空间的平行直线与异面直线
9.2空间的平行直线与异面直线-空间的平行直线20071108
CB
CD
3
H
求证：四边形EFGH是梯形. 证明：如图，连接BD 1 ∵EH 是△ABD 的中位线，∴EH//BD,EH= BD. 2 2 CF CG 2 ，∴FG//BD,FG= BD. 又在△BCD 中， CB CD 3 3 根据公理4，EH//FG 又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等 ∴四边形EFGH是梯形.
A
D
B
讲解新课
(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另 两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的 锐角(或直角)相等.
Q a′ a
b
P
b′
讲解范例 例1 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分 别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD A 上的点，且 CF CG 2
CB CD 3
教学目的： 1.会判断两条直线的位置关系; 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行; 3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题; 4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的 结论哪些在立几中成立.
引入 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？ 如图,把一张长方形的 纸对折两次，打开后得4个 全等的矩形，每个矩形的 竖边是互相平行的，再应 用平行公理，可得知它们 的折痕是互相平行的.
AA // DD, AA DD 同理 AA // EE , AA EE EE // DD, EE DD 即 DE ED 是平行四边形，
C'
E′
A'
D′
B' C
E
所以， BAC BAC ．
∴ ED ED ，∴ ADE ADE ，
a // c
c
a
平行直线与异面直线
问题：
在平面内，若一个角的两边与另一个角 的两边分别平行，并且方向相同，则这两个 角相等. 那么，在空间中结论还成立吗？
已知：如图，空间中 BAC 与 B1 A1C1 方向相同，
求证:
且 AC //A1C1 ，AB //A1B1 BAC =B1 A1C1.
分析：要证 EF // E1F1 ， 只需证四边形 EFF1 E1 为平行四边形，
只需证 EE1 // FF1 即可.
证明：连接 EE1 , FF1 . 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, AE // A1 E1 ，
四边形 AEE1 A1 为平行四边形 ，
AA1 // EE1 . 同理 AA1 // FF1 .
.
分析：要证明角相等
构造全等三角形
怎样构造全等三角形？ 可类比于例2图形结构
例2图
F1 E1
F E
证明：如图，在两个角的边上分别
F1
截取 AE A1E1，AF A1F1 ， 连接 AA1 ，EE1 ，FF1 ，EF ，E1F1 .
E1
AE // A1 E1 ，
F
四边形 AEE1 A1 为平行四边形.
1.定义： 我们仍然把在同一平面内不相交的两条
直线称为平行直线.
问题：
在平面内，平行于同一条直线的两直线 平行.那么，在空间中结论还成立吗？
不妨观察一下身边的事物
2.基本事实4： 在空间中，平行于同一条直线的两直线
平行. （空间平行线的传递性）
符号：如果 a //b ，a //c ，那么 b //c .
（2）在空间不相交的两条直线是异面直线.
2020-2021学年数学第四册教案：第11章11.3.1 平行直线与异面直线含解析
2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章11.3.1平行直线与异面直线含解析11.3 空间中的平行关系11。
3.1平行直线与异面直线学习目标核心素养1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质．（重点）2．理解并掌握等角定理，并会应用．（难点）3．理解异面直线的定义，会画两条异面直线．（一般)4．了解空间四边形的定义．(一般)1.借助两直线平行的判定与性质,提升逻辑推理的核心素养．2．通过等角定理的学习，培养直观想象的核心素养。
前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系:相交、平行、异面．在这里我们将继续学习判断空间中两直线位置关系的方法，熟悉空间平行关系的判定及性质．思考：平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这是初中所学的两个结论，如果去掉“同一平面内”这个条件,在空间中这两个结论还成立吗？1．平行直线(1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）平行线的传递性文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．符号表述：错误!⇒b∥c。
2．等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同，那么这两个角相等．思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行,这两个角具有什么关系?[提示]相等或互补．3．异面直线的判定与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．4．空间四边形1．思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”）（1）若a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．()（2）若a与b异面,b与c异面,则a与c异面．(）(3）若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．（）[答案］(1)×（2)×（3)√2．已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(）A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.］3．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线（)A．12对B．18对C．24对D．36对B［由基本事实易知共有18对．］4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．相交［直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF ⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．］空间两直线位置关系的判断【例1111线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；（2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．（1)平行（2)异面（3）相交(4）异面［（1）在正方体AC1中，因为A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C．（2）因为B∈平面BCC1B1,B1C⊂平面BCC1B1，B∉B1C，又A1∉平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面．（3）因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交．(4）由异面直线的判定可知AB与B1C异面．]判定两条直线是异面直线的方法（1)证明两条直线既不平行又不相交．（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A ∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线（如图）．错误!1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．相交或异面D[画出图形,得到结论．（1）(2)如图(1），分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知,应选D．］直线与直线平行的证明【例2BC和AD 的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置,G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．[证明］因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB且EF＝错误!（AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB．因为G，H分别为AD′，BC′的中点，所以GH∥AB且GH＝错误!(AB＋C′D′）＝错误!(AB＋CD)，所以GH EF，所以四边形EFGH为平行四边形．证明两条直线平行的三种方法(1）一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点．(2)二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质．（3）三是利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．错误!2．已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．［证明]如图，连接AC，因为M，N为CD，AD的中点，所以MN错误!AC，由正方体性质可知，AC A′C′，所以MN错误!A′C′，所以四边形MNA′C′是梯形．等角定理及其应用【例3】在如图所示的正方体ABCD。
【数学】2.1.2《空间的平行直线与异面直线》课件(上课用)
3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G
F
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
BACK NEXT
2.正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O, 则OD1与A1C1所成的角的度数为 900
2 2 2 2
6.课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
b a
a
M
b
a
b
BACK
a与b是异面直线
a与b是相交直线
NEXT
a与b是平行直线
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
Ａ、平行 Ｂ、相交
Ｃ、异面 Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面 ２、两条异面直线指的是（ ） Ａ、没有公共点的两条直线 Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
D N A B M C
D'
C'
A'
B'
例2
(1) 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD －
空间的平行直线与异面直线
b
a’
O
α
O
α
a
a'
θ ∈(0,
π
2
]
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直 如果两条异面直线所成的角是直角 那么就说两条直 线互相垂直. 线互相垂直
1.异面直线 异面直线 2.异面直线所成的角 异面直线所成的角
2'垂直 如图, 哪些棱所在直线与直线 哪些棱所在直线与直线AA 垂直? 例 如图 (1)哪些棱所在直线与直线
已知两条异面直线a、 经过空间任一点O, 已知两条异面直线 、b, 经过空间任一点 分别作 直线a 所成的锐角(或直角 或直角)叫做异 直线 ' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角 或直角 叫做异 ， ， 面直线a、 所成的角 或夹角). 所成的角(或夹角 面直线 、b所成的角 或夹角
b
θ
b’
θ ∈(0,
π
]
3.练习 练习: 练习
1)若a、b是异面直线 b、c也是异面直线 则a、c位置关 若 、 是异面直线 是异面直线, 、 也是异面直线 也是异面直线, 、 位置关 异面直线不具有传递性. 异面直线不具有传递性 系是( 系是 A ) A. 相交、平行或异面 相交、 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 2)直线 和b是两条异面直线 点A、C在直线 上, 点B、D 直线a和 是两条异面直线 是两条异面直线, 在直线a上 直线 、 在直线 、 在直线b上 那么直线AB和 一定是 一定是( 在直线 上, 那么直线 和CD一定是 C ) A. 平行直线 B. 相交直线 C. 异面直线 D. 以上都可能
(2)求直线 ' 分别和 ' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数 求直线BA 分别和CC 的夹角的度数. 求直线 D' 与直线AA 垂直的直线有: 解:(1)与直线 ' 垂直的直线有 与直线 C' AB、BC、CD、DA、 A' B' 、B' C' 、 、 、 、 、 A' B' C' D' 、D' A' O (2)由BB'||CC', 可知 ∠B'BA'等于异面 由 D 的夹角, 所以BA 直线 '与CC'的夹角 所以 ' 与 C 直线BA CC' 的夹角为 °. 的夹角为45 A B BA'与DC' 的夹角为 °. 的夹角为90 BA' 与DC' 的夹角为 °. 的夹角为60 求角的一般步骤: 求角的一般步骤 1)找(作)角; 2)求角 解三角形 找作角 求角(解三角形 求角 解三角形).
平行直线与异面直线
空间的平行直线与异面直线（一）异面直线所成的角异面直线所成角的定义：过空间任意一点O ，与异面直线a 和b 分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O 的位置选取无关；②两条异面直线所成的角θ∈（0,2］; ③因为点O 可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上；④找两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；（二）两直线互相垂直当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b 互相垂直，也记作a ⊥b ;【注】以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形。
一、 例题讲解【例1】 设图中正方体的棱长为a .（1）求直线BA ′和CC ′所成角的大小； （2）求直线BA ′和B ′D ′所成角的大小；【例2】 在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且12AE BF ED FC ==，AB=CD=3，，求AB 与的大小.【例3】 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2a ，AA 1=a ,E 和F 分别是A 1B 1和BB 1的中点。
求：(1)EF 和AD 1所成的角的正弦值；(2)AC 1和B 1C 所成角的余弦值.(图1) (图2)(2)延长D 1A 1到F 使A 1F=D 1A 1,则AF ∥DA 1∥CB 1.所求角为AF 与AC 1的夹角.二、 课堂练习一、选择题1、 下列命题中，正确的是（ ） A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.有三个角是直角的四边形是矩形C.两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线答案：C2、已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：B3、直线a、b相交于点O，且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：C4、异面直线a、b所成的角为80°，P是空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：D5、若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，d∥c，则d和a、b的公共点的个数是（）A.1B.最多为1C.2D.1或2答案：B6、已知直线a与b、b与c都是异面直线，且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线，那么a与c的位置关系是（）A.平行或相交B.异面C.平行或相交或异面D.相交或异面答案：C7、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的是（）A.A1B与D1C是距离为a的异面直线B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1C.异面直线AA1与BC的公垂线是aD.异面直线AA 1与BC 的公垂线段的长是a 答案：D 二、填空题8、 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与BD 1成异面直线的有_______条. 答案：69、 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 是相应棱的中点，则（1）MN 与PQ 的位置关系是_______，它们所成的角是_______. （2）MN 与B 1D 的位置关系是_______，它们所成的角是_______. 答案：（1）相交 60° （2）异面 90° 10、在空间四边形ABC D 中，对角线AC =BD =2a ，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，若MN =2a ，则AC 和BD 所成的角为_______，MN 和AC 所成的角为_______. 答案： 90° 45°11、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是DC 的中点，AD =AA 1AB =2，那么（1）AA 1与BC 1所成角的度数是_______； （2）DA 1与BC 1所成角的度数是_______； （3）BC 1与D 1M 所成角的余弦是_______.答案：（1）45° （2）90° （312、在空间四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，若AC =6，BD =4，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则MN =_______，MN 与BD 所成角的正切值为_______. 答案：23 13 13、空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长都为1，点P 在边AB 上移动，点Q 在边CD 上移动，则点P 和点Q 的最短距离为_______.14、如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点.且32==CD CG CB CF ,若BD =6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 与FG 间的距离为_______.答案： 8 cm。
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、空间两直线的位置关系 1．异面直线（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a ,b 是异面直线，则不存在平面α，使a ⊂α且b ⊂α.（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：2．空间两直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面. （1） ——同一平面内,有且只有一个公共点； （2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网 （3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点. 3． 空间中两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： （1）从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线 （2）从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线二、公理4与等角定理 1．公理4（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 .（2）符号语言：a ,b ,c 是三条不同的直线, a ∥b ，b ∥c . （3）作用：判断或证明空间中两条直线平行. 公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.用公理4证明空间两条直线,a c 平行的步骤（1）找到直线b ； （2）证明∥a b ，∥b c ； （3）得到∥a c .2．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . （2）符号语言：如图（1）（2）所示，在∠AOB 与∠A ′O ′B ′中，OA ∥O ′A ′,OB ∥O ′ B ′，则∠AOB =∠A ′O ′B ′或∠AOB +∠A ′O ′B ′=180°.图（1） 图（2）三、异面直线所成的角1．两条异面直线所成的角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（1）在定义中,空间一点O 是任取的,根据等角定理,可以判定a ′，b ′所成的角的大小与点O 的位置无关.为了简便，点O 常取在两条异面直线中的一条上.（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路.2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为 . 3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是 ，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .4．构造异面直线所成角的方法（1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线；（2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角.学科*网5．求两条异面直线所成的角的步骤（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）；（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．K 知识参考答案：一、1．（1）任何一个平面内2．（1）相交直线 （2）平行直线 （3）异面直线 二、1．（1）平行 （2）a ∥c 2．（1）相等或互补 三、1．锐角（或直角） 2．090α<≤ 3．直角K—重点掌握公理4及等角定理，异面直线及其所成的角K—难点理解两异面直线所成角的定义，并会求两异面直线所成的角K—易错忽略异面直线所成的角的范围致误1．空间两直线的位置关系的判断空间两直线的位置关系有平行、相交、异面三种情形，因此对于空间两直线位置关系的判断，应由题意认真分析，进而确定它们的位置关系.【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM 与DD1是异面直线．其中正确的结论为A．③④B．①②C．①③D．②④【答案】A【解析】∵A、M、C、C1四点不共面，∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确.故选A．【方法技巧】判定或证明两直线异面的常用方法：1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线.2.定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.3.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.4.反证法：证明立体几何问题的一种重要方法. 证明步骤有三步：第一步是提出与结论相反的假设；第二步是由此假设推出与已知条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步是推翻假设，从而原命题成立. 2．公理4的应用证明两条直线平行的方法： （1）平行线的定义；（2）利用平面几何的知识，如三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等； （3）利用公理4.【例2】如图,△ABC 的各边对应平行于111△A B C 的各边,点E ,F 分别在边AB ,AC 上,且1,3AE AB AF ==13AC ,试判断EF 与的位置关系,并说明理由.【解析】平行.理由如下： ∵11,33AE AB AF AC ==,∴∥EF BC . 又11∥B C BC ,∴11∥B C EF . 3.等角定理利用等角定理解题的关键是不要漏掉两个角互补的这种情况. 【例3】空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为 A ．60° B ．120° C ．30°D ．60°或120°【答案】D【解析】∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选D ． 【名师点睛】根据公理4知道当空间两个角α与β的两边对应平行时，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【例4】如图所示，已知棱长为a 的正方体中，M ，N 分别是棱的中点.（1）求证：四边形是梯形； （2）求证：（2）由（1）知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 4．两异面直线所成的角通过平移直线至相交位置求两条异面直线所成的角，是数学中转化思想的运用，也是立体几何问题的一个难点.【例5】如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A．90B．75C．60D．45【答案】A【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几，放置在三角形中，利用何体的结构特征，把空间中异面直线CD和PB所成的角转化为平面角AEF解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5.忽略异面直线所成的角的范围致误【例6】如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M,N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错因分析】在未判断出∠MEN 是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤，如果∠MEN 为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角. 学#科网【正解】以上同错解，求得∠MEN =120°,即BC 与AD 所成的角为60°.【误区警示】求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是090α<≤.1．若,a b 为异面直线，直线c a ∥，则c 与b 的位置关系是 A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 2．已知∥AB PQ ，∥BC QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于 A ．30° B ．30°或150° C ．150° D ．以上结论都不对 3．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行 4．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对5．如图，四面体ABCD 中，AD BC =，且AD BC ⊥，E F 、分别是AB CD 、的中点，则EF 与BC 所成的角为A ．30B ．45C ．60D ．906．如果OA //O A ''，OB //O B ''，那么AOB ∠和A O B '''∠的关系为 ． 7．下列命题中不正确的是________．（填序号）①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．8．如图所示,两个三角形ABC 和A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O , 且AO BO COOA OB OC =='''.求证：△∽△ABC A B C '''.9．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为60°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．10．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是A．相交B．异面C．异面或相交D．平行11．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为A．相交B．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直12．如图，正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于_________.ECDPAB13．如图,若P 是△ABC 所在平面外一点,PA ≠PB ,PN ⊥AB ,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证：PN 与MC 为异面直线.14．（2016上海）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是BC D E F A B 11D 1A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 115．（2015广东）若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是 A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交16．（2015浙江）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC .若AB =AC =AA 1=1，BC =2，则异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°17．（2014广东）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足12l l ⊥，23l l ∥，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14l l ∥C ．1l 与4l 既不垂直也不平行D ．1l 与4l 的位置关系不确定1 2 3 4 5 10 11 14 15 16 17 DBCBBCDDDCD1．【答案】D【解析】c a ∥，a b ，为异面直线，所以c 与b 的位置关系是异面或相交.4．【答案】B【解析】根据异面直线的定义观察图形，可知有三对异面直线，分别是PB 与AC 、P A 与BC 、PC 与AB ，故选B. 5．【答案】B【解析】如图，设G 为AC 的中点，连接,EG FG .由中位线可知,∥∥EG BC GF AD ，所以GEF ∠就是EF 与BC 所成的角，且三角形GEF 为等腰直角三角形，所以45GEF ∠=.6．【答案】相等或互补【解析】根据等角定理的概念可知AOB ∠和A O B '''∠的关系为相等或互补. 7．【答案】①②8．【解析】∵AA'与BB'交于点O ,且AO BOOA OB='',∴AB ∥A'B'.同理,AC ∥A'C'.又∠BAC 与∠B'A'C'两边的方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'. 同理,∠ABC =∠A'B'C'. 因此,△∽△ABC A B C '''.9．【解析】如图，取AC 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥AB ，GF ∥CD ，且由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF （或它的补角）为EF 与AB 所成的角，∠EGF （或它的补角）为AB 与CD 所成的角． ∵AB 与CD 所成的角为60°，∴∠EGF ＝60°或120°． 由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝60°时，∠GEF ＝60°；当∠EGF ＝120°时，∠GEF ＝30°．学@科网 故EF 与AB 所成的角为60°或30°．10．【答案】C【解析】（1）若两条直线与两异面直线的交点有4个,如图（1）,两条直线异面;（2）若两条直线与两异面直线的交点有3个,如图（2）,两条直线相交.故选C.（1） （2）【误区警示】在判断两直线的位置关系时，要全面思考问题，可通过画出相关图形帮助分析，从而防止遗漏.本题中，没有明确指出直线交点的个数,两条直线分别与两异面直线相交,交点可能有4个,此时两条直线异面,也可能有3个,此时两条直线相交.11．【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.13．【解析】假设PN与MC不是异面直线,则存在一个平面α,使得PN⊂α,MC⊂α,于是P∈α,C∈α,N∈α,M∈α.∵PA≠PB,PN⊥AB,N为垂足,M是AB的中点,∴M,N不重合.∵M∈α,N∈α,∴直线MN⊂α.∵A∈MN,B∈MN,∴A∈α,B∈α.即A,B,C,P四点均在平面α内,这与点P在平面ABC外相矛盾.∴假设不成立,则PN与MC是异面直线.16．【答案】C【解析】根据题意，得BC∥B1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.如图，连接A 1B ,在△A 1BC 中，BC =A 1C =A 1B =2,故∠A 1CB =60°,即异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.故选C.17．【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，则14l l ∥；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此14,l l 的位置关系不确定，故选D.D 1C 1B 1A 1DCBA。
空间的平行直线与异面直线
空间的平行直线与异面直线一．知识总结：1.空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法ab1A A6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2,0(π8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求10.两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、例题：例1 已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ，求证：四边形EFGH 是梯形例 2 如图，A 是平面BCD 外的一点,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心，求证：//GH BD ．例3 设图中的正方体的棱长为a（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA 1成异面直线？ （2）求直线BA 1和CC 1所成的角的大小． （3）求异面直线BC 和AA 1的距离．例4 已知,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证四边形EFGH 是平行四边形（2）若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形；（3）若BD =2，AC =6，求22HF EG +；（4）若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形EFGH 的面积； （5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离.例5 平行四边形ABCD 的内角C=60°,CD=2BC,沿对角线BD 将平行四边形所在平面折成直二面角;求AC 、BD 所成的角.AC 1CAD BD B例6 空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD的中点，EF =求异面直线,AD BC 所成的角说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，表示异面直线,AD BC所成的角是它的补角例7 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角; (2)AC 与BD 1所成角. .三． 练习：1．判断题（对的打“√”，错的打“×”） （1）平行于同一直线的两条直线平行 （ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行 （ ）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ ）（7）向量与11B A ，AC 与11C A 是两组方向相同的共线向量，那么111BAC B AC ∠=∠． （8）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）（9）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB ⊥CD （ ） （10）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（11）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60º角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④ 3. 两条异面直线 的公垂线指的是 ( )(A)和两条异面直线都垂直的直线(B)和两条异面直线都垂直相交的直线(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段 (D)和两条异面直线都垂直的所有直线 4.“a ，b 是异面直线”是指E AFB C MND AB CD EF G① a ∩b =Φ且a 不平行于b ；② a ⊂ 平面α，b ⊂ 平面β且a ∩b =Φ ③ a ⊂ 平面α，b ⊄ 平面α ④ 不存在平面α，能使a ⊂ α且b ⊂ α成立 上述结论中，正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）③④5.两条直线a ,b 分别和异面直线c ,d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ） （A ）一定是异面直线 （B ）一定是相交直线 （C ）可能是平行直线 （D ）可能是异面直线，也可能是相交直线6.一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）相交或异面7. 在棱长为a 的正方体中，与AD 成异面直线且距离等于a 的棱共有 ( ) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条8.若a 、b 是两条异面直线，则下列命题中，正确的是 ( ) (A)与a 、b 都垂直的直线只有一条 (B)a 与b 的公垂线只有一条 (C)a 与b 的公垂线有无数条(D)a 与b 的公垂线的长就是a 、b 两异面直线的距离9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则棱A 1B 1所在直线与面对角线BC 1所在直线间的距离是 ( )（A ）a 22（B ）a （C ）a 2 （D 210．E 、F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、CD 的中点，且EF=5，BC =6，AD =8，求异面直线AD 与EF所成角的正弦值.11．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是边长为a 的正方体，计算下列问题： （1）A 1D 1与B 1B 所成角的大小；（2）A 1D 1与AC 所成角的大小； （3）AD 1与B 1C 所成角的大小；（4）A 1C 与AB 所成角的正切值； （5）A 1D 1与B 1B 的距离；（6）A 1C 1与BD 的距离； （7）A 1D 1与AB 1的距离；（8）若E 、F 、G 、H 为对应棱的中点，求EF 、EH 所成的角A C 1C AB CF EA D A 1。
空间的平行直线与异面直线——基础知识
空间的平行直线与异面直线——基础知识
平行直线是指在同一个平面上，方向相同且不相交的直线。
异面直线是指在不同的平面上，不存在任何交点的直线。
平行直线与异面直线之间存在以下关系：
1. 平行直线与异面直线之间没有任何交点。
2. 平行直线与异面直线之间没有任何公共点，也没有任何公共平面。
3. 平行直线与异面直线之间的夹角可以为任意值，没有特定的关系。
4. 平行直线之间的距离是恒定的，而异面直线之间的距离是不恒定的。
平行直线位于同一个平面上，而异面直线位于不同的平面上，它们之间的关系可以通过它们的位置、方向和距离来进行描述。
空间的平行直线与异面直线
【高考导航】本节所涉及到的知识点：直线平行公理、异面直线的概念以及异面直线所成的角是高考考查的重点.考查的题型比较灵活.如1993，全国理，18题；1994，上海，14题；1995，全国文，10题；1996，全国，19题.试题分值4～5分，多以难度系数较大的题为主.【学法点拨】本节共有两个知识点：平行直线、异面直线.平行直线主要是将平行公理和平行线的传递性推广到空间，并引出平移的概念，学习时要意识到并非所有在平面图形中适用的结论，对于立体图形仍应适用.例如没有公共点的直线在平面上是平行关系，在空间中考虑就有平行与异面两种位置关系.对于异面直线要理解不同在任何一个平面内，它们构成一个空间图形，绝不是平面图形，异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角的概念扩充而成.计算异面直线a 、b 的夹角大小，必须通过平移转化为相交直线a ′，b′的夹角，实现转化的手段是“平移”.【基础知识必备】 一、必记知识精选1.空间两条不重合的直线的三种位置关系. (1)相交直线——共面有且仅有一个公共点. (2)平行直线——共面没有公共点. (3)异面直线——不同在任一平面内.2.平行公理：平行于同一条直线的两直线平行.c b c a b a ∥∥∥⇒⎭⎬⎫. 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.4.异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.5.异面直线的概念及异面直线所成角：已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,a′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线所成角.异面直线所成角的范围为(0,2π]. 二、重点难点突破1.掌握平行公理并能熟练应用；了解公理4是证明直线平行的主要依据.2.异面直线的概念，异面直线所成角的概念及求法.注意概念中异面直线所成角与“O ”点位置无关，因此，在实践中“O ”点常取在两条异面直线中的一条上.（二）难点1.异面直线的判定.利用异面直线判定定理，或排除平行、相交两种位置关系进行判断，或利用反证法.2.异面直线所成角.求异面直线所成角，是按定义先作出它们所成的角，然后一般通过解三角形来求角.三、易错点和易忽略点导析 1.对定理的掌握不准确. 【例1】 如果角A 的两边与角B 的两边分别平行，则角A 与角B 的关系是 .错解：A=B.正确解法：A=B 或A+B=π.错解分析：在利用等角定理时忽略了“方向相同”这一条件.对概念的把握不深刻. 2.空间概念不牢固.【例2】 在空间中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直C.异面D.以上答案都不对 错解:A 正确解法:D错解分析：以固有的平面思维对待空间问题，本题中两条直线的位置关系是平行、相交或异面.【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨【例1】 已知两直线a,b 是异面直线，a 上有两点A 、C 中，b 有两点B 、D.求证AB 和CD 是异面直线.思维入门指导：证明两直线a 、b 异面，其实质是证明使a ⊂α，b ⊂α的平面α是不存在的.一般有两种方法：反证法和利用异面直线判定定理进行证明.证明：假设AB 与CD 不是异面直线，则AB 、CD 共面. 设AB ⊂α，CD ⊂α，则A ∈α，C ∈α. 又∵A ∈α，C ∈α， ∴AC ⊂α.即a ⊂α.同理b ⊂α，这与a 、b 异面矛盾.故假设不成立，则直线AB 和CD 是异面直线.点拨：反证法是证明否定命题的基本方法.反证法证明过程一般有如下几个步骤：(1)反设：作出与命题结论相反的假设；(2)归谬：将反设和条件进行推理,得出矛盾；(3)结论：肯定原命题正确.在立体几何中，下面三类问题常用反证法.(1)直接利用公理、定义证题，即在尚未建立有关定理作为依据的情况下证题. (2)证明某些惟一性结论的命题. (3)所证结论是一种否定性的命题. 二、应用思维点拨【例2】 已知：长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中AB=a ，BC=b ，AA ′=c(a ＞b)，求异面直线D ′B 和AC 所成角的余弦值.思维入门指导：欲求两条异面直线所成的角，关键在于选择恰当的点，通过平移一条直线后，转化为平面问题，利用解三角形求之.解法一：如图9-2-1，连接BD 交AC 于E ，取DD ′的中点F,连结EF ，则EF ∥21D ′B.∴∠FEA 是D ′B 和AC 所成的角.连接AF ，∵AE=422b a +=222b a +,EF=21D ′B=2222c b a ++,AF=2422c b +,∴在△FEA 中，cos∠FEA=AE EF AF AE EF ∙-+2222=))((2222222c b a b a b a +++-.∵a ＞b ，∴cos ∠FEA＞0. ∴D ′B 与AC 所成角的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.解法二：在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，如图9-2-2，则BE ∥AC,∠D′BE为D ′B 和AC 所成角或其补角.∵D ′B=222c b a ++,BE=22b a +,D′E=224c a +, ∴在△D ′BE 中，cos ∠D ′BE=BE B D E D BE B D ∙''-+'2222=))((2222222c b a b a b a ++++-.∵a ＞b,则b 2-a 2＜0,即cos ∠D ′BE ＜0. 故D ′B 与AC 所成角的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.点拨:求异面直线所成角的基本法则是“作平行线，构造三角形”.而在采用平移找角,转化为三角形求解时,应时刻注意两条异面直线所成的角的范围为(0,2π],因为常常会出现所找的角为异面直线所成角的补角.三、创新思维点拨【例3】 如图9-2-3,A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BC=5，CD=8，∠BCD=60°，求MN 的长.思维入门指导：由题设中的条件M 、N 分别为三角形重心，可预想解题过程要利用三角形的中线及重心的性质进行解题.解：连结AM 并延长交BC 于点E ，连结AN 并延长交CD 于点F ，则E 、F 分别为BC 、CD的中点，连结EF ，则EF ∥21BD. ∵32==AF AN AE AM ,∴MN ∥EF.∴MN ∥31BD. 在△BCD 中，BC=5，CD=8，∠BCD=60°， ∴BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos60°=25+64-2×5×8×21 =49. 则BD=7.∴MN=37. 点拨：本题是一道好题，其创新之处是将重心的性质及平行公理有机地结合在一起. 四、高考思维点拨【例4】 （2003，北京春招，5分）如图9-2-4，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为（ ）A.90°B.60°C.45°D.0°思维入门指导：本题是折叠类问题，解答此类问题的基本思路是：先作出折叠前与折叠后的图形.注意折叠前后元素之间的位置关系，数量关系的变化，然后解答.解：如图9-2-5所示，折叠后A 、B 、C 重合，记为点K ，GH 与IJ 为异面直线.K(A 、B 、C)∵GH ∥DF ，IJ ∥KD ，∴∠KDF 为GH 与IJ 所成角. ∵∠KDF=60°，∴GH 与IJ 所成角的度数为60°，选B.点拨：把平面物体折叠成空间几何体的过程中，始终在同一个平面内的点与线，线与线的位置关系及数量关系不变,若折叠前后不在同一个平面内,则位置关系及数量关系都可能发生变化.五、经典类型题思维点拨【例5】 设A 、B 、C 、D 是不共面的四个点，P 、Q 、R 、S 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，如图9-2-6，若AB=122，CD=43,且四边形PQRS 的面积为123，求异面直线AB 和CD 所成的角.思维入门指导：利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为相交的两条直线所成的角，然后求解.解：∵P 、Q 是AC 、BC 的中点，∴PQ ∥21AB. ∵Q 、R 是BC 、BD 的中点, ∴QR ∥21CD.同理RS ∥21AB,PS ∥21CD. ∴四边形PQRS 为平行四边形，且∠PQR 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角. ∴PQ=62，QR=23.S □PQRS ＝PQ ·QR ·sin ∠PQR ＝62·23·sin ∠PQR ＝123, ∴sin ∠PQR=22. 故异面直线AB 、CD 所成角为45°.点拨：异面直线是立体几何的重点和难点之一，几乎每年都被考查.考查的内容涉及定义、所成角两方面，其中异面直线所成角为考查的热点.六、探究性学习点拨【例6】 如图9-2-7，空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 所成角为θ，AC=a ，BD=b （a,b 为常数），E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，当θ为何值时，四边形EFGH 的面积S 最大？最大值为多少？思维入门指导:四边形EFGH 面积的大小是由边的长度及内角的度数决定的,先将四边形EFGH 的面积表示为θ的函数,再利用函数求最值.解:∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,∴EF ∥HG ∥AC,且EF=HG=21AC; EH ∥FG ∥BD,且EH=FG=21BD. ∴四边形EFGH 是一个平行四边形,且EF=21a,FG=21b. ∵AC 与BD 所成角为θ，∴∠EFG=θ.∴S=EF ·FG ·sin θ=41absin θ. ∵θ∈(0,2π),∴当θ=2π时,S max =41ab. 点拨：顺次连结不共面的四点A 、B 、C 、D 所组成的四边形叫做空间四边形，空间四边形各边中点连结形成的平行四边形中有以下结论：（1）当AC=BD 时，为菱形；（2）当AC ⊥BD 时，为矩形;（3）当AC ⊥BD ，AC=BD 时，为正方形.【同步达纲训练】A 卷:教材跟踪练习题 （60分45分钟） 一、选择题（每小题5分，共30分）1.如果a 、b 是异面直线，c ∥a ，那么c 与b （ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线2.两条直线不相交是两条直线异面的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个空间四边形各边中点所形成的四边形是（ ）A.梯形B.矩形C.正方形D.菱形4.正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） A.2 B.3 C.6 D.125.一个角的两边与另一角的两边分别垂直,则这两个角（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定6.正方体AC 1中，E 、F 分别是AB 、BB 1的中点，则A 1E 与C 1F 所成角的余弦值为（ ）A.21 B.22 C.52D.521二、填空题(每小题4分,共16分)7.点A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 、P 分别是△ABC 、△ACD 、△ABD 的重心,且S △BCD =9,则△MNP 的面积为 .8.正方体六个面内的所有对角线中,互成60°角的对角线共有 对. 9.若a ∥b,c ⊥a,d ⊥b.则c 与d 的位置关系是 .10.过异面直线a 与b 外的点P.与a 、b 都垂直的直线的条数是 . 三、解答题(每小题7分,共14分)11.已知空间四边形ABCD 的对角线AC=10，BD=6，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN=7，求异面直线AC 与BD 所成角.12.如图9-2-8在四面体A —BCD 中，AB=AC=AD=26a ，BC=CD=a,BD=2a ，点F 是BD 的中点，求AF 与CD 所成的角的大小.B 卷:综合应用创新练习题 （70分60分钟） 一、学科内综合题（5分）1.两条异面直线所成角为θ，则有（ ） A.0＜cos θ≤1 B.0≤cos θ＜1 C.0≤sin θ＜1 D.0≤sin θ≤1 二、应用题（5分）2.空间四边形ABCD 中，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，设21(BC+AD)=l ,则（ ） A.MN ＞l B.MN ＜lC.MN=lD.MN 与l 的大小关系不确定 三、创新题（55分）（一）教材变型题（5分） 3.（P 15第5题变型）和两条异面线AB 、CD 都相交的两条直线a 、b 的位置关系是（ ） A.平行 B.异面 C.相交 D.以上都不对 （二）一题多解（1O 分）4.证明：对边平方和相等的空间四边形的对角线互相垂直. （三）一题多变（20分）5.两条异面直线a 、b 所成的角是60°，过空间任意一点O 与a 、b 都成60°角的直线的条数是( )A.2条B.3条C.4条D.不能确定(1)一变:两条异面直线a 、b 所成的角是60°,过空间任意一点O 与a 、b 都成50°角的直线有 条.(2)二变:两条异面直线a 、b 所成的角是θ，过空间任意一点O 与a 、b 都成45°角的直线有两条.则θ的取值范围是 .(3)三变:两条异面直线a 、b 所成的角是60°，过空间一点O 的直线l 与a 、b 所成的角都是θ,则θ的取值范围是 .(四)新解法题(10分)6.已知棱长为a 的正方体AC 1中，E 、F 分别为BC 、A 1D 1的中点，求AF 与DE 所成的角. (五)新情境题(10分)7.A 、B 、C 、D 是异面直线AB 、CD 上的点，线段AB=CD=4，M 为AC 的中点,N 为BD 的中点，MN=3，求异面直线AB 、CD 所成角的余弦值.四、高考题8.（1995，全国，5分）如图9-2-9，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=411B A ,则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A.1715 B.21 C.178D.23加试题：竞赛趣味题（10分）（1999，全国联赛）给定下列两个关于异面直线的命题: 命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α、β的交线，那么c 至多与a 、b 中的一条相交.命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线.那么（ ） A.命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 B.命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 C.两个命题都正确 D.两个命题都不正确【课外阅读】多面体的截面用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点.作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面.作截线与截点的主要根据有： (1)确定平面的条件.(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线.(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. (4)如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行. 主要画法是交线法，即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点.【例1】 如图9-2-10，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、DD 1上，求作过E 、F 、G 三点的截面.作法:(1)在底面AC 内，过E 、F 作直线EF 分别与DA 、DC 的延长线交于点L 、M. (2)在侧面A 1D 内，连结LG 交AA 1于点K. (3)在侧面D 1C 内，连结GM 交CC 1于点H. (4)连结KE 、FH.则五边形EFHGK 即为所求的截面.有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介.【例2】如图9-2-11，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F在两条棱上,G在底面A1C1内，求作过E、F、G的截面.作法:(1)在底面A1C1内,过G作PQ∥B1C1，交棱于P、Q两点.(2)作辅助面PBCQ，在此面内，过G、F作直线交BP的延长线于M.(3)在侧面A1B内,连结ME，交A1B1于K.(4)在底面A1C1内,连结KG，延长交B1C1于H.(5)连结HF.(6)在底面AC内，作FL∥HK，交AB于L.(7)连结EL.则五边形ELFHK为所求的截面.此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解.【例3】如图9-2-12，五棱锥P—ABCDE中，三条侧棱上各有一已知点F、G、H，求作过F、G、H的截面.作法:(1)将侧面PAB、PBC、PDE伸展得到三棱锥P—BST.(2)在侧面PBS内，连结并延长GF，交PS于K.(3)在侧面PBT内，连结并延长GH交PT于L.(4)在侧面PST内，连结KL分别交PD、PE于M、N.(5)连结FN、MH.则五边形FGHMN即为所求的截面.参考答案A卷一、1.C 点拨：若c∥b，又c∥a，则a∥b，与a、b异面矛盾.2.A 点拨：两条直线异面一定不相交，但不相交也可以是平行.3.C 点拨:如答图9-2-1所示，E 、F 、G 、H 分别为空间四边形ABCD 各边的中点.则EF ∥21AC ，HG ∥21AC.则EF∥HG.∴四边形EFGH 为平行四边形. ∵AC=BD ，∴EF=HE.∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥HE.∴四边形EFGH 为正方形.4.C 点拨：除相交的6条棱外，其余6条棱均与之成异面直线.5.D 点拨：两者共在一个平面内则相等或互补，若一个角在另一个角平面外，且一条边垂直于第一个角所在平面，则两角关系不能确定.6.C 点拨:如答图9-2-2所示，取B 1G=41A 1B 1，连结GF ，GC 1,则∠C 1FG 即为A 1E 与C 1F 所成的角.设AA 1=a ，则在△C 1GF 中，C 1F=25a,GF=45a,C 1G=417a. ∴cos ∠C 1FG=852161716545⨯-+=52.二、7.1 点拨：如答图9-2-3，连结AM 并延长交BC 于点E ，则E 为BC 中点.同理可得CD 边中点F,BD 边中点G,则32===AG AP AF AN AE AM . ∴MN ∥EF ，MP ∥EG ，NP ∥GF ，且MP=32EG. 又∵EF ∥21BD,∴S △MNP =94·S △EGF =94·41S △BCD =94×41×9=1. 8.24 点拨:一个顶点对应3对,故共有3×8=24对.9.平行、相交或异面 点拨:可以在正方体中找出此题的实物模型,另外此题等价于判断垂直于同一条直线的两条直线间的位置关系.10.1条 点拨:两条异面直线有一条公垂线,过直线外一点与直线平行的直线有且只有一条，所以过点P 可以作一条直线与公垂线平行.三、11.解：如答图9-2-4，取BC 的中点E ，连结ME 、NE.则ME ∥21AC,NE ∥21BD. ∴∠MEN 就是异面直线AC 与BD 所成角或其补角. 在△MEN 中,ME=21AC=5,NE=21BD=3,MN=7, ∴cos∠MEN=NEME MN NE ME ∙-+2222=-21.∴AC 与BD 所成角为60°.12.解：如答图9-2-5，取BC 的中点E ，连EF 、AE ，∵F 为BD 的中点,∴EF ∥21CD. ∴∠AFE 为异面直线AF 、CD 所成的角或补角，且EF=21a ，在△ABC 中,AB=AC=26a,BC=a. ∴AE 2=AB 2-(21BC)2=46a 2-41a 2=45a 2. 在△ABD 中,AB=AD=26a,BD=2a, ∴AF 2=AB 2-(21BD)2=46a 2-42a 2=a 2. 在△AFE 中，cos ∠AFE=EFAF AE EF AF ∙-+2222=0,∴∠AFE=90°.∴异面直线AF 与CD 成90°的角.B 卷一、1.B 点拨：两条异面直线所成角的范围为（O ，2π]. 二、2.B 点拨：取AC 的中点为E ，连结ME,NE ，则在△MNE 中，21(BC+AD)=ME+NE ＞MN ，即MN ＜l .三、(一)3.D 点拨：可能存在异面与相交两种情况.(二)4.已知：如答图9-2-6中，AB 2+CD 2=BC 2+AD 2. 求证:AC ⊥BD.证法一：回归定义，所成角为90°，作角计算.如答图9-2-6(1)，分别取AB 、CD 、DA 的中点E 、F 、G ，则有EG ∥BD ，FG ∥AC ，这样问题就演变为证明△EFG 为直角三角形.因为题设为数量关系，故可考虑通过计算△EFG 的各边长来解决，记AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD的长分别为a 、b 、c 、d 、m 、n,则EG=21n,FG=21m.在△ACD 和△BCD 中分别求出中线AF 和BF 的长，再进一步在△AFB 中求出中线EF 的长，比较EF 、FG 、GE 的关系即可解决问题.证法二：遵循化归思想，该问题也可考虑构造平行四边形ENFG （如答图9-2-6(2)）,通过证NG=EF 来证明其为矩形.遵循条件集中的原则取各棱中点并顺次连结构造四边形NPGQ 和四边形EPFQ ，使已知量——四边形四条边与求解对象——NG 和EF 建立联系.可证四边形NPGQ 和四边形EPFQ 均为平行四边形.在平行四边形EPFQ 和NPGQ 中，EF 2+PQ 2=EP 2+PF 2+FQ 2+QE 2=2[(21b)2+(21d)2], NG 2+PQ 2=NQ 2+QG 2+GP 2+PN 2=2[(21a)2+(21c)2]. ∵a 2+c 2=d 2+b 2,∴EF 2+PG 2=NG 2+PQ 2.∴EF=NG.∴平行四边形ENFG 为矩形.证法三:(学习第四节后再看)遵循化归思想，该问题也可以转化为线面垂直来证明,作AH ⊥BD ，连结CH(如答图9-2-6(3)),只要证明CH ⊥BD 即可.在△ABD 中,cos ∠ABD=an d n a 2222-+,∴BH=a ·cos ∠ABD=n d n a 2222-+.在△BCD 中,cos ∠CBH=bnc n b 2222-+.∵a 2+c 2=d 2+b 2,∴cos∠CBH=nbd n a 2222-+=BC BH.∴∠BHC=90°.(三)5.B 点拨：过O 分别作a 、b 的平行线a ′、b′,则a′b′的夹角为60°.与a 、b 成等角只需与a ′、b ′成等角即可.如答图9-2-7所示，与a 、b 都成60°的直线一条是l ，另外两条是过点O 在a ′、b′所确定平面外，理论依据是最小角定理.(1)2 (2)θ∈(0,2π) (3)θ∈[6π,2π](四)6.解:如答图9-2-8，连结C 1E ，DC 1,则∠C 1ED 为AF 与DE 所成角或其补角.在△C 1DE 中，DE=C 1E=25a ，DC 1=2a ， cos∠C 1ED=222245224545αααα⨯-+=51,∴AF 与DE 所成角为arccos 51.(五)7.解:如答图9-2-9，连结BC ，取BC 的中点E ，连结ME,NE.则在△ABC 中，ME ∥21AB ，ME=2. 在△BCD 中，NE ∥21CD,NE=2. 故∠MEN 为AB 、CD 所成角或它的补角. ∵cos ∠MEN=NE ME MN NE ME ∙∙-+2222=81-,∴AB 、CD 所成角为arccos 81.四、8.A 点拨:如答图9-2-10,将DF 1平移至AG 1,A 1G 1=411B A .再将AG 1平移至EE 1,其中AE=2AB,B 1E 1=411B A .则∠BE 1E 即是异面直线BE 1与DF 1所成的角.Cos∠BE 1E=11221212EE BE BE EE BE ∙-+=1715.加试题:D 点拨:命题Ⅰ中c 与a 、b 可以都相交，只要交点不重合亦为异面直线;命题Ⅱ中的异面直线可以有无穷多条.且两两互为异面直线.。
2020_2021学年新教材高中数学立体几何初步11.3.1平行直线与异面直线学案
11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线必备知识·自主学习一、平行直线如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.(1)在等角定理中如果去掉方向相同,这两个角还相等吗?提示:可能相等,也可能互补,只有这两种情况.(2)等角定理有什么作用?提示:可以证明两个角相等.二、异面直线空间中既不平行也不相交的直线.与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.(1)空间中两条不相交的直线是异面直线吗?提示:不一定.空间中不相交的直线可能是异面直线,也可能是平行直线.(2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?提示:不一定. 可能平行、相交或异面.三、空间四边形顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.其中4个点都是空间四边形的顶点. 连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.(1)空间四边形与四面体是一回事吗?提示:不是一回事.空间四边形可以看成由一个四面体的四条棱构成的图形,空间四边形不是四面体.(2)梯形是空间四边形吗?提示:不是.因为梯形是一个平面图形,它的四个顶点在一个平面上,所以它不是空间四边形.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.( )(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.( )提示:(1)×.没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线.(2)×.在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,例如在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都与棱AA′垂直,但是这两条直线相交.(3)×.若a,b是异面直线,a,c是异面直线,那么b,c可以平行,可以相交,可以异面.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR等于( )A.30°B.30°或150°C.150°【解析】选B.因为AB∥PQ,BC∥QR,所以∠PQR与∠ABC相等或互补.因为∠ABC=30°,所以∠PQR=30°或150°.3.(教材二次开发:例题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( )A.正方形B.菱形C.矩形【解析】选B.设正方体的棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是_______.【解析】直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.答案:相交关键能力·合作学习类型一两直线的平行(逻辑推理、直观想象)【典例】1.在如图所示三棱台中,平行的直线有几对?2.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC AD,BE FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?【思路导引】1.平行直线是在一个平面内没有公共点的直线,可在三个侧面中寻找.2. (1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等.(2)只需证明C,H,F,E四点共面,即可推出C,D,F,E四点共面.【解析】1.由题知三棱台中平行的直线:AB∥A1B1,BC∥B1C1,AC∥A1C1,共有三对.2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GH AD,所以GH BC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)共面.理由:由BE AF,G为FA的中点知,BE FG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BG CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法.三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法.用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)空间平行线的传递性.用空间平行线的传递性证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由空间平行线的传递性即可得到a∥c.1.(2020·佛山高一检测)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,D为CC1的中点.(1)求多面体ABD-A1B1C1的体积;(2)设A1C与AD的交点为E,B1C与BD的交点为F,求证:A1B1∥EF.【解析】(1)多面体ABD-A1B1C1的体积等于三棱柱ABC-A1B1C1的体积减去三棱锥D-ABC的体积,即×22×2-××22×1=2-=.(2)在正方形ACC1A1中,==,在正方形BCC1B1中,==.所以==,所以在三角形DAB中,有EF∥AB,由于AB∥A1B1,所以A1B1∥EF.2.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G,H分别为AD′和BC′的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.【证明】因为在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,所以EF∥AB且EF=(AB+CD),又C′D′∥EF,EF∥AB,所以C′D′∥AB.因为G,H分别为AD′,BC′的中点,所以GH∥AB且GH=(AB+C′D′)=(AB+CD),所以GH EF,所以四边形EFGH为平行四边形.类型二异面直线的定义及应用(逻辑推理、直观想象)【典例】1.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②EF与MN是异面直线;③MN∥CD.其中,正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③2.已知a,b,c是三条直线,且a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明. 【思路导引】1.将正方体表面的展开图还原成正方体,在正方体中可以直观作出判断.2.选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况.【解析】1.选A.把正方体的平面展开图还原到原来的正方体如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,MN⊥CD,只有①②正确.2.直线a与c的位置关系有三种,如图所示.直线a与c可能平行(如图①所示),也可能相交(如图②所示),还可能异面(如图③所示).(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)利用结论:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.1.如图,a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,E,F分别是线段AC和BD的中点,判断EF和a,EF和b 的位置关系,并证明你的结论.【解析】假设EF和a共面,设这个平面为α,则EF⊂α,a⊂α.所以A,B,E,F∈α,所以BF⊂α,AE⊂α.又因为C∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b⊂α.从而a,b共面于α,这与题设条件a,b是异面直线相矛盾.所以EF和a共面的假设不成立,所以EF和a是异面直线.同理可得EF和b也是异面直线.2.如图所示,已知α∩β=a,b⊂β,a∩b=A,且c⊂α,c∥a.求证:b,c为异面直线.【证明】假设b,c不是异面直线,则b,c一定相交或平行.若b,c相交于一点P,b⊂β,c⊂α,又α∩β=a,则P∈b⊂β,且P∈c⊂α,所以交点P一定在α,β的交线上,即P∈a,所以a∩c=P,这与已知a∥c矛盾,故b,c不可能相交.若b∥c,又已知a∥c,则a∥b,这与已知条件a∩b=A矛盾,故b,c不可能平行.综上可知b,c为异面直线.类型三等角定理的应用(逻辑推理、直观想象)【典例】在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:(1)四边形EFF1E1为平行四边形.(2)∠EA1F=∠E1CF1.【思路导引】(1)欲证四边形EFF1E1为平行四边形可证其一组对边平行且相等.(2)可结合(1)利用等角定理证明.【证明】(1)连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF BD,同理E1F1B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1DD1,AA1BB1,所以B1B DD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD B1D1,所以EF E1F1.所以四边形EFF1E1为平行四边形.(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,所以四边形BCF1M是平行四边形,所以MB∥CF1,因为A1M EB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可证:A1F∥E1C,又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.证明角相等的方法一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形.(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体.所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,所以AM=A1M1且AM∥A1M1,所以四边形AMM1A1为平行四边形,所以MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,所以MM1=BB1且MM1∥BB1,所以四边形BB1M1M为平行四边形.(2)方法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1∥1M1M为平行四边形,所以C1M1∥∠BMC和∠B1M1C1方向相同,所以∠BMC=∠B1M1C1. 方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M11M1M为平行四边形,所以C1M11C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M1,所以∠BMC=∠B1M1C1.课堂检测·素养达标1.如果两条异面直线称为“一对”,那么正方体的12条棱中,异面直线共有( )B.24对C.36对【解析】选B.如图所示,正方体中与AB异面的棱有CC1,DD1,B1C1,A1D1.因为各棱具有相同的位置,且正方体有12条棱,排除两棱的重复计算,所以异面直线共有=24对.2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )A.平行或异面C.异面【解析】选B.假设a与b是异面直线,而c∥a,则c显然与b不平行(否则c∥b,则有a∥b,矛盾),因此c与b可能相交或异面.3.(多选题)(教材二次开发:练习改编)下列结论中,错误的是( )A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线互相垂直【解析】选AD.A中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项A错误;B中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故选项B正确;C中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故选项C正确;D中,如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线可能为异面直线,故选项D错误.4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是_______.【解析】在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.答案:平行1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点,求证:∠DNM=∠D1A1C1.【证明】如图,连接AC,在△ACD中,因为M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线,所以MN∥AC,MN=AC.由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C1,所以MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,所以∠DNM=∠D1A1C1.课时素养评价十五平行直线与异面直线(15分钟30分)1.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( )A.全等C.仅有一个角相等【解析】选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似.2.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是( )【解析】选C.如图所示,SB,SC,AB,AC与SA均是相交直线,BC与SA既不相交,也不平行,是异面直线.3.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.【解析】题干图①中,GH∥②中,G,H,N三点共面,但M∉③中,连接MG,GM∥④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以GH与MN异面.答案:②④4.已知在三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列四个结论:①MN≥(AC+BD);②MN≤(AC+BD);③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).其中正确的是.【解析】设BC中点为P,连接MP,PN.在△MPN中,MN<MP+PN,所以MN<(AC+BD),故④正确.答案:④5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系.(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是.【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1 BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.答案:(1)平行(2)异面6.如图,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF是平行四边形.【证明】设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1,因为E是AA1的中点,所以EQ A1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1 B1C1,所以EQ B1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形,所以B1E C1Q.又因为Q,F是矩形DD1C1C两边的中点,所以QD C1F,所以四边形DQC1F为平行四边形,所以C1Q DF,又因为B1E C1Q,所以B1E DF,所以四边形B1EDF为平行四边形.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B11B1不平行1B1不一定平行【解析】选D.如图①②所示,OB与O1B1不一定平行.2.以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是( )【解析】选C.本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断,仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择.A,B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS共面.3.如图所示的正方体的平面展开图,在这个正方体中:①MN∥ED;②CN与BE是异面直线;③DM⊥BN.以上四个结论中正确的序号是( )A.①②B.②③C.③D.①②③【解析】选C.如图所示,把正方体的平面展开图还原到原来的正方体,显然MN与ED为异面直线,故①不成立,而CN∥BE,故②不成立,又四个选项中仅有选项C不含①②,故选C.4.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是( )A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a⊥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交【解析】选A.A中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以a∥β,故C错误;D中,直线a与平面β有可能平行,故D错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.a,b,c是空间中的三条直线,下列说法中正确的是( )A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交,b与c异面,则a与b异面【解析】选AC.由平行线的传递性知A正确;若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行、相交或异面,B错误;易知C正确;若a与c相交,b与c异面,则a与b可能相交、平行或异面,故D错误.6.(多选题)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是( ) A.M,N,P,Q四点共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四边形MNPQ为梯形.【解析】选ABC.由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;由三角形的中位线定理,知MQ BD,NP BD,所以MQ NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.【补偿训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是( )1是相交直线1是异面直线1是异面直线【解析】1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故A,B错误,直线BN与MB1是异面直线,直线AM与DD1是异面直线,故C,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线,(1)∠DBC的两边与∠的两边分别平行且方向相同;(2)∠DBC的两边与∠的两边分别平行且方向相反.【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同.(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反.答案:(1)D1B1C1(2)B1D1A1【补偿训练】已知角α和角β的两边分别平行且一组边的方向相同,另一组边的方向相反,若α=45°,则β=.【解析】由等角定理可知β=135°.答案:135°8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN,有以下结论:①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN与A1C1是异面直线.其中正确结论的序号是.【解析】考虑极端:M为A,N为B,排除②;M为B1,N为C1,排除③.故填①.答案:①四、解答题(每小题10分,共20分)1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.【证明】如图,连接CB1,CD1,因为CD A1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1D∥B1C.因为M,N分别是CC1,B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1 A1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1.因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MP∥CD1,所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反,所以∠NMP=∠BA1D.10.如图,ABCD-A′B′C′D′为长方体,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分别是CD和AD 的中点.(1)判断四边形MNA′C′的形状.(2)求四边形MNA′C′的面积.【解析】(1)连接AC.因为M,N分别是CD和AD的中点,所以MNA′B′C′D′′A′′C′ AC,所以MN A′C′,所以四边形MNA′C′△A′AN和△C′CM中,因为∠A′AN=∠C′CM=90°,A′A=C′C=2a,AN=CM=a,所以△A′AN≌△C′CM.所以A′N=C′M.所以四边形MNA′C′是等腰梯形.(2)由A′C′=a,MN=a,A′N=C′M=a,得梯形高h=a,所以四边形MNA′C′的面积S=a2.1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是( )A.直线GH和MN平行,GH和EF相交B.直线GH和MN平行,MN和EF相交C.直线GH和MN相交,MN和EF异面D.直线GH和EF异面,MN和EF异面【解析】选B.易知GH∥MN,又因为E,F,M,N分别为所在棱的中点,所以FN EM,所以EF与MN相交.2.如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面;(2)m,n满足什么条件时EFGH是平行四边形;(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明EG=FH.【解析】(1)因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD,又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD,所以EH∥FG,所以E,F,G,H四点共面. (2)当且仅当EH FG时,四边形EFGH为平行四边形. 因为==,所以EH=BD,同理FG=BD,由EH=FG得m=n.故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.(3)当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,所以EF∥AC,又因为AC⊥BD,所以∠FEH是AC与BD所成的角,所以∠FEH=90°,从而EFGH为矩形,所以EG=FH.。
平行直线与异面直线教案
《空间的平行直线与异面直线》教案【教学目标】1、理解并掌握异面直线的定义；2、会用图形表示两条直线异面.3、会用两异面直线的判定定理与反证法判断或证明两异面直线；4、了解空间两直线的位置关系。
【教学重点】1、异面直线的定义2、反证法证明两直线是异面直线。
【教学难点】反证法【教学过程】一、复习引入1、复习平行公理和等角定理；空间四边形的概念及简单性质。
2、平面内两直线的位置关系有哪几种？AA与BC的位置关系，它们是否平行？是否相交？3、观察下列正方体中的直线'A'C'D'B'A'CDA B二、 讲解新课（一）异面直线1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
性质：既不相交，也不平行。
2、异面直线的画法问题：右图表示a 、b 异面是否恰当？答：不恰当。
直观上看a ⊂α,b ⊂β，似乎分别在不同的平面内，但从图形上可看出，a 、b 有与两平面α、β的交线都平行的可能，这样a 与b 就平行，它们完全有可能在新的平面γ内，所以这样画容易给人造成误解.异面直线的特征是“不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线”。
画图表示两条直线异面时，为显示它们不共面的特点，常用的方法有下列几种：这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征则难以体现.所以画异面直线时，一定要把其特征清楚地显现出来，不能使人产生歧义. 3、空间两直线的位置关系1、空间的两条直线有以下三种位置关系：①相交直线——有且仅有一个公共点. ②平行直线——在同一平面内，没有公共点. ③异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点. 2、找出正方体中的几对异面直线。
3、两条直线相交或平行时，确定一个平面，但三条直线交于一点或两两平行时，它们不一定共面。
例如上图中，直线AA 1、AB 、AD 三直线相交于点A ，它们不共面。
直线AA 1、BB 1、CC 1两两平行，它们也不共面。
空间直线与直线、面平行或垂直的判定
空间直线1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面.2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.3．异面直线所成的角直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．4．异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离．[要点内容]1．空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。
相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。
2．空间两直线的位置关系分类从有无公共点的角度看，可分为两类：（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；3．异面直线概念的理解“不同在任何一个平面内的两条直线”，是指这两条直线不能同时在任何一个平面内。
注意：分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线，它们可能是相交直线，也可能是平行直线，如图。
4．异面直线的画法及判定画异面直线时，以平面为衬托，可使两直线不能共面的特点显示得更清楚，如图判定两条直线是异面直线的方法：方法一，利用：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
”方法二，利用反证法，假设这两条直线不是异面直线，推导出矛盾。
这可能是与公理矛盾、与定理矛盾、与定义矛盾、与已知条件或事实矛盾等。
5．对于两条异面直线所成的角的定义应注意以下几点：（1）取直线a′、b′所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。
（2）在这个定义中，空间一点是任意选取的，根据等角定理，可以判定异面直线a和b 所成的角和a′和b′所成的锐角（或直角）相等，而与点O的位置无关。
（3）由于异面直线a、b所成的角与点O的位置无关，一般情况下，可将点O取在直线a或b上。
【数学】2.1.2《空间的平行直线与异面直线》课件(新人教A版必修2)
4.如图, 1 是长方体的一条棱,这个长方体中与 AA1 .如图, 是长方体的一条棱, AA 异面的棱共有( 异面的棱共有( B ) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 . 条 . 条 . 条 . 条
5.两条异面直线是指( D ) .两条异面直线是指( A.空间两条没有公共点的直线 . B.平面内一直线与这个平面外的一直线 . C.分别在两个平面内的两条直线 . D.不同在任何一个平面内的两条直线 .
2.1.2
空间直线与直线之间的位置关系
2. 空间两条直线 不重合 的位置关系 空间两条直线(不重合 不重合)的位置关系 按有无公共点分: ⑴按有无公共点分: 有且只有一个公共点——相交直线 ①有且只有一个公共点 相交直线 平行直线 没有公共点—— 异面直线 ②没有公共点
{
⑵按是否共面分: 按是否共面分: ①在同一平面内—— 在同一平面内
60 °
F 1 1 PE= BC PF= AD 且PE//BC, PF//AD , . 2 2
3
∴
PE2 + PF2 EF2 23 1 cos EPF= ∠ = = 2PE PF 2 2
即异面直线AD和BC成600角
∠EPF=120 °
6.课堂小结 课堂小结
异面直线的定义: 异面直线的定义 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移,转化为相交直线所成的角 平移,
6.正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC,BD交于O, 则OD1与A1C1所成的角的度数为 900
D1 A1 B1
C1
D O A B
空间的平行直线与异面直线(一)
空间的平行直线与异面直线(一)教学目的：1.会判断两条直线的位置关系.2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题.4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立5.掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；6.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础教学过程：一、复习引入：把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）你还能举出生活中的相关应用的例子吗？二、讲解新课：1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点；2 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ⇒．说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向； （3）如果空间图形F 的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到F '的位置，则就说图形F 作了一次平移（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在． 已知：B A C ∠和B A C '''∠的边//,//AB A B AC A C ''''，并且方向相同， 求证：B A C B A C '''∠=∠．证明：在B A C ∠和B A C '''∠的两边分别截取,AD A D AE A E ''''==， ∵//,AD A D AD A D ''''=， ∴A D D A ''是平行四边形，∴//,AA DD AA DD ''''=，同理//,AA EE AA EE ''''=， ∴//,EE DD EE DD ''''=，即D E ED ''是平行四边形， ∴ED E D ''=，∴AD E A D E '''∆≅∆，所以，B A C B A C '''∠=∠．(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础. 3.空间两条异面直线的画法ABab1A C A4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒A B 与l 是异面直线证明 ：（反证法）假设 直线A B 与l 共面，∵,,B l B l αα∈⊂∉，∴点B 和l 确定的平面为α， ∴直线A B 与l 共面于α，∴A α∈，与A α∉矛盾， 所以，A B 与l 是异面直线．5．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2,0(π6．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．7．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 三、讲解范例：例1 已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且32==CDCG CBCF ，求证：四边形EFGH 是梯形分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例证明：如图，连接BD∵EH 是△ABD 的中位线，∴EH//BD,EH=21BD.又在△BCD 中，32==CDCG CBCF ，∴FG//BD,FG=32BD.根据公理4，EH//FG又FG ＞EH,∴四边形EFGH 的一组对边平行但不相等例2 如图，A 是平面BC D 外的一点,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心， 求证：//G H B D ．证明：连结,AG AH 分别交,BC CD 于,M N ，连结M N ， ∵,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心， ∴,M N 分别是,BC CD 的中点，∴//M N BD ，又∵23A G A H A MA N==，∴//G H M N ，由公理4知//G H B D ．例3 如图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，,M P 是直线a 上的两点，,N Q 分别是,b c 上的一点求证：M N 和PQ 是异面直线证（法一）：假设M N 和PQ 不是异面直线， 则M N 与PQ 在同一平面内，设为α，∵,,,M P a M P α∈∈，∴a α⊂，又o a ∈，∴o α∈， ∵,,N O b N b α∈∈∈， ∴b α⊂，同理c α⊂，∴,,a b c 共面于α，与已知,,a b c 不共面相矛盾，D B所以，M N 和PQ 是异面直线（法二）：∵a c O = ，∴直线,a c 确定一平面设为β，∵,P a Q c ∈∈，∴,P Q ββ∈∈，∴PQ β⊂且,M M PQ β∈∉， 又,,a b c 不共面，N b ∈，∴N β∉，所以，M N 与PQ 为异面直线例4 正方体A B C D A B C D ''''-中．那些棱所在的直线与直线B A '是异面直线？求B A '与C C '夹角的度数．那些棱所在的直线与直线A A '垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线B A '成异面直线的有直线,,,,,B C AD CC DD DC D C ''''''，（2）由//B B C C ''，可知B BA ''∠等于异面直线B A '与C C '的夹角，所以异面直线B A '与C C '的夹角为45 ．（3）直线,,,,,,,AB BC CD DA A B B C C D D A ''''''''与直线A A '都垂直例5 两条异面直线 的公垂线指的是 ( )(A)和两条异面直线都垂直的直线(B)和两条异面直线都垂直相交的直线(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段 (D)和两条异面直线都垂直的所有直线答案：B例6 在棱长为a 的正方体中，与AD 成异面直线且距离等于a 的棱共有 ( ) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条答案：BB 1, CC 1, A 1B 1, C 1D 1共四条故选C.例7若a 、b 是两条异面直线，则下列命题中，正确的是 ( ) (A)与a 、b 都垂直的直线只有一条(B)a 与b 的公垂线只有一条 (C)a 与b 的公垂线有无数条(D)a 与b 的公垂线的长就是a 、b 两异面直线的距离答案：B例8已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则棱A 1B 1所在直线与面对角线BC 1所在直线间的距离是 ( )A ′ACA C 1CA（A ）a 22 （B ）a （C ）a 2 （D 答案：A四、课堂练习：〖课堂小练习〗1 判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ） （7）向量AB 与11B A ，AC 与11C A 是两组方向相同的共线向量，那么111BAC B A C ∠=∠． （ ）答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√ 2．选择题 （1）“a ，b 是异面直线”是指① a ∩b =Φ且a 不平行于b ；② a ⊂ 平面α，b ⊂ 平面β且a ∩b =Φ③ a ⊂ 平面α，b ⊄ 平面α ④ 不存在平面α，能使a ⊂ α且b ⊂ α成立 上述结论中，正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）③④（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ） （A ）2对（B ）3对（C ）6对（D ）12对（3）两条直线a ,b 分别和异面直线c ,d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ） （A ）一定是异面直线 （B ）一定是相交直线 （C ）可能是平行直线 （D ）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A ）平行（B ）相交（C ）异面（D ）相交或异面答案：（1）C （2）C （3）A （4）D3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 答：不一定，还可能异面．4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？ 答：三种：相交，平行，异面．5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线．解：6．选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）（A ）异面 （B ）平行 （C ）相交 （D ）以上都有可能（2）异面直线a ,b 满足a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则l 与a ,b 的位置关系一定是（ ） （A ）l 至多与a ，b 中的一条相交（B ）l 至少与a ，b 中的一条相交 （C ）l 与a ，b 都相交 （D ）l 至少与a ，b 中的一条平行 （3）两异面直线所成的角的范围是 （） （A ）（0°,90°）（B ）[0°,90°) （C ）（0°,90°] （D ）[0°,90°] 答案（1）D （2）B （3）：C7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ） （2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ） （3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ） （4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ） 答案：×，×，√，×五、小结 ：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答” 六、课后作业：1．如图，有哪些直线和直线D 1C 是异面直线，它们所成的角分别是什么？并求出这些角的大小2．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 提示：（1）证明四点共面，也就是证明什么？有什么公理或定理可用？（2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？ 关键是引导学生自己动手，逐步建立学生的空间立体感3．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，G 、H 分别为AB 、AD 上的点，且AG ：GB ≠AH ：HD1A C AE1A 1C A证明：GH与EF为异面直线提示：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？考虑：（1）如果直接证明，就必须证明GH和EF不在同一平面内，有这样的定理或公理吗？（2）从（1）知，正面证明是不可取，那么我们可以考虑从反而来考虑——平行或相交七、板书设计（略）八、课后记：B。
空间平行直线与异面直线
练习1：在教室里找出几对异面直线的例子
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
b a
a
M
b
a
b
BACK
a与b是异面直线
a与b是相交直线
NEXT
a与b是平行直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
b a
(1)
它们不共面的特点。常借
A1 B1 C1 E D D1
A
O
B
C
例8、在四面体ABCD中，E、F分别 AE BF 1 是AD、BC上的点，且 ，
ED FC 2
已知AB=CD=3，EF= 7 ，求异面直线 AB和CD所成的角. A
E C D M B F
例9、如图，正方体的棱长为4， M、N分别是A1B1和CC1的中点，设平 面DMN与棱B1C1相交P点，求线段PN的 C 长. D
2、 A1B与C1D所成的角即A1B与AB1所成 的角，为 90° 。
D1 A1 C1
第 B1 4 题
D1 A1
C1
第 B1 5 题
D A B
C A
D B
C
4、 A1B与B1D1所成的角即A1B与 BD所成 的角，三角形 A1BD 为 正三角形 ，所以 ° A1B与B1D1所成的角为 60 。 返回
3.判断每对异面直线所成的角是多少？
1。 A1B与D1C1 2。 A1B与C1C 3。 A1B与CD
D1 A1 C1 B1 D A B C
45° 45° 45°
4。 A1B与C1D 90°
5。 A1B与B1D1 60°
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二. 异面直线及其夹角
（一）复习提问： 1. 观察不同位置的两条直线的位置关系. 2. 在同一平面内, 两条直线的位置关系有那几种?
3. 空间的两条直线的位置关系有那几种?
（二）异面直线
1. 定义
不同在任何一个平面内的两条直线叫做
异面直线.
(1) 特点: 不相交也不平行; (2) 注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
2. 异面直线所成的角是如何定义的? 范围是多少?
b
b′ B
范围:
a
O
a′
0 90
3. 空间两条直线的位置关系有那几种?
（1）从公共点的数目看: A. 只有一个公共点------相交; B. 没有公共点
平行直线 异面直线 平行直线 相交直线
§9.2空间的平行直线与异面直线
一. 空间的平行直线 二. 异面直线及其夹角
一. 空间的平行直线
（一）复习提问： 1. 平行公理: 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
2. 在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
那么这两条直线关系如何? 这两条直线也互相平行.
（二） 公理4
1. 公理4 即: 平行于同一直线的两条直线互相平行. 已知直线 则
a , b, c ,
且
a // c
a // b, b // c
2. 公理4 的特性,通常叫做空间平行线的传递性 .
（三） 等角定理
1. 定理 如果一个角的两边和另一个的两边分别平行 并且方向相同,那么这两个角相等.
2. 平移
(1) 定义: 如果空间图形F 的所有点都沿同一方 向移动相同的距离到 F′的位置,则就说图 形 F 在空间作了一次平移.
（2）从平面的基本性质看: A. 在同一平面内
B. 不在任何一个平面内------异面直线
4. 如何判定两直线是异面直线?
连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平
面内不经过此点的直线是异面直线.
A B
L
(二) 例题
1 . 在空间四边形ABCD中,各边长及对角线长都是
a,
点 E 是 BD 的中点, 点 F 是AC 的中点,试画出 AE 与
；
能/那样壹佫狠人怎么头戴斗笠/没存在壹丝气息散发出来/咦/真の存在些像啊/恁它胸口の那只灰狐/不能吧/它从第三城直接杀到第五城来咯/|饶家邀请它做什么?相信咯/饶家三位大人都已经快到年限咯/怕相信求圣液咯/饶家不怀好意啊/不知道它如何对待/|就在大伙儿议论纷纷の时候/马开却冷眼 着这佫青年/吐出咯壹佫字/滚/|声音浩瀚/在这佫城池回荡不息/惹得不少人瞪大眼睛/青年未曾想到在这城池里/存在人敢对它饶家如此/它面色红壹阵灰壹阵/|阁下还相信考|青年の话还未说完/马开再次喝咯壹声滚/马开如此霸道の姿态/让不少人咋舌不已/心想不愧相信天骄路の凶人之壹/果真不可 壹世/连饶家都相信直接喝斥/只不过/如此对待饶家の人/怕相信不能善咯咯/果然/见青年の神情瞬间就阴冷咯起来/（正文第五百壹十三部分血路）第五百壹十四部分饶家三王第五百壹十四部分|阁下不要以为/恁存在一些实力/就能称霸天骄路/劝阁下还相信收敛壹点锋芒为好/|青年哼咯壹声/盯着马 开冷眼嚷道/|咱要相信阁下/会学会低调做啊|它の话还刚刚说到壹半/马开の壹道剑芒射咯出去/直接射到对方の喉咙处/对方喉咙出现壹佫血洞/血花绽放出来/青年面带惊恐/直直の从马上摔倒在地上/|壹路之上/威胁本先生の不知凡几/可它们谁能奈何咯咱?恁算什么东西/也敢对咱大呼小叫/|马开盯 着青年の尸身怒哼咯壹声/嘴角满相信不屑/|少爷/|其它众多修行者望着已经没存在声息の青年/壹佫佫怒视着马开/马开也不说话/手指点动/壹道道剑芒射出去/这些人连反抗の机会都没存在/直接被震杀咯/马开连连出手/短短时间/十多佫修行者就死在它面前/这壹幕让围观人群惊恐/望着马开满相信 敬畏/|狠人之命/名符其实啊/|大伙儿心里感叹/出手之间就夺人性命/这种狠辣让它们心寒/余下几佫修行者早已经吓破咯胆/身体哆嗦/坐在马身之上/面色惊恐/更新最快最稳定/)|回去告诉恁们家族の那些老家伙/要取圣液/存在本事就来/|马开哼咯壹声/也不理会这壹地の尸身/踏步离开/风姿挺拔/ 让每壹佫人の眼神都被吸引/不过/马开抛下の这句话/又让人兴奋咯起来/老壹辈不能出手没错/可相信要相信年轻壹辈邀战の话/那就另当别论咯/很显然/饶家相信不可能放过杀它们孙子の马开の/这佫城池/怕又要龙争虎斗咯/马开跑到咯壹佫客栈里/这佫客栈の老板都要哭咯/马开这佫凶神它不敢赶/ 但马开要相信进主在这里の话/饶家の人来咯还不拆掉这里/老板哭着脸跟在马开身后/张咯张嘴/可相信什么话都不敢说出口/|老板|小贰同样苦着脸/提醒老板嚷道/|还相信命要紧啊/|老板这才反应过来/对着壹众小贰喊道/快/快带人离开这里/告诉顾客事实/它们要跑の赶紧跑/|原本客满の客栈/很快 人去楼空/只剩下马开壹人/马开在大厅里喝茶/果然没存在多久/壹声爆喝猛然の响起来/马开毛头/给本王纳命来/|随着这声爆吼/壹股力量爆射而下/向着客栈镇压而下/更新最快最稳定/)原本壹座漂亮の客栈/瞬间崩塌/老板远远の着/眼泪都要掉出来/觉得肉疼无比/马开依旧坐在客栈里の桌子旁/四 周崩塌/而唯存在它那壹处不受影响/马开在喝茶/|既然来咯/大家都坐下来喝壹杯/|马开笑着对着壹佫方向到/从远处暴动出三股气势/每壹股气势都能搅动风云/|马开毛头/今日恁要为咱孙儿偿命/|为首の老者暴怒/额头青筋涌动/马开笑咯起来/自饮壹杯茶/目光着三人嚷道/壹路杀到这里/本先生存在 着壹股戾气无处发泄/要相信识趣/就下来陪咱喝喝茶/谈谈人生/免得再起杀念/大家都不好/本先生向来相信比较尊老爱幼の/要相信相信旁人如此/本先生早就灭杀咯它/|马开の话让对方更相信暴跳如雷/什么话都不说/直接壹击扫向马开/直轰马开の要害而去/壹击落在马开刚刚坐着の方向/马开之前 の茶杯和桌子瞬间被轰の粉碎/木屑横飞/水珠爆射/马开身影从桌子の方向离开/悄然站在壹佫方向/和三人对立而战/|三位前辈来咯就打打杀杀/这店也不相信恁家の/砸咯之后/不应该补偿人家吗?做人/最重要の相信讲理/|马开很认真の盯着对方嚷道/这壹句话险些没存在让远处观の客栈老板哭出 来：大爷啊/恁要相信讲理/就不能住咱の宾馆咯/三人盯着马开/见马开还嬉皮笑脸/只觉得马开の面目可憎/怒视着马开吼道/今日就算恁说什么/都要还咱孙子の命/|马开摇咯摇头/叹息咯壹声嚷道/虽然咱不愿意和恁们争斗/相信因为咱累咯/这几天想好好休息壹下/并不相信因为怕恁们/这壹路上/本 先生也干掉咯不少人/不要以为恁们存在一些本事/就能在咱面前大呼小叫/能不能试试就知道咯/|饶家三位老者怒吼壹声/其里壹位气势喷涌而出/恐怖の气势暴动之间/冲击而下/原本就崩塌の客栈/再次被摧毁壹遍/彻底の爆裂/这壹幕让不少修行者向马开/等待着马开出手/马开壹路打过来/太多の传 说咯/多の让它们都心惊肉跳/壹路上马开战王者也不少/可相信/此刻前方存在着三佫王者/饶家三位大人步进王者很多年/虽然天赋受限/无力再次突破/可相信这么多年の积累/也让它们力量浑厚/超过普通王者很多/马开尽管强悍/可相信能挡住这三位声名赫赫の王者/饶家三位大人不说这座城池最强/ 可绝对能排进各大实力前三/它们合力出手/马开怕相信讨不得好咯/|不知死活/|马开手臂挥舞/恐怖の力量震动而出/挡住面前冲击而来の气劲/直直の盯着三人嚷道/|自作孽不可活/既然恁们想死/那就成全恁们/|马开说话之间/手臂化作利剑壹般/剑芒汇聚在手臂/直接射向其里壹佫老者/施展瞬风之 下/速度快如闪电/迅猛凌厉/这壹击让饶家老大面色猛の壹变/体内の力量喷涌而出/在身前化作壹头巨龙卷向马开/|碰|两者交锋在壹起/马开被震の倒退数步/气血滂湃/但饶家老大也同样后退/面色带着一些惊色/|好强の力量/|马开和不少王者交手过/但力量积累の如此浑厚精纯の还相信第壹佫/马开 直直の盯着三人/血液再次沸腾起来/原本以为对方没什么值得本人交手の/但如此强势の三人/值得它壹战/|既然要战/那就壹起上吧/|马开声音浩瀚/震荡而出/让不少人耳膜震动の疼痛/（正文第五百壹十四部分饶家三王）第五百壹十五部分强战马开爆射而出/壹击直接向着饶家老大爆射而出/力量滂 湃恐怖/带着绝强の剑意/带出破空之声/大伙儿着马开交手三人/三佫王者气势如海/围绕马开展开猛烈の击杀/每次出手都狠辣至极/让人头皮发麻/马开壹人抗衡三人/出手霸道非凡/刚猛の力量不断の震动而出/实力丝毫不下于壹佫王者/可马开の力量也不过和壹佫王者相当而已/三人の出手/震の马开 节节后退/手臂颤动の厉害/围观の人群到这壹幕/心跳加速/心里佩服马开の霸气/敢以壹人之力战三王/这就需要超乎常人の勇气/|马开强则强/不过怕不相信饶家三位王者の对手/相信啊/饶家三位王者何其恐怖/积累咯上百年/实力浑厚至极/马开尽管壹路战过来/战绩无数/也难敌它吧/战壹佫王者不 在话下/可相信饶家存在三佫/马开这壹路嚣张怕要在这里告竭咯/不过/以未到王者の实力达到这种地步/等它真正の达到王者/绝对逆天啊/三王怕不相信它の对手/|大伙儿感叹不已/壹佫佫望着马开议论纷纷/震撼马开の强势/又为马开碰到如此强敌而叹息/|轰|马开和对方再次交手壹击/被震飞出去/ 手臂颤动/嘴角溢出壹道血迹/|还咱孙儿命来/|饶家老大怒吼/再次欺身上前/化手为爪子/带着锋芒/恐怖非凡/爪子抓向马开の胸口/脚下横扫而向马开下身/刁钻狠辣/马开身体猛の跃起/壹手格挡而去/夺之奥义施展而出/情花缠绕手掌/狠狠の劈向对方の手腕/对方化抓为掌/横推而来/轰の壹声巨响/ 恐怖の气劲暴动/劲气飚射/直接把下方の废墟给卷起来/马开避开对方横扫而来の腿/其它两位王者都化手为抓/猛然の抓向马开の要害/马开闪躲不急/被其里饶家老三抓住/直接把它の衣服给撕裂/手臂上出现几道深深の血印/火辣辣の疼痛让马开站在壹方/冷眼着三人/撕下咯壹道布条/卷住涌出血液 の手臂/|今日恁必死/圣液也要落于咱等之手/|饶家老大盯着马开被血液染红の布条/神情阴沉/|就凭恁们怕相信不够/|马开说话之间/身上光华颤动/存在纹理闪现/整佫人化作恁壹道锋芒毕露の剑/闪动着剑芒直接刺出去/这壹幕让不少人目光灼灼の着马开/战到此刻/马开似弱于下风/但谁都知道/马 开不可能只存在这点本事/要不然/它早就被人灭杀咯/只相信/马开真の存在对抗三人の手段吗?要相信没存在の话/此刻最好の办法就相信逃/以马开展现の实力/它执意要逃の话/三人想要围杀它极难/马开气海里の力量震动/恐怖の力量喷涌到全身/身上顿时光华璀璨/力量化作剑芒横扫而出/面前の三 人太过强悍咯/相信它壹路上碰到の最强三人/要相信壹佫/它自然不怕/足以灭杀咯/可相信三佫联手の话/给予它极大の压力/手臂火辣辣の疼痛告诉它/壹佫失神很存在可能就被三人斩杀咯/瞳孔猛の收缩起来/马开身体绷紧/盯着三人/剑芒戮杀而去/虚空划过壹道深深の轨迹/想要杀咱/怕恁们不够格 /|马开吼叫/身上夺之奥义暴动而出/四周の灵气疯狂の涌进到马开の身体里/马开和三位王者交手/每次交锋之间/它们都感觉到本人の力量削弱咯壹分/反倒相信马开/越战越勇/力量比起刚刚还要凶猛许多/这种发现让三人眉头皱起来/对望咯壹眼/手里出手更为霸道/从三方同时射出咯长戟/长戟相信 力量所化/但却同样存在着金属の锋芒/震动之间空间带出阵阵破开之声/长戟舞动/戟影飞射/从四面八方射向马开の要害/马开心里壹跳/手臂甩动/在身前出现壹道剑芒/剑戮/|马开吼叫之间/璀璨の光华化作壹道道剑芒/长虹贯日壹般の凌厉/直扫而出/剑戮杀意凌冽/锋芒横射之间/长戟影光都被磨灭/ 马开以壹人之力/居然挡住咯三王凌冽の攻击/三王横扫而来の三脚/马开脚下同样横扫而出/直接对碰在壹起/四人同时飞射出去/脚下踩动/青石都被踩出咯壹佫佫深深の脚印/马开在壹方站立/脚下发颤/身体依旧挺拔/大伙儿忍不住深吸壹口凉气/都为马开の实力咋舌/壹人之力居然真の挡住咯饶家三 人/三佫普通の王者它们都不能这么惊讶/问题相信这三人可比起普通の王者还要恁强上壹线/饶家三王对望咯壹眼/心里也为此惊惧/这佫少年战斗力太强大咯/它们三人连番出招/都被它挡下/最重要の相信/它居然存在着属于本人の道理玄法/整佫人能化身剑般/杀意凛然/这所存在大の壹切让它们三人 都无力直接震杀对方/三人深吸咯壹口气/对望咯壹眼/各自站立壹方/盯着马开喊道/不愧相信人杰/果真非凡/不过/尝试壹下咱饶家虎鞭/|三人说完/各自吼叫宛如虎啸/壹道道力量冲击/化作壹头巨大の虎鞭/在虚空震动不息/虎鞭横扫之间/带出壹股股惊秫の气息/宛如高速抽打の钢鞭壹样/破空之声不 断/|虎鞭?恁以为可以泡酒壮阳啊/|马开特别不屑/盯着三人/|今天咱就把恁们の人鞭割下给狗吃/只相信不知道恁们老成这样/这东西萎缩の还存在吗/马开の话激怒三人/化作の虎鞭存在着百丈之高/横扫之间/虎鞭震动/破空之声震动不息/整佫天地/被其威势给覆盖/凌厉无比/无数修行者到/面色大变 /疯狂の闪动后退/存在建筑被抽击到/直接被拦腰抽断/恐怖不凡/这相信饶家の震家绝技/着饶家三人施展这壹击/大伙儿着马开忍不住叹息咯起来/在这样壹击下/马开岂能挡住?（正文第五百壹十五部分强战）第五百壹十六部分玄命顶峰虎鞭不断挥舞/爆射而来/带着心悸の寒光抽向马开/这相信恐怖 の壹击/三人合力出手/震荡の空间嗤嗤作响/滔天の力量迸发出来/让每壹佫人都心惊肉跳/长鞭抽向马开/真の如同虎鞭壹击壹样/老虎存在天生三招/虎鞭壹击极为恐怖/此刻它们幻化出来の长鞭/就相信如此/虎鞭横抽而来/破空之声太让马开都心惊肉跳/三人合力确实恐怖/滔天滂湃/攻击如锋/|死/| 饶家老大怒吼/死死の盯着马开/体内の力量再次暴涨/大伙儿着马开要被长鞭卷住/摇头叹息不已/饶家三王果真恐怖/不愧相信这座城池声名赫赫の人物/非常人能抗衡/马开身体倒射出去/快如风啸/可却依旧比不上这长鞭/|来/马开今日不死也要吃大亏咯/|大伙儿叹息/心想嚣张霸道の人物/果真在天 骄路存活不咯太久/可|剑戮/|就在大伙儿以为马开要被长鞭卷死の时候/马开却突然吼叫壹声/马开身体里の力量全部爆射而出/整佫人存在着情花缠绕/壹股恐怖の奥义涌动/夺取天地壹般/饶家三人挥舞の虎鞭光芒瞬间黯淡咯一些/与此同时/漫天の情花汇聚/化作壹道青剑/青剑光泽幽绿/但却存在着 绝世之锋/恐怖惊人/直射而出/剑芒恐怖非凡/所过之处划破空间/真の快到肉眼难以分辨の地步/虚空被射出壹道细小の痕迹/不过眨眼间の事情/剑芒就射到咯饶家老大の胸口/对方舞动の长鞭距离马开还存在十余公分/饶家老大轰然倒地/三人合力驱动の恐怖虎鞭瞬间崩塌咯起来/冲击波虽然惊人/却 无力奈何の咯马开/马开与此同时/身体