曲线和方程教案
曲线与方程教案
曲线与方程教案
教案标题：曲线与方程
教案目标：
1. 了解曲线与方程的基本概念和关系；
2. 掌握曲线与方程之间的相互转化方法；
3. 学会利用曲线图解和方程表示解决实际问题。
教案内容：
一、引入与导入
1. 准备一些简单的曲线图形，如直线、抛物线等，并与学生讨论曲线的特征和方程的关系。
2. 引导学生思考曲线与方程之间的关系，并提出探究的问题：“何为曲线的方程？如何通过给定的曲线图形确定方程？”
二、学习活动
1. 理论学习：
a. 讲解曲线与方程的定义和基本概念。
b. 介绍常见曲线的特征和对应方程的形式。
c. 解释如何通过给定的曲线图形确定方程，并举例进行说明。
2. 实例演练：
a. 给出一些曲线图形，要求学生写出对应的方程，并互相交流、比较答案。
b. 给出一些方程，要求学生画出对应的曲线图形，并互相交流、比较结果。
3. 拓展应用：
a. 提供一些实际问题，要求学生通过曲线图形解决问题，并
用方程表示结果。
b. 小组合作，设计一个实际问题，并用曲线和方程解决问题，然后分享给全班。
三、巩固与拓展
1. 布置相关作业，要求学生进一步巩固并展开所学内容。
2. 提供更多的曲线与方程的相关资料供学生自主学习和拓展。
3. 搜集一些有趣的曲线图形和对应的方程，与学生分享。
教案总结：
通过本节课的学习，学生理解了曲线与方程之间的关系，掌握了确定曲线方程和绘制曲线图形的方法，并能够运用所学知识解决实际问题。
同时，通过拓展应用和自主学习，学生对曲线与方程的理解和应用也得到了拓展和巩固。
曲线与方程教案
曲线与方程教案一、教学目标1. 了解曲线的基本概念和性质；2. 掌握曲线的方程的求法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容1. 曲线的基本概念和性质（1）曲线的定义曲线是指平面上的一条不断变化的线条，可以是直线、圆、椭圆等等。
（2）曲线的性质曲线有很多性质，其中比较重要的有：• 曲线的长度：曲线的长度是指曲线上所有点的连线的长度之和； • 曲线的斜率：曲线的斜率是指曲线在某一点的切线的斜率；• 曲线的凸性：曲线的凸性是指曲线在某一点的切线与曲线的交点在曲线的上方或下方。
2. 曲线的方程的求法（1）直线的方程直线的方程可以表示为 y =kx +b 的形式，其中 k 是直线的斜率，b 是直线的截距。
（2）圆的方程圆的方程可以表示为 (x −a )2+(y −b )2=r 2 的形式，其中 (a,b ) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
（3）椭圆的方程椭圆的方程可以表示为(x−a )2a 2+(y−b )2b 2=1 的形式，其中 (a,b ) 是椭圆的中心的坐标。
3. 应用实例（1）例题一已知一条直线的斜率为 2，截距为 3，求该直线与 x 轴、y 轴的交点坐标。
解：直线与 x 轴的交点坐标为 (32,0)，与 y 轴的交点坐标为 (0,3)。
（2）例题二已知一个圆的圆心坐标为 (2,3)，半径为 4，求该圆的方程。
解：该圆的方程为 (x −2)2+(y −3)2=16。
（3）例题三已知一个椭圆的中心坐标为 (2,3)，长轴长度为 6，短轴长度为 4，求该椭圆的方程。
解：该椭圆的方程为 (x−2)29+(y−3)24=1。
三、教学方法本教案采用讲授、练习、讨论等多种教学方法，注重理论与实践相结合，注重学生的主动参与和思考。
四、教学评价本教案注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，能够提高学生的数学素养和综合能力，是一份优秀的教学资源。
高三数学下册《曲线的参数方程》教案、教学设计
5.教学资源：
（1）充分利用多媒体教学资源，如PPT、动画、视频等，增强课堂教学的直观性和趣味性。
（2）提供丰富的课后学习资源，如网络课程、数学软件等，方便学生自主学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂开始时，我将通过一个生动的实例来导入新课。我会向学生展示一个视频，内容是一个摩天轮的运动过程。摩天轮的运动形成了一个圆的轨迹，这个轨迹实际上就是一个曲线。我会引导学生观察摩天轮的运动，并提出问题：“摩天轮的运动轨迹可以用什么方式来描述？”通过这个问题，学生会自然地联想到我们之前学习的坐标系和方程。接着，我会引入曲线参数方程的概念，告诉学生我们将要通过参数方程来描述这样的曲线运动。
（2）关注学生的学习反馈，及时调整教学进度和教学方法，提高教学效果。
（3）注重培养学生的数学思维能力，引导学生从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。
4.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、自主学习等方面的表现。
（2）终结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，评价学生对曲线参数方程知识的掌握程度。
1.教学方法：
（1）采用情境导入法，以实际生活中的曲线运动为例，引出曲线参数方程的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）运用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究、合作交流，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
（3）通过实例分析和课堂练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
2.教学过程：
（1）导入：以生活中的曲线运动为例，如圆周运动、行星运动等，引出曲线参数方程的概念。
5.创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
曲线与方程优质课教案
方程是曲线的方程, 曲线是方程的曲线
即：曲线上所有点 集 一一对应 曲线的方程的解集
下列各题中，图所示的曲线C的方程 为所列方程，对吗？如果不对，是不符合 关系⑴还是关系⑵？
曲线C为△ABC为中线 AD AD方程：x=0
曲线C是过点（4，1） 的反比例曲线图像
方程 ：y 4 x
例1 证明：与两条坐标轴的距离的积是常数 k (k＞0) 的 等于1的圆的方程是 x 2 y 2 1
曲线 C 上所有点的坐标(x,y)
(x,y)方程 f(x,y)=0 的解
曲线与方程
一般地, 在直角坐标系中 , 如果某曲线 C (看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: ①曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解; ②以方程 f(x,y) 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点;
练习：解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和 “方程的曲线”定义中的哪一个关系？
(1) 判断点 M(3, -4), N( 2 5 , 2) 是否在方程
x y 25
2 2
所表示的曲线上.
( 2 )已知方程为
x y 25 的圆过点 C （
2 2
7 ，m）
, 求 m 的值 。
方程的解与曲线上的点的关系 证明方程是曲线的方程 为下节课求曲线方程做铺垫
曲线和方程
含山中学 王 杉
引例 1. 在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线方程是 x－y=0 直线上的点(x,y) x=y (x,y)是方程x－y=0的解
y 1 1 l x
①直线 l 上的点的坐标都是方程 x-y=0 的解; ②以方程 x-y=0 的解为坐标的点都 在直线 l 上;
已知曲线求方程教案
已知曲线求方程教案教案标题：已知曲线求方程教学目标：1. 了解曲线的基本概念和性质。
2. 学会根据已知曲线上的点或特定条件，求解曲线的方程。
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、教学投影仪、计算器等。
2. 学生准备：课本、练习册、铅笔、橡皮等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过展示一些曲线的图片或实物，引发学生对曲线的兴趣，并与学生讨论曲线的特点和应用。
2. 教师简要介绍本节课的教学目标和重点。
二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过教学投影仪展示已知曲线上的点的示例，并解释如何根据已知点求解曲线的方程。
2. 教师讲解曲线的一般方程形式，并介绍常见的曲线方程，如直线、抛物线、圆等。
3. 教师详细讲解如何根据已知曲线上的点或特定条件，确定曲线的方程。
三、示例演练（20分钟）1. 教师通过投影仪展示一些已知曲线上的点或条件，要求学生尝试求解曲线的方程，并逐步引导学生思考解题思路。
2. 学生个别或小组合作解题，教师巡回指导并提供必要的帮助。
3. 教师选取一些学生解答正确的题目进行讲解和讨论，帮助学生加深对求解曲线方程的理解。
四、拓展应用（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生根据已知条件，求解曲线的方程，并解释解题过程和结果的意义。
2. 学生个别或小组合作解题，教师巡回指导并提供必要的帮助。
3. 学生展示他们的解题过程和结果，进行讨论和分享。
五、总结归纳（5分钟）1. 教师帮助学生总结本节课所学的内容，强化学生对已知曲线求方程的理解。
2. 教师提供一些练习题，鼓励学生在课后进行巩固。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的练习题，要求学生在课后完成，并提醒学生复习本节课所学的内容。
2. 教师鼓励学生积极思考和解答问题，并在下节课进行讲解和讨论。
教学反思：本节课通过引导学生思考和解决问题的方式，培养了学生的动手能力和解决实际问题的能力。
同时，通过示例演练和拓展应用，提升了学生对已知曲线求方程的理解和应用能力。
2.1曲线与方程 教学设计 教案
2.1曲线与方程教学设计教案第一篇：2.1曲线与方程教学设计教案教学准备1. 教学目标[1]了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 [2]初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义 [3]强化“形”与“数”一致并相互转化的思想2. 教学重点/难点教学重点：理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程式曲线的方程3. 教学用具多媒体设备4. 标签教学过程教学过程设计1 复习引入【师】在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线，请思考下面问题：【板演/PPT】思考1 直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？思考2 到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？思考3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？【生】学生思考交流 2 新知介绍[1]结合具体实例，引入曲线方程和方程曲线概念【师】：引导学生发言总结【板演/PPT】答 y＝±x. 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．【师】思考下面问题：思考4 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？思考5 判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2. 【生】思考总结【板演/PPT】解 (1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝x02＋y02＝r2.两边开平方取算术平方根，得的解，则y0＝，即；＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都，是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝而应是y＝±. (2)①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2 【师】引导学生交流思想总结曲线方程的概念【板演/PPT】曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．【师】引导学生深入理解定义，从充要条件来理解这个定义【板演/PPT】定义中的两个条件是判定一个方程是否为所定曲线的方程，一条曲线是否为所定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．【板演/PPT】从集合角度理解为：定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程 [2]概念应用【师】下面我们看屏幕上的例题【板演/PPT】例1：若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( )．A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点. 【师】从定义入手，考虑充要条件【生】思考回答【板书/PPT】解析∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，∴A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．【师】规律方法(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系．(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明两个条件同时成立．【师】为了深刻的理解方程与曲线，我们来看下列一个问题【板书/PPT】[例2] 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．【生】分析各个方程所表示的曲线是否与图中图象符合【板书/PPT】解：不对，应为y=x 【师】引导学生反思总结【板书/PPT】反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．【板书/PPT】【师】引导学生思考【板书/PPT】方法点拨 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．解：带入验证知P点在此方程所表示的曲线上，Q点不在。
求曲线的方程教案
一、教学目标1. 让学生掌握求曲线方程的基本方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对函数与方程的理解，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 曲线的概念及其分类。
2. 求曲线方程的方法：(1) 直接法：根据曲线的几何性质，直接列出方程。
(2) 参数法：利用参数表示曲线上的点，列出参数方程，再消去参数得到普通方程。
(3) 转换法：通过坐标变换，将曲线转换为易于求解的方程。
3. 常见曲线的方程及其性质。
三、教学重点与难点1. 教学重点：求曲线方程的方法及其应用。
2. 教学难点：参数法求曲线方程，坐标变换法求曲线方程。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生思考曲线的方程求解过程。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解曲线方程的求解。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程1. 引入：通过实例介绍曲线的概念，引导学生关注曲线的方程。
2. 讲解：讲解求曲线方程的直接法、参数法、转换法。
3. 练习：让学生运用所学方法求解实际问题，巩固知识。
4. 拓展：介绍常见曲线的方程及其性质，提高学生的应用能力。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，布置作业。
六、教学评价1. 评价学生对曲线方程求解方法的掌握程度。
2. 评价学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 评价学生对函数与方程的理解和逻辑思维能力。
七、教学案例1. 案例一：求圆的方程问题：给出圆的直径或圆心坐标，求圆的方程。
2. 案例二：求椭圆的方程问题：给出椭圆的长半轴、短半轴和焦距，求椭圆的方程。
八、教学策略1. 针对不同学生的学习情况，采用差异化教学策略，给予学生个性化的指导。
2. 利用多媒体教学资源，为学生提供丰富的学习材料，提高学生的学习兴趣。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达能力和思维能力。
九、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解求曲线方程的方法，是否涵盖常见曲线的方程及其性质。
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程曲线和方程教学目标（1）了解用坐标法研究几何问题的方法，了解解析几何的基本问题．（2）理解曲线的方程、方程的曲线的概念，能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，了解两条曲线交点的概念．（3）通过曲线方程概念的教学，培养学生数与形相互联系、对立统一的辩证唯物主义观点．（4）通过求曲线方程的教学，培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法．（5）进一步理解数形结合的思想方法．教学建议教材分析（1）知识结构曲线与方程是在初中轨迹概念和本章直线方程概念之后的解析几何的基本概念，在充分讨论曲线方程概念后，介绍了坐标法和解析几何的思想，以及解析几何的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质．曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序．前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程．至于用曲线方程研究曲线性质则更在其后，本节不予研究．因此，本节涉及曲线方程概念和求曲线方程两大基本问题．（2）重点、难点分析①本节内容教学的重点是使学生理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．②本节的难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法．教法建议（1）曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系．曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系．注意强调曲线方程的完备性和纯粹性．（2）可以结合已经学过的直线方程的知识帮助学生领会坐标法和解析几何的思想，学习解析几何的意义和要解决的问题，为学习求曲线的方程做好逻辑上的和心理上的准备．（3）无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则．（4）从集合与对应的观点可以看得更清楚：设表示曲线上适合某种条件的点的集合；表示二元方程的解对应的点的坐标的集合．可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即（5）在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．同时教师不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得．教学中对课本例2的解法分析很重要．这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即文字语言中的几何条件数学符号语言中的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”（6）求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．教学设计示例课题：求曲线的方程（第一课时）教学目标：（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．（3）初步掌握求曲线方程的方法．（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．教学重点、难点：求曲线的方程．教学用具：计算机．教学方法：启发引导法，讨论法．教学过程：【引入】1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．学生思考并回答．教师强调．2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．【问题】如何根据已知条件，求出曲线的方程．【实例分析】例1：设、两点的坐标是、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．解法一：易求线段的中点坐标为（1，3），由斜率关系可求得l的斜率为于是有即l的方程为①分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线的方程？根据是什么，有证明吗？（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．设是线段的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得这说明点的坐标是方程的解．（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点的坐标是方程①的任意一解，则到、的距离分别为所以，即点在直线上．综合（1）、（2），①是所求直线的方程．至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．让我们用这个方法试解如下问题：例2：点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．求解过程略．【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；（2）写出适合条件的点的集合；（3）用坐标表示条件，列出方程；（4）化方程为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．下面再看一个问题：例3：已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．解：设点是曲线上任意一点，轴，垂足是（如图2），那么点属于集合由距离公式，点适合的条件可表示为①将①式移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．【练习巩固】题目：在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有，求点轨迹方程．分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设、的坐标为、，则的坐标为，的坐标为．根据条件，代入坐标可得化简得①由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为【小结】师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？【作业】课本第72页练习1，2，3；。
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程1. 引言高中数学中，曲线和方程是一门重要的基础课程，需要在高二阶段进行系统学习。
学生在学习过程中，需要掌握如何利用各种不同的方程式，来求解数学问题。
本文将介绍高中高二数学教案中，曲线和方程的相关知识。
2. 曲线的概念在高中数学中，曲线是一个非常重要的概念。
它是指在平面直角坐标系中的图形，可以是由数学函数表达的折线或曲线，也可以是由多个点的连线形成的图形。
曲线在数学中有着广泛的应用，例如用于工程计算、物理学、统计学等领域。
3. 方程的概念方程是在数学中非常常见的概念，它是包含了一个或多个变量的等式。
我们可以利用方程来求解各种数学问题，例如在平面直角坐标系中，可以利用方程来表示一个图形的几何特征。
在高中数学中，方程的学习是非常重要的一环，学生需要掌握各种不同类型的方程式，并且清楚它们的求解方法。
4. 曲线和方程的关系在数学中，对于同一个曲线来说，可以有多种不同的方程式来表示。
例如对于直线 y = 3x + 5 来说，它可以看作是关于 x 和 y 的一次方程，而当我们观察这条直线的斜率和截距时，它们又可以转化为更简单的表达形式。
因此，学生需要掌握如何通过曲线的特征，来构造出对应的方程式。
5. 一元二次方程在高中数学中，我们需要学习一元二次方程。
它是被广泛利用的一个方程式，可以应用在多个领域中，例如物理、工程、经济等。
学生需要掌握一元二次方程的求解方法，并且理解它产生的原因和应用。
6. 一元二次方程根的求法在学习一元二次方程时，学生需要掌握如何求解方程的两个根。
有多种不同的求解方法，例如公式法、配方法、图像法等，学生需要理解它们的原理和优缺点。
对于不同类型的二次方程，可能需要采用不同的求解方法，因此学生需要进行分类讨论和实践练习。
7. 一元二次方程的应用在高中数学教学中，很多问题可以利用一元二次方程进行求解。
例如在物理学中，我们可以利用抛物线运动的轨迹，来求解各种物理问题。
曲线与方程教案
曲线与方程教案一、概述曲线与方程是高中数学中的一个重要的内容，它是研究数学对象（点、直线、圆等）的位置关系的一种方法。
在现实生活中，曲线与方程可以应用于各种问题的求解，例如物体的运动轨迹、电路的分析等。
二、教学目标1. 理解曲线与方程的基本概念和特点；2. 掌握一些常见曲线的方程；3. 能够通过方程确定曲线的位置和性质；4. 运用曲线与方程解决实际问题。
三、教学内容及教学步骤第一节曲线与方程的基本概念1. 引入：以一个物体的运动轨迹为例，由此导出曲线与方程的概念；2. 定义：介绍曲线与方程的基本概念，包括曲线、方程、坐标系等；3. 特点：讨论曲线与方程的一般特点，包括连续性、唯一性等。
第二节常见曲线与方程1. 直线的方程：介绍直线的一般方程和特殊情况的方程，如平行于坐标轴的直线等；2. 抛物线的方程：介绍抛物线的一般方程和特殊情况的方程，如开口方向、对称轴等；3. 圆的方程：介绍圆的一般方程和特殊情况的方程，如半径、圆心等；4. 椭圆的方程：介绍椭圆的一般方程和特殊情况的方程，如长轴、短轴等；5. 双曲线的方程：介绍双曲线的一般方程和特殊情况的方程，如焦点、渐近线等。
第三节方程与曲线的应用1. 方程与实际问题的转化：通过实际问题，让学生将问题转化为方程；2. 解方程求解问题：通过解方程，求解实际问题；3. 应用练习：让学生自己设计一些实际问题，并通过方程解决。
四、教学方法与手段1. 概念讲解法：通过讲解的方式介绍曲线与方程的基本概念和特点；2. 例题演示法：通过示例演示如何确定曲线的方程和解决实际问题；3. 合作学习法：让学生小组合作，共同解决实际问题，并归纳总结。
五、教学重点和难点1. 重点：直线、抛物线、圆、椭圆和双曲线的方程及其性质；2. 难点：方程与实际问题的转化。
六、教学评价与反思1. 评价方法：通过观察学生的思维、解题过程、课堂表现和小组讨论等方法进行评价；2. 反思：根据学生的反馈和评价结果，及时调整教学方法和教学内容，以提高教学效果。
数学《曲线与方程》教案
数学《曲线与方程》教案【教学目标】1.了解和掌握一次函数和二次函数的图像、性质和应用。
2.掌握一次方程和二次方程的基本知识、解题方法和应用。
3.掌握实际问题应用中解方程的方法。
【教学重点】1.掌握一次函数和二次函数的图像、性质和应用。
2.掌握一次方程和二次方程的基本知识、解题方法和应用。
3.掌握实际问题应用中解方程的方法。
【教学难点】1.一次函数和二次函数的图像、性质和应用的综合应用。
2.实际问题应用中解方程的方法。
【教学过程】一、引入新课教师可引导学生通过问答、引入故事等方式，调动学生的学习兴趣，引入新的知识领域。
二、概念的讲解和探究1.一次函数(1)定义：函数y=kx+b(x∈R)称为一次函数，其中k,b均为常数，k为非零实数。
(2)一次函数的图像：一次函数图像是由一条直线组成，图像有倾斜的趋势，当斜率k>0时，图像从左向右上升，k<0时，图像从左向右下降。
截距b为函数图像在y轴上的截距。
(3)应用：一次函数常常代表一种线性关系，如速度、距离、重量、价格等。
2.二次函数(1)定义：函数y=ax^2+bx+c(x∈R)称为二次函数，其中a,b,c为常数，且a≠0。
(2)二次函数的图像：二次函数图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，当a>0时，图像开口朝上；a<0时，图像开口朝下。
顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))（f(x)=ax^2+bx+c）。
(3)应用：二次函数常常在抛物线问题中使用，如炮弹的运动、神经元的发放等等。
三、基本解法的演示1.一次方程的解法(1)基本初等变形法：对等式两边进行加、减、乘、除等运算，化简方程，将未知数分离出来。
(2)解题步骤：Step1：用合适的字母表示未知数。
Step2：列出等式。
Step3：对等式进行变形。
Step4：将未知数分离出来。
Step5：检验解。
2.二次方程的解法(1)配方法：当方程右侧项不为0时，可以采用配方法将方程化为平方差的形式，从而求得方程的解。
高中数学曲线和方程教案
主题：曲线和方程目标：学生能够理解和应用曲线和方程的概念，能够绘制和分析各种曲线图形。
教学内容：1. 方程的基本概念2. 一元一次方程3. 一元二次方程4. 曲线的基本概念5. 直线的方程和性质6. 圆的方程和性质7. 椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质8. 曲线的应用教学步骤：第一课：方程的基本概念1. 引入方程概念，让学生认识到方程在现实生活中的重要性2. 教授方程的定义和基本术语3. 讲解方程的解的概念和思维方式第二课：一元一次方程1. 讲解一元一次方程的定义和性质2. 演示如何求解一元一次方程3. 练习一元一次方程的相关题目第三课：一元二次方程1. 讲解一元二次方程的定义和性质2. 演示如何求解一元二次方程3. 练习一元二次方程的相关题目1. 引入曲线的概念，让学生认识到曲线在数学中的重要性2. 讲解曲线的定义和基本分类3. 演示如何绘制各种曲线图形第五课：直线的方程和性质1. 讲解直线的方程和性质2. 演示如何通过方程求解直线的相关问题3. 练习直线方程的相关题目第六课：圆的方程和性质1. 讲解圆的方程和性质2. 演示如何通过方程求解圆的相关问题3. 练习圆的方程的相关题目第七课：椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质1. 讲解椭圆、抛物线、双曲线的方程和性质2. 演示如何通过方程求解这些曲线的相关问题3. 练习椭圆、抛物线、双曲线的方程的相关题目第八课：曲线的应用1. 讲解曲线在现实生活中的应用2. 演示如何通过曲线方程解决实际问题3. 练习应用题目课堂互动：1. 学生提出问题，老师解答并引导学生思考2. 老师布置课后作业和练习题，及时纠正学生的错误3. 小组合作解题，促进学生之间的交流和合作评估方式：1.2. 课后练习题和考试成绩3. 口头回答问题和解题思路的清晰度教学资源：1. 教科书及相关参考书籍2. 多媒体教学设备3. 课堂板书和示范绘图教学反思与改进：1. 结合学生实际情况，及时调整教学内容和方式2. 引导学生自主学习和解决问题的能力3. 关注学生的学习动态和进度，及时纠正错误和强化重点知识总结：通过本课程的学习，学生将掌握曲线和方程的基本概念和应用技能，从而提高数学素养和解决实际问题的能力。
选修2-1教案2.1.1曲线与方程 2
教学要求：理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．教学重点：求曲线的方程教学难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法教学过程：一、复习准备：1. 动一动：画出函数y=2x 2(-1≤x ≤2)的图象C2. 提问：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l ，并写出其方程二、讲授新课：1. 教学曲线与方程：① 提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．能否写成y =|x |，为什么？ ②曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二元方程F (x ,y )=0之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是方程F (x ,y )=0的解；2．以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点，都是曲线C 上的点，那么，方程F (x ,y )=0叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程F (x ,y )=0的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法．4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．（请学生再认真阅读一遍课本中的定义，真正弄懂曲线方程的概念．）③讲解例1：点P (1,a )在曲线x 2+2xy -5y =0上，则a =_______________．练习：1。
A (1,0)，B (0,1)，线段AB 的方程是x +y -1=0吗？2．由到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y -5=0吗？3．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？2. 小结1、什么是曲线的方程、方程的曲线；2、两个条件缺一不可（请学生说出哪两个条件）三、巩固练习：1、以O 为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2、下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log a x y a = (4) y =sin(arcsin x )3、画出方程()(0x y x +=的曲线．4、设集合{(,)|0}A x y x =，{(,)|0}B x y y ==，则A ⋂B 表示的曲线是____________________，A ⋃B 表示的曲线是____________________．教学目标：(1)掌握求曲线的方程的步骤；(2)会根据具体条件正确写出曲线的方程．教学重点： 求方程的步骤, 正确写出曲线的方程．教学难点：正确写出曲线的方程.教学过程：一、复习准备：1、已知曲线C 的方程为 y=2x 2 ；①现曲线C 上有点A （1，2），A 的坐标是不是y=2x 2 的解？点（0.5,t)在曲线上,则t=___.②已知方程y=2x 2 的一组解为 28x y =⎧⎨=⎩，以这组解为坐标的点B （2，8）——（在/不在）曲线C 上？2、曲线包括直线,曲线与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、讲授新课：1．自17世纪笛卡尔发明了坐标系后,人们开始用代数的方法来研究几何.我们这节课就来学习求曲线的方程.例1：有一圆，它的圆心为O ，半径长为4r =，试写出此圆的方程。
曲线与方程讲义(二)求曲线方程教案
曲线和方程 (二)教学目标：（一）知识要求：根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤. (二) 能力训练要求:1． 会由已知条件求一些简单的平面曲线的方程. 2． 会判断曲线和方程的关系.（三）德育渗透目的:培养学生的数学修养，提高学生的分析问题、解决问题的能力.教学重点求曲线方程的“五步”思路. 教学难点依据题目特点，建立恰当的坐标系，考察曲线的点与方程的坐标的对应关系的纯粹性与完备性. 教学方法：导学法.启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线理论，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线视为点的集合或轨迹，用点(x,y)翻译约束条件，用方程f(x,y)=0表示曲线. 教学过程知识回顾：方程的曲线和曲线的方程:⑴曲线上的点的坐标都是方程的解 ⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上;就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是这条曲线的方程. 情境设置：由曲线的方程、方程的直线可知，借助直角坐标，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，那么我们就可通过研究方程的性质，间接地研究曲线的性质.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.在教学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.（二）讲授新课： 1.例题分析:【例1】设A 、B 两点的坐标分别为(-1,-1)、(3,7)求线段AB 的垂直平分线的方程. 如何求曲线的方程？法一、运用现成的结论──直线方程的知识来求.法二:若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法 解：设M(x,y)是线段AB 的垂直平分线上任意一点，即点M 属于集合P={M||MA|=|MB|}，由两点之间的距离公式，点M 所适合的条件可表示为2222)7()3()1()1((-+-=+++y x y x 化简整理得 072=-+y x ① 证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.(1)求方程的过程可知，垂直平分线上每一 点的坐标都是方程①的解. x(2)设点M 1的坐标(x 1,y 1)是方程①的解， 即x 1+2y 1-7=0,得点M 到A 、B 的距离分别是 212121211)1()28()1()1((||++-=+++=y y y x A M )136(5121+-=y y212121211)7()24()7()3((||-+-=-+-=y y y x B M )136(5121+-=y y||||11B M A M =∴.即 点M 1在线段AB 的垂直平分线上. 由（1）（2）可知方程①是AB 的垂直平分线.反思：第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解; 第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性. 求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤: 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ; 2.写出适合条件P 的几何点集:{}()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式;5.证明(查漏除杂).例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2.一条曲线也在l 的上方,它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程.变式：一个动点P 与定点A,B 的距离的平方和为122，AB =10，求动点P 的轨迹方程练习1.已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(0,4)的距离相等,求点M 的轨迹方程. 解:设点M 的坐标为(x,y ) 建立坐标系设点的坐标 ∵点M 与x 轴的距离为y ,FM =限(找几何条件)lBF .M∴y代(把条件坐标化) ∴222816y x y y =+-+∴2816x y =- 化简 所求的轨迹方程是2816x y =-课后作业：1、求到直线4x+3y-5=0的距离为1的点的轨迹方程. 答案:4x+3y-10=0或4x-3y=0. 2．、如图,已知点C 的坐标是(2 , 2) , 过点C 直线CA 与x 轴交于点A,过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B,设点M 是线段AB 的中点,求点M 的轨迹方程.课后反思：由例1,例2归纳总结求曲线方程的步骤. 一般地,求曲线方程的步骤是:(1)建立恰当条件的坐标系,用M(x,y)表示曲线上任意一点(2)写出适当条件的点的集合P={M|P(M)}(即找几何特性满足的关系式)(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0.(即将几何关系式转化为代数方程) (4)化简方程f(x,y)=0.(5)证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.评注:(1)化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写. (2)根据情况,也可省略步骤(2),直接列出曲线方程.曲线和方程(三)教学目标：(一) 教学知识点：1.根据条件，求较复杂的曲线方程. 2.求曲线的交点.3.曲线的交点与方程组解的关系. (二)能力训练要求:1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力.2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. (三)德育渗透目的:1.渗透数形结合思想.2.培养学生的辨证思维.教学重点1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0.2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题.教学难点1. 寻找“几何关系”.2. 转化为“动点坐标”关系.教学方法启发诱导式教学法.启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径.教学过程 讲授新课:1. 回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 2. 例题分析:一、直接法：回顾前一节科内容练习1.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·M N →＝4，则动点P 的轨迹方程为_____x 24－y 22＝1___．二、代入法（相关点法）：若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代入法)．例题1．已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．解析： 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x 13y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2y 1＝3y ＋2， 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程题后感悟] (1)代入法：像本例将所求点M 的坐标代入已知曲线方程求得动点M 的轨迹方程的方法叫代入法．(2)代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上任意点M (x ，y )，设动点(已知轨迹的动点)P (x 0，y 0)．②求关系式：求出两个动点的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).③代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．练习：已知O 为直角坐标系原点，M 为圆()3222=+-y x 上的动点，试求MO 中点的轨迹方程。
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《课堂教学设计》课题：曲线和方程（1）一：教学目标►知识与技能目标（1）了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；（2）初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；（3）学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
►过程与方法目标（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
►情感与态度目标（1）通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；（2）通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；（3）学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。
二：教材分析1、教学分析：因为学生已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。
所以本节课采用了复习引入课题，从特殊到一般的方法让学生易于接受。
在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。
在概念的应用即例题的设计方面，着重巩固对概念的两个条件的认识。
2、教学重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。
（本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。
由于学生已经具备了用方程表示直线，抛物线等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例，揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。
为强化其认识，又决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。
）3、教学难点怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。
（因为学生在作业中容易犯想当然的错误，通常在已知曲线建立方程的时候，不验证方程的解为坐标的点在曲线上，就断然得出所求的是曲线的方程。
为了突破难点，本节课设计了三种有层次的例题：例3是概念的直接运用，例4是证明曲线的方程，例5是概念的逆向运用。
通过这些例题让学生再一次体会“二者”缺一不可。
）三：学情分析此前，学生已知，在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对应关系，已有了用方程（有时用函数式的形式出现）表示曲线的感性认识（特别是二元一次方程表示直线），现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程，对学生有相当大的难度。
学生在学习时容易产生的问题是，不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用。
本节课的教学目标也只能是初步领会，要求学生能答出曲线和方程间必须满足两个关系时才能称作“曲线的方程”和“方程的曲线”两者缺一不可，并能借助实例指出两个关系的区别。
四：教学方法1、教法：教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。
根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：(1)引导探索、发现规律。
通过学生观察坐标系中的曲线和方程之间的关系，来得出曲线和方程的概念，这能充分调动学生的主动性和积极性。
(2)尝试指导法，以学生为主体，以训练为主线。
这样更能突出重点、解决难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。
2、学法：教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：(1)观察分析：让学生要学会观察问题，分析问题和解决问题。
(2)练习巩固：让学生知道数学重在运用，从而巩固对概念的理解，找出未掌握的内容及其差距。
五：教学活动程序1、承上启下，提出课题师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。
下面看一个具体的例子：例1：画出方程0=-y x 表示的直线y(1) （2）借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形） 方程（数量） 。
类比方程2x y =与如图所示的抛物线。
这条抛物线是否与这个二元方程 2x y =也能建立这种对应关系呢？ （按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？这就是今天这节课的内容：曲线和方程。
（板书课题）现在请同学们思考这样的问题：Y X O Y X O F(x,y)=0方程0),(=y x F 的解与曲线C 上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程0),(=y x F 表示曲线C ，同时曲线C 也表示着方程0),(=y x F ,为什么要具备这些条件？（将问题重述一遍，使每个学生听清楚。
学生思考，讨论，口答）（说明：运用学生熟知的旧知识，由特殊到一般，既提出了课题，又为形成曲线和方程的概念提供了实际模型。
但是如果就此而由教师直接给出结论，那就不仅会失去开发学生思维的机会，影响学生的理解，而且会使教学变得枯燥乏味，抑制学生学习的主动性和积极性。
要启动学生的思维，就要有一个明确的可供思考的问题，使学生的思维有明确的指向。
这里提出的思考题是以相信学生对用方程表示曲线的事实已有了初步的认识为前提，它可以说是本节课的中心议题，应引导全班学生积极思维，让多一点学生发表意见，形成“高潮”。
在思考题的后面加上了“为什么”的问题。
是为了给那些还记着“直线的方程”的定义的学生提供思考余地，增大思考题的跨度。
）2、运用反例，揭示内涵师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。
现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一个事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把例1中曲线和方程的这种对应关系完整的表达出来？为了弄清这些问题，我们来研究下列例题。
（说明：在讨论中，学生会有各种不同的意见，教师应予鼓励，并随时补正纠错，但不要急着把两个关系并列起来抛出定义，中断学生的探索性思维，而是再提出问题，深入探索。
）例2:用下列方程表示如图所示的曲线C ，对吗？为什么？（1）0=-y x（2）022=-y x（3）0=-y x（学生思考，回答）师：方程（1），（2），（3）都不是表示曲线C 的方程。
第（1）题中曲线C 上的点不全是方程0=-y x 的解。
例如点)2,2(--A ，)3,3(--B 等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程022=-y x 的解为坐标的点却不全在曲线C 上。
例如)2,2(-D 、)3,3(-E 等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程0=-y x 的解坐标的点，如)3,3(-G 、)2,2(-H 等不在曲线C 上，又有曲线C 上的点，如)3,3(--M 、)1,1(--N 等的坐标不是方程0=-y x 的解。
事实上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况。
(1) (2) (3)师：上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系。
假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了。
（说明：在概念教学中，通过反例的反衬，常常起着帮助学生理解概念的作用。
反例一般应用在学生对概念有了初步的正面了解之后，这里却用在给出概念的定义之前，那是出于这样的考虑：（1）相信学生已经有了用方程表示曲线的经验，已能从直觉上识别哪个方程能表示哪条曲线（当然是简单的例子），哪个方程不能表示哪条曲线，缺少的只是用逻辑形式确切地加以陈述，给概念以定义；（2）将反例中出现的不完整性与直观引起矛盾，避免曲线和方程之间关系的不完整性，寻求作出必要的规定，这就是产生“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义的过程。
）3、讨论归纳，得出定义师：在下定义时，针对例2（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？（学生口答）师：为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定““曲线上的点的坐标都是方程的解”（板书）；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”（板书）这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：（1） 曲线上的点的坐标都是方程的解；（2） 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
（说明：在辨析反例之后，有了关于对象所共有的本质属性的正确认识，给对象以明确的定义已是水到渠成，这里单独列出作为一个教学步骤，是想突出这个中心环节，并有意识地训练学生依据知觉的分散的已知知识给概念下定义的创造能力。
）4、变换表达，强化理解师：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F 。
请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义。
（说明：这是本节课第二个思维的“热点”，将促使学生对曲线和方程关系的理解得到强化，是认识上的再一次抽象，其结果将使学生对曲线和方程的关系的理解与记忆都趋于简化。
）（学生思考、口答）师：关系（1）指点集C 是点集F 的子集；关系（2）指点集F 是点集C 的子集。