共焦点椭圆与双曲线离心率的一个完美结论
快速求离心率12个二级结论
快速求离心率12个二级结论在物理学中，离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数。
它可以通过多种方法进行计算，本文将介绍12个二级结论，帮助读者快速求解离心率。
以下是这些结论：1. 椭圆轨道的离心率定义为焦点之间的距离与长轴长度的比值。
即e = c/a，其中e表示离心率，c表示焦点之间的距离，a表示长轴长度。
2. 椭圆轨道的离心率范围在0到1之间，当离心率为0时，轨道为圆形，当离心率为1时，轨道为抛物线。
3. 焦距可以通过离心率与长轴的乘积得到，即c = ae。
4. 当离心率小于1时，椭圆轨道的焦点在轨道内部。
当离心率等于1时，焦点位于抛物线的顶点上。
5. 椭圆轨道的半长轴长度可以通过长轴长度和离心率计算得出，即b = a√(1-e^2)。
6. 椭圆轨道的半短轴长度可以通过半长轴长度和离心率计算得出，即c = b√(1-e^2)。
7. 离心率可以通过焦点之间的距离和轨道长度的比值求解，即e = 1 - (r_min/r_max)，其中r_min表示轨道的最小半径，r_max表示轨道的最大半径。
8. 当离心率小于1时，椭圆轨道的最小半径和最大半径分别为r_min = a(1-e)和r_max = a(1+e)。
9. 当离心率等于1时，抛物线轨道的最小半径为r_min = a，最大半径趋于无穷大。
10. 椭圆轨道的周长可以通过半长轴、半短轴和椭圆的周长公式计算得出，即C = 4aE(e)，其中E(e)表示第二类完全椭圆积分。
11. 椭圆轨道的面积可以通过半长轴和半短轴的乘积和π计算得出，即S = πab。
12. 当离心率接近于1时，椭圆轨道的形状趋近于一条直线。
当离心率趋近于0时，椭圆轨道的形状趋近于一条圆。
通过以上12个二级结论，读者可以快速求解椭圆轨道的离心率，并对其形状有一个清晰的了解。
离心率的求解在天体力学、航天工程等领域有着广泛的应用，对于研究天体运动和设计轨道具有重要意义。
圆锥曲线之求解离心率
一、快速求离心率的两种技巧 1. 赋值法适用于知道c b a ,,中两者之间的关系，如b a 2=,令12==b a ,,则233==e c , 2. 齐次式（等式两边次数和相同）如ac b 22=,则ac c a 222=-,该式左右两边次数之和都是二次,因此同乘21a 得e e 212=-,解得21+-=e （负值舍去）如22442c a c a =-应同乘41a ,2333ac c a =-应同乘31a注意:齐次式的方法必须消去b ,如222422c ab b a c b a =++⇒=+就无法用此法, 应该222222244442c a ac a c b ac a c b a c -=-+⇒=-+⇒=- 二、利用顶角求离心率的取值范围在椭圆中,顶角∠211F P F 最大. 证明:设∠θ=21PF F ,由余弦定理知()1412422424222222222-≥-=--+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m b mn b mn mn c n m mn c n m θcos 当且仅当n m =,θcos 取得取最小值.又因为(]πθ，0∈,θcos 单调递减,所以θcos 取得取最小值时,θ最大,此时a n m ==,=θ∠211F P F .例1. 椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 为其上一点,且∠321π=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .例2.（2017全国I,12）设B A ,是椭圆1322=+my x C :长轴的两个端点,若C上存在点M 满足∠︒=120AMB ,则m 的取值范围是A . (][)+∞⋃,,910B . (][)+∞⋃,,930C . (][)+∞⋃,,410D . (][)+∞⋃,,430变式1：若B A ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,长轴的两个端点,Q 为椭圆上的一点,使∠︒=120AQB ,求此椭圆离心率最小值为 .变式2:已知21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a b y a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,且∠9021=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .三、利用焦半径求离心率取值范围在椭圆中,21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,则c a PF c a +≤≤-2同理,双曲线中,a c PF -≥2. 例1.椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 是椭圆上一点,且212PF PF =,则此椭圆离心率的取值范围是 . 例2.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,点P 在双曲线的右支上,且214PF PF =,则此双曲线离心率e 的最大值为 .变式1.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,P 是双曲线上异于实轴端点的点,满足1221F PF a F PF c ∠=∠sin sin ,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A . ()3121++, B . ()+∞+,21C . ()212+, D . ()211+,四、利用渐近线求离心率取值范围过双曲线内一点①与双曲线只有一个交点的直线有两条(与渐近线平行)②与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,a b a b③与双曲线左、右两支相交于两点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+-a b a b ,.例1. 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x 轴上的双曲线的右焦点,与双曲线的两个焦点分别在左右两支上,则双曲线离心率的取值范围是 例2.设双曲线()01222>=-a y ax C :与直线1=+y x l :相交于两个不同的点B A ,,求双曲线C 的离心率e 的取值范围.变式 1. 已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( )A . (]21,B . ()21,C . [)+∞,2 D . ()+∞,2五、椭圆与双曲线共焦点问题 例1.已知共焦点21F F ,的的椭圆与双曲线,它们的一个公共点是P ,若021=⋅P F P F ,则椭圆的离心率1e 与双曲线的离心率2e 的关系式为( ) A .2112221=+e e B . 2112221=-e e C . 22221=+e e D . 22122=-e e变式 1. 设椭圆11022=+y x 双曲线1822=-y x 的公共焦点分别为21F F ,, P 是这两个曲线的交点,则21F PF ∆的外接圆半径为( )A . 1B . 2C . 22D . 3变式 2. 已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且321π=∠PF F ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A .334 B . 332 C .3 D . 3 六、圆锥曲线再论共焦点模型设椭圆和双曲线的长半轴分别为21a a ,,由椭圆和双曲线的定义知22112122a PF PF a PF PF =-=+,解得212211a a PF a a PF -=+=例1.椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,它们在第一象限的交点为A ,且21AF AF ⊥,︒=∠3021F AF ,则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A . 2B . 3C .21D .23 例2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为21F F ,,且两条曲线在第一象限的交点为P ,21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若101=PF ,椭圆与双曲线的离心率分别为21e e ,,则121+⋅e e 的取值范围为( )A . ()+∞,1B . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,34 C .⎪⎭⎫⎝⎛+∞,56 D . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,910变式1.已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且11PF PF >,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,若211F F PF =,则3321e e +的最小值为( )A . 326+B . 226+C . 8D . 6变式2. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,都在x 轴上,记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ,若21F PF ∆是以1PF (1F 为左焦点)为底边的等腰三角形,双曲线的离心率为3,则椭圆的离心率为七、圆锥曲线三站共焦点模型设θ221=∠PF F ,在21F PF ∆中,221211212122cb a a PF PFc F F +==+=由余弦定理知,()()()θθθ212421222212121221212221221cos cos cos +-=+-+=-+=PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF F F可得()θθ212212212121cos cos +=+-=b c a PF PF ,θθθθtan cos sin sin 21212121222121b b PF PF S PF F =+==∆ 同理可得,θtan 2221b S PF F =∆ 所以θθtan tan 2221b b =⇒()()222222212222221a c c a a c c a -=-⇒-=-θθθcos sin tan 两边同时除以2c ,得到1222212=+e e θθcos sin 例1.设21e e ,分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和圆锥曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=⋅PF PF ,则()2212221e e e e +的值为( ) A .21B . 1C . 2D . 不确定 例2.已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则当211e e 取最大值时,的值分别是( )A .2622, B . 2521, C . 633, D . 342, 变式 1. 已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则2111e e +的最大值为 .变式2.已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同,且离心率互为倒数,21F F ,是它们的公共21e e ,焦点,P 是椭圆与双曲线在第一象限的交点,若321π=∠PF F ,则椭圆1C 的离心率为A .33 B . 23 C . 22 D . 21八、圆锥曲线线段最值问题空间中定点到圆锥曲线上动点线段长度问题 处理策略:1. 二次函数 2. 参数方程例1. 设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是A . 25B .246+ C . 27+ D . 26九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式椭圆的第二定义:平面上到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数e .对椭圆12222=+b y a x ,相对于焦点()0,c F 的准线方程是c a x 2=设过左焦点1F 的直线交椭圆于点B A ,,过A 向准线ca x 2=作垂线于点D⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=θcos 1211AF c c a e AD e AF e AD AF 解得θcos c a b AF -=21同理可得,θcos c a b BF +=21设()121>=λλAF AF ,得θθθθθθλcos cos cos cos cos cos e e c a c a c a b c a b -+=-+=+-=1122⇒11-+=λλθcos e 即1111BF AF BF AF e +-==和差θcos例1. 双曲线),(:0012222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 与B A ,两点,若FB AF 4=,则C 的离心率为例2. 已知椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的离心率为23,过右焦点F 且斜率为)(0>k k 的直线与C 相交于与B A ,两点.若BF AF 3=,则=k变式 1. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为变式 2. 设椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的右焦点F ,过F 的直线与椭圆C 相交于与B A ,两点,直线l 的倾斜角为︒60,FB AF 2= (1) 求椭圆C 的离心率 (2) 如果215=AB ,求椭圆C 的的方程.十、椭圆的焦半径公式坐标式 设椭圆上一点),(y x A ,则exa AF ex a AF -=+=21例1. 已知ABC ∆是椭圆192522=+y x 的内接三角形,F 是椭圆的右焦点,且ABC ∆的重心在原点0,则C B A ,,三点到F 的距离之和为( )A . 9B . 15C . 12D . 8变式1. 已知椭圆13422=+y x 的左右焦点分别为21F F ,,P 为椭圆上一动点. (1) 求21PF PF 的取值范围； (2) 求21PF PF ⋅的取值范围.九、快速求离心率的两种技巧 十、利用顶角求离心率的取值范围 例1.解:由题意知,有一点P 使∠321π=PF F ,则椭圆的顶角∠3211π≥F P F ,所以∠621π≥F OP ,又因为a c F OP =21sin ,则21621=≥=πsin sin a c F OP 故⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈121,e例2.变式1.变式2.十一、利用焦半径求离心率取值范围例1.例2.变式1.十二、利用渐近线求离心率取值范围例1变式1十三、椭圆与双曲线共焦点问题例1变式2十四、圆锥曲线再论共焦点模型例1例2变式1变式2十五、圆锥曲线三站共焦点模型例1例2变式1变式2十六、圆锥曲线线段最值问题例1九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式例1例2变式1变式2十、椭圆的焦半径公式坐标式例1变式1。
共焦点椭圆与双曲线离心率的一个完美结论
共焦点椭圆与双曲线离心率的一个完美结论
椭圆与双曲线的离心率都极其重要，它们都是一类几何曲线。
它们之间的共同点及不
同点更是人们普遍关注的问题，关于这两者之间比较，共同及不同处有很多研究，而其中
离心率尤其值得深入研究，也是我们要重点贴近的问题。
首先，椭圆与双曲线之间离心率的不同在于，椭圆离心率有限制，只能大于0小于1，其余双曲线无此限制，可以大于1或小于0，就像拉伸变形一样，椭圆的大小也不会受到
离心率的影响，双曲线的大小会受到离心率的影响。
进一步讲，椭圆的离心率比较狭小，和双曲线的离心率相比，其轨迹变化程度相对较小，且不会因为离心率而改变大小；反观双曲线，其离心率比较宽松，其轨迹变化范围较大，且其大小会受到离心率的影响。
专题16妙解离心率问题(12大核心考点)(课件)-2025年高考数学二轮复习讲练测(新教材新高考)
在Rt △ 中，由∠ = ，得 = sin =
2sin, = cos = 2cos，
1
所以2sin + 2cos = 2，所以 = sin+cos =
）
π
ቁ
4
∈
，
,
12 3
6
,
2
所以 =
π
，所以 + 4 ∈
= ( > , > )的左、右焦点，为双曲线上的任一点，
≥ �� − ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． , 为椭圆 + = 的左、右焦点，为椭圆上的动点，若
∠ = ，则椭圆离心率的取值范围为 ≤ < ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
+ = 的离心率分别为 ， ．若 = ，则
D．
= ( > , > )的离心率为 ，的一条渐近线与圆( − ) + ( − ) =
交于，两点，则|| = ( D )
A．
B．
C．
3．（2022•甲卷）椭圆: + = ( >
2sin(+ 4 )
，∴ sin( + 4 ) ∈
∴∈
3 − 1,
6
3
2+ 6，46 1+ 3, 2
2
．
．故选：A．
考点题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
2
【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点1 ，2 分别是椭圆 2
+
双曲线离心率常考题型总结-高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
第18讲 双曲线离心率常考题型总结【知识点梳理】椭圆的离心率()10<<=e ac e ，222222221a b a b a a c e +=+== 【题型目录】题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值 题型二：双曲线的离心率范围范围问题题型三：椭圆和双曲线共焦点离心率之间的关系（利用定义或者焦点三角形面积公式） 题型四：利用中点弦公式（点差法）求离心率 【典型例题】题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值【例1】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，M 是双曲线C 上一点，若120MF MF ⋅=，2212OM OF c ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 3B 31 C 2D 21【答案】B【分析】根据双曲线的定义及几何性质结合向量的数量积直接可得离心率. 【详解】()()22121221111242OM OF MO F F MF MF MF MF c ⎛⎫⋅=-⋅=-+⋅-= ⎪⎝⎭，则222122MF MF c -=，又因为120MF MF ⋅=，12MF MF ⊥，即222124MF MF c +=， 所以13MF c =，2MF c =， 所以1223a MF MF c c =-=-， 则31e =+， 故选：B.【例2】（云南省三校2023届高三上学期高考备）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（ ） A 21 B ．2C 3D 2【答案】A【分析】由题可得112F M F F =，从而可建立方程，即可得出双曲线的离心率.【详解】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22b c a =，222c a ac ∴-=， 2210e e ∴--=，12e ∴=±，1e >， 21e ∴=+. 故选：A【例3】（2022·陕西省安康中学高三阶段练习（文））设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F O为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足1222MF MO MF ==，则双曲线的离心率为（ ） A ．6 B ．3C 6D 3【答案】C【分析】判断M 点位置，过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，可得22cAF =，132c AF =，设2MF m =，利用勾股定理表示出2||MA ，可得2232m c =，结合双曲线定义可得2m a =，即可求得a,c 的关系，进而求得离心率.【详解】因为1222MF MO MF ==,则2MO MF =， M 在双曲线右支上， 过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，则A 为2OF 的中点，所以22cAF =，132c AF =， 设2MF m =，则12MF m =，故在1Rt MAF △中，2229||44MA m c =-.在Rt 2MAF 中，222||4c MA m =-，则22229444c m c m -=-，即2232m c =.因为122MF MF a -=，则2m a =，所以223(2)2a c ⨯=，即226c a =， 所以6ce a==， 故选：C.【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点，A ，B 是C 右支上的两点，且直线AB 经过点2F ．若222AF BF =，以12F F 为直径的圆经过点B ，则C 的离心率为（ ） A 17 B 2C 5D 15+ 【答案】A【分析】由以12F F 为直径的圆经过点B 得1290F BF ∠=︒，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.【详解】由题意得1290F BF ∠=︒，设2BF m =，则12BF m a =+，22AF m =，122AF m a =+，||3AB m =，在1Rt ABF 中，由勾股定理得()()()2222322m a m m a ++=+，解得23m a =， 则223BF a =，183BF a =， 在12Rt F BF 中，由勾股定理得()22228233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22179c a =，所以C 的离心率173c e a ==， 故选：A.【例5】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 3l 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2B 3C 5D ．2【答案】A【分析】结合向量运算、双曲线的定义建立等量关系式，利用直线l 的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅=，所以2F D MN ⊥. 因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-. 因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+. 所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===. 在Rt 12F F D 中，2224F D c t =-； 在Rt 2MF D 中，2224F D t a =-.所以222244c t t a -=-，解得22222t a c =+. 所以22222122,22F D c a F D t a c =-==+. 因为直线l 的斜率为33， 所以22212221223tan 322F D c a DF F F D a c∠-===+，所以2222221,23c a c a a c -==+， 2c a =，所以离心率为2ca=. 故选：A【点睛】求双曲线离心率的方法有：（1）直接法：利用已知条件将,a c 求出，从而求得离心率e ；（2）方程法：利用已知条件列出关于,a c 或,a b 的方程，化简求得离心率.【例6】（2022·江苏南通·高二期末）已知双曲线2221y x b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 、Q 是双曲线上关于原点对称的两点，1OP OF =，四边形12PFQF 的面积为2，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C ．2 D 5【答案】A【分析】分析可知四边形12PFQF 为矩形，利用勾股定理结合双曲线的定义可得出2122PF PF b ⋅=，利用三角形的面积公式可求得b 的值，即可求得该双曲线的离心率的值.【详解】由已知12OP OF OF ==，所以，11OPF OFP ∠=∠，22OPF OF P ∠=∠， 所以，1122122OPF OF P OPF OF P F PF π∠+∠+∠+∠=∠=，可得122F PF π∠=，由勾股定理可得222212124PF PF F F c +==， 由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 所以，()222212121224PF PF PF PF PF PFb ⋅=+--=，由双曲线的对称性可知，四边形12PFQF 为矩形，所以，12212112F PF S PF PF b =⋅==△， 所以，222c a b =+=，故该双曲线的离心率为2ce a==.故选：A.【例7】（2022·陕西安康·高二期末（理））已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的左顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且2π3PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B 2C 3D 21【答案】D【分析】由圆的对称性，并联立渐近线方程求P 、Q 坐标，结合已知易得2π6PAF ∠=，根据2tan 2b PAF a∠=得到齐次方程求参数关系，即可得离心率.【详解】设以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，且P 、Q 关于原点对称，由222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩或x a y b =-⎧⎨=-⎩，∴(),P a b ，(),Q a b --． ∴(),0A a -，2π3PAQ ∠=， ∴2π6PAF ∠=， ∴23tan 32bPAF a∠==， ∴2234b a =，即()22234c a a -=，∴2273c a =， ∴213c e a ==． 故选：D【例8】（2022·辽宁·高三期中）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若112,.F A AB F B F B =＝0，则C 的离心率为（ ） A 3B 51 C ．3 D ．2【答案】D【分析】本题首先可结合题意绘出图像，结合已知条件得出1OA F B ⊥、1OF OBc 以及直线1F B 的方程为()ay x c b=+，然后联立直线1FB 的方程与渐近线方程，求出B 点坐标，再然后根据22OB c =得出223b a =，最后根据222c a b -=以及离心率计算公式即可得出结果. 【详解】如图，结合题意绘出图像：因为1F A AB =，120F B F B ⋅=，O 是12F F 中点， 所以A 是1F B 中点，12F B F B ⊥，1OA F B ⊥，1OF OBc ，因为直线OA 是双曲线22221x y a b-=的渐近线，所以OA b k a=-，1F B a k b =，直线1F B 的方程为()ay x c b =+，联立()ay x c bb y xa⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 则4222222222222()()a c abc OB c b a b a =+=--，整理得223b a =，因为222c a b -=，所以224a c =，2ce a==， 故选：D.【例9】（2022·浙江·温岭中学高二期末多选）设双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作圆D 的切线与C 交于M ､N 两点，且124cos 5F NF ∠=，则C 的离心率可以为（ ）A 5B ．53C 34D 13 【答案】BD【分析】当直线与双曲线交于两支时，设过1F 的切线与圆222:D x y a +=相切于点P ，从而可求得1PF ，过点2F 作2F Q MN ⊥于点Q ，由中位线的性质求得12,FQ QF ，在2Rt QNF 中，可求得2,NF NQ ，利用双曲线的定义可得,a b 的关系，再由离心率公式求解即可，当直线与双曲线交于同一支时，同理可求得离心率 【详解】当直线与双曲线交于两支时，设过1F 的切线与圆222:D x y a +=相切于点P ，则1,OP a OP PF =⊥，因为1OF c =，所以222211PF OF OP c a b =-=-=，过点2F 作2F Q MN ⊥于点Q ， 所以OP ∴2F Q ， 因为O 为12F F 的中点，所以1122FQ PF b ==，222QF OP a ==， 因为124cos 5F NF ∠=，12F NF ∠为锐角， 所以1212231cos sin 5F NF F NF ∠∠=-=，所以22122103sin 35QF a a NF F NF ===∠， 所以2121048cos 353a aNQ NF F NF =∠=⨯=， 所以11823aNF NQ FQ b =+=+， 因为122NF NF a -=， 所以8102233a a b a +-=，化简得34b a =， 所以43b a =， 所以离心率为22451133c b e a a ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当直线与双曲线交于一支时，记切点为A ，连接OA ，则1,OA a F A b ==， 过2F 作2F B MN ⊥于B ，则22F B a =， 所以2211222BF F F BF b =-=，因为124cos 5F NF ∠=，所以12F NF ∠为锐角， 所以1212231cos sin 5F NF F NF ∠∠=-=，所以22122103sin 35BF a aNF F NF ===∠，2121048cos 353a a NB NF F NF =∠=⨯=， 所以11823aNF NB F B b =-=-, 所以211082233a a NF NF b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，化简得32b a =， 所以23b a =， 所以离心率为222131133c b e a a ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，双曲线的离心率为53或133，故选：BD【例10】（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（ ） A 3B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由重心坐标求得I 的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G 的坐标，再根据IG 与x 轴平行，由I G y y =求解. 【详解】解：如图所示：由题意得：()()2121,0,,0,,b Fc F c P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2,33c b G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由圆的切线长定理和双曲线的定义得122AF AF a -=， 所以(),0A a ，则(),I a a ， 因为IG 与x 轴平行， 所以I G y y =，即23b a a=，则223b a =，即224c a =， 解得2e =， 故选：B 【题型专练】1.（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于M ，N 两点，且2OM ON =，则C 的离心率为（ ）A ．43B 3C 23D 6【答案】C【分析】通过图形，利用圆、双曲线的几何性质，根据题设得到,,a b c 的等量关系，算出双曲线的离心率． 【详解】过点A 作AP MN ⊥于点P ，则点P 为线段MN 的中点，因为点A 为(,0)a ，渐近线方程为by a=±，所以点A 到渐近线b y x a =的距离为20||1⋅-==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ba ab aAP c b a ，在Rt OAP △中，22222||||||⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ab a OP OA AP a c c ，在Rt NPA 中，22222||||||⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ab b NP AN AP b c c ，因为2OM ON =，所以||||||2||||3||=+=+=OP ON NP NP NP NP ， 所以223=⨯a b c c，即223a b ，所以离心率223e 13⎛⎫==+= ⎪⎝⎭c b a a ．故A ，B ，D 错误.故选：C ．2.（2022·河北保定·高一阶段练习）已知12F F 、是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1212120,3F PF PF PF ∠=︒=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 7B 13C 7D 13【答案】B【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为12120F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos120a c a a a =+-⨯⋅⋅︒， 整理可得22413c a =， 所以222134a c e ==，即132e =. 故选：B3.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线()22:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C 5D 6【答案】C【分析】由双曲线定义可得21,MF MF ，根据平行关系可知12cos aF F M c∠=，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限， 由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=； 设过点2F 且与l 平行的直线的倾斜角为α，则tan b a α=，22cos a a ca b α∴==+， 12cos aF F M c∴∠=； 在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，225c e a ∴==. 故选：C.4.（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x yC a b ab-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 6C 2D ．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用直角三角形勾股定理及面积公式列式，再结合双曲线定义即可计算作答. 【详解】依题意，12PF PF ⊥，令1(,0)F c -，2(,0)F c ，则有22221212||||||4PF PF F F c +==，由212||(12||)PF PF S +=得：21211222||2||||6||||||PF PF PF PF PF PF =++，即有212||||PF PF c =，而222221221214(||)||2||2||||||a PF PF PF PF PF c PF =-=+-=，所以2ce a==. 故选：C【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -＝，得到a ，c 的关系．5.（2023·全国·高三专题练习）如图，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F M 为双曲线右支上一点，直线1MF 与圆222x y a +=相切于点Q ，2MQ MF =，则双曲线的离心率为（ ）A 5B 6C 5D 6【答案】A【分析】由已知结合双曲线定义可得12FQ a =，在1Rt FQO 中利用勾股定理即可求出. 【详解】由题可得11FQ MF MQ =-，因为2MQ MF =，所以1122FQ MF MF a =-=， 则在1Rt FQO 中，222(2)a a c +=，即5c a =，即5ce a==. 故选：A.6．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知双曲线2222x y C a b-： = 1 (00)a b >>，的右焦点F ，过点F 作一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，若l 与另一条渐近线交于点N ，且满足5MF MN =，则该双曲线C 的离心率为（ ） A 210B 10C 26D 6【答案】A【分析】作图，利用图中的直角三角形和双曲线的几何关系求出a 与b 的关系即可.【详解】设坐标原点为O ，M 点在第一象限，则22c a b =+，则OF c =， 渐近线1l 的方程为0bx ay -= ，(),0F c ， 运用点到直线的距离公式22bc MF b a b ==+ ，22OM OF MF a ∴=-= ，因为5MF MN =，∴44NF MF b ==，∴4OMFONFS S=，1sin 2OMFSOM OF MOF =∠ ，1sin 2ONFS ON OF NOF =∠ ， 因为x 轴平分∴MON ， 所以44ON OM a ==，又因为OM MN ⊥，所以222OM MN ON +=，即2222516a b a +=， 得22153255b a ==， 设C 的离心率为e ，则22222815c b e a a ==+=，所以821055e ==； 故选：A.7．（2022·河南·高三开学考试（文））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线的左､右两支分别交于,M N 两点，且()22220,0F M F N F M F N MN ⋅=+⋅=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3【分析】根据已知条件作出图形，设D 为MN 的中点，连接2F D ，再根据向量的线性运算以及两向量垂直数量积为0得出2MF N 为等腰直角三角形，再利用双曲线的定义列出方程组，求出2MF 、2NF 和1MF 的长，进而利用几何关系列出关于离心率的齐次式求得双曲线的离心率. 【详解】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D ，易知2222F M F N F D +=，∴()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅=， ∴2F D MN ⊥，又D 为MN 的中点，∴22F M F N =，220F M F N ⋅=，∴22F M F N ⊥，∴2MF N 为等腰直角三角形，设22MF NF m ==，由双曲线的定义知11222m MF am MF m a ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22m a =，∴()1221MF a =-，又122MD MN a ==， ∴1122F D MF MD a =+=.在12Rt F F D 中，122F F c =，22DF MD a ==， ∴2224(22)(2)c a a =+，化简得223c a=，即23e =，又()1,e ∈+∞，∴3e =. 故答案为：3.8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线l 垂直于双曲线的一条渐近线，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若225AF F B =，则双曲线C 的离心率e 为______． 【答案】153【分析】联立直线方程可得点A ，B 的坐标，结合225AF F B =，可得22b a，进而可得离心率.【详解】由题意，双曲线C 的渐近线为by x a=±，若过2F 的直线l 与直线b y x a =-垂直，垂足为A ，直线l 与直线by x a=交于B ，()2,0F c ， 因为225AF F B =，所以2F 在A ，B 之间，如图所示，直线l 的方程为()ay x c b=-，由()a y x c b b y xa ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22222,a c abc A ab a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由()ay x c bb y x a⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得22222,a c abc B a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由225AF F B =，可得22225abc abc a b a b -=+-，所以222251a b a b =+-，所以2223b a =，所以双曲线C 的离心率222151133b e a =+=+=．同理，过2F 的直线l 与直线b y x a =垂直时，双曲线C 的离心率153e =．综上所述，双曲线C 的离心率e 为153，故答案为：153. 9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线()22:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且2BF AF =，则双曲线C 的离心率是________．【答案】3【分析】连接AF '，BF '，结合双曲线定义及余弦定理解三角形，可得离心率.【详解】设双曲线的左焦点为F '，连接AF '，BF '，由条件可得22BF AF AF AF AF AF a '-=-=-=，则2AF a =，4BF a =，60F AF '∠=︒，所以2222cos FF AF AF AF AF F AF ''''=+-⋅⋅∠， 即222214164162c a a a =+-⨯，即22412c a =，3c a = 所以双曲线的离心率为：3==ce a， 故答案为3.10．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知点A ，B 是双曲线()22:10,0x y C a b a b-=>>的左､右顶点，过点B 作倾斜角为3π的直线l 交C 于点P ，点M 是线段AP 的中点.若OM OA =，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 31【答案】A【分析】先由中位线结合OM OA =求得2PB a =，进而求出P 点坐标，代入双曲线C 的方程，求得22b a =，即可求出离心率.【详解】易得O 是线段AB 的中点，又点M 是线段AP 的中点，则OM PB ，又OM OA =，则2AB PB a ==，作PQ x ⊥轴于点Q ，又3PBQ π∠=，则,3BQ a PQ a ==，则(2,3)P a a ，代入C 可得2222431a a a b -=，解得22b a =，故离心率为2212c b a a=+=.故选：A.题型二：双曲线的离心率范围范围问题【例1】设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 【答案】A【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba33b a <∴21()33b a <≤，241()43ba<+≤，2231()2b a <+，又双曲线的离心率为21()c b e a a ==+232e <≤． 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ） A ．()1,2 B ．()1,4C ．)2,2D ．()2,4【答案】B【分析】根据角平分线的性质得出15PF a =，23PF a =，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.【详解】设双曲线的半焦距为()0c c ＞， 离心率为e ， 由214OQ OF =，则154QF c =，234QF c =，因为PQ 是12F PF ∠的平分线， 所以12:5:3PF PF =,C O O 06011A B 22A B 1122A B A B =1A 1B 2A 2B C 23(,2]323[,2)33()3+∞3[)3+∞又因为122PF PF a -=， 所以125,3PF a PF a ==，所以53222a a c a c +>⎧⎨<⎩，解得14c a <<，即14e <<，所以双曲线的离心率取值范围为(1,4). 故选：B【例3】（2022四川成都七中高三开学考试（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，1A ，2A 是实轴顶点，F是右焦点，(0,)B b 是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得12(1,2)i P A A i =△构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．A ．612,+⎭B ．512,+⎭C ．51⎛+ ⎝⎭D ．51⎫++∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【分析】将题意转化为以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点，再数形结合列不等式化简求解即可.【详解】以1A ，2A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点， 所以b a >，2222b c a a =->， 解得2c e a=>；且圆心(0,0)到直线BF ：0bx cy bc +-=的距离22bc d a b c =<+，化简得2b ac <，所以22c a ac -<，210e e --<， 又1e >，解得1512e +<<， 所以双曲线离心率的取值范围是1522e +<<． 故选：B【例4】（2022河南高三开学考试（文））已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(]2,3C ．(]1,3D ．(]1,2【答案】C【分析】由双曲线定义221PF PF ()2112PF a PF +=，变形后由基本不等式得最小值，从而得12PF a =，再利用双曲线中的范围有1PF c a -，由此结合可得离心率的范围．【详解】1F ，2F 是左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，所以212PF PF a -=，代入221PF PF 得()2222121111112444248PFa PF a a PF a PF a a PF PF PF PF +==++⨯+=，当且仅当12PF a =时取等号，即12PF a =，又点P 是双曲线左支上任意一点，所以1PF c a -，即23a c a e -⇒，13e <.故选：C ．【例5】（2022·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线上存在点P （点P 不与左、右顶点重合），使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线C 的离心率的可能取值为 （ ） A 6B 3C 10D ．2【答案】BC【分析】由0b a >>可得2e >，记∴PF 1F 2=α ，利用正弦定理结合双曲线及离心率的定义，利用分比定理以及三角恒等变换公式化简离心率.然后利用余弦函数的性质得到离心率的取值范围，进而做出判定.【详解】∴0b a >>，则离心率2212b e a=+>，则排除A ；记()12045PF F αα∠=︒<<︒，1PF m =，2PF n =， 则213,2PF F m n a α∠=-=，由正弦定理结合分比定理可知：22sin 3sin sin 4sin 3sin sin 3sin m n c m n aααααααα-====--， 则()()()sin 42sin 2cos 22cos 2,2sin 3sin sin 2sin 2e αααααααααα===∈-+--， 所以B ，C 是正确的，D 不正确. 故选：BC. 【题型专练】1．2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为122,,c F F 为其左右两个焦点，直线l 经过点(0,)b 且与渐近线平行，若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．2) B ．(2,3) C ．3) D ．(2,)+∞【答案】A【分析】根据题意分析满足122PF PF b -=的点P 的轨迹，再根据此轨迹与直线l 有交点，结合渐近线的性质求解即可；【详解】因为满足122PF PF b -=的所有点在以12,F F 为焦点，长轴长为2b ，短轴长为2222c b a -=的双曲线，即22221x y b a -=上.故若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线22221x y b a-=与直线l 有交点即可.又直线:b l y x b a =±+，数形结合可得，当b a <或22221x y b a -=的经过一象限的渐近线的斜率a b b a > 即可，两种情况均有2222a b c a >=-，故222c a<，故离心率(1,2)e ∈故选：A2.（2022·全国·高二专题练习）设双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，双曲线C 的一条渐近线为l ，以F 为圆心的圆与l 交于点M ，N 两点，MF NF ⊥，O 为坐标原点，()37OM ON λλ=≤≤，则双曲线C 的离心率的取值范围是______． 【答案】5524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】取直线l 的方程为by x a=，过点F 作FE l ⊥于E ，则有EF b =，MNF ∴△为等腰直角三角形，所以||OE a =,||OM a b ,||ON a b ,由OM ON λ=，可得11b a λλ-=+，即可得211()1e λλ-=++，即可得出离心率的取值范围.【详解】解：由题可知，点()0F c ，，如图所示，不妨取直线l 的方程为by x a=，过点F 作FE l ⊥于E ，则F 到直线l 的距离22||1bca EFb b a==+，MF NF ⊥，且||||MF NF =， MNF ∴△为等腰直角三角形，||2||2MN EF b ∴==，||||ME NE b ==，2222||OE OF EF c b a ∴=-=-=，||||||OM OE ME a b =+=+，|||||ON OE NE a b －|－==，OM ON λ=，()a b a b λ∴+=－，即11b a λλ-=+， ∴离心率2211()1()1c b e a a λλ-==+=++， 令()12111f λλλλ-==-++，[]37λ∈，，则()()()37f f f λ⎡⎤∈⎣⎦，，即()13[24f λ∈，]， 5524e ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，．故答案为：5524⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.3.（2022·全国·模拟预测（文））已知点F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ．若∴OAF （点O 为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率3,5e ⎡∈⎣，则2a 的取值范围为（ ）A ．2,22⎡⎤⎣⎦B ．4,2⎡⎣C ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据∴OAF 的面积得到8ab =，然后利用离心率的取值范围得到关于2a 的不等式，求解即可. 【详解】取双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=. 则F 到渐近线的距离即22bc FA b a b ==+，2222OA OF FA c b a =-=-=，142OAF S ab ∆∴==，即8ab =. 又3,5e ⎡⎤∈⎣⎦，[]2222222213,5c a b b e a a a +∴===+∈，易得22224a b a ≤≤，即22282()4a a a≤≤，解得24,42a ⎡⎤∈⎣⎦. 故选：B.4.（2022·山西·模拟预测（理））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为(),3,0A Q a 在x 轴上，若C 上存在一点P （异于点A ）使得AP PQ ⊥，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,+∞B ．()2,+∞C ．(2D ．(2【答案】D【分析】设(),P x y ，则由已知可得P 点的轨迹方程为222(2)x a y a -+=(),3x a x a ≠≠，与双曲线方程联立可求出P 点横坐标32223a ab x a b -=+，由题意知点P 在双曲线的右支上，32223a ab a a b->+，化简可得22a b >，从而可求出离心率的取值范围 【详解】设(),P x y ，(,0)A a ∴AP PQ ⊥，P ∴点的轨迹方程为222(2)x a y a -+=(),3x a x a ≠≠.联立()222222221x a y a x y a b ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩得()2223422430a b x a x a a b +-+-=，解得x a =（舍去），32223a abx a b-=+， 由题意知点P 在双曲线的右支上，即x a >， 故32223a ab a a b->+，化简得22a b >， 因为221b e a =+，所以12e <<，故选：D.5.（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于M ，N 两点，且110NF MF ⋅<，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________. 【答案】()21,++∞【分析】表达出M ，N 两点坐标，进而利用向量数量积列出不等式，求出离心率的取值范围. 【详解】当x c =时，22221c y a b-=，解得：2b y a =±，不妨设22,,,b b M c N c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22421122,2,40b b b NF MF c c c a a a ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2222ac b c a <=-，不等式两边同除以2a 得：2e 2e 10-->， 解得：e 21>+ 故答案为：()21,++∞6．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率分别为1e ，2e 25，则1e 的取值范围为______，2e 的取值范围为______． 【答案】 5,15⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭351,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于255，即可得出0<2245b a <,由此即可求出1e 、2e 的取值范围. 【详解】设椭圆和双曲线的焦距分別为12c ，22c ，由题意，得双曲线的渐近线方程为by x a=±，所以2505b a <<，则0<2245b a <， 所以211251,15c b e a a ⎛⎫==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，22223511,5c b e a a ⎛⎫==+∈ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：5,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；351,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭题型三：椭圆和双曲线共焦点离心率之间的关系（利用定义或者焦点三角形面积公式）【例1】（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ）A ．43B 43C ．4D 46【答案】B【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知，设1PF m =，2PF n =，122F F c =， 椭圆和双曲线的离心率分别为1c e a=，21c e a =，因P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则由余弦定理可得：22242cos3c m n mn π=+-……∴在椭圆中，由定义知2m n a +=，∴式化简为：22443c a mn =-……∴在双曲线中，由定义知12m n a -=，∴式化简为：22144c a mn =+……∴由∴∴两式消去mn 得：222116412c a a =+，等式两边同除2c 得2212234a a c c =+， 即2212134e e =+， 由柯西不等式得2221212*********e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1211433e e ∴+≤.故选：B【例2】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=，双曲线2C 和椭圆1C 有相同的焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点．若12π3F PF ∠=，则（ ） A ．212e e = B ．123e e =C ．221252e e += D ．22211e e -= 【答案】BD【分析】先由条件120MF MF ⋅=得出12MF F △为等腰直角三角形，即可得出椭圆长半轴长a ，短半轴b ，长半焦距c 的关系，从而得出椭圆的离心率1e ；然后在焦点三角形12PF F △中，利用余弦定理得出双曲线实半轴长为2a ，半焦距为c 的关系，从而得出双曲线的离心率2e ，依次对选项验证即可。
圆锥曲线离心率归类(学生版)
圆锥曲线离心率归类目录题型01 离心率基础题型02 第一定义求离心率题型03 中点型求离心率题型04 点差法型求离心率(第三定义型)题型05 渐近线型离心率题型06 渐近线中点型求离心率题型07 构造a、b、c齐次式型题型08 焦半径型离心率题型09 焦点三角形求离心率题型10 双焦点三角形余弦定理型题型11 焦点三角形双角度型题型12 共焦点型椭圆双曲线离心率题型13 借助均值不等式求共焦点型题型14 焦点三角形内心型求离心率题型15 焦点三角形重心型求离心率题型16 小题大做型求离心率高考练场题型01离心率基础【解题攻略】求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.1P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F为椭圆的右焦点，PF⊥x轴，过点P作斜率为13的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为()A.16B.13C.23D.562(2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习)双曲线y =kx(k >0)的离心率用e =f (k )来表示，则f (k )()A.在(0,+∞)上是增函数B.在(0,+∞)上是减函数C.在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数D.是常数3(2023秋·高三课时练习)实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为()A.2B.2C.3D.34已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为C 上一点，若PF 2⊥F 1F 2，且∠PF 1F 2=30°，则椭圆C 的离心率为()A.16B.36C.13D.335已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，若△PF 1F 2的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C 的离心率为( )．A.34B.45C.23D.225题型02 第一定义求离心率【解题攻略】解题时要把所给的几何特征转化为a ,b ,c 的关系式．求离心率的常用方法有：(1)根据条件求得a ,b ,c ，利用e =ca或e =1+b 2a2求解；(2)根据条件得到关于a ,b ,c 的方程或不等式，利用e =ca将其化为关于e 的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (5，0)，点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，且AF ⊥BF ，|AF ||BF |=43，则C 的离心率为.2设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点F (2,0)点A (-2,1)为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ，使得PA +PF =8，则椭圆E 的离心率的取值范围是()A.49,47B.49，47C.29,27D.29,273椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1､F 2，直线l :y =kx 与C 交于A ､B 两点，若F 2O =12AB ，∠BAF 2=θ，当θ∈π12,π6时，C 的离心率的最小值为()A.2-1B.22C.63D.3-14已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (5，0)，点A ，B 为C 上关于原点对称的两点，且AF ⊥BF ，|AF ||BF |=43，则C 的离心率为.5设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，点Q c ,a2 在椭圆的内部，点P 是椭圆上的动点，且PF 1 +PQ <5F 1F 2 恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为()A.14,22B.13,32C.13,22D.14,1题型03 中点型求离心率【解题攻略】直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。
高考数学二轮复习专题11 离心率问题速解(精讲精练)(解析版)
专题11离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A2B．2C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQk k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率c e a = A.2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．2【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =+，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2e ==，故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为22221121222413DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e 4=.故答案为：4．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以==c e a 又因为1e >，所以1e <≤故答案为：2（满足1e <≤皆可）【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<14πα<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即椭圆离心率e 的取值范围是23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选B .例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为090，所以b c =，所以a =，所以c e a ===，故应选C ．例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅= ，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）AB ．1517C ．1315D ．1317【答案】D【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中，设25PF m =（0m >），则112PF m =，1213F F m ==，所以213c m =，12217a PF PF m =+=，所以213217c e a ==.故选：D.核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设()00,P x y ，则()100,PF c x y =--- ，()200,PF c x y =--，因为120PF PF ⋅> ，所以()()0000,,0c x y c x y ---⋅-->，即222000c x y -++>，即22200x y c +>，因为点P 是椭圆上的任意一点，所以2200x y +表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为()22200minx y b +=，所以22b c >，所以222a c c ->，即2212c a <，所以2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．311212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又12r a >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则c a ≥11212e ≤<．故选：C例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（）．A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122⎡⎫⎢⎣⎭【答案】C 【解析】如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，012P F F ∴△中，10260F P F ∠≥︒，可得02Rt P OF △中，0230OP F ∠≥︒，所以02P O ，即b ≤，其中c =2223a c c ∴-≤，可得224a c ≤，即2214c a ≥椭圆离心率ce a=，且0a c >>112e ∴≤<故选:C例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.1-【解析】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B 、F 为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BN ，所以四边形AFBN为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+，又由离心率的公式得211π2sin cos )4c e a ααα==++，由ππ[,]64α∈，则5πππ1242α≤+≤，所以112)π4α≤≤+1-.1例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.【答案】2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为1F ，连接11AF AF BF BF ，，，，则四边形1AFF B 为矩形.根据椭圆的定义：12AF AF a ABF α+=∠=，，则1BAF α∠=.∴1||2c sin ||2cos 22cos 2AF AF c a c c sin αααα=⋅=⋅=⋅+⋅，，椭圆的离心率2112sin cos 2sin 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴51242πππα≤+≤，则2(31)sin 144πα+⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴213122sin()4πα≤≤-+，∴椭圆离心率e 的取值范围2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故答案为：2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.【答案】2623⎢⎣⎦【解析】记椭圆C 的左焦点为F '，连AF '，BF '，由椭圆的对称性和性质知BF AF '=，2AF B AFB π∠∠=='，由2AF BF a +=，可得2cos 2sin 2c c a θθ+=，得11sin cos 4c e a πθθθ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,423πππθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 14πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以23e ≤≤.故答案为：2⎢⎣⎦.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于_______．【答案】4【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，()1,0F c -，()2,0F c ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，112PF a a ∴=+，212=-PF a a ，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形12PF QF 为平行四边形，260QF P ∠= ，12120F PF ∴∠= ，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∴=+-∠，即()()()()22222121212121243c a a a a a a a a a a =++-++-=+，22122222123314a a e e c c∴+=+=.故答案为：4.例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（）A ．24B ．37C ．49D ．52【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长2a ，焦距2c ,则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a，如图在△F1PF2中,根据余弦定理可得：()()()22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，所以()2222222112122222121231213148448437494e e w e e e e e e e e ⎛⎫=+=⨯+⨯+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1242e e ==时，取等号.故选:C.例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥=（当且仅当122e e =时等号成立）故选：A.例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（）A2，2B ．12C．3D．4【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c =设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∴1m a a =+，1n a a =-．因为123F PF π∠=，所以()22221cos322m n c mnπ+-==，即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-．∴2221340a a c +-=，∴2221314e e +=，∴4≥，则121e e ≤12e =2e =时取等号．故选：A ．例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（）ABC ．2D【答案】B【解析】设1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，焦距为2c ，因为122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理，得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即()()()()22242cos 60c a m a m a m a m =++--+-︒，化简，得22243c a m =+，两边同除以2c ，得2212134e e =+.又121e e =，所以222234=+e e .又21e >，所以2e =.故选：B核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，则122~ AF F CDF ，由222=AF F C ，则122||2||=F F F D ，12AF CD =，所以点22,2⎛⎫⎪⎝⎭b C c a ，由点C 在椭圆上，所以有222222(2)1b ac a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，即225c a =，所以e ==c a 故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BC ．12D【答案】B【解析】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =，因为12//MF DF，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴，设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23a m =，在12MF F △中，由勾股定理得22242(((2)33m m c +=，变形可得3c e a ==．故选：B ．例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（）A 1+B ．2CD【答案】A【解析】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22bc a=，222c a ac ∴-=，2210e e ∴--=，1e ∴=1e > ，1e ∴.故选：A例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．【答案】3【解析】若E 是左焦点，连接,,AE BE EC ，设||BF m =，||AF n =，∴由双曲线的对称性且BF AC ⊥知：AEBF 是矩形，则||AE m =，||BE n =，又2CF FA =，即||2FC n =，则||2||22EC a FC a n =+=+，∴在Rt EAC △中，222||||||AE AC EC +=，即22294()m n a n +=+，而2m n a -=，∴23an =，83a m =，∵在Rt EAF V 中，2224m n c +=，即226849a c =，可得3e =..核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r，则E 的离心率为______.【答案】2【解析】因为212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r ，所以1MF PM =uuu r uuu r，即M 为1PF 的中点.又O 为1F 2F 的中点，所以OM 为中位线.所以2//OM PF ,即2PF x ⊥轴.因为直线l 过1F 122F F c =，所以212PF F ==,11224PF F F c ==.由双曲线的定义可得：122PF PF a -=,即42c a -=，解得：2c a ==心率为2e =故答案为：2例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（）AB ．2CD1【答案】B【解析】 A 是1F B 的中点，AO ∴为△12F F B 的中位线，12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，所以1OB F O c ==．设1(B x ，1)y ，2(A x ，2)y ，点B 在渐近线by x a=上，∴2221111x y c b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得11x a y b =⎧⎨=⎩．又A 为1F B 的中点，∴2222c a x b y -+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A 在渐近线by x a=-上，∴22b b a c a -=-⋅，得2c a =，则双曲线的离心率2c e a==．故选：B例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE =()A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=【答案】D【解析】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴==()112OE OP OF =+，∴E 是1PF 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴===，且2//PF OE ，又12124PF PF a PF a -==∴==1PF 是圆的切线，121,OE PF PF PF ∴⊥∴⊥，又222222212122460,15,12F F c c PF PF c b c a =∴=+=∴=∴=-=，，∴双曲线方程为221312x y -=．故选：D例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅= ，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（）A ．23B ．34C D 【答案】C【解析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形，则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3a m =，所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=，所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为c a =故选：C.例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．52D ．2【答案】D【解析】设11DF AF x ==，则22DF x a =-，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x ==，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+，2222DC DF CF x a=+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥，∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+-，解得：3x a =，123,DF a DF a ==；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F +=，()()22232a a c +=，得2252a c =，c e a =，故选：D.核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（）A2B ．13C．3D．2【答案】A【解析】直线l的方程为)y x c =-，由)2y x c a x c ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得2y c =，则2a P c ⎛ ⎝⎭，由于12PF F △为等腰三角形，所以21cos 6022a c c c -︒==，222212,,22c c a c a a ===.故选：A例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15 的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（）A．e =B ．2e =C．e =D．12e =【答案】C【解析】记右焦点为2F ，由题意知，1215PF F ∠=，且1POF △为等腰三角形，则只能是1OF OP =，所以212230POF PF F ∠∠==，OP c =，所以直线OP的方程为y x =，由2222331y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222333P Pa b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以222222222333a b a b c b a b a+=--，整理，得42243840c a c a -+=，即423840e e -+=，解得22e =或23（舍去），所以2e =．故选：C ．例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．312-D ．212-【答案】A【解析】如图，抛物线的准线与x 轴的交点为M因为12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，所以12(,0),(,0)F c F c -抛物线28(0)y ax a =->准线为：直线2x a =，所以(2,0)M a 因为12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则1212==15PF F F PF ∠∠︒则22122=30,==2PF M F F PF c ∠︒则222223cos ===22F M a c PF M PF c -∠，整理得：2=(3+1)a c 所以离心率23131c e a==+.故答案为：A.例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=，解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=，由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=，解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c ==当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F作斜率为2的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】取MN 中点A ，连AF 2，由已知令22||||MF NF m ==，则2AF MN ⊥，如图：因点M ，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得12||||22MF MF a m a =-=-，12||||22NF NF a m a =+=+，则11||||||4,||2MN NF MF a MA a =-==，令双曲线半焦距为c ，12Rt AF F △中，12||,||AF m AF =2Rt AMF中，2||AF=22222m a c =+，因直线l的斜率为2，即12tan 2AF F ∠=，而2121||tan ||AF AF F AF ∠=，即21||||AF AF =，2221||1||2AF AF =，于是有2222221222c a c a -=+，c =，==c e a ，所以双曲线C故选：B例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1Fl 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅= ，所以2F D MN ⊥.因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-.因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+.所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===.在Rt 12F F D中，2F D =；在Rt 2MF D中，2F D ==22222t a c =+.所以21F D F D t ===因为直线l所以2121tan F D DF F F D ∠===，所以2222221,23c a c a a c -==+，c =，所以离心率为ca=故选：A核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D 【答案】D【解析】根据对称性，不妨取双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=，即0bx ay -=，点()2,0F c b =.因为2OF c =，所以AO a =，所以122124422AF F AOF S S ab ab ==⨯=△△.由题意知2222ab c a b ==+，所以a b =，离心率e ==，故选：D.例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||||PF OP ，则C 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，则2b c a PF b ⨯==，2OF c =，PO a ∴=，1|||PF OP ==在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==， 在12Rt PF F 中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即224c a =，e=2，故选：B ．例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1PF ，则C 的离心率为（）A．B ．2CD【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，焦点()2,0F c 到直线b y x a=的距离d b ==，所以2PF b =，由勾股定理得OP a =，所以2cos a POF c ∠=，在1POF △中，()122cos cos cos aPOF POF POF cπ∠=-∠=-∠=-，因为1PF 由余弦定理可得22211112cos PF OP OF OP OF POF =+-⋅∠，即)2222a a c ac c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，即222a c =，所以离心率c e a ==故选：C例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（）A B C ．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为b y x a=，则另一渐近线OB 的方程为b y x a=-，由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()a y x c b=--，联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩，可得A 的横坐标为2a c，联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩可得B 的横坐标为2222ca a c-．因为FB AF λ= ，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--，因为23λ≤≤，所以22322e e ≤-≤，即22222340432*******2e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤⎨-⎪≤⎪-⎩，BC 满足题意，AD 不合题意，故选：BC.核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】D【解析】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点，所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a=的距离d b ==，所以22EF b =，又212EF EF a -=，所以122EF b a =-，12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c -+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率ce a===故选：D例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为by x a=-，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点，将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c -，所以2,22a c cab P c ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即22,22a c ab P c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又P 点在双曲线上，所以()2222222144c ac a a c+-=，解得c a =故选：A.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（）ABCD ．62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N在第三象限，如下图所示：因为ON OP =，11F OP F ON ∠=∠，所以11F OP F ON ≅ ，所以1190F PO F NO ∠=∠=︒，11F P F N =，又()1:,,0OM bl y x F c a=--，所以11F F N b ==，所以ON OP a ==，所以1122MF F N b ==，因为113tan ,tan tan 2b b F OP MON F OP a a∠=∠=∠=，所以22231bba b a a =-，所以222222113b c a e a a -==-=，所以e =故选：C.例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．5【答案】C【解析】不妨设(,0)F c -，过F 作双曲线一条渐近线的垂线方程为()ay x c b=+，与b y x a =-联立可得2a x c =-；与b y x a =联立可得222a cx b a=-，∵2FP FQ = ，∴22222a ca c cb ac ⎛⎫+=-+ ⎪-⎝⎭，整理得，22222c b a =-，即224c a =，∵1e >，∴2e =．故选：C ．核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅= ，||MN b =，则C 的离心率为________.【答案】2【解析】因为0OM MF ⋅= ，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，bcMF b c===，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点，又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==，所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1F ON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan b FON FON aθπ=-∠=-∠=，因为222c a b =+，所以cos a c θ=，sin b cθ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=，所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭，222222c a b OMa -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-=即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=，解得：2e =或1e =-（舍），故答案为：2例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.【解析】双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，如图所示，设11,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,b N x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，。
(完整版)椭圆双曲线的经典结论
椭圆双曲线的经典结论一、椭 圆点 P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角 .PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 . 以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 . 若 P 0(x 0,y 0) 在椭圆 21 a b 22 2x y 22 1 2 2a b 2x 0x y 0y 2 2a b 2若 P 0(x 0,y 0) 在椭圆弦 P 1P 2 的直线方程是 1. 2 y2 x ，则过 P 0 的椭圆的切线方程是 x 02x a 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 y0 y1. b 2 1. P 1、P 2，则切点 2 椭圆 x2 a 2 F 1PF 22 椭圆 x2 a 2 |MF 1 | a 2 y b 2 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF 2 b 2tan . 2 2 yb 2 ex 0, |MF 2| a ex 0( F 1( c,0) , F 2(c,0) 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 1(a >b >0)的焦半径公式： M (x 0,y 0)). AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF. 22AB 是 椭 圆 x 2 y 2a 2b 2b 2 ，a 2b 2x 02。
a y 0 1的不平行于对称轴的弦，M (x 0,y 0) 为 AB 的中点， k OM kAB 即K AB 若 P 0(x 0,y 0) 在 椭 x 0x y 0y 2 ab 22 x0 2 a 2 x 2a2 yb 2 1 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的中 点弦 的 方程 2y 0 b 2若 P 0(x 0,y 0) 在 椭 圆2x2 ay 2 b 21 内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8.9.10. 11. 12. 13.2 x 2 a2 yb2x0x y0y2a b2二、双曲线点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的内角.PT平分△ PF1F2在点P 处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆P在左支）若P0（x0,y0）在双曲线是x a02x y b02yab1.若P0（x0,y0）在双曲线线切点为P1、P2，双曲线22xy22ab一点F1PF2相切. （内切：P在右支；外切：22ab222x y22a b21（a>0,b >0）x2则切点弦2y1(a> 0,b > 0)上，则过P0 的双曲线的切线方程外，则过Po 作双曲线的两条切P1P2 的直线方程是x02x y0ya2a> 0,b > o）的左右焦点分别为则双曲线的焦点角形的面积为Sb21.F1，F1PF2F2，点P 为双曲线上任意b2cot .222xy22 ab 当M ( x0 , y0 )在右支上时，|MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a.当M ( x0 , y0 )在左支上时，|MF1| ex0 a, |MF2 | ex0双曲线a> 0,b > o）的焦半径公式：（F1（ c,0）F2(c,0)设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.过双曲线一个焦点A1P 和A2Q交于点2xAB 是双曲线2a2的中点，则K OMF 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.b2K AB1（a>0,b >0）的不平行于对称轴的弦，M（x0,y0）为AB若P0(x0,y0) 在双曲线 2 a2 x02 a方程是x02xa2y0yb2b2x2 022x y21（a>0,b >0）内，则被Po 所平分的中点弦的b2y02.b2 .，即K ABb2x02。
共焦点的椭圆与双曲线方程的设法
共焦点的椭圆与双曲线方程的设法1. 概述共焦点的椭圆与双曲线方程是数学中一个重要且常见的问题。
通过研究共焦点椭圆与双曲线的方程，可以深入理解数学中椭圆和双曲线的性质，对于解决实际问题具有重要的理论和实际意义。
本文将探讨共焦点的椭圆与双曲线方程的推导及其相关性质。
2. 共焦点椭圆与双曲线的定义共焦点椭圆与双曲线是指在同一平面上，有两个不同的集合（椭圆和双曲线），它们的焦点相同。
椭圆是指平面上到两定点的距离之和等于常数的动点轨迹，而双曲线是指平面上到一对定点的距离之差等于常数的动点轨迹。
共焦点椭圆与双曲线即是这样两种集合的焦点相同，并且这两种集合存在一定关系的情况。
3. 共焦点椭圆与双曲线的方程共焦点椭圆与双曲线的方程可以通过公式推导得到。
对于椭圆而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]对于双曲线而言，其标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]当两者具有相同焦点时，在同一坐标系中，椭圆的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)，双曲线的焦点坐标为F(ae, 0)和F'(-ae, 0)。
根据这一特性，可以得到共焦点椭圆与双曲线的方程。
4. 共焦点椭圆与双曲线的性质共焦点椭圆与双曲线有许多重要的性质，这些性质对于理解椭圆和双曲线的特点具有重要意义。
4.1 共焦点椭圆与双曲线的焦点性质：由于共焦点椭圆与双曲线具有相同的焦点，因此它们的焦点性质是相似的。
椭圆的焦点性质是指动点到两焦点的距离之和是常数，而双曲线的焦点性质是指动点到两焦点的距离之差是常数。
在共焦点曲线中，这一性质是相互关联的，体现了它们具有共同的焦点。
4.2 共焦点椭圆与双曲线的几何性质：共焦点椭圆与双曲线在几何性质上也有一些相似之处。
它们都可以通过离心率、焦距和半长轴等参数进行描述，而这些参数与焦点密切相关，从而展现出共焦点曲线的特殊性质。
椭圆双曲线的经典结论(可编辑修改word版)
椭圆双曲线的经典结论一、椭圆1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF 1F 2 在点 P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.x 2y 2x x y y5. 若 P (x , y ) 在椭圆 + = 1上，则过 P 的椭圆的切线方程是 0 + 0 = 1.a 2b 2x 2 y 2a 2b 2 6. 若 P 0 (x 0 , y 0 ) 在椭圆 a 2 + b2 = 1外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点x x y y 弦 P P 的直线方程是 0 + 0 = 1.1 2x 2 y 2a 2b 2 7. 椭圆 a 2 + = 1 b 2(a ＞ b ＞ 0)的左右焦点分别为 F 1， F 2， 点 P 为椭圆上任意一点∠F 1PF 2 x 2 = ，则椭圆的焦点角形的面积为 S y 2∆F 1PF 2 = b 2tan .28. 椭圆 a 2 + = 1（a ＞b ＞0）的焦半径公式：b2 | MF 1 |= a + ex 0 , | MF 2 |= a - ex 0 ( F 1 (-c , 0) , F 2 (c , 0) M (x 0 , y 0 ) ).9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q,A 1、A 2 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则 MF⊥NF.x 2 y 211. AB 是 椭 圆 + a 2 b 2 b 2= 1的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M (x 0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 ， 则k OM ⋅ k AB = - a 2 ，b 2 x 即 K AB = - 0。
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(一)
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一） 【微点综述】圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考． 一、常用结论【结论1】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则0000,,y am bn bnx y c c x am===． 证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 又()()()2222222222222a n mbc b n c n b b n c +=++-=+，因此22202,a m amx x c c=∴=．又222222222200000022222201,11,,x y x y a m b n bn bn y b b y a b a c a c c x am ⎛⎫⎛⎫+=∴=-=-=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【结论2】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则1222221212,,PF F PF PF a m PF PF b n S bn ∆⋅=-⋅=-=．证明：由椭圆与双曲线的定义得12122,2,PF PF a PF PF m ⎧+=⎪⎨-=±⎪⎩两式分别平方再相减得2212PF PF a m ⋅=-．()()()222212121221cos 4,421cos 4PF PF PF PF c a PF PF c θθ∴+-⋅+=∴-⋅+=，()2121cos 2PF PF b θ∴⋅+=，同理可得()2121cos 2PF PF n θ⋅-+=-，()()()22221212121cos 1cos 2,cos PF PF PF PF b n PF PF b n θθθ∴⋅++⋅-+=-∴⋅=-，2212PF PF b n ∴⋅=-．由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得 1212222222tan ,tan ,22tan 2PF F PF F n n nS b S b bnb bθθθ∆∆==∴=∴=⋅=． 【结论3】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2222tan ,cos 2n b n b a m θθ-==-．证明：由结论2得222tan 2n bθ=，又tan 0,tan 22n b θθ>∴=． 注意到221212221212cos ,cos PF PF PF PF b n a mPF PF PF PF θθ⋅⋅-=∴==-⋅⋅．【结论4】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则222212n b b n e e ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：222222222222222222221212111,1,a b c b m c n n n b b n e c c c e c c c e e ⎛⎫⎛⎫+-===+===-∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【评注】结论4反映1212,,,e e b b 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2211,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是1b 与2b 的平方和．【结论5】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证明：证法1：在12PF F ∆中，由余弦定理得22212122cos 4PF PF PF PF c θ+-⋅=，即2222212122cos sin 422PF PF PF PF c θθ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，()()22221212222221212sin cos 4,sin cos 1222222PF PF PF PF PF PF PF PF c c c θθθθ⎛⎫⎛⎫+-∴++-=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即22121cos 1cos 2e e θθ-++=． 证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为1b ，双曲线的虚半轴长为2b ，则121tan 2PF F S b θ=△，1222tan2PF F b S θ=△，所以2221tan 2tan 2b b θθ=，2221b a c =-，2222b c m =-， ()()22222tan 2a c c m θ-=-，整理得：222212sin cos 221e e θθ+=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．【结论6】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，点()00,P x y 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．证明：椭圆1C 在点()00,P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，该切线的斜率为20120x b k y a =-， 双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线00221x x y ym n-=，该切线的斜率为20220x n k y m =，222220001222222000x b x n x b nk k y a y m y a m∴=-⋅=-；又由结论1得222222222000122220,,1y b n y a m x b n k k x a m=∴=∴=-， 则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．【结论7】若点()00,P x y 是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>的一个公共点，且它们在点()00,P x y 处的切线相互垂直，则椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭， 因此()2222222222000222222222222222222211,11m b n x y x b n a m a m a n b m b n n a n a n b m a n b m ⎡⎤+⎛⎫+-⎢⎥==-=-= ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 由已知得222222222220000012222222222222222220001,,x b x n x b n x y b n a m k k y a y m y a m a m b n a n b m a n b m+-=-⋅=-=-∴=∴=++，22222222,,a m b n a b m n ∴-=+∴-=+∴椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．二、应用举例共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型： （一）公共点问题； （二）公共焦点三角形问题； （三）角度问题；（四）公共点处切线有关问题； （五）求离心率的值（或取值范围）；（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题； （七）求12u ve e +（,u v 为正常数）型最值问题； （八）求2212ke le +（,k l 为正常数）型最值问题.下面我们举例说明题型（一）至（三）及其解题方法． （一）公共点问题1．已知点1F ，2F 分别为椭圆221:110xC y +=的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线222:18x C y -=的一个交点为P ，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则k =___________． （二）公共焦点三角形问题2．已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y m n-=>有公共焦点12,F F ，P是它们的一个公共点，则12PF F △的面积为_________，12PF F △的形状是_________．例3．（2022·上海·高三专题练习）3．已知1(2,0)F -､2(2,0)F ，设P 是椭圆2228x y +=与双曲线222x y -=的交点之一，则12PF PF ⋅=___________.4．椭图221:116x y C m +=与双曲线222:18x y C n-=有相同的焦点1F ，2F ，P 为两曲线的一个公共点，则12PF F △面积的最大值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．（三）角度问题5．设椭圆2211128x y C +=：与双曲线2221(0):C mx y m -=>有公共的焦点1F ，2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，则12cos F PF ∠的值为（ ） A ．79B ．29C ．14D ．19例6．（2022浙江嘉兴市·高二月考）6．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________． 【强化训练】 一、单选题（2023·全国·高三专题练习）7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022·广东·惠来县第一中学高二月考）8．已知椭圆2219x y +=与双曲线22221x y a b -=共焦点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．7y x =B ．y =C ．y =D ．y = 9．若椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，P 是两条曲线的一个交点，则12PF F △的面积是A ．4B ．2C ．1D 1 （2022·全国·高三专题练习（文））10．已知双曲线()221:10y C x m m+=≠与222:122x y C -=共焦点，则1C 的渐近线方程为（ ）A ．0x y ±=B 0y ±=C ．0x ±=D 0y ±=（2022·四川·阆中中学高二月考（文））11．设椭圆2214924x y +=和双曲线22124y x -=的公共焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12F PF ∠的值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π（2022·福建省同安第一中学高二月考）12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022河北·沧州市一中高二月考）13．若()1F ，)2F 是椭圆1C ：2218x y m+=与双曲线2C ：2214x y n -=的公共焦点，且P 是1C 与2C 一个交点，则12F PF ∠=（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π （2022广东·石门中学高二月考）14．已知双曲线C ：2222x y a b -=1(a >0，b >0)的离心率为32，且与椭圆22110x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22810x y -=1B ．2245x y -=1C ．2254x y -=1D ．22108x y -=1二、多选题（2022江苏·高二专题练习）15．若双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ，且1C ，2C 在第一象限相交于点P ，则（ ）A ．1PF =B ．1C 的渐近线方程为y x =±C ．直线2y x =+与1C 有两个公共点D ．12PF F △的面积为（2022·全国·高三专题练习）16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，点P 为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，下列说法中正确的有（ ）A ．若a ＝2，b12PF PF ⊥，则1232PF F S =△ B ．若a ＝2，b212PF F F ⊥，则22e =C ．若a ＝5，m ，则b n +∈D ．若123F PF π∠=，且2e ∈，则1e ∈⎣⎦三、填空题（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）17．与椭圆2212449x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为______．18．已知椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，若P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=______.19．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y m m+=>和双曲线()2210xy n n-=>，点P 是它们的一个交点，则12F PF ∆面积的大小是________． （2016·上海市延安中学三模（文））20．已知椭圆2212:1(1)x C y a a+=>与双曲线2222:1(0)x C y m m -=>有公共焦点12,F F ，两曲线在第一象限交于点P ，PI 是12F PF ∠的角平分线，O 为坐标原点，1F G 垂直射线PI 于H 点，若1OH =，则=a _________．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，点P 是两曲线的一个交点，若122PF PF ⋅=，则22b n +的值为_____________. （2022宁夏中卫·三模（理））22．已知椭圆()222:103x y C b b+=>与双曲线221:1C x y -=共焦点，过椭圆C 上一点P 的切线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点（1F 、2F 为椭圆C 的两个焦点）．又O 为坐标原点，当ABO 的面积最小时，下列说法所有正确的序号是__________． ①1b =；①当点P 在第一象限时坐标为⎭； ①直线OP 的斜率与切线l 的斜率之积为定值12-；①12F PF ∠的角平分线PH （点H 在12F F ．参考答案：1【分析】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =；联立两方程解出0x ，0y ，即可代入得出答案.【详解】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =， 联立方程22110x y +=与2218x y -=消去y ，得：222108x x +=，解得x =0x =，代入22110x y +=解得：13y =±，即013y =±，00001y y k x x ∴====2． 1 直角三角形【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m n PF m n =+=-，进而根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积.【详解】不妨设P 在第一象限，12,F F 为左右焦点，焦距为2c ，由椭圆和双曲线的定义可得：12122,2PF PF m PF PF n +=-=，故12,PF m n PF m n =+=-，又22211m n c -=+=，故可得22122PF PF m n =-=且()()2222222212122,42PF PF m n F F c m n +=+==+，故 2221212PF PF F F +=，因此12PF F △形状是直角三角形，以P 为直角， 1212112122PF F SPF PF ==⨯=， 故答案为：1；直角三角形. 3．6【分析】由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出112||,||PF PF 即可得到答案.【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为22184x y +=、22122x y -=，可知两曲线共焦点， 设1122||,||PF r PF r ==，由定义有：121122r r r r r r ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩11226r r r r ⎧=⎪⨯=⎨=⎪⎩. 故答案为：6.4．A【分析】由两曲线有相同焦点可得,m n 的关系，由椭圆与双曲线的定义可求得点P 到两焦点的距离，为确定值，因此当12PF PF ⊥时，12PF F △面积最大，同时求出,m n 验证正确性． 【详解】由题意168m n -=+，即8m n +=，0,0m n >>．不妨设P在第一象限，则12128PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩易知当12PF PF ⊥时，1212142PF F S PF PF ∆==． 此时22212448c PF PF =+=，212c =，4m n ==，满足题意． 故选：A.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点问题，考查椭圆与双曲线的定义．在三角形两边确定情况下，这两边垂直时三角形面积最大．掌握椭圆与双曲线的定义是解本题的关键． 5．A【分析】根据焦点坐标得出双曲线方程，根据椭圆定义和双曲线定义求出12PF F △的边长，利用余弦定理计算12cos F PF ∠的值即可．【详解】由椭圆方程可知：()12,0F -，()22,0F ，由双曲线性质可得：114m +=，故13m =，则222:13x C y -=，不妨设P 在第一象限，由椭圆定义可知：12PF PF +=由双曲线的定义可知：12PF PF -=1PF ∴=2PF 124F F =，22212121212||||7cos 29PF PF F F F PF PF PF +-∴∠==． 故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质，余弦定理的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题． 6．13【详解】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理； 7．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =， 又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：A ． 8．A【分析】根据椭圆的方程求出双曲线焦点坐标，点P 是在原点为圆心，半径为焦半径的圆上， 求出P 点的坐标，代入双曲线方程求解实半轴和虚半轴即可.【详解】对于椭圆2219x y += ，易得椭圆的半焦距的平方28c = ，即双曲线的半焦距的平方=8；对于双曲线22221x y a b-= ，有2228a b c +== …①，12120,PF PF PF PF =∴⊥ ，即P 点是在以原点为圆心，半径为c 的圆上，设()00,P x y ，则有22002200198x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得2200631,88x y == ， 代入双曲线方程并与①联立：22226318818a b a b ⎧⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎩，化简后得：4216630a a -+= ，()()22790aa --= ，解得27a = 或9，由①可知：28a ＜ ，227,1ab ∴== ，双曲线的方程为：2217x y -=，渐近线方程为y = ；故选：A. 9．C【分析】由已知条件求得2211m n -=+，进而得出222m n -=，联立椭圆和双曲线的标准方程，可求得点P 的纵坐标，并求得12F F ，由此可计算得出12PF F △的面积.【详解】由于椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，则2211m n -=+，可得222m n -=，联立22222211x y m x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2222222222m n x m n y m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，12F F =因此，12PF F △的面积是121211122PF F S F F ==⨯=△. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线焦点三角形面积的计算，联立两曲线方程，求出交点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 10．D【分析】首先求出2C 的焦点坐标，从而求出m 的值，即可得到1C 的方程，即可求出渐近线方程；【详解】解：双曲线222:122x y C -=中22a =、22b =，所以2224c a b =+=，即2C 焦点坐标为()2,0±，因为双曲线()221:10y C x m m --=≠与222:122x y C -=共焦点，所以()14m +-=， 解得3m =-，所以双曲线221:13y C x -=，则1C0y ±=； 故选：D 11．D【分析】根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立1||PF 与2||PF 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦距12||10F F =，由椭圆、双曲线定义得：1212142PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式平方相加得：2221212||||100||PF PF F F +==，于是有122F PF π∠=，所以12F PF ∠的值为2π. 故选：D 12．B【分析】根据已知和渐近线方程可得b a =，双曲线焦距26c =，结合a b c 、、的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①. 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点， 双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9①.由①①解得a ＝2，b C 的方程为22145x y -=.故选：B. 13．B【分析】根据题意，求得参数,m n ，再利用椭圆和双曲线定义，求得12,F P F P ，利用余弦定理，即可求得12F PF ∠.【详解】由题可知：85m =+，54n =+，解得3,1m n ==， 不妨设P 为12,C C 在第一象限的交点，12,F P x F P y ==，由椭圆和双曲线定义可得：4,x y x y -=+=22x y =+=，则2224,4x y xy +==，又12F F =在①12F PF 中，由余弦定理可得：(2221224201cos ?282x y F PF xy+--∠===，则123F PF π∠=. 故选：B. 14．B【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解.【详解】椭圆22110x y +=的焦点坐标为()3,0±，则双曲线的焦点坐标为()3,0±，可得c =3，又双曲线C ：2222x y a b-=1的离心率为32，所以32c a =，即a =2，所以b故所求的双曲线方程为2245x y -=1. 故选：B. 15．BD【解析】先由两曲线的焦点相同，求出2b ，可判断BC 选项；再将两曲线联立，求出点P 的坐标，可判断AD 选项，【详解】因为双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ， 所以2284b +=-，解得22b =，即221:122x y C -=，所以其渐近线方程为y x =±，焦点坐标为()12,0F -，()22,0F ，即B 正确； 因为2y x =+与双曲线1C 的一条渐近线平行，且2y x =+过右焦点()22,0F ，所以直线2y x =+与1C 只有一个交点，即C 错；由2222122184x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2242x y ⎧=⎨=⎩，又1C ，2C 在第一象限相交于点P，所以(P ， 因此1PF ==A 错，12PF F △的面积为121212PF F P SF F y =⋅=D 正确. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线共焦点，先求出双曲线的方程；再结合双曲线的性质，即可求解. 16．BD【分析】对于A ，求出12PF F S 即可判断，对于B ，可求出2232b PF a ==，152PF =，然后由双曲线的定义可得12m =，即可判断，对于C ，可得2218b n+=，然后设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，利用三角函数的知识可判断，对于D ，利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理可得2212134e e +=，然后可判断.【详解】对于A ，若a ＝2，b 12PF PF ⊥则1222tantan 452PF F Sb θ=⋅=⋅︒A 错误对于B ：若a ＝2，b ①c ＝1212PF F F ⊥ ，2232b PF a ∴==，1224PF PF a +== 152PF ∴=所以1253122PF PF -=-= 12m ∴=， 22ce m == ，故 B 正确 对于C ，若a ＝5，m 因为椭圆与双曲线共焦点 2222a b m n ∴-+= 2218b n ∴+=设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则(6sin 4b n πθθθ⎛⎫⎤+=+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，故C 错误 对于D ，设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在三角形12F PF 中，123F PF π∠=，可得22222222242cos 22()3c s t st a m am a m am a m π=+-=++++---，即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即2212134e e +=，当2e ∈时可得1e ∈⎣⎦，故D 正确故选：BD17．221169y x -=【分析】求出椭圆的焦点，则可得双曲线的焦点，然后设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，由离心率求出a ，再由222b c a =-求出2b ，从而可求出双曲线的方程 【详解】由2212449x y +=可得焦点坐标为(0,5),(0,5)-， 由题意设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，则554c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，得54c a =⎧⎨=⎩， 所以22225169b c a =-=-=，所以双曲线方程为221169y x -=，故答案为：221169y x -=18．3【分析】由题意可得，12124,2PF PF PF PF +=-=，两式平方相减可得12PF PF ⋅的值. 【详解】解：因为椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，且P 为两曲线的一个交点，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，所以22112222112221624PF PF PF PF PF PF PF PF ⎧+⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩, 两式相减得，12412PF PF ⋅=，所以 123PF PF ⋅= 故答案为：3【点睛】此题考查了椭圆和双曲线的概念和性质，属于基础题. 19．1【解析】设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义整理得2222 s t m n st m n⎧+=+⎨=-⎩，由焦点相同可得2m n -=，结合余弦定理可证明1290F PF ∠=︒，从而可求出面积.【详解】如图所示，不妨设两曲线的交点P 位于双曲线的右支上，设1PF s =，2PF t =．由双曲线和椭圆的定义可得 s t s t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2222 s t m n st m n ⎧+=+⎨=-⎩，在12PF F △中，()2221222414cos 222m n m s t c F PF st m n+--+-∠==-，①11m n -=+，①2m n -=，①12cos 0F PF ∠=，①1290F PF ∠=︒． ①12F PF △面积为112st =，故答案为:1.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，属于中档题.20【分析】由题意可得2OH GF 且212OH GF =,再结合双曲线的定义可得1m =，然后结合椭圆与双曲线有公共焦点求解即可.【详解】解：由PI 是12F PF ∠的角平分线，1F G 垂直射线PI 于H 点，则点H 为线段1F G 的中点，且1PG PF =,又O 为线段12F F 的中点，则2OH GF 且212OH GF =, 又1OH =,则22GF =,由双曲线的定义可得21222m PF PF GF =-==, 则1m =，又椭圆与双曲线有公共焦点， 则2211a m -=+， 则23a =，即a =【点睛】本题考查了双曲线的定义，重点考查了椭圆与双曲线共焦点的问题，属中档题. 21．2【分析】不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=，故()()22221212448PF PF PFPF a m +--=-=，解得答案.【详解】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=.()()22221212124448PFPF PFPF a m PF PF +--=-=⋅=，即222a m -=，即222b n +=. 故答案为：2.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 22．①①【分析】求出b 的值，可判断①的正误；设点()00,P x y 在第一象限内，利用基本不等式求得ABO 面积的最小值，利用等号成立可求得a 的值，可判断①的正误；利用斜率公式可判断①的正误；利用等面积法可求出PH 的长，可判断①的正误.【详解】对于①，双曲线1C的焦点坐标为()，所以，232b -=，0b >，1b ∴=，①正确；对于①，由于椭圆的对称性，设点P 为第一象限内的点，设点()00,P x y ，则220013x y +=，先证明椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 联立00221313x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22002330x x x y -+-=，即220020x x x x -+=，解得0x x =.所以，椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 所以点03,0A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、010,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由基本不等式可得22000013x y y +=，可得00x y ≤000013133222ABOSx y x y =⋅⋅=≥0y ==0x =0y =①错误； 对于①，00OP y k x =，003l x k y =-，所以，13OP l k k =-，①错误；对于①，以12F F 为直径的圆的方程为222x y +=，22622⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点P 在圆222x y +=上，则12PF PF ⊥， PH m =，由等面积法可得()1212116sin 45222F PF S PF PF m =⨯=⨯+⋅=△，解得m =故答案为：①①.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.。
共焦点的椭圆与双曲线离心率问题
共焦点的椭圆与双曲线离心率问题引题1 （2013年浙江高考题）设12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A,B 分别是12,C C 在第四象限的公共点，若12AF BF 为矩形，求2C 的离心率.练习1（2014年湖北高考题）已知点是12,F F 椭圆1C 与双曲线2C 的公共左右焦点，12,e e 是12C C ，的离心率，若P 为12C C ，的交点，12=3F PF π∠，求1211e e +的最大值.练习2（2016年杭州一模）已知点是12,F F 椭圆1C 与双曲线2C 的公共左右焦点，12,e e 是12C C ，的离心率，若P 为12C C ，的交点，12213cos =,25F PF e e ∠=，求1e 的值.练习3（2016年四川竞赛题）已知点是12,F F 椭圆1C 与双曲线2C 的公共左右焦点，12,e e 是12C C ，的离心率，若P 为12C C ，的交点，12=3F PF π∠，求12e e 的最小值.练习4（2016年浙江）已知椭圆2211(1)x C y m m+=>：与双曲线2221(0)x C y n n-=>：的焦点重合，12,e e 是12C C ，的离心率，则（ ） A.12,1m n e e >> B.12,1m n e e >< C.12,1m n e e <> D.12,1m n e e <<规律总结：______________________________________________________________.。
利用二级结论秒杀椭圆双曲线(解析版)
利用二级结论秒杀椭圆双曲线【考点目录】考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为b考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】考点一：椭圆焦点三角形的面积为S =b 2⋅tan θ2(θ为焦距对应的张角)证明：设PF 1=m ,PF 2=nm +n =2a 1 2c 2=m 2+n 2-2mn cos θ2 S △F 1PF 2=12mn sin θ3 ，1 2-2 ：mn =2b 21+cos θ⇒S △F 1PF 2=b 2⋅sin θ1+cos θ=b 2⋅2sin θ2cos θ22cos 2θ2=b 2tanθ2．双曲线中焦点三角形的面积为S =b 2tan θ2(θ为焦距对应的张角)【精选例题】1(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ =F 1F 2 ，则四边形PF 1QF 2的面积为．【答案】8【解析】因为P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形，设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ，则m +n =8,m 2+n 2=48，所以64=(m +n )2=m 2+2mn +n 2=48+2mn ，mn =8，即四边形PF 1QF 2面积等于8.故答案为：8.2设F 1，F 2是双曲线C :x 2-y 23=1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则△PF 1F 2的面积为()A.72B.3C.52D.2【答案】B 【解析】由已知，不妨设F 1(-2,0),F 2(2,0)，则a =1,c =2，∵|OP |=1=12|F 1F 2|，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上]即△F 1F 2P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即|PF 1|2+|PF 2|2=16，又|PF 1|-|PF 2| =2a =2，∴4=|PF 1|-|PF 2| 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16-2|PF 1||PF 2|，解得|PF 1||PF 2|=6，∴S △F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|=3，故选B ．【跟踪训练】1设P 为椭圆x 225+y 29=1上一点，F 1,F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则P 点的纵坐标为()A.334B.±334C.934D.±934【答案】B【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式S =b 2tan θ2求解即可.【详解】由题知S △F 1PF 2=9×tan60°2=3 3.设P 点的纵坐标为h ，则12⋅F 1F 2 ⋅h =33⇒h =±334.故选：B2设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =()A.1B.2C.4D.8【答案】A 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为S PF 1F 2=b 2tan θ2．∴b 2tan45°=4，则b =2，又∵e =ca=5，∴a =1．考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且k AB 与k OM 斜率存在时，则k AB ⋅K OM =−b 2a 2；(焦点在x 轴上时)，当焦点在y 轴上时，k AB ⋅K OM =−a 2b2若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，k PA ⋅K PB =−b 2a 2(焦点在x 轴上时)，当焦点在y轴上时，k PA ⋅K PB =−a 2b2下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，因为AB 过原点，由对称性可知，点B (-x 1，-y 1)，所以k PA ⋅k PB=y 0−y 1x 0−x 1⋅y 0+y 1x 0+x 1=y 02−y 12x 02−x 12．又因为点P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)在椭圆上，所以有x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2)．两式相减得y 02−y 12x 02−x 12=−b 2a 2，所以k PA ⋅k PB =−b 2a2．中点弦问题证明：设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，M x 0，y 0 则椭圆x 12a 2+y 12b 2=11x 22a 2+y 22b 2=12两式相减得y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2k AB ⋅k OM =y 2-y 1x 2-x 1⋅y 0x 0=y 2-y 1x 2-x 1⋅y 1+y 22x 1+x 22=y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2=e 2-1．双曲线中焦点在x 轴上为k OM ⋅k AB =b 2a 2，焦点在y 轴上为k OM ⋅k AB =a 2b 2，【精选例题】3已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，-1)，则G 的方程为A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1【答案】D【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2，y 1+y 2=-2，x 21a 2+y 21b 2=1， ① x 22a 2+y 22b 2=1， ②①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=b 2a2，又k AB =0+13-1=12，所以b 2a 2=12，又9=c 2=a 2-b 2，解得b 2=9，a 2=18，所以椭圆方程为x 218+y 29=1，故选D4过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若k AB ⋅k OD =12，则C 的离心率为()A.6B.2C.3D.62【答案】D【分析】先设出直线AB 的方程，并与双曲线C 的方程联立，利用设而不求的方法及条件k AB ⋅k OD =12得到关于a 、c 的关系，进而求得双曲线C 的离心率【详解】不妨设过双曲线C 的焦点且斜率不为0的直线为y =k (x -c ),k ≠0，令A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)由x 2a 2-y 2b 2=1y =k (x -c )，整理得b 2-a 2k 2x 2+2a 2k 2cx -a 2k 2c 2+a 2b 2=0则x 1+x 2=2a 2k 2c a 2k 2-b 2，x 1x 2=a 2k 2c 2+a 2b 2a 2k 2-b 2，D a 2k 2c a 2k 2-b 2，kb 2ca 2k 2-b2则k OD =kb 2c a 2k 2c =b 2a 2k ，由k AB ⋅k OD =12，可得b 2a 2k ⋅k =12则有a 2=2b 2，即3a 2=2c 2，则双曲线C 的离心率e =c a =62，故选：D 5已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2．点M为C 上不在坐标轴上的任意一点，且MA 1，MA 2，MB 1，MB 2四条直线的斜率之积大于19，则C 的离心率可以是A.33B.63C.23D.73【答案】AC【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解.【详解】设M x 0,y 0 ，依题意可得x 20a 2+y 20b 2=1，则y 20=b 2a 2a 2-x 20 ，x 20=a 2b2b 2-y 20 ，又A 1-a ,0 ,A 2a ,0 ,B 10,b ,B 20,-b ，所以k MA 1⋅k MA 2⋅k MB 1⋅k MB 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a ⋅y 0-b x 0⋅y 0+b x 0=y 20x 20-a 2⋅y 20-b2x 20=b 2a 22>19，b 2a 2>13，从而e =1-b 2a2∈0,63 .故选：AC .【跟踪训练】3已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3C.62D.52【答案】D【分析】设出A,B坐标，根据题意得k MA⋅k MB=14，代入斜率公式，由A点在双曲线上，消元整理得到a,b的关系，进一步求得双曲线的离心率.【详解】设A x0,y0，则B-x0,-y0，因为tanαtanβ=14，即k MA⋅k MB=14，由M(a,0)，所以y0-0x0-a⋅-y0-0 -x0-a =y20x20-a2=14，因为x20a2-y20b2=1，所以y20=b2a2x20-a2，即b2a2x20-a2x20-a2=14，得b2a2=14，所以b a =12，即b=12a，又c2=a2+b2，所以c2=a2+14a2，即c2=54a2，所以e=ca=52，故双曲线的离心率为e=52．故选：D.4已知A，B，P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为()A.52B.62C.2D.213【答案】D【分析】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，然后表示出k PA⋅k PB，又由于点A，P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得k PA⋅k PB=b2a2=43，化简可求出离心率【详解】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，所以k PA⋅k PB=y2-y1x2-x1⋅y2+y1x2+x1=y22-y21x22-x21．因为点A，P在双曲线上，所以x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x22-x12a2=y22-y12b2，所以b2a2=y22-y12x22-x12所以k PA⋅k PB=b2a2=43，所以e2=a2+b2a2=73，所以e=213．故选：D5已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为14，则双曲线的离心率是()A.62B.2 C.32D.2【答案】A【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出b2，从而可求出c，进而可求出离心率【详解】A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，则x124-y12b2=1，x224-y22b2=1，两式相减得14(x1-x2)(x1+x2)-1b2(y1-y2)(y1+y2)=0，所以(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=b24，因为P是AB的中点，所以x1+x2=2m，y1+y2=2n，因为直线OP的斜率为14，所以nm=14，因为过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以k AB=y1-y2x1-x2=2，所以y1-y2x1-x2⋅2n2m=b24，2×14=b24，得b2=2，所以c=a2+b2=4+2=6，所以离心率为e=ca=62故选：A考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b 【精选例题】1若双曲线x2a2-y2b2=1的焦点F2,0到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±3xB.y=±3xC.y=±13x D.y=±33x【答案】B【分析】由题可得b=3，a=1，即得.【详解】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点c,0到渐近线：y=bax，即bx-ay=0的距离为：d=bca2+b2=bcc=b=3，而c=2，从而a=1，故渐近线y=±bax即y=±3x.故选：B.2已知F是双曲线C：x2-my2=3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m【答案】A【解析】双曲线方程为x23m-y23=1，焦点F到一条渐近线的距离为b=3，故选A．【跟踪训练】1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为()A.x 24-y 212=1B.x 212-y 24=1C.x 23-y 29=1D.x 29-y 23=1【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为F c ,0 c >0 ，则x A =x B =c ，由c 2a 2-y 2b2=1可得：y =±b 2a ，不妨设：A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，双曲线的一条渐近线方程为：bx -ay =0，据此可得：d 1=bc -b 2 a 2+b 2=bc -b 2c ，d 2=bc +b 2a 2+b 2=bc +b 2c ，则d 1+d 2=2bc c =2b =6，则b =3,b 2=9，双曲线的离心率：e =c a =1+b 2a2=1+9a2=2，据此可得：a 2=3，则双曲线的方程为x 23-y 29=1，故选C ．2已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A.x 25-y 24=1B.x 24-y 25=1C.x 23-y 26=1D.x 26-y 23=1【答案】A 【解析】圆C :(x -3)2+y 2=4，c =3,而3bc=2，则b =2,a 2=5，故选A ．考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).【精选例题】3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【答案】D【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =c a=1+b 2a 2=1+6a2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463.故选：D .4(多选题)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点分别F 1、F 2，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，双曲线和椭圆的离心率分别为e 1,e 2,△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，则()A.I 到y 轴的距离为aB.点D 的轨迹是双曲线C.若OP =F 1F 2 ，则1e 21+1e 22=5 D.若S △IPF 1-S △IPF 2≥12S △IF 1F2，则1<e 1≤2【答案】ACD【详解】设圆I 与△PF 1F 2三边PF 1,PF 2,F 1F 2的切点为A ,B ,C ，F 1C =F 1A =PF 1 -PB =PF 1 -PF 2 -F 2B =2a +F 2C ，又F 1C +F 2C =2c ，故F 2C =c -a ，故OC =a ，所以I到y轴的距离为a ，故A 正确；过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，延长F 2I 交PF 1于点E ，因为△PED ≅△PF 2D ，则D 为F 2E 的中点且PF 2 =PE ，于是OD =12F 1E =12PF 1 -PE =12PF 1 -PF 2 =a ，故点D 的轨迹是在以O 为圆心，半径为a 的圆上，故B 不正确；设椭圆的长半轴长为a 1，它们的半焦距为c ，并设PF 1 =m ,PF 2=n，根据椭圆和双曲线的定义可得：m+n=2a1,m-n=2a，所以m=a1+a,n=a1-a，在△POF1中，由余弦定理得：PF12=OF12+OP2-2OF1OPcos∠POF1，即m2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF1，在△POF2中，由余弦定理得：PF22=OF22+OP2-2OF2OPcos∠POF2，即n2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF2，由∠POF2=π-∠POF1，两式相加，则n2+m2=10c2，又n2+m2=2a21+2a2，所以2a21 +2a2=10c2，所以a21+a2=5c2，所以a21c2+a2c2=5，即1e21+1e22=5，故C正确；S△IPF1-S△IPF2≥12S△IF1F2，即PF1-PF2≥c，所以2a≥c，即1<e1≤2，故D正确.故选：ACD.5(多选题)已知F1,F2分别为双曲线x2-y23=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则()A.圆O1和圆O2外切B.圆心O1在直线AO上C.S1⋅S2=π2D.S1+S2的取值范围是2π,3π【答案】AC【详解】双曲线x2-y23=1的a=1,b=3,c=2，渐近线方程为y=3x、y=-3x，两渐近线倾斜角分别为π3和2π3，设圆O1与x轴切点为G过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，可知直线AB的倾斜角取值范围为π3,2π3，O1、O2的的横坐标为x，则由双曲线定义AF1-AF2=2a，所以由圆的切线长定理知x-(-c)-c-x=2a，所以x=a.O1、O2的横坐标均为a，即O1O2与x轴垂直.故圆O1和圆O2均与x轴相切于G1,0，圆O1和圆O2两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，△AF1F2中，AF1>AF2，则AO只能是△AF1F2的中线，不能成为∠F1AF2的角平分线，则圆心O1一定不在直线AO上.选项B错误；在△O1O2F2中，∠O1F2O2=90°，O1O2⊥F2G，则由直角三角形的射影定理可知F2G2=O1G⋅O2G，即(c-a)2=r1⋅r2则r1⋅r2=1，故S1⋅S2=πr21⋅πr22=π2.选项C正确；由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1的取值范围为π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=tan ∠O 1F 2F 1∈33,3 ，又r 1⋅r 2=1，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+1r 21,r 1∈33,3 令f x =x +1x ,x ∈13,3 ，则f x 在13,1 单调递减，在1,3 单调递增.f 1 =2,f 13 =103,f 3 =103,f x =x +1x ,x ∈13,3 值域为2,103 故S 1+S 2=πr 21+1r 21,r 1∈33,3 的值域为2π,103π .选项D 错误.故选：AC .【跟踪训练】3已知双曲线方程是x 2-y 23=1，过F 2的直线与双曲线右支交于C ，D 两点(其中C 点在第一象限)，设点M 、N 分别为△CF 1F 2、△DF 1F 2的内心，则MN 的范围是.【答案】2,433【详解】 因x 2-y 23=1，故a =1，b =3，c =a 2+b 2=2，如图，过M 点分别作MA ⊥F 1F 2，MP ⊥F 2C ，MQ ⊥F 1C ，垂足分别为A ,P ,Q ，因M 为△CF 1F 2的内心，所以AF 1 -AF 2 =QF 1 -PF 2 =CF 1 -CF 2 =2a =2，故A 点也在双曲线上，即A 为双曲线的右顶点，同理NA ⊥F 1F 2，所以M ,A ,N 三点共线，设直线CD 的倾斜角为θ，因双曲线的渐近线方程为y =±3x ，倾斜角为π3，根双曲线的对称性，不妨设π3<θ≤π2，因AF 2 =c-a =2-1=1，所以MA =MA AF 1=tan ∠MF 2A =tanπ-θ2，NA =NA NF 1=tan ∠NF 2A =tan θ2,所以MN =MA +NA =tan π-θ2+tan θ2=sin π-θ2cos π-θ2+sin θ2cos θ2=cos θ2sin θ2+sin θ2cos θ2=1sin θ2cos θ2=2sin θ，因π3<θ≤π2，所以sin θ∈32,1 ，所以2sin θ∈2,433，故答案为：2,4334(多选题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，若H 、G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则()A.C 的渐近线方程为y =±3xB.点H 与点G 均在同一条定直线上C.直线HG 不可能与l 平行D.HG 的取值范围为22,463【答案】ABD【详解】设双曲线C 半焦距为c ，双曲线C 的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，双曲线C 的右焦点F 2c ,0 到渐近线的距离为bcb 2+a 2=b =6，由题意知e =ca=1+b 2a2=1+6a2=2，所以a 2=2，所以c =b 2+a 2=22，故双曲线C 的方程为x 22-y 26=1，故渐近线方程为y =±3x ，故A 正确；对于B 选项，记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ， 由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴，即H 、G 均在直线x =a 上，故B 正确；对于C 选项，当l 与x 轴垂直时，HG ⎳l ，故C 错误；对于D 选项，设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(O 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =EG +HE =c -a tan θ2+tan 90°-θ2=c -asin θ2cos θ2+sin 90°-θ2 cos 90°-θ2 .c -a sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a 1sin θ2cos θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为b a =3，倾斜角为60°，结合图形可知60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，所以，HG =22sin θ∈22,463，故D 正确.故选：ABD .考点五：已知具有公共焦点F 1,F 2的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则有sin θe 12+cos θe 22=1.【精选例题】6已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为()A.43B.433C.4D.463【答案】B【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1a >a 1 ，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1=c a ，e 2=ca 1，因P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则由余弦定理可得：4c 2=m 2+n 2-2mn cosπ3⋯⋯①在椭圆中，由定义知m +n =2a ，①式化简为：4c 2=4a 2-3mn ⋯⋯②在双曲线中，由定义知m -n =2a 1，①式化简为：4c 2=4a 21+mn ⋯⋯③由②③两式消去mn 得：16c 2=4a 2+12a 21，等式两边同除c 2得4=a 2c 2+3a 21c2，即4=1e 21+3e 22，由柯西不等式得1e 21+3e 221+13 ≥1e 1+3e 2⋅132，∴1e 1+1e 2≤433.故选：B7已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1(左焦点)，F 2(右焦点)，且两条曲线在第一象限的交点为P ，若△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，C 1，C 2的离心率分别为e 1和e 2，且e 2=2，则()A.a 21-b 21=a 22+b 22B.1e 1+1e 2=2 C.e 1=25D.cos ∠F 1PF 2=34【答案】ACD【分析】A 由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B 、C 由椭圆、双曲线的定义可得|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，而|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，即可判定；D 记∠F 1PF 2=θ，应用余弦定理可得cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21，由已知及B 、C 分析，即可判断.【详解】设C 1，C 2的焦距为2c ，由C 1，C 2共焦点知：a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，故A 正确；△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形知|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，由P 在第一象限知：|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，即2a 1-2c =2a 2+2c ，即a 1-a 2=2c ，即1e 1-1e 2=2，故B 错；由e 2=2且1e 1-1e 2=2，易得e 1=25，故C 正确；在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=θ，根据定义PF 1+PF 2=2a 1PF 1-PF 2=2a 2⇒PF 1=a 1+a 2PF 2=a 1-a 2 ．由余弦定理有(2c )2=(a 1+a 2)2+(a 1-a 2)2-2(a 1+a 2)(a 1-a 2)cos θ．整理得2c 2=a 21+a 22-(a 21-a 22)cos θ，两边同时除以c 2，可得2=1e 21+1e 22-1e 21-1e 22cos θ，故cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21．将e 1=25,e 2=2代入，得cos θ=34．故D 正确故选：ACD ．【跟踪训练】5已知F 是椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 1的下顶点，双曲线C 2：x 2m 2-y 2n 2=1(m >0，n >0)与椭圆C 1共焦点，若直线AF 与双曲线C 2的一条渐近线平行，C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则1e 1+2e 2的最小值为．【答案】22【分析】根据直线AF 与C 2的一条渐近线平行，得到b c =nm，再结合双曲线与椭圆共焦点得到e 1e 2=1，再利用基本不等式求解.【详解】解：设C 1的半焦距为c (c >0)，则F c ,0 ，又A 0,-b ，所以k AF =b c，又直线AF 与C 2的一条渐近线平行，所以b c =n m ，所以b 2c 2=n 2m 2，所以a 2-c 2c 2=c 2-m 2m 2，所以a 2c 2=c 2m 2，所以e 1e 2=1，又1e 1+2e 2=e 2+2e 1e 1e 2=e 2+2e 1≥22e 1e 2=22，当且仅当e 2=2e 1，即e 1=22，e 2=2时等号成立，即1e 1+1e 2的最小值为22．故答案为：22考点六：设圆锥曲线C 的焦点F 在x 轴上，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A ,B 两点，若AF =λFB(λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1，即e cos θ =λ-1λ+1．【精选例题】8已知椭圆C :x 24+y 23=1过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF=2FB ，则直线l 的斜率k 的值为．【答案】±52【详解】由题，点A 位于x 轴上方且AF =2FB，则直线l 的斜率存在且不为0，F 1,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则可得-y 1=2y 2，设直线l 方程为x =ty +1，联立直线与椭圆x 24+y 23=1x =ty +1可得3t 2+4 y 2+6ty -9=0，∴y 1+y 2=-6t3t 2+4y 1y 2=-93t 2+4，∴y 2=6t 3t 2+4,-2y 22=-93t 2+4，∴-26t 3t 2+42=-93t 2+4，解得t =±255，则直线的斜率为±52.故答案为：±52.9已知F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l 经过点F 且与双曲线相交于A ,B 两点，记该双曲线的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若AF =2FB，则()A.8e 2-k 2=1B.e 2-8k 2=1C.9e 2-k 2=1D.k 2-9e 2=1【答案】C【详解】由题意，设直线l 的方程为x =my +c ，联立方程组x =my +cx 2a2+y 2b 2=1，整理得(b 2m 2-a 2)y 2+2b 2mcy +b 4=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得y 1+y 2=-2b 2mc b 2m 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2m 2-a 2，因为AF =2FB ，即(c -x 1,-y 1)=2(x 2-c ,y 2)，可得-y 1=2y 2，代入上式，可得y 2=2b 2mcb 2m 2-a 2-2y 22=b 4b 2m 2-a2，可得-22b 2mcb 2m 2-a22=b 4b 2m 2-a2，整理得-8m 2c 2=b 2m 2-a 2，即(8c 2+b 2)m 2-a 2=0，又由c 2=a 2+b 2，可得(9c 2-a 2)m 2-a 2=0，即(9e 2-1)m 2-1=0，所以(9e 2-1)⋅1k2-1=0，可得9e 2-1-k 2=0，即9e 2-k 2=1.故选：C .10已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 1倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若AF 2 =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】A【详解】设AF 1 =t ，则AF 2 =t +2a =BF 2 ，从而BF 1 =t +4a ，进而BA =4a .过F 2作F 2H ⊥AB =H ，则AH =2a .如图：在Rt △F 1F 2H 中，F 2H =2c sin30°=c ，F 1H =2c cos θ=3c =AF 2 ；在Rt △AF 2H 中，3c 2-c 2=2a2，即2c 2=4a 2，所以e = 2.故选：A 【跟踪训练】6斜率为12的直线l 过椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的焦点F ，交椭圆于A ,B 两点，若AF =23AB ，则该椭圆的离心率为．【答案】53【详解】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由AF =23AB 得：AF =2FB ，∴x 1=-2x 2，即x1x 2=-2；不妨令F 0,c ，则直线l :y =12x +c ，由y =12x +c y 2a 2+x 2b2=1得：b 2+4a 2 x 2+4b 2cx -4b 4=0，∴x 1+x 2=-4b 2cb 2+4a 2x 1x 2=-4b 4b 2+4a2，∴x 1+x 22x 1x 2=x1x 2+x 2x 1+2=-16b 4c 2b 2+4a 2 24b 4b 2+4a 2=-4c 2b 2+4a2=-12，即8c 2=b 2+4a 2=a 2-c 2+4a 2=5a 2-c 2，∴9c 2=5a 2，∴e =c 2a 2=59=53；由椭圆对称性可知：当F 0,-c 时，e =53；∴椭圆的离心率为53.故答案为：53.7已知双曲线x 2a 2-y2b 2=1a ,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且倾斜角为π6的直线l 与双曲线的左､右支分别交于点A ，B ，且AF 2 =BF 2 ，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.22D.23【答案】A【详解】解：过F 2作F 2N ⊥AB 于点N ，设AF 2 =BF 2 =m ，因为直线l 的倾斜角为π6，所以在直角三角形F 1F 2N 中，NF 2 =c ，NF 1 =3c ，由双曲线的定义可得BF 1 -BF 2 =2a ，所以BF 1 =2a +m ，同理可得AF 1 =m -2a ，所以AB =BF 1 -AF 1 =4a ，即AN =2a ，所以AF 1 =3c -2a ，因此m =3c ，在直角三角形ANF 2中，AF 2 2=NF 2 2+AN 2，所以3c 2=4a 2+c 2，所以c =2a ，则e =ca= 2.故选：A .考点七：已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过点F 且与渐近线y =ba x 垂直的直线分别交两条渐近线于P ,Q 两点.情形1.如图1.若FP =λFQ λ>0,λ≠1 ,则e 2=2λλ−1(*)图1图2如图2.若QF =λFP(0<λ<1)，则e 2=2λ+1【精选例题】11过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为A ，与双曲线的另一条渐近线交于点B ，若FB =2FA，则此双曲线的离心率为【答案】满足情形1，即λ=2，故e 2=2λλ−1，则e =212已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1，(a >0,b >0)过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若AF BF =12，则双曲线C 的离心率为()A.233B.2C.3D.5【答案】A【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点F c ,0 ，渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，如下图所示:由点到直线距离公式可知：FA =bcb 2+a2=b ，又∵c 2=a 2+b 2，∴OA =a ，∵AF BF=12，即BF =2b ，设∠AOF =α，由双曲线对称性可知∠AOB =2α，而tan α=b a ，tan2α=AB OA=3ba ，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tan α1-tan 2α=2×b a 1-b a2=2ab a 2-b 2，即3b a =2ab a 2-b 2，化简可得：a 2=3b 2，即b 2a2=13，由双曲线离心率公式可知：e =ca =1+b 2a2=1+13=233.故选：A .【跟踪训练】8已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别为直线l 1，l 2，经过右焦点F 且垂直于l 1的直线l 分别交l 1，l 2于A ,B 两点，且FB =2AF，则该双曲线的离心率为()A.233B.3C.43D.433【答案】满足情形2，即λ=2，e 2=2λ+1⇒e =233.9F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ,B 两点，若AB =2BF 1，则双曲线的离心率为A.52B.5C.103D.10【答案】B【详解】设直线方程为y =x +c ，与渐近线方程y =±b a x 联立方程组解得y B =bc a +b ,y A =bc b -a,因为AB =2BF 1 ，所以y B -y A =2(0-y B )y A =3y B ∴3bc a +b =bc b -a,∴b =2a ,∴c =5a ,e =5，选B .1已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1 ⋅PF 2 =3，且△PF 1F 2的面积为2，则b 2=()A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.【详解】PF 1 +PF 2=2a 如图所示：设∠F 1PF 2=θ，由题意PF 1 ⋅PF 2 =PF 1 ⋅PF 2 cos θ=3，S △PF 1F 2=12PF 1⋅PF 2 sin θ=2，两式相比得tan θ=sin θcos θ=43，又θ∈0,π ，且cos 2θ+sin 2θ=1，所以cos θ=35,sin θ=45,PF 1⋅PF 2 =5，而由余弦定理有2c 2=F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2cos θ=PF 1 2+PF 2 2-6，即2c 2+6=PF 1 2+PF 2 2，且由椭圆定义有2a 2=PF 1 +PF 2 2=PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2=2c 2+6+10，所以4b 2=4a 2-4c 2=16，解得b 2=4.故选：C .2椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327【答案】A【分析】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，利用点差法可推出y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，结合题意推出y 0x 0=22，y 1-y 2x 1-x 2=-1，代入y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn化简，即可得答案.【详解】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则mx 21+ny 21=1,mx 22+ny 22=1，两式相减得m (x 21-x 22)+n (y 21-y 22)=0，由已知椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，可知x 1≠x 2，故y 21-y 22x 21-x 22=-m n ，即y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-m n ，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，则x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0，而y 1-y 2x 1-x 2=k MN =-1，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，即y 0x 0=22，故22⋅(-1)=-m n ，即m n =22，故选：A3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线距离为3，则双曲线C 实轴长()A.3B.3C.23D.6【答案】D【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b =3，再结合离心率即可得解.【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为y =-ba x 即bx +ay =0，设双曲线的的右焦点为F c ,0 ,c >0，则c 2=a 2+b 2，所以焦点到渐近线的距离d =bca 2+b 2=bcc=b =3，又离心率e =ca=2，所以a =3，所以双曲线C 实轴长2a =6.故选：D .4(多选题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为12，且经过点3,32,P 在椭圆上，则()A.PF 1 的最大值为3B.△PF 2F 1的周长为4C.若∠F 2PF 1=60°，则△PF 2F 1的面积为3D.若PF 1 PF 2 =4，则∠F 2PF 1=60°【答案】ACD【分析】先求出椭圆方程，然后根据椭圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题意，椭圆离心率为12，则a :b :c =2:3:1⇒a =23b ，则x 2a 2+y 2b 2=1⇒3x 24b 2+y 2b 2=1，代入3,32 ，得b 2=3⇒a 2=4，所以C :x 24+y 23=1，对A ，由题意PF 1 max =a +c =3，故A 正确；对B ,△PF 2F 1的周长为2a +2c =6，故B 错误；对C ，若∠F 2PF 1=60°，则由余弦定理得：F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos60°=PF 1 +PF 2 2-3PF 1 ⋅PF 2 .即(2c )2=(2a )2-3PF 1 ⋅PF 2 ，故PF 1 ⋅PF 2 =4，故S △PF 2F 1=12PF 1 ⋅PF 2 sin60°=3，故C 正确；对D ，由余弦定理F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 cos ∠F 2PF 1=PF 1 +PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅1+cos ∠F 2PF 1 ，即4=16-2×41+cos ∠F 2PF 1 ，解得cos ∠F 2PF 1=12，故∠F 2PF 1=60°，故D 正确，故选:ACD5(多选题)设椭圆的方程为x 22+y 24=1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论不正确的是()A.直线AB 与OM 垂直B.若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x +y -3=0C.若直线方程为y =x +1，则点M 坐标为13,43D.若直线方程为y =2x +2，则|AB |=432【答案】AC【分析】根据椭圆中点弦的性质k AB ∙k OM =-42=-2，可以判断ABC ，对于D ,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得|AB |，从而判断正误．【详解】对于A ：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 222+y 224=1x 212+y 214=1，相减可得x 21-x 222+y 21-y 224=0，所以y 1-y 2x 1-x 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-42=-2≠-1，故A 错误；对于B ：根据k AB ∙k OM =-2，k OM =1，所以k AB =-2，所以直线方程为y -1=-2(x -1)，即2x +y -3=0，故B 正确；对于C ：若直线方程为y =x +1，点M 13,43，则k AB ∙k OM =1×4=4≠-2，所以C 错误；对于D ：若直线方程为y =2x +2，与椭圆方程x 22+y 24=1联立，得到2x 2+(2x +2)2-4=0，整理得：3x 2+4x =0，解得x 1=0,x 2=-43，所以|AB |=1+12∙-43-0 =423，故D 正确；故选：AC ．6(多选题)设A ，B 是双曲线x 2-y 24=1上的两点，下列四个点中可以为线段AB 中点的是()A.0,2B.-1,2C.1,1D.1,4【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得k AB⋅k=4，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称，所以当直线AB的方程为y=2时，线段AB的中点为(0,2)，故A正确；当直线AB的斜率存在且不为0时，设A x1,y1,B x2,y2，则AB的中点Mx1+x22,y1+y22，可得k AB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，因为A,B在双曲线上，则x21-y214=1x22-y224=1，两式相减得x21-x22-y21-y224=0，所以k AB⋅k=y21-y22x21-x22=4.对于选项B：可得k=-2,k AB=-2，则AB:y-2=2(x+1)，即y=2x+4，双曲线的渐近线方程为y=±2x，由于y=2x+4与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B 错误；对于选项C：可得k=1,k AB=4，则AB:y-1=4(x-1)，即y=4x-3，联立方程y=4x-3x2-y24=1，消去y得12x2-24x+13=0，此时Δ=242-4×12×13=-48<0，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4,k AB=1，则AB:y-4=x-1，即y=x+3，联立方程y=x+3x2-y24=1，消去y得3x2-6x-13=0，此时Δ=-62+4×3×13>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：AD.7(多选题)若P是椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2:x2m2-y2n2=1m>0,n>0在第一象限的交点，且C1，C2共焦点F1，F2，∠F1PF2=θ，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论中正确的是()A.PF1=m+a，PF2=m-a B.cosθ=b2-n2 b2+n2C.若θ=120°，则3e21+1e22=4 D.若θ=90°，则e21+e22的最小值为2【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ；再结合B ，基本不等式等讨论CD 选项即可.【详解】解：依题意，PF 1+ PF 2 =2aPF 1- PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ,PF 2 =a -m ，A 不正确；令|F 1F 2|=2c ，由余弦定理得：cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(a +m )2+(a -m )2-4c 22(a +m )(a -m )=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2，因为在椭圆C 1中a 2-c 2=b 2，在双曲线C 2中，m 2-c 2=-n 2，所以cos θ=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2=b 2-n 2b 2+n 2，故B 选项正确；当θ=120°时，cos θ=b 2-n 2b 2+n 2=-12，即3b 2=n 2，所以3a 2+m 2=4c 2，即3a c2+m c2=4，所以，3e 21+1e 22=4，故C 选项正确；当θ=90°时，b 2=n 2，即a 2+m 2=2c 2，所以，a c2+m c 2=2，有1e 21+1e 22=2，因为0<e 21<1<e 22，所以，e 21+e 22=2e 21e 22<2e 21+e 2222，解得e 21+e 22>2，D 不正确；故选：BC8(多选题)如图，P 是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2m 2-y 2n 2=1(m >0,n >0)在第一象限的交点，且C 1,C 2共焦点F 1,F 2,∠F 1PF 2=θ,C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2，则下列结论正确的是()A.PF 1 =a +m ,PF 2 =a -mB.若θ=60°，则1e 21+3e 22=4C.若θ=90°，则e 21+e 22的最小值为2D.tanθ2=nb【答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：PF 1 +PF 2 =2aPF 1 -PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ，PF 2 =a -m ，A 正确；在△F 1PF 2中，由余弦定理得：a -m 2+a +m 2-2a -m a +m cos θ=2c 2，整理得a 21-cos θ +m 21+cos θ =2c 2，a 21-cos θ c 2+m 21+cos θ c 2=2，即1-cos θe 21+1+cos θe 22=2，当θ=60°时，12e 21+32e 22=2，即1e 21+3e 22=4，B 正确；当θ=90°时，1e 21+1e 22=2，e 21+e 22=121e 21+1e 22(e 21+e 22)=1+12e 22e 21+e 21e 22≥1+e 22e 21⋅e 21e 22=2，当且仅当e 1=e 2=1时取“=”，而0<e 1<1,e 2>1，C 不正确；在椭圆中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4a 2-4c 2-2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2b 21+cos θ，在双曲线中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4m 2-4c 2+2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2n 21-cos θ，于是得2n 21-cos θ=2b 21+cos θ⇔n 2b 2=1-cos θ1+cos θ=2sin 2θ22cos 2θ2=tan 2θ2，而0<θ2<π2，则tan θ2=n b ，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.9己知椭圆C :x 2m 2+y 26=1的焦点分别为F 10,2 ，F 20,-2 ，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P 12,12为线段MN 的中点，则直线l 的方程为．【答案】3x +y -2=0【分析】先由题意求出m 2，再由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可求解.【详解】根据题意，因为焦点在y 轴上，所以6-m 2=4，则m 2=2，即椭圆C :x 22+y 26=1，所以P 点为椭圆内一点，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则x 212+y 216=1，x 222+y 226=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 22=-y 1+y 2 y 1-y 26，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2，因为点P 12,12 为线段MN 的中点，所以x 1+x 2y 1+y 2=x 1+x 22y 1+y 22=x P y P=1212=1，所以直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2=-3×1=-3，所以直线l 的方程为y -12=-3x -12，即3x +y -2=0.故答案为：3x +y -2=0.10已知点A ,B ,C 是离心率为2的双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上的三点, 直线AB ,AC ,BC 的斜率分别是k 1,k 2,k 3,点D ,E ,F 分别是线段AB ,AC ,BC 的中点,O 为坐标原点，直线OD ,OE ,OF 的斜率分别是k '1,k '2,k '3.若1k '1+1k '2+1k '3=3,则k 1+k 2+k 3=【答案】3【分析】本题考查点差法，根据点差法的内容，设点，作差，计算得出y 0y 1-y 2 x 0x 1-x 2 =b 2a 2,结合离心率为2，求得k 1k '1=1.同理求得k 2k '2=1,k 3k '3=1.代入问题计算即可.【详解】因为双曲线Γ的离心率为2, 所以ba=1.不妨设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,D x 0,y 0 ,因为点A ,B 在Γ上，所以x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式相减,得x 1+x 2 x 1-x 2a 2=y 1+y 2 y 1-y 2b 2,因为点D 是AB 的中点，所以x 1+x 2=2x 0, y 1+y 2=2y 0,。
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ,∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，∴两式相减可得 , .故选A.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题2.已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在y轴上．（1）求双曲线的离心率，并写出其渐近线方程；（2）求椭圆的标准方程．【答案】（1）e1=2，渐近线方程为y=±；（2）．【解析】（1）首先由已知双曲线的标准方程求出双曲线的几何量，就可得焦点及离心率，渐近线方程；（2）根据已知条件求出椭圆的离心率及焦距，利用椭圆的三个参数的关系，求出椭圆中的三个参数，从而就可求出椭圆的方程．试题解析：（1）设双曲线的焦距为2c1，离心率为e1，（2分）则有：c12=4+12=16，c1=4 （4分）∴e1=2，渐近线方程为y=±；（6分）（2）椭圆的离心率为，∴．又a=4，∴c=；∵a2=b2+c2，（10分）∴b2=；∴所求椭圆方程为（12分）【考点】1.双曲线的简单性质；2.椭圆的标准方程．3.已知椭圆：的左焦点，离心率为，函数，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最小值为,此时.【解析】（Ⅰ）利用左焦点F（-1，0），离心率为，及求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l的方程来：y=k（x-t）代入抛物线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求的最小值，并求此时的t的值．试题解析：（Ⅰ）,由得,椭圆方程为（Ⅱ）若直线斜率不存在,则=若直线斜率存在,设直线,由得所以故故的最小值为,此时.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．4.(本小题满分12分)如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．（1）求椭圆的离心率；（2）过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若的面积是，求此时椭圆的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，可得，又，椭圆中,可得；（2）设直线PQ的方程为，代入椭圆方程整理得又，可得从而解得，可得椭圆的标准方程.解：（1）易得（2）令，设直线PQ的方程为．代入椭圆方程消去x得：，整理得：∴因此a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为【考点】椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求.5.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论，【考点】椭圆与双曲线的几何性质.6.椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由椭圆可知其左顶点A1（-2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x，y）（x≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【考点】椭圆的性质.7.已知椭圆上一点到右焦点的距离是1，则点到左焦点的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据椭圆的定义，点P到两个焦点距离和等于2a=即可.【考点】椭圆的定义.8.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为焦点相同所以有，解得，即。
（完整版）椭圆双曲线的经典结论
（完整版）椭圆双曲线的经典结论椭圆双曲线的经典结论一、椭圆点 P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角 .PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 若 P 0(x 0,y 0) 在椭圆 21 a b 22 2x y 22 1 2 2a b 2x 0x y 0y 2 2a b 2若 P 0(x 0,y 0) 在椭圆弦 P 1P 2 的直线方程是 1. 2 y2 x ，则过 P 0 的椭圆的切线方程是 x 02x a 外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 y0 y1. b 2 1. P 1、P 2，则切点 2 椭圆 x2 a 2 F 1PF 22 椭圆 x2 a 2 |MF 1 | a 2 y b 2 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点则椭圆的焦点角形的面积为S F 1PF 2 b 2tan . 2 2 yb 2 ex 0, |MF 2| a ex 0( F 1( c,0) , F 2(c,0) 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和1(a >b >0)的焦半径公式： M (x 0,y 0)). AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，则MF ⊥NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N ，则MF ⊥NF. 22AB 是椭圆 x 2 y 2a 2b 2b 2 ，a 2b 2x 02。
a y 0 1的不平行于对称轴的弦，M (x 0,y 0) 为 AB 的中点，k OM kAB 即K AB 若 P 0(x 0,y 0) 在椭 x 0x y 0y 2 ab 22 x0 2 a 2 x 2a2 yb 2 1 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程 2y 0 b 2若 P 0(x 0,y 0) 在椭圆2x2 ay 2 b 21 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8.10. 11. 12. 13.2 x 2 a2 yb2x0x y0y2a b2二、双曲线点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的内角.PT平分△ PF1F2在点P 处的内角，则焦点在直线PT上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.以焦点半径PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆P在左支）若P0（x0,y0）在双曲线是x a02x y b02yab1.若P0（x0,y0）在双曲线线切点为P1、P2，双曲线xy22ab一点F1PF2相切. （内切：P在右支；外切：22ab222x y22a b21（a>0,b >0）x2则切点弦2y1(a> 0,b > 0)上，则过P0 的双曲线的切线方程外，则过Po 作双曲线的两条切P1P2 的直线方程是x02x y0ya2a> 0,b > o）的左右焦点分别为则双曲线的焦点角形的面积为Sb2F1，F1PF2F2，点P 为双曲线上任意b2cot .222xy22 ab 当M ( x0 , y0 )在右支上时，|MF1| ex0 a, |MF2| ex0 a.当M ( x0 , y0 )在左支上时，|MF1| ex0 a, |MF2 | ex0双曲线a> 0,b > o）的焦半径公式：（F1（ c,0）F2(c,0)设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.过双曲线一个焦点A1P 和A2Q交于点2xAB 是双曲线2a2的中点，则K OMF 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点，M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.b2K AB1（a>0,b >0）的不平行于对称轴的弦，M（x0,y0）为AB 若P0(x0,y0) 在双曲线 2 a2 x02 a方程是x02xa2y0yb2b2x2 022x y21（a>0,b >0）内，则被Po 所平分的中点弦的b2y02.b2 .，即K ABb2x02。
椭圆双曲线的经典结论
椭圆双曲线的经典结论一、椭圆1. 点 P 处的切线 PT 均分△ PF 1F 2 在点 P 处的外角 .2.PT 均分△ PF 1F 2 在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .4.以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 .5.若 P 0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 x 2 y 21上，则过x 0 x y 0 y 1.22P 0的椭圆的切线方程是b 2a ba 26.若 P 0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆x 2 y 2 1外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点a2b2弦 P P 的直线方程是 x 0 xy 0 y 1.12a 2b 27.椭圆 x2y 2 1 (a ＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F 1 ， F 2 ，点 P 为椭圆上随意一点a 2b 2F 1 PF 2，则椭圆的焦点角形的面积为SFPF2b 2 tan .128.椭圆 x2y 2 1（ a ＞ b ＞ 0）的焦半径公式：a 2b 2|MF 1| a ex 0 , |MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M ( x 0 , y 0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆订交P 、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个极点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、 N 两点，则 MF ⊥ NF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 、 A 为椭圆长轴上的极点， AP 和 AQ1212交于点 M ， A P 和 A Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF.2111. AB 是 椭 圆x 2y 2 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M (x 0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 ， 则a 2b 2kOMkABb 2a 2，即K AB b 2x 0 。
椭圆双曲线共焦点
椭圆双曲线共焦点问题已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2m 2－y 2n2＝1(其中m ＞0，n ＞0)共焦点，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，M 是C 1，C 2的一个交点，θ＝∠F 1ＭF 2，则Ⅰ．|MF 1|＝a ＋m ，|M F 2|＝a －m ； Ⅱ．sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1．【技巧】结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减．凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论Ⅰ：|MF 1|＝a ＋m ，|M F 2|＝a －m ，找到a ，m ，c 的关系，从而解决问题．可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间．关于结论Ⅰ的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后．结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．凡是已知公共焦点三角形中的顶角 ，然后使用结论Ⅱ：sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，可快速到e 12，e 22的关系，从而解决问题．如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值或用柯西不等式．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方．1、椭圆与双曲线有公共焦点F 1，F 2，它们在第一象限的交点为A ，且AF 1⊥AF 2，∠AF 1F 2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( )A ．2 3B ． 3C ．2D ．1答案 B 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，可设|AF 1|＝3，|AF 2|＝1，|F 1 F 2|＝2，则a ＋m ＝3，a －m ＝１，∴1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ＝a ＋mc ＝3．故选B ．2、中心在原点的椭圆C 1与双曲线C 2具有相同的焦点，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P 为C 1与C 2在第一象限的交点，|PF 1|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝3，若椭圆C 1的离心率e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，则双曲线的离心率e 2的范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，53B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 D ．(2，3) 答案 C 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，由题意有，a ＋m ＝2c ，a －m ＝3，所以m ＝2c －a ，又e 2＝c m ＝c 2c －a ＝12－1e 1，因为e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，45，所以1e 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32，所以e 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2.3、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2＋1的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(43，＋∞)C ．(65，＋∞)D ．(109，＋∞)答案 B 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，由题意有，a ＋m ＝10，a －m ＝2c ，所以a ＝5＋c ，m ＝5－c ，c ＞52，又e 1e 2＋1＝c 2am ＋1＝c225－c 2＋1＞43．故选B ． 4、F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 是C 1，C 2在第一象限的交点，且AF 1⊥AF 2，∠AF 1F 2＝π6，则C 1与C 2的离心率之积为( ) A ．2 B ． 3 C ．12 D ．32答案 A 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，可设|AF 1|＝3，|AF 2|＝1，|F 1 F 2|＝2，则a ＋m ＝3，a －m ＝１，∴a ＝3＋12，m ＝3－12，∴e 1e 2＝c 2am＝2．故选A ．5、已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为( )A ．37B ．47C ．56D ．910答案 A 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，a －m ＝2c ，cm ＝3，∴c a ＝c m ＋2c ＝37．故选A ．6、已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(13，12)B ．(25，12)C ．(13，25)D ．(12，1)答案 C 秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，由题意有，a ＋m ＝10，a －m ＝2c ，所以a ＝5＋c ，m ＝5－c ，因为双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，所以1<c 5－c <2，∴52<c <103，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝c c ＋5＝1－5c ＋5，且13<1－5c ＋5<25，∴该椭圆的离心率的取值范围是(13，25)．7、已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3C ． 6D ． 3答案 A 通解 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ′，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴2a ＝2a ′＋4c ，∴2e 1＋e 22＝2a c ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c＋c2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a ′时取“＝”，故选A ．秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，a －m＝2c ，∴a ＝m ＋2c ，∴2e 1＋e 22＝2a c ＋c 2m ＝2m ＋4c c ＋c 2m ＝2m c ＋c2m ＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2m 时取“＝”，故选A ．8、如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的交点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．26答案 A 通解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A ，B 关于原点对称，又AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，故|AF 1|＝|OF 1|＝|OA |＝|OB |＝c ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c2，32c ，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，结合b 2＝a 2－c 2及e ＝c a，整理可得，e 4－8e 2＋4＝0，∵0<e <1，∴e 2＝4－23＝(3－1)2，∴e ＝3－1．同理可求得双曲线的离心率e 1＝3＋1，∴e ＋e 1＝23．秒杀 设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)，根据题意，可设|AF 1|＝1，|AF 2|＝3，|F 1 F 2|＝2，则a ＋m ＝3，a －m ＝１，∴e ＋e 1＝c a ＋c m ＝c (a ＋m )am＝23．故选A ．9、已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A ．32B ．2C ．52 D ．4答案 B 通解 以AC 边所在的直线为x 轴，AC 中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，设双曲线方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，焦距都为2c ，不妨设|AB |>|BC |，椭圆和双曲线都过点B ，则|AB |＋|BC |＝2a 1，|AB |－|BC |＝2a 2，所以|AB |＝a 1＋a 2，|BC |＝a 1－a 2，又因为△ABC 为直角三角形，|AC |＝2c ，所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2．故选B ． 秒杀 由已知θ2＝π4，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋1e 22＝2．故选B ． 10、(2013浙江)已知F 1，F 2为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1和双曲线C 2的公共焦点，P 为它们的一个公共点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的交点，若四边形AF 1BF 1为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62答案 D 秒杀 由已知θ2＝π4，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋1e 22＝2，又e 1＝32，∴e 2＝62，故选D ．11、(2016全国高中数学联赛四川预赛)已知F 1，F 2为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为( )A ．33 B ．32C ．1D ． 3 答案 B 秒杀 由已知θ2＝π6，又由sin2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋3e 22＝4，4＝1e 21＋3e 22＞23e 1e 2，e 1e 2≥32(当且仅当e 2＝3e 1时取等号)，故选B ．12、已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2m 2－y 2n2＝1(其中m ＞0，n ＞0)有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 1，则4e 21＋e 22的最小值是( )A ．52B ．72C ．92D ．112答案 C 秒杀 由已知θ2＝π4，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋1e 22＝2，4e 21＋e 22＝12(4e 21＋e 22)(1e 21＋1e 22)＝52＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22e 12＋4e 12e 22≥92 (当且仅当e 22＝2e 21时取等号)，故选C ． 13、(2014湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A ．433B ．233C ．3D ．2答案 A 秒杀 由已知θ2＝π6，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋3e 22＝4，可利用三角换元1e 1＝2cos θ，3e 2＝2sin θ，则1e 1＋1e 2＝433sin(θ＋φ)≤433．故选A ．14、(2016浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案 A 通解 由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，∴e 1e 2>1．故选A ． 秒杀 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b 2tan θ2＝b21tan θ2，即，tan θ2＝1tanθ2，解得θ＝π2．∴1e 21＋1e 22＝2，因为e 1≠e 2，∴2＝1e 21＋1e 22＞2e 1e 2，∴e 1e 2>1．故选A ．15、已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于( )A ．4B ．2 3C ．2D ．3答案 A 通解 如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，该式可变成3e 21＋1e 22＝4．故选A ．秒杀 由已知θ2＝π3，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得3e 21＋1e 22＝4．故选A ． 16、已知圆锥曲线C 1：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)与C 2：px 2－qy 2＝1(p >0)的公共焦点为F 1，F 2.点M 为C 1，C 2的一个公共点，且满足∠F 1MF 2＝90°，若圆锥曲线C 1的离心率为34，则C 2的离心率为( )A ．92B ．322C ．32D ．54答案 B 通解 C 1：x 21m＋y 21n＝1，C 2：x 21p－y 21q＝1．设a 1＝1m ，a 2＝1p，MF 1＝s ，MF 2＝t ，由椭圆的定义可得s ＋t ＝2a 1，由双曲线的定义可得s －t ＝2a 2，解得s ＝a 1＋a 2，t ＝a 1－a 2，由∠F 1MF 2＝90°，运用勾股定理，可得s 2＋t 2＝4c 2，即为a 21＋a 22＝2c 2，由离心率的公式可得，1e 21＋1e 22＝2，∵e 1＝34，∴e 22＝92，则e 2＝322，故选B ．秒杀 由已知θ2＝π4，又由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋1e 22＝2，∵e 1＝34，∴e 22＝92，则e 2＝322，故选B ．17、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)具有相同焦点F 1，F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，若∠F 1PF 2＝π3，则e 21＋e 22的最小值是( )A ．2＋32B ．2＋ 3C ．1＋232D ．2＋34答案 A 通解根据题意，可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，解得|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，根据余弦定理，可知(2c )2＝(a ＋m )2＋(a －m )2－2(a ＋m )(a －m )cosπ3，整理得c 2＝a 2＋3m 24，所以e 21＋e 22＝c 2a 2＋c 2m 2＝a 2＋3m 24a 2＋a 2＋3m 24m 2＝1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 2a 2＋a 2m 2≥1＋32＝2＋32(当且仅当a 2＝3m 2时取等号)，故选A ．秒杀 由已知θ2＝π6，又由sin2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋3e 22＝4，e 21＋e 22＝14(e 21＋e 22)(1e 21＋3e 22)＝1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22e 12＋3e 12e 22≥1＋32＝2＋32(当且仅当e 22＝3e 21时取等号)，故选A ．18、已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝θ，cos θ＝45，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A ．43B ．103C ．53D ．73 答案 B 秒杀 由sin 2θ2e 12＋cos2θ2e 22＝1，得1e 21＋9e 22＝10，可利用三角换元1e 1＝10cos θ，1e 2＝103sin θ，则1e 1＋1e 2＝103sin(θ＋φ)≤103．故选B ．19、已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 24b 2＝1(其中m ＞2b ＞0)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2b2＝1(其中n ＞0，b ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2≥45B ．m ＞n 且e 1e 2≤45C ．m ＜n 且e 1e 2≥45D ．m ＜n 且e 1e 2≤45答案 A 秒杀 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b 2tan θ2＝b21tan θ2，即，4tan θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝12．∴1e 21＋4e 22＝5，∴5＝1e 21＋4e 22≥24e 21e 22≥4e 1e 2，∴5≥4e 1e 2，当且仅当2e 1＝e 2时，等号成立．∴e 1e 2≥45．故选A ．20、(2014全国高中数学联赛湖北预赛)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，若椭圆的短轴长是和双曲线虚轴长的2倍，则1e 1＋1e 2的最大值为( )A ．4B ．2 3C ．12D ．52答案 D 秒杀 由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b 2tan θ2＝b 21tan θ2，即，4tan θ2＝1tanθ2，解得tan θ2＝12．∴1e 21＋4e 22＝5，可利用三角换元1e 1＝5cos θ，2e 2＝5sin θ，则1e 1＋1e 2＝52sin(θ＋φ)≤52。
共焦点的双曲线和椭圆问题
共焦点的双曲线和椭圆问题目录一、解题知识 (2)（一）基础知识 (2)（二）共焦点的常用结论 (3)二、分类解析 (4)（一）用焦半径 (4)（二）面积公式 (5)（三）离心率关系 (7)1．求值 (7)2．均值不等式 (9)3．范围 (12)（四）其他题目 (13)一、解题知识（一）基础知识一、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 1222121sin sin tan 21cos 2F PF b S PF PF b θθθθ∆∴===+二、已知双曲线方程为22221,x y a b -=两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则122tan 2F PF b S θ∆=。
三、已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中12,,F P m PF n ==则0∆==||S c y 。
四、已知双曲线方程为22221,x y a b-=两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中12,,F P m PF n ==则0∆==||S c y 。
（二）共焦点的常用结论椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F ，2F 的张角为122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则()A ．222212cos sin 1e e θθ+=B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+=D ．2212221sin cos e e θθ+=解：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，P 到两焦点的距离分别为m ，(0)n m n >>，焦距为2c ，由椭圆的定义可得12m n a +=，由双曲线的定义可得22m n a -=，解得12m a a =+，12n a a =-，【记住结论，焦半径是两个a 之和，和两个a 之差】由余弦定理可得2222cos 24m n mn c θ+-=，则22212121212()()2()()cos 24a a a a a a a a c θ++--+-=，化为22212(1cos 2)(1cos 2)2a a c θθ-++=，可得222212221a sin a cos c c θθ+=，由11c e a =，22c e a =，可得2222121sin cos e e θθ+=．故选：B ．记住结论椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们的交点P 对两公共焦点1F ，2F 的张角为12F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则有______________二、分类解析（一）焦半径1.设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为1F ，2F ，A 是两曲线的一个公共点，则12||||AF AF 的值等于()【A 】A ．3B ．4C ．5D ．6解：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，P 到两焦点的距离分别为m ，(0)n m n >>，焦距为2c ，由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，解得，，2.如图，1F 、2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，A 、B 分别是1C ，2C 在第二四象限的交点，若11AF BF ⊥，且13AF O π∠=，则1C 与2C 离心率之积为()A ．2B ．23C ．5D ．6【解答】解：转化成焦点三角形：连接2AF ，2BF ，11AF BF ⊥ ，13AF O π∠=，21126AF F BF F π∴∠=∠=，则1AF c =，23AF c =，132c c a +=，即椭圆的离心率1131c e a ==+232c c a -=，即双曲线的离心率22231c e a ==-，则1C 与2C 4423123131===-+- ，故选：A ．（二）面积公式3.点P是椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线22222221(0x y a a b -=>，20)b >的一个交点，1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，123F PF π∠=，则12b b 的值是3．解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，由焦点三角形的面积公式可得2221tan 2tan 2b b θθ=，则22123b b =，可得123b b =．故答案为：3．4.已知椭圆222116x y a +=与双曲线22215x ym -=有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P 点，则△12PF F 的面积为()A ．112B ．212C ．45D ．85解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，由焦点三角形的面积公式可得2221tan 2tan 2b b θθ=，∴△12PF F 的面积为2221tan 2tan 2b b θθ=5=故选：C ．5.设椭圆221:1128x y C +=与双曲线222:1(0)C mx y m -=>有公共的焦点1F ，2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，则12cos F PF ∠的值为()A ．79B ．29C ．14D ．19解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，127cos 9F PF ∴∠=．故选：A ．（三）离心率关系1．求值6.有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，点A 为两曲线的一个公共点，且满足1290F AF ∠=︒，则221211e e +的值为2．【解答】2212112e e +=．故答案为：2．7.已知圆锥曲线()()222212:10:10,0C mx ny n m C px qy p q +=>>-=>>与的公共焦点为1F ，2F ．点M 为1C ，2C 的一个公共点，且满足1290F MF ∠=︒，若圆锥曲线1C 的离心率为34，则2C 的离心率为()A ．92B ．322C ．32D ．54【解答】由离心率的公式可得，2212112e e +=， 134e =，∴2292e =，则2322e =．故选：B ．8.如图，1F ，2F 是椭圆22122:1(0)x y C m n m n +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的公共焦点，1C ，2C 的离心率分别记为1e ，2e ．A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若2C 的一条渐近线是线段1AF 的中垂线，则2212212(()e e e e +=)A ．2B ．52C ．72D ．4【解答】22122122()e e e e +=．故选：A ．9.已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ．则221231(e e +=)A ．4B ．23C ．2D ．32212314e e +=．故选：A ．10.已知1F 、2F 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆222:1259x y C +=的公共焦点，点P 是曲线1C 、2C 在第一象限的交点，若△12PF F 的面积为36，则双曲线1C 的离心率为()A ．2105B ．103C ．355D ．52【解答】解：根据题意，设(,)P m n ，椭圆2C 的方程为：221259x y +=，则其焦点为(4,0)和(4,0)-，则双曲线的焦点1F 、2F 分别为(4,0)和(4,0)-，则有212||8c F F ==，若△12PF F 的面积为36，则可以求∠→根据离心率关系→e则双曲线1C 的离心率4210510c e a ===；故选：A ．11.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，1e ，2e 分别为椭圆和双曲线的离心221223234e e -++=，则∠12PF F 是30°12.若椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线22222221(0x y a a b -=>，20)b >有公共的焦点1F ，2F ，点P 是两条曲线的交点，123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，且121e e =，则1(e =)A ．13B ．33C ．12D ．22【解答】∴2212134e e =+，由121e e =，即211e e =，得：2121134e e +=，解得：211e =（舍)，或2113e =，即133e =．故选：B ．2．均值不等式13.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，且在第一象限内相交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ．若123F PF π∠=，则12e e 的最小值是()A ．12B ．22C ．32D ．32【解答】即为2212134e e +=，由222212121332e e e e + ，可得1232e e ，当且仅当213e e =时，取得最小值32，故选：C ．14.已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则()A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <【解答】解：由a,b,c 关系,可得2211m n -=+，即222m n =+，又1m >，0n >，则m n >，解：设12F PF θ∠=，设椭圆的短半轴长为1b ，长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，虚半轴长为2b ，由焦点三角形的面积公式可得2221tan 2tan 2b b θθ=，2212112e e +=，则121e e > ．故选：A ．15.已知椭圆和双曲线有共同焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，1260F PF ∠=︒，记椭圆和双曲线的离心率分别1e ，2e ，则2212e e +的最小值是()A ．312+B ．32C ．233D ．3【解答】∴2212134e e +=，222222211212222212123113113()()(4)(423)14442e e e e e e e e e e +=++=+++=+ ，当且仅当213e e =时，取等号．则2212e e +的最小值是：312+．故选：A ．16.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，点P 是它们的一个公共点，且1260F PF ∠=︒，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1211e e +的最大值为()A ．34B ．43C ．334D ．433【本题推导一下离心率关系:】解：设椭圆方程是2222111x y a b +=，双曲线方程是2222221x y a b -=，由定义可得121||||2PF PF a +=，122||||2PF PF a -=，112||PF a a ∴=+，212||PF a a =-，在△12F PF 中由余弦定理可得，22212121212(2)()()2()()cos60c a a a a a a a a =++-++-︒，即2221243c a a =+，2212134e e ∴=+，由柯西不等式得2222121212113111(1)((1()3e e e e e ++⨯+=+ ，即21211416()433e e +⨯=，即12113e e +，当且仅当13e =，2e =故选：D ．3．范围17.已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223F PF π∠=，若2(2,7)e ∈，则1e 的取值范围是()A ．52(,)53B ．225(,)35C ．57(,)53D ．725(,)35【解答】由11c e a =，22c e a =，得2212314e e +=，∴2212314e e =-， 2(2,7)e ∈，∴22111(,)74e ∈，则21315(4e ∈，27)7，∴2115(4e ∈，9)7，217(9e ∈，4)5，又1(0,1)e ∈，17(3e ∴∈，25)5．故选：D ．18.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是()A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(2，)+∞【解答】有结论2212314e e +=，则221212313142e e e e =+ ，所以1232e e ，等号在22212212313e e e e →==因为椭圆离心率小于双曲线的离心率，所以22213e e >，所以它的最小值不能取到。