12 线性变换及其矩阵表示
矩阵分析与计算--02-线性变换
,n ) A , n ) B
基发生变化
A 与 B 的 关 系?
定理2 线性变换T 在不同基下的所对应的矩阵 是相似的
设T 在Vn的两个基1 , 2 , , n 及1 , 2 ,
,n ) P
, n
下的矩阵分别为A与B, 且有
(1 , 2 , , n)=(1 , 2 ,
线性变换的逆
基本性质
4)可逆线性变换把线性无关的向量组映射成向量 无关的向量组,即, 若x1 , x2 , 线性无关 xr 线性无关,则T ( x1 ), T ( x2 ), T ( xr )
线性变换的多项式
1.线性变换的幂
设T 为V中线性变换,n N , 定义 T T
n n
T
称之为T 的n次幂
T ( r 1 ) a1r 1 1 a2r 1 2 arr 1 r ar 1r 1 r 1 ,,anr 1 n T ( n ) a1n 1 a2n 2 arn1 r ar 1n r 1 ,,ann n
T( + )=T( )+T( ) T(k )=kT( )
, Vn
Vn , k P
则称T 为Vn到Vm的线性映射或线性算子
线性映射
Vn
Vm
T
应用:
T ( ) T ( )
k1T ( )
Vn , k2 P
k1
k2
k2T ( )
k1T ( ) k2T ( )
线性变换的逆
设T 为V的线性变换,若有V的线性变换S TS ST I 则称T 为可逆变换,称S 为T的逆变换, 记作T
-1
线性变换的逆
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支,其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换,这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上,我们可以将线性变换表示为一个函数T,它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质:- 加法性质:对于任意的向量x和y,有T(x + y) = T(x) + T(y),即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质:对于任意的标量c和向量x,有T(cx) = cT(x),即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示,这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A,然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn],线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么,线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中,A·x表示矩阵A与向量x的乘积,它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列,再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说,它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说,线性变换可以实现以下几种几何操作:- 缩放:线性变换可以将向量的长度进行缩放,比如将向量拉长或压缩。
- 旋转:线性变换可以改变向量的方向,实现向量的旋转。
- 平移:线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用:- 简化计算:使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法,提高计算效率。
- 线性组合:矩阵乘法具有线性组合的性质,可以方便地进行多个线性变换的组合。
线性变换的矩阵
这是因为当B=T1-1AT1,且 C= T2-1BT2时,有 C= T2-1 (T1-1AT1)T2=(T1T2)-1A(T1T2).
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3.相似类的实际意义 由于上述性质,我们可以把集合M n (F)中
定理6.3.4 线性空间V的线性变换σ在V的两个基
{α1,α2,…,αn} {β1,β2,…,βn}
(6) (7)
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下的矩阵分别是A和B,从(6)到(7)的过渡矩 阵是T,那么B=T-1AT.
证 因为 (σ(α1),σ(α2),…,σ(αn))
=(α1,α2,…,αn)A, (σ(β1),σ(β2),…,σ(βn))
Φ(σ+τ)=Φ(σ)+Φ(τ); 2)对任意的σ∈L(V), k∈F,有Φ(kσ)=kΦ(σ); 3)对任意的σ,τ∈L(V),,有
Φ(στ)=Φ(σ)Φ(τ);
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4) 若σ∈L(V),σ可逆,则 Φ(σ)=A是可逆矩阵,且Φ(σ-1)=A-1.
反之,若A可逆,则σ也可逆. 证 令Φ(σ)=A=(aij)n n,Φ(τ)=B=(bij)nn ,即 (σ(α1), σ(α2), …, σ(αn))=( α1, α2, …, αn)A, (τ(α1), τ(α2)), …, σ(αn))=( α1, α2, …, αn)B.
在L(V)与Mn(F)之间建立了一个映射Φ,它把 每个σ∈L(V)映成σ在该基下的矩阵A∈Mn(F). Φ:σ aA 1. Φ的性质
定理6.3.1的2)说明Φ是双射.
这个映射的重要性还在于它能保持加法、数乘
和乘法运算.
线性映射与线性变换
所以(1, 2, 3)= ((1, 2, 3 )P)= (1, 2, 3 )P = (1, 2, 3 )AP
因而,
5 0 5
AP 0 1 1
3 6 9
5 0 5
5 2020
A0
3
1 6
91P17 1( 247 158
2) 24
(2)求在1, 2, 3下的矩阵.
设在1, 2, 3下的矩阵为B,则B=P-1AP
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0
(
1
,
2
,
3
)
( 1
,
2
,
3
)
0 1
1 1
0 0
线性变换在不同基下的矩阵表示
定理2 设T是n维线性空间V的线性变换,1,2, ,n和
1,2,,n 是V的两组基,由 1,2, ,n到 1,2,,n 的过
渡矩阵是P ,T在基 1,2, ,n与基 1,2,,n 下的矩阵
则D在基1,x, … xn-1与1,2x, … (n-1)xn-2下的矩阵为
0 0
100 0 10
0 0
D=
0
0
01
0
(
n1)n
说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同
定理8 设A是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射,
1, 2,… n 和1,2,,n 是 V1 的 两 组 基 , 由 1, 2,… n 到 1,2,,n 的过渡矩阵是Q ,1,2,,m和 1,2,,m 是V2的两组基。由 1,2,,m到1,2,,m 的过渡矩阵是
线性变换的矩阵
设1,2,…,n为数域P上线性空间V的一组基,
T为V上的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
线性变换的矩阵表示
即 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 . T M M x n xn
上式唯一地确定了一个 变换T , 并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 .
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵, 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵, 那么这些矩阵之间有什么关系呢? 那么这些矩阵之间有什么关系呢? 定理1 定理1 设线性空间 Vn中取定两个基
α 1 ,α 2 ,L ,α n ; β 1 , β 2 , L , β n ,
所以D 所以 在这组基下的矩阵为
0 3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 0 1 0
例2 实数域 R上所有一元多项式的集 合, 记作R[ x ], R[ x ]中次数小于 n的所有一元多项式 (包括零多项 式)组成的集合记作 R[ x ]n , 它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法 , 构成R上的一个线性空间 .
∀α ∈ V n , 设 α = ∑ x i α i , 有
n
T (α ) = T ( ∑ x i α i ) = ∑ x i T (α i )
i =1 i =1
n
i =1
n
x1 x2 = (T (α 1), T (α 2 ),L , T (α n )) M xn x1 x2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A , M xn
σ (1) = 0,
LLL ,
σ ( x ) = 1,
σ ( x 2) = 2 x ,
线性变换的矩阵表示
n
T ( ) T ( x i i ) x i T ( i )
n
n
i 1
x1 x (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )) 2 xn
i 1
i 1
x1 x ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn 即 x1 x1 x x T [( 1 , 2 , , n ) 2 ] ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn xn 上式唯一地确定了一个变换T, 并且, 所确定的变 换T是以A为矩阵的线性变换. 反之, 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定. 结论: 在Vn中取定一个基后, 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
0 1 0 0 0 0 2 0 . A 0 0 0 n 1 0 0 0 0 例3: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性 变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为i , j , . k , 求T的矩阵 (2) 取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵. 1 0 0 i 0 , j 1 , k 0 . 其中 0 0 1 1 0 0 解(1): Ti i 即 T ( i , j , k ) ( i , j , k ) 0 1 0 . j, Tj 0 0 0 T k 0
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明: 同一个线性变换在不同的基下 的矩阵不同. 那么, 这些矩阵之间有什么关系呢?
2012第2学期第07次课 线性变换
定理:如果 η Aξ ,则 y Ax 。其中,A是A在 基 ε1 , ε2 ,..., εn 下对应的矩阵。
( Aε1 , Aε2 , ..., Aεn ) A( ε1 , ε2 , ..., εn ) ( ε1 , ε2 , ..., εn ) A
ξ (ε1 , ε2 ,..., εn ) x Aξ η Ax y
相似
A(η1 , η2 , ..., ηn ) A ( ε1 , ε2 , ..., εn ) X A( ε1 , ε2 , ..., εn ) X ( ε1 , ε2 , ..., εn ) A X
1 ( η , η , ..., η ) X A 1 2 n X 1 (η1 , η2 , ..., ηn ) X AX
称矩阵A为线性变换A在基 ε1 , ε2 , ..., εn 下的矩阵
线性变换与表示矩阵的关系
在取定基之后,n 维线性空间V/P上的线性变换与数 域P上的n级矩阵之间存在1-1对应关系.它表现在
在同一组基之下:
1. 2. 3. 4. 线性变换的和 ↔ 矩阵的和 线性变换的积 ↔ 矩阵的积 线性变换的数量乘积 ↔ 矩阵的数量乘积 线性变换的逆 ↔ 矩阵的逆 (如果可逆)
基在n维线性空间中起着极重要的作用
◦ 任意向量是基向量的线性组合 ◦ 在线性变换之下,任意向量的变换是基向量的变换的线性 组合
变换、基和像的关系
设V是数域P上的n维线性空间, ε1 , ε2 ,..., εn 是V的一组基. 设 ξ x1ε1 x2ε2 ... xn εn , 则
第二学期 高等代数
北京大学工学院2012级 2013.10
线性变换的矩阵
线性变换的矩阵
1. 什么是线性变换
线性变换是指,将一个空间(原空间)中的数据点通过一种特定
的方式变换到另一个空间(目标空间)中的过程。
例如,一个空间中
的三维坐标点可以通过适当的变换被转换为另一个空间的二维坐标点。
线性变换可以使用数学方法描述,其中一种常用的方法是使用矩阵表示。
2. 线性变换的矩阵
矩阵是一种结构,用来表示线性变换。
其中,每一行和每一列分
别代表着原空间中的特征向量,矩阵中的元素则描述了这些特征向量
之间的线性关系。
当选定某种变换时,使用这些元素数值就可以确定
变换矩阵。
线性变换的矩阵融合了一种空间变换的信息,并且这种变换在该
空间的动态可以被精细控制,因此,线性变换的矩阵也被用于数值分
析中各种过程的模拟。
线性变换的矩阵除了可以应用在数学领域之外,还被用于统计学、机器学习、计算机图形学等很多领域中。
例如,线性变换的矩阵可以
被应用在图像处理中,将原始图像像素值转换到另一种像素值序列,
从而获得清晰的图像。
3. 总结
综上所述,线性变换的矩阵是一种结构,它不仅用于描述空间变换的信息,还被用于数值分析、统计学、机器学习、计算机图形学等诸多领域中。
它可以帮助我们进行准确、高效的运算,可以获得更好的处理结果。
线性变换的定义和性质
汇报人:XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射, 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k,都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如,两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积;线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性;线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$,以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$,线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念,可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换,可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程,从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内,从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ,可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$,线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
第一章线性空间与线性变换第二节1
是T在基偶 {Bα , Bβ }、{Bα′, Bβ′}下的矩阵,那么由关系式
Bα′ = Bα P, Bβ ′ = Bβ Q,
TBα = Bβ A, TBα′ = Bβ′B 可以推出,
Bβ AP = Bβ QB, Bβ ( AP − QB) = O.
t 3 ] = [1 t
t2
⎡0 0 0⎤
t 3 ] ⎢⎢1
0
0
⎥ ⎥
23
2 3 ⎢0 1 0 ⎥
⎢⎣0
0
1
⎥ ⎦
有了T的矩阵表示,那么 V n 中任一向量的像
就可以确定了,事实上, α ∈ V n可由 Bα线性表示
n
n
∑ 出:α = xiαi,从而Tα = ∑ xiTαi , 即若
i =1
i −1
这表明方阵B,A是相似的。
于是,V n到V m 的一个线性变换T在不同基偶下
的矩阵是相抵关系的,而 V n 的线性变换T在不同
基下的矩阵是相似关系。
从而,第二个问题也就等价于:与A相抵的所 有矩阵中最简矩阵是什么?与方阵A相似的所有方 阵中最简矩阵是什么.
定义 设 T 是V n到V m的线性变换,集
α = Bα x,则Tα = TBα x.
由(1.2-1)式得
Tα = TBa x = Bβ Ax.
(1.2-2)
这就是说,若x是a在 Ba 下的坐标向量,那么其像
Tα在 Bβ 下的坐标向量是 Ax.
从上述讨论可知,取定基偶 {Bα , Bβ } 后,线性
变换T有唯一的矩阵表示,即得到T在此基偶下的 矩阵A,反过来 ,给定 m × n 矩阵A,是否存在唯 一的线性变换T,它在基偶{Bα , Bβ } 下的矩阵是A
线性代数第12讲
14 2013-11-29
定理2中的W称为由V的非空子集S生成的V的 子空间, 或者说S生成W, 当S为有限子集 {a1,a2,...,am}时, 记W=L(a1,a2,...,am), 并称W是 由向量组a1,a2,...,am生成的子空间 例如, 齐次线性方程组AX=0的解空间是由它 的基础解系生成的子空间; R3中任一个过原点 的平面上的全体向量所构成的子空间, 由由该 平面上任意两个线性无关的向量生成的子空 间.
12 2013-11-29
例2 设A是mn矩阵, 则齐次线性方程组AX=0 的解集合 S={X|AX=0} 是Fn的一个子空间, 叫做齐次线性方程组的解 空间(也称矩阵A的零空间, 记作N(A)). 但是非 齐次线性方程组AX=b的解集合不是Fn的子空 间.
13 2013-11-29
定理2 设V是数域F上的线性空间, S是V的一个 非空子集合, 则S中一切向量组的所有线性组 合组成的集合 W={k1a1+...+kmam|aiS, kiF, i=1,...,m} 是V中包含S的最小的子空间.
19 2013-11-29
容易证明, 在F[X]中, 1, x, x2, ..., xn(n为任意正 整数)是线性无关的, 因此, F[X]是无限维线性 空间. C[a,b]也是无限维线性空间.
在n维线性空间V中, 任意n+1个元素 b1,b2,...,bn+1都可由V的一个基a1,a2,...,an线性 表出, 因此, 根据3.1节定理4可知, n维线性空 间中任意n+1个元素都是线性相关的. 所以, n 维线性空间V中, 任何n个线性无关的向量都 是V的一个基.
5 2013-11-29
4.3 线性空间的定义及简单性质
线性变换及其矩阵
部
资
例:零变换对应于零矩阵,数乘变换对应于数量矩阵。
“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个 线性空间中,只要我们选定一组基,那么对于任何一 个线性变换,都能够用一个确定的矩阵来加以描述。 ” 理解这句话的关键, 在于把 “线性变换” 与 “线性变换的一个描述” 区别开。 一个是那个对象, 一个是对那个对象的表述。 就好像我们熟悉的面向对象编程中, 一个对象可以有多个引用, 每个引用可以叫不同的名字, 但都是指的同一个对象。 如果还不形象,那就干脆来个很俗的类比。 比如有一个人,你打算给它拍照片,只要你给照相机选定了一个镜头位置, 那么就可以给这个人拍一张照片。这个照片可以看成是这个人的一个描述,但只 是一个片面的的描述,因为换一个镜头位置给这个人拍照,能得到一张不同的照 片,也是这个人的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一个人的 描述,但是又都不是这个人本身。 同样的,对于一个线性变换,只要你选定一组基,那么就可以找到一个矩阵
i =0 m
内
Hom(V)。
外 传
料
(ai ∈ K ) , 则
f (T ) = ∑ aiT i
i =0
m
也为 V 上的线性变换,称为多项式变换。
上面讨论了线性变换的定义与运算, 那么我们如何将抽象的线性变换形象化 的进行表示呢。下面我们探讨线性变换与矩阵的关系。 3. 线性变换的矩阵表示 根据线性变换的定义,要想确定一个线性变换,似乎需要把线性空间中所有
其中 A 为线性变换 T 在基 x1 , x2 ,..., xn 下的表达矩阵。 关于映射 σ ,我们有如下引理:
请 勿
= [T1 ( x1 , x2 ,
, xn )]B = ( x1 , x2 ,
机械原理课件-线性变换及其矩阵表示
(c) 线性变换的运算 设T1,T2是线性空间V的两个线性变换,定义它们 T1 T2 x T1 x T2 x , x V . 的和为: T1+T2仍然是线性空间V上的线性变换。 设T是线性空间V的线性变换,定义它的负变换 为: (-T)(x)=-T(x)。这也是一个线性变换。 设T是线性空间V的线性变换,k∈K,定义数乘 变换为:(kT)(x)=kT(x)。这也是一个线性变换。 注:线性空间V上的全体线性变换所构成的集合 对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的 一个线性空间。
这是一个线性变换。来自 ( )例3 考虑V=Pn[x]中的微分变换:
D : V V , D( f ( x )) f ( x ), f ( x ) V ,
这是一个线性变换。
例4 考虑[a,b]上的所有连续函数构成的线性空间 C[a,b]上的积分变换:
J : C a , b C a , b , J f x f x dx ,
√
×
2 T f ( x ) f ( x ). 2.在 Pn[ x ] 中,
×
√ × .√
T , V 非零固定. 3.在线性空间V中,
4. 在 C
n n
nn 固定. T X AX , A C 中,
T ( x) x . 5.复数域C看成是自身上的线性空间,
(b) 线性变换 从集合S 到集合S的映射也称为变换。 设V为数域K上线性空间,若变换 T : V V 满足: T x y T x T y, T kx kT x , x , y V , k K , 则称T是线性空间V上的线性变换。 单位变换(恒等变换):Te : Te x x , x V , 零变换: T0 : T0 x 0, x V , 数乘变换:K : K x kx , x V . 上述定义中的条件可以等价的写成: T kx ly kT x lT y .
矩阵论第一章
k1 , k2 ,L, kr ∈ P ,使得
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
线性相关的 则称向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 为线性相关的;
不是线性相关的 (4)如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α r 不是线性相关的,即 )
k1α1 + k2α 2 + L + krα r = 0
上零多项式作成的集合, 上零多项式作成的集合,按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间, 表示. 法构成数域 P上的一个线性空间,常用 P[x]n表示. 上的一个线性空间
P [ x ]n = { f ( x ) = a n − 1 x n − 1 + L + a 1 x + a 0 a n − 1 ,L , a 1 , a 0 ∈ P }
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k o a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定. 唯一确定.
其次, 其次,加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明:假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明:假设线性空间V有两个零元素 1、02,则有 01=01+02=02.
2、 α ∈V ,的负元素是唯一的,记为- α . 、 的负元素是唯一的,记为∀
证明: 证明:假设α 有两个负元素 β、γ ,则有
k ,α 的数量乘积 并记做 kα , 如果加法和数量乘法 的数量乘积,并记做
第一章矩阵理论(管理数学基础)课件
其中凡是幂次kij
0的一次因式幂(
-
)kij
j
均称为A的初等因子
(i=1, ,n;j=1, ,s; kij n)
ij
28
计算方法
法一:求的不变因子dk (),再分解为( i )ki ,见14页1.12及1.13
Tn a1n1 amnm,
即:
a11
[T
1
T
n
]
[1
m
]
am1
a1n ,
amn
a11
a1n
记
A
,
am1
amn
则上式简记为T A,
称A为线性变换T 关于基、的一个矩阵表示(简称矩阵)。
10
思考:若映射为T : X X,X的维数为n, [1n ]
是X中的一组基,则T的矩阵表示应为:
(1)
16
在上式两边同乘以s得
k1s x1 kss xs 0,
(2)
因为Axi i xi (i 1,,s),用A左乘(1)式得
k11x1 k x s1 s1 s1 kss xs 0, (3)
将(3)、(2)二式两边分别相减得
k1(1 s )x1 ks1(s1 s )xs1 0 由于x1,,xS1线性无关,且i s
变换(算子):非空集合X 到Y的映射,记T:X Y
(若T:X X,则称T为X 上的变换。)
线性变换:满足线性性的变换:T ( x y) Tx Ty
(注:这里X 与Y为线性空间)
例3:考虑变换T:R2 R2,对任x R2,x (x1 x2 )T ,
Tx (x1,0)T ,则有:
T
(
(i 1,s 1),故必有k1 ks1 0, 从而ks 0。即x1,
线性映射(线性变换)的矩阵表示
持加法与纯量乘法运算.任取,∈Hom(V,W),设 ()=A, ()=B,
即 (1,,n ) (1,, m )A , (1,, n ) (1,, m )B ,则
( )(1,,n ) (( )(1),,( )(n ))
在 V、W 中分别取定一个基{ j }、{i}以后,对于 V 到 W 的每 一个线性映射σ,有唯一确定的 m×n 矩阵 A 与它对应.因此,这个 对应给出了 Hom(V,W)到 F mn 的一个映射.设∈Hom(V,W),
则 ()=B 是 在 基 { j } 和 基 {i} 下 的 矩 阵 . 若 B=A , 则
命题 7.3.1 设 1,,n 是 V 的一个基,1,, m 是 W 的一个基, ∈Hom(V,W),且在基{ j }和基{i }下的矩阵为 A.又 α
∈V,设α在基{
j
}下的坐标为
x1
xn
,则
()
在基{i
}下的坐
标为
A
x1
xn
.
证 我们有
() x1 (1) xn (n )
将此写成矩阵形式,并令σ( 1,2,,n )=( (1), (2 ),, (n ) ), 则得
(1
,
,
n
)
(
1
,
,
m
)
a11 a 21
a1n a2n
,
(2)
am1 amn
其中矩阵 A= (aij )mn F mn ,叫做线性映射σ在 V 的基{ j }和 W 的基 {i }下的矩阵.
j
}下的坐标为
X=
x1
xn
,W
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向 量x,使得Ax=mx成立,则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值,再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中,特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中,特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中,特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如,两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和;线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间,e1,e2,...,en 是V的一个基,T是V上的一个线 性变换,则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A,可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂, 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组,可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵,进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A,其行列式值等于对角矩阵D的行列式值,逆矩阵可以通过对角化公式求得, 从而简化相关计算。
第二讲 线性变换及其矩阵
3
第二讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
1. 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间,T 是 V 到自身的一个映射,若 V , 均存在唯一 的 V 与之对应,则称 T 为 V 的一个变换(或算子),记为T ( ) . 称 为 在变换 T 下的象, 为 的原象。 若变换 T 还满足, V , k,l K,有T (k l ) kT () lT ( ).则称 T 为线性变换。
T 1,2,
,n (T (1),T (2),
,T (n)) 1,2,
a11 a12
,n
a21 a22
an1 an2
1,2, ,n 下的矩阵。
1
a1n
a2n
1,
2
,
ann
称 A (aij )nn 为 T 在基 ,n A
R(T ) T ( ) | V n 为 T 的值域; N(T ) | V n,T () 称为T 的核。
易证 R(T ) 和 N (T ) 均为V n 的子空间,分别称为 T 的像空间和核(零)空间,称 dim R(T ) 、 dim N (T ) 为T 的秩和零度。 2、定理 设 T 为V n 上的线性变换, 1,2, ,n 为V n 的一组基,则
(1) R(T ) SpanT (1),T (2), T(n);(2) dim R(T ) dim N(T ) n ;
特别地,若 A 是线性变换 T 的矩阵,则 dim R(T ) = dim R( A) ,dim N(T ) = dim N ( A) .
线性变换的矩阵
线性变换可以用矩阵表示,矩阵 的行数和列数分别与输入和输出 空间的维数相等。
线性变换的性质
01
02
03
线性变换具有齐次性,即对于任 意标量k和任意向量x,有 kT(x)=T(kx)。
线性变换具有加法性质,即对于 任意两个向量x和y,有 T(x+y)=T(x)+T(y)。
线性变换具有数乘性质,即对于 任意标量k和任意向量x,有 T(kx)=kT(x)。
04
线性变换的矩阵表示方法
向量空间中的线性变换
线性变换的定义
线性变换是向量空间中一种保持向量加法和标量乘法不变的映射。
线性变换的性质
线性变换具有传递性、加法性质、数乘性质和结合性质。
线性变换的分类
根据映射的性质,线性变换可以分为可逆线性变换和不可逆线性 变换。
向量空间中的矩阵表示
矩阵的定义
矩阵是数学中一个重要的概 念,它由数字组成,按照一 定的排列顺序形成。
线性变换的几何意义
线性变换可以理解为在向量空间中,将一个向量 进行平移、旋转、缩放等几何变换。
线性变换可以用来描述物理现象,如力的合成与 分解、速度和加速度的合成等。
线性变换可以用来解决实际问题,如图像处理、 信号处理、控制系统等领域。
02
矩阵与线性变换的关系
矩阵表示线性变换
01
矩阵是线性变换的一种简洁表示形式,可以将线性变换中的 变换关系用矩阵的形式表示出来。
矩阵乘法的结果是一个新的向量,这个向量的坐标值是原向量在新的基下 的坐标值。
线性变换的矩阵表示
01
对于一个给定的线性变换,可 以找到一个矩阵,使得该矩阵 左乘任意向量时,等价于对该 向量进行该线性变换。
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T(
x2
)
a12
x1
a22 x2
T ( xn ) a1n x1 a2n x2
an1 xn an2 xn , ann xn
写成矩阵形式即有
T x1, x2, , xn Tx1,Tx2, ,Txn x1, x2,
其中矩阵
a11 a12
推论1:设T是线性空间V的一组基x1,x2,…,xn下的 矩阵,f ( x) am xm am1xm1 a1x a0 , 则线 性变换f(T)在同一组基下的矩阵是:
f ( A) am Am am1Am1 a1A a0I .
定理3:设线性变换T在基x1,x2,…,xn下的矩阵为A,
设T为线性空间V的线性变换,并设
f x am xm a1x a0 P[x],
则变换 f (T ) amT m a1T a0Te
也是线性变换,称f (T)为线性变换T的多项式。
1. 在P[x]中,若h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x),则 h(T ) f (T ) g(T ), p(T ) f (T )g(T ).
注:线性空间V上的全体线性变换所构成的集合 对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的 一个线性空间。
设T1,T2是线性空间V的两个线性变换,定义它们 的乘积为:
T1T2 x T1(T2 x),x V .
T1T2仍然是线性空间V上的线性变换。
注:线性变换的乘积不一定满足交换律。
例6 设A,B∈Rn×n是两个给定的矩阵,定义Rn×n上 的两个线性变换:T1(X)=AX,T2(X)=XB,则容易 验证T1T2=T2T1。 若定义:T1(X)=AX,T2(X)=BX,则只有当AB=BA 时,T1T2=T2T1。否则不成立。
:S S'
或 S S '。称 a´为 a 在映射σ下的象,而 a称
为a ´在映射σ下的原象,记作σ(a)=a´, 或
: a a.
若 a b, 都有 (a) (b), 则称为单射; 若 a' S ', 都存在a∈S,(a)=a’,则称为满射;
既是单射又是满射的称为双射,或一一对应。
1. 设T是V上的线性变换, T (0) 0, T( x) T( x).
2. 线性变换保持线性组合及关系式不变,即若 x k1 x1 k2 x2 kr xr ,
则有: T ( x) k1T ( x1) k2T ( x2 ) krT ( xr ).
3. 线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 的向量组,即若x1,x2,…,xr线性相关,则T(x1), T(x2),…,T(xr)也线性相关。 但若T(x1), T(x2),…,T(xr)线性相关,x1,x2,…,xr未必 线性相关。事实上,线性变换可能把线性无关的 向量组变成线性相关的。
例6 设线性空间R3中的线性变换T为:
T ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x1 x2 ),
求T在标准基e1,e2,e3下的矩阵。
例基7I:设fP0n[x1],中f1的线x,性f2变 换x22!T,为:, fnT(f
(x))=f xn
, n!
’(x),
基II: g0 1, g1 x, g2 x2, , gn xn,
对于V中的任意一个向量x,必存在数域K中的一
组数k1,k2,…,kn使得
从而有
x k1 x1 k2 x2 kn xn ,
T ( x) k1T ( x1 ) k2T ( x2 ) knT ( xn ).
这表明,T(x)由T(x1),T(x2),…,T(xn)完全确定。
设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基,T1,T2是V 上的两个线性变换。 容易证明,若T1(xi)=T2(xi),i=1,2,…,n,则T1=T2。 这表明,一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定。
x∈V在基x1,x2,…,xn下的坐标为(1,2,…,n)T, T(x) 在基x1,x2,…,xn下的坐标为(h1,h2,…,hn)T,则
h1 1
h2
=A
2
.
hn n
(b) 线性变换在不同基下的矩阵之间的关系
定理4:设V上的线性变换T在基I下的矩阵为A,
( y1, y2 ) ( x1, x2 )
1 1
1 2
,
(1) 求T在y1,y2下的矩阵B;(2) 求Ak。
设T为线性空间V的线性变换,若有V上的变换S 使得:TS=ST=Te,则称T为可逆变换,并称S为T 的逆变换,记为S=T-1。
1. 可逆变换的逆变换仍然是线性变换。 2. 线性变换T可逆当且仅当T是一一对应。 3. 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无 关的向量组。 4. 设x1,x2,…,xn是线性空间V的一组基,T是V上的 线性变换,则T可逆当且仅当T(x1),T(x2),…,T(xn)也 是V的一组基。 5. 若T1,T2都是可逆变换,则 (T1T2 )1 T21T11.
设σ,τ,μ分别是集合S 到S1,S1到S2,S2到S3的映 射,则映射的乘积满足结合律:
.
(b) 线性变换
从集合S 到集合S的映射也称为变换。
设V为数域K上线性空间,若变换 T :V V 满足:
Tx y TxT y, T kx kT x, x, y V ,k K ,
例1 考虑R2中把每个向量绕原点旋转q角的变换:
Tq : R2 R2,
x y
x y
cosq sinq
sinq cosq
x y
,
这是一个线性变换。
例2 V=R3,∈V是非零向量,考虑把每个向量投 影到上的变换:
: R3 R3,
( , ) , R3. ( , )
这是一个线性变换。
( )
例3 考虑V=Pn[x]中的微分变换: D :V V , D( f ( x)) f ( x), f ( x) V ,
这是一个线性变换。
例4 考虑[a,b]上的所有连续函数构成的线性空间
C[a,b]上的积分变换:
J :C a,b C a,b,
定理5:线性变换在不同基下的矩阵是相似的;反 过来,如果两个矩阵相似,那么它们可以看作同 一线性变换在两组基下所对应的矩阵。
相似矩阵的运算性质: 1. 若 B1 C 1A1C, B2 C 1A2C , 则
B1 B2 C 1( A1 A2 )C, B1B2 C 1( A1A2 )C.
J
f
x
x
a
f
x dx,
这是一个线性变换。
例5 考虑V=Pn[x]∩C[a,b],易有DJ(f(x))=f(x),但 是JD(f(x))=f(x)-f(a)。 因此DJ≠JD。
下列变换中,哪些是线性变换?
√ 1.在 R3 中,T x1, x2 , x3 (2x1, x2 , x2 x3 ). × 2.在 Pn[ x] 中,T f ( x) f 2( x). × 3.在线性空间V中,T , V 非零固定. √ 4.在 C nn中,T X AX , A C nn 固定. × 5.复数域C看成是自身上的线性空间,T( x) x . √ 6.C看成是实数域R上的线性空间, T( x) x .
(c) 线性变换的运算
设T1,T2是线性空间V的两个线性变换,定义它们
的和为:T1 T2 x T1x T2 x,x V .
T1+T2仍然是线性空间V上的线性变换。
设T是线性空间V的线性变换,定义它的负变换 为: (-T)(x)=-T(x)。这也是一个线性变换。
设T是线性空间V的线性变换,k∈K,定义数乘 变换为:(kT)(x)=kT(x)。这也是一个线性变换。
设T为线性空间V的线性变换,n是自然数,定义 Tn T T,
n
称之为T的n次幂。这仍然是线性变换。
1. 规定当n=0时,T0=Te(单位变换)。 2. 容易验证TmTn=Tm+n,(Tm)n=Tmn。 3. 当T可逆时,定义负整数次幂为:T-n=(Tn)-1。 4. 一般的,(TS)n≠TnSn。
1.2 线性变换及其矩阵表示
1. 线性变换及其运算 2. 线性变换的矩阵表示 3. 特征值和特征向量
1. 线性S´是给定的两个非空集合,如果有 一个对
应法则σ,通过这个法则σ对于S中的每一个元素a,
都有S´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称σ
为S到S´的一个映射,记作 :
在基II下的矩阵为B。从基I到基II的过渡矩阵为C,
则有: B C 1AC.
设A、B为数域K上的两个n阶矩阵,若存在可逆矩 阵P∈Kn×n,使得B=P-1AP,则称矩阵A与B是相似 (similar)的,记做A~B。
相似是一个等价关系,即满足如下三条性质: 1. 反身性:A~A; 2. 对称性:若A~B,则B~A; 3. 传递性:若A~B,B~C,则A~C。
定理1:设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基, 对于V中的任意n个向量y1,y2,…,yn,存在唯一的线 性变换使得
T xi yi, i 1,2, ,n.
设x1,x2,…,xn是n维线性空间V的一组基,T是V上 的线性变换。基向量的象可以被基线性表出,设
T ( x1 ) a11 x1 a21 x2
设σ1, σ2都是集合S 到集合S´的映射,若对S 的每
个元素a 都有σ1(a) =σ2(a),则称它们相等,记作 σ1 =σ2。 设σ是集合S 到S1的映射,τ是集合S1到S2的映射,