分形图像压缩

扭曲、

，

d = ln3 / ln2 = 1.58496

用类似的方法可以求得科和曲线的维数d = ln4 / ln3。需要指出，这种维数称为相似维数，它适用于有严格自相似的分形集合。

分形维数的定义还有许多种，它门之间不仅有性质上的差别，而且对同一形态算出的维数也可能不同。在许多定义中，豪斯多夫维数在理论上可能是最重要的，可惜这种维数的计算十分困难，目前还无法用来描述自然界的复杂形态。

建立了分形维数的概念，就可以理解为什么用传统的几何方法去度量不列颠海岸线或者科和曲线的长度时，得不到准确结果。对待这些曲线，要先计算其分形维数，只有在相同维数下度量才有意义。

2 分形图象压缩

2．1 收缩仿射变换（Contractive Affine Transformation）

如果1个平面图形上的各点经过线性变换

后，图形上各点的距离比原有的距离要小，那么就称这种变换是收缩仿射变换。这个变换的a，b，…，f是变换矩阵的系数。比如，一个变换为：

用它对图2.1(a)的图F各点进行变换,变换后得到W(F)(见图2.1(b))。其形状与原图形F相似，但各点的距离缩短。显然，如果对一个图形反复施加收缩仿射变换，即对W(F)再行变换得到W2（F），对W2（F）又施行变换得到W3（F）……，其迭代的结果将使原来图形收缩为一个点。

2．2 迭代函数系统（Iterated Function System）

人们把若干个收缩仿射变换的组合称为迭代函数系统（IFS），即：

当然，上面各个变换W的系数应保证W是收缩仿射变换。

分形几何学中有一个定理：每一个迭代函数系统都定义了一个唯一的分形图形，这个分形图形称为该迭代函数系统的吸收子（attractor）。这个定理称为收缩影射不动点原理。最典型的例子是一片蕨子叶却所对应的迭代函数系统：

它所定义的蕨子叶如图2.2所示。从这个例子可看出，要产生一个复杂的图形需要得数据并不多。蕨子叶对应的迭代函数系统只有24个系数。如果以8比特代表一个系数，那么192比特就可以代表一片蕨子叶。可见压缩比是很大的。分形图象压缩的提出者之一邦利斯曾经扬言，他实现过10000:1的压缩。是否夸大不得而知，但分形压缩很有潜力却是无疑的。

2．3 采用迭代函数系统的图像压缩方法

从蕨子叶的例子可看出，迭代函数系统用不多的系数就可以代表一幅图像，从而得到很大的压缩比。但在实用时，如何寻找一的图像的迭代函数系统呢？目前有两个办法；一是基于图像的自相似性，直接计算迭代函数系统各收缩仿射变换的系数、二是把图像分割成教小的部分，然后从迭代函数系统库中查找这些小部分所对应的迭代函数系统。前一种方法适合于那些自相似性很强的图形。此处以谢尔品斯基垫为例加以说明。图2.3(a)是一个谢尔品斯基垫，可以看出，整个垫子是由上、左下、右下3个较小的垫子组成。每个较小的垫子是由原来的垫子经收缩仿射变换得来的。如果能分别找出把原图形变成3个小图形的收缩放射变换，那么，整个迭代函数系统就定下来了。

设原来垫子3各顶点的坐标分别为（x1,y1），（x2,y2），（x3,y3）。变换所得小垫子的3个顶点坐标为（x'1,y'1），（x'2,y'2），（x'3,y'3）。图2.3(b)表示的是把原电子变为上面小垫子的坐标。把W1的变换式：

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有图像。

对程序开发人员，迭代系统公司还有POEM Colorbox Ⅲ和POEM Videobox等软件，前者使开发人员能够在微软视窗下把FIF文件集成到普通应用软件内，后者则可对MS-DOS上运行的应用软件中的图像进行压缩或解压。

4 分形图像压缩有待研究的问题

分形图像压缩是有失真的，失真量大小与压缩比密切相关。尽管分形图像压缩有巨大的潜力，但要把这种潜力释放出来，还有许多问题有待进一步的研究，主要表现在：

* 普遍性问题。对于一定的整体与局部存在明显相似性或仿射性的分形图像类，分形图像压缩方法的压缩比极高，但难以期望在很低的失真条件下，对一切分形图像压缩都具有极高的压缩比，只能在压缩比与失真度之间加以平衡。

* 就目前分形压缩技术而言，其编码时间比较长。因此，需要开发编码时间短、效率高的分形压缩算法。

* 理论上，有关自动压缩原理与算法，失真测度或相似性准则等有待继续深入研究。

* 实用化编码方法与硬件实现。

总之，分形理论用于图像压缩之所以有效，是因为自然界中普遍存在着分形物体，它们表面上具有非常复杂的统计特性和视觉特性，但信息量却很少，可用几条简单的确定规则迭代出来。传统的建立于信息论之上的图像压缩技术几乎不能压缩这类图像。而使用分形编码，只需对少数几条变换规则进行编码，即可以获得非常高的压缩比。但另一方面，由于自然界的景物千差万别，因此分形压缩尚有许多问题有待人们深入研究。