完全平方数答案

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【小升初专项训练】8 完全平方数性质

第12讲完全平方数性质第一关完全平方数的推断【例1】**45,19*8,23*1,3*49是四个四位数，其中“*”代表不能辨认的数字，若其中有一个数是完成平方数，那么这个数是___________.【答案】3*49【例2】有一个1000位的数，它由888个1和112个0组成，这个数是否是完全平方数？【答案】否【例3】一个一百位数由1个1，2个2，3个3，4个4，5个5，6个6，7个7，及72个0组成．问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？【答案】不行能【例4】用3个1，5个3，2个9，1个5，1个4，和若干个0组成的数可不行能是完全平方数？【答案】可能【例5】小泉投掷两颗骰子，他投掷一次，消灭的两个点数构成的两位数正好是一个完全平方数的概率是多少？【答案】2 9其次关求完全平方数【学问点】1．完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．2．性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．性质3：假如完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字肯定是6；反之，假如完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字肯定是奇数．性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型．性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型．性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．【例6】下面是一个算式：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6，这个算式的得数能否是某个数的平方？【答案】否【例7】1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是哪个数的平方？【答案】7777777【例8】一个整数a与108的乘积是一个完全平方数，这个平方数是多少？【答案】324【例9】360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？【答案】160【例10】一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．则a的最小值是多少？【答案】30【例11】自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是多少？【答案】110【例12】已知14，37，75和a四个数的乘积是一个数的平方，则a最小是多少？【答案】1554【例13】一个大于0的整数A加上一个大于1的整数B后，是一个完全平方数，A+B2后仍是一个完全平方数，当满足条件的B最小时，A是多少？【答案】11【例14】已知自然数n满足：12除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是多少？【答案】3【例15】自然数N是一个不超过100的完全平方数，它减去13或加上15后，得到的数都是完全平方数，求N。

2完全平方数答案

完全平方数完全平方数是数论中较为常见的一类问题，经常出现在各种数学竞赛中.在解决完全平方数的有关问题时，需要用到完全平方数的性质及整数的有关知识，比如：（1）完全平方数2n 的个位数字只能是0、1、4、5、6、9；（2） 2n 的十位数字为奇数，当且仅当2n 的个数字是6；（3） 2n 的个位数字为5则2n 的十位数字为2. 上述特征可概括为：完全平方数的未两个数只能是0偶、1偶、4偶、9偶、25、6奇之一.从上面的性质我们还不难分析出，完全平方数的下列性质：（4）形如3+2k 、42k +、43k +()k Z ∈的数不是完全平方数；（5）设p 为质数，a 是完全平方数，若|p a ，则2|.p a1 利用完全平方的特征例1.求最小的正整数n ，使得322n n +是一个奇数的完全平方数.解：由322n n +2(2)n n =+为奇数，可知n 为奇数.要使2(2)n n +为完全平方数，则2n +为完全平方数，所以最小的整数7.n =例2.设n 是一个正整数，A 是一个2n 位数，且每个数位上的数字均为4，B 是一个n 位数，且每个数位上的数字均为8.证明：24A B ++是一个完全平方数. （第七届巴尔干地区数学奥林匹克）证明：注意到24(101)9n A =-，8(101)9n B =-，故241624(101)(101)499n n A B ++=-+-+2416161010999n n =⨯+⨯+22104().3n ⨯+= 因为3|(2104)n ⨯+，所以，24A B ++是一个完全平方数.2 引入参数例3.设m 、n 是正整数，且满足22220012002m m n n +=+ ○1 证明：m n -是一个完全平方数. （2002澳大利亚数学奥林匹克）证明：由已知得m n >，设()m n k k N +=+∈.则式○1化为 22400220010n nk k k ---=，即222(2001)(2001)2001(200120021).n k k k k k k -=++=⨯+因为(,200120021)1k k ⨯+=，所以k 和200120021k ⨯+均为完全平方数.故m n -是一个完全平方数.例4.求所有的正整数对(,)m n ，使得24m n -和24n m -均为完全平方数.解：由对称性，不妨设m n ….（1）若1m n -…，则222444(2).n m n n n --+=-…又2224(1)21n m n n n --=-+…，且其等号不成立，则224(2) 1.n m n n m -=-⇒=+故2223(2)8()m n m t t N +-=--=∈.因为2m t +-与2m t --的奇偶性相同，且22m t m t +->--，所以，24m t +-=，2 2.m t -+=解得5m =，6n =是满足条件的一组解.（2）若m n =，则2224(2)4().m n m t t N -=--=∈同上，解得4m n ==. 综上，所有满足条件的正整数对(,)(4,4),(5,6),(6,5).m n =评注：此题利用完全平方数的性质进行适当放缩，分类讨论，再引入参数通过联立方程组进行求解.例5.求所有的正整数n ，使得36n +是一个完全平方数，且除了2或3以外，n 没有其他的质因数. （2007年湖北省高中数学）解：设236(6)n x +=+，其中x N +∈，则(12)n x x =+.依题意，可设112223,1223,a b a b x x ⎧=⋅⎪⎨+=⋅⎪⎩其中1212,,,a a b b 均为非负整数，于是 2211232312a b a b ⋅-⋅= （1）如果120a a ==，则213312b b -=，这是不可能的.所以12,a a 中至少有一个大于0，于是x 和12x +均为偶数，从而12,a a 均为正整数.若21a =，则211231223b a b ⋅=+⋅，显然只可能11a =（否则左右两边被4除的余数不相同），此时21363b b =+，显然只能是212,1b b ==，此时6,108x n ==.若22a …，则12x +是4的倍数，从而x 也是4的倍数，故12a …，此时22112223233a b a b --⋅-⋅=（2）显然122,2a a --中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）.(1)当220a -=，即22a =时， 21123233b a b --⋅= （3）此时120a ->（否则等式左右两边奇偶性不相同），故21b b >.若12b …，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能11b =，从而（3）式即2112321b a ---=，它只有两组解1221,11,a b -=⎧⎨-=⎩和1223,12,a b -=⎧⎨-=⎩即123,2,a b =⎧⎨=⎩和125,3,a b =⎧⎨=⎩此时，对应的x 值分别为24和96，相应的n 值分别为864和10368. （2）当120a -=，即12a =时， 22122333a b b -⋅-= （4）此时显然220a ->（否则等式左右两边奇偶性不相同），故21b b ….若22b …，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故21b ≤.若20b =，则212233a b --=，只可能10b =，此时24,4,64a x n ===.若21b =，则（4）式即2121231a b ---=，它只有两组解2121,10,a b -=⎧⎨-=⎩和2122,11,a b -=⎧⎨-=⎩即213,1,a b =⎧⎨=⎩和214,2,a b =⎧⎨=⎩此时，对应的x 值分别为12和36，相应的n 值分别为288和1728.因此，符合条件的n 值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.评注：此题通过引入适当的参数，从特殊情形出发，分类讨论，从而解决问题.3 反证法例6.设正整数d 不等于2、5、13.证明：在集合{2,5,13,}d 中可以找到两个不同的元素a 、b ，使得1ab -不是完全平方数. （第27届IMO 试题）证明：注意到22513⨯-=，221315⨯=－，251318.⨯-= 于是只需证明21d -、51d -、131d -中至少有一个不是完全平方数即可. 否则，假设x 、y 、z N +∈，使得221d x -= ○1 251d y -= ○2 2131d z -= ○3 由式○1知x 为奇数，设21().x k k N =+∈ 则2221(21)44 1.d k k k -=+=++故2221d k k =++，这说明d 为奇数.由式○2、○3知y 、z 均为偶数，令2y m =、2(,)z n m n N +=∈代入○2、○3并相减，得222()().d n m n m n m =-=+-由于2d 为偶数，故m 、n 的奇偶性相同.从而，()()n m n m +-是4的倍数，即d 为偶数，矛盾！因此，所证结论成立.评注:反证法是证明此类问题的一种常规方法.练习题1. 使得381n +是完全平方数的正整数n 有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个(2007年湖北高中数学联赛)1.解:当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂. 又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.2.设22(1,2,).n a n n n =++= 则在数列{}n a 中 ( )A.有无穷多个质数B.有无穷多个平方数C.有且只有有限多个质数D.有且只有有限多个平方数(2006年江苏省高中数学竞赛)2.解:因为22(1)2n a n n n n =++=++，故2|n a ，且 2.n a >所以，n a 一定是合数.从而排除选项A 、B ，又因为2n …时，2222221(1)n n n n n n <++<++=+，故只有当1n =时，1a 是完全平方数.3.集合{1!,2!,,24!} 中删去一个元素后，余下的元素之积恰好是完全平方数. （2006年江苏省高中数学竞赛）３.解：由于(2)!(2)(21)!k k k =-，乘积可化为2226224(23!)22(21!)4(3!)2[2(23!)(21!)(3!)](12!).⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ 故删去的数为12!.４.若622(,)m n m n N ++∈是一个完全平方数，则所有可能的(,)m n = .(2005安微省高中数学竞赛)４.解：当2m …，2n …时，有116222(3621)m n m n --++=⨯++，显然不是完全平方数.下面讨论1m …或1n …的情况.当0m =时，62223m n n ++=+，由于2n …时，233(mod 4)n +≡，所以23n +不可能是完全平方数.故0n =或１，此时有解(,)(0,0).m n =当1m =时，62228m n n ++=+，由于4m …时，3288(21)n n -+=+不可能是完全平方数，故0n =，１，２，或３.易知(,)(1,0),(1,3).m n =当0,1n =时，同理可得(,)(0,0),(1,0).m n =５.证明：不存在正整数n ，使得221n +、231n +、261n +均为完全平方数.（2004年日本数学竞赛）５.证明：假设221n +、231n +、261n +均为完全平方数.则222242236(61)(31)(21)(36181)1n n n n n n +++=++-为完全平方数，矛盾！６. 求证：不存在正整数a 、b ，使得2a b +及2a b +都是完全平方数.6.分析：欲证一个数不是完全平方数，只需证明其介于两个连续的完全平方数之间即可.即欲证n 不是完全平方数，只须证22(1).a n n <<+证明：如果0a b >…，则2222(1).a a b a a a <++<+…这说明2a b +不是完全平方数；如果0b a >>，则22222(1)b a b b b b <++<+…，这说明2a b +不是完全平方数.所以，不论a 、b 的大小关系如何，2a b +及2a b +至少有一个不是完全平方数，命题得证.结论是两个都不能同时都为完全平方数，但其中之一是可以的，例如3a =，40b =时，2a b +是完全平方数.同样的办法可证22a b +与22a b +也不可能为完全平方数.７.已知正整数数列{}n a 满足0a m =，51487n n a a +=+.试确定m 的值，使{}n a 中完全平方数的个数最大. ７. 解：显然m≡0，1，2，3(mod4)，下面依次讨论.若m≡0(mod4)，那么51487a m ≡+≡487≡3(mod4)，5521487(1)4872(mod4)a a ≡+≡-+≡，5324873(mod4)a a ≡+≡，这样易得42(mod 4)a ≡，……，这样依次循环.而完全平方数对4取模应余0或1，这样{}n a 中至多只有一个完全平方数0()a .若m≡1(mod4)，那么易知1a ≡0(mod4)，2a ≡3(mod4)，3a ≡2(mod4)，4a ≡3(mod4)，……，此时至多有2个完全平方数(0a 和1a ).同样的分析，若m≡2或3(mod4)，那么{}n a 中不可能有完全平方数.由上知{}n a 中至多有2个完全平方数，且只可能为0a 和1a ，下面求m 的值使0a 和1a 都为完全平方数.设0a =m=k²，那么设1a =5102487487m k n +=+=，∴87=21055()().n k n k n k -=-+注意到487是质数，那么51n k -=，，解得k=3，∴m=9.经检验，m=9时0a 和1a 均为完全平方数，∴所求m 即为9.８.求所有正整数组(,,,)a b p n ,使得p 为素数，且33.n a b p += ８.解：3322()()n a b a b a b ab p +=++-=，显然1a b +>，那么|p a b +.假如3p =，那么3322()()3n a b a b a b ab +=++-=.设223i a b ab +-=，如果1i …，当0i =时，221a b ab +-=，那么221a b ab ab =+-…，所以1a b ==，得32n =，矛盾！当1i =时，223a b ab ab =+-…，所以a 、b 中至少有一个为１，又3|a b +，所以，另一个为２.此时39n =，所以2n =，由此得到两组解(1,2,3,2)，(2,1,3,2).如果2n …，易知0n ≠，当1n =时，22()()3a b a b ab ++-=，那么3a b +=，221a b ab ab +-=…，矛盾！当2n =时，此时33222()()3a b a b a b ab +=++-=，所以223a b a b ab +=+-=，得a ，b 中一个为１，另一个为２.即得先前求得的两组解(1,2,3,2)，(2,1,3,2). 即当1i …或2n …时，有两组解(1,2,3,2)，(2,1,3,2).如果2i …（即229a b ab +-…）且3n …，那么3|a b +，且22223|()3a b ab a b ab +-=+-，所以23|3ab ，即3|ab ，所以3|a 且3|b ，从而综上所述，(,,,)(3,23,3,32)k k a b p n k =⨯+或(23,3,3,32)k k k ⨯+或(2,2,2,31)k k k +()k N ∈.９.确定是否存在一个正整数n ，n 无平方因子，恰好被2011个不同的质数整除，而且21n +被n 整除. ９.假设存在这样的n ，因为n 无平方因子且恰好被2011个不同的质数整除，可设122011n p p p =⋅⋅⋅ 这里1p 、2p 、…、n p 为互不相同的奇质数(显然n 为奇数)且1p <2p <…<n p .因为|21n n +，所以1|21n p +，121(mod )n p ≡-，所以2121(mod )n p ≡.又易知1(,2)1p =，由费马小定理得11121(mod )p p -≡，所以1(2,1)121(mod )n p p -≡.易知n 与11p -互质（否则n 有小于1p 且大于１的因子），所以1(2,1)2n p -=，2121(mod )p ≡，即1|3p ，13p =.设232011k p p p = ，那么32|2181k k p +=+，所以281(mod )k p ≡-，所以2281(mod )k p ≡，而2(1)281(m o d )p p -≡，所以2(2,1)281(mod )k p p -≡.即2281(mod )p ≡，得2|63p ，又23p >，那么27p =，7|81k +，但81112(mod7)k k +≡+≡，矛盾！所以，这样的n 不存在.10.如果一个完全平方数可以写成一个质数与另一个完全平方数的和，则称其为“好平方数”.如果一个完全平方数不能写成一个质数与另一个平方数的和，则称其为“坏平方数”.求证：好平方数与坏平方数都有无数多个.10.证明：设p 为质数，则21()2p +是好平方数（因为2211()().22p p p +-=+）又质数有无穷多个，从而好平方数有无穷多个.设n 为正整数，下面证明2(32)n +是坏平方数.事实上，若存在正整数x 及质数p ，使得22(32)n x p +=+，则22(32)(22)(32).p n x n x n x =+-=+++-而p 是质数，因此321n x +-=，32.n x p ++=解得3(21)p n =+与p 是质数矛盾！因为正整数n有无穷多个，所以坏平方数也有无数多个. 综上所述，命题得证.。

第六节完全平方数(含答案)-

第六节完全平方数内容讲解完全平方数在有理数范围内是指0.25=0.52，19=（13）2，…等，在实数范围内是指2=）2•，12=（2，…等一类的数．我们现在研究的完全平方数是指自然数范围内的平方数．如0=02，1=12，4=22，9=32，…，完全平方数用n2表示（n是自然数）．从完全平方数的末位数字看，只可能是0，1，4，5，6，9这6个数字；•而个位数字是2，3，7，8的数，一定不是完全平方数．这可以作为判断完全平方数的一种方法．在自然数范围内，完全平方数还有如下一些性质，也可以作为判断完全平方数的依据．（1）平方数的约数个数只能是奇数；反之，一个正整数的约数个数是奇数，则这个正整数一定是完全平方数．（2）形如4k+2或4k+3的数，不是完全平方数．即任何一个完全平方数必定是4的倍数，或被4除余1的数．（3）两个连续自然数的平方之间，没有完全平方数．即自然数a满足n2<a<（n+1）2，则a不是完全平方数．（4）任何大于4的完全平方数，必可表示成两个自然数的平方差的形式．例题剖析例1 已知a是自然数，试说明5（a2+3）不是完全平方数．分析：由完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9，只要说明a2+3的个位数字，不可能是0或5即可．解：∵a是自然数，a2的个位数字只能是0、1、4、5、6、9．∴a2+3的个位数字只能是2、3、4、7、8、9．也就是说，a2+3的个位数字，不可能是0或5，a2+3中不含因数5．即可得知5（a2+3）不是完全平方数．评注：用个位数字来判断一个数是否完全平方数，是判断完全平方数的基本方法．例2 若a是正整数，说明a（a+1）不是完全平方数．分析：a2与（a+1）2是两个连续的正整数的平方数，只要说明a（a+1）是介于a2与（a+1）2之间的数即可．解：∵a2<a2+a<a2+2a+1．（a为正整数）即a2<a（a+1）<（a+1）2．∴a（a+1）不是完全平方数．评注：利用完全平方数的性质（3），来判断一个数是否完全平方数，也是常用的一种判断方法．例3一个自然数，如果加上100是一个完全平方数，如果加上73是另一个完全平方数，求这个自然数．分析：设所求的自然数为n，由已知条件可列出n+100=a2，n+73=b2，再解方程组得a、b的值，然后求出这个自然数．解：设所求的自然数为n，依题意，得n+100=a2，n+73=b2两式相减，得a2-b2=27，∴（a+b）（a-b）=27．又∵27=1×27=3×9，且a+b>a-b．可解9,27,3; 1.a b a ba b a b+=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩或得a=6，b=3；（不合题意，舍去）．而a=14，b=13．则n=142-100=132-73=96．评注：利用质因数分解，来得到方程组，求出符合条件的自然数．分解质因数时，要考虑到所有可能的分解．例4已知一个自然数的平方的十位数字是7，求这个自然数的个位数字．分析：设这个自然数N的末两位数为ab，那么（10a+b）2=100a2+20ab+b2．知道N2的十位数字为7，就可求出个位数字．解：设所求自然数为N，十位数字为a，个位数字为b．且（10a+b）2=100a2+20ab+b2=100a2+2ab×10+b2．∵N2的十位数字为7，而2ab是偶数，所以b2必进位，且所进位的数是奇数．∵只有42=16，62=36，进到十位上的数才是奇数1、3，∴b只能是4或6．评注：一个整数的平方数的末两位数字，只能由这个整数的末两位数字确定．•因此，本例只关心该自然数的末两位数的末两位数字组成的数的平方．巩固练习1．填表（第1列填自然数N的个位数字，每空填2个；第2列填上对应的N的个位数字）：N2的个位数字有_______个，它们是________．2．选择题：（1）自然数从小到大排列0、1、2、3，…，其中一个自然数是n的完全平方，•则它前面的一个完全平方数是（）（A）n-1（B）n2-1 （C）n2-2n+1 （D）n2+2n+1（2）下列四个数中，只有一个是完全平方数，它是（）（A）513231 （B）121826 （C）122530 （D）625681（3）2、9、8、0四个数中，完全平方数、偶数、合数、质数的个数依次是（）（A）2，3，2，1 （B）1，2，3，1 （C）2，3，1，2 （D）1，3，2，1 3．一个自然数如果加上60，则为一完全平方数，如果加上43，•则为另一完全平方数，求这个自然数．4．求一个能被180整除的最小完全平方数．5．一个两位数与它的反序数（个位数字与十位数字交换）的和是一个完全平方数，求这样的两位数．6．求一个四位数，使它前两位数字相同，后两位数字也相同，•且这个四位数是完全平方数．7．正整数的平方按大小排成149****3649…，那么第85•个位置上的数字是几？8．已知a是正整数，且a2+2004a是一个正整数的平方，求a的最大值．答案:1．N2的个位数字只有0，1，4，5，6，9，共6个．2．（1）C；（2）D；（3）A3．所求自然数为214．9005．29与92，38与83，47与74，56与656．77447．322=1024，第85个位置上的数字刚才是1024的个位4．8．设a2+2004a=m2，m是正整数，配方得（a+1002）2-m2=10022=22×32×1672，a+1002+m、a+1002-m都是偶数，且a+1002+m>a+1002-m>0，再解22100223167,1002 2.a ma m⎧++=⨯⨯⎨+-=⎩得m=251000，a=250000．。

完全平方公式(含答案)

第2课时完全平方公式知识点 1 完全平方公式1．填空：(1)(x ＋2)2＝x 2＋2·________·________＋________2＝__________； (2)(2a －3b )2＝________2＋________＋________2＝__________． 2．下列计算正确的有( )①(a ＋b )2＝a 2＋b 2； ②(a －b )2＝a 2－b 2； ③(a ＋2b )2＝a 2＋2ab ＋2b 2； ④(－2m －3n )2＝(2m ＋3n )2. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．若x 2＋16x ＋m 是完全平方式，则m 的值是( ) A ．4 B ．16 C ．32 D ．644．计算：(1)(2x ＋y )2＝______________； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 2＝______________； (3)(－2x ＋3y )2＝______________； (4)(－2m －5n )2＝______________．5．计算：(1)(x ＋y )2－x (2y －x )； (2)计算：(a ＋1)(a －1)－(a －2)2；(3)(x ＋y －3)2.知识点 2 完全平方公式的几何意义6．利用如图8－5－3①所示的长为a 、宽为b 的长方形卡片4张，拼成了如图8－5－3②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为( )图8－5－3A ．(a －b )2＋4ab ＝(a ＋b )2B ．(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2C ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2知识点 3 利用完全平方公式进行简便计算7．计算：3012＝________．8．用简便方法计算：20182－4036×2019＋20192.知识点 4 与完全平方公式有关的化简求值问题9．(1)[2018·宁波]先化简，再求值：(x －1)2＋x (3－x )，其中x ＝－12.(2)已知代数式(x －2y )2－(x －y )(x ＋y )－2y 2.①当x ＝1，y ＝3时，求代数式的值；②当4x ＝3y 时求代数式的值．10．若x 2＋kx ＋64是某个整式的平方，则k 的值是( )A ．8B ．－8C ．±8D ．±1611．若等式x 2＋ax ＋19＝(x －5)2－b 成立，则a ＋b 的值为( )A ．16B ．－16C ．4D ．－412．如图8－5－4，从边长为(a ＋4)cm 的正方形纸中剪去一个边长为(a ＋1)cm 的小正方形(a >0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的面积为( )图8－5－4A ．(2a 2＋5a )cm 2B ．(3a ＋15)cm 2C ．(6a ＋9)cm 2D ．(6a ＋15)cm 213．若xy ＝12，(x －3y )2＝25，则(x ＋3y )2的值为( )A ．196B ．169C ．156D ．14414．已知(x －1)2＝ax 2＋bx ＋c ，则a ＋b ＋c 的值为________．15．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 1－x 1－x x ＋1＝8，则x ＝________． 16．用两种方法计算：(12x －2y )2－(12x ＋2y )2.17.阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2，通过配方可对a 2＋b 2进行适当的变形，如a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab 或a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab .从而使某些问题得到解决．例：已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝52－2×3＝19. 解决问题：(1)已知a ＋1a ＝6，则a 2＋1a2＝________；(2)已知a －b ＝2，ab ＝3，分别求a 2＋b 2，a 4＋b 4的值．18．如图8－5－5所示，已知AB ＝a ，P 是线段AB 上一点，分别以AP ，BP 为边作正方形． (1)设AP ＝x ，求两个正方形的面积之和S ； (2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 的大小．图8－5－5完全平方公式答案【详解详析】1．(1)x 2 2 x 2＋4x ＋4(2)(2a ) (－2·2a ·3b ) (3b ) 4a 2－12ab ＋9b 22．A3．D [解析] x 2＋16x ＋m ＝x 2＋2×8x ＋m .∵x 2＋16x ＋m 是完全平方式，∴m ＝82＝64.4．(1)4x 2＋4xy ＋y 2(2)14x 2－2xy ＋4y 2(3)4x 2－12xy ＋9y 2(4)4m 2＋20mn ＋25n 25．解：(1)原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy ＋x 2＝2x 2＋y 2.(2)原式＝a 2－1－(a 2－4a ＋4)＝a 2－1－a 2＋4a －4 ＝4a －5.(3)(x ＋y －3)2＝(x ＋y )2－2(x ＋y )×3＋32＝x 2＋2xy ＋y 2－6x －6y ＋9.6．A [解析] ∵大正方形的边长为(a ＋b )，∴大正方形的面积为(a ＋b )2.1个小正方形的面积加上4个长方形的面积和为(a －b )2＋4ab ，∴(a －b )2＋4ab ＝(a ＋b )2.7．90601 [解析] 3012＝(300＋1)2＝3002＋2×300＋1＝90601.8．解：原式＝20182－2×2018×2019＋20192＝(2018－2019)2＝1.9．解：(1)原式＝x 2－2x ＋1＋3x －x 2＝x ＋1.当x ＝－12时，原式＝－12＋1＝12.(2)原式＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋y 2－2y 2＝－4xy ＋3y 2.①当x ＝1，y ＝3时，原式＝－4×1×3＋3×32＝－12＋27＝15； ②当4x ＝3y 时，原式＝－y (4x －3y )＝0.10．D [解析] 由完全平方公式的特点可知，当k ＝±16时，x 2＋kx ＋64是某个整式的平方．故选D.11．D [解析] 由已知，得x 2＋ax ＋19＝(x －5)2－b ＝x 2－10x ＋25－b ，可得a ＝－10，b ＝6，则a ＋b ＝－10＋6＝－4.故选D.12．D13．B [解析] (x ＋3y )2＝(x －3y )2＋12xy ＝25＋12×12＝169.故选B.14．0 [解析] 将x ＝1代入(x －1)2＝ax 2＋bx ＋c ，得(1－1)2＝a ＋b ＋c ，则a ＋b ＋c ＝0.15．2 [解析] 依题意，得(x ＋1)2－(1－x )2＝(x 2＋2x ＋1)－(1－2x ＋x 2)＝4x ＝8， ∴x ＝2.16．解：方法一：原式＝(14x 2＋4y 2－2xy )－(14x 2＋4y 2＋2xy )＝－4xy .方法二：原式＝(12x －2y ＋12x ＋2y )(12x －2y －12x －2y )＝x ·(－4y )＝－4xy .17．解：(1)a 2＋1a 2＝(a ＋1a )2－2·a ·1a＝62－2＝34.(2)a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ＝22＋2×3＝10；a 4＋b 4＝(a 2＋b 2)2－2a 2b 2＝102－2×32＝100－18＝82.18．解：(1)S ＝AP 2＋BP 2＝x 2＋(a －x )2＝x 2＋a 2－2ax ＋x 2＝2x 2－2ax ＋a 2.(2)当AP ＝13a 时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝19a 2＋49a 2＝59a 2；当AP ＝12a 时，S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝12a 2.因为59a 2>12a 2，所以当AP ＝12a 时，S 更小．。

小学奥数教程：完全平方数及应用(一)全国通用(含答案)

1. 学习完全平方数的性质；2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程3. 掌握完全平方数的综合运用。

一、完全平方数常用性质 1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

完全平方公式专项练习50题(有答案)

完全平方公式专项练习知识点：完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)22、能否运用完全平方式的判定①有两数和（或差）的平方即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。

即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2专项练习：1．（a ＋2b ）22．（3a －5）23.．（－2m －3n ）24. （a 2－1）2－（a 2＋1）25.（－2a ＋5b ）26.（－21ab 2－32c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）8.（2a ＋3）2＋（3a －2）29.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2；11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2．12. 972；13. 20022；14. 992－98×100；15. 49×51－2499．16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）217.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）18.（２a ＋１）2－（１－２a ）219.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）20.先化简。

再求值：（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2－４y 2），其中x ＝２，y ＝－１.21.解关于x 的方程：（x ＋41）2－（x －41）（x ＋41）＝41. 22.已知x －y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.23.已知a （a －１）＋（b －a 2）＝－７，求222b a +－ab 的值.24.已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．25.已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值．26.已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．27.已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。

完全平方公式的综合应用(习题及答案)

完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。

小升初必考专题：完全平方数(讲义)-2020-2021学年数学六年级下册-全国通用(含答案)

完全平方数定义：我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数性质：性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9。

性质2：完全平方数被3、4、5、8、12、16除的余数一定是完全平方数。

性质3：完全平方数的约数一定有奇数个，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数性质4：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。

性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则末尾连续的0的个数一定是偶数。

如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0、2、6中的一个。

性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。

性质7：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)。

性质8：偶数的完全平方是4的倍数，奇数的完全平方被8除一定余1，任何自然数的平方数不可能被3除余2。

判别方法：⑴两个连续自然数的乘积不是完全平方数。

⑵两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。

⑶一个整数如果除以4余2或者除以4余3，那么这个整数肯定不是完全平方数。

⑷一个整数如果除以3余2，那么这个整数肯定不是完全平方数。

⑸完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数；若个位数字是6时，其十位上的数字必为奇数。

例1已知1×2×3×…×n＋3是一个自然数的平方，求n的值？例2一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数最小是( )。

例3从1到2005的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？例4能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？例5写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。

例6试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同例7将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式，如果这些质数的乘积正好是完全平方数，那么这个完全平方数所有可能的值的和是多少？测试题1．一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？2．一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。

完全平方公式专项练习50题(有答案)

再求值：（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2－４y 2），其中x ＝２，y ＝－１.21.解关于x 的方程：（x ＋41）2－（x －41）（x ＋41）＝41. 22.已知x －y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.23.已知a （a －１）＋（b －a 2）＝－７，求222b a +－ab 的值. 24.已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值． 25.已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值． 26.已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．27.已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。

七年级下1.6完全平方公式习题含详细答案

《完全平方公式》习题一、选择题1．下列等式成立的是( )A.（-1）3=-3B.（-2）2×（-2）3=（-2）6C.2a-a=2D.（x-2）2=x2-4x+42．若(2x-5y)2=(2x+5y)2+m，则代数式m为( )A.-20xyB.20xyC.40xyD.-40xy3．下列计算中，正确的是( )A.x2•x5=x10B.3a+5b=8abC.（a+b）2=a2+b2D.（-x）6÷（-x）4=x24．下面各运算中，结果正确的是( )A.2a3+3a3=5a6B.-a2•a3=a5C.（a+b）（-a-b）=a2-b2D.（-a-b）2=a2+2ab+b25．若m+n=3，则2m2+4mn+2n2-6的值为( )A.12B.6C.3D.06．不论x，y为何有理数，x2+y2-10x+8y+45的值均为( )A.正数B.零C.负数D.非负数二、填空题7．已知：a-b=3，ab=1，则a2-3ab+b2=_____．8．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值为_____．9．若a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，则a+b的值为_____．10．填上适当的整式，使等式成立：(x-y)2+_____=(x+y)2．三、解答题11．已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小，并说明理由．12．已知(a+b)2=24，(a-b)2=20，求：(1)ab的值是多少？(2)a2+b2的值是多少？13．已知2(x+y)=-6，xy=1，求代数式(x+2)-(3xy-y)的值．14．计算：①29.8×30.2；②46×512；③2052．15．计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c)．参考答案一、选择题1．答案：D解析：【解答】A：（-1）3=（-1）×（-1）×（-1）=-1，故选项A错误；B：（-2）2×（-2）3=（-2）2+3=（-2）5，故选项B错误；C：2a-a=（2-1）a=a，故选项C错误；D：（x-2）2=x2-2•x•2+22=x2-4x+4，故选项D正确．故选：D【分析】根据同底数幂的乘法运算，底数不变指数相加，以及有理数的乘方，完全平方公式算出即可．2．答案：D解析：【解答】（2x-5y）2=（2x+5y）2+m，整理得：4x2-20xy+25y2=4x2+20xy+25y2+m，∴-20xy=20xy+m，则m=-40xy．故选：D【分析】利用完全平方公式化简已知等式，根据多项式相等的条件即可求出m．3．答案：D解析：【解答】A、因为x2•x5=x2+5=x7，故本选项错误；B、3a和5b不是同类项的不能合并，故本选项错误；C、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；D、（-x）6÷（-x）4=（-x）6-4=（-x）2=x2．正确．故选D．【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加；完全平方公式；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．4．答案：D解析：【解答】A、原式=5a3，故选项错误；B、原式=-a5，故选项错误；C、原式=-（a+b）2=-a2-2ab-b2，故选项错误；D、原式=（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项正确．故选D．【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式变形后，利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．5．答案：A解析：【解答】原式=2（m2+2mn+n2）-6，=2（m+n）2-6，=2×9-6，=12．故选A．【分析】根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．6．答案：A解析：【解答】x2+y2-10x+8y+45，=x2-10x+25+y2+8y+16+4，=（x-5）2+（y+4）2+4，∵（x-5）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x-5）2+（y+4）2+4＞0，故选A．【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断．二、填空题7．答案：8解析：【解答】∵（a-b）2=32=9，∴a2-3ab+b2=（a-b）2-ab=9-1=8【分析】应把所给式子整理为含（a-b）2和ab的式子，然后把值代入即可．8．答案：16解析：【解答】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=16．【分析】原式利用完全平方公式化简，将a+b的值代入计算即可求出值．9．答案：2或-2解析：【解答】∵a2b2+a2+b2+1-2ab=2ab，∴a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，∴a2b2-2ab+1+a2+b2-2ab=0，∴（ab-1）2+（a-b）2=0，∴ab=1，a-b=0，∴a=b=1或-1，∴a+b=2或-2．【分析】首先把2ab移到等式的左边，然后变为a2b2+a2+b2+1-2ab-2ab=0，接着利用完全平方公式分解因式，最后利用非负数的性质即可求解．10．答案：4xy解析：【解答】（x+y）2-（x-y）2=（x2+2xy+y2）-（x2-2xy+y2）=4xy．【分析】所填的式子是：（x+y）2-（x-y）2，化简即可求解．三、解答题11．答案：见解答过程解析：【解答】xy＞x+y，理由是：∵x＞2，y＞2，∴xy＞2y，xy＞2x，∴相加得：xy+xy＞2y+2x，∴2xy＞2（x+y），∴xy＞x+y．【分析】根据已知得出xy＞2y，xy＞2x，相加得出xy+xy＞2y+2x，即可求出答案．12．答案：（1）ab=1；（2）a2+b2=22．解析：【解答】∵（a+b）2=24，（a-b）2=20，∴a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，（1）①-②得：4ab=4，则ab=1；（2）①+②得：2（a2+b2）=44，则a2+b2=22．【分析】由（a+b）2=24，（a-b）2=20，可以得到：a2+b2+2ab=24…①，a2+b2-2ab=20…②，通过两式的加减即可求解．13．答案：-4．解析：【解答】∵2（x+y）=-6，即x+y=-3，xy=1，∴（x+2）-（3xy-y）=x+2-3xy+y=（x+y）-3xy+2=-3-3+2=-4．【分析】将所求式子去括号整理变形后，把x+y与xy的值代入计算，即可求出值．14．答案：①899.96；②1012；③42025．解析：【解答】①29.8×30.2=（30+0.2）（30-0.2）=302-0.22=900-0.04=899.96；②46×512=212×512=（2×5）12=1012；③2052=（200+5）2=40000+2000+25=42025．【分析】①首先将原式变为：（30+0.2）（30-0.2），然后利用平方差公式求解即可求得答案；②利用幂的乘方，可得46=212，然后由积的乘方，可得原式=（2×5）12=1012；③首先将205化为：200+5，然后利用完全平方公式求解即可求得答案．15．答案：a2-4b2+12bc-9c2解析：【解答】（a-2b+3c）（a+2b-3c）=[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]=a2-（2b-3c）2=a2-（4b2-12bc+9c2）=a2-4b2+12bc-9c2．【分析】首先将原式变为：[a-（2b-3c）][a+（2b-3c）]，然后利用平方差公式，即可得到a2-（2b-3c）2，求出结果．。

五年级秋-第14讲-完全平方数(二)(教师版)

完全平方数（二）知识纵横例1从360到630的自然数中，有奇数个因数的有多少个？只有3个因数的有多少个？【答案】7个；2个【解析】在1～2000的自然数中，共有多少个平方数？【答案】44个【解析】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【答案】424【解析】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【答案】不能【解析】例2试一试2试一试1有2021盏灯，分别对应编号为1至2021的2021个开关。

现在有编号为1至2021的2021个人来按动这些开关，已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2021个人按的开关的编号是2021的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2021个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？【答案】1977【解析】某校2001年的学生人数是个完全平方数。

该校2002年的学生人数比上一年多101人，这个数也是完全平方数。

该校2002年学生人数是多少？【答案】2601人【解析】已知__________ABCA 是一个四位数，若两位数_____AB 是一个素数，_____BC 是一个完全平方数，_____CA 是一个不为1的完全平方数之积，求满足条件的所有四位数。

【答案】3163、8368【解析】例3试一试3例4有一些完全平方数的最后三位数码都相同且不为0，请问这些数中最小的是多少？【答案】1444【解析】考虑下列32个数：1！，2！，……，32！，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是多少？【答案】15！；16！【解析】乘法算式1×2×3×······×15中至少要删除多少个数，才能使剩下的数的乘积为完全平方数？【答案】3个【解析】试一试4例5试一试51²+2²+3²+······+2021²除以4的余数是多少？【答案】3【解析】求一个四位完全平方数，它的前两位数字相同，后两位数字也相同【答案】7744【解析】例6试一试61、44与非零自然数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是多少？【答案】11【解析】2、从1～2015这2015个自然数中，最多能找出多少个数，使得这个数乘240所得的乘积是一个完全平方数？【答案】11个【解析】3、已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是多少？【答案】231【解析】小练习。

01完全平方数解答

组成的两位数BC和百位与十位组成的两位数AB 都是平方数,则称三位数ABC是一个“好数”"那么,三位数中所有“好数”的和是_____。解：1993。因为两位数的平方数只有 16,25,36,49,64,81 这六个数，所以，满足条件的三位数有 164，364，649 和 816 这四个，其和为 164＋364+649+816=1993。
第 1 讲完全平方数
如果一个数恰好是某个自然数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,… 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是 0，1，4，5，6，9。不可能是 2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 2.重点公式：平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b) 完全平方差公式：（a-b）＝a -2ab+b 2 2 2 完全平方和公式：(a+b) ＝a +2ab+b
2 2 2
例 1、数 a 乘以 60，积是一个完全平方数，则 a 的最小值是多少？ 2 解：60=2×2×3×5，（2×3×5），=2×3×5×2×3×5，=60×3×5=60×15，所以 a 的最小值是 15．例 2、某校 2011 年的学生人数是个完全平方数，2012 年的学生人数比上一年多 101 人，这个数字也是一个完全平方数．该校 2012 年的学生人数是多少？ 2 2 2 2 解：设 2011 年、2012 年的学生人数分别为 n ， m ，则 m -n =101，即（m+n）（m-n） =101，由于 101=1×101，所以，（m+n）（m-n）=101×1．则 m+n=101，m-n=1， 2 所以，m=51，n=50．则 2012 年的学生人数为 51 =2601 人．故答案为：2601．例 3、1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16，…，式中的积 1，4，9，16，…叫做完全平方数，在 1 至 100 这 100 个自然数中，非完全平方数的和是多少？解：在 1 至 100 这 100 个自然数中，非完全平方数的和是：（1+100）×100÷2（1+4+9+16+25+36+49+64+81+100）=4665 例 4、有一个自然数，它与 160 的和等于某一个数的平方，它与 84 的和又等于另一个数的平方，那么，这个自然数是多少？解：设这个自然数为 x，它与 160 的和是 m 的平方．与 84 的和是 n 的平方，所 2 2 2 2 以有：x+160=m ，x+84=n ，m -n =（m-n）×（m+n）=76，因为 m-n 和 m+n 奇偶性相同，76 是偶数，所以 m-n 和 m+n 都是偶数，且 76 分解为两个偶数的乘积只有 76=2×38，所以：（m-n）（m+n）=2×38=（20-18）× 2 （20+18），m=20，n=18．所以 x+160=20 ，x=240．故答案为：240．例 5、甲、乙、丙代表互不相同的 3 个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是多少？解：135=5×3×3×3，因为乙+乙=丙×135，所以丙是偶数，因此丙最小应该是 2×2×5×3，所以甲×甲=2×2×5×3×135=8100=90×90，故甲最小是 90．故答案为：90．

完全平方数

完全平方数什么是完全平方数？相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441……例1.从1~10中最多可以选出个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数.[答疑编号0518320101]【答案】6【解答】选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。

如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，1），（5，4），（2），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。

所求的最大值是6。

完全平方数质因数分解的特征：将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。

推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。

例2.从1到2012的所有自然数中，有个数乘以72后是完全平方数.1[答疑编号0518320102]【答案】31【解答】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为，所以从1到2012中，符合要求的数有31个.例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有个约数.[答疑编号0518320103]【答案】9【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有3×2＝6个约数，故A＝2.所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9.涉及到完全平方的公式：例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为.[答疑编号0518320104]【答案】156【解答】设加上100后为，加上168后为，那么，2即.因为b＋a和b－a的奇偶性相同，所以只可能是，解得.因此原正整数是.例5.一个正整数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个“智慧数”，那么在1~2012中，有多少个“智慧数”？[答疑编号0518320105]【答案】1509【解答】设这个正整数是n,。

完全平方数难题

完全平方数难题（二）问题5：象111…1 ，由n个1连写得到的数，这些数都是奇数。

说明当n＞1时没有平方数n＝1时，1＝12；偶数的平方＝（2n）2＝4n2＝4的倍数；奇数的平方＝（2n＋1）2＝4n2＋4n＋1＝4 n（n＋1）＋1＝8的倍数加1（当然也是4的倍数＋1）。

n＞1时，n个1＝（n－2）个1×100＋11＝4的倍数＋8＋3＝4的倍数＋3≠4的倍数＋1（也不等于8的倍数＋1），∴n个1（n＞1）组成的数里没有平方数。

22……22＝2×11……11≠平方数，（n个2）；33……33＝3×11……11≠平方数，（n个3）；44……44＝4×11……11≠平方数，（n个4，n＞1）；55……55＝5×11……11≠平方数，（n个5）；66……66＝6×11……11≠平方数，（n个6）；77……77＝7×11……11≠平方数，（n个7）；88……88＝8×11……11≠平方数，（n个8）；99……99＝9×11……11≠平方数，（n个9，n＞1）。

当然，在这些数后面加若干个0也构不成平方数。

这个问题在许多初中及初中以上奥数书都有引用，所采用方法各种各样，难易不等。

序列1，11，111，1111，……中有无数个合数，那么此序列中的质数情况比较难办，现在只知道5个是质数：第一个质数11；19个1连写，23个1连写这两个质数在1920年代才被找到；317个1连写是质数由美国数论专家威廉斯（Williams）在1978年证实；1986年Williams和Dubner找到了这里面的第五个质数：1031个1连写。

这个序列中是否有无数个质数，现在还是未知，可以肯定的是合数个1连写一定是合数，只有质数个1连写时才有可能是质数。

1999年9月Dubner发现49081个1连写可能是质数，但目前还判断不出。

2000年10月Baxter发现86453个1连写可能是质数，但目前还判断不出。

完全平方练习题带答案

38.要使x2－６x＋a成为形如2的完全平方式，则a，b的值为多少？
11139．如果x＋＝8，且x>，求x－的值。xxx
112240.已知m＋2＝1求的值。mm
41.利用完全平方公式化简2
42.证明：2-2是28的倍数，其中m为整数.
43.化简-4xy
44.求证：对于任意自然数n，n-×的值都能被6整除．
A．B．C．D．2
8．计算2－2的结果为
A．－8x2+16xy B．－4x2+16xy C．－4x2－16xy D．8x2－16xy
9．计算的结果是
A．－a2－2a－1 B．－a2－1 C．a2－1 D．－a2+2a－1
10．运用完全平方公式计算:
2
111
352
- 1 -
－a2
101 19819.92
完全平方公式参考答案
1．a2+2ab+b a2－2ab+b和平方和这两个数乘积的2倍
2．?2a ?2a 1 1 a2+4a+1 x x y y x2－12xy+9y2
3．a+6b a－3b．－??．1
6．C．A．A．A
10．a2+6a+5x2－20x+a2－6a+1 ?
211ab+b a2+2ab+ba4－a2+41525
Байду номын сангаас完全平方练习题带答案
知识点：
完全平方公式：2=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=2a2-2ab+b2=2

初二数学完全平方试卷答案

一、选择题1. 下列各数中，是完全平方数的是（）A. 49B. 64C. 81D. 100答案：D2. 如果一个数的平方是25，那么这个数是（）A. 5B. -5C. 5或-5D. 10答案：C3. 下列各式中，正确的是（）A. (a + b)² = a² + b²B. (a - b)² = a² - b²C. (a + b)² = a² + 2ab + b²D. (a - b)² = a² - 2ab + b²答案：C4. 若一个数的平方是81，那么这个数的绝对值是（）A. 9B. 18C. 27D. 36答案：A5. 计算：(3x + 2)²的值是（）A. 9x² + 4B. 9x² + 12x + 4C. 9x² + 6x + 4D. 9x² + 4x + 4答案：B二、填空题6. 若a² = 4，则a的值为______。

答案：±27. 若(2x - 3)² = 1，则x的值为______。

答案：2或18. 若(3x + 4)² = 25，则x的值为______。

答案：1或-59. 计算：(5 - 2)²的值是______。

答案：910. 计算：(x + 3)²展开后的表达式是______。

答案：x² + 6x + 9三、解答题11. 简化下列各式：(1) (x + 2)² - (x - 1)²(2) (2x + 3)² + (x - 4)²(3) (a - b)² - (a + b)²答案：(1) (x + 2)² - (x - 1)² = x² + 4x + 4 - (x² - 2x + 1) = 6x + 3(2) (2x + 3)² + (x - 4)²= 4x² + 12x + 9 + x² - 8x + 16 = 5x² + 4x + 25(3) (a - b)² - (a + b)² = a² - 2ab + b² - (a² + 2ab + b²) = -4ab12. 已知a² + b² = 25，ab = 10，求a² - b²的值。

完全平方数答案

【小升初专项训练】8 完全平方数性质

2完全平方数答案

第六节 完全平方数(含答案)-

完全平方公式(含答案)

小学奥数教程：完全平方数及应用(一)全国通用(含答案)

完全平方公式专项练习50题(有答案)

完全平方公式的综合应用(习题及答案)

小升初必考专题：完全平方数(讲义)-2020-2021学年数学六年级下册-全国通用(含答案)

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五年级秋-第14讲-完全平方数(二)(教师版)

01完全平方数解答

完全平方数

完全平方数难题

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