2011第三章土的弹塑性模型2

n
式中：c、φ来自侧向加载试验。 同样，若假设不同应力路径的强度指标一致，Ko固结 侧向加载条件下的切线弹性模量公式如下：
ac Et Kpa pa
n
ac 1 sin r 1 sin 1 R f 2 2c cos 3 ac sin ac sin
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型
2
◆ 侧向卸载条件下的切线弹性模量
ac Et Kpa pa
式中：
n
ac
ac 1 sin r 1 sin 1 R f 2 2c cos ac sin ac sin
§3.4 弹塑性模型简介
弹塑性模型简介
§3.4 弹塑性模型简介
弹塑性模型又称本构模型
其最终目的（实质）就是求各种应力～应变 条件下的E、μ值，供各种应力条件下： ——弹性变形条件； ——弹塑性变形条件； ——塑性变形条件； ——粘弹性变形条件； 变形分析（计 算）用。
寻求的是：应力、 应变关系！
§3.4 弹塑性模型简介
E~

模型
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型 1、切线弹性模量
其目的就是通过常规三轴压缩试验曲线，找出一个 该模型是通过非线性数学表达式，建立应力状态改 变过程中弹性常数、与偏应力（ σ1 - σ3）之间的双曲 共同的数学表达式，并从这个表达式出发，推导出 切线模量 Et的计算公式，以供增量弹性分析之用,我 线函数，从而更客观地反映非线性材料的应力应变 关系。E——μ模型。 们简称
一、 E 模型
1 此时: a Ei
b
R f 1 sin 2c cos 2 3 sin
可见，a，b均是 3 的函数。 由求解的公式可知，该模量与所研究土体的c、φ强度 指标，与K、n、Rf有关，是固结压力σ3的函数。 此时，弹性常数的线性表达式已不适用， 而应采用受荷过程中的增量弹性模量表达式。
2
式中各符号意义同前
a r ac rc f 其中Rf仍为 R f r ac rc u a
§3.4 弹塑性模型简介
◆
n
一、 E 模型 轴向卸载条件下的切线弹性模量Et
a ac 1 sin 1 R f 2c cos 2 rc sin ac rc 1 sin
其中邓肯-张（Duncan-Chang）模型被国内外较为广 泛的应用。 首先，考特纳(Kondner)建议 采用双曲线表示（ σd – ε1） 曲线，对于常规三轴压缩试验， 当σ3为常数时，有：
1 d 1 3 a b1
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型 式中：a，b为试验常数。
式中：G、F——为试验常数。 如仿照前面的作法时,则为图中直线的截距与斜率。 切线泊桑比公式为
3 G F lg p a t 2 1 A
式中：A为试验常数。
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型
三、回弹模量 动荷载作用下，土体由加荷到卸荷过程中，（ 1 - 3 ）~
1 d a b1
d Ei 1 1 0
-
1 a
该模量 E i 为初始弹性模量，在（ 1 - 3 ）~ 曲线上 任取一间隔段求导，即为该增量区段内的切线模量：
( 1 3 ) Et 1
§3.4 弹塑性模型简介
2
◆ 侧向加载条件下的切线弹性模量Et
rc r 1 sin ac Et Kpa 1 R f 2c cos 2 ac sin ac rc 1 sin pa
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型
邓肯-张模型采用非线性弹性常数，反映了土体变形 的主要规律，其双曲线函数由常规三轴试验确定、 参数少，适用于粘性土、砂土及σ3接近常数的岩土 工程问题。
不宜用于密砂及严重超固结土，它不能考虑应力 路径对该模量的影响。 2003年以来，国内河海大学等单位，对常规三轴 仪进行改进，完成了轴向卸载、侧向加载及侧向 卸载不同应力路径下切线模量公式的推导工作， 对双曲线模型进一步给予完善，并通过试验进行 了验证。
直线斜率为n，于是切线弹性模量可求。
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型
二、切线泊桑比 泊桑比是在受荷过程中，土体侧向应变εr与轴向应变 εa的比值。
库哈威（Kulhawy）与邓肯将三轴试验中εr 、 εa 数据用双曲线函数表达，此关系曲线如图所示。
a ——轴向应变。
a
r ——侧向应变。
2
rc Et Kpa pa
式中：c、φ来自轴向卸载试验。 若假设不同应力路径的强度指标一致，对于 K0固结， 上式可简化为：
rc Et Kpa pa
n
a 1 sin rc 1 sin 1 R f 2 2c cos 1 sin rc sin 3 rc sin
1 3 1

一、 E 模型
1 d
如将图中的坐标系纵轴变为
b 1
1 a b 1 d
1 1 E d
0
a
1
1 3 f Rf 1 3 ult
破坏时强度 σ1 -σ3 的极限值
即弹性模量的倒数。 该直线纵轴截距为 a 1 Ei Rf 斜率： b 1 3 f 式中 R f 为破坏比。 Rf的取值在 0.75~1.0之间。
其中的K、n如何确定呢？
§3.4 弹塑性模型简介
lg Ei pa
一、 E 模型
K、n的确定方法如图所示 n
lg K
3
pa
3 将公式 Ei Kpa pa
lg
n
0
lg( Ei / pa ) ~ lg( 3 / pa ) 关系曲线
两侧取对数，即 使幂函数转换为 直线函数， 此时图中直线截距为logK，
1 Ei
2
R f 1 Ei 1 3 f
式中： S1为应力 3 S 水平，反映强 (1 3 ) f 度发挥的程度 将此 式回 代得
根 据
1 R 1 13 31 1 3 f 1 1 1 Rf Ei Ei 1 1 3 f 3 f
在双对数纸上点绘 lg( Eur pa ) ~ lg( 3 pa ) 关系曲线，得 一直线，如图所示，其截距为 lg Kur ，斜率为 n 。
lg Eur pa
回弹模量可由下式计算：
3 Eur K ur pa pa
n
n
lg K ur
3
pa
lg
0
lg( Eur pa ) ~ lg( 3 pa ) 关系曲线
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型
在三轴试验中，随 3 取值不同，（ 1 - 3 ）~ 1 曲线 将不同。 邓肯-张提出这些试验曲线可用下式表达:
1 1 3 1 1 Rf a Ei 1 3 f
1 1 3
Ei
b
或
1 3 1 Rf 1 3 f
3 Ei Kpa pa
n
Et 1 R f S
2


2
Ei
R f 1 sin 1 3 3 Et 1 Kpa 2c cos 2 3 sin pa
n
§3.4 弹塑性模型简介
1 曲线如图所示。
OA为加荷状态的应力应变 关系曲线，其斜率为 Et ； AB为卸荷曲线， 其斜率为 Eur 。 邓肯等人假定 ： Eur 不 随（ 1 3）变化，仅 随 3 而变。
0
B 加荷与卸荷曲线
1 3
加荷
Et
A 卸 荷 E ur
a
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型
Et 1 R f S


2
Ei
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型
Et Et 2 2 1 RR f 1S f 1 Ei 1 3 f 1 Rf S
Et
1E E i i
Ei 1 3 R f 1 3 1 2 1 1 R Eif S R f S 3 f 1 1 Rf S
Ei 为 3 的函数， 式中：
随σ 3而变动,可采用下 式计算：
3 Ei Kpa pa
n
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型
式中：pa为大气压，K、n为试验常数， 对不同的土类，K值可能小于100，也可能大于 3500；n值一般在0.2~1.0之间。 因为切线模量 1 3 Et 1 1
——轴向固结压力， ——侧向应力
r
a r ac rc f Rf a r ac rc u
式中，
a 、 r 分别为轴向、径向应力，
rc 为侧向固结压力。
§3.4 弹塑性模型简介
一、 E 模型

1 Ei
Et 1 R f S


2
Ei
Rf ( 1 3 ) 1 g ( 1 3 ) R f Ei 1 3 f Ei [1 ( 1 3 ) f 1 3 S (1 3 ) f