北科大数理方程 3+ch3+贝塞尔函数 习题课

代入之，得
R ( r ) ( ) Z ( z ) 1 r
2
1 r
R ( r ) ( ) Z ( z )
R ( r ) ( ) Z ( z ) R ( r ) ( ) Z ( z ) 0
两边同除以 R ( r ) ( ) Z ( z )可 得
8
这就决定了
2
r
R ( r ) R (r )
r
R ( r ) R (r )
r
2

( ) ( )
b
中的常数b必定为非负整数, 再看第三个方程
Z ( z ) Z ( z ) 0
记 b 2,
容易求出通解。 因此，求解的关键是求第二个方程的解.
9
记 b 2,
按照斯图姆—刘维尔固有值理论，常数
为固有值，
先限定考虑
0.
2
2 0 的情形。
便于数学处理. 再补充考虑 0
的情形。
12
现在作代换
dR dr
r x,
dR dx
2
因为
d R dr
2

,

2
d R dx
2
2
,
则方程
d dr (r dR ( r ) dr ) ( r
R ( r ) R (r ) 1 R ( r ) r R (r ) 1 ( ) r
2
( )

Z ( z ) Z (z)
4
R ( r ) R (r )

1 R ( r ) r R (r )

1 ( ) r
2
( )

Z ( z ) Z (z)
2
T ' a k T 0
2 2
( R ' )'
m
2
Rk R 0
2
T An exp( k n a t )
2 2
R C n J m (k n ) Dn N m (k n )
f ( )

n 1
An R n ( )
u

n 1
Tn ( t ) R n ( ) e
( m 1 )!
(2) x
m
x → ∞ 时的行为：
J m ( x) N m ( x) H m ( x) H m ( x)
2 x 2 x 2 x 2 x
cos( x sin( x
1 2 1 2
m m
1 2
1 4 1 4
); );
17
柱函数的递推公式
基本递推公式
[x [x
m m
Z m ( x )]' x Z m ( x )]' x
m m
Z m 1 ( x ) Z m 1 ( x )
推论一
Z m ' mZ m / x Z m 1 Z m ' mZ m / x Z m 1
J m ( x)

k 0
( 1)
k
k ! ( k m 1)
2x 2 k m
N m ( x)
J m ( x ) cos mx J m ( x ) sin mx
H m ( x) J m ( x) i N m ( x)
15
贝塞尔函数的图象
16
诺伊曼函数的图象
第三章 贝塞尔函数
贝塞尔方程
x y ( x ) xy ( x ) ( x ) y ( x ) 0
2 2 2
的解称为贝塞尔函数。 在应用分离变量法求解某些圆柱形区域内 的定解问题时，常会遇到这样的常微分方程。 贝塞尔函数是一类重要的特殊函数，它是某 个特殊的线性常微分方程的解。在一般情况下， 特殊函数不是初等函数。
2
2
r
) R ( r ) 0.
变为
d R dx
2 2

1 dR x dx
(1

x
2 2
)R 0
13
d R dx
2
2

1 dR x dx
(1

x
2 2
)R 0
记
2
y( x) R ( x)
则得到
2 2
x y ( x ) xy ( x ) ( x ) y ( x ) 0
24
• 泛定方程的通解为：
y ( x ) AJ m ( x ) BN m ( x )
根据边界条件可以得出本征值：
kn n
(m )
/ b, n
(m )
为非零解条件确定的第
n 个正数；
(m )
如果 k 0能够得到非零解，则定
义 k0 0
0
本征函数为：
R n ( ) y n ( x ) C n J m ( n
1 2
1 4
)0 x
1 ) 4
1 2
m
1 4
( n 1 ) 2
(n
m
20
递推公式的应用
[x [x
m m
Z m ]' x Z m ]' x
m m
Z m 1 Z k x Z m 1 Z 0 x
n m 1
k 1
[x
n

x
n 1
J 1 dx
2
x J 1 ( n 1) x
n 1
J 0 ( n 1)

x
n2
J 0 dx

x J m 1 dx x J m c
m m
21

x J 0 dx x J 1 ( n 1) x
n n n n
n 1
J 0 ( n 1)

而后一式又可写成
r
2
R ( r ) R (r )
r
R ( r ) R (r )
r
2
( ) ( )
此式左端是r 的函数，
与 无关；而右端仅为 因此此式必等于常数，
6
的函数,
设为b.
与r 无关, 则有
r
2
R ( r ) R (r )
r
R ( r ) R (r )
r
2

( ) ( )
b
于是又得到下面两个式子：
( ) b ( ) 0,
( r ) rR ( r ) ( r 2 b ) R ( r ) 0 r R
2
这样共得到三个常微分方程
Z ( z ) Z ( z ) 0
第一第三个方程容易求解。先看第一个方程的边界条件
1 k
Z k 1 ]'
1
[ xZ 1 ]'

x J m dx
n

x x
n
[x
1 m
J m 1 ]' dx
x J m 1 ( n m 1) x J 0 dx
n

x
n 1
J m 1 dx

x x
n
n
1
[ xJ 1 ]' dx
x J 1 ( n 1)
此式左端是r 和 的函数，与z无关；而右端仅为
z 的函数, 与 r 和 无 关 , 则有 设为 .
R ( r ) R (r ) 1 R ( r ) r R (r )
因此必等于常数，
1 ( ) r
2
( )

Z ( z ) Z (z)

于是得到
Z ( z ) Z ( z ) 0
1 dx 2
J0
2
x J 1 dx x J 0 2
2 dx
xJ
1 dx
0 dx
xJ
xJ 1 2
J
22
转 动 对 称 柱 面 问 题 的 分 解
u T (t ) R ( )e
im
u |t 0 f ( ) e
im
ut a 2u
2

x
n2
J 0 dx
x J m dx x J m 1 ( n m 1)

x
n 1
J m 1 dx

x J m 1 dx x J m c
m m

3
xJ 0 dx xJ 1
3 2
x J 0 dx x J 1 2 x J 0 4

xJ 0 dx
J
1
内容：
第一节 贝塞尔方程的引出
第二节 贝塞尔方程的求解
第三节 贝塞尔函数的性质 第四节 贝塞尔函数应用举例
2
第一节
贝塞尔方程的引出
u u
2
三维拉普拉斯方程
x
2

u
2
y
2

u
2
z
2
0
在柱坐标系(r, ϕ, z)下，
x r cos ,
为
u
2
y sin ,
1 u
2
zz
0.
r
2

1 u r r
r
2
2

u
2
z
2
用分离变量法求解, 令
u ( r , , z ) R ( r ) ( ) Z ( z )
3
u
2
r
2

1 u r r

1 u
2
r
2
2

u
2
z
2
0.
u ( r , , z ) R ( r ) ( ) Z ( z )
0 x1
(0)
x1
(1 )
x1
(2)
x1
(m )
x1
( m 1 )

相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现
0 x1
(m)
x1
( m 1 )
x2
(m )
x2
( m 1)
x3
(m )

• 由渐近公式，在 x 较大时
cos( x xn
(m ) 1 2
m
推论二
2 Z m ' Z m 1 Z m 1 2 mZ m / x Z m 1 Z m 1
18
柱函数的渐近性质
x → 0 时的行为：
J 0 ( x ) 1, N 0 ( x)
2 x 2
J m 0 ( x )
1 m!
x (2)
m
ln , N m 0 ( x )
2
r
) R ( r ) 0.
R ' ( a ) R ( a ) 0.
R (r )
11
得到常微分方程问题
d dr
'
(r
dR ( r ) dr
) ( r
2
r
) R ( r ) 0.
R ( a ) R ( a ) 0.
R (r )
或者
y ( x ) 1 x y ( x ) (1

x
2 2
) y( x) 0
这样便得到v 阶贝塞尔方程。
14
柱函数的基本性质
• m 阶柱函数
– 定义：
贝塞尔方程 x y " xy ' ( x m ) y 0 的特解
2 2 2
– 分类：
• m 阶贝塞尔函数 • m 阶诺伊曼函数 • m 阶汉克尔函数
7
因为在圆柱形区域的定解问题中， u ( r , , z ) 单值有限， u ( r , , z ) u ( r , 2 , z ), 所以
( ) ( 2 ).
( ) b ( ) 0,
( ) 是一个周期函数。
常数b必定为非负整数,
1 4
exp[ i ( x
m
1 2
)];
1 4
exp[ i ( x
m
)]
19
柱函数的零点分布
由图象，
m 阶贝塞尔函数有无限多个正零点
0 x1
(m )
x2
(m )
x3
(m )
xn
(m )
x n 1
(m )
第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加
再看边界条件
10
如果 u ( r , , z ) 在 0 r a 上满足边界条件 ( u r u ) r a 0 , 那么
R ( a ) R ( a ) 0.
'
还有自然边界条件
R (r )
得到常微分方程问题
d dr (r dR ( r ) dr ) ( r
R ( r ) R (r ) 1 R ( r ) r R (r ) 1 ( ) r
2
( )

5
Z ( z ) Z ( z ) 0
R ( r ) R (r ) 1 R ( r ) r R (r ) 1 ( ) r
2
( )
(m ) ( / b ) D n N m ( n m ) / b ), n 0，2 ,3, 1,
25
正交性和完备性
正交性

模
b
im
23
• 本征值问题：
( R ' )' m R k 2 R 0 斯 — 刘型边界条件
2
令 x = k ρ, y(x) = R(ρ), 问题化为：
x 2 y " xy ' m 2 y x 2 y 0 , 0 x kb 斯 — 刘型边界条件
2
这时方程
2
r R ( r ) rR ( r ) ( r b ) R ( r ) 0
可写为
r R ( r ) rR ( r ) ( r ) R ( r ) 0
2 2 2
或者
d dr
(r
dR ( r ) dr
) ( r

2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r
) R ( r ) 0.