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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第8讲由常量数学到变量数学
第八讲由常量数学到变量数学数学漫长的发展历史大概历经四个期间：以自然数、分数系统形成的萌芽期；以代数符号系统形成的常量数学期间；以函数观点产生的变量数学期间；以会合论为标记的现代数学期间．函数是数学中最重要的观点之一，它是变量数学的标记，“函数”是从量的侧面去描绘客观世界的运动变化、互相联系，从量的侧面反应了客观世界的动向和它们的互相限制性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系有关的观点、函数观点、函数的表示法、函数图象观点及画法．在座标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”互相变换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数分析式是解决函数问题的重点，因此，求点的坐标、探求函数分析式是研究函数的两大重要课题．【例题求解】【例 1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△ APB为直角三角形，则点P 的个数为．思路点拨先在直角坐标平面内描出 A 、 B 两点，连接 AB ，因题设中未指明△ APB 的哪个角是直角，故应分别就∠ A 、∠ B、∠ C 为直角来议论，设点 P(0， x)，运用几何知识成立 x 的方程．注：点的坐标是数与形联合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：(1)利用几何计算求；(2)经过分析式求；(3)解由分析式联立的方程组求．【例 2】如图，向放在水槽底部的烧杯灌水(流量必定 )，注满烧杯后，持续灌水，直至注满水槽．水槽中水面上涨高度h 与灌水时间t 之间的函数关系，大概是以下图象中的()思路点拨向烧杯灌水需要时间，而且水槽中水面上涨高h0 ．注：实质生活中量与量之间的关系能够形象地经过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要擅长从图象的形状、地点、发展变化趋向等有关信息中获取启迪．【例 3】南方 A 市欲将一批简单变质的水果运往 B 市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择此中的一种，这三种运输方式的主要参照数据以下表所示：运输工具途中速度 (千米／时 )途中花费 (元／千米 )装卸花费 (元 )装卸时间 (小时 )飞机2001610002火车100420004汽车50810002若这批水果在运输(包含装卸)过程中的消耗为200 元 /小时，记 A 、B两市间的距离为x 千米．求出(1) 假如用 W l、W 2、W 3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出花费W l、W 2、W 3与小 x 间的函数关系式．(包含消耗)，(2) 应采纳哪一种运输方式，才使运输时的总支出花费最小?思路点拨每种运输工具总支出花费＝途中所需花费(含装卸花费 )+消耗资用；总支出花费随距离变化而变化，由W l— W 2＝ 0， W 2一 W 3=0，先确立自变量的特定值，经过议论选择最正确运输方式．【例 4】已知在菱形ABCD 中，∠ BAD ＝ 60°，把它放在直角坐标系中，使AD 边在 y 轴上，点 C 的坐标为 (2 3 ， 8)．(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；(2)写出 A、 B 两点的坐标；(3)设菱形 ABCD 的对角线交点为 P．问：在 y 轴上能否存在一点 F，使得点 P 与点对于菱形ABCD 的某条边所在的直线对称，假如存在，写出点 F 的坐标；假如不存在，请说明原因．F思路点拨(1)重点是探究点A 是在y 轴正半轴上、负半轴上仍是坐标原点，只须判断∠COy 与∠CAD 的大小； (2)利用解直角三角形求 A ，B 两点坐标； (3) 设轴上存在点 F(0，y)，则 P 与 F 只可能对于直线 DC 对称．注：成立函数关系式，实质上都是依据详细的实质问题和一些特别的关系、纳成立函数的模型．数据而抽象、归【例 5】如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠ B＝ 90°， BC＝ 4cm， AB ＝ 8cm， D、 E、 F 分别为AB 、 AC 、 BC 边上的中点，若 P 为 AB 边上的一个动点， PQ∥ BC，且交 AC 于点 Q，以 PQ 为一边，在点 A 的右边作正方形 PQMN ，记 PQMN 与矩形 EDBF 的公共部分的面积为y．(1)当 AP ＝ 3cm 时，求的值；(2)设 AP=cm 时，求 y 与 x 的函数关系式；(3)当 y=2cm2，试确立点P 的地点． (2001 年天津市中考题 )思路点拨对于 (2) ，因为点P 的地点不一样， y 与 x 之间存在不一样的函数关系，故需分类议论；对于(3) ，由相应函数分析式求 x 值．注：确立几何元素间的函数关系式，第一是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1)当图形运动致使图形之间地点发生变化，需要分类议论；(2)确立自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情况、特别情况等思想方法．学力训练1．如图，在直角坐标系中，已知点A(4 ， 0)、 B(4 ， 4) ，∠ OAB ＝ 90°，有直角三角形与Rt△ ABO 全等且以AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知极点的坐标．2．在直角坐标系中有两点A(4 ，0)， B(0 ， 2)，假如点C 在 x 轴上 (C 与 A 不重合 )，当点 C的坐标为时，使得由点B、O、C 构成的三角形与△AOB 相像 (起码找出两个知足条件的点的坐标)．3．依据指令 [S，A](S ≥ 0， 0° <A<180 ° )，机器人在平面上能达成以下动作：先原地逆时针旋转角度 A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 x 轴的正方向， (1)若给机器人下了一个指令[4， 60° ]，则机器人应挪动到点；(2) 请你给机器人下一个指令，使其挪动到点 ( 一 5， 5)．4．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴的夹角为60°，且点 A 的坐标为 (一 2，0)，点 B 在 x 轴上方，设 AB ＝a，那么点 B 的横坐标为 ()A ．2aB ．2aC．2a2a 22D ．225．一天，小军和爸爸去爬山，已知山脚到山顶的行程为300 米，小军先走了一段行程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸走开山脚爬山的行程(米) 与爬山所用的时间( 分钟的关系 )(从爸爸开始爬山时计时)，依据图象，以下说法错误的选项是()A ．爸爸爬山时，小军已走了50 米B ．爸爸走了 5 分钟，小军仍在爸爸的前方C．小军比爸爸晚到山顶D ．爸爸前 10 分钟爬山的速度比小军慢，10 分钟以后爬山的速度比小军快6．若函数 y1的自变量 x 的取值范围为一确实数，则m 的取值范围是() 2x mx2A ． m<lB ． m=1C． m>l D． m≤ 17．如图，在直角坐标系中，已知点A(4 ，0)、点 B(0 ，3)，若有一个直角三角形与Rt△ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知极点的坐标(不用写出计算过程 )．8．如图，用相同规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请察看以下图形并解答有关问题：（ 1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出 y 与n ( n表示第n个图形 )的函数关系式；(2) 按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506 块瓷砖，求此时n 的值；(3) 若黑瓷砖每块 4 元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购置瓷砖?(4) 能否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情况?请经过计算说明为何?9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的 4 个极点为A(10 ，0)，B (0 ，10)，C(一 10， 0)，D(0 ，一 10)，则该正方形内及界限上共有个整点(即纵横坐标都是整数的点 )．10．如图，已知边长为l 的正方形OABC 在直角坐标系中， A 、 B 两点在第一象限内，OA 与 x 轴的夹角为30°，那么点 B 的坐标是．11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1， 0)，尔后它接着按图所示在与x 轴、y轴平行的方向上往返运动，且每分钟挪动1个单位长度，那么在1989 分钟后这个粒子所处地点为．12．在直角坐标系中，已知A(1 ， 1)，在x轴上确立点P，使△ AOP 为等腰三角形，则切合条件的点 P共有()A．1个B．2个C． 3个D．4个13．已知点 P 的坐标是 ( 2 a l，2 b )，这里 a 、 b 是有理数，PA、PB分别是点P 到x轴和 y 轴的垂线段，且矩形 OAPB 的面积为2，则 P 点可能出现的象限有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个14．甲、乙二人同时从 A 地出发，沿同一条道路去 B 地，途中都使用两种不一样的速度V l与V 2(Vi<V2) ，甲用一半的行程使用速度V l、另一半的行程使用速度V 2；对于甲乙二人从A地抵达 B 地的行程与时间的函数图象及关系，有图中 4 个不一样的图示剖析．此中横轴 t表示时间，纵轴 s 表示行程，此中正确的图示剖析为()A ．图 (1)B ．图 (1) 或图 (2)C．图 (3)D．图 (4)15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每个月工资、薪金收入不超出800 元，不需交税；超出 800 元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且依据超出部分的多少按不一样的税率交税，详尽的税率以下表：级别全月应纳税所得额税率 (％)1不超出 500 元部分52超出 500 元至 2000 元部分103超出 2000 元至 5000 元部分15(1) 某公民 2002 年 10月的总收人为 1350 元，问他应交税款多少元?(2)设表示每个月收入 (单位：元 )， y 表示应交税款 (单位：元 )，当 1300<x ≤2800 时，请写出 y 对于 x 的函数关系式；(3) 某公司高级职员2002 年 11 月应交税款55 元，问该月他的总收入是多少元?16．如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ 3，BC ＝4，点 D 是 AB 上随意一点 (A 、B 两点除外 )，过 D 作 AB 垂线与△ ABC 的直角边订交于 E，设 AD= x，△ ADE 的面积为 y ，当点 D 在 AB 上挪动时，求 y 对于x之间的函数关系式．17．现计划把甲种货物1240 吨和乙种货物880 吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A 、B 两种不一样规格的货车厢共40 节，使用 A 型车厢每节花费6000 元，使用月型车厢每节花费为 8000 元．(1)设运送这批货物的总花费为 y 万元，这列货车挂 A 型车厢x节，试写出 y 与x之间的函数关系式；(2)假如每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨，每节月型 B 车厢最多可装甲种货物25 吨和乙种货物35 吨，装货时按此要求安排哪几种安排车厢的方案?A 、B 两种车厢的节数，那么共有(3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元 ?18．如图，梯形O ABC 中， O 为直角坐标系的原点，A 、 B 、C 的坐标分别为 (14， 0)， (14，3)， (4，3)．点 P、 Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，此中点P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒 1 个单位；点Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动，当这两点中有一点抵达自己的终点时，另一点也停止运动．(1) 设从出倡始运动了上或在 CB 上时的坐标x 秒，假如点Q 的速度为每秒(用含x的代数式表示)；2 个单位，试分别写出这时点Q 在OC(2) 设从出倡始运动了x 秒，假如点P 与点 Q 所经过的行程之和恰巧为梯形OABC 的周长的一半，①试用含x 的代数式表示这时点Q 所经过的行程和它的速度；②试问：这时直线PQ 能否可能同时把梯形OABC 的面积也分红相等的两部分?若有可能，求出相应的x 的值和P、Q 的坐标；如不行能，请说明原因．参照答案。
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（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美.降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个.思路点拨: 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程.【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨: 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=.【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a .思路点拨: 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和.思路点拨: 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值. 思路点拨: 运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值.注: 一元二次方程常见的变形形式有:(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x .解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222x x x ==.走进追问求根公式学历训练1、已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 .2、已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 .3、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .4、若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )A 、b a =B 、0=+b aC 、1=+b aD 、1-=+b a5、当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )A 、1-<xB 、4>xC 、41<<-xD 、1-≠x 且4≠x 6、方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 7、解下列关于x 的方程:(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+.8、已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值.9、是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 注: 解公共根问题的基本策略是: 当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口.10、若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ .11、已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 . 12、已知a 是方程020002=--x x 的一个正根. 则代数式a200012000120003+++的值为 .13、对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )A 、1B 、2C 、3D 、2．5 14、自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n nn n n n ，这样的n 的个数是( )A 、2B 、1C 、3D 、4 15、已知a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么ab的值是( ) A 、215+ B 、251- C 、251+- D 、251-- 16、已知3819-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值.17、已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值.18、在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形: 将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为32811，求n 的值.19、已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值.20、如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证: ABBS需为无理数.参考答案第二讲 判别式——二次方程根的检测器为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性: 如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等. 我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用:利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题. 【例题求解】【例1】 已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 . (广西中考题)思路点拨: 利用判别式建立关于k 的不等式组，注意k 21-、1+k 的隐含制约. 注: 运用判别式解题，需要注意的是:(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识.【例2】 已知三个关于y 的方程: 02=+-a y y ，012)1(2=++-y y a 和012)2(2=-+-y y a ，若其中至少有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是( ) （山东省竞赛题）A 、2≤aB 、41≤a 或21≤≤x C 、1≥a D 、141≤≤a 思路点拨: “至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a 的不等式组，综合判断选择.【例3】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，(1)求证: 无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长. (湖北省荆门市中考题)思路点拨: 对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分c b =或b 、c 中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b 、c 的值.注: （1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍.（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.【例4】 设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根. (重庆市竞赛题)思路点拨: 去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零.【例5】已知: 如图，矩形ABCD 中，AD ＝a ，DC ＝b ，在 AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE ＝x ，问: 这样的点E 是否存在?若存在， 这样的点E 有几个?请说明理由. (云南省中考题)思路点拨: 要使Rt △ADE 、Rt △BEC 、Rt △ECD 彼此相似，点E 必须满足∠AED+∠BEC ＝90°，为此，可设在AE 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽Rt △BEC ，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E 的存在与否及存在的个数.注: 有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有:(1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造.判别式——二次方程根的检测器学力训练1、已知014=+++b a ，若方程02=++b ax kx 有两个相等的实数根，则k = .2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .(辽宁省中考题)3、已知关于x 方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数解，化简4422+-+--k k k = .4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A 、43<m B 、43≤m C 、43>m 且2≠m D 、43<m 且2±≠m (山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为( )A 、有两个相等的实数根B 、没有实数根C 、有两个不相等的实数根D 、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于x 的方程0)1(2)2(2=+---m x m x m 只有一个实数根，那么方程0)4()2(2=-++-m x m mx 的根的情况是( )A 、没有实数根B 、有两个不相等的实数根C 、有两个相等的实数根D 、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC 中，∠ A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，b 和c 是 关于x 的方程02122=-++m mx x 的两个实数根，求△ABC 的周长. (济南市中考题)8、已知关于x 的方程063)2(22=-+-+m x m x(1)求证: 无论m 取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两实根分别为1x 、2x ，满足1x =32x ，求实数m 的值. (盐城市中考题)9、a 、b 为实数，关于x 的方程22=++b ax x 有三个不等的实数根.(1)求证: 0842=--b a ；(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°； (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a 和b 的值. (江苏省苏州市中考题)10、关于的两个方程03242=+++m mx x ，0)12(22=+++m x m x 中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是 . (2002年四川省竞赛题)11、当a = ，b = 时，方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实数根. (全国初中数学联赛试题)12、若方程a x x =-52有且只有相异二实根，则a 的取值范围是 .13、如果关于x 的方程05)2(22=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程0)2(2)5(2=++--m x m x m 的实根的个数( ) A 、2 B 、1 C 、0 D 、不能确定14、已知一元二次方程02=++c bx x ，且b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A 、12个 B 、10个 C 、7个 D 、5个 (河南省中考题)15、已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足方程0)(22222=+---b x b a c ax ，则方程根的情况是( ) A 、有两相等实根 B 、有两相异实根 C 、无实根 D 、不能确定 (河北省竞赛题) 16、若a 、b 、c 、d>0，证明: 在方程02212=+++cd x b a x ①；02212=+++ad x c b x ②；02212=+++ab x d c x ③；02212=+++bc x a d x ④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根. (湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，abc ＝1，求证: a 、b 、c 中至少有一个大于23.18、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值. (山东省竞赛题)19、考虑方程b a x x =+-22)10(①(1)若a =24，求一个实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式.(2)若a ≥25，是否存在实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式?说明你的结论. (国家理科实验班招生试题)20、如图，已知边长为a 的正方形ABCD 内接于边长为b 的正方形EFGH ，试求ab的取值范围.参考答案第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在: 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等.韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法. 【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 . 思路点拨: 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨: 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件.注: 应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧:(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式.【例3】 已知关于x 的方程: 04)2(22=---m x m x(1)求证: 无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x .思路点拨: 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手.【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值.思路点拨: 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的.注: 应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性. 【例5】 已知: 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根.(1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由.(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．思路点拨: 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式.注: 在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．充满活力的韦达定理学历训练1、(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 .(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 .2、已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 .3、CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 .4、设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( ) A ．1，-3 B ．1，3 C ．-1，-3 D ．-1，35、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 6、方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．217、若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式: )1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x . (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足: 312=+x x ，求k 的值.9、已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 .10、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 .11、△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 .12、两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则baa b +的值是( )A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．97941313、设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14、如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤115、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根.(1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16、设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .(1) 若62221=+x x ，求m 的值. （2）求22212111x mx x mx -+-的最大值.17、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2: BC 2＝2: 1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值.18、设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值.参考答案第四讲 明快简捷—构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是: 1．利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根． 2．利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如a y x =+，b xy =的关系式时，则x 、y 可看作方程02=+-b az z 的两实根． 3．确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程． 成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．注: 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法． 【例题求解】【例1】 已知x 、y 是正整数，并且23=++y x xy ，12022=+xy y x ，则=+22y x ．思路点拨 xy y x y x 2)(222-+=+，变形题设条件，可视y x +、xy 为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．【例2】 若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则ba的值是( ) A ．59 B ．95C ．52001-D ．92001-思路点拨 第二个方程可变形为09200152=++b b ，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．【例3】 已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，求t 的取值范围．思路点拨 由两个等式可求出b a +、ab 的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．【例4】 已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ． (1)求a 、b 、c 中最大者的最小值； (2)求3=++c b a 的最小值．思路点拨 不妨设a ≥b ，a ≥c ，由条件得a c b -=+2，abc 4=．构造以b 、c 为实根的一元二次方程，通过△≥0探求a 的取值范围，并以此为基础去解(2)．注: 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式， 缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． (2003年全国初中数学联赛试题)思路点拨 设前后两个二位数分别为x ，y ，则有y x y x +=+100)(2，将此方程整理成关于x (或y )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y (或x )的取值范围．学历训练1．若方程01)32(22=+--x m x m 的两个实数根的倒数和是s ，则s 的取值范围是 ．2．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，CD ⊥AB ，已知BC 、AC 是一元二次方程0)1(4)12(2=-+--m x m x 的两个根，则m 的值是 ．3．已知a 、b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，则abb a += ． 4．已知012=-+αα，012=-+ββ，，则βααβ++的值为( )A ．2B ．-2C ．-1D ． 05．已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB ＝4，S △COD ＝9，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为( )A ．21B ． 25C ．26D ． 366．如图，菱形A6CD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程的根，则m 的值为( )A ．一3B ．5C ．5或一3 n 一5或37．已知0522=--p p ，01252=-+q q ，其中p 、q 为实数，求221q p +的值．8．已知x 和y 是正整数，并且满足条件71=++y x xy ，88022=+xy y x ，求22y x +的值．9．已知05232=--m m ，03252=-+n n ，其中m 、n 为实数，则nm 1-＝ ．10．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b 与542--=a a bc ，那么a 的取值范围是 ．11．已知017101422522==--++y x xy y x ，则x = ，y = ．；12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ，若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两点，BD=BC ，CE ⊥CD ，则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是 ．13．已知a 、b 、c 均为实数，且0=++c b a ，2=abc ，求c b a ++的最小值．14．设实数a 、b 、c 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+--066078222a bc c b a bc a ，求a 的取值范围． 15．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，813=∆ABCABCD S S 梯形，梯形的高AE=235，且401311=+BC AD ． (1)求∠B 的度数；(2)设点M 为梯形对角线AC 上一点，DM 的延长线与BC 相交于点F ，当323125=∆ADM S ，求作以CF 、DF 的长为根的一元二次方程．16．如图，已知△ABC 和平行于BC 的直线DE ，且△BDE 的面积等于定值2k ，那么当2k 与△BDE 之间满足什么关系时，存在直线DE ，有几条?参考答案第五讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有:从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注: 一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注: 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么baa b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注: 一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题: ①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证: 1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0； (2)求证: 11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道: “作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】 若0515285222=-+-+-x x x x ，则1522--x x 的值为 ．思路点拨 视x x 522-为整体，令y x x =-522，用换元法求出y 即可．【例2】 若方程x x p -=-2有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是( )A ．1->pB ．0≤pC ．01≤<-pD ．01<≤-p思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注02≥-=-x x p 的隐含制约．注: 转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化: 实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．解下列方程:（1）121193482232222=+-++-++x x x x x x xx ；。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第30讲 从创新构造入手
第三十讲 从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解．所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：1．构造方程；2．构造函数；3．构造图形；4．对于存在性问题，构造实例；5．对于错误的命题，构造反例；6．构造等价命题等．【例题求解】【例1】 设1a 、2a 、1b 、2b 都为实数，21a a ≠，满足))(())((22122111b a b a b a b a ++=++，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a ．思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式特点，1a 、2a 可看作方程1))((21=++b x b x 的两根，则))((1))((2121a x a x b x b x --=-++，通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型；利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．【例2】 求代数式1342222+-+++x x x x 的最小值．思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．222222)30()2()10()1(13422-+-+-++=+-+++x x x x x x ，于是问题转化为：在x 轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C 点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．【例3】 已知b 、c 为整数，方程052=++c bx x 的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出b 、c 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令c bx x y ++=25，从讨论抛物线与x 轴交点在1-与0之间所满足的约束条件入手．【例4】 如图，在矩形ABCD 中，AD=a ，AB=b ，问：能否在Ab 边上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的E 点有几个?若不能找到，请说明理由．思路点拨 假设在AB 边上存在点E ，使Rt △ADE ∽Rt △BEC ∽Rt △ECD ，又设AE=x ，则BC BE AE AD =，即ax b x a -=，于是将问题转化为关于x 的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．【例5】 试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比如2个人彼此认识就把连接2个人的对应点的线段染成红色；2个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有3个人彼此认识就是存在一个3边都是红色的三角形，否则就是存在一个3边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：已知有6个点，任何3点不共线，每2点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在：(1)几何问题代数化；(2)利用图形图表解代数问题；(3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解．利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明．特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把握．对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“构造性证明”．学历训练1．若关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是 ．2．已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且1))((=++d a c a ，1))((=++d b c b ，那么))((c b c a ++的值是 ．3．代数式9)12(422+-++x x 的最小值为 ．4．A 、B 、C 、D 、E 、F 六个足球队单循环赛，已知A 、B 、C 、D 、E 五个队已经分别比赛 了5、4、3、2、1场，则还未与B 队比赛的球队是 ．5．若实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的取值范围是 ．6．设实数分别s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t ，并且1≠st ，求ts st 14++的值．7．已知实数a 、b 、c 满足0))((<+++c b a c a ，求证：)(4)(2c b a a c b ++>-．8．写出10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．9．求所有的实数x ，使得xx x x 111-+-= ．10．若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证：2110132>++c b a ．11．已知关于x 的方程k x x =+-1322有四个不同的实根，求k 的取值范围．12．设10<<z y x ，，0，求证1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x ．13．从自然数l ，2，3，…354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为177．14．已知a 、b 、c 、d 、e 是满足8=++++e d c b a ，162222=++++e d c b a 的实数，试确定e 的最大值．15．如图，已知一等腰梯形，其底为a 和b ，高为h ．(1)在梯形的对称轴上求作点P ，使从点P 看两腰的视角为直角；(2)求点P 到两底边的距离；(3)在什么条件下可作出P 点?参考答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答_第26讲_开放性问题评说
初中学习资料整理总结学力训练1．如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD，②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的是．(把你认为正确的结论的序号都填上)2．如图，是一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形ABCD，则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式：①；②；③．3．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线4x；=乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：．4．如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．(1)图中哪条线段与BF相等?试证明你的结论；(2)若AE=3，CD=2，求⊙O的直径．5．在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)．现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)．6．如图，抛物线c+=2与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)( x1<0<x2)，与y轴交于点y+axbxC(0，-2)，若OB=4OA，且以AB为直径的圆过C点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D在此抛物线上，且AD∥CB．①求D点的坐标；②在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．7．给定四个命题：①sinl5°与sin75°的平方和为1；②函数682+-=x x y 的最小值为-10；③4341a aa -=-；④xxx x --=--510510，则x=10”，其中错误的命题的个数是 ．8．①在实数范围内，一元二次方程02=++c bx ax 的根为aacb b x 242-±-=；②在△ABC中，若AC 2+BC 2>AB 2，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和△AB 1C 1中，a 、b 、c 分别为△ABC 的三边，1a 、1b 、1c 分别为△AB 1C 1的三边，若a >1a ，b >1b ，c >1c ，则△ABC 的面积大S 于△AB 1C 1的面积S 1．以上三个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．已知：AB 是⊙O 的直径，AP 、AQ 是⊙O 的两条弦，如图1，经过B 做⊙O 的切线l ，分别交直线AP 、AQ 于点M 、N ．可以得出结论AP ·AM ＝AQ ·AN 成立．(1)若将直线l 向上平行移动，使直线l 与⊙O 相交，如图2所示，其他条件不变，上述结论是否成立?若成立，写出证明，若不成立，说明理由；(2)若将直线l 继续向上平行移动，使直线l 与⊙O 相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，说明理由．10．如图，已知圆心A(0，3)， A 与x 轴相切，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上，且⊙B 与⊙A 外切于点P ，两圆的公切线MP 交y 轴于点M ，交x 轴于点N ． （1）若sin ∠OAB=54，求直线MP 的解析式及经过M 、N 、B 三点的抛物线的解析式； (2)若A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上移动，并使⊙B 与⊙A 始终外切，过M 作⊙B 的切线MC ，切点为C 在此变化过程中探究： ①四边形OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明；②经过M 、N 、B 点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若不存在，说明理由． (山西省中考题)11．有一张矩形纸片ABCD ，E 、F 、分别是BC 、AD 上的点(但不与顶点重合)，若EF 将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x．(1)求证：AF=EC；(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．①当bx:为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点?②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE'，直线BE'与EF是否平行?你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直?12．(1)证明：若x取任意整数时，二次函数ca-、=2总取整数值，那么，a2、b+bxy+axc都是整数．(2)写出上述命题的逆命题，且证明你的结论．13．已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16．(1)这样的四边形有几个?(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值．参考答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第12讲 方程与函数
第十二讲 方程与函数方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．【例题求解】【例1】 若关于的方程mx x =-1有解，则实数m 的取值范围 ．思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数x y -=1，mx y =函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m 的取值范围．【例2】设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根1x ，2x ，且1x <1<2x ，那么a 取值范围是( )A ．5272<<-aB ．52>a C ．72-<a D ．0112<<-a思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与x 轴的交点满足1x <1<2x 的a 的值，注意判别式的隐含制约．【例3】 已知抛物线0)21(22=+-+=a x a x y (0≠a )与x 轴交于两点A(1x ，0)，B(2x ，0)( 1x ≠2x )．(1)求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点O 的左侧；(2)若抛物线与y 轴交于点C ，且OA+OB ＝OC 一2，求a 的值．思路点拨 1x 、2x 是方程0)21(22=+-+a x a x 的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．【例4】 抛物线)1(2)45(2212+++-=m x m x y 与y 轴的正半轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，并且点B 在A 的右边，△ABC 的面积是△OAC 面积的3倍．(1)求这条抛物线的解析式；(2)判断△OBC 与△OCA 是否相似，并说明理由．思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m 的等式，求出m 的值；对于(2)依m 的值分类讨论．【例5】 已知抛物线q px x y ++=2上有一点M(，0y )位于x 轴下方．(1)求证：此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(，0)，且1x <2x ，求证：1x <0x <2x ．思路点拨 对于(1)，即要证042>-q p ；对于(2)，即要证0))((2010<--x x x x ．注：(1)抛物线与x 轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象与x 轴交于A （1x ，0），B(，0)两点，顶点为C ．①△ABC 是直角三角形的充要条件是：△=442=-ac b ．②△ABC 是等边三角形的充要条件是：△=1242=-ac b学历训练1．已知关于x 的函数1)1(2)6(2++-++=m x m x m y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是 ．2．已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于A (α，0)，B(β，0)两点，且1722=+βα，则=k ．3．已知二次函数y=kx 2+(2k －1)x —1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l ；②当x>x 2，时，y>O ；③方程kx 2+l(2k －1)x —l=O 有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1<－l ，x 2>－l ；⑤x 2－x 1=kk 241+，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ．4．设函数)5(4)1(2+-+-=k x k x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k ＝( )．A ．8B ．一4C ．1lD ．一4或115．已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A(x 1,0)、B(x 2，0)两点，其顶点坐标为P(－2b ，4b -4c 2)，AB ＝｜x 1－x 2|，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是 ( ) A ．b 2－4c+1= 0 B ．b 2－4c －1=0 C ．b 2－4c+4=0 D ．b 2－4c －4=06．已知方程1+=ax x 有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是( )A ．a >-1B ．a ＝1C ．a ≥1D ．非上述答案7．已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图，二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系？（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=43，求a 、c 的值．8．已知：抛物线c bx ax y ++=2过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为21，与x 轴分别交于B(x 1,0)、C(x 2，0)两点(其中且1x <2x )，且132221=+x x ．(1)求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)设此抛物线与y 轴交于D 点，点M 是抛物线上的点，若△MBO 的面积为△DOC 面积的32倍，求点M 的坐标． 9．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A （1x ，0）、B （2x ，0），交y 轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO OB AO .（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则= .11．函数732+-=x x y 的图象与函数63322+-+-=x x x x y 的图象的交点个数是 ．12．已知a 、b 为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为 ．13．是否存在这样的实数k ，使得二次方程0)23()12(2=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．14．设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点． (1)求a 的值；(2)求61832-+a a 的值．15．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程0)4)(1(2)67(2=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O ，顶点坐标为(1，一2)，与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且满足关系式OB OA OC ⋅=2．(1)求二次函数的解析式；(2)求△ABC 的面积．17．设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点A （1x ，0）、B（2x ，0）．(1)求证：032221>++p x px ；(2)若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求P 的最大值． (参考答案。
超级资源：七年级数学竞赛讲义附练习及答案(12套)
七年级数学竞赛讲义附练习及答案（12套）初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n 与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x ＜y 与x ≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0；2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。
初中数学(初一)竞赛讲义(知识点难点梳理、重点题型分类举一反三)(家教、补习、竞赛专用)
初一数学竞赛讲义重难点有效突破知识点梳理及重点题型举一反三练习专题01 质数那些事阅读与思考一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．3．若质数|，则必有|或|．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：N=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，)．正整数N的正约数的个数为(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例题与求解【例1】已知三个质数，，满足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江苏省竞赛试题) 解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )A．质数B．可为质数，也可为合数C．合数D．既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题) 解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．【例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．(上海市竞赛试题) 解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．【例4】⑴将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．⑵若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．⑶求360的所有正约数的倒数和．(江苏省竞赛试题) 解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．【例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．(青少年国际城市邀请赛试题) 解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．能力训练A级1．若，，，为整数，=1997，则=________．2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则(－)＋(－)=__________．3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为__________．(“希望杯”邀请赛试题) 4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为____________．(北京市竞赛试题) 5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是( )A．4B．8C．12D．06．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个(“希望杯”邀请赛试题) 7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有()A．1个B．3 个C．5个D．6 个(“希望杯”邀请赛试题) 8．设，，都是质数，并且＋=，<．求．9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．(上海市竞赛试题)10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．(五城市联赛试题)11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)=1，试问这块地有多少平方米？(湖北省荆州市竞赛试题)B级1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为__________．2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，=×，则的值为__________．3．自然数，，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋＋的最大值为__________，最小值为____________．(“五羊杯”竞赛试题) 4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是_______________．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49－=_________．A．0B．2 007C．2 008D．2 010(“五羊杯”竞赛试题) 6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8，=88＋7，则在以下情形中，必定成立的是()A．，都是质数B．，都是合数C．，一个是质数，一个是合数 D．对不同的，以上皆可能出现(江西省竞赛试题) 7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋＋一定是合数．(北京市竞赛试题)8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：⑴6个数中任意两个都互质；⑵6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．专题01 质数那些事例1 34例2 C例3 3符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，，…，为a的正约数从小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x ＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。
【通用版】超级数学竞赛讲义专题1-4(共22讲,pdf版,含答案)
如果边 (vi , v j ), (vi , vk ) 具有相同的第 i 种颜色，则按边涂色的意义，点 v j 和 vk 也 相邻，且边 (v j , vk ) 也具有第 i 种颜色，所以对顶点 v1 来说，有两种情形：
例 3. 国际乒乓球男女混合双打大奖赛有 24 对选手参加，赛前一些选手握了手，但 同一对选手之间不握手。赛后某个男选手问每个选手的握手次数，各人的回答各不相同， 问这名男选手的女搭档和多少人握了手？
解 48 名选手用 48 个顶点 v, v0 , v1, v2 ,..., v46 表示，其中 v 代表那名男选手。两人
3.染色问题
数学竞赛中的染色问题主要有两类：一类是问题本身就是用染色的方式给出的；另 一类是借助于染色方式来解决问题。这些问题通常涉及到组合中的存在性问题、最值问
题、构造问题等。常用的方法有抽屉原理、极端原理、数学归纳法、反证法、算两次或 整体处理等。
二、典型例题选讲
例 1. 九名数学家在一次国际数学会议上相遇，发现他们中的任意三个人中，至少有
个顶点的完全图记为 Kn 。完全图 Kn 的边的数目是 Cn2
1 2
n(n
1) 。
2.K 部图
如果图 G 的顶点集 V 可以分解为 K 个两两不交且非空的子集的并，即
k
V Ui1Vi ,Vi Vj , i j,1 i, j k ，并且没有一条边其两个端点都在上述
同一子集内，我们称这样的图 G 为 K 部图，记作G (V1,V2 ,...,Vk ; E) 。
初中数学竞赛辅导资料(总24页)
初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第10讲 抛物线
第十讲 抛物线一般地说来，我们称函数c bx ax y ++=2 (a 、b 、c 为常数，0≠a )为x 的二次函数，其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：1．a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置；2．抛物线关于ab x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点(ab 2-，a b ac 442-)处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式：①一般式：c bx ax y ++=2；②顶点式：k h x a y +-=2)(；③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根． 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被x 轴所截得的弦长获得对称信息．【例题求解】【例1】 二次函数c bx x y ++=2的图象如图所示，则函数值0<y 时，对应x 的取值范围是 ．思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出b ，c 值，先求出0=y 时，对应x 的值．【例2】 已知抛物线c bx x y ++=2(a <0)经过点(一1，0)，且满足024>++c b a ．以下结论：①0>+b a ；②0>+c a ；③0>++-c b a ；④2252a ac b >-．其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定a 、b 、c 的符号；由特殊点的坐标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．【例3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN ＝4分米，抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD ，使矩形顶点B 、C 落在边MN 上，A 、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M 、N 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(x ，y )，建立含x 的方程，矩形铁皮的周长能否等于8分米，取决于求出x 的值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内．注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．【例4】 二次函数223212-++-=m x x y 的图象与x 轴交于A 、两点(点A 在点B 左边)，与y 轴交于C 点，且∠ACB ＝90°．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设计两种方案：作一条与y 轴不重合，与△A BC 两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC 相似，并且面积为△BOC 面积的41，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证明)．思路点拨 (1)A 、B 、C 三点坐标可用m 的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m 的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键．【例5】 已知函数1)1(2)2(22+--+=x a x a y ，其中自变量x 为正整数，a 也是正整数，求x 何值时，函数值最小．思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为23)2(212++-=+-=a a a a x ，因1230≤+<a ，12122-≤+-<-a a a a ，故函数的最小值只可能在x 取2-a ，2-a ，212+-a a 时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．学历训练1．如图，若抛物线2ax y =与四条直线1=x 、2=x 、1=y 、2=y 所围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 ．2．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为 ．3．如图，抛物线的对称轴是直线1=x ，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为(-l ，0)、(0，23)，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P 为此抛物线上位于x 轴上方的一个动点，则△ABP 面积的最大值为 ．4．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，且OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的式子①1442-=-ab ac ，②01=++b ac ，③0>abc ，④0>+-c b a ，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．5．已知1-<a ，点(1-a ，1y )，(a ，2y )，(1+a ，3y )都在函数2x y =的图象上，则( )A ．321y y y <<B ．231y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<6．把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为532+-=x x y ，则有( )A ．3=b ，7=cB ．9-=b ，15-=cC ．3=b ，c ＝3D ．9-=b ，21=c7．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则点(b a +，ac )所在的直角坐标系是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长x(m)的函数图象大致是( )9．阅读下面的文字后，回答问题：“已知：二次函数c=2的图象经过点A(0，a)，B(1，-2) ，求证：+bxy+ax这个二次函数图象的对称轴是直线2x．=题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．(1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说明理由．(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．10．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1. 8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?11．如图，抛物线和直线k=(0kx-y4k)与x轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线<的对称轴1-x与x轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．=12．抛物线c+=2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若△ABC是直角三角axy+bx形，则=ac．13．如图，已知直线3y与抛物线2x=x2+-y=相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于．14．已知二次函数c bx ax y ++=2，一次函数4)1(2k x k y --=．若它们的图象对于任意的实数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 ．15．如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式中不能总成立的是( )A ．b=0B ．S △ADC ＝c 2 C ．ac ＝一1D ．a+c ＝016．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称．根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( )A ．过点(3，0)B ．顶点是(2，一2)C ．在x 轴上截得的线段长为2D ．与y 轴的交点是(0，3)17．已知A(x 1，2002)，B(x 2，2002)是二次函数52++=bx ax y (0≠a )的图象上两21x x x += 时，二次函数的值是( )A ．522+a bB ．542+-ab C ． 2002 D ．518．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．19．如图，已知二次函数222-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，直线：x ＝m(m>1)与x 轴交于点D ．(1)求A 、B 、C 三点的坐标；(2)在直线x ＝m (m>1)上有一点P (点P 在第一象限)，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求P 点坐标(用含m 的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线222-=x y 上是否存在一点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形?如果存在这样的点Q ，请求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由．20．已知二次函数22--=x x y 及实数2->a ，求(1)函数在一2<x ≤a 的最小值；(2)函数在a ≤x ≤a+2的最小值．21．如图，在直角坐标：x O y 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，3-)，且在x 轴上截得的线段AB 的长为6．(1)求二次函数的解析式；(2)在y 轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC 最小，并求P 点坐标；(3)在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q 、A 、B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由．22．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a≠0)，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3的顶点的横坐标减少a 1，纵坐标增加，得到A 点的坐标；若把顶点的横坐标增加a 1，纵坐标增加a1，得到B 点的坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3上．(1)请你协助探求出当实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3的顶点．．所在直线的解析式； (2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；(3)在他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．参考答案。
(完整word版)初中数学竞赛辅导资料(七年级用)
初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B（B≠0）所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。
0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征:①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99(能11整除)又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除，∴y=6。
∵328＋92x ＝567,∴x=3例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5,8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0,4，8 ∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但(1＋2＋4）－(0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30,41，52，63,均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756 ②1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除,那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时,59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第30讲从创新构造入手
第三十讲从创新结构下手有些数学识题直接求解比较困难，可经过创建性结构转变问题而使问题获解．所谓结构法，就是综合运用各样知识和方法，依照问题的条件和结论给出的信息，把问题作适合的加工办理．结构与问题有关的数学模式，揭露问题的实质，进而交流解题思路的方法．结构法是一种创建性思想，是成立在对问题结构特色的深刻认识基础上的．结构法的基本形式是以已知条件为“原料” ，以所求结论为“方向”，结构一种新的数学形式，初中阶段常用的结构解题的基本方法有：1．结构方程；2．结构函数；3．结构图形；4．对于存在性问题，结构实例；5．对于错误的命题，结构反例；6．结构等价命题等．【例题求解】【例 1】设 a、 a、 b 、 b都为实数， a1a，知足 (a1b )( a b)(a2b )(a2b ) ，1212211212求证： (a1 b1 )(a 2b1 )(a1b2 )(a 2 b2 )1．思路点拨能够从睁开已知等式、按比率性质变形已知等式等角度试试．特色， a1、 a 2可看作方程(x b1 )( x b2 ) 1的两根，则( x b1 )( x b2 )认真察看已知等式1 ( x a1)( x a2 ) ，经过结构方程揭露题设条件与结论的内在规律，解题思路新奇而深刻．注：一般说来，结构法包括下述两层意思：利用抽象的广泛性，把实质问题转变为数学模型；利用详细问题的特别性，给所解决的问题设计一个框架，重申数学应用的数学建模是前一层意思的代表，尔后一层意思的“框架”含义更加宽泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等．【例 2】求代数式x 2 2x2x24x 13 的最小值．思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．x 22x2x 24x 13( x1) 2(0 1)2( x 2)2(0 3) 2，于是问题转变为：在x轴上求一点 C(1 ，0)，使它到两点A( 一 1，1)和 B(2， 3)的距离和 (CA+CB) 最小，利用对称性可求出 C 点坐标．这样，经过结构图形而使问题获解．【例 3】已知b、 c 为整数，方程52bx c 0的两根都大于1且小于 0，求 b 和c的值．x思路点拨利用求根公式，解不等式组求出 b 、c的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．因为二次函数与二次方程有深刻的内在联系，结构函数，令y 5x2bx c ，从议论抛物线与x 轴交点在 1 与0 之间所知足的拘束条件下手．【例 4】如图，在矩形ABCD 中， AD= a，AB= b ，问：可否在Ab 边上找一点E，使 E 点与 C、D 的连线将此矩形分红三个相互相像的三角形?若能找到，这样的 E 点有几个 ?若不可以找到，请说明原因．思路点拨假定在 AB 边上存在点 E，使 Rt△ADE ∽ Rt△ BEC ∽ Rt△ ECD ，又设 AE= x，则AD BE ，即 a b x ，于是将问题转变为对于x 的一元二次方程能否有实根，在必定条AE BC x a件下有几个实根的研究，经过结构方程解决问题．【例 5】试证：世界上任何 6 个人，总有 3 人相互认识或许相互不认识．思路点拨结构图形解题，我们把“人”看作“点”，把2个人之间的关系看作染成颜色的线段．比方 2 个人相互认识就把连结 2 个人的对应点的线段染成红色； 2 个人相互不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有 3 个人相互认识就是存在一个 3 边都是红色的三角形，不然就是存在一个 3 边都是蓝色的三角形，这样此题就化作：已知有 6 个点，任何 3 点不共线，每 2 点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色，而且一条边只好染成一种颜色．证明：不论怎么染色，总能够找出三边同色的三角形．注：“数缺形时少直观，形缺乏时难入微”数形相助是一种重要的思想方法，主要表此刻：(1)几何问题代数化；(2)利用图形图表解代数问题；(3)结构函数，借用函数图象商讨方程的解．利用代数法解几何题，常常是以较少的量的字母表示有关的几何量，依据几何图形性质列出代数式或方程 (组 )，再进行计算或证明．特别地，证明几何存在性的问题可结构方程，利用一元二次方程必然有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，议论几何图形地点的可能性．有些问题可经过改变形式或换个说法，结构等价命题或协助命题，使问题清楚且易于把握．对于存在性问题，可依据问题要求结构出一个知足条件的结论对象，即所谓的存在性问题的“结构性证明” ．学历训练1．若对于 x 的方程 (1 m 2 )x 2 2mx 10 的全部根都是比 1 小的正实数， 则实数 m 的取值范围是．2．已知 a 、 b 、 c 、 d 是四个不一样的有理数，且(a c)( a d) 1 ， (b c)(b d )1 ，那么(a c)(b c) 的值是．3．代数式x 24(12 x)29 的最小值为．4． A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F 六个足球队单循环赛，已知 A 、 B 、 C 、D 、E 五个队已经分别比赛了 5、 4、 3、 2、 1 场，则还未与 B 队比赛的球队是．5．若实数 a 、 b 知足 a 2ab b21 ，且 tab a 2 b 2 ，则 t 的取值范围是．6．设实数分别 s 、 t 分别知足 19s299s 1 0 ， t299t 190 ，而且 st 1 ，求st4s 1 的t值．7．已知实数 a 、 b 、 c 知足 (a c)(a bc) 0 ，求证： (b c) 24a(a bc) ．8．写出 10 个不一样的自然数，使得它们中的每个是这 10 个数和的一个约数，并说明写出的10 个自然数切合题设条件的原因．9．求全部的实数 x ，使得 xx1 1 1 ．xx10．假如不全为零且绝对值都小于6的整数．求证： a 2b 3c110 1021 ．11．已知对于 x 的方程 x 2 2 3x 1 k 有四个不一样的实根，求 k 的取值范围．12．设 0 x ，y ，z 1 0，求证x(1 y)y(1 z) z(1 x) 1 ．13．从自然数 l ， 2， 3， 354 中任取 178 个数，试证：此中必有两个数，它们的差为177． 14．已知 a 、 b 、 c 、 d 、 e 是知足 abc d e 8 ， a 2 b 2 c 2 d 2e 16 的实数，试确立 e 的最大值．15．如图，已知一等腰梯形，其底为 a 和 b ，高为 h ．(1) 在梯形的对称轴上求作点 P ，使从点 P 看两腰的视角为直角；(2) 求点 P 到两底边的距离；(3) 在什么条件下可作出 P 点 ?参照答案。
初中数学竞赛辅导讲义(总77页)
初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2． 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第3讲充满活力的韦达定理
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要表达在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的根本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 α、β是方程012=--x x 的两个实数根，那么代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)假设这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第28讲 避免漏解的奥秘
第二十八讲 避免漏解的奥秘“会而不对，对而不全”，这是许多同学在解题时无法避免而又屡犯不止的错误，提高解题周密性，避免漏解的奥秘在于：掌握分类讨论法，学会分类讨论．分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整为零、各个击破的转化策略．解题时何时需要进行分类?一般来说，当问题包含的因素发生变化，问题结果也相应发生变化，我们就需要对这一关键因素分类讨论，怎样进行正确分类?分类的基本要求是不重复、不遗漏，每次分类必须保持同一的分类标准，多级讨论，逐级进行．【例题求解】【例1】 四条线段的长分别为9，5，x ，1(其中x 为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段(如图)，则x 可取值的个数为 ．思路点拨 AB 是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x ，又CD 长不定，所以应就AB 、CD 的取值作全面讨论．注：初中数学常见的分类方法有：(1)按定义、性质、法则、公式分类；(2)对参数分类；(3)按图形位置分类；(4)按图形特征分类；(5)按余数分类．注：参数是较为常见的分类对象，因为参数的不同取值，可能导致不同的运算结果，或者必须使用不同的方法去解决，这一分类方法在方程、不等式、函数中有广泛的应用．【例2】 方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5思路点拨 这是一个特殊的幂指数方程问题，根据幂指数的意义，可将原问题分成三个并列的简单问题求解：(1)非零实数的零次幂等于1；(2)1的任何次幂等于1；(3)1-的偶次幂等于1．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程023)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨 根据方程定义，r 是否为零影响方程的次数，这是质的不同，解法也不同，所以，应对r=0及r ≠0两种情况分类求解．【例4】 已知一三角形纸片ABC ，面积为25，BC 边的长为10，∠B 和∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与点A 、B 不重合)．过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ．设MN=x ．(1)用x 表示△AMN 的面积S △AMN ；(2)用△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BCNM(边AM 、AN 落在四边形BCNM 所在的平面内)，设点A 落在平面BCNM 内的点为A ′，△A ′MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ．①试求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②当x 为何值时重叠部分的面积y 最大，最大为多少?思路点拨 折叠△AMN ，A 点位置不确定，可能在△ABC 内或在BC 边上或在△ABC 外，故需按以上三种情况分别求出y 关于x 的函数关系式，进而求出y 的最大值．注：有关平面几何问题，经常按图形相互之间的位置进行分类，因为图形存在不同的位置关系，其解答结果可能不同，也可能需要使用不同的方法解决，初中平面几何按位置关系分类，最终一般都归结为点、直线和圆之间的位置关系．【例5】 已知⊙O l 与⊙O 2外切，⊙O l 的半径R=2，设⊙O 2的半径是r ．(1)如果⊙O l 与⊙O 2的圆心距d=4，求r 的值；(2)如果⊙O l 、⊙O 2的公切线中有两条互相垂直，并且r ≤R ，求r 的值．思路点拨 题中没有给出图形，题设中外切两圆的公切线中有两条互相垂直，情况不惟一，故应分类讨论．注：中考压轴题分类讨论有以下常见情形：(1)由点的不确定定引起的分类讨论；(2)由图形全等或相似的对应关系的不确定性引起的分类讨论；(3)由图形运动导致图形之间位置发生变化引起的分类讨论．学力训练1．已知m 为实数，如果函数62)4(2----=m mx x m y 的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的取值为 ．2．若实数a 、b 满足0582=+-a a ，0582=+-b b ，则1111--+--b a a b 的值为 ． 3．若半径为5和4的两个圆相交，且公共弦长为6，则它们的圆心距等于 ．4．已知⊙O 和不在⊙O 上的一点P ，过P 直线交⊙O 于A 、B 点，若PA ·PB=4，OP=5，则⊙O 的半径为 ．5．和抛物线11082+-=x x y 只有一个公共点(-1，-1)的直线解析式为( )A ．76--=x yB ．1-=xC ．76--=x y 或1-=xD ．1-=y6．若线段AB 两端点到直线l 的距离分别为4和8，则AB 的中点到直线l 的距离是( )A ．2B ．4C ．6D ．2或67．点A(-4，0)，B(2，0)是xoy 坐标平面上两定点，C 是221+-=x y 的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC 可以画出( )A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个8．如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB 上的点P 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的P 点有( )A ．1个B ． 2个C ．3个D ．4个9．已知关于x 的方程022)13(22=+++-k k x k x ．(1)求证：无论k 是取何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长6=a ，另两边长为b 、c 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．10．已知：如图，抛物线C 1经过A ，B ，C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一个交点为E ．（1）求抛物线C 1的解析式；（2）求四边形ABCD 的面积；（3）△AOB 与△BDE 是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线C 1的对称轴与x 轴交于点F ，另一条抛物线C 2经过点E （抛物线C 2与抛物线C 1不重合），且顶点为M （a ，b ），对称轴与x 轴相交于点G ，且以M ，G ，E 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形全等，求a ，b 的值（只需写出结果，不必写出解答过程）11．以O 为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm 和5cm ，⊙O ′与这两个圆都相切，则⊙O ′的半径是 ．12．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角B 的大小为 ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是 ．14．已知点A(0，6)，B(3，0)，C(2，0)，M(0，m)，其中m<6，以M 为圆心，MC 为半径作圆，那么当m= 时，⊙M 与直线AB 相切．15．关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值．16．华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下：(1)若一次购物少于200元，则不予优惠；(2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；(3)若一次购物超过500元，其中500元的部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元，现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少?17．如图，已知：△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；(2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ 的长．18．已知关于x 的方程0)1(2=+++-p x q p x (q ≥0)的两个实数根为α，β且α≤β．(1)试用含有α，β的代数式表示p 和q ；(2)求证：α≤1≤β(3)若以α，β为坐标的点M(α，β)在△ABC 的三条边上运动，且△ABC 顶点的坐标分别为A(1，2)，B(21，1)，C(1，1)，问是否存在点M 使p +q =45，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙表示的抛物线段表示．(1)写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系)(t f P =；写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式)(t g Q =．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?(注：市场售价和种植成本的单位：元／102㎏，时间单位：天)参考答案。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第8讲 由常量数学到变量数学
第八讲由常量数学到变量数学数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系形成的常量数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．函数是数学中最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念及画法．在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数解析式是研究函数的两大重要课题．【例题求解】【例1】在平面直角坐标系内，已知点A(2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB 为直角三角形，则点P的个数为．思路点拨先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结AB，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0，x)，运用几何知识建立x的方程．注：点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：(1)利用几何计算求；(2)通过解析式求；(3)解由解析式联立的方程组求．【例2】如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽．水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是下列图象中的( )思路点拨向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高0h．注：实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出来，如心电图、，股市行情走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展变化趋势等有关信息中获得启示．【例3】南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．(1)如果用Wl 、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出Wl 、W2、W3与小x间的函数关系式．(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?思路点拨每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离变化而变化，由Wl —W2＝0，W2一W3=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．【例4】已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为(23，8)．(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；(2)写出A、B两点的坐标；(3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F 关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．思路点拨 (1)关键是探求点A是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy与∠CAD的大小；(2)利用解直角三角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可能关于直线DC对称．注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关系、数据而抽象、归纳建立函数的模型．【例5】如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A 的右侧作正方形PQMN ，记PQMN 与矩形EDBF 的公共部分的面积为y ．(1)当AP ＝3cm 时，求的值；(2)设AP=cm 时，求y 与x 的函数关系式；(3)当y=2cm 2，试确定点P 的位置．(2001年天津市中考题) 思路点拨 对于(2)，由于点P 的位置不同，y 与x 之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于(3)，由相应函数解析式求x 值．注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代入相应的等量关系式，需要注意的是：(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法． 学力训练1． 如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB ＝90°，有直角三角形与Rt △ABO 全等且以AB 为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 ．2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)．3．根据指令[S ，A](S ≥0，0°<A<180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴的正方向，(1)若给机器人下了一个指令[4，60°]，则机器人应移动到点 ；(2)请你给机器人下一个指令 ，使其移动到点(一5，5)．4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴的夹角为60°，且点A 的坐标为(一2，0)，点B 在x 轴上方，设AB ＝a ，那么点B 的横坐标为( )A ．22a -B ．22a +C ．22a --D ．22a +-5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时间(分钟的关系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是( )A ．爸爸登山时，小军已走了50米B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面C ．小军比爸爸晚到山顶D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快6．若函数m x x y ++=212的自变量x 的取值范围为一切实数，则m 的取值范围是( )A ．m<lB ．m=1C ． m>lD ．m ≤17．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐标(不必写出计算过程)．8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y ，请写出y 与n (n 表示第n 个图形)的函数关系式；(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n 的值；(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖?(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么?9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD ，它的4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标都是整数的点)．10．如图，已知边长为l 的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第一象限内，OA与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标是 ．11．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所示在与x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个粒子所处位置为 ．12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个13．已知点P 的坐标是(a +2l ，b +2)，这里a 、b 是有理数，PA 、PB 分别是点P 到x 轴和y 轴的垂线段，且矩形OAPB 的面积为2，则P 点可能出现的象限有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．甲、乙二人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度Vl与V2(Vi<V2)，甲用一半的路程使用速度Vl、另一半的路程使用速度V2；关于甲乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴t 表示时间，纵轴s表示路程，其中正确的图示分析为( )A．图(1) B．图(1)或图(2) C．图(3) D．图(4)15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民每月工资、薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元的部分为全月应纳税所得额，都应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表：级别…(1)某公民2002年10月的总收人为1350元，问他应交税款多少元?(2)设表示每月收入(单位：元)，y表示应交税款(单位：元)，当1300<x≤2800时，请写出y关于x的函数关系式；(3)某企业高级职员2002年11月应交税款55元，问该月他的总收入是多少元? 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上任意一点(A、B两点除外)，过D作AB垂线与△ABC的直角边相交于E，设AD=x，△ADE的面积为y，当点D在AB上移动时，求y关于x之间的函数关系式．17．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用6000元，使用月型车厢每节费用为8000元．(1)设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的函数关系式；(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节月型B车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案?(3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元?18．如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，3)．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位；点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．(1)设从出发起运动了x秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC 上或在CB上时的坐标(用含x的代数式表示)；(2)设从出发起运动了x秒，如果点P与点Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，①试用含x的代数式表示这时点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同时把梯形OABC的面积也分成相等的两部分?如有可能，求出相应的x的值和P、Q的坐标；如不可能，请说明理由．参考答案。
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（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美.降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个.思路点拨: 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程.【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨: 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=.【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a .思路点拨: 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和.思路点拨: 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值. 思路点拨: 运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值.注: 一元二次方程常见的变形形式有:(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x .解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222x x x ==.走进追问求根公式学历训练1、已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 .2、已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 .3、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .4、若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )A 、b a =B 、0=+b aC 、1=+b aD 、1-=+b a5、当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )A 、1-<xB 、4>xC 、41<<-xD 、1-≠x 且4≠x 6、方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 7、解下列关于x 的方程:(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+.8、已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值.9、是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由. 注: 解公共根问题的基本策略是: 当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口.10、若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ .11、已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 . 12、已知a 是方程020002=--x x 的一个正根. 则代数式a200012000120003+++的值为 .13、对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )A 、1B 、2C 、3D 、2．5 14、自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n nn n n n ，这样的n 的个数是( )A 、2B 、1C 、3D 、4 15、已知a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么ab的值是( ) A 、215+ B 、251- C 、251+- D 、251-- 16、已知3819-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值.17、已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值.18、在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形: 将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为32811，求n 的值.19、已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值.20、如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证: ABBS需为无理数.参考答案第二讲 判别式——二次方程根的检测器为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性: 如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等. 我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用:利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题. 【例题求解】【例1】 已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 . (广西中考题)思路点拨: 利用判别式建立关于k 的不等式组，注意k 21-、1+k 的隐含制约. 注: 运用判别式解题，需要注意的是:(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识.【例2】 已知三个关于y 的方程: 02=+-a y y ，012)1(2=++-y y a 和012)2(2=-+-y y a ，若其中至少有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是( ) （山东省竞赛题）A 、2≤aB 、41≤a 或21≤≤x C 、1≥a D 、141≤≤a 思路点拨: “至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a 的不等式组，综合判断选择.【例3】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，(1)求证: 无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长. (湖北省荆门市中考题)思路点拨: 对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分c b =或b 、c 中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b 、c 的值.注: （1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍.（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法.【例4】 设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根. (重庆市竞赛题)思路点拨: 去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零.【例5】已知: 如图，矩形ABCD 中，AD ＝a ，DC ＝b ，在 AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE ＝x ，问: 这样的点E 是否存在?若存在， 这样的点E 有几个?请说明理由. (云南省中考题)思路点拨: 要使Rt △ADE 、Rt △BEC 、Rt △ECD 彼此相似，点E 必须满足∠AED+∠BEC ＝90°，为此，可设在AE 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽Rt △BEC ，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E 的存在与否及存在的个数.注: 有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有:(1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造； (3)确定主元构造.判别式——二次方程根的检测器学力训练1、已知014=+++b a ，若方程02=++b ax kx 有两个相等的实数根，则k = .2、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 .(辽宁省中考题)3、已知关于x 方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数解，化简4422+-+--k k k = .4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A 、43<m B 、43≤m C 、43>m 且2≠m D 、43<m 且2±≠m (山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为( )A 、有两个相等的实数根B 、没有实数根C 、有两个不相等的实数根D 、无法确定 (河南省中考题)6、如果关于x 的方程0)1(2)2(2=+---m x m x m 只有一个实数根，那么方程0)4()2(2=-++-m x m mx 的根的情况是( )A 、没有实数根B 、有两个不相等的实数根C 、有两个相等的实数根D 、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC 中，∠ A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3=a ，b 和c 是 关于x 的方程02122=-++m mx x 的两个实数根，求△ABC 的周长. (济南市中考题)8、已知关于x 的方程063)2(22=-+-+m x m x(1)求证: 无论m 取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两实根分别为1x 、2x ，满足1x =32x ，求实数m 的值. (盐城市中考题)9、a 、b 为实数，关于x 的方程22=++b ax x 有三个不等的实数根.(1)求证: 0842=--b a ；(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°； (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a 和b 的值. (江苏省苏州市中考题)10、关于的两个方程03242=+++m mx x ，0)12(22=+++m x m x 中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是 . (2002年四川省竞赛题)11、当a = ，b = 时，方程0)2443()1(2222=++++++b ab a x a x 有实数根. (全国初中数学联赛试题)12、若方程a x x =-52有且只有相异二实根，则a 的取值范围是 .13、如果关于x 的方程05)2(22=+++-m x m mx 没有实数根，那么关于x 的方程0)2(2)5(2=++--m x m x m 的实根的个数( ) A 、2 B 、1 C 、0 D 、不能确定14、已知一元二次方程02=++c bx x ，且b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( ) A 、12个 B 、10个 C 、7个 D 、5个 (河南省中考题)15、已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且满足方程0)(22222=+---b x b a c ax ，则方程根的情况是( ) A 、有两相等实根 B 、有两相异实根 C 、无实根 D 、不能确定 (河北省竞赛题) 16、若a 、b 、c 、d>0，证明: 在方程02212=+++cd x b a x ①；02212=+++ad x c b x ②；02212=+++ab x d c x ③；02212=+++bc x a d x ④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根. (湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，abc ＝1，求证: a 、b 、c 中至少有一个大于23.18、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数是的值. (山东省竞赛题)19、考虑方程b a x x =+-22)10(①(1)若a =24，求一个实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式.(2)若a ≥25，是否存在实数b ，使得恰有3个不同的实数x 满足①式?说明你的结论. (国家理科实验班招生试题)20、如图，已知边长为a 的正方形ABCD 内接于边长为b 的正方形EFGH ，试求ab的取值范围.参考答案第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在: 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等.韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路.韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法. 【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 . 思路点拨: 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨: 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件.注: 应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧:(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式.【例3】 已知关于x 的方程: 04)2(22=---m x m x(1)求证: 无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x .思路点拨: 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手.【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值.思路点拨: 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的.注: 应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性. 【例5】 已知: 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根.(1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由.(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．思路点拨: 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式.注: 在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．充满活力的韦达定理学历训练1、(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 .(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 .2、已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 .3、CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 .4、设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( ) A ．1，-3 B ．1，3 C ．-1，-3 D ．-1，35、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 6、方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．217、若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式: )1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8、已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x . (1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足: 312=+x x ，求k 的值.9、已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 .10、已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 .11、△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 .12、两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则baa b +的值是( )A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．97941313、设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14、如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤115、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根.(1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16、设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .(1) 若62221=+x x ，求m 的值. （2）求22212111x mx x mx -+-的最大值.17、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2: BC 2＝2: 1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值.18、设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值.参考答案第四讲 明快简捷—构造方程的妙用有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能运用一元二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是: 1．利用根的定义构造当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根． 2．利用韦达定理逆定理构造若问题中有形如a y x =+，b xy =的关系式时，则x 、y 可看作方程02=+-b az z 的两实根． 3．确定主元构造对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程． 成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果．注: 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例是常用构造方法． 【例题求解】【例1】 已知x 、y 是正整数，并且23=++y x xy ，12022=+xy y x ，则=+22y x ．思路点拨 xy y x y x 2)(222-+=+，变形题设条件，可视y x +、xy 为某个一元二次方程两根，这样问题可从整体上获得简解．【例2】 若1≠ab ，且有09200152=++a a 及05200192=++b b ，则ba的值是( ) A ．59 B ．95C ．52001-D ．92001-思路点拨 第二个方程可变形为09200152=++b b ，这样两个方程具有相同的结构，从利用定义构造方程入手．【例3】 已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，求t 的取值范围．思路点拨 由两个等式可求出b a +、ab 的表达式，这样既可以从配方法入手，又能从构造方程的角度去探索，有较大的思维空间．【例4】 已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ． (1)求a 、b 、c 中最大者的最小值； (2)求3=++c b a 的最小值．思路点拨 不妨设a ≥b ，a ≥c ，由条件得a c b -=+2，abc 4=．构造以b 、c 为实根的一元二次方程，通过△≥0探求a 的取值范围，并以此为基础去解(2)．注: 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式， 缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数． (2003年全国初中数学联赛试题)思路点拨 设前后两个二位数分别为x ，y ，则有y x y x +=+100)(2，将此方程整理成关于x (或y )的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y (或x )的取值范围．学历训练1．若方程01)32(22=+--x m x m 的两个实数根的倒数和是s ，则s 的取值范围是 ．2．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5，CD ⊥AB ，已知BC 、AC 是一元二次方程0)1(4)12(2=-+--m x m x 的两个根，则m 的值是 ．3．已知a 、b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，则abb a += ． 4．已知012=-+αα，012=-+ββ，，则βααβ++的值为( )A ．2B ．-2C ．-1D ． 05．已知梯形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB ＝4，S △COD ＝9，则四边形ABCD 的面积S 的最小值为( )A ．21B ． 25C ．26D ． 366．如图，菱形A6CD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程的根，则m 的值为( )A ．一3B ．5C ．5或一3 n 一5或37．已知0522=--p p ，01252=-+q q ，其中p 、q 为实数，求221q p +的值．8．已知x 和y 是正整数，并且满足条件71=++y x xy ，88022=+xy y x ，求22y x +的值．9．已知05232=--m m ，03252=-+n n ，其中m 、n 为实数，则nm 1-＝ ．10．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式14162222++=+a a c b 与542--=a a bc ，那么a 的取值范围是 ．11．已知017101422522==--++y x xy y x ，则x = ，y = ．；12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ，若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两点，BD=BC ，CE ⊥CD ，则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是 ．13．已知a 、b 、c 均为实数，且0=++c b a ，2=abc ，求c b a ++的最小值．14．设实数a 、b 、c 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+--066078222a bc c b a bc a ，求a 的取值范围． 15．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，813=∆ABCABCD S S 梯形，梯形的高AE=235，且401311=+BC AD ． (1)求∠B 的度数；(2)设点M 为梯形对角线AC 上一点，DM 的延长线与BC 相交于点F ，当323125=∆ADM S ，求作以CF 、DF 的长为根的一元二次方程．16．如图，已知△ABC 和平行于BC 的直线DE ，且△BDE 的面积等于定值2k ，那么当2k 与△BDE 之间满足什么关系时，存在直线DE ，有几条?参考答案第五讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有:从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注: 一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注: 系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】 已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么baa b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121思路点拨 由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注: 一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】 若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有 ．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝ ．3．给出四个命题: ①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是 ．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ． 5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根．(山西省竞赛题)6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证: 1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0； (2)求证: 11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道: “作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】 若0515285222=-+-+-x x x x ，则1522--x x 的值为 ．思路点拨 视x x 522-为整体，令y x x =-522，用换元法求出y 即可．【例2】 若方程x x p -=-2有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是( )A ．1->pB ．0≤pC ．01≤<-pD ．01<≤-p思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注02≥-=-x x p 的隐含制约．注: 转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化: 实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．解下列方程:（1）121193482232222=+-++-++x x x x x x xx ；。