数学物理方程第一章

x+dx x
（2）
弦表波等振示动式动时现（方 间 象T2）程 ，，sinx可（ 因表以而3示）T写又d1位'中xsi成称n置只u为。x'含由一|有xg于维ddx两s它波个们动u自xd描方s|变x述程2u量(的t。x2T,x是t和)utt弦t，（的T其1g振）中动t或
uuxy ux y
ux
2
uy
2
1
uxx uyy 0
都是偏微分方程,
偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程
f x, y,L , u, ux , uy ,L , uxx , uxy ,L 0 (1)
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 [t1, t2]中物体 温度从u( x, y, z,t1) 变化到 u( x, y, z, t2 ) 所需吸收热量为
比热 密度
Q2 c u x, y, z,t2 u x, y, z,t1 dV
V

V
c
k为常数，记
k
c
a2
则得齐次热传导方程:
u t

a2

2u x 2

2u y2

2u z 2

信息工程学院
三维热传导方程
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
若物体内部有热源 F(x,y,z,t), 则热传导方程为
u t

a
2


2u x2

t2 t1
u t
dt

dV

t2
t1
V
c
u t
dV


dt
由于所考察的物体内部没有热源, 根据能量守恒定律
可得 Q2 Q1 , 即
t2
t1

c
信息V工程学院
ut

x
kux
y
kuy


z
➢从不同的物理模型出发，建立三类典型方程； ➢根据系统边界所处的物理条件和初始状态列 出定解条件； ➢提出相应的定解问题
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
1.1 基本方程的建立
导出数学物理方程的一般方法：
➢ 确定所研究的物理量； ➢ 建立适当的坐标系； ➢ 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出
该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； ➢ 简化整理，得到方程。
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
例 1. 弦的微小横振动 设有一条长为l的均匀细弦，拉紧之后让它离
开平衡位置，在垂直于弦线的外力作用下作微小
方程的导出和定解问题
数学物理方程
基本解法
分离变量法 行波法 积分变换法

Green函数法
特殊函数
贝塞尔函数 勒让德函数
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的 导数或微分的方程
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.
➢姜礼尚等. 数学物理方程讲义. 高等教育出 版社,2007。
➢杨华军. 数学物理方法与计算机仿真，电子 工业出版社，2005。
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
第一章 典型方程和 定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
1.0 预备知识－基本概念
课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义的分析。
Q1
t2
t1

S
k
u n
dS
dt
高斯公式 t2



信息工程学院t1 V
x
kux
y
kuy
z
第一章
kuz dV dt 典型问题和定解条件的推导
第一章 典型方程和定解条件的推导
牛由令顿于d运x动 很定小0 律，取：极F限= m得·a
u
'
M’
T '( x dx)
M

gds
垂由作倾于略直微s角用是去i其n方积很在等重中向分小弧式力a的知t，段（g，2 力识T即1可M,）'为可TcTt得Mgot变sg知isT方n'上成t2u，2T程0'的Tu',在T(tx2ag水xxTu时2ct,'2gto=)平''刻,sx20u方2'2t,ttug2,g有d向+xdg近'0s的(似力d3udx)(得x为xT.2(xux)d(txx2,,xtt)) .
kuz
dV dt 0
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
由于时间 t1 ,t2 和区域 V 都是任意选取的,并且 被积函数连续, 于是得
c
u t

x

kux


y
kuy

z

kuz

(非均匀的各向同性体的热传导方程)
对于均匀的各向同性物体，
数学物理方程与特殊函数
中国地质大学（北京）
信息工程学院
赵俊芳
第一章 典型问题和定解条件的推导
主讲教师： 赵俊芳 Tel：82321774(教3-305)
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
参考书目
➢梁昆淼. 数学物理方法（第三版）. 高等教 育出版社,1998。
➢王元明. 数学物理方程与特色函数. 东南大学 数学系,2004。

a2
2u x 2

f ( x,t),
M

gds
TN
N'
其中
f
( x, t )

F
(
x,
t
)
o
称为自由项.
x
x dx
x

f 0, 齐次方程；f 0, 非齐次方程
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
2u x 2

2u y2

2u z 2

0
➢二维Laplace方程：
2u x 2

2u y2

0
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
2.2 初始条件与边界条件
2.2 初始条件与边界条件
一 . 初始条件及Cauchy问题
描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始条件， 初值条件与对应方程加在一起构成初值问题 (或称 Cauchy问题）。
材料中的杂质扩散等物理过程时, 若用u 表示所扩
散物质的浓度, 则浓度所满足的方程形式和热传导 方程完全相同. 所以热传导方程也叫扩散方程.
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
总 结：
➢ 波动方程 — 声波、电磁波、杆的振动； ➢ 热传导方程 — 物质扩散时的浓度变化规律,

2uΒιβλιοθήκη Baiduy2
)

0
二维热传导方程
u t

a
2
(
x2u2 )

0
―维热传导方程
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
在上述热传导方程中, 描述空间坐标的独立变量
为 x, y, z , 所以它们又称为三维热传导方程. 当考
察的物体是均匀细杆时, 如果它的侧面绝热且在同

2u y2

2u
z 2


f
x,
y, z,t
其中 f x, y, z,t F .
c
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
u

a2
(
2u


2u


2u )

0
t
x2 y2 z2
三维热传导方程
u t

a
2
(
2u x 2
4(
x,
y,
z)
—Poisson方程
2u x 2

2u y2

2u z 2

0
— Laplace方程
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
例 4. 热传导方程
如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从 温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且 外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则
Fds

T
sin

T
'sin
'

gds

ds
u
2u( x, t 2
t)
弦的强迫振动方程为
ds
M' T '
2u t 2
1.1 基本方程的建立
（3）弦柔软、均匀.
张力
T(
x)沿切线方向
,
密度 为常数；
建立方程：
取微元 MM '，研究在水平方向和铅垂方向 MM '
在不受外力的情况下的运动情况。
u
'
M'
T'( x dx)
信息工程学院
M
gds
T(x)
x
x+dx x
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
热场
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
傅立叶实验定律:
dQ k u dSdt n
物体在无穷小时段dt内沿法线方向n
流过一个无穷小面积dS的热量dQ与
时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS
法线方向的方向导数成正比.
r n
S
M
VS
热场
从时刻 t1 到时刻 t2 经过曲面S 流入区 域V 的热量为
一截面上的温度分布相同, 则可以得到一维热传导
方程
u t

a2
2u x 2
类似, 如果考虑一个薄片的热传导, 并且薄片的 侧面绝热, 可以得到二维热传导方程
u

a2

2u

2u

t
信息工程学院
x2 y2
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体
长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程; ➢ Laplace方程 — 稳定的浓度分布, 静电场的
电位, 流体的势.
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.1 基本方程的建立
➢一维齐次波方程：
2u t 2

a2
2u x 2

0
➢一维齐次热方程：
u t

a2
2u x 2

考虑物体G 内的热传导问题。函数u(x,y,z,t) 表
示物体G 在位置 M(x,y,z) 以及时刻 t 的温度。通过
对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建
立方程。 假设：假定物体内部没有热源，物体
r n
S
的热传导系数为常数，即是各向同性 的，物体的密度以及比热是常数。
M
VS
信息工程学院
➢非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程
例
yuxx 2xyuyy u 1 是二阶线性偏微分方程
ux
2
uy
2
1,
uux xu 0
是非线性偏微分方程
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
本课程的主要研究对象： n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为
称为热传导方程的初值条件.
n
n
a u ij xi xj biuxi fu g (2)
i , j1
i 1
这里 aij ,bi , f和 g都是关于自变量 xi 的函数。
如果 g 0 ，则称方程为齐次的；否则称为非齐次的。
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
主要内容
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
2.2 初始条件与边界条件
弦振动问题
初始位移、初始速度分别为 ( x), ( x) ,称 u t0 ( x), ut t0 ( x)
波动方程的初值条件.
(x) 0且 (x) 0 齐次初始条件.
热传导方程
u t0 ( x)
du d nu
F
x, u, L dx
, dxn


0
偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程
f x, y,L , u, ux , uy ,L , uxx , uxy ,L 0 (1)
07:57
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
例如
偏微分方程的阶: 方程中未知函数的偏导的最 高阶数
例: uxx uyy 0
是二阶偏微分方程
uxxy xuyy 3u 7 y 是三阶偏微分方程.
信息工程学院
第一章 典型问题和定解条件的推导
1.0 预备知识－基本概念
➢线性偏微分方程: 对于未知函数及其所有偏导 数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于 自变量（或者为常数）
横振动，求在不同时刻弦线的形状（平衡位置与x 轴的正半轴重合，且一端与原点重合）
假设与结论：
u
（1）横振动 坐标系oxu，位移u(x,t)
T(x1) T(x2)
（2）微小振动
x1 x2
x

u x
2

1
信息工程学院
ds
1


u
2
dx

dx
x
第一章 典型问题和定解条件的推导