系统数学模型、仿真与控制

T d y(t) y(t) x(t) dt
x(t) 1(t)
t
y(t) 1(t) e T
y(t)
x(t)=1(t)
±5%
一阶系统的时域 性能指标用调整 时间ts(输出量达 到并停留在允许 误差带所需的最 小时间)表示
63.2% 86.5%
95% 98.2%
99.3%
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T 2T 3T 4T 5T
a
t 调整时间ts=3T
20
一阶系统单位阶跃响应及时域指标
1.0 0.632
±5% y(t)
0 T ts
ess
ts小——快速； |y( )-1|小，即ess小——稳
态误差小，精确； 无振荡。 时间常数小的系统快速性好
t
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a
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解析模型例：RLC系统
LR
ui(t)
i(t) C
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
ui
(t)
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a
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解析模型例：RLC系统
对于
d2
d
LC dt 2 uo (t) RC dt uo (t) uo (t) ui (t)
若L很小，可简化为
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
ui
(t)
简化为一阶线性常系数微分方程
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M
d2 dt 2
y(t) B d dt
y(t) Ky(t)
fi (t)
如果M、K、B均为实数，上述微分 方程为二阶线性常系数微分方程。
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a
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解析模型例：质量块-弹簧-阻尼器系统
步骤3：有时将某些小参数或轻微的非线性忽略 掉，可以降低方程的阶次，简化分析而保持满 意的精度。
质量块M —质量 K —弹簧刚度
弹簧
B —粘性阻尼系数 y(t)—系质统时量静的块止位的平置位衡移 阻尼器输入量: 外力fi(t) 输出量: y(t)
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a
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解析模型例：质量块-弹簧-阻尼器系统
步骤1：从系统的输入端开始，依据各变量所遵循
的物理学定律，依次列写出各元件、部件的微分
T d y(t) y(t) x(t) dt
y(t)项系数为1； T称为时间常数，RC、热容量和热阻、容积和
流阻等； 若x(t)为单位阶跃， y(t)为阶跃响应。
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a
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一阶系统的单位阶跃响应
五个特征点
y(t)
t
y 1e
1
63.2% 86.5%
95% 98.2% 99.3%
ts、Mp小——稳定；
t
|y( )-1|小，即ess小——
稳态误差小，精确。
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a
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描述系统特性的指标
快速性是希望被控量迅速达到设定值； 稳定性是指被控量不发生大幅度、长时间的振荡，即使有
小幅振荡也应尽快衰减至零； 如果系统被控量与设定值之间的误差较小，就说系统的准
确性较好，或精度高。 上述三类特性均可用阶跃响应曲线的特征定量地表示，称
二阶系统的单位阶跃响应
阻尼比不同的情形：
2
1.8
= 0
1.6
1.4
1.2 = 0.3
1
y
0.8
0.6
0.4 = 2
0.2
0 0
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5
10
t
a
15
32
二阶系统的单位阶跃响应
决定二阶系统性能的参数：阻尼比ζ和无阻尼振 荡频率ωn：
ζ决定系统的稳定性和快速性； ωn影响系统的快速性。
性，如引入局部反馈、加入微分(超前)或积分(滞后)； 仿真：为系统仿真提供基础； 控制：为选择控制策略和设计控制器提供依据。
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a
8
借用方程的类型对系统分类
非线性方程、线性方程 非线性系统、线性系统 时变、定常方程 时变系统、定常系统 方程的阶数 系统的阶数 若方程不含时间变量，称为静态模型，如地形模型。
是用数学语言对一部分现实世界的描述；
我们研究的对象是工业系统，略去的属性是我们 认为在某种情形下不重要的。
构建系统的数学模型，可以认识系统内部各元件 之间的关系，从内部描述系统，可以有针对性地 设计和改造系统。
a
5
工业系统的数学模型
工业系统的数学模型描述系统在某一方面的规律， 给出了原因集(自变量集、激励集、输入集)到结 果集(因变量集、响应集、输出集)之间的一个映 射关系；
参数
系统状况
0 无阻尼状况
0 1 欠阻尼状况
1 临界阻尼状况
1 过阻尼状况
阶跃响应 等幅振荡 衰减振荡
无振荡 无振荡
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a
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二阶系统的单位阶跃响应
5个ζ值，快速性与稳定性有冲突!!!
2
1.8
= 0
1.6
1.4
1.2
= 0.3
1 = 0.707
0.8
= 1
0.6
工业系统的驱动与控制
系统数学模型建立与仿真
训练目的
了解系统数学模型的建立方法； 利用模型进行时域分析，初步了解频域分析； 了解系统仿真的意义。
a
2
这些东西有什么共同之处？
儿童玩具汽车、枪、积木 航模、车模 服装店里的假人模特 质点、点电荷 理想气体 理想运算放大器 房地产模型 市区平面地图 风洞 作战沙盘
a
3
模型（Model）是什么？
略去对象不重要的属性，保留重要的属性； 成为一个新的对象； 新对象称为原对象的模型； 可以是有形实体、也可以是一个概念； 从真实对象中提炼而得，性质单纯； 利用模型便于研究对象的性质和特点。
a
4
数学模型
数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个 特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要 的假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学 结构；
积分等
元器件部件参数 电阻、电容、电 感、热阻、热容、 放大倍数、传动
方程。
将质量块默认为质点！
牛顿第二运动定律
d2 M dt2 y(t) fi (t) fK (t) fB (t)
弹簧特性
fK (t) Ky(t)
阻尼器特性
f B (t)
B
d dt
y(t)
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a
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解析模型例：质量块-弹簧-阻尼器系统
步骤2：消去中间变量，得到描述系统输入量与输 出量之间关系的微分方程。
联立诸方程，消去中间变量，化简，得到描述系 统输入量与输出量之间关系的微分方程，一般输 入量写在方程右边；
整理成标准形式（在齐次方程即零激励情形下整 理）。
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a
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用分析法建立解析模型
必须对系统的内部结构、元器件特性及参数有足 够的了解；
影响动态特性的因素是各种储能元件：如
机械惯量（质量、转动惯量）； 电磁惯量（电容、电感）； 热惯量（热容）。
几种易于储存的能量形式：
弹性势能、重力势能； 动能、转动动能； 电场能、磁场能、热能等等。
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a
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物理定律
牛顿力学定律（平动、转动） 基尔霍夫定律 法拉第电磁感应定律 傅立叶传热定律 牛顿冷却定律
n
K M
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
ui
(t)
R
2
C n
L
1 LC
d2 y(t) dt 2
2 n
dy(t ) dt
2 n
y(t )
x(t)
y(t)——系统的输出量, x(t)——系统的输入量, ζ ——系统的阻尼系数，也称为阻尼比, ωn——系统的无阻尼振荡频率，也称为自然振荡频率、固有频率。
微升温、微散热； 若干个小参数合并（系统集结）。
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a
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解析模型例：RC系统
R
ui(t) i(t) C
uo(t)
ui(t) -
RC
uo(t)
d dt
u(t)
Ri(t)
1 C
i(t
)dt
RC
d dt
uo
(t
)
uo
(t)
ui
(t)
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a
15
典型一阶系统模型的标准形式
本课程仅讨论一、二阶线性定常系统，原因是： 1)可以得到精确的解析结果； 2)很多实际系统可认为是此类； 3)有些重要结果可在高阶系统中借用。
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a
9
系统建模—解析模型的建立
实验法：依据系统对某些典型激励信号的响应或 其它数据建立数学模型，Black box 系统辨识
典型激励信号如阶跃、斜坡、正弦； 系统特性测试。
0.4 = 2
0.2
0
0
5
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10
15
20
25
t
a
1:ζ=0； 2:ζ=0.3； 3:ζ=0.707； 4:ζ=1； 5:ζ=2。
最佳阻尼系统: ζ=0.707
30
34
y
二阶系统单位阶跃响应及时域指标
1.0 0.9
td 0.5
y(t) Mp
0.1
tr tp ts
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一般地，这种关系可以描述为
结果集 因变量集
响应集 输出集
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Y=f(X)
映射f(.)是解析式
a
原因集 自变量集
激励集 输入集
6
工业系统数学模型的最常用形式
工业系统数学模型的最常用形式是系统的某种本 质特征的数学表达式，如曲线、函数、代数方程、 微分方程、差分方程、积分方程、数学规划模型 等等等，常称为解析模型；
工程中，很多机械、电气或液压系统的运动规律 都可以基于物理定律用微分方程来描述，求解这 些微分方程，就可以了解系统在某种输入信号作 用下的输出响应。
a
7
系统模型的用途
预计系统响应：给定激励，可以预知响应结果； 系统分析：了解系统内部结构、元件参数对系统特
性的影响； 系统校正：根据要求调整结构或参数，改善系统特
为系统的时域指标。
tr、tp 、ts小——快速； ts、Mp小——稳定； y(∞)-1小——稳态误差ess（也称静差、偏差）小，准确性好。
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a
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参数集、指标集之间的关系系统特性指标
上升时间、峰值时间、
用解析模型容易进行系统分析、设计
超调量、调整时间、
稳态误差、
绝对误差积分、功耗
分析法、解析法：依据系统本身所遵循的有关定 律列写表达式，Mechanism analysis, White box
本次课内容。
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a
10
用分析法建立解析模型
从系统输入端到输出端，循信息流，依据各变量 所遵循的力学、电磁学、热力学、化学、生物学 定律、元器件和部件的外部特性，依次列写出各 元器件、部件的方程；
t 0 T 2T 3T 4T 5T
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a
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一阶系统的单位阶跃响应
误差带 y
1 0.632
5% 2%
t
0
T 2T 3T 4T 5T 6T
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a
18
一阶系统的单位阶跃响应
时间常数不同，快速性不同，无快速性与稳定性 的冲突。
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a
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一阶系统的单位阶跃响应
动力学概念的推广：系统中的量是时间的函数，
具有时间变化率，如：化学反应动力学、热动力 学、流体力学。
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a
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用分析法建立解析模型
常作一些简化，如：
将元器件的特性视为理想（采用理想模型）； 线性化：忽略次要的非线性因素，或工作点附
近小范围内近似线性化； 降阶； 忽略小参数，如寄生电容、寄生电感、微漏磁、
±5%
a
ess 快速性：
tttdrp－－－上延峰升迟值时时时间间间
稳定性：
tMs－p－调超整调时量间
矛盾的统一体：
t
快速性与稳定性
最佳二阶系统：
ζ＝0.707
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二阶系统单位阶跃响应及时域指标
y(t)
Mp 1.0 0.9
±5%
ess
td 0.5
0.1 tr tp ts
tr、tp 、ts小——快速；
uo(t)
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a
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解析模型例：RLC系统
基尔霍夫定律
d
1
ui (t) L dt i(t) Ri(t) C i(t)d(t)
其中：
i(t)
C
d dt
uo
(t)
uo
(t)
1 C
i(t)d (t)
如果R、L、C均为 实数，上述微分方程 为二阶线性常系数微 分方程。
LC
d2 dt 2
对于
M
d2 dt 2
y(t) B d dt
y(t) Ky(t)
fi (t)
若M很小，可简化为
B
d dt
y(t)
Ky(t)
fi (t)
简化为一阶线性常系数微分方程
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a
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典型二阶系统模型的标准形式
M
d2 dt 2
y(t) B d dt
y(t) Ky(t)
fi (t)
2
B KM
a
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解析模型例：RLC系统
d
1
ui (t) L dt i(t) Ri(t) C i(t)dt
d i(t) C dt uo (t)
uo (t)
1 C
i(t)dt
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
来自百度文库
uo
(t)
ui
(t)
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a
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解析模型例：质量块-弹簧-阻尼器系统
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a
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二阶系统的单位阶跃响应
y(t) 1 ent sin
1- 2 t 0, 1
1 2nt tan1
1 2
ζ<1，exp(-ζnt)是包络线，sin(.)呈指数衰减
由此可得单位阶跃响应的表达式, 是元器件参数的函数。
为ζ和n的函数，进而
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a
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