二次根式知识点归纳及题型总结

二次根式知识点及题型归纳

1. 二次根式的概念

二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．

2. 二次根式的性质

1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2.)0()(2≥=a a a

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a

3. ⎩⎨⎧<-≥==)

0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

4. 二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

3. 最简二次根式和同类二次根式

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式

4. 二次根式计算——分母有理化

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

5. 二次根式计算——二次根式的乘除

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab

2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

)0,0(≥≥=⋅b a ab b a

3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥=b a b

a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

)0,0(≥≥=b a b a b

a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

6. 二次根式计算——二次根式的加减

二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。

2、二次根式的加减分三个步骤：

①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式；

③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． ac ad bc ac ad ac bc c d a b +=±=±（分母没有最小公倍数时） 7. 根式比较大小

1、根式变形法 当0,0>>b a 时，①如果b a >，则b a >；②如果b a <，则b a <。

2、平方法 当0,0>>b a 时，①如果22b a >，则b a >；②如果22b a <，则b a <。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法 当0,0>>b a 时，①如果b a >，则b a 11<；② 如果b a <，则b

a 11>。 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①b a b a >⇔>-0；②b a b a <⇔<-0

8、求商比较法它运用如下性质：当0,0>>b a 时，则：①

b a b a >⇔>1； ②b a b

a <⇔<1 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）

1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x

2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）

（2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ，

则x 的取值范围是 （8）若1

313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．

4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。

5. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x

6．设m 、n 满足3

29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是