱导公式求解；法二：展开两角差的余弦，整理后两边平方即可求得sin2α．解：法一：由，得．法二：由，得，两边平方得，∴，即．故答案为：．15．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫拟柱体，它在这两个平面内的面叫拟柱体的底面，两底面之间的距离叫拟柱体的高，可以证明：设拟柱体的上、下底面和中截面（与底面平行且与两底面等距离的平面截几何体所得的截面）的面积分别为S'，S，S0，高为h，则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）．若某拟柱体的三视图如图所示，则其体积为．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．解：由三视图可还原几何体直观图如图，易知S＝2×3，S'＝3×4，＝，h＝4，代入公式则拟柱体的体积为V＝h（S+S'+S0）＝．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤ax+1恒成立，则a的最小值是．【分析】法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，利用函数的导数求解切线方程，转化求解a的最小值．解：法一：由于x＞0，则原不等式可化为，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值．所以，则a的最小值为．法二：直线y＝ax+1过定点（0，1），由题，当直线y＝ax+1与曲线y＝lnx相切时，直线斜率即为所求的最小值，设切点（x0，lnx0），切线斜率为，则切线方程为，过点（0，1），则，解得，切线斜率为，所以a的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n＝22﹣2log2a n，求数列{b n}的前n项的和T n的最大值．【分析】（1）直接利用数列的定义的应用求出数列的通项公式．（2）利用前n项和公式的应用求出结果．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2．当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减得a n＝2a n﹣1．所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知：．所以＝﹣n2+21n＝当n＝10或11时，取最大值．．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，三棱锥C﹣PDE的体积为，求线段BE的长．【分析】（1）由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，得DE∥BC且DE＝．在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得GF∥BC且GF＝．得到四边形DEGF 为平行四边形，得DF∥EG．再由直线与平面平行的判定可得DF∥平面PBE；（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，得S△BEC＝4S△DEC，求得V C﹣PBE＝1．再把三棱锥C﹣PBE的体积用含有a的代数式表示，则a值可求．【解答】（1）证明：由已知可得，Rt△BAE∽Rt△CEB．设DE＝a，依题意得BE＝2a，BC＝4a，DE∥BC且DE＝．如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，∵，∴GF∥BC且GF＝．∴DE∥GF且DE＝GF．∴四边形DEGF为平行四边形，得DF∥EG．又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，∴DF∥平面PBE；（2）解：由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又∵平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，∴EC⊥平面PBE．由（1）得，BC＝4DE，∴S△BEC＝4S△DEC，∴．则V C﹣PBE＝1．由，解得a＝1．∴BE＝2．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）设过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求证：直线AM，BN的交点在直线x＝4上．【分析】（1）通过，化简求解点P的轨迹方程．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理则设直线AM的方程为，直线BN的方程为，求出交点坐标，推出交点Q在直线x＝4上．解：（1）由点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设P（x，y），则，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．轨迹是椭圆，不包含椭圆与x轴的交点．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．21．已知函数．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，结合题意求出a的值，从而求出函数的单调区间；（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数零点的个数，确定满足条件的a的范围即可．解：（1）由题，．…………………………（1分）则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，．……………………………………此时，由f'（x）＝0得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数．………………………………（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，所以f（x）只有一个零点，不符合题意．……………………………………若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．……………………………………②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝0，由x≤0得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，所以当a＜0时，f（x）始终有两个零点．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，0）．………………………………（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。

2020年四川绵阳高三二模数学试卷(文科)

2020年四川绵阳高三二模数学试卷(文科)

2020年四川绵阳高三二模数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设全集，，则（ ）．A. B. C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）．A. B. C. D.3.已知高一（）班有学生人，高一（）班有人，高一（）班有人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（）班被抽出的人数为（ ）．A. B. C. D.4.已知向量，，若，则（ ）．A. B. C. D.5.已知为任意角，则“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）．A.B.C.D.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：（单位：万元）（单位：万元）若根据表中的数据用最小二乘法求得对的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）．A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点C.当广告费用为万元时，销售额一定为万元D.的值是8.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ）．A.B.C.D.9.双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（ ）．A.B.C.D.10.已知圆，直线经过点，且将圆及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线的方程为（ ）．A.B.C.D.11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围为（ ）．A.B.C.D.12.函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线与直线平行，则实数的值是 ．14.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如右图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是 ．15.函数 （，）的图象如右图所示，则在区间上的零点之和为 ．xyO16.过点的直线与抛物线交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，若，则的面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.每年的月日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了名不同性别的学生（其中男生名)，统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：频率组距小时时间求样本学生一个月阅读时间的中位数．已知样本中阅读时间低于的女生有名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读与性别有关．列联表附表：男女总计总计附表：其中：（1）（2）18.已知等差数列的公差，，且为与的等比中项．数列的通项公式为．求数列的通项公式．记，求数列的前项和．（1）（2）19.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．求．若为边上一点，且，，求．（1）（2）20.已知椭圆，动直线过定点且交椭圆于，两点（，不在轴上）．若线段中点的纵坐标是，求直线的方程．记点关于轴的对称点为，若点满足，求的值．（1）（2）21.已知函数，其中．讨论函数的单调性．若，记函数的两个极值点为， (其中)，求的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的直角坐标方程为．求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程．若，是曲线上两点，当时，求的取值范围．（1）23.已知关于的不等式，其中．当时，求不等式的解集．【答案】解析:因为全集，．所以．故选．解析:∵复数满足，∴，则，故正确．故选．解析:因为高一（）班、（）班、（）班的学生人数分别为、、，用分层抽样的方法从这三个班中抽人，则高一（）班被抽出的人数为（人）．故选．解析:因为，，，则，即，则，（2）若该不等式对恒成立，求实数的取值范围．D 1.A 2.A 3.C 4.所以，则，故选．解析:∵为任意角，，，∴，则为任意角，，则为任意角，不是，充分条件，∵，∴．则，为任意角，是的必要条件，所以为任意角，是的必要不充分条件，故正确．故选．解析:将圆化为，则圆心，半径，因为线段的垂直平分线交于点，B 5.A 6.xyO则，则，所以．所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆．则，，，，所以，所以点的轨迹方程为：．故选．解析:方法一：根据题意可知：甲、乙、丙三人各自选择九皇山或七曲山的概率都为，故甲、乙、丙三人同时选择九皇山的概率为，甲、乙、丙三人同时选择七曲山的概率为，故三人恰好到同一景点旅游参观的概率为．故选．方法二：设九皇山为，七曲山大庙为，则所有可能性如下列表格： ①②③④⑤⑥⑦⑧甲乙丙∴共计种可能，符合题意，有种可能，设甲、乙、丙三个恰好到同一景点旅游参观为，C 7.B 8.∴．故选．解析:方法一：设点的坐标为，故过点且与两条渐近线平行的直线方程为：或，由，可解得，则不妨记，由对称性可知，所以．整理得，即．故选．方法二：双曲线 的右焦点为，设的方程为，的方程为，过平行于的直线的方程为，平行于的直线的方程为，可得平行线和的距离为，由，可得，，即，则平行四边形的面积为，化为，则．故选．B 9.四边形解析:根据题意可得：当这两部分的面积之差的绝对值最大时，即直线与圆心的距离最远时，所以有圆心到直线的距离等于时即为最远，则此时有，设直线的斜率为，则，所以直线的方程为，即．故选．解析:当时，由可知，，令，，∴在恒成立，∴，恒成立，∴，恒成立，∴在单调递增．又∵为偶函数，则有，∴，可得，即，即，解得．故选．解析:根据题意可知且，因为函数在区间上恰有一个零点，D 10.A 11.D 12.所以等价于函数与函数在区间上恰有一个交点，函数的函数图象如图所示：要有个交点，则当时须满足：，解得，当时须满足：，无解．综上的取值范围为．故选：．13.解析:∵与直线平行，∴，∴．故答案为：．14.解析:如图茎叶图中，该同学最近五次模拟考试中，数学成绩为：，，，，．则平均数为．即．故该同学这五次数学成绩的方差为．15.解析:∵由图所示，∴解得： ，∵，∴，∵当，，∴，∴，∴，令，则，∴解得： ， ， ，，则零点之和为．16.解析:设，，直线，联立消去得，，所以，即，由韦达定理有，，又因为，令到直线的距离为，即有，所以可得，即，所以有，代入，，故有且，解得，所以可得，或，，，，所以．（1）（2）（1）（2）解析:由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为：．所以阅读时间的中位数．由题意得，男生人数为人，因此女生人数为人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于的人数为人，故列联表补充如下：男女总计总计的观测 ，所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读与性别有关．解析:由题意得，，∵，解得或．又，得，故，∴．∴．由（）可知，．（1）．（2） 男女总计总计不能在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读与性别有关．17.（1）．（2）．18.（1）（2）（1）．解析:在中，由正弦定理得，即．由余弦定理得，结合，可知．在中，，即．由已知，可得，∴．在中，由余弦定理得，即，整理得，即，∴，∴．解析:设，，则直线，，由，消去整理得，则，解得或，由韦达定理可得①，，因为的中点的纵坐标为，所以，代入①解得或，又因为或，所以，所以直线的方程为．（1）．（2）．19.（1）．（2）．20.（2）（1）（2）由题意得，由，可知，，三点共线，即，所以，即，解得，将，，代入得②，联立 ，消去得，由韦达定理得，，③，将③代入②可得，所以．解析:.令，则．①当或，即时，得恒成立，∴在上单调递增．②当即时，由，得或；由，得，∴函数在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减．由（）得，当时，有两极值点，（其中）．则，为的两根，（1）当时，在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减．（2）．21.（1）（2）∴，．．令，则．由，得，即，解得．∵，∴在上单调递减，∴．即的最大值为．解析:将的参数方程化为普通方程为，由，，得点的直角坐标为，代入，得，∴曲线的普通方程为，可化为，即，∴曲线的极坐标方程为．将点，代入曲线的极坐标方程，得，，∴．由已知，可得，于是，所以的取值范围是．（1），．（2）．22.（1）（2）解析:由时，，原不等式化为，当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合得．∴不等式的解集为，或．设函数，画图可知，函数的最大值为．x2y–22O由，解得．（1），或．（2）．23.。

2020年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷(解析版)

2020年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷(解析版)

2020年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷一、选择题：本大题共12个小题每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目要求. 1．﹣5的倒数是（）A．B．﹣C．﹣5D．52．下面由正三角形和正方形拼成的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．近几年绵阳交通快速发展现根据规划又将建设成绵复线高速，新建复线全长约127公里，总投资约331亿元，若将“331亿”用科学记数法表示应为（）A．33.1x109B．3.31×1011C．3.31×1010D．0.331×10114．下列几何体中，主视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④5．一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（）A．35°B．30°C．25°D．15°6．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A．m＞9B．m≥9C．m＜﹣9D．m≤﹣97．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m8．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为（）A．＝B．＝C．＝D．＝9．用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（）A．cm B．3cm C．4cm D．4cm10．如图，正方形ABCD．AB＝4，点E为BC边上点，连接AE延长至点F连接BF，若tan∠FAB ＝tan∠EBF＝，则AF的长度是（）A．B．C．D．11．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）A．等于定值5﹣B．有最大值C．有最小值D．有最小值12．如图，由小矩形组成的系列图形中第一个有1个矩形，第2个图形包含3个矩形，第三个包含6个矩形，按此规律则第99个图形包含（）个矩形．A．4950B．4960C．5061D．5120二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上. 13．因式分解：a3b﹣ab＝．14．如图在平面直角坐标系xOy中，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，A（6，0），点B 位于第一象限，则点B关于原点的对称点B′的坐标是．15．使代数式+有意义，则x的取值范围是．16．在一个不透明的袋子里装有5个完全相同的乒乓球，把它们标号分别记为1，2，3，4，5，从中随机摸出两个小球，标号均为单数的概率为．17．如图，半径为13的等圆⊙O1和⊙O2相交与A，B两点，延长O1O2与⊙O1交于点D，连接BD 并延长与⊙O2交于点C，若AB＝24，则CD＝．18．如图，△ABC中，∠A＝90°，∠ABD＝∠ACB，AD＝AC，sin∠ABD＝．三、解答题：本大题共7个小题，共86分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤19．（16分）（1）计算：（2）先化简，再求值：，其中x＝220．（11分）某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息回答下列问题：体重频数分布表组边体重（千克）人数A45≤x＜5012B50≤x＜55mC55≤x＜6080D60≤x＜6540E65≤x＜7016（1）填空：①m＝（直接写出结果）；②在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数等于度；（2）如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？21．（11分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1吨产品甲需要2吨原材料A；生产1吨产品乙需要3吨原材料A．根据市场调研，产品甲、乙所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间分别满足函数关系：产品甲：y＝ax2+bx且x＝2时，y＝2.6；x＝3时，y＝3.6产品乙：y＝0.3x（1）求产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系；（2）若现原材料A共有20吨，请设计方案，应怎样分配给甲、乙两种产品组织生产，才能使得最终两种产品的所获利润最大．22．（11分）如图在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x﹣2的图象与函数y＝（k≠0）的图象有交点为A（m，2），与y轴交于点B（1）求反比例函数的解析式；（2）若函数y＝在第一象限的图象上有一点P，且△POB的面积为6，求点P坐标．23．（11分）如图，BC为⊙O的直径，A，D是⊙O上两点，弧AC＝弧AD，AB与CD交于点M，延长BD至点E，且与CA的廷长线交于点E．（1）求证：BE＝BC；（2）若tan∠BCA＝，AC＝3，求DM的长度．24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣4x+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；（2）若点P为抛物线上点，当PB＝PC时，求点P坐标；（3）若点M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，求点M坐标．25．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△PEF是边长为5的正三角形，P、E在x轴上，点F位于x轴上方，其中P（a，0）（﹣5≤a＜5）．四边形OABC是边长为5的正方形，A、C 均在坐标轴上，且B（5，5），M为AB边上点，且AM＝OE，N为点M关于直线OB对称的点．（1）求证：OP＝AE；（2）如图1，当△PEF沿x轴运动使得N、F、E三点在同一条直线上时，求此时△MNE与正方形OABC重叠部分的面积；（3）当△PEF从最左边沿x轴向右运动，到达（2）所在位置时停止，在这一过程中用y表示四边形MNFE面积，求y与a的函数关系式．2020年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题每小题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目要求. 1．【分析】根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵（﹣5）×（﹣）＝1，∴﹣5的倒数是﹣．故选：B．【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．2．【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称的概念即可作答．【解答】解：A、B、D都是中心对称也是轴对称图形，C、是轴对称，但不是中心对称．故选：C．【点评】此题由复合图形组成，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将“331亿”用科学记数法表示应为3.31×1010，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形．【解答】解：圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，长方体的主视图是长方形，球的主视图是圆，故选：B．【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5．【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE＝45°，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∠EDF＝30°，∠ABC＝45°，∵DE∥CB，∴∠BDE＝∠ABC＝45°，∴∠BDF＝45°﹣30°＝15°．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠BDE的度数是解题关键．6．【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，∴△＝b2﹣4ac＜0，∴（﹣6）2﹣4×1•m＜0，解得m＞9，∴m的取值范围是m＞9．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．7．【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【解答】解：∵sin∠CAB＝＝，∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B′C′＝3．故选：B．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．8．【分析】根据甲乙的工作时间，可列方程．【解答】解：设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做30个所用时间与乙做45个所用时间相等，得，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9．【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高．【解答】解：L＝＝4π（cm）；圆锥的底面半径为4π÷2π＝2（cm），∴这个圆锥形筒的高为＝4（cm）．故选：C．【点评】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长＝；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形．10．【分析】由三角函数得出BE＝，由勾股定理求出AE＝＝，证出△BEF∽△FBA，得出＝＝＝，设EF＝x，则BF＝3x，AF＝9x，由AF＝AE+EF得出方程，解方程得出EF的长，即可得出AF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵tan∠FAB＝＝tan∠EBF＝，AB＝4，∴BE＝，∠FAB＝∠EBF，∴AE＝＝，又∵∠F＝∠F，∴△BEF∽△FBA，∴＝＝＝，设EF＝x，则BF＝3x，AF＝9x，∵AF＝AE+EF，∴9x＝+x，解得：x＝，∴AF＝AE+EF＝+＝；故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．11．【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，得出OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，由勾股定理求出AC＝＝4，OB＝＝，当BE＝O时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，由直角三角形的性质得出AE＝OB，同理：CF＝OD，即可得出结果【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵EF＝BD，∴OB＝EF＝OD，∴BE＝OF，OE＝DF，∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，∴AC＝＝4，∴OA＝2，∴OB＝＝，当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，∴AE＝OB，同理：CF＝OD，∴AE+CF＝OB＝，即AE+CF的最小值为；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．12．【分析】由于图1矩形有1个，图2矩形有2+1＝3个，图3矩形有3+2+1＝6个，由此即可得到第99个图形中矩形的个数．【解答】解：由分析可知第99个包含99+98+97+…+3+2+1＝4950个，故选：A．【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上. 13．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用平方差公式继续分解．【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．故答案为：ab（a+1）（a﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．【分析】如图，过点B作BC⊥AC于点C，根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后结合“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）”求得答案．【解答】解：如图，过点B作BC⊥AC于点C，∵△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，∴OC＝AC＝3，BC＝OC＝3．∴B（3，3）．∴点B关于原点的对称点B′的坐标是（﹣3，﹣3）．故答案是：（﹣3，﹣3）．【点评】考查了等腰直角三角形和关于原点对称的点的坐标特征．根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标是解题的关键．15．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使代数式+有意义，则，解得：﹣＜x≤．故答案为：﹣＜x≤．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确解不等式是解题关键．16．【分析】画出树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有20中等可能结果，其中标号均为单数的有6种结果，所以标号均为单数的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】连接O1A，把O1O2向两方延长，交⊙O1于M、N，由相交两圆的性质得：AE＝BE＝AB＝12，AB⊥O1O2，由勾股定理求出O1E＝O2E＝5，得出DE＝13﹣5＝8，O1D＝O2M＝3，由勾股定理求出BD＝＝4，再由相交弦定理即可得出CD的长．【解答】解：连接O1A，把O1O2向两方延长，交⊙O1于M、N，如图所示：∵半径为13的等圆⊙O1和⊙O2相交与A，B两点，∴AE＝BE＝AB＝12，AB⊥O1O2，∴O1E＝O2E＝＝5，∴DE＝13﹣5＝8，O1D＝O2M＝13﹣2×5＝3，∴BD＝＝＝4，∵DM＝3+13＝16，DN＝13﹣3＝10，由相交弦定理得：BD×CD＝DM×DN，∴CD＝＝；故答案为：【点评】本题考查了相交两圆的性质、勾股定理、相交弦定理等知识；熟练掌握相交两圆的性质，由相交弦定理求出CD是解题的关键．18．【分析】根据相似三角形的判定和性质得出AB，进而利用三角函数解答即可．【解答】解：∵∠A＝90°，∠ABD＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB，∴，∵AD＝AC，∴AB＝，∴BD＝，∴sin∠ABD＝，故答案为：．【点评】此题考查解直角三角形问题，关键是根据相似三角形的判定和性质得出AB．三、解答题：本大题共7个小题，共86分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤19．【分析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）＝1+4×﹣2+﹣1＝1+2﹣2+﹣1＝；（2）＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝1．【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．【分析】（1）①根据D组的人数及百分比进行计算即可得到m的值；②根据C组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数；（2）根据体重低于60千克的学生的百分比乘上九年级学生总数，即可得到九年级体重低于60千克的学生数量．【解答】解：（1）①调查的人数为：40÷20%＝200（人），∴m＝200﹣12﹣80﹣40﹣16＝52；②C组所在扇形的圆心角的度数为×360°＝144°；故答案为：52，144；（2）九年级体重低于60千克的学生大约有×1000＝720（人）．【点评】本题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及频数分布表的运用，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．21．【分析】（1）代入已知的两对变量值，用待定系数法求出a、b便可；（2）设产品甲生产了x吨，需要原料A2x吨，则可分配给新产品乙的原材料A有（22﹣2x）吨，则生产乙吨，再求出总利润关于x的二次函数，运用二次函数的最值求法解答．【解答】解：（1）根据题意得，，解得，，∴产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系：y＝x（x≥0）；（2）设产品甲生产了x吨，需要原料A2x吨，则可分配给新产品乙的原材料A有（22﹣2x）吨，则生产乙吨，设甲、乙两种产品总的利润为w，则w＝﹣，整理得，w＝﹣，即当且仅当生产甲吨时，利润达到最大．＝13吨，20﹣13＝7吨，答：20吨材料A应分配给甲13吨，分配给乙7吨时，最终所获利润最大．【点评】本题是二元一次方程组的应用与二次函数的应用的综合题，主要考查了列二元一次方程组解应用题，列二次函数解应用题，关键是根据题目中的数量关系列出方程组和函数解析式．22．【分析】（1）通过一次函数求出m，即求出A的坐标；然后通过把A坐标代入反比例函数，求反比例函数解析式；（2）先确定△POB的面积以OB为底，CP为高；OB的长是固定的，只需要CP的长度；点P在＝反比例函数图象上，将它代入反比例函数，从而求出P（x，）即CP＝x；从而列出S△POB ＝＝6，即x＝6，并求出y值，从而确定P的坐标；【解答】解：（1）由已知得点A（m，2）在函数y＝2x﹣2图象上，故2m﹣2＝2，解得m＝2，即A（2，2）并且点A（2，2）也在函数y＝的图象上，∴2＝解得k＝4，∴所以反比例函数y＝（2）过点P作CP⊥y轴；△POB的面积以OB为底，CP为高；在函数y＝2x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2即OB＝2，设函数y＝（x＞0）图象上点P（x，）＝＝＝6∴S△POB解得：x＝6，则y＝∴此时点p（6，）．【点评】这题主要考查：反比例函数、一次函数、三角形的面积公式等；当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．23．【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质解答即可；（2）根据三角函数和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：（1）∵BC为⊙O的直径，A，D是⊙O上两点，∴BA⊥CE，BD⊥CD，设∠ABE＝α，可得：∠AEB＝90°﹣α，∵，∴∠ABC＝∠ABE＝α，∴∠ACB＝90°﹣α，∵∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEB＝∠ACB，∴△BCE是等腰三角形，∴BE＝BC；（2）∵，∴∠ABE＝∠ABC＝∠ACD＝α，可得：∠AMC＝∠ACB，∴tan∠AMC＝tan∠ACB＝，tan∠AMC＝，解得：AM＝，由（1）得BE＝BC，且BA⊥CE于点A，∴EA＝AC＝3，∴EC＝EA+AC＝6，∵在Rt△CDE中，tan∠CED＝tan∠BCA＝，tan∠CED＝，设DE＝x，则CD＝x，由EC2＝DE2+CD2，可得：，解得：x＝，∴DE＝，CD＝×，∵∠ACM＝∠DCE，∠EDC＝∠MAC＝90°，∴Rt△ACM∽Rt△DCE，∴，即，解得：CM＝，∴DM＝CD﹣CM＝．【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质解答．24．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上，即可求解；（3）M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，利用，则MB＝，即可求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a﹣4+3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…①，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1或3，故点C（0，3）、点B（3，0）；（2）PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上，线段BC的中点坐标为（，），则BC中垂线的k值为1，过点（，），则其表达式为：y＝x…②，①②联立并求解得：x＝，则点P坐标为（，）或（，）；（3）M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，则△MAB∽△ACB，即：，则MB＝，过点M分别作x、y轴的垂线交于点H、G，∵OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°，则MH＝MG＝MB×＝，OH＝OB﹣BH＝，即点M（，）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、线段的垂直平分线等知识，难度不大．25．【分析】（1）根据等边三角形和正方形的性质可得：PE＝OA＝5，得OP＝AE；（2）如图1，分别表示DM和BN的长，根据三角形的面积公式可得：△MNE与正方形OABC重叠部分的面积＝△DMN的面积；（3）如图2，作辅助线，构建高线，将四边形FNME的面积分成两个三角形的面积进行计算，可得结论．【解答】（1）证明：∵△PEF是边长为5的正三角形，∴PE＝5，∵四边形OABC是边长为5的正方形，∴OA＝5，∴OA＝PE，∴OP+AP＝AP+AE，∴OP＝AE；（2）如图1，Rt△ADE中，∠DEA＝60°，∴∠ADE＝30°，∵AE＝OP＝a，∴AD＝a，∵AM＝OE＝，∴BM＝BN＝5﹣＝，∴DM＝AM﹣AD＝﹣a，Rt△DBN中，BD＝5﹣a，∴BN＝BD•tan30°＝，∴＝，a＝，＝DM•BN＝＝﹣∴△MNE与正方形OABC重叠部分的面积＝S△DMN+25；（3）如图2，延长线段EF与直线BC交于点Q1，过点N作NQ⊥Q1E于点Q，延长NM与x轴交于点H1，作EH⊥NH1于点H，连接EN，则NQ是△EFN中EF边上的高，EH是△MNE中MN边上的高，∴OE＝PE﹣OP＝5﹣（﹣a）＝5+a，同理得：OD＝OE＝（5+a），∴CD ＝5﹣OD ＝5﹣（5+a ）＝5﹣5﹣a ， ∴CQ 1＝＝﹣a ， ①Q 1（a +，5），N （，5）， 所以Q 1N ＝﹣（a +）＝﹣+， 在Rt △Q 1NQ 中，∠QQ 1N ＝60°，∴QN ＝Q 1N •sin60°＝（﹣）＝﹣a +， ∴S △EFN ＝＝＝﹣； ②在Rt △MAH 1中，∠MH 1A ＝45°，∴AH 1＝AM ＝，∴OH 1＝OA +AH 1＝5+＝，∴EH 1＝OH 1﹣OE ＝﹣（a +5）＝， 在Rt △EHH 1中，∠HH 1E ＝45°，∴EH ＝EH 1•sin45°＝＝， 易得MN ＝BM ＝，∴S △EMN ＝MN •EH ＝•＝， 故由①②得：y ＝S △ENF +S △EMN ═﹣+＝；即y ＝（﹣5≤a ＜）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，三角形面积，应用直角三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，等腰三角形的性质等，利用参数表示线段的长是本题的关键．。

四川省绵阳市游仙区2020年中考数学二诊试卷(含解析)

四川省绵阳市游仙区2020年中考数学二诊试卷(含解析)

2020年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷一、选择题（共12小题）.1．﹣2020的倒数是（）A．2020B．﹣2020C．D．﹣2．怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列计算中，正确的是（）A．（a3）4＝a12B．a3•a5＝a15C．a2+a2＝a4D．a6÷a2＝a3 4．如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（）A．B．C．D．5．直角坐标系中，与点M（2，﹣3）关于y轴对称的点是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）6．2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二.82.7万亿用科学记数法表示为（）A．0.827×1014B．82.7×1012C．8.27×1013D．8.27×1014 7．如图，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（）A．200m B．180m C．150m D．100m8．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14B．15C．16D．259．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．则符合要求的搭配方案有几种（）A．2B．3C．4D．510．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1B．C．D．211．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O 作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（）A．B．2C．D．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P 是⊙O上一个东点，连接AP交BD于点T，则的最大值是（）A．4B．3C．2D．2二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．因式分解：3x3y﹣3xy＝．14．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为．15．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为．16．某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为．17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA ＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有个．18．如图，在正方形ABCD和直角△CEF中，B、C、F三点共线，∠ECF＝90°，EC＝3，FC＝4，连接AE，AF，若∠EAF＝45°，则AB＝．三、解答题：共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（1）﹣2÷；（2）先化简，再求值：，其中x＝+1．20．某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：女生阅读时间人数统计表阅读时间t（小时）人数占女生人数百分比0≤t＜0.5420%0.5≤t＜1m15%1≤t＜1.5525%1.5≤t＜26n2≤t＜2.5210%根据图表解答下列问题：（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝，n＝；（2）此次抽样调查中，共抽取了名学生，学生阅读时间的中位数在时间段；（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？21．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．22．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？23．已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式；（2）求点D坐标；（2）连AC，将直线AC以每秒1个单位的速度向x轴的正方向运动，设运动时间为t 秒，直线AC扫过梯形OCDB的面积为S，直接写出S与t的函数关系式；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．25．已知：如图1，矩形OABC的两个顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标是（8，2），点P是边BC上的一个动点，连接AP，以AP为一边朝点B方向作正方形PADE，连接OP并延长与DE交于点M，设CP＝a（a＞0）．（1）请用含a的代数式表示点P，E的坐标；（2）如图2，连接OE，并把OE绕点E逆时针方向旋转90°得EF．若点F恰好落在x轴的正半轴上，求a与的值；（3）如图1，若点M为DE的中点，并且a＞4，点Q在OP的延长线上，求EQ+PQ 的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．﹣2020的倒数是（）A．2020B．﹣2020C．D．﹣【分析】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．解：﹣2020的倒数是，故选：D．2．怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．3．下列计算中，正确的是（）A．（a3）4＝a12B．a3•a5＝a15C．a2+a2＝a4D．a6÷a2＝a3【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、（a3）4＝a3×4＝a12，故A正确；B、a3•a5＝a3+5＝a8，故B错误；C、a2+a2＝2a2，故C错误；D、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故D错误；故选：A．4．如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．解：从上面看，正三棱柱的俯视图是正三角形，圆柱的俯视图是圆，且正三角形在圆内．故选：C．5．直角坐标系中，与点M（2，﹣3）关于y轴对称的点是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y），将M的坐标代入从而得出答案．解：根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，∴点M（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．故选：B．6．2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二.82.7万亿用科学记数法表示为（）A．0.827×1014B．82.7×1012C．8.27×1013D．8.27×1014【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：82.7万亿＝8.27×1013，故选：C．7．如图，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（）A．200m B．180m C．150m D．100m【分析】构造AD为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质及相应的三角函数求得CE，DE长，进而求解．解：延长CD交过A的水平线于点E．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔基的俯角分别为60°．∴BC＝．易得AE＝，CE＝AB＝300．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶的俯角分别为30°，且BC＝．∴DE＝100∴CD＝200．故选：A．8．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14B．15C．16D．25【分析】根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225，列出方程求解即可．解：设平均每天一人传染了x人，根据题意得：1+x+（1+x）×x＝225，（1+x）2＝225，解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．答：平均每天一人传染了14人．故选：A．9．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．则符合要求的搭配方案有几种（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据题意列出摆50个A、B园艺所需甲、乙两种花卉各自的总数．令甲的总数小于2660，乙的总数小于3000，联立不等式求出未知量的取值范围，．解：设搭配A种造型x个，则B种造型为（50﹣x）个．依题意，得：，解得：20≤x≤22∵x是整数，∴x可取20、21、22，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型20个B种园艺造型30个．②A种园艺造型21个B种园艺造型29个．③A种园艺造型22个B种园艺造型28个．故选：B．10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1B．C．D．2【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝，AC＝，∴点C的坐标为（，），∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝＝1，故选：A．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O 作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（）A．B．2C．D．【分析】过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，由面积法可求OE＝OF＝OH＝1，可证四边形OFBH是矩形，可得BF＝OH＝1，由“AAS”可证△COE≌△COF，可得CE＝CF＝3，由勾股定理可求解．解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴OE＝OH＝OF，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴×3×4＝×3×OH+×3×OF+×3×OE，∴OE＝OF＝OH＝1，∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴四边形OFBH是矩形，∴BF＝OH＝1，∴CF＝3，∵点O为Rt△ABC的内心，∴∠OCF＝∠OCE，又∵OC＝OC，∠CEO＝∠CFO＝90°，∴△COE≌△COF（AAS），∴CE＝CF＝3，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，∴OD＝DC，∵OD2＝DE2+OE2，∴CD2＝（3﹣CD）2+1，∴CD＝，故选：A．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P是⊙O上一个东点，连接AP交BD于点T，则的最大值是（）A．4B．3C．2D．2【分析】过点A作BD的垂线AG，AG为定值；过点P作BD的垂线PE，只要PE最大即可，进而求出PE最大，即可得出结论．解：如图，过点A作AG⊥BD于G，∵BD是矩形的对角线，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝5，∵AB•AD＝BD•AG，∴AG＝，∵BD是⊙C的切线，∴⊙C的半径为过点P作PE⊥BD于E，∴∠AGT＝∠PET，∵∠ATG＝∠PTE，∴△AGT∽△PET，∴＝，∴＝×PE，∵＝1+，要最大，则PE最大，∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，∴最大值为1+＝3，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．因式分解：3x3y﹣3xy＝3xy（x+1）（x﹣1）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝3xy（x2﹣1）＝3xy（x+1）（x﹣1）．故答案为：3xy（x+1）（x﹣1）．14．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为70°．【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED＝70°．解：设AB与直线n交于点E，则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．又直线m∥n，∴∠2＝∠AED＝70°．故答案为：70°．15．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为．【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OA tan60°＝1×＝，故答案为：．16．某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为9：20．【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，∴y1＝6x+40；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，∴y2＝﹣4x+240，联立，解得，∴此刻的时间为9：20．故答案为：9：20．17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA ＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有2个．【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用对称性可判断点B在（2，0）的右侧，则当x＝2时，4a+2b+c＞0，则可对②进行判断；利用C（0，c），OA＝OC得到A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到B（2+c，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵点A到直线x＝1的距离大于1，∴点B到直线x＝1的距离大于1，即点B在（2，0）的右侧，∴当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，∴a+b+c＞0，所以②错误；∵C（0，c），OA＝OC，∴A（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以③错误；∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴B（2+c，0），∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．故答案为2．18．如图，在正方形ABCD和直角△CEF中，B、C、F三点共线，∠ECF＝90°，EC＝3，FC＝4，连接AE，AF，若∠EAF＝45°，则AB＝．【分析】连接AC，先证点D，点C，点E三点共线，由三角形的外角性质可得∠CAF＝∠AEC，∠CAE＝∠AFC，可证△ACF∽△EAC，可得，可求AC的长，即可求解．解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB，∠ACD＝45°＝∠ACB，∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∠BCD＝90°＝∠DCF，∴∠BCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝180°，∴点D，点C，点E三点共线，∵∠ACD＝∠CAE+∠AEC＝45°，∠ACB＝∠CAF+∠AFC＝45°，∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝45°，∴∠CAF＝∠AEC，∠CAE＝∠AFC，∴△ACF∽△EAC，∴，∴AC2＝EC•CF＝12，∴AC＝2，∴AB＝，故答案为：．三、解答题：共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（1）﹣2÷；（2）先化简，再求值：，其中x＝+1．【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，立方根定义，除法法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解：（1）原式＝﹣2÷2﹣（﹣2）﹣|×﹣|＝﹣1+2﹣（﹣）＝1﹣+＝+；（2）原式＝÷＝•＝，将x＝+1代入原式得：＝．20．某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：女生阅读时间人数统计表阅读时间t（小时）人数占女生人数百分比0≤t＜0.5420%0.5≤t＜1m15%1≤t＜1.5525%1.5≤t＜26n2≤t＜2.5210%根据图表解答下列问题：（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝3，n＝30%；（2）此次抽样调查中，共抽取了50名学生，学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段；（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？【分析】（1）由0≤t＜0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．解：（1）女生总人数为4÷20%＝20（人），∴m＝20×15%＝3，n＝×100%＝30%，故答案为：3，30%；（2）学生总人数为20+6+5+12+4+3＝50（人），这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在1≤t＜1.5范围内，∴学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段，故答案为：50，1≤t＜1.5；（3）学习时间在2～2.5小时的有女生2人，男生3人．共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是＝．21．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y＝kx+b代入y＝中，得：kx+b＝，整理得：kx2+bx﹣4＝0，∴4n＝﹣，即nk＝﹣1①．令y＝kx+b中x＝0，则y＝b，即点C的坐标为（0，b），∴S△BOC＝bn＝3，∴bn＝6②．∵点A（4，1）在一次函数y＝kx+b的图象上，∴1＝4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y＝﹣x+3．22．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15．答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，依题意，得：，解得：15≤m≤16．∵m为整数，∴m＝15或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．23．已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC、OD，证明△AOD∽△BCO，得出＝，即可得出结论；（2）连接OD，OC，证明△COD≌△CFD得出∠CDO＝∠CDF，求出∠BOE＝120°，由直角三角形的性质得出BC＝3，OB＝，图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式；（2）求点D坐标；（2）连AC，将直线AC以每秒1个单位的速度向x轴的正方向运动，设运动时间为t 秒，直线AC扫过梯形OCDB的面积为S，直接写出S与t的函数关系式；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，解方程组即可．（2）根据点D与点C的纵坐标相同，即可解决问题．（3）分三种情形①当0≤t≤1时，如图1中，重叠部分是△CEC′，②当1＜t≤3时，如图2中，重叠部分是梯形OCC′A′，③当3＜t≤5时，如图3中，重叠部分是五边形OCDEA′．分别求解即可．（4）存在．设直线PQ交x轴于F，点P坐标（a，﹣a2+a+2），分两种情形①当P 在y轴右侧时，如图4中，由△COQ′∽△Q′FP，得＝，求出FQ′，OQ′，②当P在y轴左侧时，如图5中，由△COQ′∽△Q′FP，得＝，求出FQ′，OQ′，即可解决问题．解：（1）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）当x＝0时，y＝2，∴C（0，2）．当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝3，∴点D的坐标为（3，2）．（3）①当0≤t≤1时，如图1中，重叠部分是△CEC′，s＝•CC′•EC＝•t•2t＝t2．②当1＜t≤3时，如图2中，重叠部分是梯形OCC′A′，S＝2＝2t﹣2．③当3＜t≤5时，如图3中，重叠部分是五边形OCDEA′，∵DC′∥A′B，∴＝＝，∴＝，∴S△A′EB＝•S△A′DB＝•（5﹣t），∴S＝S梯形COBD﹣S△EA′B＝﹣t2+5t﹣．（4）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P坐标（a，﹣a2+a+2），①当P在y轴右侧时，如图4中，CQ＝a，PQ＝2﹣（﹣a2+a+2）＝a2﹣a，∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，∴∠FQ′P＝∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，∴＝，∴＝，∴Q′F═a﹣3，∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝＝＝，此时a＝，∴点P坐标（，），②当P在y轴左侧时，如图5中，此时a＜0，﹣a2+a+2＜0，CQ＝﹣a，PQ＝2﹣（﹣a2+a+2）＝a2﹣a，∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠CQ′O+∠OCQ′＝90°，∴∠FQ′P＝∠OCQ′，∵∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，∴△COQ′∽△Q′FP，∴＝，∴＝，∴FQ′＝3﹣a，∴OQ′＝3，CQ＝CQ′＝＝，此时a＝﹣，点P坐标（﹣，），综上所述，点P坐标为（，）或（﹣，）．25．已知：如图1，矩形OABC的两个顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标是（8，2），点P是边BC上的一个动点，连接AP，以AP为一边朝点B方向作正方形PADE，连接OP并延长与DE交于点M，设CP＝a（a＞0）．（1）请用含a的代数式表示点P，E的坐标；（2）如图2，连接OE，并把OE绕点E逆时针方向旋转90°得EF．若点F恰好落在x 轴的正半轴上，求a与的值；（3）如图1，若点M为DE的中点，并且a＞4，点Q在OP的延长线上，求EQ+PQ 的最小值．【分析】（1）如图1中，作EN⊥BC于N只要证明△PEN≌△APB，即可解决问题；（2）利用等腰直角三角形的性质，根据点E的坐标构建方程求出a，再构建一次函数求出点M坐标，即可解决问题；（3）如图3先求出点M坐标，根据tan∠MOA＝tan∠CPO，构建方程，可求a的值，如图4中，将△PEM绕点P顺时针旋转90°得到△PAM′，则△PMM′是等腰直角三角形．可得MM′的中点k（8，1），∠MPK＝45°，作QR⊥PK，则QR＝OP，推出EQ+OP＝EQ+QR，可得当E、Q、R共线时，EQ+QR的值最小，求出点R坐标即可解决问题；解：（1）如图1中，作EN⊥BC于N．∵B（8，2），∴BC＝8，AB＝OC＝2，∵PC＝a，∴P（a，2）∵四边形OABC是矩形，四边形ADEP是正方形，∴∠B＝∠EPA＝∠ENP＝90°，PE＝PA，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠EPB＝90°，∴∠EPN＝∠PAB，∴△PEN≌△APB（AAS），∴PN＝AB＝2，EN＝PB＝8﹣a，∴E（a+2，10﹣a）．（2）如图2中，由题意：△EOF是等腰直角三角形，∴∠EOF＝45°，∵E（a+2，10﹣a），∴a+2＝10﹣a，∴a＝4，∴E（6，6），P（4，2），D（10，4），∴直线OP的解析式为y＝x，直线DE的解析式为y＝﹣x+9，联立方程组可得：，解得，∴M（9，），∴EM＝，DM＝，∴＝3．（3）如图3中，作MK⊥EN于K．∴∠EKM＝∠PNE＝90°，∵∠EPN+∠PEN＝90°，∠PEN+∠MEK＝90°，∴△ENP∽△MKE，∴，∴EK＝1，MK＝4﹣a，∴M（a+6，9﹣a），∵PC∥OA，∴∠MOA＝∠CPO，∴tan∠MOA＝tan∠CPO，∴，整理得：a2﹣8a+12＝0，解得a＝2或6．∵a＞4，∴a＝6，则P（6，2），M（9，3），M'（7，﹣1），E（8，4）如图4中，将△PEM绕点P顺时针旋转90°得到△PAM′，则△PMM′是等腰直角三角形．∴MM′的中点k（8，1），∵KM＝KM′，∴∠MPK＝45°，作QR⊥PK，则QR＝OP，∴EQ+OP＝EQ+QR，∴当E、Q、R共线时，EQ+QR的值最小，∵直线PR的解析式为y＝﹣x+5，∵ER⊥PK，∴直线ER的解析式为y＝2x﹣12，联立方程组得：，解得，∴点R坐标（，），∴ER＝，∴EQ+PQ的最小值为．。

2020年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷 (解析版)

2020年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷 (解析版)

2020年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷一、选择题（共12小题）.1．﹣2020的倒数是（）A．2020B．﹣2020C．D．﹣2．怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列计算中，正确的是（）A．（a3）4＝a12B．a3•a5＝a15C．a2+a2＝a4D．a6÷a2＝a3 4．如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（）A．B．C．D．5．直角坐标系中，与点M（2，﹣3）关于y轴对称的点是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）6．2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二.82.7万亿用科学记数法表示为（）A．0.827×1014B．82.7×1012C．8.27×1013D．8.27×1014 7．如图，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（）A．200m B．180m C．150m D．100m8．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14B．15C．16D．259．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．则符合要求的搭配方案有几种（）A．2B．3C．4D．510．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1B．C．D．211．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（）A．B．2C．D．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P 是⊙O上一个东点，连接AP交BD于点T，则的最大值是（）A．4B．3C．2D．2二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．因式分解：3x3y﹣3xy＝．14．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为．15．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为．16．某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为．17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA ＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有个．18．如图，在正方形ABCD和直角△CEF中，B、C、F三点共线，∠ECF＝90°，EC＝3，FC＝4，连接AE，AF，若∠EAF＝45°，则AB＝．三、解答题：共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（1）﹣2÷；（2）先化简，再求值：，其中x＝+1．20．某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：女生阅读时间人数统计表阅读时间t（小时）人数占女生人数百分比0≤t＜0.5420%0.5≤t＜1m15%1≤t＜1.5525%1.5≤t＜26n2≤t＜2.5210%根据图表解答下列问题：（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝，n＝；（2）此次抽样调查中，共抽取了名学生，学生阅读时间的中位数在时间段；（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？21．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．22．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？23．已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式；（2）求点D坐标；（2）连AC，将直线AC以每秒1个单位的速度向x轴的正方向运动，设运动时间为t 秒，直线AC扫过梯形OCDB的面积为S，直接写出S与t的函数关系式；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．25．已知：如图1，矩形OABC的两个顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标是（8，2），点P是边BC上的一个动点，连接AP，以AP为一边朝点B方向作正方形PADE，连接OP并延长与DE交于点M，设CP＝a（a＞0）．（1）请用含a的代数式表示点P，E的坐标；（2）如图2，连接OE，并把OE绕点E逆时针方向旋转90°得EF．若点F恰好落在x轴的正半轴上，求a与的值；（3）如图1，若点M为DE的中点，并且a＞4，点Q在OP的延长线上，求EQ+PQ 的最小值．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．﹣2020的倒数是（）A．2020B．﹣2020C．D．﹣【分析】乘积是1的两数互为倒数．依据倒数的定义回答即可．解：﹣2020的倒数是，故选：D．2．怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．3．下列计算中，正确的是（）A．（a3）4＝a12B．a3•a5＝a15C．a2+a2＝a4D．a6÷a2＝a3【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、（a3）4＝a3×4＝a12，故A正确；B、a3•a5＝a3+5＝a8，故B错误；C、a2+a2＝2a2，故C错误；D、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故D错误；故选：A．4．如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（）A．B．C．D．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．解：从上面看，正三棱柱的俯视图是正三角形，圆柱的俯视图是圆，且正三角形在圆内．故选：C．5．直角坐标系中，与点M（2，﹣3）关于y轴对称的点是（）A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴对称的点的坐标为（﹣x，y），将M的坐标代入从而得出答案．解：根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，∴点M（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．故选：B．6．2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二.82.7万亿用科学记数法表示为（）A．0.827×1014B．82.7×1012C．8.27×1013D．8.27×1014【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：82.7万亿＝8.27×1013，故选：C．7．如图，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（）A．200m B．180m C．150m D．100m【分析】构造AD为斜边的直角三角形，利用直角三角形的性质及相应的三角函数求得CE，DE长，进而求解．解：延长CD交过A的水平线于点E．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔基的俯角分别为60°．∴BC＝．易得AE＝，CE＝AB＝300．∵在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶的俯角分别为30°，且BC＝．∴DE＝100∴CD＝200．故选：A．8．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14B．15C．16D．25【分析】根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225，列出方程求解即可．解：设平均每天一人传染了x人，根据题意得：1+x+（1+x）×x＝225，（1+x）2＝225，解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．答：平均每天一人传染了14人．故选：A．9．为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆．则符合要求的搭配方案有几种（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据题意列出摆50个A、B园艺所需甲、乙两种花卉各自的总数．令甲的总数小于2660，乙的总数小于3000，联立不等式求出未知量的取值范围，．解：设搭配A种造型x个，则B种造型为（50﹣x）个．依题意，得：，解得：20≤x≤22∵x是整数，∴x可取20、21、22，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型20个B种园艺造型30个．②A种园艺造型21个B种园艺造型29个．③A种园艺造型22个B种园艺造型28个．故选：B．10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1B．C．D．2【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．解：∵等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝，AC＝，∴点C的坐标为（，），∵点C在函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝＝1，故选：A．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（）A．B．2C．D．【分析】过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，由面积法可求OE＝OF＝OH＝1，可证四边形OFBH是矩形，可得BF＝OH＝1，由“AAS”可证△COE≌△COF，可得CE＝CF＝3，由勾股定理可求解．解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴OE＝OH＝OF，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴×3×4＝×3×OH+×3×OF+×3×OE，∴OE＝OF＝OH＝1，∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴四边形OFBH是矩形，∴BF＝OH＝1，∴CF＝3，∵点O为Rt△ABC的内心，∴∠OCF＝∠OCE，又∵OC＝OC，∠CEO＝∠CFO＝90°，∴△COE≌△COF（AAS），∴CE＝CF＝3，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，∴OD＝DC，∵OD2＝DE2+OE2，∴CD2＝（3﹣CD）2+1，∴CD＝，故选：A．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙O与直线BD相切，点P是⊙O上一个东点，连接AP交BD于点T，则的最大值是（）A．4B．3C．2D．2【分析】过点A作BD的垂线AG，AG为定值；过点P作BD的垂线PE，只要PE最大即可，进而求出PE最大，即可得出结论．解：如图，过点A作AG⊥BD于G，∵BD是矩形的对角线，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝5，∵AB•AD＝BD•AG，∴AG＝，∵BD是⊙C的切线，∴⊙C的半径为过点P作PE⊥BD于E，∴∠AGT＝∠PET，∵∠ATG＝∠PTE，∴△AGT∽△PET，∴＝，∴＝×PE，∵＝1+，要最大，则PE最大，∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，∴最大值为1+＝3，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．因式分解：3x3y﹣3xy＝3xy（x+1）（x﹣1）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝3xy（x2﹣1）＝3xy（x+1）（x﹣1）．故答案为：3xy（x+1）（x﹣1）．14．已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为70°．【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED＝70°．解：设AB与直线n交于点E，则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．又直线m∥n，∴∠2＝∠AED＝70°．故答案为：70°．15．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为．【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OA tan60°＝1×＝，故答案为：．16．某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为9：20．【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，∴y1＝6x+40；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，∴y2＝﹣4x+240，联立，解得，∴此刻的时间为9：20．故答案为：9：20．17．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA ＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有2个．【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用对称轴方程得到b＝﹣2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对①进行判断；利用对称性可判断点B在（2，0）的右侧，则当x＝2时，4a+2b+c＞0，则可对②进行判断；利用C（0，c），OA＝OC得到A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到B（2+c，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵点A到直线x＝1的距离大于1，∴点B到直线x＝1的距离大于1，即点B在（2，0）的右侧，∴当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，∴a+b+c＞0，所以②错误；∵C（0，c），OA＝OC，∴A（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c＝0，即ac﹣b+1＝0，所以③错误；∵点A与点B关于直线x＝1对称，∴B（2+c，0），∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．故答案为2．18．如图，在正方形ABCD和直角△CEF中，B、C、F三点共线，∠ECF＝90°，EC＝3，FC＝4，连接AE，AF，若∠EAF＝45°，则AB＝．【分析】连接AC，先证点D，点C，点E三点共线，由三角形的外角性质可得∠CAF ＝∠AEC，∠CAE＝∠AFC，可证△ACF∽△EAC，可得，可求AC的长，即可求解．解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB，∠ACD＝45°＝∠ACB，∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∠BCD＝90°＝∠DCF，∴∠BCE＝90°，∴∠BCD+∠BCE＝180°，∴点D，点C，点E三点共线，∵∠ACD＝∠CAE+∠AEC＝45°，∠ACB＝∠CAF+∠AFC＝45°，∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝45°，∴∠CAF＝∠AEC，∠CAE＝∠AFC，∴△ACF∽△EAC，∴，∴AC2＝EC•CF＝12，∴AC＝2，∴AB＝，故答案为：．三、解答题：共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（1）﹣2÷；（2）先化简，再求值：，其中x＝+1．【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，立方根定义，除法法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．解：（1）原式＝﹣2÷2﹣（﹣2）﹣|×﹣|＝﹣1+2﹣（﹣）＝1﹣+＝+；（2）原式＝÷＝•＝，将x＝+1代入原式得：＝．20．某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了部分学生，调查结果按性别整理如下：女生阅读时间人数统计表阅读时间t（小时）人数占女生人数百分比0≤t＜0.5420%0.5≤t＜1m15%1≤t＜1.5525%1.5≤t＜26n2≤t＜2.5210%根据图表解答下列问题：（1）在女生阅读时间人数统计表中，m＝3，n＝30%；（2）此次抽样调查中，共抽取了50名学生，学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段；（3）从阅读时间在2～2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？【分析】（1）由0≤t＜0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的意义求解可得；（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解．解：（1）女生总人数为4÷20%＝20（人），∴m＝20×15%＝3，n＝×100%＝30%，故答案为：3，30%；（2）学生总人数为20+6+5+12+4+3＝50（人），这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在1≤t＜1.5范围内，∴学生阅读时间的中位数在1≤t＜1.5时间段，故答案为：50，1≤t＜1.5；（3）学习时间在2～2.5小时的有女生2人，男生3人．共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是＝．21．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y＝kx+b代入y＝中，得：kx+b＝，整理得：kx2+bx﹣4＝0，∴4n＝﹣，即nk＝﹣1①．令y＝kx+b中x＝0，则y＝b，即点C的坐标为（0，b），∴S△BOC＝bn＝3，∴bn＝6②．∵点A（4，1）在一次函数y＝kx+b的图象上，∴1＝4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y＝﹣x+3．22．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15．答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，依题意，得：，解得：15≤m≤16．∵m为整数，∴m＝15或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A 商品64个、B商品16个．23．已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC、OD，证明△AOD∽△BCO，得出＝，即可得出结论；（2）连接OD，OC，证明△COD≌△CFD得出∠CDO＝∠CDF，求出∠BOE＝120°，由直角三角形的性质得出BC＝3，OB＝，图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OC、OD，如图1所示：∵AM和BN是它的两条切线，∴AM⊥AB，BN⊥AB，∴AM∥BN，∴∠ADE+∠BCE＝180°∵DC切⊙O于E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，∴∠ODE+∠OCE＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠AOD+∠COB＝90°，∵∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝∠OCB，∵∠OAD＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO，∴＝，∴OA2＝AD•BC，∴（AB）2＝AD•BC，∴AB2＝4AD•BC；（2）解：连接OD，OC，如图2所示：∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC，∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC，∴CF＝OC，∴CD垂直平分OF，∴OD＝DF，在△COD和△CFD中，，∴△COD≌△CFD（SSS），∴∠CDO＝∠CDF，∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°，∴∠ODA＝60°＝∠BOC，∴∠BOE＝120°，在Rt△DAO，AD＝OA，Rt△BOC中，BC＝OB，∴AD：BC＝1：3，∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝，∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S扇形OBE＝2×××3﹣＝3﹣π．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式；（2）求点D坐标；（2）连AC，将直线AC以每秒1个单位的速度向x轴的正方向运动，设运动时间为t 秒，直线AC扫过梯形OCDB的面积为S，直接写出S与t的函数关系式；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，解方程组即可．（2）根据点D与点C的纵坐标相同，即可解决问题．（3）分三种情形①当0≤t≤1时，如图1中，重叠部分是△CEC′，②当1＜t≤3时，如图2中，重叠部分是梯形OCC′A′，③当3＜t≤5时，如图3中，重叠部分是五边形OCDEA′．分别求解即可．（4）存在．设直线PQ交x轴于F，点P坐标（a，﹣a2+a+2），分两种情形①当P 在y轴右侧时，如图4中，由△COQ′∽△Q′FP，得＝，求出FQ′，OQ′，②当P在y轴左侧时，如图5中，由△COQ′∽△Q′FP，得＝，求出FQ′，OQ′，即可解决问题．解：（1）将点A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）当x＝0时，y＝2，∴C（0，2）．当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝3，∴点D的坐标为（3，2）．（3）①当0≤t≤1时，如图1中，重叠部分是△CEC′，s＝•CC′•EC＝•t•2t＝t2．②当1＜t≤3时，如图2中，重叠部分是梯形OCC′A′，S＝2＝2t﹣2．③当3＜t≤5时，如图3中，重叠部分是五边形OCDEA′，∵DC′∥A′B，∴＝＝，∴＝，∴S△A′EB＝•S△A′DB＝•（5﹣t），∴S＝S梯形COBD﹣S△EA′B＝﹣t2+5t﹣．（4）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P坐标（a，﹣a2+a+2），①当P在y轴右侧时，如图4中，CQ＝a，PQ＝2﹣（﹣a2+a+2）＝a2﹣a，∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，∴∠FQ′P＝∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，∴＝，∴＝，∴Q′F═a﹣3，∴OQ′＝OF﹣Q′F＝a﹣（a﹣3）＝3，CQ＝CQ′＝＝＝，此时a＝，∴点P坐标（，），②当P在y轴左侧时，如图5中，此时a＜0，﹣a2+a+2＜0，CQ＝﹣a，PQ＝2﹣（﹣a2+a+2）＝a2﹣a，∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠CQ′O+∠OCQ′＝90°，∴∠FQ′P＝∠OCQ′，∵∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，∴△COQ′∽△Q′FP，∴＝，∴＝，∴FQ′＝3﹣a，∴OQ′＝3，CQ＝CQ′＝＝，此时a＝﹣，点P坐标（﹣，），综上所述，点P坐标为（，）或（﹣，）．25．已知：如图1，矩形OABC的两个顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标是（8，2），点P是边BC上的一个动点，连接AP，以AP为一边朝点B方向作正方形PADE，连接OP并延长与DE交于点M，设CP＝a（a＞0）．（1）请用含a的代数式表示点P，E的坐标；（2）如图2，连接OE，并把OE绕点E逆时针方向旋转90°得EF．若点F恰好落在x轴的正半轴上，求a与的值；（3）如图1，若点M为DE的中点，并且a＞4，点Q在OP的延长线上，求EQ+PQ 的最小值．【分析】（1）如图1中，作EN⊥BC于N只要证明△PEN≌△APB，即可解决问题；（2）利用等腰直角三角形的性质，根据点E的坐标构建方程求出a，再构建一次函数求出点M坐标，即可解决问题；（3）如图3先求出点M坐标，根据tan∠MOA＝tan∠CPO，构建方程，可求a的值，如图4中，将△PEM绕点P顺时针旋转90°得到△PAM′，则△PMM′是等腰直角三角形．可得MM′的中点k（8，1），∠MPK＝45°，作QR⊥PK，则QR＝OP，推出EQ+OP＝EQ+QR，可得当E、Q、R共线时，EQ+QR的值最小，求出点R坐标即可解决问题；解：（1）如图1中，作EN⊥BC于N．∵B（8，2），∴BC＝8，AB＝OC＝2，∵PC＝a，∴P（a，2）∵四边形OABC是矩形，四边形ADEP是正方形，∴∠B＝∠EPA＝∠ENP＝90°，PE＝PA，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠EPB＝90°，∴∠EPN＝∠PAB，∴△PEN≌△APB（AAS），∴PN＝AB＝2，EN＝PB＝8﹣a，∴E（a+2，10﹣a）．（2）如图2中，由题意：△EOF是等腰直角三角形，∴∠EOF＝45°，∵E（a+2，10﹣a），∴a+2＝10﹣a，∴a＝4，∴E（6，6），P（4，2），D（10，4），∴直线OP的解析式为y＝x，直线DE的解析式为y＝﹣x+9，联立方程组可得：，解得，∴M（9，），∴EM＝，DM＝，∴＝3．（3）如图3中，作MK⊥EN于K．∴∠EKM＝∠PNE＝90°，∵∠EPN+∠PEN＝90°，∠PEN+∠MEK＝90°，∴△ENP∽△MKE，∴，∴EK＝1，MK＝4﹣a，∴M（a+6，9﹣a），∵PC∥OA，∴∠MOA＝∠CPO，∴tan∠MOA＝tan∠CPO，∴，整理得：a2﹣8a+12＝0，解得a＝2或6．∵a＞4，∴a＝6，则P（6，2），M（9，3），M'（7，﹣1），E（8，4）如图4中，将△PEM绕点P顺时针旋转90°得到△PAM′，则△PMM′是等腰直角三角形．∴MM′的中点k（8，1），∵KM＝KM′，∴∠MPK＝45°，作QR⊥PK，则QR＝OP，∴EQ+OP＝EQ+QR，∴当E、Q、R共线时，EQ+QR的值最小，∵直线PR的解析式为y＝﹣x+5，∵ER⊥PK，∴直线ER的解析式为y＝2x﹣12，联立方程组得：，解得，∴点R坐标（，），∴ER＝，∴EQ+PQ的最小值为．。

2020年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷(附答案详解)

2020年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷(附答案详解)

2020年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.−2的相反数是()A. −2B. 2C. −12D. 122.在平面直角坐标系xOy中，A、B两点关于y轴对称，若A的坐标是(2,−8)，则点B的坐标是()A. (8,2)B. (2,8)C. (−2,8)D. (−2,−8)3.随着经济社会发展，各地机动车保有量持续上升，据统计四川省2019年机动车保有量约有1150万辆，若将该数字用科学记数法表示应是()A. 1.15×107B. 1.15×108C. 11.5×106D. 11.5×1074.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是()A. 圆锥B. 长方体C. 圆柱D. 球5.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为()A. 100°B. 120°C. 130°D. 150°6.下列计算正确的是()A. (x−2y)2=x2−2xy+4y2B. (x+y)(x2+y2)=x3+y3C. (−4x)(2x2+3x−1)=8x3−12x2−4xD. (−4a−1)(4a−1)=1−16a27.如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，则铁塔高度是()米A. 15√3+1B. 30√3+12C. 30√3−12D. 15√3+158. 关于x 的方程x−m x−1+2m1−x =2的解为正数，则m 的取值范围是( ) A. m <23B. m >23 C. m <23且m ≠13 D. m <23且m ≠0 9. 在同一平面直角坐标系中，函数y =ax +b 与y =ax 2−bx 的图象可能是( )A. B.C. D.10. 如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB =12cm ，高BC =8cm ，则这个零件的表面积是( )A. 192πcm 2B. 196πcm 2C. 228πcm 2D. 232πcm 211. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =6，∠ABC =60°，E 、F 是BC 、CD边上点，且BE =14BC ，DF =13CD ，AE 、AF 分别交BD 于点M ，N ，则MN 的长度是( )A. 11+22√310B. 11√1910C. 134D. 8√13512.如图，将1、√2、√3三个数按图中方式排列，若规定(a,b)表示第a排第b列的数，则(5,4)与(51,30)表示的两个数的积是()A. √6B. √3C. √2D. 1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.因式分解：a2−ab=______．14.若代数式2√a+2在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是______．15.在一个口袋中有6个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6随机地摸出一个小球后然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和等于5的概率为______．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上点，C、D为抛物线y=−x2+2x+3上两点，且四边形ABCD是正方形，则正方形ABCD的面积是______．17.如图，将等边三角形ABC绕点A顺时针旋转得到等边三角形ADE，若AD与BC交于点F，且CF=13BC，则tan∠ACE的值是______．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，与y轴相切的⊙M与x轴交于A、B两点，AC为⊙M直径，AC=10，AB=6，连接BC，点P为劣弧BC⏜上点，点Q为线段AB上点，且MP⊥MQ，MP与BC交于点N.则当NQ平分∠MNB时，点P坐标是______．三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）19.(1)计算：(12)−2−(π−√7)0+|√3−2|+4tan60°；(2)解方程：2x2x−5−22x+5=1．20.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动(每人只参加一个活动)，九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)求该班的人数；(2)请把折线统计图补充完整；(3)求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；(4)小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率．.下21.青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)2400040000(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？22.如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=k相交于P(2,4)，Q两点，与x轴、yx轴分别交于点A、B两点，且AB=2PB．(1)求该反比例函数解析式；(2)求点Q坐标．23.如图，AB为⊙O直径，C、D是⊙O上点，连接CB并延长与AD所在直线交于点F，EF⊥AB，垂足为点E，连接CE，且CE=EF．(1)证明：CE与⊙O相切；(2)若AE=8，tan∠BCE=1，求AD的长度．224.如图，在平面直角坐标系xoy中，A(−3,0)，B(4,0)，C(0,4)，E，M为线段AC上两个不重合的动点(点E在点M上方，且均不与端点重合)，EF//AB，与BC交于点F，四边形EMNF为平行四边形，连接BN．(1)求直线AC与直线BC的解析式；(2)若设点F的横坐标为x，点M的纵坐标为y，当四边形EMNF为菱形时，请求y关于x的函数解析式及相应x的取值范围；(3)请求出当△BNF为等腰三角形时，平行四边形EMNF面积的最大值．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)、B两点，与y轴交点C的坐标为(0,−6)，D为抛物线顶点，连接AD，点M为线段AD上动点(不含端点)，BM与y轴交于点N．(1)求抛物线解析式；(2)是否存在点M使得△CMN与△OBN相似，若存在请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；(3)求当BM将四边形ABCM分为面积相等的两部分时，ON的长度．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−2的相反数是：−(−2)=2，故选：B．根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2.【答案】D【解析】解：∵A、B两点关于y轴对称，A的坐标是(2,−8)，∴点B的坐标是(−2,−8)，故选：D．根据关于y轴的对称点的坐标特点可得答案．此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．3.【答案】A【解析】解：1150万=1150×104=1.15×107，故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：由主视图与左视图都是高平齐的矩形，主视图与俯视图都是长对正的矩形，得几何体是矩形，故选：B．根据主视图与左视图，主视图与俯视图的关系，可得答案．本题考查了由三视图判断几何体，利用主视图与左视图，主视图与俯视图的关系是解题关键．5.【答案】C【解析】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°−∠AOD=180°−50°=130°，故选：C．根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：A、(x−2y)2=x2−4xy+4y2，故A错误；B、(x+y)(x2+y2)=x3+xy2+yx2+y3，故B错误；C、(−4x)(2x2+3x−1)=−8x3−12x2+4x，故C错误；D、(−4a−1)(4a−1)=(−1)2−(4a)2=1−16a2，故D正确．故选：D．分别按照完全平方公式、多项式乘以多项式、单项式乘以多项式及平方差公式计算验证即可．本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式乘法的相关公式及运算法则是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：设铁塔的高度为x 米，在Rt △BCD 中，∵∠DBC =45°，∴BC =CD =x ，在Rt △ACD 中，∵∠DAC =30°，∴DC AC =tan30°=√33， ∴AC =√3x ，∵AB =30米，∴√3x −x =30，解得：x =15(√3+1)米，即铁塔的高度为15(√3+1)米，故选：D ．设铁塔的高度为x 米，在Rt △BCD 中，根据仰角为45°可得BC =CD =x 米，然后在Rt △ACD 中用x 表示出AC 的长度，根据AB =30米，求出x 的值即可．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，并解直角三角形．8.【答案】C【解析】解：两边都乘以x −1，得：x −m −2m =2(x −1)，解得x =2−3m ，∵方程x−m x−1+2m 1−x =2的解为正数，∴2−3m >0，且2−3m ≠1，解得m <23，且m ≠13，故选：C ．解分式方程得出x =2−3m ，再根据分式方程的解为正数得出2−3m >0，且2−3m ≠1，解之可得．本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．【解析】【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用，属于中档题．首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．【解答】解：A.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−>0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；bx来说，对称轴x=b2aB.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a<0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx<0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；来说，对称轴x=b2aC.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而对于抛物线y=ax2−bx>0，应在y轴的右侧，故符合题意；来说，图象开口向上，对称轴x=b2aD.对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a>0，b>0；而图中的抛物线y=ax2−bx图象开口向下，a<0，产生矛盾，所以图形错误；故选C．10.【答案】A【解析】解：易得圆锥的底面半径为6cm，∵高为8cm，∴圆锥的母线长为10cm，圆锥的侧面积=π×6×10=60π，圆柱的侧面积=12π×8=96π，圆柱的底面积=π×36=36π，∴零件的表面积=60π+96π+36π=192πcm2．故选：A．零件的表面积=圆锥的侧面积+圆柱的侧面积+圆柱的一个底面积，把相关数值代入即可求解．考查了圆锥的计算及圆柱的计算的知识，关键是得到零件表面积的组成，难点是利用勾股定理求得圆锥的母线长．【解析】解：过点B作AD垂线交DA延长线于H，∵∠ABC=60°，AB=4，∴AH=2，BH=√AH2+BH2=2√3，∵AD=6，∴HD=AH+AD=8，∴BD=√BH2+HD2=2√19，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴△AMD∽△EMB，△ABN∽△FDN，∵BE=14BC，DF=13CD，∴BM=15BD，DN=14BD，∴MN=BD−(BM+DN)=1120BD=11√1910．故选：B．过点B作AD垂线交DA延长线于H，由∠ABC=60°，AB=4，AD=6可求出BD，再由平行四边形性质得AD//BC，AB//CD，故△AMD∽△EMB，△ABN∽△FDN，从而有BM=15BD，DN=14BD，再利用MN=BD−(BM+DN)=1120BD求出MN即可．本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是作AD垂线BH求出BD、利用相似求出MN=1120BD．12.【答案】A【解析】解：由题意可得，每三个数一循环，分别为1、√2、√3.第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，…第n排有n个数，且每一排的数是从右往作排列的．∴(5,4)表示第5排第4列的数，(51,30)表示第51排第30列的数，∵前4排共有1+2+3+4=10个数，∴第5排第4列的数是第10+4=14个，∵14÷3=4…2，∴(5,4)表示的数是√2；前50排共有1+2+3+4+⋯+50=(1+50)×50÷2=1275个数，∴第51排第30列的数是第1275+30=1305个，∵1305÷3=435，∴(51,30)表示的数是√3，∴(5,4)与(51,30)表示的两个数的积是√2×√3=√6．故选：A．由题意可得，每三个数一循环，分别为1、√2、√3.第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，…第n排有n个数，且每一排的数是从右往作排列的．从而可得(5,4)与(51,30)表示的是第几排第几列的数，再根据循环规律可得它们分别表示的数，最后计算乘积即可．本题考查了数字规律的变化，观察分析从而找到题中的循环规律是解题的关键．13.【答案】a(a−b)【解析】解：a2−ab=a(a−b)．故答案为：a(a−b)．直接找出公因式再提取公因式分解即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14.【答案】a>−2【解析】解：由题意得，a+2>0，解得a>−2．故答案为：a>−2．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．15.【答案】19【解析】解：画树状图得：∵共有36种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和等于5的有4种情况，∴两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是436=19．故答案为：19．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和等于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16.【答案】24−8√5【解析】解：设C点的横坐标为m，∵抛物线y=−x2+2x+3的对称轴为直线x=−22×(−1)=1，∴CD=2(m−1)，BC=−m2+2m+3．∵ABCD为正方形，CD=BC．∴2m−2=−m2+2m+3，解得m=±√5．∵点C在对称轴的右侧，∴m>1，∴m=√5，∴CD=2(√5−1)，∴CD2=24−8√5．∴正方形ABCD的面积为24−8√5．设C点的横坐标为m，首先用含m的代数式表示出线段AB、AD的长，然后利用正方形ABCD的AB=CD得到有关m的等式求得m的值，即可求得正方形的面积．本题考查了二次函数图象是点的坐标特征，正方形的性质，得出2m−2=−m2+2m+ 3是解题的关键．17.【答案】√21+2√33【解析】解：过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N，设DE交BC于J，连接AJ.设BC=6a，则CF=2a，BF=4a，BM=CM=3a，FM=a．可得AM=AN=3√3a，AF=2√7a，由对称性可知，AJ平分∠FAC，CJ=JD，∴FJ：JC=AF：AC=2√7a：6a=√7：3，∴CJ=DJ=√7+3×2a=3(3−√7)a，∴JN=3a−3(3−√7)a=(3√7−6)a，∴tan∠AJN=ANFN =√3a(3√7−6)a=√21+2√33，∵∠ACJ=∠AEF=60°，∴A，E，C，J四点共圆，∴∠AJE=∠ACE，∴tan∠ACE=√21+2√33过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N，设DE交BC于J，连接AJ.设BC=6a，则CF=2a，BF=4a，BM=CM=3a，FM=a．求出tan∠AJN即可解决问题．本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．18.【答案】(495,13 5)【解析】解：设⊙M与y轴相切于E，连接EM并延长交BC于H，过P作PF⊥x轴于F，延长FP交EH于D，∵AC为⊙M直径，∴BC⊥AB，∵AC=10，AB=6，∴BC=8，∵⊙M与y轴相切，∴EM⊥y轴，∴四边形OEDF是矩形，∴OE=BH=DF，ED=OF，ED//OF，∵AM=CM，∴MH=12AB=3，BH=DF=4，∵MP⊥MQ，NQ平分∠MNB，∴MN=BN，设MN=BN=x，∴NH=4−x，∵MH2+HN2=MN2，∴x2=32+(4−x)2，解得：x=258，∴MN=BN=258，∴HN=78，∵HN//PD，∴△MHN∽△MDP，∴MHMD =HNPD=MNMP，∴3MD =78PD=2585，∴MD =245，PD =75， ∴DE =EM +MD =495，PF =DF −PD =135， ∴点P 坐标是(495,135)，故答案为：(495,135).设⊙M 与y 轴相切于E ，连接EM 并延长交BC 于H ，过P 作PF ⊥x 轴于F ，延长FP 交EH 于D ，根据勾股定理得到BC =8，根据切线的性质得到EM ⊥y 轴，由矩形的性质得到OE =BH =DF ，ED =OF ，ED//OF ，根据角平分线的性质得到MN =BN ，设MN =BN =x ，根据勾股定理得到MN =BN =258，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．19.【答案】解：(1)原式=4−1+2−√3+4√3=−5+3√3；(2)去分母得：2x(2x +5)−2(2x −5)=4x 2−25，整理得：4x 2+10x −4x +10=4x 2−25，解得：x =−356，经检验x =−356是分式方程的解．【解析】(1)原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．20.【答案】解：(1)该班全部人数：12÷25%=48人；(2)48×50%=24，折线统计如图所示：(3)648×360°=45°；(4)分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：则所有可能有16种，其中他们参加同一活动有4种，所以他们参加同一服务活动的概率P =416=14．【解析】本题考查折线图、扇形统计图、列表法等知识，解题的关键是记住基本概念，属于中考常考题型．(1)根据参加生态环保的人数以及百分比，即可解决问题；(2)社区服务的人数，画出折线图即可；(3)根据圆心角=360°×百分比，计算即可；(4)用列表法即可解决问题；21.【答案】解：(1)设淡季每间的价格为x 元，酒店豪华间有y 间，{x(y −10)=24000x(1+13)y =40000， 解得，{x =600y =50， ∴x +13x =600+13×600=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；(2)设该酒店豪华间的价格上涨x 元，日总收入为y 元，y =(800+x)(50−x 25)=−125(x −225)2+42025， ∴当x =225时，y 取得最大值，此时y =42025，答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元． 【解析】(1)根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；(2)根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．22.【答案】解：(1)将点P 的坐标代入反比例函数表达式得：4=k2，解得：k =8， 故反比例函数解析式为：y =8x ①，(2)过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则Rt △AOB∽Rt △AMP ，∴OB PM =AB AP =2PB 2PB+PB =23，即OB 4=23，解得：OB =83，设直线AP 的表达式为：y =mx +83，将点A 的坐标代入上式得：4=2m +83，解得：m =23，故直线AP 的表达式为：y =23x +83②，联立①②并解得：x =2(舍去)或−6，故点Q 的坐标为(−6,−43). 【解析】(1)将点P 的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；(2)Rt △AOB∽Rt △AMP ，求出OB =83，进而求出直线AP 的表达式为：y =23x +83②，联立①②即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用三角形相似求出OB 的长度是解题的关键．23.【答案】(1)证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB =90°，∵EF ⊥AB ，∴∠AEF =90°，∴∠ACB =∠AEF ，∵∠ABC =∠EBF ，∴∠CAB =∠DFB ，∵CE =EF ，∴∠ECF =∠EFC ，∴∠CAB =∠ECF ，∵OC =OA ，∴∠OAC =∠ACO ，∴∠ACO =∠ECF ，∴∠ACO +∠BCO =∠BCO +∠ECF =90°，∴∠OCE =90°，∴CE 与⊙O 相切；(2)解：∵∠CAB =∠BCE ，∴tan∠BCE =tan∠CAB =BC AC =12，∵∠CEA =∠AEC ，∴△ACE∽△CBE ，∴CE AE =BC AC =12，∵AE =8，∴CE =4，∴EF =CE =4，∵∠EFB =∠CAB ，∴BE EF =12， ∴BE =12×EF =2，∴AB =AE −BE =6，连接BD ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴tan∠BAD =BD AD =EF AE =12， ∴设AD =2k ，BD =k ，∴AB =√5k =6，∴k =6√55， ∴AD =2k =12√55．【解析】(1)连接OC ，根据圆周角定理和等腰三角形的性质以及切线的判定定理即可得到结论；(2)根据三角函数的定义得到tan∠BCE =tan∠CAB =BC AC =12，根据相似三角形的性质得到CE =4，求得EF =CE =4，得到AB =AE −BE =6，连接BD ，设AD =2k ，BD =k ，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．24.【答案】解：(1)设直线AC 的解析式为：y =k 1x +b 1，将A(−3,0)，C(0,4)代入得， {−3k 1+b 1=0b 1=4，解得：{k 1=43b 1=4， 所以，直线AC 的解析式为：y =43x +4，设直线BC 的解析式为：y =k 2x +b 2，将B(4,0)，C(0,4)代入得，{4k 2+b 2=0b 2=4，解得：{k 2=−1b 2=4， 所以，直线BC 的解析式为：y =−x +4；(2)∵点F的横坐标为x，点F在直线BC上，∴F(x,−x+4)，∵点M的纵坐标为y，点M在直线AC上，∴M(34y−3,y)，∵EF//AB，∴E，F的纵坐标相同，点E在直线AC上，∴E(−34x,−x+4)，∵四边形EMNF为菱形，∴EM=EF，∴EM2=EF2，∴[y−(−x+4)]2+(34y−3+34x)2=(x+34x)2，整理得：[(x+y)−4]2=4925x2，∵点E在点M上方，即点E纵坐标大于点M纵坐标，∴−x+4>y，即x+y<4，又∵x>0，∴[(x+y)−4]2=4925x2两边开方得：4−(x+y)=75x，整理得：y=−125x+4，由题知，0<y<3，即0<−125x+4<3，解得：512<x<53，∴y关于x的函数解析式为y=−125x+4，x的取值范围为512<x<53；(3)由题意当BF=FN或FN=BN时，点N在△ABC外，不符合题意，当BF=BN时，作DN⊥EF交EF于点D，设F(a,4−a)，N(b,y N)，则EF =74a ，DF =a −b ，DN =43(a −b)，∴y N =4−7a−4b 3， ∴N(b,4−7a−4b 3)，设FN 的中点为点G ，又F(a,4−a)，∴G(a+b 2,4−5a−3b 3)，∵在△BNF 中，BF =BN ，∴FN ⊥BG ，∴K FN ⋅K BG =−1，又K BG =−34，∵G(a+b 2,4−5a−3b 3)，B(4,0)， ∴K BG =4−5a−2b 3a+b 2−4=−34， 解得：b =31a−2425，由题意得S ▱EFMN =EF ⋅DN =74a ⋅43(a −31a−2425)=73a(−6a 25+2425)=−1425(a −2)2+5625， ∴当a =2时，平行四边形EMNF 面积有最大值，S ▱EFMN =5625．【解析】(1)利用待定系数法即可求解；(2)利用邻边相等的平行四边形是菱形的判定定理，用字母把邻边表示出来求解即可；(3)首先判断等腰三角形的可能性，设出F ，N 的坐标，列出平行四边形的面积的函数，根据二次函数的性质可得面积的最大值．本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，菱形的判定及等腰三角形的性质在坐标系中的灵活运用，设出点的坐标并找出其关系是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A(−3,0)、点C(0,−6)， ∴{9−3b +c =0c =−6， 解得：{b =1c =−6， ∴抛物线解析式为：y =x 2+x −6；(2)存在．理由：∵y =x 2+x −6=(x +12)2−254， ∴D(−12,−254)， 设直线AD 解析式为y =kx +b ，∵A(−3,0)，D(−12,−254)，∴{−3k +b =0−12k +b =−254，解得：{k =−52b =−152， ∴直线AD 解析式为y =−52x −152， 当△OBN∽△CMN 时，∠BON =∠NCM =90°，OB//CM ，设M(x,−6)，代入y =−52x −152，得： −6=−52x −152， 解得：x =−35，∴M(−35,−6)；当△OBN∽△MCN 时，∠BON =∠NMC =90°，作直线ME ⊥x 轴于点E ，作直线CF ⊥ME 于点F ，∵∠EMB +∠EBM =∠EMB +∠CMF =90°，∴∠BEM =∠CMF ，∴△EBM∽△FMC ，在y =x 2+x −6中，令y =0，得：x 2+x −6=0，解得：x 1=−3(舍去)，x 2=2，∴B(2,0)，设M(x,−52x −152)， ∵C(0,−6)，∴EB =2−x ，CF =−x ，EM =52x +152，MF =−52x −32，∵△EBM∽△FMC ，∴EB EM =FM FC ，∴EB ⋅FC =FM ⋅EM ，∴(2−x)(−x)=(−52x −32)(52x +152)，解得：x =−41±2√9429， ∴点M 的坐标为(−41+2√9429,−115−5√9429)或(−41−2√9429,−115+5√9429)， 综上所述，当点M 的坐标为(−35,−6)，(−41+2√9429,−115−5√9429)，(−41−2√9429,−115+5√9429)，时，满足题意．(3)作MG//x 轴交BC 于点G ，设直线BC 的解析式为y =k 1x +b 1，将B(2,0)，C(0,−6)代入，得：{2k 1+b 1=0b 1=−6， 解得：{k 1=3b 1=−6， ∴直线BC 的解析式为y =3x −6，设M(x,−52x −152)，G(a,−52x −152)， 将G(a,−52x −152)代入直线BC 的解析式中，得：3a −6=−52x −152， ∴a =−56x −12，∴G(−56x −12,−52x −152)， MG =−56x −12−x =−116x −12， ∴S △ABM =12AB ⋅|y M |=12×5⋅(52x +152)=25x+754， S △CBM =12OC ⋅MG =12×6⋅(−116x −12)=−11x−32， 由题意得：25x+754=−11x−32， 解得：x =−8147，∴M(−8147,−15047)，设直线BM 的解析式为y =k 2x +b 2，将B(2,0)，M(−8147,−15047)代入，得：{2k 2+b 2=0−8147k 2+b 2=−15047， 解得：{k 2=67b 2=−127， ∴N(0,−127)， ∴ON =127．【解析】(1)利用待定系数法将A ，C 的坐标代入抛物线解析式解方程组即可；(2)先利用配方法求出顶点坐标，再运用待定系数法求出直线AD 的解析式，由于△CMN 与△OBN 相似，可以分两种情况：△OBN∽△CMN 或△OBN∽△MCN ，分别应用相似三角形性质建立方程求解即可；(3)作MG//x 轴交BC 于点G ，先运用待定系数法求直线BC 的解析式，利用三角形面积建立方程求解，得出点M 的坐标，再利用待定系数法求直线BM 的解析式，从而求得点N 的坐标，即可求得ON ．本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角形面积等知识，属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、二次函数图象和性质等相关知识，并能够灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．。

2020届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学(文)试题

2020届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学(文)试题

秘密★启用前【考试时间： 2020年1月5日15 : 00-17: 00】绵阳市高中2017级第二次诊断性考试文科数学一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 .设全集 U= {x|x>0} , M={x|l<e x <e 2}，则 C U M = A.(1,2) B.(2,+g ) C.(0,1] U [2,+ g ) D.[2,+)2. 已知i 为虚数单位，复数 z 满足z • i=1+2i ，则z 的共轭复数为 A . 2-i B . 2+i C . l-2i D . i-23. 已知高一(1)班有学生45人，高一(2)班有50人，高一(3)班有55人，现在要用分层抽样的方法从 这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一 (2)班被抽出的人数为x 2-4x+y 2-32=0上一动点，线段 MP 的垂直平分线交 NP 于点Q 则动点Q 的轨1 5.已知a 为任意角，贝UCOS2 a =一”是“ sin a =駅 33A .充分不必要条件.必要不充分条件B ”的C.充要条件 D.既不充分也不必要 6.已知 M(-2 , 0) , P 是圆 N: A. 2 x 2 y 1 B . 2 x 2 y 1 C . 2 x 2y 1 D . 2 x 2y19 5 5 9 5 99 5_y 与广告费用x 之间的关系如下表: 7.己知某产品的销售额 若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y= 6.5x+9，则下列说法中错误的是A . 10 12 C . 13 D . 154.己知向量b =(_l , x)，右 a // b ,则 | b |=A .B .5 C.v'522,2), D.5A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点(2 , 22)C •当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m 的值是20&甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为1131A .-B .CD •84• 822 29•双曲线X r1T 1 ( a>0, b>0)的右焦点为F,过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线a2b2分别交于A B两点，若四边形OAFB (0为坐标原点)的面积为be,则双曲线的离心率为A. 2B.2C. 3D.310.已知圆C: x2+y2 -2x-8=0，直线I经过点M(2, 2)，且将圆C及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线I的方程为A. x-2y+2=0B. 2x+y-6=0C.2x-y-2=0D. x+2y-6=01 3,且当x > 0时，f (x) xcosx sinx —x ,则满足不等式3的实数m的取值范围为12) C . (0 , —) U (1 , 2) D . (2 , +s)21 一a(ax+2 )在区间[0 ,一]上恰有一个零点，则实数a的取值范围是aU [3,+ 8) C.(1,2) U [3, + 8) D.[2,3)、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 直线I仁ax-(a+l)y-1=0 与直线4x-6y+3=0平行，则实数a的值是___________ .14. 某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如右图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是0,| | )的图象如右图所示，则f(x)在区间［-n,n ］上的零点之和为211.己知f(x)为偶函数f(log 2m)+f( lo g]m)< 2f ⑴21A • ( - , 2)B • (0 ,212.函数f(x)=(2ax-1) 2 -logA.( 1，2)B.15 •函数y sin( x )(19. （12 分）16 .过点M （-1 , 0）的直线，与抛物线 C: y 2 3=4x 交于A , B 两点（A 在M B 之间），F 是抛物线C 的焦点，若 S A MB =4S A |^,则厶ABF 的面积为。

绵阳市高中2020级第二次诊断性考试文科数学答案

绵阳市高中2020级第二次诊断性考试文科数学答案

绵阳市高中2020级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DDCAA BCDBA CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．1314．1-15．3-16．[1，3)三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由23(cos )sin b a C a C -=，及正弦定理可得，3sin 3sin cos sin sin B A C a A C -=， ··············································· 2分 ∵3sin 3sin()3sin cos 3cos sin B A C A C A C =+=+ ······································ 4分 ∴3cos sin sin sin A C a A C =， ······························································· 6分即sin 3cos a A A =，且3A π=，可得a =············································ 8分（2）由2121)cos(-=⋅-=-⋅⋅=⋅b c A b c AC BA π，可得1c b ⋅=， ······················ 10分由余弦定理2222cos 4b c a bc A +=+⋅=. ·················································· 12分18．解：（1）由题意知，2n S =2n a +n a ，① ··············································· 1分当n =1时，21a =21a +1a ，则11a =； ·························································· 2分当2≥n 时，21n S -=21n a -+1n a -，② ····················································· 3分 ①②相减可得，2a n =2n a −21n a -+n a −1n a -， ················································ 4分 ∴a n +1n a -= 2n a −21n a -，则a n -1n a -=1，∴数列{}n a 是以11a =为首项，1为公差的等差数列， ·································· 5分 所以，a n = n (n ∈N ∗). ········································································ 6分 （2）2()3n n n a b n =⋅， ··········································································· 7分设n n n c a b =，则1112232()(1)()()3333n n n n n n c c n n -----=⋅--⋅=⋅， ························ 8分 ∴当3n <时，10n n c c -->，所以1n n c c ->， ··········································· 9分 当3n =时，10n n c c --=，所以1n n c c -=， ············································· 10分当3n >时，10n n c c --<，所以1n n c c -<， ············································· 11分 则12345c c c c c <=>>>，∴存在23或m =，使得对任意的，≤n n m m n N a b a b *∈恒成立． ····················· 12分 19．解：（1）因为0.92<0.99，根据统计学相关知识，2R 越大，意味着残差平方和521ˆ()ii yy =-∑越小，那么拟合效果越好，因此选择非线性回归方程②2ˆˆˆy mx n =+进行拟合更加符合问题实际． ······························································· 4分 （2）令2i i u x =，则先求出线性回归方程：ˆˆˆy mu n =+， ································ 5分∵14916250.8 1.1 1.5 2.4 3.711 1.955=，u y ++++++++===， ····················· 7分 2222221()(111)(411)(911)(1611)(2511)nii uu =-=-+-+-+-+-∑=374， ··········· 9分∴121()()45.1ˆ0.121374()nii i nii uu y y muu ==--==≈-∑∑， ················································ 10分 由ˆ1.90.12111n=⨯+，得ˆ0.5690.57n =≈， 即ˆ0.120.57yu =+， ·········································································· 11分 ∴所求非线性回归方程为：2ˆ0.120.57yx =+． ········································ 12分 20．解：（1）设11()B x y ，，22()C x y ，，直线BC 的方程为：4x my =+，其中1=m k， ······································· 1分联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 整理得：22(34)24360m y my +++=， ··················· 2分 所以：1222434m y y m -+=+，1223634y y m ⋅=+， ············································ 3分 从而121212121222(6)(6)y y y y k k x x my my ⋅⋅=⋅=++++ 12212126()36y y m y y m y y =+++2222236134361444363434m m m m m +==-+++所以：12k k ⋅为定值14． ······································································ 5分 （2）直线AB 的方程为：)2(211++=x x y y ， ············································ 6分 令4x =，得到66261111+=+=my y x y y M ， ················································· 7分 同理：2266N y y my =+． ········································································· 8分 从而121266||||||66M N y y MN y y my my =-=-++122121236|||6()36|y y m y y m y y -=+++ ····················································· 9分又12||y y -==212122144|6()36|34m y y m y y m +++=+，···················································· 10分所以||MN = ······································································ 11分 因为：1[34]，m k=∈，所以||MN ∈， 即线段MN长度的取值范围为． ············································ 12分 21．解：（1）解：(1) a =2时，2()ln 32f x x x x =+-+，2231(21)(1)()x x x x f x x x -+--'==， ······················································ 2分 由()0f x '>解得：x >1或102x <<；由()0f x '<解得：112x <<． ················ 3分 故f (x )在区间(1)，+∞，1(0)2，上单调递增，在区间1(1)2，上单调递减． ·········· 4分 所以f (x )的极大值是13()ln 224f =-，极小值是f (1)=0； ······························ 5分（2）2(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==，且10≥x -， ········································· 6分 ①当≥1a 时，10≥ax -，(1)(1)()0≥ax x f x x--'=， 故f (x )在区间[1，2]上单调递增，所以min ()()0f x h a ==， ···························· 7分 ②当102≤a <时，10ax -≤，(1)(1)()0≤ax x f x x --'=， 故f (x )在区间[1，2]上单调递减， 所以min ()()(2)ln 2102≥a f x h a f ===+-，显然()h a 在区间1(0]2，上单调递增， 故13()()ln 224≤h a h =-<0． ····································································· 9分 ③当112a <<时，由()0f x '>解得：12≤x a <；由()0f x '<解得：11≤x a<． 故f (x )在区间1(2]，a 上单调递增，在区间1[1)，a 上单调递减． 此时min11()()()ln 22a f x f h a a a a ===--，则222111(1)()0222≥a h a a a a -'=-+=， 故()h a 在区间1(1)2，上单调递增，故h (a )<h (1)=0. ······································· 11分 综上：011()ln 2102211ln 1222，≥，≤，a ah a a aa a a ⎧⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪--<<⎪⎩，且h (a )的最大值是0.·························· 12分 22．解：（1）①当B 在线段AO 上时，由|OA |‧|OB |=4，则B （2，π）或（2，23π）； ②当B 不在线段AO 上时，设B （ρ，θ），且满足|OA |‧|OB |=4，∴A 4（，）θπρ+，············································································ 1分 又∵A 在曲线l 上，则44cos()sin()2θπθπρρ+++=-， ··························· 3分∴2sin 2cos ρθθ=+， ····································································· 4分又∵3≤≤2ππθπ+，即20≤≤πθ. 综上所述，曲线C 的极坐标方程为：2sin 2cos ρθθ=+2（0≤≤）πθ，或32()2=或=πρθπθ=. ·························· 5分 （2）①若曲线C 为：32()2=或=πρθπθ=，此时P ，Q 重合，不符合题意； ②设l 1：θα=2（0≤≤）πθ，又l 1与曲线C 交于点P ，联立2sin 2cos ，，θαρθθ=⎧⎨=+⎩得：2sin 2cos P ραα=+， ··································································· 6分 又l 1与曲线l 交于点Q ，联立sin cos 2，，θαρθρθ=⎧⎨+=-⎩得：2sin cos Q ραα-=+， ······································································ 7分又∵M 是P ，Q 的中点， 1sin cos (0)2sin cos 2≤≤P QM ρρπρααααα+==+-+，······························ 8分令sin cos t αα+=，则)4t πα=+，又∵20≤≤πα，则3444≤≤πππα+，且1≤t ，∴1(1≤M t t t ρ=-，且1M t t ρ=-在1⎡⎣上是增函数， ····················· 9分∴M ρ=42ππα+=时，即4πα=时等号成立． ∴OM 的最大值为22． ··································································· 10分 23．解：（1）由()f x ≤3的解集为[n ，1]，可知，1是方程()f x =3的根，∴(1)f =3+|m +1|=3，则m =−1， ····························································· 1分 ∴()f x =|2x +1|+|x −1|，①当x ≤12-时，()f x =−3x ≤3，即x ≥−1，解得：−1≤x ≤12-， ················· 2分②当112x <<时，()f x =x +2≤3，解得：112x -<<， ································ 3分 ③当x ≥1时，()f x =3x ≤3，解得：x =1． ··············································· 4分 综上所述：()f x 的解集为[−1，1]，所以m =−1，n =−1． ····························· 5分（2）由（1）可知m =−1，则1222a b+=. ······················································· 6分 令12x a =，2y b =，则12a x=，2b y =，又a ，b 均为正数，则2x y +=（00，x y >>），由基本不等式得，2≥x y =+， ······················································ 7分 ∴1≤xy ，当且仅当，x =y=1时等号成立． 所以有11≥xy，当且仅当，x =y=1时等号成立． ········································ 8分 又22222244164(2)a b a b x y +=+=+8≥xy=(当且仅当，x =y 时等号成立)． ········· 9分 ∴22168≥a b +成立，(当且仅当，122，a b ==时等号成立) ． ··················· 10分。

2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学(文)试题(解析版)

2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学(文)试题(解析版)

2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题一、单选题1．设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(][)0,12,+∞D ．[)2,+∞【答案】D【解析】先确定集合M 的元素，再由补集定义求解． 【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ． 【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i - D ．2i -【答案】A【解析】由除法计算出复数z ． 【详解】 由题意122iz i i+==-． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题．3．已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ） A ．10 B ．12C ．13D ．15【答案】A【解析】分层抽样是按比例抽取人数． 【详解】设高一（2）被抽取x 人，则5030455055x =++，解得10x =． 故选：A ． 【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题．4．已知向量()1,2a =r ，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ）A B ．52C D ．5【答案】C【解析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模． 【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴2(1)b =-=．故选：C ． 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．5．已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】说明命题1cos 23α=⇒sin 3α=和sin 3α=⇒1cos 23α=是否为真即可． 【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin α=”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题p q ⇒为真，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．6．已知()2,0M ，P 是圆N ：224320x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A ．22195x y +=B ．22159x y -=C ． ,? a c ==D ．22195x y -=【答案】A【解析】利用6QM QN QP QN PN +=+==，确定M 点轨迹是椭圆，从而易求得其方程． 【详解】由题意圆标准方程为22(2)36x y ++=，圆心为(2,0)N -，半径为6，∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，∴QP QM =， ∴6QM QN QP QN PN +=+==4MN >=， ∴Q 点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为6的椭圆，∴3,2a c ==，b =∴其轨迹方程为22195x y +=．故选：A ． 【点睛】本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆，然后求出,a b 得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程． 7．已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ）A．产品的销售额与广告费用成正相关B．该回归直线过点()2,22C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D．m的值是20【答案】C【解析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出x后，再由回归方程求出y，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出10x=时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又0123425x++++==，∴ 6.52922y=⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B正确；10x=时， 6.510974y=⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C错误；由10153035225my++++==，得20m=，D正确．故选：C．【点睛】本题考查回归直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点(,)x y，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．8．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A．18B．14C．38D．12【答案】B【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P==．故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．9．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A． B ．2CD ．3【答案】B【解析】把四边形OAFB 面积用,,a b c 表示出来，它等于bc ，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -， ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c 的一个等式，本题中四边形OAFB 的面积是bc 就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得． 10．已知圆C ：22280x y x +--=，直线l 经过点()2,2M，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A ．220x y -+= B ．260x y +-= C ．220x y --= D ．260x y +-=【答案】D【解析】如图，设设AOB θ∠=(0)θπ<≤，求出直线l 分圆所成两部分面积之差的绝对值9(sin )S πθθ=-+，利用导数确定函数的单调性，确定出当θ最小时S 最大，由圆的性质知θ最小时，CM AB ⊥，从而可求得直线方程． 【详解】圆C 标准方程为22(1)9x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为3r =，直线l 交圆于,A B 两点，设AOB θ∠=(0)θπ<≤，如图，则直线l 分圆所成两部分中较小部分面积为22111sin 22S r r θθ=-，较大部分面积为22211(2)sin 22S r r πθθ=-+，∴这两部分面积之差的绝对值为22221sin 9(sin )S S S r r r πθθπθθ=-=-+=-+，'9(1cos )0S θ=-+≤，∴9(sin )S πθθ=-+是减函数，θ最小时，S 最大．在CAB ∆中，2222218cos 218r AB AB rθ--==，∴AB 最小时，cos θ最大，从而θ最小．∵AB 经过点M ，∴由圆的性质知当CM AB ⊥时，AB 取得最小值.此时112AB CM k k =-=-，∴直线l 方程为12(2)2y x -=--，即260x y +-=．故选：D ． 【点睛】本题考查直线与圆相交问题，解题关键是引入AOB θ=∠，借助于扇形面积公式用θ表示出两个弓形面积之差的绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的θ值，从而确定直线l 的位置，求得其方程．本题考查了函数思想的应用． 11．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞【答案】A【解析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为2(log )(1)f m f <，由导数确定函数()f x 在[0,)+∞上的单调性，利用单调性解不等式． 【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-，令()sin g x x x =-，则'()1c o s 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=，∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为12()()0f x f x +>，转化为12()()f x f x >-，一种是偶函数，不等式为12()()f x f x >，转化为12()()f x f x >，然后由单调性去函数符号“f ”．12．函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(][)1,23,+∞C ．()[)1,23,+∞D ．[)2,3【答案】D【解析】由零点存在定理1(0)()0f f a <得23a <<，但还要验证此时在1(0,)a上是否只有一个零点，然后讨论(0)0f =和1()0f a=两种情形是否符合题意． 【详解】（1）若由1(0)()0f f a<得(1log 2)(1log 3)0a a --<，lg 2lg 3(1)(1)0lg lg a a--<， (lg lg 2)(lg lg3)0a a --<，lg 2lg lg3a <<，∴23a <<．设2()(21)g x ax =-，()log (2)a h x ax =+，∵23a <<，∴()h x 在定义域内是增函数，作出()g x ，()h x 的示意图，如图．1(0)()1g g a ==，(0)log 21a h =<，1()log 31a h a =>，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a 上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意．（2）若(0)0f =，则1log 20a -=，2a =．如（1）中示意图，2()log (22)h x x =+是增函数，只是(0)(0)1h g ==，而11()(0)1()h h g a a>==，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a 上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意．（3）若1()0f a=，则1log 30a -=，3a =，如（1）中示意图，3()log (32)h x x =+是增函数，此时11()()1h g a a==，但(0)1g =，而3(0)log 21(0)h g =<=，因此在1(0,)2a 上()g x 与()h x 的图象还有一个交点，即()f x 在1[0,]a上有两个零点，不合题意．综上，a 的取值范围是[2,3)． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点分布问题．()f x 在闭区间[,]m n 上只有一个零点，首先由零点存在定理()()0f m f n <确定参数范围，但是此种情形下必须验证在(,)m n 上是否是一个零点，零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点．其次分别讨论()0f m =和()0f n =两种情形是否满足题意．二、填空题13．直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2.【解析】由两直线平行的条件判断． 【详解】 由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2． 【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=平行，条件12210A B A B -=是必要条件，不是充分条件，还必须有12210AC A C -≠或12210B C B C -≠，但在2220A B C ≠时，两直线平行的充要条件是111222A B C A B C =≠． 14．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.【答案】30.8.【解析】写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差． 【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为1101141191211261185x ++++==，方差为2222221[(110118)(114118)(119118)(121118)(126118)]5s =-+-+-+-+-30.8=故答案为：30.8 【点睛】本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础．15．函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π. 【解析】先求出周期，确定ω，再由点(,1)6π确定ϕ，得函数解析式，然后可求出[,]-ππ上的所有零点． 【详解】 由题意411()3126T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ， ∴()sin(2)6f x x π=+．由sin(2)06x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈， 在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程()0f x =得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线6x π=对称，由此可得4个零点的和．16．过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，若4MBF MAF S S ∆∆=，则ABF ∆的面积为______. 【答案】3.【解析】不妨设,A B 在第一象限且由设1122(,),(,)A x y B x y ，由4MBF MAF S S ∆∆=，得2111422MF y MF y =⨯，从而214y y =．由,,A B M 共线及,A B 在抛物线上，可求得12,y y ． 【详解】不妨设,A B 在第一象限，如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意(1,0)F ，∵4MBF MAF S S ∆∆=，∴2111422MF y MF y =⨯，∴214y y =． 又,,M A B 共线，∴121211y y x x =++，即122212111144y y y y =++，把214y y =代入得： 112211414114y yy y =++，显然10y ≠，解得11y =，∴24y =， ∴12112MAF S ∆=⨯⨯=，4MBF S ∆=，∴413FAB MBF MAF S S S ∆∆∆=-=-=．故答案为：3．【点睛】本题考查直线与抛物线相交的面积问题．解题关键是善于发现MAF ∆和MBF ∆有共同的底MF ，从而由面积比得出,A B 两点的纵坐标比，再由,,M A B 共线及,A B 在抛物线上，求得,A B 的纵坐标，从而得三角形面积．三、解答题17．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表附表：其中：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【解析】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据2K公式计算2K，对照附表可得结论．【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m =.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m 的人数为1000.550⨯=人， 故列联表补充如下：2K 的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础．18．已知等差数列{}n a 的公差2d =，30a >，且-4a 与7a 的等比中项.数列{}n b 的通项公式为32n a n b +=.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记)*n n c a n N=∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）222n n b -=；（2）2241n n S n n =+--.【解析】（1）由等差数列的通项公式表示出47,a a ，由等比中项定义求得1a ，注意30a >可确定只有一解，从而中得n a ，也即得n b ；（2）由（1）得1252n n c n -=-+，用分组求和法可求得n S ．【详解】（1）由题意得41136a a d a =+=+，711612a a d a =+=+.∴(()()211612a a -=+⋅+，解得13a =-或115a =-.又31220a a =+⨯>，得14a >-，故13a =-. ∴()32125n a n n =-+⋅-=-. ∴32222n a n n b +-==.（2）由（1）可知，1252n n n c a n -==-+.12n n S c c c =+++()123112512nn -=--+++-+⎡⎤⎣⎦-()325212n n n -+-=+-2241n n n =+--.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的定义，考查分组求和法以及等差数列和等比数列前n 项和公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式和前n 项和公式是解题基础．19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【答案】（1）23A π=；（2）12.【解析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ； （2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立AD 与三角形各边的关系，由BC =，即即AD =23a bc =，再代入余弦定理2222cos a b c bc A =+-中可求得b c =，从而可得6B C π==，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-， 结合0A π<<，可知23A π=.（2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒， 即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==.∴1sin sin 62B π==. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：11sin 22ABC S bc A BC AD ∆==⋅． 20．已知椭圆C ：2212x y +=，动直线l 过定点()2,0且交椭圆C 于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上）.（1）若线段AB 中点Q 的纵坐标是23-，求直线l 的方程； （2）记A 点关于x 轴的对称点为M ，若点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值. 【答案】（1）220x y --=；（2）1n =.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+，直线方程与椭圆方程联立消元得y 的二次方程，由判别式得t 的取舍范围，由韦达定理得1212,y y y y +，利用AB 中点纵坐标是23-可求得t ，只要满足>0∆即可； （2）由题意()11,M x y -，MN NB λ=，说明M ，N ，B 三点共线，即MN MB k k =.这样可求出n ，化为只含12,y y 的式子后代入（1）中的1212,y y y y +就可求得n ． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+.由22222x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()222420t y ty +++=. 220t ∆=->，解得t >t <由韦达定理得12242t y y t -+=+，12222y y t =+.① ∵AB 中点Q 的纵坐标是23-，∴1243y y +=-，代入①解得1t =或2t =.又t >t <2t =. ∴直线l 的方程为220x y --=. （2）由题意得()11,M x y -，由MN NB λ=，知M ，N ，B 三点共线， 即MN MB k k =. ∴()()1211210y y y n x x x ----=--，即121121y y y n x x x +=--， 解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+，222x ty =+，代入得121222ty y n y y =++.②由①有12242t y y t -+=+，12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =. 【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，解题时注意体会． 21．已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），求()()21f x f x -的最大值.【答案】（1）当a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >函数()f x在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22a a ⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）32ln 22-. 【解析】（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >得增区间，由'()0f x <得减区间，注意题中函数定义域是(0,)+∞，因此对二次三项式28x ax -+分类情况为第一类：0a ≤或0∆≤，第二类0a >且>0∆．（2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用12,x x 表示极值点，由12,x x 是方程220x ax -+=的解，得12x x a +=，122x x =.2212221()()2ln 2f x f x x x ax -=+-21111(2ln )2x x ax -+-()()2222121112ln 2x x x a x x x =+---2222112ln 2x x x x -=-222211122ln x x x x x x -=-2211122lnx x x x x x =-+.不妨设12x x <，引入变量21xt x =，则1t >，21()()f x f x -就转化为t 的函数，由3a ≥求得t 的范围，由导数知识可得所求最大值． 【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+，则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即a ≤时，得()'0f x ≥恒成立， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当00a >⎧⎨∆>⎩，即a >由()'0f x >，得0x <<x >由()'0f x <x <<.∴函数()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减.综上所述，当a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得，当a >()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）. 则1x ，2x 为()220x a g x x =-+=的两根，∴12x x a +=，122x x =.()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>， 则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+.由3a ≥，得()22121219222x x a t x x t +==++≥，即22520t t -+≥，解得2t ≥.∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<， ∴()h t 在[)2,+∞上单调递减， ∴()()max 322ln 22h t h ==-. 即()()21f x f x -的最大值为32ln 22-.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点以及与极值点有关的最值．在求单调区间时要注意分类讨论．在研究极值点有关的最值问题时，常常设极值点为12,x x ，由极值点的定义得出函数中参数与12,x x 的关系，即用12,x x 表示参数，并代入待求（证）式，同时设21x t x =（本题），可把待求（证）式转化为t 的函数式，从而再利用导数的知识确定这个函数得出结论．这类题难度较大，对学生的思维能力、推理论证能力、转化与化归能力要求较高．22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的极坐标方程；（2）若()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2211OA OB +的取值范围.【答案】（1）()2213x y -+=，2cos 21ρθ=；（2）⎝. 【解析】（1）由22cos sin 1ϕϕ+=消元后得普通方程，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直角坐标方程可得极坐标方程；（2）直接把,A B 两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得2212,ρρ，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围．【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(，代入1C ，得23r =，∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=，即()222cos sin 1ρθθ-=，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=.（2）将点()1,A ρα，2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程，得21cos 21ρα=，22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴22222111cos 2cos 1123OAOBπααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 222223πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，23πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎝. 所以2211OAOB +的取值范围是⎝. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法．23．已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤，其中0a >.（1）当4a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（2）04a <≤. 【解析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）； （2）设()121f x x x =+--，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 的最大值，解相应不等式可得a 的范围． 【详解】 （1）由4a =时，12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-，第 21 页 共 21 页 当12x ≥时，()1212x x +--≤-，解得4x ≥，综合得4x ≥； 当112x -<<时，1212x x ++-≤-，解得23x ≤-，综合得213x -<≤-； 当1x ≤-时，()1212x x -++-≤-，解得0x ≤，综合得1x ≤-.∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. （2）设函数()2,111213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩， 画图可知，函数()f x 的最大值为32. 由123log 2a ≤，解得04a <≤. 【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．。

2020年1月绵阳市高三文科数学第二次诊断性考试卷附答案解析

2020年1月绵阳市高三文科数学第二次诊断性考试卷附答案解析

2020年1月绵阳市高三文科数学第二次诊断性考试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U={x|x>0}，M={x|l<e x<e 2}，则M C U =A.(1,2)B.(2,+∞)C.(0,1]∪[2,+∞)D.[2,+∞)2.已知i 为虚数单位，复数z 满足z ·i=1+2i，则z 的共轭复数为A．2-i B．2+i C．l-2i D．i-23．已知高一(1)班有学生45人，高一(2)班有50人，高一(3)班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一(2)班被抽出的人数为A．10B．12C．13D．154．己知向量a =(l，2)，b =(-l，x)，若a ∥b ，则|b |=A．25B．25 C.5D.55．已知α为任意角，则“cos2α=31”是“sinα=33”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要6．已知M(-2，0)，P 是圆N：x 2-4x+y 2-32=0上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q，则动点Q 的轨迹方程为A．15922=+y x B．19522=-y x C．19522=+y x D．15922=-y x 7．己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y=6.5x+9，则下列说法中错误的是A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2，22)C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D.m 的值是208．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为A．81B．41C．83D．219．双曲线12222=-by a x （a>0，b>0）的右焦点为F，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A，B 两点，若四边形OAFB (O 为坐标原点)的面积为bc，则双曲线的离心率为A.2B.2C.3D.310.已知圆C：x 2+y 2-2x-8=0，直线l 经过点M(2，2)，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为A.x-2y+2=0 B.2x+y-6=0 C.2x-y-2=0 D.x+2y-6=011.己知f(x)为偶函数，且当x≥0时，331sin cos )(x x x x x f +-=，则满足不等式f(log 2m)+f(m21log )<2f (1)的实数m 的取值范围为A．（21，2）B．(0，2)C．(0，21)∪(1，2)D．(2，+∞)12．函数f(x)=(2ax-1)2-log a (ax+2）在区间[0，a1]上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是A.(31，21) B.(1,2]∪[3,+∞) C.(1,2)∪[3,+∞)D.[2,3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线l 1：ax-(a+l)y-1=0与直线4x-6y+3=0平行，则实数a 的值是．14.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如右图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是____．15．函数2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象如右图所示，则f(x)在区间[-π，π]上的零点之和为____．16．过点M(-1，0)的直线，与抛物线C:y 2=4x 交于A，B 两点(A 在M，B 之间)，F 是抛物线C 的焦点，若S △MBF =4S △MAF ，则△ABF 的面积为。

四川省绵阳市2020届高三数学上学期第二次(1月)诊断性考试试题 文

四川省绵阳市2020届高三数学上学期第二次(1月)诊断性考试试题 文

四川省绵阳市2020届高三数学上学期第二次（1月）诊断性考试试题文一、选择题（60分）1、在复平面内，复数12i+对应的点位于 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限2、己知集合A={0, 1，2, 3，4}，B=｜x ｜1x e -＞1｝，则A ∩B ＝A 、{1，2，3，4}B 、{2，3，4}C 、{3，4}D 、{4} 3.右图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总 成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m 的值为A 、0B 、2C 、3D 、54、“a ＝b ＝1”是“直线a x －y+1＝0与直线x －by －1＝0平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、直线l ：x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则∠AOB 等于 A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 6．设a ，b 是互相垂直的单位向量，且（λa ＋b ）⊥（a ＋2b ），则实数λ的值是 A 、2 B 、－2 C 、1 D 、－17、执行如图的程序框图，其中输入的7sin 6a π=，7cos 6b π=，则输出a 的值为 A 、1 B 、－1 C 3 D 38、若函数2()ln 21f x x x bx =+--的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b 的取值范围为A 、（－∞，4）B 、（－∞，4］C 、（4，＋∞）D （0,4）9、已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝A 、1B 2C 、2D 、4 10、已知F 1，F 2是焦距为8的双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点F 2关于 双曲线E 的一条渐近线的对称点为点A ，若｜AF 1｜＝4，则此双曲线的离心率为A 2B 3C 、2D 、311．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往 酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第 二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二： 直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则A 、P 1•P 2＝14B 、P 1＝P 2＝13C 、P 1+P 2＝56D 、P 1＜P 2 12、已知椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点为F ，点A （一2，2)为椭圆C 内一点。

2023届四川省绵阳市二诊文数试题及答案

2023届四川省绵阳市二诊文数试题及答案

文科数学参考答案第1页（共6页）绵阳市高中2020级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DDCAABCDBA CA 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．1-15．3-16．[1，3)三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由23(cos )sin b a C a C -=，及正弦定理可得，3sin 3sin cos sin sin B A C a A C -=，················································2分∵3sin 3sin()3sin cos 3cos sin B A C A C A C =+=+·······································4分∴3cos sin sin sin A C a A C =，································································6分即sin 3cos a A A =，且3A π=，可得a =·············································8分（2）由2121)cos(-=⋅-=-⋅⋅=⋅b c A b c AC BA π，可得1c b ⋅=，·······················10分由余弦定理2222cos 4b c a bc A +=+⋅=.···················································12分18．解：（1）由题意知，2n S =2n a +n a ，①···············································1分当n =1时，21a =21a +1a ，则11a =；···························································2分当2≥n 时，21n S -=21n a -+1n a -，②·····················································3分①②相减可得，2a n =2n a −21n a -+n a −1n a -，················································4分∴a n +1n a -=2n a −21n a -，则a n -1n a -=1，∴数列{}n a 是以11a =为首项，1为公差的等差数列，··································5分所以，a n =n (n ∈N ∗).········································································6分（2）2()3n n n a b n =⋅，············································································7分设n n n c a b =，则1112232((1)()()3333n n n n n n c c n n -----=⋅--⋅=⋅，·························8分∴当3n <时，10n n c c -->，所以1n n c c ->，············································9分当3n =时，10n n c c --=，所以1n n c c -=，·············································10分文科数学参考答案第2页（共6页）当3n >时，10n n c c --<，所以1n n c c -<，··············································11分则12345c c c c c <=>>> ，∴存在23或m =，使得对任意的，≤n n m m n N a b a b *∈恒成立．·····················12分19．解：（1）因为0.92<0.99，根据统计学相关知识，2R 越大，意味着残差平方和521ˆ()i i y y =-∑越小，那么拟合效果越好，因此选择非线性回归方程②2ˆˆˆymx n =+进行拟合更加符合问题实际．································································4分（2）令2i i u x =，则先求出线性回归方程：ˆˆˆymu n =+，·································5分∵14916250.8 1.1 1.5 2.4 3.711 1.955=，u y ++++++++===，······················7分2222221()(111)(411)(911)(1611)(2511)n ii uu =-=-+-+-+-+-∑=374，············9分∴121()()45.1ˆ0.121374()n i i i n i i u u y y m uu ==--==≈-∑∑，·················································10分由ˆ1.90.12111n=⨯+，得ˆ0.5690.57n =≈，即ˆ0.120.57yu =+，···········································································11分∴所求非线性回归方程为：2ˆ0.120.57yx =+．········································12分20．解：（1）设11()B x y ，，22()C x y ，，直线BC 的方程为：4x my =+，其中1=m k，········································1分联立224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 整理得：22(34)24360m y my +++=，····················2分所以：1222434m y y m -+=+，1223634y y m ⋅=+，·············································3分从而121212121222(6)(6)y y y y k k x x my my ⋅⋅=⋅=++++12212126()36y y m y y m y y =+++文科数学参考答案第3页（共6页）2222236134361444363434m m m m m +==-+++所以：12k k ⋅为定值14．········································································5分（2）直线AB 的方程为：)2(211++=x x y y ，··············································6分令4x =，得到66261111+=+=my y x y y M ，··················································7分同理：2266N y y my =+．··········································································8分从而121266||||||66M N y y MN y y my my =-=-++122121236|||6()36|y y m y y m y y -=+++······················································9分又122||34y y m -=+，212122144|6()36|34m y y m y y m +++=+，····················································10分所以||MN =，·······································································11分因为：1[34]，m k=∈，所以||MN ∈，即线段MN长度的取值范围为．·············································12分21．解：（1）解：(1)a =2时，2()ln 32f x x x x =+-+，2231(21)(1)()x x x x f x x x-+--'==，·······················································2分由()0f x '>解得：x >1或102x <<；由()0f x '<解得：112x <<．·················3分故f (x )在区间(1)，+∞，1(0)2，上单调递增，在区间1(1)2，上单调递减．···········4分所以f (x )的极大值是13()ln 224f =-，极小值是f (1)=0；·······························5分文科数学参考答案第4页（共6页）（2）2(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==，且10≥x -，································6分①当≥1a 时，10≥ax -，(1)(1)()0ax x f x x--'=，故f (x )在区间[1，2]上单调递增，所以min ()()0f x h a ==，·····························7分②当102≤a <时，10ax -≤，(1)(1)()0≤ax x f x x--'=，故f (x )在区间[1，2]上单调递减，所以min ()()(2)ln 2102≥a f x h a f ===+-，显然()h a 在区间1(02，上单调递增，故13()()ln 224≤h a h =-<0．······································································9分③当112a <<时，由()0f x '>解得：12≤x a <；由()0f x '<解得：11≤x a<．故f (x )在区间1(2]a 上单调递增，在区间1[1)，a上单调递减．此时min 11()()()ln 22a f x f h a a a a ===--，则222111(1)()0222≥a h a a a a -'=-+=，故()h a 在区间1(1)2，上单调递增，故h (a )<h (1)=0.·······································11分综上：011()ln 2102211ln 1222，≥，≤，a a h a a a a a a ⎧⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪--<<⎪⎩，且h (a )的最大值是0.··························12分22．解：（1）①当B 在线段AO 上时，由|OA |‧|OB |=4，则B （2，π）或（2，23π）；②当B 不在线段AO 上时，设B （ρ，θ），且满足|OA |‧|OB |=4，∴A 4（）θπρ+，·············································································1分又∵A 在曲线l 上，则44cos()sin()2θπθπρρ+++=-，···························3分∴2sin 2cos ρθθ=+，······································································4分又∵3≤≤2ππθπ+，即20≤≤πθ.综上所述，曲线C 的极坐标方程为：文科数学参考答案第5页（共6页）2sin 2cos ρθθ=+2（0≤≤πθ，或32()2=或=πρθπθ=.···························5分（2）①若曲线C 为：32()2=或=πρθπθ=，此时P ，Q 重合，不符合题意；②设l 1：θα=2（0≤≤πθ，又l 1与曲线C 交于点P ，联立2sin 2cos ，，θαρθθ=⎧⎨=+⎩得：2sin 2cos P ραα=+，····································································6分又l 1与曲线l 交于点Q ，联立sin cos 2，，θαρθρθ=⎧⎨+=-⎩得：2sin cos Q ραα-=+，·······································································7分又∵M 是P ，Q 的中点，1sin cos )2sin cos 2≤≤P Q M ρρπρααααα+==+-+，·······························8分令sin cos t αα+=，则)4t πα=+，又∵20≤≤πα，则3444≤≤πππα+，且1≤t ，∴1(1≤M t t t ρ=-，且1M t t ρ=-在1⎡⎣上是增函数，······················9分∴221M ρ-=，且当42ππα+=时，即4πα=时等号成立．∴OM 的最大值为22．····································································10分23．解：（1）由()f x ≤3的解集为[n ，1]，可知，1是方程()f x =3的根，∴(1)f =3+|m +1|=3，则m =−1，······························································1分∴()f x =|2x +1|+|x −1|，①当x ≤12-时，()f x =−3x ≤3，即x ≥−1，解得：−1≤x ≤12-，··················2分②当112x <<时，()f x =x +2≤3，解得：112x -<<，·································3分③当x ≥1时，()f x =3x ≤3，解得：x =1．················································4分综上所述：()f x 的解集为[−1，1]，所以m =−1，n =−1．······························5分文科数学参考答案第6页（共6页）（2）由（1）可知m =−1，则1222a b +=.·························································6分令12x a =，2y b =，则12a x =，2b y=，又a ，b 均为正数，则2x y +=（00，x y >>），由基本不等式得，2≥x y =+，·······················································7分∴1≤xy ，当且仅当，x =y=1时等号成立．所以有11≥xy，当且仅当，x =y=1时等号成立．·········································8分又22222244164(2)a b a b x y +=+=+8≥xy =(当且仅当，x =y 时等号成立)．··········9分∴22168≥a b +成立，(当且仅当，122，a b ==时等号成立)．···················10分。

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2020届绵阳二诊 文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.设全集{}|0U x x =>，{}2|1xM x e e=<<，则UCM =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D 【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<，∴{|2}U C M x x =≥． 故选：D ．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足12z i i ⋅=+，则z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i - 【答案】A 【详解】由题意122iz i i+==-． 故选：A ．3.已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（ ） A. 10B. 12C. 13D. 15【答案】A 【详解】设高一（2）被抽取x 人，则5030455055x =++，解得10x =． 故选：A ．4.已知向量()1,2a =，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ）B.52D. 5【答案】C【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴2(1)b =-=． 故选：C ．5.已知α为任意角，则“1cos 23α=”是“sin α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【详解】21cos 212sin 3a α=-=，则sin α=，因此“1cos 23α=”是“sin α=”的必要不充分条件． 故选：B ．6.已知()2,0M ，P 是圆N ：224320x x y ++-=上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点Q 的轨迹方程为（ ）A. 22195x y +=B. 22159x y -=C. ,? a c ==D. 22195x y -=【答案】A【详解】由题意圆标准方程为22(2)36x y ++=，圆心为(2,0)N -，半径为6， ∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，∴QP QM =， ∴6QM QN QP QN PN +=+==4MN >=， ∴Q 点轨迹是以,M N 为焦点，长轴长为6的椭圆，∴3,2a c ==，b = ∴其轨迹方程为22195x y +=．故选：A ．7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+，则下列说法中错误的是（ ） A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m值是20【答案】C【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A 正确； 又0123425x ++++==，∴ 6.52922y =⨯+=，回归直线一定过点(2,22)，B 正确；10x =时， 6.510974y =⨯+=，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C 错误； 由10153035225m y ++++==，得20m =，D 正确．故选：C ．8.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A .18B.14C. 38D.12【答案】B【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为2184P ==． 故选：B ．9.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ，B 两点，若四边形OAFB （O 为坐标原点）的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）B. 2D. 3【答案】B【详解】由题意(c,0)F ，渐近线方程为by x a =±，不妨设AF 方程为()b y x c a=--， 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(,)22c bc A a ，同理(,)22c bc B a -，∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=，由题意22bc bc a=，∴2c a =．故选：B ．10.已知圆C ：22280x y x +--=，直线l 经过点()2,2M，且将圆C 及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线l 的方程为（ ） A. 220x y B. 260x y +-= C. 220x y --= D. 260x y +-=【答案】D【详解】圆C 标准方程为22(1)9x y -+=，圆心为(1,0)C ，半径为3r =，直线l 交圆于,A B 两点，设AOB θ∠=(0)θπ<≤，如图，则直线l 分圆所成两部分中较小部分面积为22111sin 22S r r θθ=-，较大部分面积为22211(2)sin 22S r r πθθ=-+，∴这两部分面积之差的绝对值为22221sin 9(sin )S S S r r r πθθπθθ=-=-+=-+，'9(1cos )0S θ=-+≤，∴9(sin )S πθθ=-+是减函数，θ最小时，S 最大．在CAB ∆中，2222218cos 218r AB AB rθ--==，∴AB 最小时，cos θ最大，从而θ最小．∵AB 经过点M ，∴由圆的性质知当CM AB ⊥时，AB 取得最小值.此时112AB CMk k =-=-，∴直线l 方程为12(2)2y x -=--，即260x y +-=． 故选：D ．11.已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为（ ）A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,2C. ()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】A【详解】∵()f x 是偶函数，∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，31()cos sin 3f x x x x x =-+，2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-， 令()sin g x x x =-，则'()1cos 0g x x =-≥，∴()g x 是R 上的增函数，∴当0x >时，()(0)0g x g >=， ∴0x ≥时，'()0f x ≥，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数， ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <，即21log 1m -<<，122m <<． 故选：A ．12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. (][)1,23,+∞C. ()[)1,23,+∞D. [)2,3【答案】D【详解】（1）若由1(0)()0f f a<得(1log 2)(1log 3)0a a--<，lg 2lg 3(1)(1)0lg lg a a --<， (lg lg 2)(lg lg3)0a a --<，lg 2lg lg3a <<，∴23a <<．设2()(21)g x ax =-，()log (2)a h x ax =+，∵23a <<，∴()h x 在定义域内是增函数， 作出()g x ，()h x 的示意图，如图．1(0)()1g g a ==，(0)log 21a h =<，1()log 31a h a =>，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a 上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意．（2）若(0)0f =，则1log 20a -=，2a =．如（1）中示意图，2()log (22)h x x =+是增函数，只是(0)(0)1h g ==，而11()(0)1()h h g a a >==，∴()g x 与()h x 的图象在1[0,]a上只有一个交点，即()f x 在1[0,]a上只有一个零点，符合题意． （3）若1()0f a=，则1log 30a -=，3a =，如（1）中示意图，3()log (32)h x x =+是增函数，此时11()()1h g a a==，但(0)1g =，而3(0)log 21(0)h g =<=，因此在1(0,)2a 上()g x 与()h x 的图象还有一个交点，即()f x 在1[0,]a上有两个零点，不合题意．综上，a 的取值范围是[2,3)． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线l ：()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行，则实数a 的值是______. 【答案】2. 【详解】由题意(1)1463a a -+-=≠-，解得2a =． 故答案为：2．14.某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.【答案】30.8.【详解】五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为1101141191211261185x ++++==，方差为2222221[(110118)(114118)(119118)(121118)(126118)]5s =-+-+-+-+-30.8= 故答案为：30.815.函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则()f x 在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π. 【详解】由题意411()3126T πππ=⨯-=，∴22πωπ==，又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<，∴6π=ϕ，∴()sin(2)6f x x π=+．由sin(2)06x π+=得26x k ππ+=，212k x ππ=-，k Z ∈， 在[,]-ππ内有：7511,,,12121212ππππ--，它们的和为23π．16.过点()1,0M -的直线l 与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，若4MBF MAF S S ∆∆=，则ABF ∆的面积为______. 【答案】3.【详解】不妨设,A B 在第一象限，如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意(1,0)F ，∵4MBF MAF S S ∆∆=，∴2111422MF y MF y =⨯，∴214y y =． 又,,M A B 共线，∴121211y yx x =++，即122212111144y y y y =++，把214y y =代入得： 112211414114y yy y =++，显然10y ≠，解得11y =，∴24y =， ∴12112MAF S ∆=⨯⨯=，4MBF S ∆=，∴413FAB MBF MAF S S S ∆∆∆=-=-=．故答案为：3．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t （小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .（2）已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名，请根据题目信息完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表附表：其中：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）10；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关. 【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m=.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为1000.550⨯=人，故列联表补充如下：2K的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.18.已知等差数列{}n a 的公差2d =，30a >，且-4a 与7a 的等比中项.数列{}n b 的通项公式为32n a n b +=.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记)*n n c a n N=∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【详解】（1）由题意得41136a a d a =+=+，711612a a d a =+=+.∴(()()211612a a -=+⋅+，解得13a =-或115a =-.又31220a a =+⨯>，得14a >-，故13a =-. ∴()32125n a n n =-+⋅-=-. ∴32222n a n n b +-==.（2）由（1）可知，1252n n n c a n -==-+.12n n S c c c =+++()123112512n n -=--+++-+⎡⎤⎣⎦-()325212n n n -+-=+-2241n n n =+--.19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，BC =，求sin B . 【详解】（1）ABC ∆中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+，即222a b c bc =++. 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-， 结合0A π<<，可知23A π=.（2）在ABC ∆中，11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅，即2bc a AD =⋅.由已知BC =，可得AD =.在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒，即223bc b c bc =++，整理得()20b c -=，即b c =， ∴6A B π==. ∴1sin sin62B π==. 20.已知椭圆C ：2212x y +=，动直线l 过定点()2,0且交椭圆C 于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上）. （1）若线段AB 中点Q 的纵坐标是23-，求直线l 的方程； （2）记A 点关于x 轴的对称点为M ，若点(),0N n 满足MN NB λ=，求n 的值.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：2x ty =+. 由22222x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()222420t y ty +++=.220t ∆=->，解得t >t <. 由韦达定理得12242t y y t -+=+，12222y y t =+.① ∵AB 中点Q 的纵坐标是23-， ∴1243y y +=-，代入①解得1t =或2t =.又t >t <2t =.∴直线l 的方程为220x y --=.（2）由题意得()11,M x y -，由MN NB λ=，知M ，N ，B 三点共线，即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--， 即121121y y y n x x x +=--，解得()121121y x x n x y y -=++. 将112x ty =+，222x ty =+，代入得121222ty y n y y =++.② 由①有12242t y y t -+=+，12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =.21.已知函数()212ln 2x f x ax x =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a ≥，记函数()f x 的两个极值点为1x ，2x （其中21x x >），求()()21f x f x -的最大值.【详解】（1）()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>. 令()22g x x ax =-+，则28a ∆=-. ①当0a ≤或0∆≤，即a ≤时，得()'0f x ≥恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当00a >⎧⎨∆>⎩，即a > 由()'0f x >，得0x <<或x >由()'0f x <x <<∴函数()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22a a ⎛+ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当a ≤()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得，当a >()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）.则1x ，2x 为()220x a g x x =-+=的两根， ∴12x x a +=，122x x =.()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=- 2211122ln x x x x x x =-+. 令()211x t t x =>， 则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. 由3a ≥，得()22121219222x x a t x x t +==++≥， 即22520t t -+≥，解得2t ≥.∵()()22222121211'0t t t t t t t h t ---+-=--==<，∴()h t 在[)2,+∞上单调递减，∴()()max 322ln 22h t h ==-. 即()()21f x f x -的最大值为32ln 22-.（二）选考题：共10分。

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