对称操作和对称元素(教学PPT)
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面的垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处。
NH3
9
1 0 0
3.
反映操作ˆ的表示矩阵为 xy
0
1
0
0 0 1
4 . 反映操作和它的逆操作相等，连续进行反映操作可得：
n
E
n为偶数 n为奇数
5.σv凡包含主轴的镜面
σh凡垂直于主轴的镜面
C2
σd凡包含主轴且等分两个相
邻副轴之间夹角的镜面.
σd
3 n
，........
，Cˆ
n n
Eˆ
3.恒等操作：使分子完全复原的操作，
常用E表示，也称为主操作
3
4.若一个分子中有多个旋转轴,则轴次高的为主轴,其余都为副轴.
Eg:BF3 C3
F
C2
C2
B
F F
C2
4
分子中常见的旋转轴：
C2
H2O,H2O2
NH3, HCCl3, CH3Cl C2
C3
PCl5, Fe(CO)5
0
0 1
E n为偶数 连续进行反演操作可得：i n
i n为奇数
3.中心对称分子：具有对称中心。
如：C6H6,SF6,CO2,C2H4, Cl C
H C
非中心对称分子：没有对称中心。 H Cl
如：CH4,H2O,NH3,CO等。 8
三、反映操作ˆ 和镜面σ
1.镜面σ是平分分子的平面.
2.反映操作 ˆ是使分子中的每一点都反映到该点到镜
C4 Ni(CN)2-4 ,SF6,PtCl2-4
C5
Fe(C5H5)2, IF7
C6
C6H6
C∞
H2 , HCl , CO2
H2O2Fe(C5H5)2
5
5.
Cmn 如果n和m有公因子q,则
C
m n
C nm/
/q q
如
: C62
C
1 3
C3
C 63
C
1 2
C2
B
C
1 3
B
C
1 3
B
C
1 3
B
b
c
a
19
3.群的阶次：群的元的数目． 有限群 无限群
4.点群:一个有限分子的对称操作群. 含义:a.对称操作都是点操作，操作时分子中至 少有一点保持不动． b.分子的所有对称元素至少通过一个公共点.
20
§4.3 分子的点群 一、分子点群的分类
1.Cn点群 对称元素只有Cn轴, 对称操作共有n个 阶次为n, 常见的Cn点群有:
奇数：操作加倍，有两个对称元素； 4倍数：独立操作，只有一个对称元素； 非4倍数 ： 有两个对称元素。 4.如果一个分子中存在Cn轴和垂直于该轴的σh，则必然 有Sn映轴.但分子中有Sn映轴不一定存在Cn轴和σh镜面. 如：CH4
16
旋转
复 原
反映
等 价
17
对称操作与对称元素
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作
1
3.对称操作:是不改变物体内部任两点间的距离而使 物体复原的操作
4.对称元素:就是对分子施行对称操作时,所依赖的 几何要素(点、线、面及其组合) 对称操作必须借助对称元素才能实现.
5.点操作:对于分子等有限物体,在进行操作时,分子 中至少有一点是不动的，所以叫点操作
2
一、旋转操作Cˆ n和旋转轴Cn
§4-1 对称操作和对称元素
☉基本概念 1.对称:是指一个物体包含若干等同部分，这些部分相对
(对等、对应)而又相称(适合、相当)。这些部分能经 过不改变其内部任何两点间距离的对称操作而复原. 分子对称性是通过对称元素和对称操作来描述. 2.复原:对称物体经过某一操作后,物体中每一点都被放在周
围环境与原先相似的相当点上。操作前物体中原来在 什么地方有些什么,操作后那个地方依然相同,无法区 别是操作前的物体还是操作后的物体,这种情况叫复原 复原和完全复原
H C F
Br Cl
C1
C2 H2O2
21
H Cl Cl
H HH
Cl C2
H
Cl
H
H
H
22
2.Cnh点群 就是在Cn点群所含对称元素的基础上又有
一个垂直于主轴Cn的镜面σh,点群阶次为2n.
C2h群: 反式二氯乙烯 N2F2
I4是个独立的对称元素，有4个操作I41，I42，I43，I44 E
I5 C5 i
I6 C3 h
n为奇，2n个操作，Cn＋i n为偶 4倍数，In（Cn/2）
非4倍数，Cn/2＋ h
12
复原
i
C
1 4
13
五、旋转反映操作Ŝn和映轴Sn
1.以某一轴进行旋转操作后，再以垂直于该轴的平 面进行反映，而能使分子复原的复合操作称为旋 转反映操作Ŝn，进行旋转反映所凭借的轴称为映 轴Sn或像转轴
1.旋转操作:就是将分子绕通过其中心的轴旋转一定
的角度使分子复原的操作。
旋转轴:旋转依据的对称元素，n次旋转轴记作Cn。 2.Cn轴的基转角α=360o/n
n为使分子完全复原所旋转的次数,有n个操作.
Cˆ
2 n
wk.baidu.com
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
,
Cˆ
3 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
，Cˆ
2 n
，Cˆ
2.是旋转和反映的复合操作 S1n=σhC1n σhCn先旋转后反映,
14
3 . S1等于镜面， h S3等于C3 h S5等于C5 h
S2等于对称中心，i S4是个独立的对称元素 S6等于C3 i
15
n为奇数,Sn=Cn＋ h 有2n个对称操作, n个Cn，n个hCn
n为偶数,有n个对称操作 n为4倍数：Sn独立操作 n为非4倍数：Cn/2+i
bc
ab
c
C
2 3
C
3 3
6
二 1.当、分反子演中操存作在一iˆ对和称对中称心中i,心从i分子中任一原子至这
对称中心连一直线，并将此线延长，必可在和对称 中心等距离的另一侧找到另一相同原子。和对称中
心相应的操作叫作反演操作 iˆ .
7
1 0 0
2 . 反演操作的表示矩阵i 0 1 0
18
§4.2 对称操作群及对称元素的组合
一、 群的定义 1.群:按一定的运算规则,相互联系的一些元素的集
合.其中的元可以是操作、矩阵、算符或数字等. 2.构成群的条件：
(1) 封闭性：若Aˆ G, Bˆ G, 则Aˆ Bˆ Cˆ G; (2) 主操作：Aˆ Eˆ Eˆ Aˆ Aˆ ; (3) 逆操作：Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ Eˆ (4) 结合律：Aˆ (Bˆ Cˆ ) ( Aˆ Bˆ )Cˆ;
10
分子
σv
σh
σd
交线
H2O
2
0
0
C2
NH3
3
0
0
C3
C6H6
0
1
6
C6
HCl
∞
0
0
C∞
H2
∞
1
0
C∞
11
四、旋转反演操作În和反轴I
1.分子绕某一轴Cn旋转之后，再以经过Cn轴上的某点 进行反演使之复原的复合操作称为旋转反演操作În
Iˆn1 iˆCˆni ，不难看出: I1 i , I2 h , I3 C3 i
NH3
9
1 0 0
3.
反映操作ˆ的表示矩阵为 xy
0
1
0
0 0 1
4 . 反映操作和它的逆操作相等，连续进行反映操作可得：
n
E
n为偶数 n为奇数
5.σv凡包含主轴的镜面
σh凡垂直于主轴的镜面
C2
σd凡包含主轴且等分两个相
邻副轴之间夹角的镜面.
σd
3 n
，........
，Cˆ
n n
Eˆ
3.恒等操作：使分子完全复原的操作，
常用E表示，也称为主操作
3
4.若一个分子中有多个旋转轴,则轴次高的为主轴,其余都为副轴.
Eg:BF3 C3
F
C2
C2
B
F F
C2
4
分子中常见的旋转轴：
C2
H2O,H2O2
NH3, HCCl3, CH3Cl C2
C3
PCl5, Fe(CO)5
0
0 1
E n为偶数 连续进行反演操作可得：i n
i n为奇数
3.中心对称分子：具有对称中心。
如：C6H6,SF6,CO2,C2H4, Cl C
H C
非中心对称分子：没有对称中心。 H Cl
如：CH4,H2O,NH3,CO等。 8
三、反映操作ˆ 和镜面σ
1.镜面σ是平分分子的平面.
2.反映操作 ˆ是使分子中的每一点都反映到该点到镜
C4 Ni(CN)2-4 ,SF6,PtCl2-4
C5
Fe(C5H5)2, IF7
C6
C6H6
C∞
H2 , HCl , CO2
H2O2Fe(C5H5)2
5
5.
Cmn 如果n和m有公因子q,则
C
m n
C nm/
/q q
如
: C62
C
1 3
C3
C 63
C
1 2
C2
B
C
1 3
B
C
1 3
B
C
1 3
B
b
c
a
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3.群的阶次：群的元的数目． 有限群 无限群
4.点群:一个有限分子的对称操作群. 含义:a.对称操作都是点操作，操作时分子中至 少有一点保持不动． b.分子的所有对称元素至少通过一个公共点.
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§4.3 分子的点群 一、分子点群的分类
1.Cn点群 对称元素只有Cn轴, 对称操作共有n个 阶次为n, 常见的Cn点群有:
奇数：操作加倍，有两个对称元素； 4倍数：独立操作，只有一个对称元素； 非4倍数 ： 有两个对称元素。 4.如果一个分子中存在Cn轴和垂直于该轴的σh，则必然 有Sn映轴.但分子中有Sn映轴不一定存在Cn轴和σh镜面. 如：CH4
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旋转
复 原
反映
等 价
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对称操作与对称元素
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作
1
3.对称操作:是不改变物体内部任两点间的距离而使 物体复原的操作
4.对称元素:就是对分子施行对称操作时,所依赖的 几何要素(点、线、面及其组合) 对称操作必须借助对称元素才能实现.
5.点操作:对于分子等有限物体,在进行操作时,分子 中至少有一点是不动的，所以叫点操作
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一、旋转操作Cˆ n和旋转轴Cn
§4-1 对称操作和对称元素
☉基本概念 1.对称:是指一个物体包含若干等同部分，这些部分相对
(对等、对应)而又相称(适合、相当)。这些部分能经 过不改变其内部任何两点间距离的对称操作而复原. 分子对称性是通过对称元素和对称操作来描述. 2.复原:对称物体经过某一操作后,物体中每一点都被放在周
围环境与原先相似的相当点上。操作前物体中原来在 什么地方有些什么,操作后那个地方依然相同,无法区 别是操作前的物体还是操作后的物体,这种情况叫复原 复原和完全复原
H C F
Br Cl
C1
C2 H2O2
21
H Cl Cl
H HH
Cl C2
H
Cl
H
H
H
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2.Cnh点群 就是在Cn点群所含对称元素的基础上又有
一个垂直于主轴Cn的镜面σh,点群阶次为2n.
C2h群: 反式二氯乙烯 N2F2
I4是个独立的对称元素，有4个操作I41，I42，I43，I44 E
I5 C5 i
I6 C3 h
n为奇，2n个操作，Cn＋i n为偶 4倍数，In（Cn/2）
非4倍数，Cn/2＋ h
12
复原
i
C
1 4
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五、旋转反映操作Ŝn和映轴Sn
1.以某一轴进行旋转操作后，再以垂直于该轴的平 面进行反映，而能使分子复原的复合操作称为旋 转反映操作Ŝn，进行旋转反映所凭借的轴称为映 轴Sn或像转轴
1.旋转操作:就是将分子绕通过其中心的轴旋转一定
的角度使分子复原的操作。
旋转轴:旋转依据的对称元素，n次旋转轴记作Cn。 2.Cn轴的基转角α=360o/n
n为使分子完全复原所旋转的次数,有n个操作.
Cˆ
2 n
wk.baidu.com
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
,
Cˆ
3 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
Cˆ
1 n
，Cˆ
2 n
，Cˆ
2.是旋转和反映的复合操作 S1n=σhC1n σhCn先旋转后反映,
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3 . S1等于镜面， h S3等于C3 h S5等于C5 h
S2等于对称中心，i S4是个独立的对称元素 S6等于C3 i
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n为奇数,Sn=Cn＋ h 有2n个对称操作, n个Cn，n个hCn
n为偶数,有n个对称操作 n为4倍数：Sn独立操作 n为非4倍数：Cn/2+i
bc
ab
c
C
2 3
C
3 3
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二 1.当、分反子演中操存作在一iˆ对和称对中称心中i,心从i分子中任一原子至这
对称中心连一直线，并将此线延长，必可在和对称 中心等距离的另一侧找到另一相同原子。和对称中
心相应的操作叫作反演操作 iˆ .
7
1 0 0
2 . 反演操作的表示矩阵i 0 1 0
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§4.2 对称操作群及对称元素的组合
一、 群的定义 1.群:按一定的运算规则,相互联系的一些元素的集
合.其中的元可以是操作、矩阵、算符或数字等. 2.构成群的条件：
(1) 封闭性：若Aˆ G, Bˆ G, 则Aˆ Bˆ Cˆ G; (2) 主操作：Aˆ Eˆ Eˆ Aˆ Aˆ ; (3) 逆操作：Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ Eˆ (4) 结合律：Aˆ (Bˆ Cˆ ) ( Aˆ Bˆ )Cˆ;
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分子
σv
σh
σd
交线
H2O
2
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0
C2
NH3
3
0
0
C3
C6H6
0
1
6
C6
HCl
∞
0
0
C∞
H2
∞
1
0
C∞
11
四、旋转反演操作În和反轴I
1.分子绕某一轴Cn旋转之后，再以经过Cn轴上的某点 进行反演使之复原的复合操作称为旋转反演操作În
Iˆn1 iˆCˆni ，不难看出: I1 i , I2 h , I3 C3 i