1.正态分布的概率密度与分布函数
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和近似地服从正态分布； 4. 数理统计中的某些常用分布是由正态分布推导
得到的.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的定义
定义. 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x ,
2 π
其中 及 0 都是常数，则称随机变量 X 服从正态
分布(或高斯分布). 记作：
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
2 x1
1
x2 t 2
e 2 dt
2 π
1
x1 t 2
e 2 dt
2 π
( x2 ) ( x1 ).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例2. 设随机变量 X 服从正态分布N (1 ,22 ) , 求概率
P(1.6 X 2.4).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例3. 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落
在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
先求随机变量Y的分布函数：
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y).
2.在 x 处达到最大值；
3.在 x 处有拐点；
o
μ
x
4. x 时曲线以 x 轴为渐近线.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
5. 固定 , 改变 . 则图形沿 x 轴平移而不改变
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 , 则当 很小时，
曲线的形状与一尖塔相似；
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
求导得到 Y 的概率密度
fY ( y)
1
1 y
y 2e 2,
2π
0,
y 0; y 0.
所得的分布称为自由度为1的 2分布.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
小结
1.正态分布N ( , 2 )的概率密度：
f (x)
σ 1
当 值增大时，
曲线将趋于平坦.
σ 1.5
概率论与数理统计
σ3
σ 7.5
o
x
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的分布函数为
F (x) 1
x
e
(
x )2 2 2
dx
,
x .
2 π
F ( x)
1
0 .5
o
x
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
(1) P( X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
X ~ N ( , 2 ).
特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布. 记为：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
X ~ N (0 ,1).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布N ( , 2 )的概率密度 f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
1
2πσ
1.关于直线 x 对称；
解：
P( X k ) P( k X k )
( k ) ( k )
(k) (k)
(k) [1 (k)]
2 (k) 1, k 1 ,2 ,3 ,.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973. 说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则 P( X 3 ) 1 P( X 3 )
1 0.9973 0.0027 0.003.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
由此可知 X落在( 3 , 3 ) 之外的概率小于 3 ‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间 ( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值 区间.这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
第四章 正态分布
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
§1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
1
2 π
e
(
x )2 2 2
得到的.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的定义
定义. 若随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x ,
2 π
其中 及 0 都是常数，则称随机变量 X 服从正态
分布(或高斯分布). 记作：
0.9390.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率计算
定理. 设 X ~ N ( , 2 ) , 则
P( x1
X
x2
)
(
x2
) ( x1
).
证： P(x1 X x2 )
t
xμ σ
1
2π
x2 t2
e 2 dt
x1
1
e dx x2
(
x )2 2 2
标准正态分布的概率密度：
(x)
1 2π
x2
e2
,
x
;
标准正态分布的分布函数：
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2 π
(x) 的性质：
(0) 0.5; () 1; (x) 1 (x).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例1.设X服从标准正态分布N (0 ,1) , 求
2 x1
1
x2 t 2
e 2 dt
2 π
1
x1 t 2
e 2 dt
2 π
( x2 ) ( x1 ).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例2. 设随机变量 X 服从正态分布N (1 ,22 ) , 求概率
P(1.6 X 2.4).
解：P(1.6 X 2.4) (2.4 1) (1.6 1)
2
2
(0.7) (1.3)
(0.7) [1 (1.3)]
0.7580 (1 0.9032) 0.6612.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例3. 设随机变量X 服从正态分布N ( , 2 ) , 求 X 落
在区间 ( k , k ) 内的概率，这里 k 1 ,2 ,3 ,.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
例4.设随机变量 X 服从标准正态分布 N (0 ,1) , 求随
机变量函数 Y X 2 的概率密度.
解：已知随机变量X 的概率密度
fX (x)
1
x2
e 2,
2π
x .
先求随机变量Y的分布函数：
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y).
2.在 x 处达到最大值；
3.在 x 处有拐点；
o
μ
x
4. x 时曲线以 x 轴为渐近线.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
5. 固定 , 改变 . 则图形沿 x 轴平移而不改变
其形状.
f (x)
6. 固定 , 改变 , 则当 很小时，
曲线的形状与一尖塔相似；
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
求导得到 Y 的概率密度
fY ( y)
1
1 y
y 2e 2,
2π
0,
y 0; y 0.
所得的分布称为自由度为1的 2分布.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
小结
1.正态分布N ( , 2 )的概率密度：
f (x)
σ 1
当 值增大时，
曲线将趋于平坦.
σ 1.5
概率论与数理统计
σ3
σ 7.5
o
x
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布 N ( , 2 )的分布函数为
F (x) 1
x
e
(
x )2 2 2
dx
,
x .
2 π
F ( x)
1
0 .5
o
x
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
(1) P( X 1.96); (2) P(1.6 X 2.5).
解：(1) P( X 1.96) (1.96) 0.975;
(2) P(1.6 X 2.5)
(2.5) (1.6) (2.5) [1 (1.6)] (2.5) 1 (1.6) 0.9938 1 0.9452
X ~ N ( , 2 ).
特别，当 0, 1时称 X 服从标准正态分布. 记为：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
X ~ N (0 ,1).
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布的概率密度与分布函数
正态分布N ( , 2 )的概率密度 f (x) 的图形：
f (x)
分布曲线的特征：
1
2πσ
1.关于直线 x 对称；
解：
P( X k ) P( k X k )
( k ) ( k )
(k) (k)
(k) [1 (k)]
2 (k) 1, k 1 ,2 ,3 ,.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
查附表2得
P( X ) 2 (1) 1 0.6826, P( X 2 ) 2 (2) 1 0.9544, P( X 3 ) 2 (3) 1 0.9973. 说明： 若 X ~ N ( , 2 ) , 则 P( X 3 ) 1 P( X 3 )
1 0.9973 0.0027 0.003.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
由此可知 X落在( 3 , 3 ) 之外的概率小于 3 ‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间 ( 3 , 3 )看作是随机变量 X 的实际 可能的取值 区间.这一原理叫做 “三倍标准差原理”(或"3 法则").
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
第四章 正态分布
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
§1 正态分布的概率密度与分布函数
正态分布是最常见因而也是最重要的分布:
1. 很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述； 2. 在一定条件下， 某些概率分布可以利用正态分布
近似计算； 3. 在非常一般的充分条件下， 大量独立随机变量的
1
2 π
e
(
x )2 2 2