线性规划求最值详细
线性规划距离式斜率式求最值
，若目标
【答案】A
函数 （其中 ) 【解析】解：如图所示，线性规划区域为三角形 ABC，而a目标函0数,的b斜率为0k 的a <最0， 大值为 3,则 b
a
0,b
( 0A,()1a
b2).
1 3
(1a3
b2)(a(B2b)) 13
(5. 2ba
12ab)(C
)
.2
1 (5 2 2a 2b) 3 3 ba
|PQ|有最小值为32. 答案：A
| x | | y | 2
1.(2011
杭西高
8
月高三数学试题)若平面区域
y
2
k
(x
1)
是一个三角形，
l2 y
则 k 的取值范围是
]
l1
O
l3
x
【答案】 ,2
0,
2 3
l4
A(-1,-2))
【解析】如图直线 y 2=k(x 1)恒过点 A(-1,-2），符合条件的
可行解
满足线性约束条件 x，y 的解(x，y)叫做 ________
可行域
所有可行解组成的集合叫做________
最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 线性规划问题
或最小值的问题
考点二 求线性目标函数的最值
【例 2】
(2010·福建)若 x，y∈R，且xx≥－坐标A(1,3)、 B(3,1)、C(7,9)． (1) 易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方， (2) 故x＋2y－4>0， 将C(7,9)代入z得最大值为21. (2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方， 过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值为|MN|2＝92. (3)z＝2·xy－－－－121 表示可行域内任一点(x，y)与定点Q －1，－12 连线的斜率
利用线性规划的思想求无理函数的最值
①
②
令 一
由式 ①②知
●●●｝●＾ ，≥ｏ● ● １ ●Ｃ●● ● ●●，＼ 一 ●为 ● ● ● ３ 且ｚ ● 工 一生： ， ，●，、一● 则 ：； ， ＿ ｍ●●●●２
．
兰 一
，
化 得 一 一 简卒 罕 １ ．
一
ｍ ２ Ｌ
例 例 １ 求函数 － ｚ 一、五＝ ＋、 ｚ的值域． 厂 ） ／ 一２ ／ —２ 的值域． （ 一￣３ ／ ， ＋￣３ ／ ／
下 移 ， — 一 的值越 大 ， ｚ 越往上 移 ， 一 一 的 ２ 值越 小． 由于双 曲线 一 一１的渐近线 斜率
此 时 原 题 化 为 目 标 函 数 为 ｚ＝ ＋ ， 行 域 为 ＝ ： 可
， ２ “
４
、
ｆ ≥ ０， ｌ
、 、
、
、
、
、
、
一
一
，
即 ２ —． 警一 ２１
４
◇
江苏
王 银 超
此时， 题 转化 为 目 问
函数贯 穿于 高 中数 学 的始 终 ， 是高 考 数 学考 查 的
坍 ２・
标 函数 是 ： —ｍ１ ｚ 一ｍ２ 可 ，
行 域 是
≥ ０ ，
≥ ０ ，
一
热点 内容． 因其概 念性 较强 ， 题方 法 灵 活等 特 点 ， 解 所
解 令 ｍｌ ／ ｚ 一￣３ 一２， 则 １ ， ≥Ｏ 且
ｚ 丁￣ｒ 一ｍ Ｚ２ － ； ①
此 问 题 转 化 为 目标 函 的 数为 一 一 ， 行 域 线 可
眭
规
令 优 一、 ／ ，
， 则 ≥０ 且 ，
线性规划求最值
线性规划求最值线性规划（Linear Programming）是一种优化问题的数学方法，通过建立线性模型来求解最大或最小值。
线性规划的目标是在给定的限制条件下，找到一个最优解，使得目标函数取得最大（或最小）值。
线性规划的数学模型可以表示为：目标函数：max（min）Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中x₁, x₂, …, xₙ为决策变量，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, …, a₈ₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, …,bₙ为约束条件的常数。
解线性规划问题的过程可以分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据实际问题，确定目标函数以及约束条件。
2. 线性规划的几何表示：将目标函数和约束条件用图形表示，目标函数是一个线性函数，而约束条件则是一组线性不等式。
3. 求解可行解：通过图形方法，找到目标函数与所有约束条件的交点，得到一组可行解。
4. 求解最优解：在可行解中，通过计算目标函数在每个可行解点的函数值，找到使目标函数取得最大（或最小）值的可行解，即为最优解。
5. 检验最优解的可行性：将最优解代入到原始线性规划问题中，检验是否满足所有约束条件。
如果不满足，则需要重新调整模型。
线性规划在实际应用中广泛使用，例如生产计划、资源分配、运输调度等领域。
通过线性规划，可以有效地进行决策，并找到最优解，提高效率，节约资源。
然而，线性规划也有一些局限性，如对问题的要求较高，不能解决非线性的问题等。
总之，线性规划是一种数学方法，通过建立线性模型，在给定的约束条件下求解最大或最小值，可以在各种实际问题中应用，并得到最优解。
通过线性规划，可以优化决策，提高效率，实现最大化利益。
线性规划求最大值或最小值
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog 函数格|字号大中小订阅式: linprog (f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a: w不等式条件约束矩阵其均为形式b:a 对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1 对应不等式右边的常数项xstart:x 的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1 的矩阵xend:x 的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1 的矩阵函数说明: 不存在的项填写[] 即可函数功能: 线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3 的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3 w 2x1+3*x2+2*x3 w 1且x1 、x2、x3 均大于等于0Matlab 求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3 -6-2 ] %这里为什么会是负数, 因为Matlab 求的是f 的最小值, 要求最大值则取要求系数的相反数即可x=[ 0 00 ]linprog (f,a,b,[],[],x,[]) %执行的matlab 命令后输出的如下内容. 注意这里的[] 表示那一项不存在. 当然最后那一个[] 也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.000 0%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0 为最优解. 带回原式我可以知道f 的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3 的最小值满足的条件是x1+x2+x3W 3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab 求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4 的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4W3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab 输入如下内容a=[1 1 1 0] b=[3] a1=[1 4 7 1] b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-1 0]linprog (f,a,b,a1,b1,x) %执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000 %说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0 取得最小值说明：任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时，例如求f=a1*x1+a2*x2+ ……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2- ......... -an*xn 的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+ ....... +an*xn >b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+ ...... +an*xn -xnn=b 即多了一个xnn(xnn > 0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时，其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3> 0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题:J TPmin f r smch t hnt Apq，jf - fw7b jr线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量,A, Aeq为矩阵。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
THANKS
谢谢您的观看
迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划问题的解法与最优解分析线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。
一、线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
线性规划问题的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。
首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。
然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。
最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。
图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。
它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。
它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。
然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。
如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，但对于大规模的问题，计算量会很大。
利用简单的线性规划求最值 课件
作出直线 y＝34x，平移得最优解 M(3,5)，N(5,3 x＝5，y＝3 时，zmax＝3.
答案：A
[研一题]
[例 2]
x－y＋2≥0， 已知x＋y－4≥0，
2x－y－5≤0，
求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
(2)z＝2xy＋＋11的取值范围．
名称
意义
最优解
线性规划 问题
使目标函数取得 最大值或最的小可值行解
线性约束
在
条件下求线性目标函数的最大值或最小
值问题
[小问题·大思维] 1．在线性约束条件下，最优解唯一吗？
提示：最优解可能有无数多个，直线l0：ax＋by＝0与可 行域中的某条边界直线平行时求目标函数z＝ax＋by＋c 的最值，最优解就可能有无数多个．
4．在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小 值与截距的对应关系又是怎样的？ 提示：z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应 截距的最大值．
[研一题]
[例 1]
x≥－3， 设 x、y 满足约束条件－y≥4－x＋4，3y≤12，
4x＋3y≤36，
求目
标函数 z＝2x＋3y 的最小值与最大值．
[自主解答] 由约束条件画出可行域(如图所示)为矩 形ABCD(包括边界)．
点C的坐标为(3,1)，z最大即直线y＝－ax＋8在y轴上 的截距最大，
∴－a<kCD，即－a<－1. ∴a>1. 即a的取值范围为(1，＋∞)．
在例3的条件下，若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大 值的点有无数个，求a的取值范围．
[自主解答] 作出可行域如图，并求 出顶点的坐标 A(1,3)、 B(3，1)、C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域 内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的 平方，过 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值|MN|2＝92.
谈谈简单线性规划中最值的求法
例 ４ 求 证 ：＿ ￣ ±： ：± ： ≤
不等式证 明是不等式教学 中的一个难
简解：。＞ ， ＞ ， ｙｌ ． ｘ； ‘ ０ｙ ０ｘ ＝ ’＿ ／／≤ ． ｘ ＋ ． ｙ
ｘ＋ ｙ
一
２
．探 索 ． 【 癌学莹新探】 教．
例谈柯西不等式在不等式证 明中的应用
浙江 摘 要： 本文 着重探讨 柯西不等式在 金华 ●陶立平 例 ７ 设 ｘ ， ＞０ｘ ｙ ｌ 求（＋ ） ＞０ ｙ ， ＝ ， ｘ ＋ ２（＋ ）的最小值 。 ＋ｙ ｚ
ｙ
・
．
．
例 ３ 求 ｙａｉｘｂ ｏｘ ＝ ｓ ＋ ｃｓ 的极 值 。 ｎ
＝ ） ＝ （１） ｌ （ ｝ ≤ Ｋ２ Ｋ ｋ｝ ＝ ） ＝
ｋ １
例 ２ 求证 ：
中 ａ ｂ ｃ∈Ｒ ． ＋＋
＋ ＋ Ｉａｂ ｃ 其 ＞ ＋＋ ，
ｃ 即｝ｓ ｓ Ｂｓ １ 。 ｆ （２＋２＋ ２） ｓ ） ｉ ｉ ｉ ｎ ｎ ｎ ≤
２ ‘Ｉｎ ａ＋ｉ２ ｓ ２ ≤２ ｖ ． ，． ｉ ． ２ ｓ ｐ＋ｉ ｌ 、 ＿＿ ｓ ｎ ｎ ，
不 等式 证 明 中的 应 用 。 关 键 词 ： 西 不 等 式 ； 明 ； 用 柯 证 应
简 解 ： 由 Ｃ ｘ ａ ｂ）ｓ Ｚ ｃｓ ）ａ ｂ， ａｉ ＋ ｃｓ） ｎ ≤（ （ｉｘ ｏ２ ＝ ２ ｎ＋ ｘ ＋
） ａ ｂ， 一 ｒ ２ 即 、 ２ ＋ ＝
【 （￣ 嘉 ） （ ｖ ｘ】 Ｔ ）（ ‘ １ 【 －
≥ （ ｂ 即 ＋ ａ ） ＋ ， ≥（＋） ａｂｚ ．
（｝２ ）小 为 ｘ ） 值 等． ＋ ＋ 最 （
线性规划求最值的常见题型
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别
特别解析汇报：线性规划求最值
特别解析：线性规划求最值一、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）．（A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］ （C ）［－1，2］ （D ）［1，2］解析：由线性约束条件画出可行域，考虑z x y =-， 变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．例2 已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）分析：将目标函数变形可得124zy x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直12y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。
解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-。
二、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题例3 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），0y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点． ∴312P ⎛⎫⎪⎝⎭，．故答案为32． 注：解决本题的关键是理解目标函数0y y z x x -==-的 几何意义，当然本题也可设yt x=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，t 最大．代入y tx =，求出32t =， 即得到的最大值是32． 例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域.解析：所给的不等式组表示圆224x y +=的右半圆(含边界)，-5 5 3Ox y CA BL31y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．问题的几何意义：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩解得2565a b ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此min 33z =。
线性规划最值问题
C 1,1
1
0
x1
x
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (1)设z=4x-3y,求z的最大值； y (2)设z= ，求z的最小值；
x
y
5
22 A 1, 5
y y0 ( 2) z x x0 z的值是可行域中的点 与原点O连线的斜率。
y1 (其中k为小于零的常数)时， 的最小值为2， x
能力提升
则实数k的值是________． -3
解析：不等式组所表示的 可行域如图所示， 点P(x，y)为可行域内的点时
k 1 y1 3 有 ＝kBP≥kBA＝ ＝2， x k 3 解得k＝－3.
一个半平面内的点的坐标适合不等式 Ax＋By＋C＞0 , 而另一个半平面内的点的坐标适合不等式Ax＋By＋C＜0 , 即直线Ax＋By＋C＝0划分平面所成两个半平面的点,分 别由不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C＜0决定.因此, 如同前面所学平面内的直线可以视为二元一次方程的 几何表示一样,半平面就是二元一次不等式的几何表示．
B 5,2
1
C 1,1
1
观察可知zmin kOB
x
2 5
0
x 4y 3 0 例:变量x,y满足 3 x 5 y 25 0， x 1 (3)设z= x 2 y 2 ,求z的取值范围.
( 3) z x 2 y 2的几何意义 是可行域中的点到原点 O
基础自查
(2)判断不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域,可在直 线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点， 如选原点或坐标轴上的点来验证 Ax＋By＋C 的 符号的正负．当C≠0时，常选用 原点 ． 2．二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中， 表示平面区域，直线l应画成 虚线 ，画不等式 Ax＋By＋C≥0所表示的区域时,应把边界画成 实线 ．
求目标函数最值线性规划问题
-z m
2 1
【典例】
x＋y－3≥0， 已知实数 x，y 满足x－y＋1≥0， x≤2.
y (1)若 z＝x，求 z 的最大值和最小值； (2)若 z＝x2＋y2，求 z 的最大值和最小值．
x＋y－3≥0 解 不等式组x－y＋1≥0 x≤2
表示的平面区域如图所示， 图中的
距离的平方 ,结合图形 可知,可行 域上的点到原点 的距离中 , dm in =|OC|=
2
,dma x=|OB|=
29
.
∴ 2≤z≤ 29.
• 3.距离型：形如z＝x2+y2+ax+by+c
典例:截距型
为－1，则实数 m＝________.
y≥1， 解 不等式组y≤2x－1， x＋y≤m
• 答案 B
课堂作业 ：
• 1.基础巩固题组
• 2.能力提升题组
自主体验
则实数 m 的最大值为(
)．
B．1 D．2
解析
在 同 一 直 角 坐 标 系 中 作 出 函 数 y ＝ 2x 的 图 象 及 所表示的平面区域，如图阴影部分所示．
x＋y－3≤0， x－2y－3≤0
如图可知，当 m≤1 时， 函数 y＝2x 的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故 m 的最大值 为 1.
2 2
2
2
2Leabharlann 2∴ 16≤ z≤ 64.
课堂小结 ：求线性目标函数最值的三个类型
• 1.截距型：形如z＝ax＋by
• 2.斜率型：形如z＝
• 3.距离型：形如z＝x2+y2+ax+by+c
【自主体验】 (2012· 福建卷)若函数 y＝2x 图象上存在点(x，y)满足约束条件 x＋y－3≤0， x－2y－3≤0， x≥m， 1 A. 2 3 C.2
求极值及解线性规划问题命令与例题优秀课件
上面命令中的f为线性规划中的目标函数,它必须是变量 x1,x2,…的线性函数。
上面命令中的inequalities为线性规划中的约束不等式 组,每个关系式必须用逗号分隔。
上面命令中的x1,x2,…线性规划中的自变量名称,它们必 须取非负值且可以用其它符号名。
应的极小点。 命令形式2：ConstrainedMax [f, {inequalities}, {x1,x2,…}] 功能：求在给定约束条件inequalities下，线性目标函数f极大值和对
应的极大点。
求极值及解线性规划问题命令与例题优 秀课件
注意：
命令1结果形式为：{极小值, {自变量1 -> 极小值点1， 自变量2 -> 极小值点2，…}}。
求极值及解线性规划问题命令与例题优 秀课件
例4: 求线性规划问题
MaxS= 17x 1 -20 x 2 +18 x 3
x 1 - x 2 +x 3 <10
s.t.
x 1 + x 3 <5
x 1 <5
解: Mathematica 命令为:
In[10]:= ConstrainedMax[17x1-20x2+18x3, {x1x2+x3<10,x1<5,x1+x3>20}, {x1, x2, x3}]
Out[13]= {-15, {x -> 0, y -> 5, z -> 0, u -> 6, v -> 0, w -> 2}}
计算结果可得所求目标函数极小值为-15，对应的极小值点为(x, y, z, u, v, w)=(0,5,0,6,0,2）。
利用简单的线性规划求最值 课件
(x，y)与定点(a，b)的连线的斜率；z＝acxy＋＋db＝
a c
·y－－ba x－－dc， Nhomakorabea表
示
可
行
域
内
的
点
(x
，
y)
与
定
点
－dc，－ba的连线的斜率的ac倍．
[思考 3] z＝|ax＋by＋c|(a2＋b2≠0) 的几何意义是什么？
名 师 指 津 ： z ＝ |ax ＋ by ＋ c| ＝ a2＋b2·|ax＋a2b＋x＋b2c|，表示可行域内的 点(x，y)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离的 a2＋b2倍．
利用简单的线性规划求最值
某工厂用 A、B 两种配件生产甲，乙两 种产品，每生产一件甲种产品使用 4 个 A 配件耗时 1 h，每生产一件乙种产品使用 4 个 B 配件耗时 2 h，该厂每天最多可从 配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，
按每天工作 8 小时计算，该厂所有可能 的日生产安排是什么？若生产 1 件甲种产品 获利 2 万元，生产 1 件乙种产品获利 3 万元， 采用哪种生产安排利润最大？
2．归纳总结，核心必记 线性规划的有关概念
名称 约束条件 线性约 束条件
目标函数
意义 关于变量 x、y 的 不等式(组) . 由 x、y 的 一次 不等式组成的不
等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变
量 x，y 的函数解析式
线性目标 函数 可行解 可行域
最优解
线性规划 问题
关于 x，y 的 一次 解析式
(2)移：运用数形结合的思想，把目 标函数表示的直线平行移动，最先通过或 最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
(3)求：解方程组求最优解，进而求 出目标函数的最大值或最小值．
三类线性规划问题及其解法
方法集锦线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，重点考查同学们的建模、运算、分析能力.本文主要探讨三种不同类型目标函数的线性规划问题及其解法.一、z =ax +by 型若目标函数为z =ax +by 型（直线型），我们一般需先将目标函数变形为：y =-a b x +zb，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值，这样便将求目标函数最值问题转化为求直线的截距的最值.①若b >0，当y =-a b x +z b截距最大时z 最小，当截距最小时z 最大；若b <0，当y =-a b x +zb截距最大时z 最大，当截距最小时z 最小.例1.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïïï2x +y ≤40,x +2y ≤50,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为_____.解：将z =3x +2y 变形为y =-32x +z2.作出如图1所示的可行域，由图可知当y =-32x +z 2过点A 时，直线的截距最大，则{2x +y =40，x +2y =50，解得ìíîx =10,y =20，此时z max =70.在画出可行域后，我们通过观察图形便能很快确定当直线经过A 点时y =-32x +z2的截距最大，此时z 最大，解方程组便可求得z 的最值.图1图2图3二、z =y -bx -a型对于目标函数为z =y -bx -a （斜率型）的线性规划问题，我们一般要依据y -bx -a的几何意义来求解.首先，根据线性约束条件画出可行域，将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与定点A (a ,b )连线的斜率，求得斜率的最值便可求出z 的最值.例2.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,x >0,x ≤1,求z =yx的最大值.解析：该目标函数为斜率型，可将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与原点连线的斜率，求出斜率的最值即可.解：作出如图2所示的可行域，将z =yx变形为z =y -0x -0，可将z 看作可行域内任意一点P (x ,y )与原点的连线的斜率.由图2可知当直线过交点A 时，PO 的斜率最大，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z max =2.三、z =(x -a )2+(y -b )2型当遇到目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2（距离型）的线性规划问题时，我们可以把z 看作可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )的距离的平方，结合可行域找到最值点，利用两点间的距离公式便能求出z 的最值.例3.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,2x -y -2≤0,x ≥1,则z =x 2+y 2的最小值为_____.解析：该目标函数为距离型，可将z 看作是可行域内任意一点P (x ,y )到原点的距离的平方，求得PO 两点间距离的最小值，便可求得z 的最小值.解：将z =x 2+y 2变形为z =（x -0）2+(y -0)2，作出如图3所示的可行域，由图可知点A 到原点的距离最小，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z min =5.可见，解答线性规划类问题的基本思路是，（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）将目标函数变形为直线型、斜率型、距离型；（3）在可行域内移动直线、点，找出最值点；（4）联立交点处的直线方程，求出最值点的坐标；（5）将点的坐标代入目标函数中求得最值.（作者单位：中国烟台赫尔曼·格迈纳尔中学）44。
高中数学解题方法谈线性规划求最值问题
线性规划求最值问题一、与直线的截距有关的最值问题例1 已知点()P x y ，在不等式组2010220x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩，，≤≤≥表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）．（A ）［－2，－1］ （B ）［－2，1］（C ）［－1，2］ （D ）［1，2］解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z x y =-，把它变形为y x z =-，这是斜率为1且随z 变化的一族平行直线．z -是直线在y 轴上的截距．当直线满足约束条件且经过点（2，0）时，目标函数z x y =-取得最大值为2；直线经过点（0，1）时，目标函数z x y =-取得最小值为－1．故选（C ）．注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y 的取值范围为［-1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．二、与直线的斜率有关的最值问题 例2 设实数x y ，满足20240230x y xc y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩，，，≤≥≤，则y z x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC （如图2），00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=的交点，即A 点．∴312P ⎛⎫⎪⎝⎭，．故答案为32． 注：解决本题的关键是理解目标函数00y y z x x -==-的 几何意义，当然本题也可设y t x=，则y tx =，即为求 y tx =的斜率的最大值．由图2可知，y tx =过点A 时，t 最大．代入y tx =，求出32t =， 即得到的最大值是32． 三、与距离有关的最值问题例3 已知2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩，，，≥≥≤，求221025z x y y =+-+的最小值．解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．而22(5)z x y =+-表示可行域内任一点（x ，y ）到定点M （0，5）的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC 上，故z 的最小值是292MN =． 注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．四、与实际应用有关的最值问题例4 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？ 分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解．解题中应当注意到问题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设．解：设应买x 张桌子，y 把椅子，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为502020001.5x y y x y x x y *+⎧⎪⎪⎨⎪⎪∈⎩N ，，，，，≤≥≤ 由50202000x y y x +=⎧⎨=⎩，，解得2007200.7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． ∴ A 点的坐标为20020077⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 由502020001.5x y y x +=⎧⎨=⎩，，解得2575.2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，． ∴ B 点的坐标为75252⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以满足约束条件的可行域是以2002007525(00)772A B O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，为顶点的三角形区域（如图4）．由图形可知，目标函数z x y =+在可行域内的最优解为25，，但注意到x y *∈N ，，故取37y =．答：应买桌子25张，椅子37把．。
线性规划求最大值或最小值
线性规划求最大值或最小值linprog2011-09-03 18:43:17| 分类：Matlab | 标签：最优值最优解最大值最小值linprog |字号大中小订阅函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵a:≤不等式条件约束矩阵其均为形式b:a对应不等式右边的常数项a1:=等式条件约束矩阵b1:a1对应不等式右边的常数项xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵函数说明:不存在的项填写[]即可函数功能:线性规划求最优值.例子1:求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值满足的条件是3*x1+4*x2+x3≤2x1+3*x2+2*x3≤1且x1、x2、x3均大于等于0Matlab求解如下a =[ 3 4 11 32 ]b =[ 21 ]f=[ -3-6-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可. x=[ 00 ]linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)Optimization terminated.ans =0.40000.20000.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4例子2:求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值满足的条件是x1+x2+x3≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9且x1、x2、x3、x4均大于等于0Matlab求解如下原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值其条件等价于x1+x2+x3+0*x4≤3x1+4*x2+7*x3+x4=9则在Matlab输入如下内容a=[1 1 1 0]b=[3]a1=[1 4 7 1]b1=[9]x=[ 00]f=[ -2-3-10]linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])Optimization terminated.ans =1.00002.00000.00000.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值说明:任何线性规划问题都可以转化为上面的问题求解.细节问题请Google线性规划标准形式1、当目标函数求最大值时,例如求f=a1*x1+a2*x2+……+an*xn的最大值时这个时候等价于求f=-a1*x1-a2*x2-……-an*xn的最小值2、当约束条件为a1*x1+a2*x2+……+an*xn≥b这种形式的时候其约束等价于a1*x1+a2*x2+……+an*xn-xnn=b即多了一个xnn(xnn≥0)变量3、当一个变量比如x1是无约束的变量时,其实等价于x1=x2-x3即把一个变量x1分解成2个变量x2与x3之差(x2、x3≥0)把是x1的地方替换为(x2-x3)即可求解线性规划问题：线性规划问题其中，f, x, b, beq, lb, ub为向量, A, Aeq为矩阵。
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3.xx
y 3
5
0
z 2x 4y最小值 -6，求k
x
解：z
yk 0
2x 4y化为y
1
x
z
x y50
与y 1 x平行
22
当直线过 A2 点，z最小. 可求A(3,-3- k)
x
y
O
k
3
0
zmin 23 4(3 k) 6
A
k 0
4.z=mx+y(m>0)取得最大值的最优解有无数个,求m
2.
x,
y满足
y
0
求z=x-y的最值
(1)画区域 x y 1 (2)z x y化为y x z，斜率为1，
B
纵截距为-z的一组平行线 l
(3)平移直线y x
(4)直线过点A时纵截距-z最小，z最大; 过点B时纵截距-z最大，z最小.
交点A(1,0),B(0,1)
Zmax 1 0 1, Zmin 0 1 1.
(2)求z=x+2y的最值
(1)画区域
（2）z
2x
3 y化为y
O
2
x
4z
表示斜率为 2，纵截距为 z 的3一组平3 行线
(3)直线过点
A
3
3
时纵截距最大，此时z最大,过点
O
时z最小
（z4m）ax 解 2方程4 组 34x6x2141y6Z8m得in 点A0(4,2注) ：倾斜斜率角越越大大，
x 0
OA
x y1
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
2x y 3
求z=x-y的最值
(2)z x y化为y x z，
B
斜率为1，纵截距为-z的 一组平行线 l
A
(3)平移直线y x
O
(4)直线过点 A时z值最大;过点 B时z值最小.
---------向下----------------------------------减小. Z 减小.
当B<0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小. ---------向下----------------------------------减小，但z 增大.
注意：斜率大小及截距符号。
点坐标代入3x+y-a=0后，符号相反，
∴(-3+2+a)(9-3-a) <0， 得－1＜a＜6.
2.点(-1,2) 在5x+y-a<0表示的区域内，则a的范围 .
-5+2-a <0，得a>-3
x+2y≤8
例1. 4x≤16 求z=2x+3y的最值 4y≤12
B(2,3)
x≥0 ,y≥0
3
A
补(1)求z=x+4y的最值
特殊地P(x, y), O(0,0)
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
k AB
y2 y1 x2 x1
OP x2 y2
kOP
y x
P(x0, y0 ), l : Ax By C 0 d Ax0 By0 C
k (x a)2 (y b)2 PA P(x, y), A(a,b)
解：z mx y化为y mx z
m 0
y C(1, 22)
直线y mx z与直线AC重合时 5
线段AC上的每一点都是最优解
斜率k m kAC
BA(1(1,,11))
k AC
3 22 5
5 1
7 20
0
m 7x 1 20
A(5,3)
x
A(x1, y1), B(x2 , y2 )
(x a)2 ( y b)2 PA2
A2 B2
yb xa
PA
x2 y2 OP
x2 y 2 OP 2
P(x, y),O(0,0)
y kOP
x
例2.
x,
y满足
解：z （x
x0 3x 4 y≥0
1) 2
y4
y2
求z x2 补：求z
1 PM 2
y2 x2
1
2x最小值 y 2最小值
x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
求z=x-y的最值
2x y 3
解：z x y化为y x z，
与直线y x平行,纵截距为-z
B
直线过点 A时z值最大;
过点 B 时z值最小.
A
解方程组得点A(1,1),B(0,3) O
zmax 1 1 0, zmin 0 3 3 3 z 0
其中P(x, y), M (1,0)
由图知PM 2 1的最小值 AM 2 1
zmin 2 1 1
A P(x, y)
补：x2 y2 OP 2 其中P(x, y)
B
由图d知 O0 9P021的64最 小 54 （值 d(为x2dO到2 y直2线)mAMinB距O12离365）x 4 y 4
线性规划问题：
x=1 2x+y=ｚ 可行域
线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
x-4y+3=0
A（5，2）
B（1，1）3x+5y-25=0
o1
x
理解记忆：三个转化
约束条件
转化
可行域
目标函数 Z=Ax+By
转化
一组平行线 yA x Z
ΒB
最优解 转化
四个步骤： 1.画：画可行域
寻找平行线的 最大(小) 纵截距
B (2)x，y满足xx
y 2
20 y40
解:
y x
y x
200yk3OP
0
求 y 最大值 x
C
其中P(x, y)
A
由图知kOA kOP kOC O
解2x
y3 2y
0 4
0得C
(1,
3) 2
(
y x
)
m
ax
kOC
3 2
小结：目标函数的常见类型
解方程组求交点A(1,1),B(0,3)
Zmax 1 1 0, Zmin 0 3 3
基本概念：
x 4 y 3
线性约束条件： 3x 5 y 25
x
1
目标函数，线性目标函数
z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解
可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分）
最优解： 使目标函数取得最值y的可行解 A(5,2),B(1,1)
例：画出不等式组
y
x y 5 0 x y 0
x+y=0
x 3
5
表示的平面区域.
-5O
x
x-y+5=0 x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
1.点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0两侧，则a的范围 . 解：点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0的两侧，将这两
2.移：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方
法找出与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线
3. 求：求交点点的坐标，并求最优解
4.答：
一、目标函数
z Ax By即y A x 1 z表示一组平行线，
BB
其中 A 为斜率，1 z为纵截距，
B
B
当B>0时,
当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大.