二次函数与圆综合(压轴题+例题+巩固+答案)

【例 1】 .如图，点M 4，0，以点 M 为圆心、 2 为半径的圆与x 轴交于点 A ，B ．已知抛物y1x2bx c 过点A和B，与y轴交于点C．

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⑴求点 C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．

⑵点 Q8 ，m 在抛物线

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P 为此抛物线对称轴上一个动点，求y x bx c 上，点

PQ PB

6

最小值．y

⑶CE 是过点C的⊙M 的切线，点 E 是切点，求OE所在直线的解析式．

C

D A

B x

O M

E

【巩固】已知抛物线y ax2bx c 与 y 轴的交点为C，顶点为M ，直线CM 的解析式

y x 2 并且线段 CM 的长为 2 2

（1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A （X 1， 0）、 B（ X 2，0），且点 A 在 B 的左侧，求线段

AB 的长。

（3）若以 AB 为直径作⊙ N ，请你判断直线CM 与⊙ N 的位置关系，并说明理由。

【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点 C (0 ，4) 为圆心，半径为4的圆交 y 轴正半轴于

点 A ，

AB 是⊙C的切线．动点 P 从点 A 开始沿 AB 方向以每秒 1个单位长度的速度运动，点Q从O

点开始沿 x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点 P 、Q从点 A 和点 O 同时出发，

设运动时间为 t (秒 )．

⑴当 t 1 时，得到 P Q P Q

三点的抛物线解析式及对称轴l ；

1、1两点，求经过 A 、1、1

⑵当 t 为何值时，直线PQ 与⊙C 相切？并写出此时点P 和点Q的坐标；

⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N，使 NP NQ 最小，求出点 N 的坐标并说

明理由．

y l

A P1P

B

C

O Q

1

Q

x

提示：（ 1）先求出 t=1 时， AP 和 OQ 的长，即可求得 P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线

的解析式．进而可求出对称轴 l 的解析式．

（2 ）当直线 PQ 与圆 C 相切时，连接 CP， CQ 则有 Rt△ CMP ∽Rt △ QMC （ M 为 PG 与圆的切点），因此

可设当 t=a 秒时， PQ 与圆相切，然后用 a 表示出 AP ， OQ 的长即 PM ， QM 的长（切线长定理）．由

此可求出 a 的值．

（3 ）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点 P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线 l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N 点的坐标．

【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数二次函数的图象交于A，B 两点 ( A在B的左侧 )，且A点坐标为4，4

y kx 1 的图象与．平行于 x 轴的直线

l 过 0 ， 1 点．

⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；

⑵判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；

⑶把二次函数的图象向右平移 2 个单位，再向下平移t个单位t 0 ，二次函数的图象与x

轴交于 M ，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当t为何值时，过F， M ，N 三点的圆的

面积最小？最小面积是多少？

y

O

x

l 【例3】如图1, ⊙ O的半径

为

1，正方形ABCD 顶点 B 坐标为 5 ，0，顶点D 在⊙O上运动．

⑴ 当点 D 运动到与点 A 、 O 在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙ O相切；

⑵当直线 CD 与⊙ O相切时，求 OD 所在直线对应的函数关系式；

⑶设点 D 的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的

最大值与最小值．

C

y

D

B

O

1

5 x

A

图 1

/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以

【巩固】如图，已知点 A 从1，0出发，以1个单位长

度

OABC ，使点 B ，C 在第一象限内，且AOC60 ；以P 0，3为圆心，

O ，A为顶点作菱

形

PC 为半径作圆．设点 A 运动了t秒，求：

⑴点 C 的坐标（用含t 的代数式表示）；

⑵当点 A在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．

y

P

C B

O

1 A x

【例 4】已知：如图，抛物线y1x2 2 3x m 与 x 轴交于 A ，B 两点，与y轴交于C点，

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ACB 90

⑴求 m 的值及抛物线顶点坐标；

⑵过 A ，B ，C 的三点的⊙M 交y轴于另一点 D ，连结 DM 并延长交⊙M于点 E ，过 E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y轴于点 F ，G ，求直线 FG 的解析式；

⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD上的动点( P 不与C，D重合)，连结 PA 交 y 轴于点 H ，问是否存在一个常数 k ，始终满足 AH AP k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请

说明理由．

y

D

M

A O B

F x

C E

G